On studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine

The review is devoted to the issue of the participation of scientists of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine in the development of the theory of inertial navigation and its applications. The authors tried to capture the period with a retrospective view from 3...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Lukovsky, I. A., Storozhenko, V. A., Луковский, И. А., Стороженко, В. А., Луковський, І. О., Стороженко, В. О.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2017
Онлайн доступ:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/63
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Репозитарії

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552591414525952
author	Lukovsky, I. A. Storozhenko, V. A. Луковский, И. А. Стороженко, В. А. Луковський, І. О. Стороженко, В. О.
author_facet	Lukovsky, I. A. Storozhenko, V. A. Луковский, И. А. Стороженко, В. А. Луковський, І. О. Стороженко, В. О.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "І. О. Луковський", "institution": "Інститут математики НАН України" }, { "author": "В. О. Стороженко", "institution": "Інститут математики НАН України" } ]
author_sort	Lukovsky, I. A.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-02-13T11:57:10Z
description	The review is devoted to the issue of the participation of scientists of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine in the development of the theory of inertial navigation and its applications. The authors tried to capture the period with a retrospective view from 30-40 years of the past century, when scientists with the world names of academician M.O. Lavrentyev and O.Yu. Ishlinsky began to attract the Institute's scientists to carry out research related to the defense, and subsequently to the missile and space issues. The list of main works in this direction is given and a general analysis of the research is provided.
first_indexed	2026-08-04T01:01:52Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 314–354 УДК 51 Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних питань в Iнститутi математики НАН України Огляд присвячений питанню участi учених Iнституту математики НАН України у розробках, що стосуються розвитку теорiї iнерцiальної навiгацiї та її застосувань. Автори намагалися ретроспективним поглядом охопити перiод, починаючи з 30–40 рокiв минулого столiття, коли знанi ученi з свi- товими iменами академiк М. О. Лаврентьєв та О. Ю. Iшлiнський почали залучати учених Iнституту до виконання дослiджень, пов’язаних з обо- ронною, а згодом i з ракетно-космiчною тематиками. Наводиться перелiк основних робiт у цьому напрямку i дається побiжний аналiз дослiджень. Стрiмкий розвиток авiацiї, морського флоту i, особливо, ракетно- космiчної технiки в пiслявоєннi роки привели до необхiдностi корiн- ного удосконалення засобiв навiгацiї i керування рухомими об’єкта- ми. Поряд с iншими принципами навiгацiї особлива увага придiля- лася iнерцiальним системам навiгацiї, в яких поточне мiсцеположен- ня рухомого об’єкта визначається шляхом iнтегрування прискорень, що вимiрюються на його борту. Iнерцiальнi системи навiгацiї мають перед iншими способами навiгацiї такi важливi переваги, як повна автономнiсть, унiверсальнiсть, захищенiсть вiд зовнiшнiх перешкод. 1. Розробка теорiї керування балiстичними ракетами. По- чаток дослiджень у галузi iнерцiальної навiгацiї i теорiї гiроскопiчних систем в Iнститутi математики НАНУ пов’язаний з iменем академi- ка НАНУ i АН СРСР О.Ю. Iшлiнського, який був директором Iн- ституту в 1948–1955 рр. Проте слiд вiдзначити, що передумовою ви- никнення цих дослiджень були розробки з оборонної тематики, якi проводились в Iнститутi пiд керiвництвом М. О. Лаврентьєва (дире- ктор Iнституту в 1939–1941, 1945–1948 рр.). Цiлком очевидно, що цi дослiдження диктувалися вимогами суворого часу, але i не в останню чергу широтою наукових iнтересiв М. О. Лаврентьєва. Адже вiн, бу- дучи уже на той час ученим зi свiтовим iм’ям в галузi теорiї функцiй c○ Луковський I.О., Стороженко В. О., 2016 Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 315 комплексного змiнного, завжди велику увагу придiляв i прикладним задачам, зокрема застосуванням теорiї функцiй у задачах аеродина- мiки i гiдродинамiки. Важливою галуззю механiки, якiй М.О. Лаврентьєв придiляв ба- гато уваги, було вивчення стiйкостi руху твердих тiл з порожнина- ми, заповненими рiдиною. На той час цi дослiдження проводились стосовно завдань артилерiї, але згодом результати дослiджень зна- йшли своє застосування i в ракетнiй технiцi. У цiй надскладнiй за- дачi механiки М.О.Лаврентьєв заклав вихiднi положення i залучив до її виконання ряд своїх учнiв. Попутно з розробкою теорiї (спiль- но iз спiвробiтником Iнституту математики С. Г. Крейном) ним були поставленi експериментальнi дослiдження, заснованi на iдеї ученого- експериментатора з Iнституту будiвельної механiки АН УРСР С.В. Малашенка про так званий струнний пiдвiс тiл, що швидко обер- таються. У цей же час була створена спрощена модель явища, при використаннi якої вивчення властивостей снаряда, наповненого рiди- ною, замiнювалося вивченням механiчної системи, що складається з основного тiла i твердого сферичного вкладиша, вiдокремленого вiд тiла тонким шаром в’язкої рiдини. М.О. Лаврентьєв (1900 – 1980). Особливо значущими з точки зору застосувань виявилися розроб- ки М.О. Лаврентьєва з проблеми кумуляцiї. Вiйськовi спецiалiсти не тiльки колишнього СРСР, а й iнших країн свiту високо цiнували до- слiдження М. О. Лаврентьєва, що стосувалися кумулятивних вибухiв. 316 Луковський I. О., Стороженко В. О. Припустивши, що при високих температурах матерiали поводяться подiбно до в’язких рiдин, вiн розробив гiдродинамiчну теорiю ку- муляцiї. Основна його iдея у цьому напрямку полягала у тому, що при таких високих температурi i тиску, якi виникають при вибухах, можна з досить високою вiрогiднiстю розглядати метал як iдеальну нестисливу рiдину. Для дослiджень кумуляцiї у 1946 роцi при Iнститутi математи- ки АН УРСР була створена лабораторiя, кiстяк якої закладався ще пiд час евакуацiї Академiї наук у воєннi роки в росiйське мiсто Уфу. До її складу увiйшли спецiалiсти рiзних напрямкiв науки. Одним з найважливiших прикладних напрямiв, що народилися з робiт М. О. Лаврентьєва, присвячених кумуляцiї, стало створення гiдроiмпуль- сної технiки i теорiї високошвидкiсного удару, зокрема вивчення яви- ща удару компактного тiла об перешкоду при космiчних швидкостях, а саме цi питання являються ключовими при дослiдженнi проблем на- дiйностi космiчних апаратiв при зiткненнi з частками з швидкостями вiд 12-ти до 15 км/с. Показовим є той факт, що у 1947 роцi саме М. А. Лаврентьєв, бу- дучи вiце-президентом Академiї наук УРСР, запрошує на роботу в Iн- ститут математики АН УРСР одного з своїх учнiв О.Ю. Iшлiнського, якого у наступному роцi обирають академiком АН УРСР i призна- чають директором цього iнституту. На той час О.Ю. Iшлiнський був вiдомим ученим у галузi теорiї тертя, пружностi i пластичностi, теорiї гiроскопiчних систем. О.Ю. Iшлiнський (1913 – 2003). Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 317 Формальним початком державної програми в областi створення балiстичних ракет далекої дiї стала постанова Ради Мiнiстрiв СРСР № 1017-419сс "Питання реактивного озброєння" вiд 13 травня 1946 р. Цiєю постановою оголошувалось створення реактивного озброє- ння "найважливiшим завданням" i зобов’язувало проведення ком- плексу заходiв щодо органiзацiї промислової кооперацiї для розробки ракетної технiки i створення вiйськових структур для випробувань, приймання i експлуатацiї ракетного озброєння. Зокрема, було ство- рено спецiальний вiйськовий науково-дослiдний iнститут iз розробки проблем воєнного застосування ракет Мiнiстерства оборони СРСР (НДI-4) i головний науково-дослiдний, проектно-конструкторський i виробничо-технологiчний iнститут iз ракетного озброєння СРСР (НДI-88, а з 1967 р. — ЦНДI машинобудування). Сумiжниками до НДI-88 створювалися НДI i конструкторськi бюро у рiзних вiдом- ствах, серед них НДI-10 Мiнiстерства суднобудiвної промисловостi СРСР (згодом його назва мiнялася на НДI-944, НДI прикладної меха- нiки, тепер це —- науково-виробниче об’єднання «Ротор» iм. В. I. Ку- знєцова у Москвi). В Українi були створенi Особливе КБ-586 Мiнi- стерства оборонної промисловостi СРСР у м. Днiпропетровську (те- пер КБ «Пiвденне» iм. М. К. Янгеля), ОКБ-692 Державного Комiтету радiоелектронiки у м. Харковi (тепер науково-виробниче об’єднання «Хартрон»). До виконання складних комплексних проблем, пов’яза- них з розвитком ракетобудування, було залучено i Академiю наук УРСР, а в її складi Iнститут математики, де розпочалися першi ро- боти по математичному забезпеченню проектування ракетної технiки на замовлення НДI-88. Будучи директором Iнституту, О. Ю. Iшлiн- ський залучає до виконання ракетної тематики ряд спiвробiтникiв Iн- ституту, зокрема, М. О. Красносельського, I.М. Рапопорта, С. Г. Крей- на, Ю. М. Березанського. Особисто О. Ю. Iшлiнський ракетною тематикою почав займати- ся ще у 1943–1944 рр. Ракета зацiкавила його як об’єкт, рух якого керованим гiроскопами, що розташованi на її борту. Зокрема, в цей час О. Ю. Iшлiнським було проаналiзовано точнiсть орiєнтацiї об’є- кта, що починає рух з похилої основи, розв’язана задача про вiдхи- лення польоту самокерованої ракети вiд заданого напрямку, а також запропоновано математичний апарат розв’язку задачi про те, якою повинна бути витрата палива ракети, щоб дальнiсть її прямолiнiйно- го польоту була максимальною. За час роботи в Iнститутi математики О.Ю. Iшлiнський заклав 318 Луковський I. О., Стороженко В. О. основи строгої теорiї керування польотом балiстичних ракет без ви- користання будь-якої зовнiшньої iнформацiї (типу радiосигналiв, ви- промiнювання зiрок i т. п.). Вихiдними даними для подiбного керува- ння являються покази приладiв, розташованих на борту самої раке- ти. Функцiонування таких приладiв базується на використаннi яви- ща iнерцiї, тому цей спосiб керування польотом було названо iнер- цiальним. Результати цих дослiджень були пiдсумованi у монографiї О. Ю. Iшлiнського «Некоторые вопросы теории автономного управ- ления баллистическими ракетами», яка була надрукована у 1960 р. обмеженим тиражем пiд грифом «секретно», а у 1968 р. вийшла у свiт вiдкритим друком пiд змiненою назвою «Инерциальное управле- ние баллистическими ракетами. Некоторые теоретические вопросы» [1] . При побудовi теорiї iнерцiйного управлiння польотом ракети О. Ю. Iшлiнський вважав, що на борту ракети можлива стабiлiзацiя (зокре- ма, гiроскопiчна) напрямiв осей чутливостi вимiрювачiв «уявних» прискорень, тобто ньютонометрiв або приладiв, що безпосередньо ви- мiрюють iнтеграл за часом вiд бiжучих значень «уявного» прискоре- ння. Пiд «уявним» прискоренням тут мається на увазi рiзниця мiж дiйсним прискоренням ракети i гравiтацiйним прискоренням. Схема роботи найпростiшого ньютонометра (його, на думку О. Ю. Iшлiн- ського, не цiлком правильно називають iнодi акселерометром) пока- зана на рис. 1. Чутливим елементом являється кулька з масою 𝑚, яка практично без тертя перемiщується всерединi цилiндричної по- рожнини корпуса приладу. Корпус зв’язаний з кулькою пружиною з заданою жорсткiстю 𝑐. Величина 𝛿 перемiщення кульки вздовж осi чутливостi 𝜐 виявляється пропорцiйною до проекцiї «уявного» прискорення на цю вiсь 𝑎𝑣. Iснує багато рiзноманiтних конструкцiй ньютонометрiв (акселерометрiв). Деякi з них вимiрюють не саме уявне прискорення 𝑎𝑣, а його iнтеграл за часом –– уявну швидкiсть 𝑉𝑣 = 𝑡∫︀ 0 𝑎𝑣𝑑𝑡. До числа таких приладiв можна вiднести гiроскопiчний iнтегратор уявних прискорень (рис. 2). Якщо його корпус розташувати на ста- бiлiзованiй платформi, то кутова швидкiсть прецесiї гiроскопа 𝑑𝛼/𝑑𝑡 буде пропорцiйною до проекцiї 𝑎𝑣 на вiсь зовнiшнього кiльця карда- нового пiдвiсу уявного прискорення центра мас неврiвноваженої си- стеми «кожух – ротор» гiроскопа. При цьому сам кут 𝛼 виявляється пропорцiйним iнтегралу вiд згаданої проекцiї. Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 319 Рис 1. Схема роботи найпростi- шого ньютонометра. Рис 2. Гiроскопiчний iнтегра- тор уявних прискорень. Приймалося, що досягання ракетою заданої дальностi польоту за- безпечується своєчасним виключанням її двигуна за сигналом, що надходить вiд рахунково-вирiшального пристрою. На вхiд останньо- го якраз i подаються бiжучi показання чутливих елементiв системи iнерцiального управлiння, що вимiрюють «уявне» прискорення раке- ти або iнтеграли за часом вiд «уявного» прискорення. Управлiння польотом має бути таким, щоб вiдхилення фактичного руху раке- ти вiд розрахункового не впливало б на дальнiсть її польоту. Слiд зауважити, що пiд термiном «рух ракети» мається на увазi рух ма- терiальної точки, з якою в кожний момент часу спiвпадає центр мас ракети. О. Ю. Iшлiнський звернув увагу на одну важливу обставину, а саме: незалежно вiд способу управлiння при його проектуваннi слiд виходити з того, що в одну i ту ж саму цiль — кiнець пасивної дi- лянки — балiстична ракета може попасти, рухаючись не обов’язково по програмнiй траєкторiї, а по нескiнченнiй множинi сусiднiх трає- кторiй. А тому для точного попадання ракети у цiль зовсiм не треба, щоб у момент закiнчення активної дiлянки польоту ракети її коор- динати i складовi швидкостi у деякiй системi координат точно спiв- падали з розрахунковими, передбаченими програмою. Достатньо пе- 320 Луковський I. О., Стороженко В. О. рервати активну дiлянку польоту ракети саме у ту мить, коли су- купнiсть вiдхилень її бiжучих координат i проекцiй швидкостi вiд вiдповiдних розрахункових значень забезпечить подальший рух по однiй з траєкторiй, що приводить до мети. Визначення спiввiдно- шень, яких повиннi задовольняти щойно згадуванi вiдхилення, i було головною задачею побудови теорiї iнерцiального управлiння польо- том балiстичних ракет. Iншими словами, задача полягала у пошуку досить простої функцiї параметрiв, що вимiрюються на борту ракети за допомогою iнерцiальних чутливих елементiв. Ця функцiя називає- ться балiстичною i будується на борту ракети за допомогою лiчильно- розв’язувального пристрою, на який подаються бiжучi покази iнте- граторiв прискорень. Величина її повинна бути безпосередньо пов’я- заною з похибкою у дальностi польоту ракети, яка б виникла у разi, якщо б вимикання двигуна сталося у цю мить. Система iнерцiально- го управлiння у свою чергу повинна видавати сигнал на припинення роботи двигуна у мить, коли балiстична функцiя досягне значення, вiдповiдного до перетворення у нуль тiльки що згаданої похибки у дальностi. О. Ю. Iшлiнський проаналiзував задачу про iнерцiальне управлi- ння балiстичними ракетами у спрощенiй постановцi, коли Земля вва- жалася плоскою i такою, що не обертається, не враховувався також вплив атмосфери, а сила тяжiння вважалася постiйною за величиною i напрямом. При таких спрощеннях рух ракети на пасивнiй дiлянцi польоту повнiстю описується вiдомими рiвняннями теоретичної ме- ханiки про рух матерiальної точки у пустотi в однорiдному полi си- ли тяжiння. Цi рiвняння можуть бути розв’язанi у квадратурах, що спрощує розв’язок задачi управлiння рухом ракети. Було встановле- но, яке спiввiдношення повиннi задовольняти малi змiни параметрiв кiнця активної дiлянки, тобто координат ракети i проекцiй її швид- костi, в момент вимкнення двигуна, щоб ракета попала у задану цiль з похибкою не бiльше другого порядку малостi. Це спiввiдношення являється основою для створення деякої змiнної величини, названої балiстичною функцiєю. Значення цiєї функцiї у будь-який фiксова- ний момент часу являє собою наближений вираз для похибки у даль- ностi польоту ракети, яка буде мати мiсце, якщо її двигун вимкнути саме у цей момент. Очевидно, що для попадання ракети у цiль двигун треба вимкнути у момент проходження бiжучих значень цiєї функцiї через нуль. Використовуючи як базову так звану стартову систему координат, Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 321 незмiнно зв’язану з нерухомою Землею, О.Ю. Iшлiнський показав, що у даному спрощеному варiантi руху ракети балiстичну функцiю можна побудувати на борту ракети, використовуючи єдиний iнтегра- тор прискорення з наступним iнтегруванням його показань за допо- могою лiчильно-розв’язувального пристрою. Було також показано, що дальнiсть польоту ракети змiниться на величину другого поряд- ку малостi, якщо вектор її фактичної швидкостi виявиться рiвним розрахунковому, а положення самої ракети дещо змiститься у певно- му напрямку або, навпаки, при незмiнному положеннi ракети рiзниця мiж дiйсним i уявним векторами її швидкостi виявиться направленою певним чином. У даному випадку згаданi напрями спiвпадають один з одним i паралельнi вектору швидкостi ракети у момент попадання її у цiль. У бiльш загальному випадку, якщо враховується криволiнiй- нiсть форми Землi, вплив атмосфери i неоднорiднiсть поля тяжiння, такi напрямки теж iснують, але вони не паралельнi. Для загального випадку польоту ракети без попереднiх спрощень неможливо виразити величину дальностi польоту ракети у виглядi формули, яка б мiстила у собi параметри кiнця активної дiлянки у стартовiй системi координат. До того ж iнерцiальне управлiння вима- гає неперервного визначення за допомогою лiчильно-розв’язувальних пристроїв бiжучих координат ракети i проекцiй її швидкостi за пока- зами ньютонометрiв або iнтеграторiв «уявних» прискорень. Стартова система виявилась мало придатною для цiєї мети через необхiднiсть враховувати переноснi прискорення i прискорення Корiолiса. Тому в цьому випадку задачу про автономне управлiння рухом ракети до- цiльнiше розглядати у нерухомiй системi координат 𝜉𝜂𝜁 з початком у центрi Землi. Вважалося, що осi чутливостi двох розташованих на борту ракети ньютонометрiв направленi паралельно до нерухомих осей 𝜉, 𝜂 i вимiрюють вiдповiднi проекцiї уявного прискорення 𝑎𝜉(𝑡), 𝑎𝜂(𝑡). Виявилось, що i у цьому випадку з точнiстю до малих величин другого порядку малостi вiдносно рiзниць мiж бiжучими параметра- ми руху i їх розрахунковими значеннями у кiнцi активної дiлянки вдалось визначити похибку в дальностi, яка б мала мiсце при ви- мкненнi двигуна у поточний момент часу. Вираз для такої умовної похибки у дальностi i було прийнято за балiстичну функцiю. При цьому балiстичне рiвняння було приведене О. Ю. Iшлiнським до на- 322 Луковський I. О., Стороженко В. О. ступного вигляду:[︂ 𝑆𝜉(𝑡)− 𝑆* 𝜉 (𝑡) ]︂ 𝜕𝑙 𝜕𝜉 + [︂ 𝑆𝜂(𝑡)− 𝑆* 𝜂(𝑡) ]︂ 𝜕𝑙 𝜕𝜂 + 𝑉𝜉(𝑡) 𝜕𝑙 𝜕𝑢𝜉 + +𝑉𝜂(𝑡) 𝜕𝑙 𝜕𝑢𝜂 = 𝑉 * 𝜉 (︀ 𝜎)︀ 𝜕𝑙 𝜕𝑢𝜉 + 𝑉 𝜂 (𝜎 ) 𝜕𝑙 𝜕𝑢𝜂 , (1.1) де 𝑆𝜉(𝑡), 𝑆𝜂(𝑡) i 𝑉𝜉(𝑡), 𝑉𝜂(𝑡) — проекцiї вiдповiдно «уявних» шляху i швидкостi ракети, якi визначаються за допомогою iнтегрування «уяв- ного» прискорення 𝑎𝜉(𝑡), 𝑎𝜂(𝑡) 𝑉𝜉(𝑡) = 𝑡∫︀ 0 𝑎𝜉(𝑡)𝑑𝑡; 𝑆𝜉(𝑡) = 𝑡∫︀ 0 𝑉𝜉(𝑡)𝑑𝑡, 𝑉𝜂(𝑡) = 𝑡∫︀ 0 𝑎𝜂(𝑡)𝑑𝑡; 𝑆𝜂(𝑡) = 𝑡∫︀ 0 𝑉𝜂(𝑡)𝑑𝑡. (1.2) 𝑆 𝜉 (𝑡), 𝑆 * 𝜂(𝑡) i 𝑉 * 𝜉 (𝑡), 𝑉 * 𝜂 (𝑡) — розрахунковi значення вiдповiдних пара- метрiв, 𝜎* — розрахункова тривалiсть польоту в часi; частиннi похi- днi 𝜕𝑙 𝜕𝜉 , 𝜕𝑙 𝜕𝜂 , 𝜕𝑙 𝜕𝑢𝜉 , 𝜕𝑙 𝜕𝑢𝜂 , якi називаються балiстичними коефiцiєнтами, слiд брати при значеннях своїх аргументiв, вiдповiдно рiвних 𝜉, 𝜂 i, отже, для заданого польоту вони являються постiйними величинами. Для побудови лiвої частини основного балiстичного рiвняння не- обхiдна наявнiсть на борту ракети двох iнтеграторiв прискорень, осi яких протягом всiєї активної дiлянки польоту повиннi зберiгати на- прями, паралельнi вiдповiдним осям вiдповiдно рiвних 𝜉 i 𝜂. Крiм того, необхiдний лiчильно-розв’язувальний пристрiй, який має два додаткових елементи для iнтегрування у часi бiжучих показань са- мих iнтеграторiв прискорень i спецiальний елемент для вiдтворення розрахункових бiжучих значень проекцiй «уявного» шляху. Як показав далi О.Ю. Iшлiнський, можна спростити лiчильно- розв’язувальний пристрiй, виконуючи замiсть двох послiдовних опе- рацiй iнтегрування всього одну, якщо осi чутливостi iнтеграторiв при- скорень розмiстити паралельно до деяких незмiнних у кожному кон- кретному випадку польоту ракети напрямiв (так званих 𝜆- i 𝜇-напря- мiв). У тому, що кути 𝜆 i 𝜇 постiйнi, можна переконатися iз рис. 3 i 4, враховуючи зроблене вище зауваження про постiйнiсть частинних похiдних для кожного конкретного випадку. Балiстичне рiвняння у цьому випадку приводиться до вигляду 𝑉𝜆(𝑡) + 𝑝[𝑆𝜇(𝑡)− 𝑆* 𝜇(𝑡)] = 𝑉 * 𝜆 (𝜎 ). (1.3) Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 323 Рис 3. Побудова 𝜆-напрямку осi чутливостi iнтеграторiв уявного прискорення. Рис 4. Побудова 𝜇-напрямку осi чутливостi одного iнтегратора уявного прискорення. Для побудови на борту ракети лiвої частини цього балiстичного рiв- няння необхiдне додаткове iнтегрування тiльки одного iнтегратора прискорень з вiссю чутливостi, орiєнтованою вздовж 𝜇 напрямку. Також О. Ю. Iшлiнським було виявлено можливiсть наближено розв’язати задачу побудови балiстичного рiвняння i при допомозi одного вимiрювача прискорень, але при цьому потрiбно мiняти орiєн- тацiї його осi за заздалегiдь заданим законом. У лiчильно-розв’язува- льному пристрої у цьому випадку повинно бути передбаченим iнте- грування поточних показань цього вимiрювача, попередньо помно- жених на коефiцiєнт, який також змiнюється з часом. Якщо ж вва- жати вiдхилення сили тяги двигуна вiд поздовжньої осi ракети не- значним, то для розв’язку задачi про управлiння дальнiстю можна використати поточнi показання iнтегратора, корпус якого закрiпле- ний безпосередньо на борту ракети, а вiсь чутливостi паралельна до її поздовжньої осi (так званий поздовжнiй iнтегратор). При розв’язуваннi питань, пов’язаних з керуванням бiчним рухом ракети, О. Ю. Iшлiнський виходив з того, що тривалiсть активної дi- лянки руху при польотi на одну i ту ж дальнiсть залежить для ракет однiєї i тої ж конструкцiї вiд ряду випадкових обставин, а, значить, сама є випадковою величиною, математичне сподiвання якої близьке до величини тривалостi активної дiлянки розрахункового руху. Тому достатньо, щоб регулювання бiчним рухом ракети було особливо то- чним тiльки протягом вiдрiзка часу, в якому може статися вимкнення двигуна. Було показано, що у першому наближеннi бiчне вiдхилен- ня ракети виявляється рiвним проекцiї її уявного шляху на нормаль 324 Луковський I. О., Стороженко В. О. до програмної площини польоту, а значення швидкостi цього вiдхи- лення — вiдповiдне проекцiї на ту ж нормаль уявної швидкостi. Це дало можливiсть побудувати так звану функцiю бiчного вiдхилення, використовуючи тi ж iнтегратори прискорень i елементи повторного iнтегрування, що й при розв’язку задачi про iнерцiальне управлiння дальнiстю польоту. Запропонованi i обґрунтованi О. Ю. Iшлiнським методи iнерцiаль- ного наведення балiстичних ракет були використанi при створеннi комплексiв командних приладiв ракет Р-1, Р-2, Р-5, Р-7 та iн. 2. Розвиток теорiї iнерцiальної навiгацiї в Iнститутi мате- матики. Пiслявоєннi 50-тi, 60-тi роки минулого столiття були роками бурхливого розвитку як молодої тодi ракетно-космiчної галузi, так i традицiйних галузей народного господарства, якими були лiтакобу- дування i суднобудування. Це спонукало учених i розробникiв до не- обхiдностi докорiнного i термiнового вдосконалення засобiв навiгацiї i управлiння рухомими об’єктами. Поряд з розвитком iнших принципiв навiгацiї особливо iнтенсивно у цей час проводились роботи по ство- ренню iнерцiальних систем навiгацiї, в яких мiсцезнаходження рухо- мого об’єкта визначається з допомогою iнтегрування прискорень, що вимiрюються на його борту. Проте, незважаючи на удавану зовнiшню простоту теорiї iнерцiальної навiгацiї, процес розвитку цiєї теорiї ви- явився досить складним. Тривалий час серед спецiалiстiв побутувала думка, що точний розв’язок задачi про автономне визначення коор- динат рухомого об’єкта за допомогою системи iнерцiальної навiгацiї взагалi неможливий через так званий «сферичний тупик», виклика- ний наявнiстю переносних та корiолiсiвських прискорень, коли об’єкт перемiщується, зокрема, по поверхнi земної сфери чи навколоземною орбiтою. Iз цього робили висновок, що крiм iнструментальних по- хибок, викликаних неiдеальною роботою гiроскопiв, ньютонометрiв, iнтегруючих пристроїв, будуть виникати ще i методичнi похибки, що викликанi самою принциповою схемою системи i не можуть бути усу- нутi нiякими конструктивними удосконаленнями. При цьому розра- хунки показували, що цi методичнi похибки можуть досягати досить значних величин. Помiтною вiхою на шляху розвитку загальної теорiї iнерцiальної навiгацiї та її застосувань, зокрема у ракетно-космiчнiй галузi, стало опублiкування виконаної у стiнах Iнституту математики АН УРСР роботи О. Ю. Iшлiнського «Об уравнениях задачи определения ме- стоположения движущегося объекта посредством гироскопов и изме- Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 325 рителей ускорений» [2], в якiй уперше доведена можливiсть строгого розв’язку основної задачi автономного визначення мiсцезнаходжен- ня рухомого об’єкта за допомогою гiроскопiв, ньютонометрiв та iнте- груючих пристроїв. Якраз з виходом цiєї роботи i розвiявся мiф про неможливiсть точного розв’язку задач визначення мiсцезнаходження рухомого об’єкта за допомогою систем iнерцiальної навiгацiї. У своїй роботi О. Ю. Iшлiнський розглянув одну з найпростiших схем iнерцiальної навiгацiї (рис. 5), яка може бути використана при навiгацiї морських суден, лiтакiв або штучних супутникiв, що ру- хаються по навколоземних орбiтах. До складу системи входять два високоточних гiроскопи 𝐼 i 𝐼𝐼. Вiсь зовнiшнього кiльця гiроскопа 𝐼 паралельна до стабiлiзованої платформи, розташованої на рухомо- му об’єктi, а вiсь зовнiшнього кiльця гiроскопа 𝐼𝐼 перпендикулярна до цiєї платформи. Спецiальна вiдслiдковуюча система безперервно приводить платформу в положення, в якому вона, у свою чергу, пер- пендикулярна вектору власного кiнетичного моменту 𝐻 ′ гiроскопа 𝐼. Коригуючий момент 𝐾, який прикладений до осi зовнiшнього кiльця гiроскопа 𝐼𝐼, змушує власний кiнетичний момент 𝐻 ′′ цього гiроскопа постiйно бути паралельним до площини платформи. Крiм гiроскопiв, на стабiлiзованiй платформi розташованi два одно- вiсних ньютонометри, осi чутливостi яких 𝑥 i 𝑦 взаємно перпендику- лярнi i лежать у площинi платформи. Проекцiї абсолютної кутової швидкостi платформи на осi зв’язаної з нею системи координат 𝑥𝑦𝑧 будуть наступними: 𝜔𝑥 = −𝑀2 𝐻 ′ , 𝜔𝑦 = −𝑀1 𝐻 ′ , 𝜔𝑧 = − 𝐿 𝐻 ′′ , (2.1) де 𝑀1, 𝑀2 i 𝐿 — величини моментiв, прикладених до осей пiдвiсiв гiроскопiв. Було показано, що для незбуреностi горизонтованої у початковий момент часу платформи щойно згаданi моменти необхiдно формува- ти згiдно з формулами 𝑀1 = 𝐻 ′ 𝑅 ⎛⎝ 𝑡∫︁ 0 𝑎𝑥𝑑𝑡+ 𝜈𝑥(0) ⎞⎠ , 𝑀2 = −𝐻 ′ 𝑅 ⎛⎝ 𝑡∫︁ 0 𝑎𝑦𝑑𝑡+ 𝜈𝑦(0) ⎞⎠ , 𝐿 = 0, (2.2) де, як i вище, 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 — показання ньютонометрiв, 𝑅 — радiус Зем- лi, 𝜈𝑥(0), 𝜈𝑦(0) — початковi значення абсолютної лiнiйної швидкостi об’єкта на вiдповiднiй осi. 326 Луковський I. О., Стороженко В. О. Рис 5. Схема iнерцiальної навiгацiї. I,II — гiроскопи з власними кiнети- чними моментами вiдповiдно 𝐻 ′ i 𝐻 ′′; 𝑀1, 𝑀2, 𝐿 — коригуючi моменти; 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 — покази ньютонометрiв. Третя iз наведених рiвностей означає, що протягом усього руху проекцiя абсолютної кутової швидкостi платформи на вiсь 𝑧 повинна бути рiвна нулевi, тобто платформа повинна бути вiльною в азимутi. При вiдомих початкових значеннях широта 𝜙, довгота 𝜆 об’єкта i кут 𝜒 мiж вiссю 𝑥 платформи i дотичною до паралелi можуть бути визначенi iз системи диференцiальних рiвнянь 𝑑𝜙 𝑑𝑡 = −𝜔𝑥(𝑡) cos𝜒+ 𝜔𝑦(𝑡) sin𝜒, 𝑑𝜆 𝑑𝑡 = −𝑈 + 𝜔𝑥(𝑡) sin𝜒+ 𝜔𝑦(𝑡) cos𝜒 cos𝜙 , 𝑑𝜒 𝑑𝑡 = −𝜔𝑧(𝑡)− [𝜔𝑥(𝑡) sin𝜒+ 𝜔𝑦(𝑡) cos𝜒] 𝑡𝑔𝜙. (2.3) Цю систему рiвнянь О. Ю. Iшлiнський назвав вихiдними рiвнян- нями основної задачi iнерцiальної навiгацiї. Їх треба розглядати як сукупнiсть трьох нелiнiйних диференцiальних рiвнянь вiдносно трьох Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 327 невiдомих функцiй часу 𝜙 = 𝜙(𝑡), 𝜆 = 𝜆(𝑡), 𝜒 = 𝜒(𝑡) при заданих фун- кцiях 𝜔𝑥(𝑡), 𝜔𝑦(𝑡), 𝜔𝑧(𝑡). Поряд з проблемою «методичних помилок», яку було успiшно ви- рiшено за допомогою праць О.Ю. Iшлiнського i iнших дослiдникiв, перед розробниками ракетно-космiчної технiки постала не менш го- стра проблема iнструментальних похибок iнерцiальних систем навi- гацiї. Останнi виникають через недосконалiсть окремих елементiв i вузлiв системи: гiроскопiв, ньютонометрiв, iнтеграторiв, рахунково- обчислювальних пристроїв та iн. i обумовленi конструктивними не- долiками цих елементiв, вiдхиленнями їх статичних i динамiчних ха- рактеристик вiд номiнальних значень i т. д. I саме на зниження iн- струментальних похибок окремих елементiв i вдосконалення тактико- технiчних характеристик систем управлiння у цiлому була спрямова- на робота ракетно-космiчного комплексу в даний перiод. При цьому роботи iнженерно-конструкторських колективiв велись у тiснiй спiв- працi з ученими академiчних iнститутiв. Про характерний епiзод такої спiвпрацi згадує академiк РАН Б. Є. Черток, який на той час був керiвником вiддiлу систем управлiння НДI-88, Особливого конструкторського бюро № 1 (ОКБ-1), головним конструктором якого був С. П. Корольов: «Кроме ориентации двух осей по углам тангажа и крена, которые обеспечивались ионной си- стемой ориентации спутников по инфракрасной вертикали, требова- лось остановить свободное вращение спутника вокруг вертикальной оси, направленной на Землю, то есть научиться ориентировать его относительно плоскости курса, как мы говорили по ракетному, по углу рыскания. Для этой цели Токарь1 предложил гироскопический ориентирующий прибор, позднее названный "гироорбитант". Он при- менялся практически на всех отечественных автоматических и пило- тируемых космических кораблях, нуждавшихся в орбитальной ори- ентации. Теория гироорбитанта явилась основой кандидатской дис- сертации Токаря, которую он защитил в 1959 году. Изготовить ги- роорбитант своими силами мы не могли. Требовалось высокоточное специализированное производство. Естественно, что обратились к то- гдашнему монополисту в ракетной гироскопии — Виктору Кузнецо- ву2. Первая реакция была резко отрицательной. Кузнецов не поже- 1Є.М. Токар — один з учасникiв групи Раушенбаха, яка була створена в НДI для розробки систем стабiлiзацiї i орiєнтацiї ШСЗ (штучних супутникiв Землi). 2В. I. Кузнєцов — головний конструктор НДI гiроскопiчної стабiлiзацiї (НДI- 944, пiзнiше НДI прикладної механiки). 328 Луковський I. О., Стороженко В. О. лал изготавливать у себя прибор, идея которого родилась где-то на стороне. Кроме того, Кузнецов усомнился в самой идее гироорби- танта, который представлял собой, как он мне высказал, "принцип морского гирокомпаса, испорченный для космоса". Но отмахнуться от нас в те времена Кузнецов не мог. Это грозило серьезным объя- снением с Королевым, а тот, чего доброго, мог сказать: "Ну, Витя, если ты отказываешься мне помочь, я поищу других". "Витя" попро- сил Александра Ишлинского провести подробную проверку теории в математическом Институте в Киеве, директором которого тот был избран еще в 1948 году. Независимую экспериментальную провер- ку принципа по поручению Кузнецова произвел один из его веду- щих специалистов Оскар Райхман. Не будучи великим теоретиком, но являясь хорошим организатором и гироскопистом-практиком, тот быстро соорудил стенд, на котором подтвердил работоспособность прибора. Великая заслуга Ишлинского и Райхмана состояла в том, что они независимо друг от друга убедили Кузнецова. Он поверил и дал зеленый свет изготовлению первой серии. Приборы Кузнецова под индексом КИ-008, КИ-009 и т. д. были установлены на первые космические корабли: "Востоки "Зениты последующие разведчики, челомеевские "Алмазы"» [3]. Саме багатолiтнi творчi зв’язки О. Ю. Iшлiнського з провiдними органiзацiями ракетно-космiчного комплексу та суднобудiвної проми- словостi визначили в основному тематику створеного ним в Iнститутi математики НАНУ вiддiлу загальної механiки. Основу цього вiддiлу склали випускники механiко-математичного факультету Київського унiверситету М. Є. Темченко, В. М. Калинович, О. П. Бойчук. Зго- дом до них приєдналися В. О. Стороженко, В. П. Василенко, С. М. Онищенко. При вiддiлi була створена експериментальна лабораторiя, якою керував В. Г. Нiкiташенко. О. Ю. Iшлiнський продовжував керувати вiддiлом на громадських засадах i пiсля вiд’їзду до Москви у 1955 роцi. У 1963 роцi переїхав з Москви до Києва та став працювати в Iнститутi математики знаний спецiалiст у галузi теорiї гiроскопiчних систем В. М. Кошляков, у 1965 роцi саме вiн очолив вiддiл, який почав називатися вiддiлом механiки та процесiв керування. Учнями i послiдовниками О.Ю. Iшлiнського в Iнститутi матема- тики НАНУ були проведенi численнi дослiдження, присвяченi рiзним аспектам теорiї гiроскопiчних приладiв i систем iнерцiальної навiга- цiї. Як правило, цi дослiдження проводилися у тiсному творчому кон- Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 329 тактi з ученими i розробниками провiдних конструкторських органi- зацiй, а саме виникнення цих дослiджень було продиктоване нагаль- ними потребами цих органiзацiй. Прикладом може бути багаторiчне спiвробiтництво Iнституту математики з провiдним пiдприємством морського приладобудування Ленiнградським ЦНДI «Электропри- бор» (до 1966 р. — НИИ-303). У вiдрядженнях на цьому пiдприєм- ствi разом iз спiвробiтниками Iнституту математики активну участь приймав i О.Ю. Iшлiнський. В обговореннях тематики спiвпрацi бра- ли участь такi вiдомi ученi-конструктори, як С.Ф. Фармаковський, який обiймав посаду заступника директора по науковiй частинi ЦН- ДI «Электроприбор», академiк РАН В.Г. Пешехонов — нинiшнiй ди- ректор пiдприємства та вiдомий учений в галузi гiроскопiчних систем С.С. Ривкiн. Вироблялися технiчнi завдання, результати виконання яких вiдображались у чисельних науково-технiчних звiтах Iнституту математики, що мiстили не лише конкретнi практичнi рекомендацiї, але нерiдко могли представляти i загальнотеоретичний iнтерес. Зокрема, О. П. Бойчук розробив метод еквiвалентних скiнчених поворотiв, який базується на класичних результатах теорiї скiнче- них поворотiв. Цей метод дозволяє одержати точний розвиток де- яких нелiнiйних задач автономного визначення i стабiлiзацiї. Ним же дослiджено помилки i стiйкiсть роботи iнерцiальної системи з враху- ванням похибок ньютонометрiв, викликаних наявнiстю сухого тертя. У подальших його роботах запропонований загальний пiдхiд до про- блеми незбурюваностi гiромаятникових платформ; побудований клас iнерцiальних систем, що використовують незбурюванi гiромаятнико- вi i гiроакселерометричнi платформи; вирiшено ряд задач оптималь- ного демпфування iнерцiальних систем; з використанням процедур Калмана i Вiнера-Хопфа знайденi закони оптимального управлiння у задачах демпфування коливань iнерцiальної системи за наявностi «бiлого шуму» в самiй системi i у вимiрювачах [4–6]. В. М. Калинович представив ряд модифiкацiй запропонованої О. Ю. Iшлiнським iнерцiальної системи, побудованої на основi гiро- горизонткомпаса. У цiй системi координати рухомого об’єкта широта 𝜙, довгота 𝜆 i кут 𝜗, що характеризує орiєнтацiю чутливого елемента компаса у географiчнiй системi координат, визначаються з наступної системи рiвнянь: 𝑑𝜙 𝑑𝑡 = 𝜈(𝑡) 𝑅 sin𝜗, 𝑑𝜆 𝑑𝑡 = −𝑈 + 𝜈(𝑡) cos𝜗 𝑅 cos𝜙 , 𝑑𝜗 𝑑𝑡 = −𝜈(𝑡) 𝑅 cos𝜗𝑡𝑔𝜙+ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 , (2.4) 330 Луковський I. О., Стороженко В. О. де 𝜈(𝑡) — бiжуче значення абсолютної швидкостi об’єкта, що визна- чається з рiвностi 𝑚𝑙𝜈 = 2𝐵 cos𝜎; 2𝜎 — кут розведення гiроскопiв компаса, 𝐵 — кiнетичний момент кожного з гiроскопiв, 𝜗 — бiжуче значення кута мiж вiссю 𝑥, зв’язаною з чутливим елементом гiро- горизонткомпаса та нормаллю до площини зовнiшнього кiльця гi- роскопа напрямку. Для цього рiзновиду системи iнерцiальної навi- гацiї В. М. Калиновичем розглянуто вплив сухого (кулонового) тер- тя у пiдшипниках осей кожухiв гiроскопiв гiрогоризонткомпаса на точнiсть автономного визначення координат мiсцеположення об’єкта [7,8]. В. М. Кошляков першим звернув увагу на зручнiсть застосування до розв’язку рiвнянь основної задачi iнерцiальної навiгацiї (2.3) па- раметрiв Родрiга–Гамiльтона [9]. Дiйсно, покладаючи 𝜓 = 𝑈𝑡+𝜆+ 𝜋 2 i 𝜃 = 𝜋 2 − 𝜙 та здiйснюючи у цих рiвняннях замiну змiнних 𝑟0 = cos 𝜃 2 cos 𝜓 + 𝜒 2 ; 𝑟2 = sin 𝜃 2 cos 𝜓 − 𝜒 2 ; 𝑟1 = sin 𝜃 2 sin 𝜓 − 𝜒 2 ; 𝑟3 = cos 𝜃 2 sin 𝜓 + 𝜒 2 , (𝑟21 + 𝑟22 + 𝑟23 + 𝑟20 ≡ 1) (2.5) прийдемо до системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь 𝑑𝑟1 𝑑𝑡 = 1 2 (︀ 𝜔𝑥𝑟2 − 𝜔𝑦𝑟3 + 𝜔𝑧𝑟0 )︀ ; 𝑑𝑟2 𝑑𝑡 = 1 2 (︀ 𝜔𝑧𝑟0 − 𝜔𝑥𝑟2 + 𝜔𝑦𝑟1 )︀ ; 𝑑𝑟3 𝑑𝑡 = 1 2 (︀ 𝜔𝑦𝑟0 − 𝜔𝑧𝑟1 + 𝜔𝑥𝑟2 )︀ ; 𝑑𝑟0 𝑑𝑡 = 1 2 (︀ − 𝜔𝑥𝑟1 − 𝜔𝑦𝑟2 − 𝜔𝑧𝑟2 )︀ . (2.6) У роботах В. О. Стороженка i М.Є. Темченко [10-11] аналiзую- ться переваги системи рiвнянь основної задачi iнерцiальної навiга- цiї у параметрах Родрiга–Гамiльтона (2.6) перед системою в геогра- фiчних координатах (2.3). Лiнiйна структура системи (2.6), що, на вiдмiну вiд системи вихiдних рiвнянь основної задачi iнерцiальної навiгацiї (2.3), не мiстить особливостей на полюсах 𝜙 = ±𝜋 2 i три- гонометричних функцiй, значно спрощує її аналiтичне дослiдження i чисельне iнтегрування. Тим не менше при навiгацiї поблизу по- люсiв Землi (︀ 𝜙 = ±𝜋 2 ; 𝜃 = 0, 𝜋 )︀ параметри 𝑟1, 𝑟2 набувають ма- лих значень, а тому при обчисленнi 𝜆 i кута 𝜒 доводиться оперу- Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 331 вати дуже малими величинами, i найменша помилка у визначеннi цих параметрiв приводить до великих похибок у визначеннi вели- чин 𝜆 i 𝜒. Щоб цього уникнути, було запропоновано видозмiнену схе- му лiчильно-розв’язувального пристрою з використанням параметрiв Кейлi-Клейна i замiсть географiчної введено нову координатну систе- му, яка являється стереографiчним вiдображенням Декартової си- стеми координат на сферу. Щойно згаданi параметри Кейлi–Клейна являють собою комплексно значнi комбiнацiї параметрiв Родрiга– Гамiльтона 𝜇1 = 𝑟1 + 𝑖𝑟2; 𝜇2 = 𝑟0 + 𝑖𝑟3 (︀ \|𝜇1\|2 + \|𝜇2\|2 ≡ 1 )︀ . При цьому значення параметрiв Кейлi–Клейна визначаються шля- хом розв’язання системи рiвнянь 𝑑𝜇1 𝑑𝑡 = −1 2 (︀ 𝑖𝜔𝑧𝜇1 − (︀ 𝜔𝑥 + 𝑖𝜔𝑦 )︀ 𝜇2 )︀ , 𝑑𝜇2 𝑑𝑡 = 1 2 (︀ 𝑖𝜔𝑧𝜇2 + (︀ 𝜔𝑥 − 𝑖𝜔𝑦 )︀ 𝜇1 )︀ . (2.7) Знайденi таким чином параметри Кейлi–Клейна можуть бути ви- користанi для знаходження мiсцеположення об’єкта у стереографi- чнiй системi координат, яка будується наступним чином. Проведемо площину 𝑧, дотичну до Земної сфери у точцi 𝐶, що вiдповiдає Пiв- нiчному полюсу Землi (рис. 6). У цiй площинi введемо систему коор- динат 𝑥1, 𝑦1 так, щоб осi цiєї системи були паралельнi вiдповiдним осям 𝜉, 𝜂. Далi точки площини 𝑧 стереографiчно спроектуємо на сфе- ру, взявши за полюс точку 𝐏, вiдповiдну Пiвденному полюсу земної сфери. Шляхом такого проектування будь-яка пряма на площинi пе- реходить у вiдповiдне коло на сферi. Координатна сiтка системи 𝑥1, 𝑦1 переходить у сiмейство кiл, що перетинаються пiд прямим кутом i утворюють сiтку криволiнiйних координат на земнiй сферi. Згiдно з наведеною побудовою, точцi площини 𝑀 земної сфери, в якiй у даний момент знаходиться геометричний центр об’єкта, вiдпо- вiдає певна точка 𝑀 ′ площини 𝑧, а тому положення центру об’єкта можна задати комплексним числом 𝑧, дiйсна i уявна частини якого є вiдповiдно координатами 𝑥1 i 𝑦1 точки 𝑀 ′. При цьому виявилося, що при вiдомих у даний момент часу значеннях параметрiв Кейлi– Клейна комплексна координат 𝑧* визначається за формулою 𝑧* = −2𝑅 𝜇1 𝜇̄2 exp [︀(︀𝜋 2 − 𝑈𝑡 )︀ 𝑖 ]︀ . (2.8) Отже, для автономного визначення координат рухомого об’єкта у запропонованiй системi координат потрiбно побудувати обчислюваль- 332 Луковський I. О., Стороженко В. О. Рис 6. Стереографiчна проекцiя Декартової системи координат на земну сферу. Рис 7. Взаємне розташування в азимутi осей географiчного три- гранника i стереографiчних коор- динатних лiнiй. но-розрахунковий пристрiй, який розв’язував би систему рiвнянь (2.7) i пiдставляв знайденi значення 𝜇1 i 𝜇̄2 у формулу (2.8). Для повного визначення положення об’єкта на земнiй сферi необхiдно, крiм ко- ординат центру об’єкта, знати орiєнтацiю його в азимутi. На рис. 7 показане взаємне розташування осей географiчного тригранника 𝑁 i 𝐸 осей 𝑥1 i 𝑦1, орiєнтованих вздовж дотичних до стереографiчних координат, координат 𝑥 i 𝑦, незмiнно пов’язаних з стабiлiзованою пла- тформою. Кут 𝜒′, що характеризує орiєнтацiю платформи вiдносно напрямкiв координатних лiнiй, визначається за формулою 𝜒′ = 𝑎𝑟𝑔 𝜇2 − 𝑈𝑡. (2.9) Перехiд вiд введеної системи координат 𝑥1, 𝑦1 до географiчної ко- ординатної системи здiйснюється за допомогою таких спiввiдношень: 𝜙 = 𝜋 2 − arctg \|𝑧\| 2𝑅 , 𝜆 = 𝑎𝑟𝑔 𝑧, 𝜒 = 𝑎𝑟𝑔 𝜇2 − 𝑈𝑡− 𝜋 2 − 𝜆. (2.10) У подальших дослiдженнях М.Є. Темченко узагальнила задачу визначення мiсцеположення об’єкта у стереографiчнiй системi коор- динат, врахувавши несферичнiсть Землi i розглянувши випадок руху об’єкта по поверхнi земного елiпсоїда обертання з пiвосями вiдпо- вiдно –– великою 𝑎 та малою 𝑐 [12]. При цьому формула (2.8) для Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 333 визначення комплексної координати 𝑧* набула вигляду 𝑧* = 𝑎 𝑐 𝑧1 [︀ 1 + 𝑒2 2 4𝑐2 − \|𝑧1\|2 4𝑐2 + \|𝑧1\|2 ]︀ ; 𝑧1 = −2𝑐 𝜇1 𝜇̄2 exp [︀(︀𝜋 2 − 𝑈𝑡 )︀ 𝑖 ]︀ , (2.11) де 𝑒 = [(𝑎2 − 𝑐2)/𝑎2]1/2 –– перший ексцентриситет земного елiпсоїду. З погляду на розвиток загальної теорiї iнерцiальної навiгацiї до- речно згадати про дослiдження, якi стосуються стiйкостi розв’язку основної задачi iнерцiальної навiгацiї. Потрiбно вказати на рiзноманi- тнiсть пiдходiв рiзних авторiв до розв’язування цiєї проблеми. Зокре- ма, О. Ю. Iшлiнський привiв геометричний спосiб доведення стiйкостi основної задачi iнерцiальної навiгацiї, що базувався на встановленнi ним факту сталостi кiнцевого повороту, що здiйснює перехiд супро- воджуючого тригранника з незбуреного положення у збурене [13]. В. О. Стороженком у спiвавторствi з О. П. Бойчуком ця задача бу- ла розв’язана аналiтично шляхом побудови функцiї Ляпунова для рiвнянь у варiацiях географiчних координат руху об’єкта [14]. Було знайдено чотири iнтеграли, якi дозволили записати загальний розв’я- зок рiвнянь (2.3) i тим самим пiдтвердити теорему О. Ю. Iшлiнського про сталiсть кiнцевого повороту збурень. Це дало можливiсть завер- шити дослiдження стiйкостi розв’язкiв кiнематичних рiвнянь iнерцi- альної навiгацiї. Проте встановлена стiйкiсть не є асимптотичною, а тому при недотриманнi початкових умов виникають помилки у ви- значеннi координат мiсцеположення об’єкта, характер яких близь- кий до коливань з частотою, яка дорiвнює кутовiй швидкостi добо- вого обертання Землi. Тому при конкретнiй реалiзацiї розрахунково- обчислювального пристрою, що розв’язує систему диференцiальних рiвнянь у тiй чи iншiй формi, простої (не асимптотичної) стiйкостi не досить для ефективної роботи iнерцiальної системи навiгацiї. Необ- хiдно, щоб система була асимптотично стiйкою. Для цього у системi має бути передбачена схема демпфування. В. О. Стороженком була запропонована схема демпфування з використанням зовнiшньої iн- формацiї лише про широту мiсцезнаходження об’єкта 𝜙 [15]. Ця схема може бути застосована для системи iнерцiальної навiгацiї з стабiлi- зованою платформою, яка орiєнтована по дотичних до координатних лiнiй, що являються стереографiчними проекцiями плоских Декар- тових координат на сферу. Запропонований О. Ю. Iшлiнським енергетичний метод дослiдже- ння стiйкостi гiроскопiчних систем був розвинутий В.О. Сторожен- ком [16] на випадок багаточастотних коливань, якi виникають, зокре- 334 Луковський I. О., Стороженко В. О. ма, при роботi платформових систем iнерцiальної навiгацiї. Було вста- новлено цiкавий факт якiсно рiзного впливу дисипативних сил на високочастотнi (нутацiйнi) та низькочастотнi (прецесiйнi) коливання систем iнерцiальної навiгацiї [17], а також проведено ряд дослiджень, що стосуються похибок систем iнерцiальної навiгацiї, викликаних ви- падковими збуреннями показань ньютонометрiв i випадковими збу- рюючими моментами. М. Є. Темченко розв’язала задачу про автономне визначення мi- сцезнаходження об’єкта за допомогою системи iнерцiальної навiгацiї, встановленої на об’єктi, що довiльно перемiщається, з врахуванням несферичностi Землi. Вона дослiдила вплив випадкових вiдхилень горизонтуючого гiроскопа на поведiнку системи iнерцiальної навiга- цiї з примусовим обертанням її елементiв; вивчила похибки роботи однокомпонентної системи iнерцiальної навiгацiї в умовах нерегуляр- ної хитавицi об’єкта з врахуванням iнерцiйностi елементiв i в’язкого тертя в осi пiдвiсу платформи. Слiд також вiдзначити виконаний С. М. Онищенком комплекс до- слiджень щодо застосування рiзних кiнематичних параметрiв у рiв- няннях безплатформових iнерцiальних систем [18]. Вiн показав, що використання непозицiйної системи залишкових класiв у навiгацiйно- му комплексi у просторi параметрiв Кейлi–Клейна має певнi переваги при побудовi обчислювальних алгоритмiв. Розвиваючи дослiдження О. Ю. Iшлiнського щодо iнерцiального наведення балiстичних ракет, Д. Г. Коренiвським спiльно з Ю. А. Кар- пачовим (Ю. А. Карпачов — до 1981 р. спiвробiтник СКБ київського заводу автоматики iм. Г. I. Петровського, в 1981–1986 рр. — спiвробi- тник КБ Електробудування м. Харкова, вiдряджений на цей перiод для наукової роботи до Iнституту математики) розроблено новi ра- цiональнi електромеханiчнi способи автономного iнерцiального наве- дення [19]. Зокрема автори ввели до розгляду в вертикальнiй пло- щинi польоту деяку косокутну систему координат iз зростаючим у часi за величиною на промiжку роботи двигуна ракети розхилом ко- ординатних осей 𝛼(𝑡), 𝛽(𝑡). Орiєнтацiя вздовж цих осей вимiрювачiв проекцiй «уявної» швидкостi центру мас ракети дає можливiсть по- будувати на борту ракети основне балiстичне рiвняння у найбiльш простому виглядi —- у виглядi суми вимiрюваних на борту ракети проекцiй «уявної» швидкостi центру мас ракети на цi координатнi осi. Вираз дiстав назву «𝛼, 𝛽» — функцiонал iнерцiального наведен- ня. Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 335 3. Проблеми балансування при конструюваннi космiчних апаратiв. Однiєю з головних вимог до керованих у польотi космi- чних апаратiв при їх конструюваннi є вимога сумiщення головних осей iнерцiї з геометричними осями, вiдносно яких здiйснюється ке- рування рухомим об’єктом. При неспiвпаданнi цих осей може поряд з обертанням навколо головної осi виникнути небажане обертання (прецесiя) самої головної осi навколо вектора кiнетичного моменту. У результатi космiчний апарат фактично не буде стабiлiзованим. Сумiщення головних осей з осями стабiлiзацiї здiйснюють у проце- сi компонувания космiчного апарату, розраховуючи напрями голов- них осей i змiнюючи у разi потреби положення окремих об’єктiв, якi розташованi всерединi апарата. Положення головних осей реально виготовленого виробу може вiд- рiзнятися вiд розрахункових через похибки у визначеннi мас об’єктiв, а також їх просторового розташування. Звiдси виникає завдання екс- периментального визначення положень головних осей iнерцiї космi- чного апарата та, у разi потреби, сумiщення їх з геометричними осями за допомогою встановлення додаткових вантажiв (балансування). У 70-х роках минулого столiття С. В. Малашенко висунув iдею принципово нового технологiчно простого методу динамiчного балан- сування твердих тiл, заснованого на швидкому обертаннi їх на струнi. Цей метод досить близький до вiдомого методу Лаваля самоцентру- вання ротора, центр мас якого через технологiчнi недосконалостi ви- готовлення не спiвпадає з його геометричним центром. Суть методу Лаваля полягає у тому, що при швидкому обертаннi такого ротора його центр мас прямує до осi обертання. Аналогiчно пiдвiшене на струнi тiло при обертаннi з великою кутовою швидкiстю поводить себе таким чином, що одна iз його головних центральних осей iнерцiї прагне до спiвпадання з нерухомою вертикаллю. Робота з обгрунтування цього методу i його експериментальної перевiрки була проведена в Iнститутi математики М. Є. Темченко i В. О. Стороженком за участю спiвробiтника Iнституту механiки НА- НУ П.Г. Шишкiна. Було вивчено рух твердого тiла на струнi у найза- гальнiшiй постановцi: розглядалося тiло довiльної форми, точка крi- плення якого до струни не знаходиться на жоднiй з його головних центральних осей iнерцiї (рис. 8). Рiвняння динамiчної рiвноваги та- кого твердого тiла можна звести до вигляду 𝜈 sin𝛼0 − (sin𝛼0 + 𝑘 sin 𝜃0) cos𝛼0 = 0, 336 Луковський I. О., Стороженко В. О. Рис 8. Стацiонарнi рухи твердого тiла довiльної форми, пiдвiшеного на струнi у будь-якiй точцi своєї поверхнi. 𝑚𝑎𝑙𝜈 sin(𝜃0 − 𝛼0) cos𝛼0 + (𝐴−𝐵) cos(𝑥, 𝜂1) cos(𝑥 , 𝜁1)+ +(𝐶 −𝐵) cos(𝑧, 𝜂1) cos(𝑧 , 𝜁1) = 0, (3.1) (𝐴−𝐵) cos(𝑥, 𝜉1) cos(𝑥 , 𝜁1) + (𝐶 −𝐵) cos(𝑧, 𝜉1) cos(𝑧 , 𝜁1) = 0, де 𝑥, 𝑦, 𝑧* i 𝐴,𝐵,𝐶 — вiдповiдно головнi центральнi осi та головнi центральнi моменти iнерцiї тiла; 𝑚, 𝑎 — його маса та вiдстань мiж центром мас тiла i точкою крiплення його до струни; 𝜈 = 𝑔/𝑙𝜔2; 𝑘 = 𝑎/𝑙 — безрозмiрнi параметри. При зростаннi кутової швидкостi 𝜔 тобто при 𝜈 → 0 рiвняння (3.1) задовольняються, якщо одна з головних центральних осей iнерцiї тiла 𝑥, 𝑦 чи 𝑧* збiгається з вертикаллю струни, i, крiм того, виконується рiвнiсть 𝑙 sin𝛼0 = 𝑎 sin 𝜃0. А ця рiвнiсть, як видно з рис. 8, можлива тiльки у випадку, коли центр мас тiла знаходиться строго на нерухо- мiй вертикалi. Це i є пiдтвердженням iдеї динамiчного балансування твердих тiл на струнному пiдвiсi. У випадку, коли кутова швидкiсть чи 𝜔 скiнченна, але настiльки велика, що у рiвняннях (3.1) члени, до складу яких входить величина 𝜈, мало впливають на характер руху, стацiонарнi рухи тiла близькi до згаданих граничних форм. Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 337 Рис 9. Принципова схема установки для динамiчного балансування ро- тора на струнному пiдвiсi. 1 — тiло, що балансується; 2 — струна; 3 — заспокоювач коливань; 4 — датчик змiщення цапф моделi; 5 — кiльця; 6 — осцилоскоп; 7 — стробоскоп; 8 — оптичний орiєнтир; 9 — балансуючi маси; 11 — електродвигун. Експериментальнi дослiдження по розробцi даного методу дина- мiчного балансування проводились на спецiально сконструйованiй установцi, схематично зображенiй на рис. 9. В експериментах дина- мiчним балансуванням вважався процес спiвпадання iз заданою то- чнiстю осей опорних цапф 5 моделi з її головною центральною вiссю iнерцiї. Якщо модель вiдбалансована, то при обертаннi на струнi з великою кутовою швидкiстю її головна центральна вiсь та осi цапф практично збiгатимуться з нерухомою вертикаллю. В цьому випадку на екранi осцилографа повиннi бути два горизонтальнi слiди вiд про- менiв. Якщо ж модель не вiдбалансована, то осi цапф описуватимуть кола, i в цьому випадку вiдбуватиметься «биття» одягнутих на цапфи кiлець 5. У результатi на екранi осцилоскопа замiсть горизонтальних прямих з’являться кривi, близькi за формою до синусоїд з перiодом, що дорiвнює промiжку часу одного оберту моделi. Балансування мо- делi вiдбувалось шляхом перерозподiлу балансувальних тягарцiв на 338 Луковський I. О., Стороженко В. О. спецiально видiлених для цього мiсцях тiла моделi 1. Проведенi на цiй установцi експерименти, якi пiдтвердженi числовими розрахунками, показали, що запропонований С. В. Малашенком метод динамiчного балансування дає змогу при порiвняно невеликiй кутовiй швидкостi (близько 200 рад/с) визначити мiсцеположення дебалансуючого тя- гарця масою 4 Г на поверхнi моделi масою 20 кГ. Вище вже було зазначено, що у процесi монтажу космiчного апа- рата необхiдно знати динамiчнi характеристики (масу, головнi осi i моменти iнерцiї) не тiльки апарата у цiлому, а й окремих об’єктiв космiчної технiки, якi мiстяться всерединi апарата для правильного їх розташування. Серед цих об’єктiв можуть бути тiла неправиль- ної геометричної форми, i їх динамiчнi характеристики можна ви- значити лише експериментально. Вiдомо багато методiв експеримен- тального визначення моментiв iнерцiї твердого тiла вiдносно деякої фiксованої осi. Досить велика бiблiографiя робiт, присвячених опису цих методiв, представлена в [20]. Набагато менше розроблене питан- ня про експериментальне визначення напрямкiв головних осей iнерцiї у твердому тiлi довiльної конфiгурацiї. Значний прорив у цьому на- прямку був здiйснений в Iнститутi математики В. О. Стороженком, М. Є. Темченко за участю вченого-експериментатора з Iнституту ме- ханiки НАНУ П. Г. Шишкiна. В одному з можливих розв’язкiв цiєї задачi використовується властивiсть стацiонарного руху пiдвiшеного на струнi твердого тiла, викладена в [21]. Суть її полягає у тому, що стацiонарнi рухи пiдвiшеного таким способом тiла, при яких одна з його головних центральних осей iнерцiї вертикальна, можуть iснува- ти не тiльки при нескiнченно великому значеннi кутової швидкостi 𝜔, а й при деяких скiнчених її значеннях. Справдi, нехай, наприклад, 𝑧* = 𝜁1. Тодi рiвняння (3.1) можна звести до вигляду 𝜈 sin𝛼0 = (sin𝛼0 + 𝑘 sin 𝜃0) cos𝛼0, 𝑚𝑎𝑙𝜈 sin(𝜃0 − 𝛼0) cos𝛼0 = 0. (3.2) Цi рiвняння мають наступний розв’язок: 𝛼0 = 𝜃0; 𝜔2 = 𝜔2 * = 𝑔 (𝑙 + 𝑎) cos 𝜃0 . (3.3) Аналогiчнi формули одержимо i для iнших форм стацiонарного руху, коли вертикальною буде iнша головна вiсь iнерцiї, наприклад, 𝑥* чи 𝑦. Таким чином, iснують три таких значення кутової швид- костi, при яких одна з його головних центральних осей iнерцiї вер- тикальна. При цьому, як випливає з першої рiвностi (3.3), центр мас Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 339 тiла постiйно знаходиться на прямiй, що служить продовженням лiнiї струни. I навпаки: якщо при стацiонарному русi центр мас тiла по- стiйно знаходиться на однiй прямiй з нерухомою точкою 𝑂1 i точкою 𝑂2 крiплення тiла до струни (рис. 8.), то при такому стацiонарно- му русi одна з головних центральних осей iнерцiї тiла вертикальна. Звiдси i випливає один з найпростiших способiв визначення головних центральних осей iнерцiї тiла. Полягає вiн у тому, що розглядається стацiонарний рух тiла у широкому дiапазонi кутової швидкостi i фi- ксується якомога точнiше те значення кутової швидкостi, при якому центр мас тiла знаходиться на прямiй, що служить продовженням лiнiї струни. При цьому вертикальна вiсь, що проходить через центр мас тiла, i буде його головною вiссю iнерцiї. Основнi особливостi стацiонарних рухiв твердого тiла на струнi зберiгаються, якщо вiльний кiнець струни закрiпити не безпосере- дньо на осi ротора мотора (як це має мiсце на рис. 8), а з допомо- гою штанги, що обертається навколо вертикальної осi (рис. 10). У такому випадку вiдцентровий момент iнерцiї 𝐽𝜁1𝜉1 , вирахуваний вiд- носно вертикальної осi 𝜁1, що проходить через центр мас тiла, та осi 𝜉1 перпендикулярної до проведеної через лiнiю струни вертикальної площини, виявляється рiвним нулю. Це значить, що осi чи 𝜁1 та 𝜉1 є головними осями елiпса, що утворюється при перетинi центрального елiпсоїда iнерцiї тiла вертикальною площиною, перпендикулярною до рухомої площини, в якiй мiститься струна (рис. 10). Дана властивiсть стацiонарного руху покладена в основу другого способу вiдшукання головних центральних осей iнерцiї тiла довiльної форми. Процедура визначення цих осей така: прикрiпимо тiло до струни у довiльнiй точцi та здiйснимо його стацiонарний рух, змiнюючи з де- яким iнтервалом значення кутової швидкостi. При кожному такому значеннi кутової швидкостi одним з можливих технiчних засобiв фi- ксуємо на поверхнi тiла слiд центральної осi, що займає вертикальне положення у даному стацiонарному русi. Здiйснивши експеримент у достатньо широкому дiапазонi кутової швидкостi, одержимо на поверхнi тiла деяку криву, що складається iз згаданих слiдiв. Далi змiнимо на поверхнi тiла положення крiплення його до струни так, щоб у площинi, яка утворюється старою i новою точками крiплення, а також центром мас тiла, не знаходилась жодна з точок кривої, одержаної у попередньому дослiдi. Повторюємо дослiд з новою точкою крiплення. Точка перетину одержаних таким чином кривих i є слiдом на поверхнi тiла однiєї з його головних центральних 340 Луковський I. О., Стороженко В. О. Рис 10. Стацiонарнi рухи твердого тiла, пiдвiшеного з допомогою струни та штанги, що обертається навколо вертикальної осi. 1 — дослiджуване тiло; 2 — штанга; 3 — центральний елiпсоїд iнерцiї тiла. осей iнерцiї. Деякi iншi, технiчно простiшi порiвняно з рухом тiла на струнi способи визначення головних осей iнерцiї тiла, якi ґрунтуються на ви- користаннi рiзноманiтних форм усталених рухiв, приводяться у [22]. Давно вiдомо, що якщо яким-небудь чином надати тiлу довiльної форми обертання з достатньо великою кутовою швидкiстю, то це тiло буде прагнути зайняти певне положення, в якому найчастiше з вiссю обертання спiвпадає одна з його головних центральних осей iнерцiї. Класичними прикладами цього явища є стiйкi обертання тiла у ви- падку Ейлера навколо великої i малої осей iнерцiї, стiйкi обертання снаряда довкола повздовжньої осi i т. д. Одним з найбiльш простих випадкiв згаданого ефекту є рух твердого тiла, зображений на рис. 11. Тверде тiло, яке може бути i неоднорiдним, має свободу оберта- Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 341 G T Π ζ ξ η tω 1 1 1 Рис 11. Усталенi рухи твердого тiла на платформi, яка обертається нав- коло вертикалi. ння вiдносно горизонтальної осi, з якою спiвпадає одна з централь- них осей iнерцiї тiла. При цьому сама горизонтальна вiсь обертається навколо вертикалi з деякою постiйною кутовою швидкiстю 𝜔. Вважа- ється, що центр мас тiла 𝐺 знаходиться на перетинi осей обертання платформи i тiла, подiбнi пiдвiси тiла називають астатичними. По- значаючи компоненти тензора iнерцiї тiла у незмiнно зв’язанiй з ним системi координат 𝑥𝑦𝑧 через 𝐽𝑥𝑥, 𝐽𝑦𝑦, 𝐽𝑧𝑧, 𝐽𝑥𝑦, 𝐽𝑥𝑧, 𝐽𝑦𝑧, рiвняння руху тiла одержимо у виглядi 𝐽𝑥𝑥 + 𝜔2 [︀ (𝐽𝑧𝑧 − 𝐽𝑦𝑦) sin𝛼1 cos𝛼1 + 𝐽𝑦𝑧 [︀ (cos2 𝛼1 − sin2 𝛼1) ]︀ = 0. (3.4) Це рiвняння має стацiонарний розв’язок 𝛼1 = 𝛼0 1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, (3.5) який задовольняє умову (𝐽𝑧𝑧 − 𝐽𝑦𝑦) sin𝛼 0 1 cos𝛼 0 1 + 𝐽𝑦𝑧(cos 2 𝛼0 1 − sin2 𝛼0 1) = 0. (3.6) Згiдно з цiєю рiвнiстю виявляється рiвним нулевi вiдцентровий момент iнерцiї 𝐽𝑦1𝑧1 у новiй системi координат 𝑥1𝑦1𝑧1, яка поверну- та вiдносно системи 𝑥𝑦𝑧 на кут −𝛼0 1. Геометрично це означає, що осi 𝑦1 i 𝑧1 є головними осями елiпса, утвореного у результатi перети- ну центрального елiпсоїда iнерцiї тiла площиною 𝜂1𝜁1. Таким чином, 342 Луковський I. О., Стороженко В. О. пiдвiшене подiбним способом довiльне неоднорiдне тiло при обертаннi прагне зайняти таке рiвноважне положення, при якому одна з голов- них осей елiпса, отриманого у результатi перетину елiпсоїда iнерцiї площиною, перпендикулярною до осi обертання тiла 𝜉1(𝑥), спiвпадала б з вiссю 𝜁(𝜁1) обертання платформи Π. При цьому стiйким буде таке рiвноважне положення, при якому з вiссю обертання платформи спiв- падатиме мала вiсь згаданого елiпса. Для характеристики взаємного розташування систем координат 𝑥1𝑦1𝑧1 та 𝑥𝑦𝑧 скористаємося введе- ною у [21] величиною 𝐷 = 𝐽2 𝑥𝑦+𝐽 2 𝑥𝑧+𝐽 2 𝑦𝑧, яка певним чином характе- ризує «вiддаленiсть» системи координат 𝑥𝑦𝑧 вiд системи, утвореної головними осями iнерцiї тiла. У результатi виявляється справедли- вим наступне спiввiдношення: 𝐷1 = 𝐽2 𝑥1𝑦1 + 𝐽2 𝑥1𝑧1 + 𝐽2 𝑦1𝑧1 = 𝐽2 𝑥𝑦 + 𝐽2 𝑥𝑧 < 𝐽2 𝑥𝑦 + 𝐽2 𝑥𝑧 + 𝐽2 𝑦𝑧 = 𝐷. Звiдси випливає, що нова система координат 𝑥1𝑦1𝑧1, яка у поло- женнi рiвноваги спiвпадає з системою 𝜉1𝜂1𝜁1, знаходиться "ближче" до головних центральних осей iнерцiї у порiвняннi з первинною си- стемою 𝑥𝑦𝑧. Далi, змiнюючи положення тiла на платформi так, щоб з вiссю 𝜉1 cпiвпадала знайдена за допомогою описаного вище способу цен- тральна вiсь тiла 𝑦1, одержимо нове стiйке рiвноважне положення тiла, при якому з вiссю 𝜁(𝜁1) обертання платформи буде спiвпадати мала вiсь елiпса, що утворюється у перетинi центрального елiпсої- да iнерцiї тiла площиною 𝜂1𝜁1. Вiдповiдно одержуємо нову зв’язану з тiлом систему координат 𝑥2𝑦2𝑧2, вiдносно якої виявляється рiвним нулевi вiдцентровий момент iнерцiї 𝐽𝑥2𝑧2 , i, як наслiдок, виконуються спiввiдношення 𝐷2 = 𝐽2 𝑥2𝑦2 + 𝐽2 𝑥2𝑧2 + 𝐽2 𝑦2𝑧2 = 𝐽2 𝑥2𝑦2 + 𝐽2 𝑦2𝑧2 = 𝐽2 𝑥1𝑦1 + 𝐽2 𝑦1𝑧1 = 𝐽2 𝑥1𝑦1 < 𝐷1 = 𝐽2 𝑥𝑦 + 𝐽2 𝑦𝑧 < 𝐽2 𝑥𝑦 + 𝐽2 𝑥𝑧 + 𝐽2 𝑦𝑧 = 𝐷. (3.7) Звiдси видно, що система координат 𝑥2𝑦2𝑧2 знаходиться ближче до головних центральних осей iнерцiї тiла у порiвняннi з попередньою системою координат 𝑥1𝑦1𝑧1. Будемо i далi продовжувати цей процес, кожного разу циклiчно змiнюючи вiсь, довкола якої обертається тiло. У результатi для 𝑘-го етапу одержимо ланцюжок нерiвностей 𝐷𝑘 < 𝐷𝑘−1 < · · · < 𝐷1 < 𝐷, з якого випливає, що lim 𝑘→∞ 𝐷𝑘 = 0, тобто описувана процедура по- слiдовних обертань тiла з визначенням на кожному етапi положення Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 343 нової осi обертання автоматично приводить до точного знаходження його головних центральних осей iнерцiї. Числовий експеримент. Розглядалося конкретне тверде тiло з вiд- несеними до його маси головними центральними моментами iнерцiї, вiдповiдно рiвними 𝐴 𝑚 = 30 см2; 𝐵 𝑚 = 45 см2; 𝐶 𝑚 = 13 см2. Кути 𝜎 i 𝜏 обертання, що характеризують вiдхилення первiсної осi обертання вiд головних центральних осей iнерцiї, були вибранi насту- пними: 𝜎 = 𝜏 = 𝜋 5 . У результатi матриця 𝐀0 напрямних косинусiв системи координат 𝑥𝑦𝑧 вiдносно тригранника, складеного з головних центральних осей iнерцiї тiла, та центральний тензор iнерцiї тiла 𝐉0 вiдповiдно будуть 𝐀0 = ⎛⎝0.809017 0.345491 −0.475528 0 0.809017 0.587785 0.587785 −0.475528 0.654508 ⎞⎠ ; 𝐉0 = ⎛⎝27.946304 8.944272 2.826669 8.944272 33.944272 −12.310734 2.826669 −12.310734 26.109423 ⎞⎠ . Разом з величиною 𝐷, що характеризує вiдхилення системи ко- ординат 𝑥𝑦𝑧 вiдносно тригранника, складеного з головних централь- них осей iнерцiї тiла, будемо визначати вiдносне вiдхилення 𝑑 згiдно з формулою 𝑑 = 𝐽2 𝑥𝑦 + 𝐽2 𝑥𝑧 + 𝐽2 𝑦𝑧 𝐽2 𝑥𝑥 + 𝐽2 𝑦𝑦 + 𝐽2 𝑧𝑧 . (3.8) Одержимо 𝐷0/𝑚 = 15.477216 см2; 𝑑0 = 0.347348. Нижче представлена послiдовнiсть матриць 𝐴𝑖 напрямних косину- сiв мiж системою координат 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖, що визначаються вказаним вище способом пiсля вiдповiдного етапу обертання твердого тiла на пла- тформi, i тригранником 𝑥𝑦𝑧, складеним з головних центральних осей iнерцiї тiла. Приведенi також вирази для тензора iнерцiї тiла 𝐉𝑖 на кожному з етапiв i вiдповiднi значення величин 𝐃𝑖 i 𝐝𝑖, якi характеризують "вiддаленiсть" кожної з систем 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 вiд головних центральних осей iнерцiї. 𝛼1 = −0.631358, 𝐀1 = ⎛⎝ 0.809017 0.345491 −0.475528 −0.346935 0.933736 0.088157 0.474476 0.933656 0.875272 ⎞⎠ ; 344 Луковський I. О., Стороженко В. О. 𝐉1 = ⎛⎝27.946304 5.551637 7.561043 5.551637 42.945841 0.0 7.561043 0.0 17.107854 ⎞⎠ 𝐷1/𝑚 = 9.380301 см2; 𝑑1 = 0.173649, 𝛼2 = −0.474465, 𝐀2 = ⎛⎝ 0.036421 0.350115 −0.023121 −0.346935 0.933736 0.088158 0.052454 −0.074531 0.995838 ⎞⎠ ; 𝐉2 = ⎛⎝31.829626 4.938387 0.0 4.938387 42.945841 −2.536336 0.0 −2.536336 13.224532 ⎞⎠ 𝐷2/𝑚 = 5.551637 см2; 𝑑2 = 0.100816, · · · · · · 𝛼8 = −0.000001, 𝐀8 = ⎛⎝1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 ⎞⎠ ; 𝐉8 = ⎛⎝ 30.0 0.0 0.000000 0.000000 45.0 0.0 0.0 0.0 13.0 ⎞⎠ , 𝐷8/𝑚 = 0.000000 см2; 𝑑8 = 0.000000. Неважко помiтити, що iз зростанням номера етапу матриця на- правляючих косинусiв зв’язаної з тiлом системи координат 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 пра- гне до одиничної матрицi, одночасно вiдповiдна матриця (тензор) iнерцiї тiла поступово приводиться до головних осей. Це означає, що осi 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖 прагнуть до спiвпадання з головними центральни- ми осями iнерцiї тiла. Практично спiвпадання вiдбувається вже на 6-му етапi. При цьому показником точностi спiвпадання осей 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖 з головними осями iнерцiї на 𝑛-ому етапi може служити вимiрюва- на на наступному етапi величина кута повороту 𝛼𝑛+1. Так, на 6-му етапi ця точнiсть складає величину порядку менше половини дугової мiнути. Аналогiчну процедуру визначення головних осей iнерцiї можна застосувати за допомогою пристрою, який зображений на рис. 12 i являє собою найпростiший пiдвiс Кардана, вiсь зовнiшнього кiльця якого знаходиться у пiдшипниках основи. Роль внутрiшнього кiльця вiдiграє саме дослiджуване тверде тiло, розташоване таким чином, Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 345 Рис 12. Усталенi рухи твердого тiла у найпростiшому кардановому пiдвiсi. що його центр мас 𝐺 знаходиться строго у центрi кiльця 𝐾. Якщо задати кiльцю К разом з розташованим у ньому тiлом обертання з постiйною кутовою швидкiстю 𝜔, то пiсля перехiдного процесу тiло прийде у стiйке положення динамiчної рiвноваги. У цьому положеннi з вiссю 𝜂 обертання кiльця буде спiвпадати мала пiввiсь елiпса, який утворюється внаслiдок перетину елiпсоїду iнерцiї площиною, перпен- дикулярною до осi обертання тiла. Одержуємо нову незмiнно зв’язану з тiлом координатну систему 𝑥1𝑦1𝑧1, яка у рiвноважному положеннi спiвпадає з системою 𝜉𝜂𝜁 (рис. 12) i знаходиться «ближче» до го- ловних центральних осей iнерцiї тiла у порiвняннi з попередньою си- стемою координат 𝑥𝑦𝑧. Якщо помiняти положення тiла у кiльцi так, щоб вiссю обертання тiла вiдносно кiльця стала одна з щойно зна- йдених осей 𝑥1 чи 𝑦1, то пiсля нового процесу обертання одержимо нове положення динамiчної рiвноваги, яке визначає нову координа- тну систему 𝑥2𝑦2𝑧2. Ця нова система буде розташована у згаданому значеннi ще «ближче» до головних центральних осей iнерцiї тiла у порiвняннi з попередньою системою 𝑥1𝑦1𝑧1. Як показали розрахунки, продовжуючи далi цей процес, кожного разу циклiчно змiнюючи вiсь обертання тiла, пiсля шести послiдовних обертань одержимо систему координат, осi якої практично спiвпадають з головними центральни- ми осями iнерцiї тiла. Цiкавий варiант пристрою для знаходження положення у твердо- 346 Луковський I. О., Стороженко В. О. му тiлi його головних центральних осей iнерцiї виникає при застосу- ваннi для цiєї мети пiдвiсу тiла за допомогою плоского маятника, що обертається навколо вертикальної осi (рис. 13). Важке неоднорiдне тiло довiльної форми жорстко прикрiплене у точцi 𝑀 до невагомого жорсткого стрижня. На iншому кiнцi стрижня є шарнiр, горизонталь- на вiсь якого обертається навколо вертикальної осi. При постiйному значеннi кутової швидкостi обертання 𝜔 має мiсце положення вiд- носної рiвноваги. У цьому положеннi величина кутової швидкостi i значення кута вiдхилення стрижня 𝛼 зв’язанi спiввiдношенням �� ω α M G O Рис 13. Стацiонарний рух твер- дого тiла довiльної форми, пiдвi- шеного як плоский маятник, що обертається навколо вертикалi. �� ω ω g cosα DM α G M O DY acosα Рис 14. Пристрiй для автома- тичного приходу пiдвiшеного на стрижнi тiла у положення динамiчної рiвноваги. DY — датчик кута вiдхилення; DM — датчик моментiв. 𝜔2 = 𝑚𝑔𝑎 sin𝛼 𝑚𝑎2 sin𝛼 cos𝛼+ 𝐽𝑥′𝑧′(cos2 𝛼− sin2 𝛼) , (3.9) де 𝐽𝑥′𝑧′ — вiдцентровий момент iнерцiї у супровiднiй системi коорди- нат 𝑥′𝑦′𝑧′. Має мiсце спiввiдношення 𝐽𝑥′𝑧′ = (𝐽𝑥𝑥 − 𝐽𝑧𝑧) sin𝛼 cos𝛼+ 𝐽𝑧𝑧(cos 2 𝛼− sin2 𝛼). (3.10) Величини кута 𝛼 вiдхилення стрижня вiд вертикалi, вимiрянi екс- периментально, можуть бути використанi у запропонованому в [21] Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 347 способi визначення головних осей, який заснований на побудовi за даними експерименту деякого видозмiненого вiкового рiвняння. Ви- рiшення цього рiвняння дозволяє визначити не лише напрями голов- них центральних осей iнерцiї тiла, але також рiзницi мiж будь-якими двома його головними центральними моментами iнерцiї. Важливим є те положення вiдносної рiвноваги, при якому з вертикаллю збiгається одна з головних осей елiпса, утвореного у результатi перетину цен- трального елiпсоїда iнерцiї тiла вертикальною площиною, що обер- тається. Таке положення вiдносної рiвноваги є основою для застосу- вання методу послiдовних наближень, кiнцевим результатом якого є визначення iз заданою точнiстю всiх трьох головних центральних осей iнерцiї неоднорiдного тiла. Особливiстю даного положення вiд- носної рiвноваги є те, що кутова швидкiсть обертання збiгається з ку- товою швидкiстю уявного математичного маятника з масою, рiвною масi тiла, i довжиною, рiвною вiдстанi мiж центром шарнiра i цен- тром мас тiла. Це дає можливiсть виявити це положення рiвноваги шляхом синхронiзацiї обертання дослiджуваного неоднорiдного ма- ятника з обертанням згаданого «уявного» математичного маятника. При цьому в процесi експерименту необхiдно неперервно вимiрювати величину Ω = 𝑘 (︂ 𝜔 − √︂ 𝑔 𝑎 cos𝛼 )︂ . (3.11) Принципова схема такого пристрою представлена на рис. 14. На рис. 15 зображено перехiдний процес для тiла з конкретними параметрами. Пiсля закiнчення перехiдного процесу тiло знаходиться у шуканому положеннi вiдносної рiвноваги, в якому фiксуємо нову зв’язану з тiлом координатну систему, яка знаходиться «ближче» до головних центральних осей iнерцiї порiвняно з вихiдною системою. Далi, повторюємо експеримент, розмiщуючи точку крiплення тiла до стрижня на однiй з центральних осей, знайдених у попередньому екс- периментi, i тим самим ще бiльше наближаючись до головних осей, i визначаючи з заданою точнiстю положення у тiлi його головних центральних осей. Серед об’єктiв космiчної технiки, для яких виникає потреба визна- чити положення головних центральних осей iнерцiї, зустрiчаються такi, що з тих чи iнших причин не допускають обертання (особливо з великими кутовими швидкостями). Для таких об’єктiв описана вище процедура послiдовних наближень при експериментальному визна- ченнi головних осей iнерцiї може бути непридатною з цiєї причини. 348 Луковський I. О., Стороженко В. О. Рис 15. Перехiдний процес при встановленнi динамiчної рiвнова- ги тiла. I — крива затухань ко- ливань при малому початковому вiдхиленнi маятника; II — крива цих затухань при великому поча- тковому вiдхиленнi. Рис 16. Коливний рух тiла з двома степенями свободи. Проте виявилося, що ця процедура може бути здiйснена i при викори- станнi коливних усталених рухiв тiла. У [22] вивчено рух своєрiдного маятника (рис. 16), вiсь коливань якого горизонтальна i закрiплена на нерухомiй основi з допомогою цилiндричного шарнiра. Тiло мая- тника може вiльно обертатися навколо осi 𝑧, що сполучає центр мас маятника з вiссю коливань. У випадку, коли вiльна вiсь обертань не є головною центральною вiссю, маятник виконує коливання навколо горизонтальної осi 𝜉, близькi до коливань звичайного маятника. Крiм того, вiдбуваються його незатухаючi коливання навколо осi вiльного обертання 𝑧. При цьому в площинi основних коливань знаходиться середнє положення однiєї з головних осей елiпса, що утворюється у результатi перетину площиною 𝑥𝑦 елiпсоїда iнерцiї, побудованого у точцi перетину осей 𝜉 та 𝑧. У результатi можна наближено визначи- ти положення у тiлi маятника згаданої головної осi елiпса перетину. Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 349 У результатi можна перейти вiд довiльної системи координат 𝑥𝑦𝑧 до системи 𝑥1𝑦1𝑧1, вiсь 𝑧1 якої спiвпадає з вiссю 𝑧, а за вiсь 𝑥1 може обиратися згадана головна вiсь елiпса перетину. Нова система коор- динат 𝑥1𝑦1𝑧1 знаходиться «ближче» до головних осей iнерцiї тiла в порiвняннi з системою 𝑥𝑦𝑧. Це дає можливiсть застосувати метод по- слiдовних наближень i у цьому випадку. Рис 17. Принципова схема установки для визначення головних осей iнерцiї тiла: 1 — дослiджуване тiло; 2,3 — зовнiшня i внутрiшня сфери; 4 — тягарцi для статичного балансування пiдвiсу тiла; 5 — агатова опора; 6 — оптичний вiзир; 7 — шкала для фiксацiї положення тiла вiдносно площини коливань. Подальшi дослiдження показали, що тверде тiло з нерухомою то- чкою,яка не знаходиться в жоднiй з його головних центральних пло- щин iнерцiї, може здiйснювати рухи, досить близькi до плоско-пара- лельних коливань. При цьому, як i в випадку плоского маятника з вiльною вiссю обертань, у площину основних коливань потрапляє се- реднє положення однiєї з головних осей елiпса, який утворюється при перетинi центрального елiпсоїда iнерцiї тiла площиною, горизонталь- ною у рiвно вiсному положеннi. Це дозволяє i для тiла з однiєю не- рухомою точкою здiйснити процедуру послiдовного наближення при визначеннi головних осей iнерцiї. Описана процедура була практично здiйснена на макетнiй уста- новцi, спецiально сконструйованiй для цiєї мети (рис. 17). За дослi- 350 Луковський I. О., Стороженко В. О. Рис 18. Схема вiдцентрового стенду «Ротор-Ю» на струнному пiдвiсi: 1 — ротор; 2 — струнний пiдвiс; 3 — вузол вертикальної амортизацiї; 4 — аеродинамiчний обтiчник; 5 — мотор, що надає стенду обертового руху; 6 — система горизонтальних демпфуючих розтяжок; 7 — черв’ячний редуктор. джуване тiло 1 був вибраний паралелепiпед з наперед вiдомими на- прямами головних центральних осей iнерцiї, якi спiвпадають з осями симетрiї паралелепiпеда. Спочатку тiло розмiщувалося у сферах 2 i 3 так, що жодна з його осей симетрiї не спiвпадала з вiссю, яка спо- лучає центр мас тiла з нерухомою точкою 5. Тiлу разом з сферами надавали коливного руху i за допомогою оптичної системи 6 фiксува- лася подiлка шкали 7, яка вiдповiдала шуканiй центральнiй осi iнерцiї тiла. Потiм ця вiсь сумiщалася з лiнiєю, що сполучає центр мас тiла з нерухомою точкою, i знову тiлу надавали коливного руху, в результа- тi якого фiксувалася нова вiсь. У процесi експерименту можна було спостерiгати, що осi, якi фiксувалися на кожному етапi, поступово наближались до осей симетрiї тiла i пiсля шостого етапу практично спiвпадали з ними. При цьому у численних експериментах було помi- чено, що з найбiльшою точнiстю вiдбувається визначення положення тiєї з головних осей iнерцiї тiла, вiдносно якої момент iнерцiї наймен- ший. Слiд вiдзначити, що розглянутi методи дають змогу принципово вирiшувати питання про динамiчне балансування твердого тiла або про знаходження його головних осей iнерцiї. Питання ж про точнiсть Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 351 Рис 19. Фрагмент струнного пiдвiсу з вузлом вертикальної амортизацiї. запропонованих методiв динамiчного балансування, що ґрунтуються на використаннi властивостей усталених рухiв тiла, залишається вiд- критим. Для його вирiшення слiд передусiм враховувати збурюючi фактори, що неминуче виникають при технiчнiй реалiзацiї того чи iншого методу. Одним iз результатiв творчої спiвдружностi Iнституту математи- ки НАНУ i КБ «Пiвденне» в областi ракетної i космiчної технiки було створення великого вiдцентрового стенду-центрифуги, призначеного для випробування рiзних приладiв i пристроїв в умовах лiнiйних пе- 352 Луковський I. О., Стороженко В. О. Рис 20. Загальний вигляд випробувального поля ротора з випробовуваним об’єктом. ревантажень. При створеннi цiєї центрифуги знову був використаний ефект самобалансування твердих тiл на струнному пiдвiсi. Сконстру- йований в КБ «Пiвденне» вiдцентровий стенд «Ротор-Ю» являє со- бою осесиметричну платформу (власне центрифугу) дiаметром 5,5 м, що пiдвiшена до осi ротора вертикально розташованого електродви- гуна (мал. 18). При цьому «струнний» пiдвiс являє собою систему кiлькох жорстких стрижнiв, з’єднаних мiж собою за допомогою шар- нiрiв Гука. Такими ж шарнiрами пiдвiс з’єднаний з центрифугою, а також з вiссю ротора електродвигуна, кутова швидкiсть якого регу- люється в широкому дiапазонi. При цьому максимально допустимою вагою дослiджуваного об’єкта була вага в 1 тс, а максимально дося- жною перегрузкою — перегрузка в 25 од на радiусi в 2,75 м. Теоре- тичне обґрунтування створення центрифуги виконували спiвробiтни- ки Iнституту математики НАНУ М. Є. Темченко i В. О. Стороженко, а також спiвробiтники Iнституту механiки НАНУ С. В. Малашенко i П. Г. Шишкiн. Наукове керiвництво роботами здiйснювалося ака- демiком О. Ю. Iшлiнським. Паралельно на машинобудiвному заводi «Пiвденний» велись розробки аналогiчної центрифуги на «струнно- му» пiдвiсi балочного типу з суттєво рiзними моментами iнерцiї. Ро- боти проводились пiд керiвництвом талановитого конструктора кан- дидата технiчних наук О.Ф. Грабовського. На жаль, йому не вдалося завершити роботи через трагiчну загибель. Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних пи‌ . . . 353 Основнi результати дослiджень, що стосувалися ефекту самоба- лансування i створення вiдцентрового стенду зокрема, знайшли вiд- ображення в книзi [21]. На рис. 19 i 20 показанi вiдповiдно фрагмент струнного пiдвiсу з вузлом вертикальної амортизацiї i загальний вигляд випробувального поля ротора з випробовуваним об’єктом. 1. Ишлинский А.Ю. Инерциальное управление баллистическими раке- тами. Некоторые теоретические вопросы. — М.: Наука, 1968. — 142 с. 2. Ишлинский А.Ю. Об уравнениях задачи определения местонахожде- ния движущегося объекта посредством гироскопов и измерителей ускорений // Прикл. математика и механика. — 1957. — 21, вып. 6. — С. 725–739. 3. Черток Б.Е. Ракеты и люди. — М.: Машиностроение, 1999. — 416 с. 4. Бойчук О.Ф. К вопросу автономного определения координат // Прикл. механика, 1966. — 2, № 4, — C. 114–121. 5. Бойчук О.Ф. Эквивалентные конечные повороты и вопрос ошибок автономного определения координат // Прикл. механика, 1974. — 10, № 2. — C. 94–100. 6. Бойчук О.Ф. Общая схема расчета некорректируемых инерциальных систем // Прикл. механика, 1971. — 7, № 9. — C. 79–86. 7. Калинович В.М. Про видозмiни iнерцiальної системи навiгацiї гiро- горизонткомпас — гiроскоп напрямку — лiчильно-розв’язувальний пристрiй // ДАН УРСР, 1962. — Cер. А, № 5. — C. 591–594. 8. Калинович В.М. Про вплив неортогональностi акселерометрiв на ро- боту iнерцiальної системи навiгацiї // ДАН УРСР, 1968. — Cер. А, № 9. — C. 852–855. 9. Кошляков В.Н. Об уравнениях местоположения движущегося объе- кта // Прикл. математика и механика. — 1964. — 28, вып. 6. — С. 1135–1137. 10. Стороженко В.А., Темченко М.Е. О применении теории конечных вращений к задаче автономного определения координат метав дви- жущегося объекта // Изв. АН СССР. МТТ. — 1971. — № 3. — С. 3–10. 11. Стороженко В.А., Темченко М.Е. К задаче автономного определе- ния местоположения объекта в околополярных областях // Изв. АН СССР. МТТ. — 1971. — № 5. — С. 16–22. 354 Луковський I. О., Стороженко В. О. 12. Темченко М.Е. К задаче автономного определения координат место- положения объекта посредством использования плоской декартовой системы координат, стереографически отображенной на сферу, при чете несферичности Земли // Изв. АН СССР. МТТ. — 1974. — № 3. — С. 19–28. 13. Ишлинский А.Ю. Геометрическое рассмотрение устойчивости реше- ния основной задачи инерциальной навигации // Инженерный жур- нал. Механика твёрдого тела. — 1968. — № 3. — С. 12–16. 14. Бойчук О.Ф., Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А. Построение фун- кции Ляпунова для совокупности уравнений основной задачи инер- циальной навигации // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1975. — № 5. — С. 13–18. 15. Стороженко В.А. О демпфировании суточных колебаний в систе- мах инерциальной навигации // Изв. АН СССР. МТТ. — 1973. — № 4. — С. 87–95. 16. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 482 с. 17. Cтороженко В.А. Применение энергетического метода к исследова- нию устойчивости некоторых колебательных систем // Инженерный журнал. МТТ. — 1966. — № 3. — С. 87–95. 18. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инер- циальной навигации. Автономные системы. — К.: Наукова думка, 1983. — 208 с. 19. Кореневский Д. Г., Карпачев Ю.А. Некоторые задачи инерциального управления. — К.: Наукова думка, 1977. — 152 с. 20. Гернет М.М., Ратобильский В.Ф. Определение моментов инерции. — М.: Машиностроение, 1969. — 247 с. 21. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Вращение твёрдого тела на струне и смежные задачи. — М.: Наука, 1991. — 330 с. 22. Стороженко В.А. Стационарные движения в задаче определения главных осей инерции неоднородных твердых тел. — К.: Ин-т мате- матики НАН Украины, 2007. — 228 с. I.О. Луковський, В.О. Стороженко 1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О. 2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б. Інтегро–апроксимаційний алгоритм Вступ Постановка задачі Алгоритм Похибка алгоритму Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику Сплайн–алгоритм Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії Висновки 3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О. Вступ Регуляризація та явне зображення розв'язку Вибір контуру інтегрування Чисельний метод 4. Веселовська Г.М. 5. Грушковская В.В. Введение Построение модельной системы Условия устойчивости Оценка скорости убывания решений Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией Выводы 6. Дзюбенко Г.А. Вступ Допоміжні факти Доведення Теореми ?? 7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І. 8. Елишевич М.А. Постановка задачи Полученный результат Пример 9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю. Введение Объект исследования и математическая модель Результаты вычислительных экспериментов Выводы 10. Мазко О.Г., Кусій С.М. Вступ Допоміжні твердження Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами Статичний регулятор по вимірюваному виходу Динамічний регулятор Алгоритм побудови динамічного регулятора Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора. Висновок 11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П. Вступ Функція Радемахера і ряди Уолша Узагальнення функцій Радемахера Узагальнення функцій Уолша 12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С. Вступ Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу Інші функції, пов'язані з оператором T(x) 13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В. Вступ Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами 14. Осауленко Р. Ю. Вступ Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел 15. Слинько В.І., Кравчук С.В. Постановка задачі. Основний результат. Умови стійкості 16. Солодун А. В. Постановка задачи Численные результаты 17. Ситник Д.О. Вступ Sinc–апроксимація Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою 18. Сосницький С.П. Вступ Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл Висновок 19. Сосницький С.П. Вступ Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів 20. Чернецька Л.О. 21. Timokha A.N. Statement Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??) The reciprocating excitation type The axisymmetric elliptic excitation type The oblique elliptic excitation type Conclusions 22. Shlepakov L.N. Main relationships for a non-inflated system Construction of enlarged systems Defining the task mathematical programming Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels. 23. Shidlich A.L. Approximative characteristics Main results Order estimates for some functionals and their applications Proof of Theorems ?? and ??. 24. Луковський І.О., Стороженко В.О. 25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-63
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:01:52Z
publishDate	2017
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/a8/a1b3d00cd1db06a34da8adc319ffb8a8.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-632018-02-13T11:57:10Z On studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine Про исследования в теории инерциальной навигации и смежных вопросов в Институте математики НАН Украины Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних питань в Iнститутi математики НАН України Lukovsky, I. A. Storozhenko, V. A. Луковский, И. А. Стороженко, В. А. Луковський, І. О. Стороженко, В. О. The review is devoted to the issue of the participation of scientists of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine in the development of the theory of inertial navigation and its applications. The authors tried to capture the period with a retrospective view from 30-40 years of the past century, when scientists with the world names of academician M.O. Lavrentyev and O.Yu. Ishlinsky began to attract the Institute's scientists to carry out research related to the defense, and subsequently to the missile and space issues. The list of main works in this direction is given and a general analysis of the research is provided. Обзор посвящен вопросу участия ученых Института математики НАН Украины в разработках, касающихся развития теории инерциальной навигации и ее приложений. Авторы пытались ретроспективным взглядом охватить период, начиная с 30-40 годов прошлого века, когда известные учёные с мировыми именами академик Н.А. Лаврентьев и А.Ю. Ишлинский начали привлекать ученых Института к выполнению исследований, связанных с оборонной, а впоследствии и с ракетно-космической тематикам. Приводится перечень основных работ в этом направлении и дается вскользь анализ исследований. Огляд присвячений питанню участi учених Iнституту математики НАН України у розробках, що стосуються розвитку теорiї iнерцiальної навiгацiї та її застосувань. Автори намагалися ретроспективним поглядом охопити перiод, починаючи з 30–40 рокiв минулого столiття, коли знанi ученi з свiтовими iменами академiк М.О. Лаврентьєв та О.Ю. Iшлiнський почали залучати учених Iнституту до виконання дослiджень, пов’язаних з оборонною, а згодом i з ракетно-космiчною тематиками. Наводиться перелiк основних робiт у цьому напрямку i дається побiжний аналiз дослiджень. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/63 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 314-354 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 314-354 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 314-354 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/63/58 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України
spellingShingle	Lukovsky, I. A. Storozhenko, V. A. Луковский, И. А. Стороженко, В. А. Луковський, І. О. Стороженко, В. О. On studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine
title	On studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine
title_alt	Про исследования в теории инерциальной навигации и смежных вопросов в Институте математики НАН Украины Про дослiдження з теорiї iнерцiальної навiгацiї i сумiжних питань в Iнститутi математики НАН України
title_full	On studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine
title_fullStr	On studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine
title_full_unstemmed	On studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine
title_short	On studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine
title_sort	on studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the institute of mathematics of the nas of ukraine
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/63
work_keys_str_mv	AT lukovskyia onstudiesintheinertialnavigationtheoryandrelatedproblemsconductedintheinstituteofmathematicsofthenasofukraine AT storozhenkova onstudiesintheinertialnavigationtheoryandrelatedproblemsconductedintheinstituteofmathematicsofthenasofukraine AT lukovskijia onstudiesintheinertialnavigationtheoryandrelatedproblemsconductedintheinstituteofmathematicsofthenasofukraine AT storoženkova onstudiesintheinertialnavigationtheoryandrelatedproblemsconductedintheinstituteofmathematicsofthenasofukraine AT lukovsʹkijío onstudiesintheinertialnavigationtheoryandrelatedproblemsconductedintheinstituteofmathematicsofthenasofukraine AT storoženkovo onstudiesintheinertialnavigationtheoryandrelatedproblemsconductedintheinstituteofmathematicsofthenasofukraine AT lukovskyia proissledovaniâvteoriiinercialʹnojnavigaciiismežnyhvoprosovvinstitutematematikinanukrainy AT storozhenkova proissledovaniâvteoriiinercialʹnojnavigaciiismežnyhvoprosovvinstitutematematikinanukrainy AT lukovskijia proissledovaniâvteoriiinercialʹnojnavigaciiismežnyhvoprosovvinstitutematematikinanukrainy AT storoženkova proissledovaniâvteoriiinercialʹnojnavigaciiismežnyhvoprosovvinstitutematematikinanukrainy AT lukovsʹkijío proissledovaniâvteoriiinercialʹnojnavigaciiismežnyhvoprosovvinstitutematematikinanukrainy AT storoženkovo proissledovaniâvteoriiinercialʹnojnavigaciiismežnyhvoprosovvinstitutematematikinanukrainy AT lukovskyia prodoslidžennâzteoriíinercialʹnoínavigaciíisumižnihpitanʹvinstitutimatematikinanukraíni AT storozhenkova prodoslidžennâzteoriíinercialʹnoínavigaciíisumižnihpitanʹvinstitutimatematikinanukraíni AT lukovskijia prodoslidžennâzteoriíinercialʹnoínavigaciíisumižnihpitanʹvinstitutimatematikinanukraíni AT storoženkova prodoslidžennâzteoriíinercialʹnoínavigaciíisumižnihpitanʹvinstitutimatematikinanukraíni AT lukovsʹkijío prodoslidžennâzteoriíinercialʹnoínavigaciíisumižnihpitanʹvinstitutimatematikinanukraíni AT storoženkovo prodoslidžennâzteoriíinercialʹnoínavigaciíisumižnihpitanʹvinstitutimatematikinanukraíni

On studies in the inertial navigation theory and related problems conducted in the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine

Репозитарії

Схожі ресурси