On the best approximation by “angles” in the mean on the plane $\mathbb{R}^2$ with the Chebyshev-Hermite weight.
Exact inequalities of Jackson type connected with the best approximation by ''angles''  of algebraic polynomials are obtained on the classes of differentiable functions of two variables in the metric of space $L_{2,\rho}(\mathbb{R}^2)$ at the Chebyshe...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/65 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552594033868800 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Днепропетровский университет имени Альфреда Нобеля"
},
{
"author": "",
"institution": "Днепропетровский государственный аграрно-экономический университет"
}
] |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | Exact inequalities of Jackson type connected with the best approximation by ''angles''  of algebraic polynomials are obtained on the classes of differentiable functions of two variables in the metric of space $L_{2,\rho}(\mathbb{R}^2)$ at the Chebyshev-Hermite weight. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 35–46
УДК 517.51
С.Б. Вакарчук (Днепропетровский университет имени Альфреда Но-
беля)
А.В. Швачко (Днепропетровский государственный аграрно-экономи-
ческий университет)
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ”УГЛОМ”
В СРЕДНЕМ НА ПЛОСКОСТИ R2 С ВЕСОМ
ЧЕБЫШЕВА–ЭРМИТА
Exact inequalities of Jackson type connected with the best approximation by
”angles” of algebraic polynomials are obtained on the classes of differentiable
functions of two variables in the metric of space L2,ρ(R2) at the Chebyshev–
Hermite weight.
Точнi нерiвностi типу Джексона, пов’язанi з найкращим наближен-
ням ”кутами” з алгебраїчних полiномiв отримано для класiв диферен-
цiйованих функцiй двох змiнних у метрицi простору L2,ρ(R2) з вагою
Чебишева–Ермiта.
1. Символом L2(R2), где R2 := R⊗ R =
{
(x, y) : −∞ < x, y <∞
}
,
обозначим пространство действительнозначных измеримых функ-
ций, суммируемых в квадрате на плоскости R2. Под L2,ρ(R2), где
ρ(x, y) := exp(−(x2 + y2)/2), понимаем множество таких функций f ,
для которых f · ρ ∈ L2(R2). Норма в L2,ρ(R2) определяется следую-
щим образом:
‖f‖ := ‖f‖2,ρ =
∫∫
R2
(f(x, y)ρ(x, y))
2
dxdy
1/2
.
Пусть Hk(x), k ∈ Z+, есть ортонормированная система многочле-
нов Эрмита (см., например, [1]) и
∞∑
i=0
∞∑
j=0
cij(f)Hi(x)Hj(y) (1)
c© С.Б. Вакарчук, А.В. Швачко, 2014
36 С.Б. Вакарчук, А.В. Швачко
— двойной ряд Фурье–Эрмита, который сопоставляется функции
f ∈ L2,ρ(R2), а
cij(f) :=
∫∫
R2
f(x, y)Hi(x)Hj(y)ρ2(x, y)dxdy
— коэффициенты Фурье–Эрмита функции f . Хорошо известно, что
‖f‖2 =
∞∑
i=0
∞∑
j=0
c2ij(f).
Сходимость ряда (1) к функции f в метрике пространства L2,ρ(R2)
понимается в смысле сходимости к f его прямоугольных частных
сумм.
Символом L2,ρ̃(R), где R :=
{
x : −∞ < x < ∞
}
, ρ̃(x) :=
:= exp(−x2/2), обозначим множество действительнозначных измери-
мых функций f таких, что функции f · ρ̃ суммируемы в квадрате на
действительной оси R. Пусть L
2,ρ̃(x)
(R) (соответственно L
2,ρ̃(y)
(R))
есть пространство L2,ρ̃(R) в случае, когда в качестве R выступает
ось абсцисс OX (соответственно ось ординат OY ). Полагаем, что
NN+1 ⊂ L2,ρ̃(x)
(R) и MM+1 ⊂ L2,ρ̃(y)
(R) есть конечномерные подпро-
странства с базисами
{
Hi(x)
}N
i=0
и
{
Hj(y)
}M
j=0
соответственно, где
N,M ∈ Z+. В пространстве L2,ρ(R2) рассмотрим множество функ-
ций
G(NN+1,MM+1) := L2,ρ̃(y)(R)⊗NN+1 ⊕ L2,ρ̃(x)(R)⊗MM+1, (2)
где символами ⊗ и ⊕ обозначены операции тензорного произведения
и прямой суммы множеств. Элементы множества (2) имеют следую-
щий вид:
gN,M (x, y) :=
N∑
i=0
ϕi(y)Hi(x) +
M∑
j=0
ψj(x)Hj(y), (3)
где
{
ϕi
}N
i=0
⊂ L2,ρ̃(y)(R) и
{
ψj
}M
j=0
⊂ L2,ρ̃(x)(R) — произвольные
наборы функций из указанных пространств. Функции вида (3) на-
зывают ”углами” из алгебраических полиномов [2]. Напомним, что
О наилучшем приближении ”углом” в среднем на плоскости . . . 37
понятие ”угла”, как одного из эффективных средств теории ап-
проксимации функций многих переменных, было впервые введено
М.К.Потаповым в работе [3] и нашло применение в исследованиях
других математиков (см., например, [4 – 8] ).
Для произвольной функции f ∈ L2,ρ(R2) символом EN,M (f) обо-
значим ее наилучшее приближение элементами множества (2) в мет-
рике пространства L2,ρ(R2), т.е.
EN,M (f) := inf
{
‖f − gN,M‖ : gN,M ∈ G(NN+1,MM+1)
}
. (4)
Символами SN,∞(f) и S∞,M (f) обозначим отрезки ряда (1) функ-
ции f ∈ L2,ρ(R2) порядка N по x и M по y соответственно, т.е.
SN,∞(f ;x, y) :=
N∑
i=0
∞∑
j=0
cij(f)Hi(x)Hj(y),
S∞,M (f ;x, y) :=
∞∑
i=0
M∑
j=0
cij(f)Hi(x)Hj(y)
(в смысле сходимости рядов в правой части в пространстве L2,ρ(R2)).
Под SN,M (f) понимаем частную сумму ряда Фурье–Эрмита (1)
функции f ∈ L2,ρ(R2) порядка N по x и M по y:
SN,M (f ;x, y) :=
N∑
i=0
M∑
j=0
cij(f)Hi(x)Hj(y).
Функцию
S̃N,M (f ;x, y) := SN,∞(f ;x, y) + S∞,M (f ;x, y)− SN,M (f ;x, y) =
=
N∑
i=0
∞∑
j=0
cij(f)Hi(x)Hj(y) +
∞∑
i=0
M∑
j=0
cij(f)Hi(x)Hj(y)−
−
N∑
i=0
M∑
j=0
cij(f)Hi(x)Hj(y) (5)
38 С.Б. Вакарчук, А.В. Швачко
будем называть обобщенным полиномом Фурье–Эрмита функции
f ∈ L2,ρ(R2) порядка N по x и M по y. Несложно показать, что
функция (5) может быть представлена в виде (3), т.е. S̃N,M (f) явля-
ется элементом множества (2).
2.
Теорема 1. Пусть N,M ∈ N и f ∈ L2,ρ(R2) — произвольная
функция. Тогда справедливо равенство
EN−1,M−1(f) = ‖f − S̃N−1,M−1(f)‖ =
∞∑
i=N
∞∑
j=M
c2ij(f)
1/2
, (6)
т.е. среди всех элементов gN−1,M−1 вида (3), принадлежащих мно-
жеству G(NN ,MM ), наилучшее приближение функции f достав-
ляет ее обобщенный полином Фурье–Эрмита S̃N−1,M−1(f) порядка
N − 1 по x и M − 1 по y.
Доказательство. Пусть фиксирована произвольная функция
gN−1,M−1 ∈ G(NN ,MM ) вида (3). Поскольку
{
ϕi
}N−1
i=0
⊂ L2,ρ̃(y)(R)
и
{
ψj
}M−1
j=0
⊂ L2,ρ̃(x)(R), то в смысле сходимости в метриках про-
странств L2,ρ̃(x)(R) и L2,ρ̃(y)(R) имеют место следующие равенства
ϕi(y) =
∞∑
j=0
cj(ϕi)Hj(y); i = 0, N − 1, (7)
ψj(x) =
∞∑
i=0
ci(ψj)Hi(x); j = 0,M − 1. (8)
Из равенств (3) и (7), (8), в смысле сходимости в метрике простран-
ства L2,ρ(R2), получаем соотношение
gN−1,M−1(x, y)=
N−1∑
i=0
∞∑
j=0
cj(ϕi)Hi(x)Hj(y)+
∞∑
i=0
M−1∑
j=0
ci(ψj)Hi(x)Hj(y).
(9)
О наилучшем приближении ”углом” в среднем на плоскости . . . 39
Известно, что пространство L2,ρ(R2) со скалярным произведени-
ем
< f, h >:=
∫∫
R2
ρ(x, y)f(x, y)h(x, y)dxdy,
где f, h ∈ L2,ρ(R2), и нормой ‖f‖ :=
√
< f, f > является полным
гильбертовым пространством. Используя свойства скалярного про-
изведения, отсюда имеем
‖f − gN−1,M−1‖2 =< f − gN−1,M−1, f − gN−1,M−1 >=
=< f, f > −2 < f, gN−1,M−1 > + < gN−1,M−1, gN−1,M−1 >=
= ‖f‖2 − 2 < f, gN−1,M−1 > +‖gN−1,M−1‖2. (10)
Используя формулы (9), (10), получаем
‖f − gN−1,M−1‖2 =
∞∑
i=0
∞∑
j=0
c2ij(f)− 2
N−1∑
i=0
∞∑
j=0
cj(ϕi)cij(f)−
−2
∞∑
i=0
M−1∑
j=0
ci(ψj)cij(f) +
N−1∑
i=0
∞∑
j=0
c2j (ϕi)+
+
∞∑
i=0
M−1∑
j=0
c2i (ψj) + 2
N−1∑
i=0
M−1∑
j=0
ci(ψj)cj(ϕi) =
=
∞∑
i=N
∞∑
j=M
c2ij(f)+
N−1∑
i=0
∞∑
j=M
(cij(f)−cj(ϕi))2+
∞∑
i=N
M−1∑
j=0
(cij(f)−ci(ψj))2+
+
N−1∑
i=0
M−1∑
j=0
(cij(f)− ci(ψj)− cj(ϕi))2. (11)
Из соотношения (11) следует, что нижняя граница
inf
{
‖f − gN−1,M−1‖ : gN−1,M−1 ∈ G(NN ,MM )
}
40 С.Б. Вакарчук, А.В. Швачко
достигается в единственном случае, когда
cij(f) = cj(ϕi), где i = 0, N − 1; j = M,M + 1, ...;
cij(f) = ci(ψj), где j = 0,M − 1; i = N,N + 1, ...;
cij(f) = ci(ψj) + cj(ϕi), где i = 0, N − 1; j = 0,M − 1
(12)
и равна
∞∑
i=N
∞∑
j=M
c2ij(f). Таким образом,
EN−1,M−1(f) =
∞∑
i=N
∞∑
j=M
c2ij(f)
1/2
.
Подставляя в формулу (9) вместо коэффициентов cj(ϕi), где
i = 0, N − 1; j = 0, 1, ..., и ci(ψj), где j = 0,M − 1; i = 0, 1, ..., их
выражения через коэффициенты cij(f), где i, j ∈ Z+, из соотноше-
ния (12) получаем обобщенный полином Фурье–Эрмита S̃N−1,M−1(f)
рассматриваемой функции f ∈ L2,ρ(R2). При этом, согласно (4),
EN−1,M−1(f) = ‖f − S̃N−1,M−1(f)‖. Теорема 1 доказана.
3. При определении характеристик гладкости функций
f ∈ L2,ρ̃(x)(R) С. З. Рафальсон предложил использовать опера-
тор обобщенного сдвига следующего специального вида [9]:
Ft(f, x) :=
1√
π
∫
R
f
(
x
√
1− t2 + tu
)
ρ̃2(u)du, (13)
где |t| 6 1. Указанный подход получил свое дальнейшее разви-
тие в работах других математиков (см., например, [10 – 13]). Напом-
ним [11], что оператор Ft : L2,ρ̃(x)(R) → L2,ρ̃(x)(R) обладает следую-
щими свойствами:
1) Ft(f1 + f2) = Ft(f1) + Ft(f2),
2) Ft(λf) = λFt(f), λ ∈ R,
3) F0(f) ≡ f ,
4) ‖Ft(f)‖ 6 ‖f‖,
5) ‖Ft − f‖ → 0 при t→ 0+,
6) Ft(Hn, x) =
(
1− t2
)n/2
Hn(x), n ∈ Z+.
О наилучшем приближении ”углом” в среднем на плоскости . . . 41
Символом Fxt (f) (соответственно Fyτ (f), где |τ | 6 1) обо-
значим действие оператора обобщенного сдвига (13) на функцию
f ∈ L2,ρ(R2), как на функцию от переменной x (соответственно y)
при произвольном, но фиксированном значении другой переменной y
(соответственно x). При этом полагаем Fν,xt (f) := F1,x
t
(
Fν−1,xt (f)
)
,
где ν ∈ N, F0,x
t (f) := f , F1,x
t (f) := Fxt (f). Аналогичным образом
записываем Fµ,yτ (f) := F1,y
τ
(
Fµ−1,yτ (f)
)
, где µ ∈ N, F0,y
τ (f) := f ,
F1,y
τ (f) := Fyτ (f).
Как и в классическом случае, определяем обобщенные конечные
разности первого и высших порядков по переменной x, используя
оператор обобщенного сдвига (13). Для этого в случае f ∈ L2,ρ(R2)
полагаем
∆x
t (f) := Fxt (f)− f = (Fxt − I) f,
где I — единичный оператор в пространстве L2,ρ(R2). Для k = 2, 3, ...
под ∆k,x
t (f) подразумеваем следующую величину:
∆k,x
t (f) := ∆1,x
t
(
∆k−1,x
t (f)
)
=(Fxt − I)k f =
k∑
i=0
(−1)k−i
(
k
i
)
F i,xt (f),
где ∆1,x
t (f) := ∆x
t (f). Аналогичным образом по переменной y полу-
чаем
∆y
τ (f) := Fyτ (f)− f = (Fyτ − I) f,
∆l,y
τ (f) := ∆1,y
τ
(
∆l−1,y
τ (f)
)
= (Fyτ − I)l f =
l∑
j=0
(−1)l−j
(
l
j
)
F j,yτ (f),
где l = 2, 3, ...; ∆1,y
τ (f) := ∆y
τ (f).
Для произвольной функции f ∈ L2,ρ(R2) определим обобщенную
смешанную конечную разность первого порядка по переменной x и
первого порядка по переменной y, т.е.
∆x
t (∆y
τ (f)) := Fxt (Fyτ (f))−Fxt (f)−Fyτ (f) + f = (Fxt − I) (Fyτ − I) f.
При этом ∆x
t (∆y
τ (f)) = ∆y
τ (∆x
t (f)). Для обобщенных смешанных
конечных разностей высших порядков получаем
∆k,x
t
(
∆l,y
τ (f)
)
= ∆1,x
t
(
∆k−1,x
t
(
∆l,y
τ (f)
))
= ∆k,x
t
(
∆1,y
τ
(
∆l−1,y
τ (f)
))
=
42 С.Б. Вакарчук, А.В. Швачко
= (Fxt − I)k (Fyτ − I)l f=
k∑
i=0
l∑
j=0
(−1)k+l−i−j
(
k
i
)(
l
j
)
F i,xt
(
F j,yτ (f)
)
,
(14)
где (k, l) ∈ N2\(1, 1), N2 := N ⊗ N; ∆1,x
t := ∆x
t , ∆1,y
τ := ∆y
τ ;
∆0,x
t = ∆0,y
τ := I. Отметим, что ∆k,x
t
(
∆l,y
τ (f)
)
= ∆l,y
τ
(
∆k,x
t (f)
)
.
Величину
ω̃k,l(f ; δ, λ) := sup
{∥∥∥∆k,x
t
(
∆l,y
τ (f)
)∥∥∥ : |t| 6 δ, |τ | 6 λ
}
, (15)
где 0 6 δ, λ 6 1, будем называть обобщенным смешанным модулем
непрерывности функции f ∈ L2,ρ(R2).
4. Согласно [10] введем следующие дифференциальные операто-
ры:
Dx :=
∂2
∂x2
− 2x
∂
∂x
; Dy :=
∂2
∂y2
− 2y
∂
∂y
;
D := Dx +Dy =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
− 2x
∂
∂x
− 2y
∂
∂y
.
Пусть Lr2,ρ(R2) есть класс функций f ∈ L2,ρ(R2), которые име-
ют обобщенные частные производные ∂mf
∂xi∂yj
, где i + j = m,
m = 1, 2r, принадлежащие пространству L2,ρ(R2). При этом
Drf = D
(
Dr−1f
)
∈ L2,ρ(R2), D1 := D, D0f := f . Полагаем
L0
2,ρ(R2) := L2,ρ(R2).
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть N,M, k, l ∈ N; r ∈ Z+. Тогда справедливо
равенство
sup
N,M∈N
sup
f∈Lr2,ρ(R
2)
f 6≡const
2r(N +M)rEN−1,M−1(f)
ω̃k,l
(
Drf ; 1√
N
, 1√
M
) =
1
(1− e−1/2)k+l
. (16)
Доказательство. Пусть f есть произвольная функция из
класса L2,ρ(R2) такая, что f 6≡ const. В работе [10] было показано,
О наилучшем приближении ”углом” в среднем на плоскости . . . 43
что для любых i, j ∈ N справедливо равенство
cij(f) =
(−1)r
2r(i+ j)r
cij(D
rf), (17)
где cij(f) и cij(Drf) — коэффициенты Фурье–Эрмита функций f и
Drf соответственно. Используя формулы (6) и (17), для произволь-
ной функции f ∈ L2,ρ(R2) получаем
EN−1,M−1(f) =
∞∑
i=N
∞∑
j=M
1
22r(i+ j)2r
c2ij(D
rf)
1/2
6
6
1
2r(N +M)r
∞∑
i=N
∞∑
j=M
c2ij(D
rf)
1/2
=
1
2r(N +M)r
EN−1,M−1(Drf).
(18)
На основании перечисленных ранее свойств оператора обобщен-
ного сдвига (13) и формулы (14) запишем
∆k,x
t
(
∆l,y
τ (Drf);x, y
)
=
=
∞∑
i=1
∞∑
j=1
c2ij(D
rf)
((
1− t2
)i/2 − 1
)k ((
1− τ2
)j/2 − 1
)l
Hi(x)Hj(y),
(19)
где равенство понимается в смысле сходимости в метрике простран-
ства L2,ρ(R2). Из равенства (19) и определения обобщенного смешан-
ного модуля непрерывности (15) имеем
ω̃k,l(D
rf ; δ, λ) = sup
|t|6δ,
|τ|6λ
{ ∞∑
i=1
∞∑
j=1
c2ij(D
rf)
((
1− t2
)i/2 − 1
)2k
×
×
((
1− τ2
)j/2 − 1
)2l}1/2
=
44 С.Б. Вакарчук, А.В. Швачко
=
∞∑
i=1
∞∑
j=1
c2ij(D
rf)
(
1−
(
1− δ2
)i/2)2k (
1−
(
1− λ2
)j/2)2l
1/2
,
(20)
где 0 < δ, λ 6 1. Используя соотношения (6) и (20), получаем
ω̃2
k,l(D
rf ; δ, λ)>
∞∑
i=N
∞∑
j=M
c2ij(D
rf)
(
1−
(
1−δ2
)i/2)2k(
1−
(
1−λ2
)j/2)2l
>
>
(
1−
(
1− δ2
)N/2)2k (
1−
(
1− λ2
)M/2
)2l
E2N−1,M−1(Drf). (21)
Из цепочек соотношений (18) и (21) следует оценка сверху наи-
лучшего приближения функции f ∈ L2,ρ(R) элементами множества
G(NN ,MM ) в метрике пространства L2,ρ(R), т.е.
EN−1,M−1(f) 6
(
1−
(
1−δ2
)N/2)−k(
1−
(
1−λ2
)M/2
)−l
2r(N +M)r
ω̃k,l(D
rf ; δ, λ).
Отсюда получаем следующую оценку
sup
f∈Lr2,ρ(R
2)
f 6≡const
2r(N+M)rEN−1,M−1(f)
ω̃k,l(Drf ; δ, λ)
6
1(
1−(1−δ2)
N/2
)k(
1−(1−λ2)
M/2
)l ,
(22)
где 0 < δ, λ 6 1. Для получения оценки снизу величины, рас-
положенной в левой части неравенства (22), рассмотрим функцию
f0(x, y) := HN (x)HM (y), которая принадлежит классу Lr2,ρ(R2).
Из формулы (6) получаем
EN−1,M−1(f0) = 1. (23)
Используя равенство (17), для функции f0 имеем cij(D
rf0) =
{
0,
если i 6= N и j 6= M ; (−1)r2r(N + M)r, если i = N и j = M
}
, где
i, j ∈ Z+, т.е. Drf0(x, y) = (−1)r2r(N + M)rHN (x)HM (y). Тогда из
формулы (20) имеем
ω̃k,l(D
rf0; δ, λ) = 2r(N +M)r
(
1−
(
1− δ2
)N/2)k (
1−
(
1− λ2
)M/2
)l
.
(24)
О наилучшем приближении ”углом” в среднем на плоскости . . . 45
Из соотношений (23), (24) следует оценка снизу рассматриваемой
экстремальной характеристики
sup
f∈Lr2,ρ(R
2)
f 6≡const
2r(N +M)rEN−1,M−1(f)
ω̃k,l(Drf ; δ, λ)
>
2r(N +M)rEN−1,M−1(f0)
ω̃k,l(Drf0; δ, λ)
=
=
1(
1− (1− δ2)
N/2
)k (
1− (1− λ2)
M/2
)l . (25)
Сопоставляя неравенства (22) и (25), имеем равенство
sup
f∈Lr2,ρ(R
2)
f 6≡const
2r(N+M)rEN−1,M−1(f)
ω̃k,l(Drf ; δ, λ)
=
1(
1−(1−δ2)
N/2
)k(
1−(1−λ2)
M/2
)l ,
(26)
где 0 < δ, λ 6 1. Полагая в формуле (26) δ := 1/
√
N, λ := 1/
√
M и
вычисляя верхнюю грань по N,M ∈ N от левой и правой частей ука-
занного равенства, получаем требуемое соотношение (16). Теорема 2
доказана.
Cледствие. Пусть N,M, r ∈ N. Тогда имеет место равенство
sup
f∈Lr2,ρ(R
2)
f 6≡const
2r(N +M)rEN−1,M−1(f)
EN−1,M−1(Drf)
= 1.
1. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 3-е. — М.:
Физматлит, 2007. — 480 с.
2. Ржавинская Е.В. О приближении алгебраическими многочленами в мет-
рике Lp с весом. Дис. канд. физ.-мат. н. — М., 1980. — 126 с.
3. Потапов М.К. О приближении ”углом” // Proc. of the Conf. on
Constructive Theory of Functions. — Budapesht, 1972. — C. 371 – 399.
4. Томич М. О приближении ”углом” функций с доминирующим модулем
гладкости // Publ. De L’inst. Math. — 1978. — 23, № 37. — P. 193 – 206.
5. Haufman W., Zeller K. Uniqueness and non-uniqueness in bivariate L1-
approximation // Approx. Theory IV. Proc. in Intern. Symp., College Station.
Tex., January 10 – 14, 1983. — New York, 1983. — P. 509 – 514.
6. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной произ-
водной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178. — C. 1 – 113.
46 С.Б. Вакарчук, А.В. Швачко
7. Gonska H., Jetter K. Jackson-type theorems on approximation by
trigonometric and algebraic pseudopolynomials // J. Approx. Theory. —
1986. — 48, № 4. — P. 396 – 406.
8. Вакарчук С.Б̇. О наилучшем приближении обобщенными полиномами в
одном пространстве аналитических функций двух комплексных перемен-
ных // Изв. вузов. Матем. — 1991. — №7. — С. 14 – 25.
9. Рафальсон С. З. О приближении функций в среднем суммами Фурье–
Эрмита // Изв. вузов. Матем. — 1968. — №7. — С. 78 – 84.
10. Абилов В.А., Абилова М.В. Приближение функций в пространстве
L2(RN ; e−|x|
2
) // Мат. заметки. — 1995. — 57, № 1. — С. 3 – 19.
11. Абилов М.В., Абилова Ф.В. Некоторые вопросы приближения функций
суммами Фурье–Эрмита в пространстве L2(R, e−x
2
) // Изв. вузов. Ма-
тем. — 2006. — №1. — С. 3 – 12.
12. Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О приближении функций алгебраически-
ми полиномами в среднем на вещественной оси с весом Чебышева–Эрмита
// Вiсник Днiпропетровського ун-ту. Серiя матем. Вип. 16. — 2011. — 19,
№ 6/1. — С. 28 – 31.
13. Вакарчук С.Б., Швачко А.В. О наилучшем приближении в среднем с ве-
сом Чебышева–Эрмита алгебраическими полиномами на всей веществен-
ной оси // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. — 2013. — 10, № 1. — С. 28 – 38.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-65 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:55Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/22/e814970551111a3e7606c49c282b8c22.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-652018-01-29T14:44:04Z On the best approximation by “angles” in the mean on the plane $\mathbb{R}^2$ with the Chebyshev-Hermite weight. О наилучшем приближении ''углом'' в среднем на плоскости $\mathbb{R}^2$ с весом Чебышова-Эрмита О наилучшем приближении ''углом'' в среднем на плоскости $\mathbb{R}^2$ с весом Чебышова-Эрмита Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. Exact inequalities of Jackson type connected with the best approximation by ''angles''&nbsp; of algebraic polynomials are obtained on the classes of differentiable functions of two variables in the metric of space $L_{2,\rho}(\mathbb{R}^2)$ at the Chebyshev-Hermite weight. Точні нерівності типу Джексона, пов'язані з найкращим наближенням ''кутами'' з алгебраїчних поліномів отримано для класів диференційованих функцій двох змінних у метриці простору $L_{2,\rho}(\mathbb{R}^2)$ з вагою Чебишева-Ерміта Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/65 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 35-46 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 35-46 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 35-46 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/65/62 Авторське право (c) 2014 С. Б. Вакарчук, А. В. Швачко |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. On the best approximation by “angles” in the mean on the plane $\mathbb{R}^2$ with the Chebyshev-Hermite weight. |
| title | On the best approximation by “angles” in the mean on the plane $\mathbb{R}^2$ with the Chebyshev-Hermite weight. |
| title_alt | О наилучшем приближении ''углом'' в среднем на плоскости $\mathbb{R}^2$ с весом Чебышова-Эрмита О наилучшем приближении ''углом'' в среднем на плоскости $\mathbb{R}^2$ с весом Чебышова-Эрмита |
| title_full | On the best approximation by “angles” in the mean on the plane $\mathbb{R}^2$ with the Chebyshev-Hermite weight. |
| title_fullStr | On the best approximation by “angles” in the mean on the plane $\mathbb{R}^2$ with the Chebyshev-Hermite weight. |
| title_full_unstemmed | On the best approximation by “angles” in the mean on the plane $\mathbb{R}^2$ with the Chebyshev-Hermite weight. |
| title_short | On the best approximation by “angles” in the mean on the plane $\mathbb{R}^2$ with the Chebyshev-Hermite weight. |
| title_sort | on the best approximation by “angles” in the mean on the plane $\mathbb{r}^2$ with the chebyshev-hermite weight. |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/65 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb onthebestapproximationbyanglesinthemeanontheplanemathbbr2withthechebyshevhermiteweight AT shvachkoav onthebestapproximationbyanglesinthemeanontheplanemathbbr2withthechebyshevhermiteweight AT vakarčuksb onthebestapproximationbyanglesinthemeanontheplanemathbbr2withthechebyshevhermiteweight AT švačkoav onthebestapproximationbyanglesinthemeanontheplanemathbbr2withthechebyshevhermiteweight AT vakarchuksb onailučšempribliženii039039uglom039039vsrednemnaploskostimathbbr2svesomčebyšovaérmita AT shvachkoav onailučšempribliženii039039uglom039039vsrednemnaploskostimathbbr2svesomčebyšovaérmita AT vakarčuksb onailučšempribliženii039039uglom039039vsrednemnaploskostimathbbr2svesomčebyšovaérmita AT švačkoav onailučšempribliženii039039uglom039039vsrednemnaploskostimathbbr2svesomčebyšovaérmita |