Padé approximants of series connected with bilinear transformations
Exact expressions of Pade approximants are constructed for some basic hypergeometric series
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/66 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552594973392896 |
|---|---|
| author | Gavrilyuk, N. M. Golub, A. P. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. |
| author_facet | Gavrilyuk, N. M. Golub, A. P. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. М. Гаврилюк",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
},
{
"author": "А. П. Голуб",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Gavrilyuk, N. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | Exact expressions of Pade approximants are constructed for some basic hypergeometric series |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 47–55
УДК 517.53
Н.М. Гаврилюк (Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi
Лесi Українки, Луцьк)
А.П. Голуб (Iн–т математики НАН України, Київ)
АПРОКСИМАНТИ ПАДЕ РЯДIВ, ПОВ’ЯЗАНИХ З
ДРОБОВО–ЛIНIЙНИМИ ПЕРЕТВОРЕННЯМИ
Exact expressions of Padé approximants are constructed for some basic
hypergeometric series.
Для деяких базисних гiпергеометричних рядiв побудовано явнi вирази їх
апроксимант Паде.
В [1] встановлено такий результат.
Теорема 1. Апроксиманти Паде функцiї
f(z) =
∞∑
k=0
t0z
k
(1− δγk)t0 + δγk
, (1)
де γ, δ ∈ (0,∞)\{1}, t0 ∈ (0, 1), порядкiв [N − 1/N ], N ≥ 1, iснують,
невиродженi i можуть бути записанi у виглядi
[N − 1/N ]f (z) =
PN−1(z)
QN (z)
, (2)
де
QN (z) =
N∑
k=0
c
(N)
k zN−k, (3)
PN−1(z) =
N−1∑
m=0
zm
m∑
k=0
c
(N)
N−k
t0
(1− δγm−k)t0 + δγm−k
, (4)
а c(N)
k , k = 0, N , — коефiцiєнти бiортогонального полiнома
YN =
N∑
k=0
c
(N)
k yk, (5)
c© Н.М. Гаврилюк, А.П. Голуб, 2014
48 Н.М. Гаврилюк, А.П. Голуб
що визначається спiввiдношеннями
YN (xk) = 0, k = 0, N − 1, (6)
де
xk(t) =
t
(1− δγk)t+ δγk
, k = 0,∞,
yj(x) = x(tj) = x
(
t0
(1− γj)t0 + γj
)
, j = 0,∞.
Вiдзначимо, що коефiцiєнти ряду (1) можуть бути записанi у
виглядi
sk =
t0
t0 − δt0γk + δγk
=
t0
t0 + δ(1− t0)γk
=
1
1 + εγk
,
де
ε =
δ(1− t0)
t0
.
Для сталої ε, очевидно, справедливi нерiвностi 0 < ε <∞.
Отже, функцiю (1) можна записати у виглядi
f(z) =
∞∑
k=0
zk
1 + εγk
.
При q 6= 1 та a ∈ R q–символ Похгаммера, або зсунутий q–
факторiал визначається за формулою (див., наприклад, [2, c. 22])
(a; q)n =
{
1, n = 0,
(1− a)(1− aq) · . . . · (1− aqn−1), n = 1, 2, . . . .
З урахуванням цього позначення
1 + εγk =
(1 + ε)(1 + εγ) · . . . · (1 + εγk)
(1 + ε)(1 + εγ) · . . . · (1 + εγk−1)
=
(1 + ε)(−εγ; γ)k
(−ε; γ)k
.
Таким чином,
f(z) =
1
1 + ε
∞∑
k=0
(−ε; γ)k
(−εγ; γ)k
zk =
1
1 + ε
2φ1
[
γ;−ε
−εγ ; γ; z
]
, (7)
Апроксиманти Паде рядiв, повязаних з дробово–лiнiйними . . . 49
де базисний гiпергеометричний ряд визначається формулою
(див. [2, c. 23])
2φ1
[
a; b
c
; q; z
]
=
∞∑
n=0
(a; q)n(b; q)n
(q; q)n(c; q)n
zn.
Вiдзначимо, що визначення коефiцiєнтiв бiортогонального полi-
нома (5) можна звести до пiдрахунку визначникiв матрицi Кошi,
завдяки чому апроксиманти Паде (2) – (4) можна записати в явному
виглядi. А саме, має мiсце наступний результат.
Теорема 2. Апроксиманти Паде функцiї (7) при γ ∈ (0,∞)\{1},
ε ∈ (0,∞), порядкiв [N − 1/N ], N ≥ 1, можуть бути записанi у
виглядi (2), де
QN (z) =
N∑
k=0
zN−k
(−ε; γ)k+N
(−ε; γ)kγ(2N−k−1)k/2(γ; γ)k(γ; γ)N−k
,
PN−1(z) =
N−1∑
m=0
zm
m∑
k=0
(−1)k (−ε; γ)2N−k
(−ε; γ)N−kγ
(N+k−1)(N−k)
2 (γ; γ)k(γ; γ)N−k
×
× 1
1 + εγm−k
.
Доведення. Згiдно з [3, c. 94] нетривiальний бiортогональний
полiном (5), для якого є справедливими спiввiдношення (6), можна
записати в детермiнантному виглядi
YN = εN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
s0 s1 . . . sN
s1 s2 . . . sN−1
. . . . . .
. . . . . .
sN−1 sN . . . s2N−1
y0 y1 . . . yN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, (8)
де εN — ненульова константа, що може обиратися з мiркувань нор-
мування полiнома YN . Розкладаючи визначник (8) за елементами
50 Н.М. Гаврилюк, А.П. Голуб
останнього рядка, отримаємо
YN = εN
N∑
j=0
(−1)N−jyj×
×
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
s0 . . . sj−1 sj+1 . . . sN
s1 . . . sj sj+2 . . . sN+1
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
sN−1 . . . sN+j−2 sN+j . . . s2N−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
. (9)
Але для послiдовностi {sk}∞k=o має мiсце узагальнене моментне зоб-
раження (див. [3, с. 91])
sk+j = yj(xk) = xk(tj), k, j = 0,∞.
Отже, ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
s0 . . . sj−1 sj+1 . . . sN
s1 . . . sj sj+2 . . . sN+1
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
sN−1 . . . sN+j−2 sN+j . . . s2N−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0(t0) . . . x0(tj−1) x0(tj+1) . . . x0(tN )
x1(t0) . . . x1(tj−1) x1(tj+1) . . . x1(tN )
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
xN−1(t0) . . . xN−1(tj−1) xN−1(tj+1) . . . xN−1(tN )
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
(10)
Неважко переконатися, що визначник (10) можна виразити через
визначник матрицi Кошi (див., наприклад, [4, с. 494]).
Дiйсно,
xk(tj) =
tj
(1− δγk)tj + δγk
=
1
1− δγk + δγkt−1j
=
γ−k
γ−k − δ + δt−1j
=
=
γ−k
ξk + ηj
,
Апроксиманти Паде рядiв, повязаних з дробово–лiнiйними . . . 51
де ξk = γ−k − δ, ηj = δt−1j .
Таким чином, останнiй визначник дорiвнює∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
ξ0+η0
. . . 1
ξ0+ηj−1
1
ξ0+ηj+1
. . . 1
ξ0+ηN
γ−1
ξ1+η0
. . . γ−1
ξ1+ηj−1
γ−1
ξ1+ηj+1
. . . γ−1
ξ1+ηN
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
γ−N+1
ξN−1+η0
. . . γ−N+1
ξN−1+ηj−1
γ−N+1
ξN−1+ηj+1
. . . γ−N+1
ξN−1+ηN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=
N−1∏
k=0
γ−k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
ξ0+η0
. . . 1
ξ0+ηj−1
1
ξ0+ηj+1
. . . 1
ξ0+ηN
1
ξ1+η0
. . . 1
ξ1+ηj−1
1
ξ1+ηj+1
. . . 1
ξ1+ηN
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
1
ξN−1+η0
. . . 1
ξN−1+ηj−1
1
ξN−1+ηj+1
. . . 1
ξN−1+ηN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=
N−1∏
k=0
γ−k
∏
i<m
(ξi − ξm)
∏
i<m;i,m6=j
(ηi − ηm)
N−1∏
i=0
N∏
m=0;m 6=j
(ξi + ηm)
=
= κ(1)
N
N∏
m=1
m−1∏
i=0
(ηj − ηm)
j−1∏
i=0
(ηi − ηj)
N∏
m=j+1
(ηj − ηm)
·
N−1∏
i=0
(ξi + ηj)
N−1∏
i=0
N∏
m=0
(ξi + ηm)
=
= κ(2)
N
N−1∏
i=0
(ξi + ηj)
j−1∏
i=0
(ηi − ηj)
N∏
m=j+1
(ηj − ηm)
,
тут i далi κ(l)
N , l = 1, 2, ..., — деякi константи, що залежать вiд N ,
але не залежать вiд j. Пiдставимо в останню формулу значення
ξk = γ−k − δ, ηj = δt−1j .
52 Н.М. Гаврилюк, А.П. Голуб
Отримаємо:
κ(2)
N
N−1∏
i=0
(γ−i − δ + δt−1j )
j−1∏
i=0
(δt−1i − δt
−1
j )
N∏
m=j+1
(δt−1j − δt
−1
m )
=
= κ(2)
N
t−Nj
N−1∏
i=0
γ−i
N−1∏
i=0
(tj − δγitj + δγi)
δN t−Nj
j−1∏
i=0
t−1i
N∏
m=j+1
t−1m
j−1∏
i=0
(tj − ti)
N∏
m=j+1
(tm − tj)
=
= κ(3)
N
N−1∏
i=0
(tj − δγitj + δγi)
tj
N∏
i=0
t−1i
j−1∏
i=0
(tj − ti)
N∏
m=j+1
(tm − tj)
. (11)
Розглянемо окремо
tj − ti =
t0
(1− γj)t0 + γj
− t0
(1− γi)t0 + γi
=
=
t0(1− t0)(γi − γj)(
(1− γj)t0 + γj
)(
(1− γi)t0 + γi
) . (12)
Пiдрахуємо чисельник дробу (11), матимемо
N−1∏
i=0
(tj − δγitj + δγi) =
=
N−1∏
i=0
(
t0
(1− γj)t0 + γj
− δγit0
(1− γj)t0 + γj
+ δγi
)
=
=
N−1∏
i=0
(
t0 − δγi+jt0 + δγi+j
)
(
(1− γj)t0 + γj
)N =
tN0
N−1∏
i=0
(
1 + δ(1−t0)
t0
γi+j
)
(
(1− γj)t0 + γj
)N =
Апроксиманти Паде рядiв, повязаних з дробово–лiнiйними . . . 53
=
tN0
N−1∏
i=0
(1 + εγi+j)
((1− γj)t0 + γj)N
=
tN0 (1 + εγj)(1 + εγj+1) · . . . · (1 + εγj+N−1)(
(1− γj)t0 + γj
)N =
=
tN0 (1 + ε)(1 + εγ) · . . . · (1 + εγj+N−1)(
(1− γj)t0 + γj
)N
(1 + ε)(1 + εγ) · . . . · (1 + εγj−1)
=
=
tN0 (−ε; γ)j+N(
(1− γj)t0 + γj
)N
(−ε; γ)j
. (13)
Пiдставимо (12) та (13) в (11). Отримаємо:
κ(4)
N
tN0 (−ε; γ)j+N(
(1− γj)t0 + γj
)N
(−ε; γ)j
× (1− γj)t0 + γj
t0
×
×
j−1∏
i=0
(
(1− γj)t0 + γj
)(
(1− γi)t0 + γi
)
t0(1− t0)(γi − γj)
×
×
N∏
m=j+1
(
(1− γm)t0 + γm
)(
(1− γj)t0 + γj
)
t0(1− t0)(γj − γm)
=
= κ(5)
N
(−ε; γ)j+N
(
(1− γj)t0 + γj
)N+1(
(1− γj
)
t0 + γj)N (−ε; γ)j
×
×
j−1∏
i=0
(
(1− γi)t0 + γi
) N∏
m=j+1
(
(1− γm)t0 + γm
)
(
t0(1− t0)
)N j−1∏
i=0
(γi − γj)
N∏
m=j+1
(γj − γm)
=
= κ(6)
N
(−ε; γ)j+N
N∏
i=0
((1− γi)t0 + γi)
(−ε; γ)j
j−1∏
i=0
(γi − γj)
N∏
m=j+1
(γj − γm)
=
= κ(7)
N
(−ε; γ)j+N
(−ε; γ)j
j−1∏
i=0
(γi − γj)
N∏
m=j+1
(γj − γm)
.
54 Н.М. Гаврилюк, А.П. Голуб
Розглянемо окремо
j−1∏
i=0
(γi − γj) =
j−1∏
i=0
γi
j−1∏
i=0
(1− γj−i) =
j−1∏
i=0
γi
j∏
i=1
(1− γi) =
= γj(j−1)/2
j∏
i=1
(1− γi) = γj(j−1)/2(γ; γ)j .
Аналогiчно
N∏
m=j+1
(γj − γm) =
N∏
m=j+1
γm(γj−m − 1) =
N∏
m=j+1
γm ·
N−j∏
m=1
(γ−m − 1) =
=
N∏
m=j+1
γm ·
N−j∏
m=1
γ−m ·
N−j∏
m=1
(1− γm) = γ(j+1+N)(N−j)/2×
×γ−(N−j)(N−j+1)/2
N−j∏
m=1
(1− γm) = γj(N−j)(γ; γ)N−j .
У результатi отримаємо для визначникiв (10) формулу
κ(8)
N
(−ε; γ)j+N
(−ε; γ)jγj(j−1)/2+j(N−j)(γ; γ)j(γ; γ)N−j
=
=
(−ε; γ)j+N
(−ε; γ)jγ(2N−j−1)j/2(γ; γ)j(γ; γ)N−j
.
Згiдно з (9) це означає, що коефiцiєнти полiнома (5) можуть бути
записанi у виглядi
c
(N)
k = εN (−1)N−k (−ε; γ)k+N
(−ε; γ)kγ(2N−k−1)k/2(γ; γ)k(γ; γ)N−k
,
звiдки i випливає твердження теореми.
1. Golub A. P. Generalized moment representations and Padé approximants
associated with bilinear transformations // Укр. мат. журн. — 2002. — 54,
№ 5. — C. 335 – 339.
Апроксиманти Паде рядiв, повязаних з дробово–лiнiйними . . . 55
2. Гаспер Дж., Рахман М. Базисные гипергеометрические ряды. — М.: Мир,
1993. — 349 с.
3. Голуб А.П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. —
Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. — 222 с.
4. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложе-
ния. — М.: Мир, 1983. — 576 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-66 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:55Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/20/6354ac00237ff92897f9547ff0512020.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-662018-01-29T14:44:04Z Padé approximants of series connected with bilinear transformations Апроксиманти Паде рядів, повязаних з дробово-лінійними перетвореннями Gavrilyuk, N. M. Golub, A. P. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. Exact expressions of Pade approximants are constructed for some basic hypergeometric series Для деяких базисних гіпергеометричних рядів побудовано явні вирази їх апроксимант Паде Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/66 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 47-55 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 47-55 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 47-55 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/66/61 |
| spellingShingle | Gavrilyuk, N. M. Golub, A. P. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. Padé approximants of series connected with bilinear transformations |
| title | Padé approximants of series connected with bilinear transformations |
| title_alt | Апроксиманти Паде рядів, повязаних з дробово-лінійними перетвореннями |
| title_full | Padé approximants of series connected with bilinear transformations |
| title_fullStr | Padé approximants of series connected with bilinear transformations |
| title_full_unstemmed | Padé approximants of series connected with bilinear transformations |
| title_short | Padé approximants of series connected with bilinear transformations |
| title_sort | padé approximants of series connected with bilinear transformations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/66 |
| work_keys_str_mv | AT gavrilyuknm padeapproximantsofseriesconnectedwithbilineartransformations AT golubap padeapproximantsofseriesconnectedwithbilineartransformations AT gavrilûknm padeapproximantsofseriesconnectedwithbilineartransformations AT golubap padeapproximantsofseriesconnectedwithbilineartransformations AT gavrilyuknm aproksimantipaderâdívpovâzanihzdrobovolíníjnimiperetvorennâmi AT golubap aproksimantipaderâdívpovâzanihzdrobovolíníjnimiperetvorennâmi AT gavrilûknm aproksimantipaderâdívpovâzanihzdrobovolíníjnimiperetvorennâmi AT golubap aproksimantipaderâdívpovâzanihzdrobovolíníjnimiperetvorennâmi |