On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions.
In this paper estimates group of deviations of Fourier sums on the spaces $C^{\bar{\psi}}$ expressed in terms of the best approximation of $\bar{\psi}$-derivatives of functions in the sense of A.I.Stepanets are found. The sequence $\bar{\psi}=(\psi_1,\psi_2)$ are quasi-convex
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/67 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552594847563776 |
|---|---|
| author | Gayevs’kyĭ, M. V. Гаєвський, М. В. |
| author_facet | Gayevs’kyĭ, M. V. Гаєвський, М. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Гаєвський",
"institution": "Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка"
}
] |
| author_sort | Gayevs’kyĭ, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | In this paper estimates group of deviations of Fourier sums on the spaces $C^{\bar{\psi}}$ expressed in terms of the best approximation of $\bar{\psi}$-derivatives of functions in the sense of A.I.Stepanets are found. The sequence $\bar{\psi}=(\psi_1,\psi_2)$ are quasi-convex |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 56–70
УДК 517.5
Гаєвський М.В. (Кiровоградський державний педагогiчний унiверси-
тет iменi Володимира Винниченка)
ОЦIНКИ ГРУПИ ВIДХИЛЕНЬ
ψ̄-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
In this paper estimates group of deviations of Fourier sums on the spaces Cψ̄
expressed in terms of the best approximation of ψ̄-derivatives of functions in
the sense of A. I. Stepanets are found. The sequence ψ̄ = (ψ1, ψ2) are quasi-
convex.
У роботi знайдено оцiнки групи вiдхилень сум Фур’є на просторах Cψ̄,
вираженi через найкращi наближення ψ̄-похiдних функцiй в розумiннi
О. I. Степанця. Послiдовностi ψ̄ = (ψ1, ψ2) є квазiопуклими.
Нехай L — простiр 2π-перiодичних сумовних за Лебегом функ-
цiй f з нормою ‖f‖L = 1
π
∫ π
−π |f(t)|dt, а C — пiдпростiр L, що скла-
дається з неперервних функцiй з нормою ‖f‖C = max
t
|f |.
Нехай
S[f ] :=
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
(1)
— ряд Фур’є за тригонометричною системою функцiї f ∈ L; a0(f),
ak(f), bk(f), k = 1, 2, . . . — її коефiцiенти Фур’є. Позначимо через
Sn(f ;x) — частинну суму ряду Фур’є (1) порядку n i покладемо
ρn(f ;x) = f(x) − Sn(f ;x). Нехай далi Tn — множина тригономет-
ричних полiномiв вигляду tn(x) =
∑n
k=0
(
ck cos kx+ dk sin kx
)
i
En(f) := En(f)C := inf
tn∈Tn
‖f − tn‖C
— найкраще наближення функцiї f за допомогою тригонометричних
полiномiв tn ∈ Tn.
О. I. Степанець (див., наприклад, [1, с. 149]) ввiв поняття ψ̄-
похiдних i визначив класи Cψ̄C0 таким чином.
Нехай f ∈ L i (1) — її ряд Фур’є, ψ̄ = (ψ1, ψ2) — пара довiльних
числових послiдовностей ψ1(k) i ψ2(k), причому для довiльного k ∈ N
c© М. В. Гаєвський, 2014
Оцiнки групи вiдхилень ψ̄-диференцiйовних функцiй 57
ψ̄2(k) = ψ2
1(k) + ψ2
2(k) 6= 0.
Якщо ряд
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ̄2(k)
Ak(f ;x)− ψ2(k)
ψ̄2(k)
Ãk(f ;x)
)
,
де
Ak(f ;x) = ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx,
Ãk(f ;x) = ak(f) sin kx− bk(f) cos kx,
є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L, то ϕ назвемо ψ̄-похiдною функцiї
f i позначимо її через f ψ̄.
Через Cψ̄ будемо позначати множину всiх неперервних функцiй
f, у яких iснують ψ̄-похiднi i покладемо
Cψ̄C0 =
{
f ∈ Cψ̄ : f ψ̄ ∈ C0
}
,
C0 =
{
f ∈ C :
∫ π
−π
f(t)dt = 0
}
.
У данiй роботi на множинi функцiй Cψ̄C0 будуть дослiджуватись
величини
Rpn(f ;x) =
(
1
n
2n−1∑
k=n
|ρk(f ;x)|p
) 1
p
та Hp
n(f ;λ;x) =
∞∑
k=n
λk|ρk(f ;x)|p,
де p — довiльне додатне число, λ = {λk} — послiдовнiсть дiйсних
чисел.
Вперше функцiонали такого вигляду вивчалися у вiдомих робо-
тах Хардi i Лiттлвуда [2, 3], в яких були закладенi основи сучасної
теорiї сильного пiдсумовування рядiв Фур’є. Сильне пiдсумовування
дослiджувалось багатьма авторами, бiльш детально з бiблiографiєю
та деякими результатами можна ознайомитись, наприклад, в [4 – 8].
Позначимо через M множину додатних, неперервних та опуклих
донизу при v ≥ 1 функцiй ψ(v), що зникають на нескiнченностi,
тобто
M =
{
ψ(v) : ψ(v) > 0, lim
v→∞
ψ(v) = 0,
58 М.В. Гаєвський
ψ(v1)− 2ψ
(
v1 + v2
2
)
+ ψ(v2) ≤ 0,∀v1, v2 ∈ [1,∞)
}
;
M0 — пiдмножина функцiй ψ ∈ M, для яких 0 < µ(ψ, t) ≤ K < ∞,
де µ(ψ, t) = t
η(t)−t та ψ(η(t)) = 1
2ψ(t); M′ — пiдмножина функцiй
ψ ∈ M, для яких
∫∞
1
ψ(t)
t dt < ∞. Зазначимо, що природними пред-
ставниками множини M є функцiї t−r, exp (−tr), r > 0; до множини
M0 належать, наприклад, такi функцiї: ln−r (t+ e), r > 0; до M′ —
функцiя t−r, r > 0.
У роботi [8] О. I. Степанець отримав оцiнки величин Rpn(f ;x) i
Hp
n(f ;λ;x). А саме справедливi наступнi теореми:
Теорема А. Нехай ±ψ1 ∈ M0, ±ψ2 ∈ M′0, тодi при кожному
p > 0 для довiльної f ∈ Cψ̄C0 у кожнiй точцi x справедлива нерiв-
нiсть
Rpn(f ;x) ≤ Kp
(∫ ∞
n
|ψ2(t)|
t
dt+ ψ(n)
)
En−1(fψ).
Теорема Б. Нехай ±ψ1 ∈ M0, ±ψ2 ∈ M′0, p > 0, послiдовнiсть
λ = {λk}, k ∈ N така, що λk ≥ 0 i числа βk = λkα
p
k, де
αk =
∫ ∞
k
|ψ2(t)|
t
dt+ ψ(k),
не зростають при всiх k ≥ n, тодi для довiльної f ∈ Cψ̄C0 у кожнiй
точцi x справедлива нерiвнiсть
Hp
n(f ;λ;x) ≤ Kp
(
nλnα
p
nE
p
n(fψ) +
∞∑
k=n
λkα
p
kE
p
k(fψ)
)
.
Тут i далi пiд Kp будемо розумiти деякi додатнi величини, що
можуть залежати лише вiд параметра p i є можливо неоднаковими
у рiзних формулах.
Нехай 4γk = γk − γk+1, 42γk = 4γk − 4γk+1, де {γk} — деяка
числова послiдовнiсть. Кажуть, що послiдовнiсть {γk} є опуклою,
якщо42γk ≥ 0, k = 0, 1, 2, . . .. Послiдовнiсть γk є квазiопуклою, якщо
∞∑
k=0
(k + 1)|42γk| <∞.
Оцiнки групи вiдхилень ψ̄-диференцiйовних функцiй 59
Метою даної роботи є узагальнення деяких результатiв з [8] за
умови, що послiдовностi ψ1(k) та ψ2(k) є квазiопуклими.
Має мiсце наступна лема.
Лема 1. Нехай послiдовностi ψ1(k) та ψ2(k), що прямують до
нуля, є квазiопуклими та крiм того
∞∑
k=1
|ψ2(k)|
k
<∞. (2)
Тодi для довiльної функцiї f ∈ CψC0 у всiх точках x ∈ [−π, π] має
мiсце наступна рiвнiсть
ρn(f ;x) =
1
π
∫ π
−π
fψ(x+ t)Fn(ψ, t)dt,
де
Fn(ψ, t) =
∞∑
k=n+1
(
ψ1(k) cos kt+ ψ2(k) sin kt
)
.
Доведення. Зазначимо, що з умов леми на послiдовностi ψ1(k)
та ψ2(k) ряд
∑∞
k=1
(
ψ1(k) cos kt+ψ2(k) sin kt
)
є рядом Фур’є сумовної
функцiї (див., наприклад, [9]), тому Fn(ψ, t) ∈ L при кожному фiк-
сованому n ∈ N. Крiм цього, fψ ∈ L∞. Таким чином, застосувавши
твердження 1.1′ [1, с. 178], отримаємо лему 1.
Теорема 1. Нехай послiдовностi ψ1(k) та ψ2(k), що прямують
до нуля, є квазiопуклими та крiм того виконується (2). Тодi для
довiльної функцiї f ∈ CψC0 та довiльного 0 < p <∞ у всiх точках
x ∈ [−π, π] має мiсце наступна нерiвнiсть
Rpn(f ;x) ≤ Kp
( ∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
+
∞∑
k=n+1
(k + 1)(|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|)
)
En(fψ). (3)
60 М.В. Гаєвський
Доведення. Нехай tn — тригонометричний полiном найкращого
наближення порядку не вище n функцiї fψ. Будемо спочатку вва-
жати, що 2 ≤ p <∞. Враховуючи лему 1 та ортогональнiсть триго-
нометричної системи функцiй отримаємо наступне спiввiдношення
Rpn(f ;x) =
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
∫ π
−π
(fψ(x+ t)− tn(x+ t))×
×
∞∑
ν=k+1
(
ψ1(ν) cos νt+ ψ2(ν) sin νt
)
dt
∣∣∣p) 1
p
.
Скориставшись нерiвностями
|a+ b|p ≤ 2p(|a|p + |b|p), p ≥ 1,
та
|a+ b|p ≤
(
|a|p + |b|p
)
, 0 ≤ p ≤ 1,
отримаємо
Rpn(f ;x) ≤ Kp
((
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
∫ π
0
(fψ(x+ t)− tn(x+ t))×
×
∞∑
ν=k+1
(ψ1(ν) cos νt+ ψ2(ν) sin νt)dt
∣∣∣p) 1
p
+
+
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
∫ π
0
(
fψ(x− t)− tn(x− t)
)
×
×
∞∑
ν=k+1
(ψ1(ν) cos νt− ψ2(ν) sin νt)dt
∣∣∣p) 1
p
= Kp(R+ +R−). (4)
Оцiнимо спочатку перший доданок у правiй частинi рiвностi (4)
R+ ≤
Оцiнки групи вiдхилень ψ̄-диференцiйовних функцiй 61
≤ Kp
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
π
k∫
0
∆n(f)
∞∑
ν=k+1
(
ψ1(ν) cos νt+ ψ2(ν) sin νt
)
dt
∣∣∣p
1
p
+
+
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
∫ π
π
k
∆n(f)
∞∑
ν=k+1
ψ1(ν) cos νtdt
∣∣∣p)
1
p
+
+
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
∫ π
π
k
∆n(f)
∞∑
ν=k+1
ψ2(ν) sin νtdt
∣∣∣p)
1
p
= Kp(I1 + I2 + I3),
де
∆n(f) = ∆n(fψ, tn, x, t) = fψ(x+ t)− tn(x+ t).
Для оцiнки величини I1 скористаємося спiввiдношенням, що є на-
слiдком теорем 1 та 2 [10]
∣∣∣ ∫ π
m
0
∣∣a0
2
+
∞∑
k=1
(
ak cos kt+ bk sin kt
)∣∣dt− ∞∑
k=2m+1
|bk|
k
∣∣∣ ≤
≤ K
(
m−1∑
k=1
k(m− k)
m
(|42ak−1|+ |42bk−1|)+
+
∞∑
k=m
(k + 1)(|42ak|+ |42bk|)
)
. (5)
Тодi
I1 ≤
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
π
k∫
0
∆n(f)
∞∑
ν=k+1
(
ψ1(ν) cos νt+ ψ2(ν) sin νt
)
dt
∣∣∣p
1
p
≤
≤ En(fψ)
1
n
2n−1∑
k=n
1
π
π
k∫
0
∣∣∣ ∞∑
ν=k+1
(ψ1(ν) cos νt+ ψ2(ν) sin νt)
∣∣∣dt
p
1
p
.
62 М.В. Гаєвський
Отже, поклавши в (5) m = k та aν = bν = 0 при ν ≤ k; aν = ψ1(ν),
bν = ψ2(ν) при ν > k, отримаємо
I1 ≤ KpEn(fψ)
( ∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
∞∑
k=n+1
(k + 1)
(
|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|
))
.
Для оцiнки I2 до суми пiд iнтегралом двiчi застосуємо перетво-
рення Абеля:
∞∑
ν=k+1
ψ1(ν) cos νt =
=
∞∑
ν=k+1
(ν+1)42ψ1(ν)Fν(t)− (k+1)4ψ1(k+1)Fk(t)−ψ1(k+1)Dk(t),
де
Dk(t) =
1
2
+
k∑
ν=1
cos νt =
sin (k + 1
2 )t
2 sin t
2
та
Fk(t) =
1
k + 1
k∑
ν=0
Dν(t) =
sin2 kt
4(k + 1) sin2 t
2
.
Тодi
I2 ≤ Kp
( 1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ψ1(k + 1)
π
∫ π
π
n
∆n(f)Dk(t)dt
∣∣∣p)
1
p
+
+
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ψ1(k + 1)
π
∫ π
n
π
k
∆n(f)Dk(t)dt
∣∣∣p)
1
p
+
+
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ (k + 1)4ψ1(k + 1)
π
∫ π
π
k
∆n(f)Fk(t)dt
∣∣∣p)
1
p
+
+
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
∫ π
π
k
∆n(f)
∞∑
ν=k+1
(ν + 1)42ψ1(ν)Fν(t)dt
∣∣∣p)
1
p
.
Оцiнки групи вiдхилень ψ̄-диференцiйовних функцiй 63
Враховуючи, що мають мiсце наступнi нерiвностi та спiввiдно-
шення
Fν(t) ≥ 0, t ∈ [−π, π] та
∫ π
π
ν
Fν(t)dt ≤
∫ π
−π
Fν(t)dt = π,
(n+ 1)|4ψ1(n+ 1)| ≤
∞∑
k=n+1
(k + 1)|42ψ1(k)|,
|ψ1(n+ 1)| ≤
∞∑
k=n+1
(k + 1)|42ψ1(k)|,
Dk(t) =
sin (k + 1
2 )t
2 sin t
2
= cos
t
2
· sin kt
2 sin t
2
+
cos kt
2
,
|Dk(t)| ≤ K
t
, t ∈
[π
k
, π
]
,
∫ π
n
π
k
|Dk(t)|dt ≤
∫ π
n
π
k
K
t
dt ≤ K,
а також те, що функцiя
1
2 sin t
2
− 1
t
є обмеженою при t ∈
[π
n
, π
]
,
остаточно отримаємо
I2 ≤ Kp
( 1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ψ1(k + 1)
π
∫ π
π
n
∆n(f)
sin kt
t
dt
∣∣∣p)
1
p
+
+En(fψ)
∞∑
k=n+1
(k + 1)|42ψ1(k)|
)
.
Аналогiчно проводиться оцiнка I3:
∞∑
ν=k+1
ψ2(ν) sin νt =
∞∑
ν=k+1
(ν + 1)42ψ1(ν)42ψ1(ν)F ν(t)−
−(k + 1)4ψ1(k + 1)F k(t)− ψ1(k + 1)Dk(t),
де
Dk(t) = −
cos t2
2 sin t
2
+
k∑
ν=1
sin νt = −
cos (k + 1
2 )t
2 sin t
2
64 М.В. Гаєвський
та
F k(t) =
1
k + 1
k∑
ν=0
Dν(t) = − sin (k + 1)t
4(k + 1) sin2 t
2
.
Також, зауважимо, що мають мiсце наступнi спiввiдношення∫ π
π
k
∣∣∣F k(t)
∣∣∣dt ≤ K ∫ π
π
k
1
4(k + 1)t2
dt ≤ K,
Dk(t) =
cos (k + 1
2 )t
2 sin t
2
= cos
t
2
· cos kt
2 sin t
2
− sin kt
2
,
|Dk(t)| ≤ K
t
, t ∈
[π
k
, π
]
,
∫ π
n
π
k
|Dk(t)|dt ≤
∫ π
n
π
k
K
t
dt ≤ K,
тому
I3 ≤ Kp
( 1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ψ2(k + 1)
π
∫ π
π
n
∆n(f)
cos kt
t
dt
∣∣∣p)
1
p
+
+En(fψ)
∞∑
k=n+1
(k + 1)|42ψ2(k)|
)
.
Об’єднавши оцiнки величин I1, I2 та I3, отримаємо
R+ ≤ Kp
(
En(fψ)
( ∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
+
∞∑
k=n+1
(k + 1)
(
|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|
))
+
+
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ψ1(k + 1)
π
∫ π
π
n
∆n(f)
sin kt
t
dt
∣∣∣p)
1
p
+
+
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ψ2(k + 1)
π
∫ π
π
n
∆n(f)
cos kt
t
dt
∣∣∣p)
1
p
≤
Оцiнки групи вiдхилень ψ̄-диференцiйовних функцiй 65
≤ Kp
(
En(fψ)
( ∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
+
∞∑
k=n+1
(k + 1)(|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|)
)
+
+ max
n+1≤k≤2n
|ψ1(k)|
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
∫ π
π
n
∆n(f)
sin kt
t
dt
∣∣∣p)
1
p
+
+ max
n+1≤k≤2n
|ψ2(k)|
(
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
∫ π
π
n
∆n(f)
cos kt
t
dt
∣∣∣p) 1
p
)
≤
≤ KpEn(fψ)
( ∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
+
∞∑
k=n+1
(k + 1)(|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|)
)
+
+Kp
( ∞∑
k=n+1
(k + 1)(|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|)
)
×
×
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
π∫
π
n
∆n(f)
sin kt
t
dt
∣∣∣p
1
p
+
+
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
π∫
π
n
∆n(f)
cos kt
t
dt
∣∣∣p
1
p
.
Далi позначимо через S суму двох доданкiв
S =
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
π∫
π
n
∆n(f)
sin kt
t
dt
∣∣∣p
1
p
+
66 М.В. Гаєвський
+
1
n
2n−1∑
k=n
∣∣∣ 1
π
π∫
π
n
∆n(f)
cos kt
t
dt
∣∣∣p
1
p
i для її оцiнки при фiксованих x та n покладемо
ϕn(t) =
{
∆n(f)
t при t ∈ [πn , π],
0, при iнших значеннях t.
Коефiцiєнти Фур’є цiєї функцiї позначимо через αk = αk(ϕn) та
βk = βk(ϕn), тодi
S =
(
1
n
2n−1∑
k=n
|αk|p
) 1
p
+
(
1
n
2n−1∑
k=n
|βk|p
) 1
p
.
Оскiльки 1 < p′ ≤ 2,
1
p
+
1
p′
= 1, то можемо використати теорему
Хаусдорфа–Юнга [11, с. 153], згiдно з якою
(
1
n
2n−1∑
k=n
|αk|p
) 1
p
≤ 1
n
1
p
‖ϕn‖p′ ≤
1
πn
1
p
π∫
π
n
|∆n(f)|p′
tp′
dt
1
p′
≤
≤ KpEn(fψ)n−
1
pn
p′−1
p′ = KpEn(fψ)n
1− 1
p′−
1
p = KpEn(fψ).
Аналогiчно (
1
n
2n−1∑
k=n
|βk|p
) 1
p
≤ KpEn(fψ).
Отже,
S ≤ KpEn(fψ)
i тому
R+ ≤ KpEn(fψ)
( ∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
Оцiнки групи вiдхилень ψ̄-диференцiйовних функцiй 67
+
∞∑
k=n+1
(k + 1)(|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|)
)
.
Оцiнка величини R− iз спiввiдношення (4) проводиться аналогiч-
но i має мiсце нерiвнiсть
R− ≤ KpEn(fψ)
( ∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
+
∞∑
k=n+1
(k + 1)(|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|)
)
,
тому з (4) слiдує
Rpn(f ;x) ≤ KpEn(fψ)
( ∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
+
∞∑
k=n+1
(k + 1)(|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|)
)
,
У випадку 2 ≤ p <∞ теорема доведена.
Оцiнка (3) у випадку 0 < p < 2 слiдує з доведеного, для цього
слiд використати наслiдок з нерiвностi Гельдера [12, с. 41], тобто(
1
n
2n−1∑
k=n
|ρn(f ;x)|p
) 1
p
≤
(
1
n
2n−1∑
k=n
|ρn(f ;x)|s
) 1
s
,
де 0 < p ≤ s.
Теорема доведена.
Зауваження. Якщо в умовi теореми 1 послiдовностi ψ1(k) та
ψ2(k) є опуклими, то спiввiдношення (3) ранiше було встановлено
О. I. Степанцем [1].
Теорема 2. Нехай послiдовностi ψ1(k) та ψ2(k), що пряму-
ють до нуля, є квазiопуклими та крiм того виконується (2), λk —
68 М.В. Гаєвський
незростаюча послiдовнiсть невiд’ємних чисел i числа βk = λkα
p
k, де
αk =
∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
∞∑
k=n+1
(k + 1)
(
|42ψ1(k)|+ |42ψ2(k)|
)
,
не зростають. Тодi для довiльної функцiї f ∈ CψC0 та довiльного
0 < p <∞ у всiх точках x ∈ [−π, π] має мiсце наступна нерiвнiсть
Hp
n(f ;λ;x) ≤ Kp
(
nλnα
p
nE
p
n(fψ) +
∞∑
k=n
λkα
p
kE
p
k(fψ)
)
.
Доведення. Покладемо n0 = n, n1 = 2n0, . . . , ni = 2ni−1, . . ..
Тодi
Hp
n(f ;λ;x) =
∞∑
i=0
ni+1−1∑
k=ni
λk|ρk(f ;x)|p ≤
∞∑
i=0
λni
2ni−1∑
k=ni
|ρk(f ;x)|p.
Для оцiнки останнього виразу застосуємо теорему 1 i отримаємо
Hp
n(f ;λ;x) ≤ Kp
∞∑
i=0
λniniα
p
niE
p
ni(f
ψ).
Оскiльки за умовою теореми λkα
p
k ≥ λk+1α
p
k+1, то для всiх k та-
ких, що ni−1 ≤ k ≤ 2ni−1 − 1 < ni буде мати мiсце нерiвнiсть
λniα
p
niE
p
ni(f
ψ) ≤ λkαpkE
p
k(fψ) i значить
λniα
p
niE
p
ni(f
ψ) =
1
ni−1
2ni−1−1∑
k=ni−1
λniα
p
niE
p
ni(f
ψ) ≤
≤ 1
ni−1
2ni−1−1∑
k=ni−1
λkα
p
kE
p
k(fψ).
Тодi
Hp
n(f ;λ;x) ≤
Оцiнки групи вiдхилень ψ̄-диференцiйовних функцiй 69
≤ Kp
λn0
n0α
p
n0
Epn0
(fψ) +
∞∑
i=1
ni
ni−1
2ni−1−1∑
k=ni−1
λniα
p
niE
p
ni(f
ψ)
≤
≤ Kp
λn0
n0α
p
n0
Epn0
(fψ) +
∞∑
i=1
2ni−1−1∑
k=ni−1
λkα
p
kE
p
k(fψ)
≤
≤ Kp
(
nλnα
p
nE
p
n(fψ) +
∞∑
k=n
λkα
p
kE
p
k(fψ)
)
.
Теорему доведено.
Якщо в теоремi 2 покласти n = 0 i задати послiдовнiсть λk так
λk = λ
(m)
k =
{
1
m+1 , при k ∈ [0,m],
0, при k ≥ m+ 1,
то отримаємо такий наслiдок
Наслiдок. Нехай послiдовностi ψ1(k) та ψ2(k) є квазiопукли-
ми та виконується (2), тодi для довiльної функцiї f ∈ CψC0 та
довiльного 0 < p <∞ має мiсце така нерiвнiсть
m∑
k=0
|ρk(f ;x)|p ≤ Kpα
p
0
m∑
k=0
Epk(fψ).
Автор висловлює подяку рецензентам за увагу до роботи та слуш-
нi зауваження.
1. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН України. — 2002. — 40. — Ч. I. — 427 с.
2. Hardy G.Н., Littlеwооd J. E. Sur la serie de Fourier d’une fonction a carre
sommable // Comput. Rev. — 1913. — 153. — P. 1307 – 1309.
3. Hardy G.H., Littlewооd J. E. On the strong summability of Fourier series //
Proc. London. Math. Soc. — 1926. — 26. — P. 273 – 286.
4. Alexits G., Kralik D. Über die Approximation mit starken de la Vallee-
Poussinschen Mitteln // Acta Math. Hungar. — 1965. — 16, № 1 – 2. —
P. 43 – 49.
70 М.В. Гаєвський
5. Totik V. On the strong approximation of Fourier series // Acta Math. Acad.
Sci. Hungar. — 1980. — 35, № 1 – 2. — P. 151—172.
6. Пачулиа Н.Л., Степанец А.И. Сильная суммируемость рядов Фурье на
классах (ψ, β)−дифференцируемых функций // Мат. заметки. — 1988. —
44, № 4. — С. 506 – 516.
7. Пачулиа Н.Л. О сильной суммируемости рядов Фурье по системам функ-
ций полиномиального вида // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1987. — 180. —
C. 172 – 174
8. Степанец А.И. Скорость сходимости группы отклонений на множествах
ψ-интегралов // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 12. — C. 1673 – 1693.
9. Теляковский С.А. Условия интегрируемости тригонометрических рядов и
их приложение к изучению линейных методов суммирования рядов Фу-
рье // Изв. АН СССР. Сер. Мат. — 1964. — 28. — C. 1209 – 1236.
10. Теляковский С.А. Оценка нормы функции через ее коэффициенты Фурье,
удобная в задачах теории аппроксимации // Тр. Мат. ин-та АН СССР. —
1971. — 109. — C. 65 – 97.
11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: Мир, 1965. — Т.2 — 537 с.
12. Харди Г. Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948. —
456 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-67 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:55Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/9e/299a6e0a3021f838120f3650d508b49e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-672018-01-29T14:44:04Z On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions. Оцінки групи відхилень $\bar{\psi}$-диференційовних функцій Gayevs’kyĭ, M. V. Гаєвський, М. В. In this paper estimates group of deviations of Fourier sums on the spaces $C^{\bar{\psi}}$ expressed in terms of the best approximation of $\bar{\psi}$-derivatives of functions in the sense of A.I.Stepanets are found. The sequence $\bar{\psi}=(\psi_1,\psi_2)$ are quasi-convex У роботі знайдено оцінки групи відхилень сум Фур'є на просторах $C^{\bar{\psi}},$ виражені через найкращі наближення $\bar{\psi}$-похідних функцій в розумінні О.І.Степанця. Послідовності $\bar{\psi}=(\psi_1,\psi_2)$ є квазіопуклими Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/67 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 56-70 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 56-70 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 56-70 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/67/63 |
| spellingShingle | Gayevs’kyĭ, M. V. Гаєвський, М. В. On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions. |
| title | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions. |
| title_alt | Оцінки групи відхилень $\bar{\psi}$-диференційовних функцій |
| title_full | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions. |
| title_fullStr | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions. |
| title_full_unstemmed | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions. |
| title_short | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions. |
| title_sort | on lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions. |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/67 |
| work_keys_str_mv | AT gayevskyimv onlebesguecontinuityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT gaêvsʹkijmv onlebesguecontinuityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT gayevskyimv ocínkigrupivídhilenʹbarpsidiferencíjovnihfunkcíj AT gaêvsʹkijmv ocínkigrupivídhilenʹbarpsidiferencíjovnihfunkcíj |