Two-dimensional Padé type approximants for some analytic functions of two variables
Two-dimensional Pade type approximants are constructed for some analytic functions by means of method of generalized moment representations
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/68 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552597221539840 |
|---|---|
| author | Golub, A. P. Veselovska, H. M. Голуб, А. П. Веселовська, Г. М. |
| author_facet | Golub, A. P. Veselovska, H. M. Голуб, А. П. Веселовська, Г. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. П. Голуб",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Г. М. Веселовська",
"institution": "Тернопільський національний педагогічний університет імені Володимира Гнатюка"
}
] |
| author_sort | Golub, A. P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | Two-dimensional Pade type approximants are constructed for some analytic functions by means of method of generalized moment representations |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 71–77
УДК 517.53
А. П. Голуб (Iн–т математики НАН України, Київ)
Г. М. Веселовська (Тернопiльський нацiональний педагогiчний унiвер-
ситет iм. В. Гнатюка, Тернопiль)
ДВОВИМIРНI АПРОКСИМАНТИ ТИПУ ПАДЕ ДЛЯ
ДЕЯКИХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ
Two–dimensional Padé type approximants are constructed for some analytic
functions by means of method of generalized moment representations.
За допомогою методу узагальнених моментних зображень побудовано
апроксиманти типу Паде для деяких аналiтичних функцiй.
В [1] було запропоноване поширення методу узагальнених мо-
ментних зображень В.К. Дзядика [2] на випадок двовимiрних число-
вих послiдовностей. Зокрема, було встановлено наступний результат.
Теорема 1 [1]. Нехай формальний степеневий ряд вiд двох змiн-
них має вигляд
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
sk,mz
kwm, (1)
i при цьому для двовимiрної числової послiдовностi {sk,m}∞k,m=0 має
мiсце узагальнене моментне зображення на добутку деяких лiнiй-
них просторiв X × Y за бiлiнiйною формою 〈., .〉
sk+j,m+n = 〈xk,m, yj,n〉, k, j,m, n ∈ Z+. (2)
Тодi, якщо при деяких N1, N2 ∈ N iснує узагальнений полiном
YN1,N2
=
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n yj,n,
такий, що виконуються умови бiортогональностi
〈xk,m, YN1,N2〉 = 0,
при (k,m) ∈
{
(k,m) ∈ Z2
+ : Φ(k + N1,m + N2) ≤ 0
}
, де неперервно
диференцiйовна функцiя Φ : R2
+ → R має властивостi:
c© А. П. Голуб, Г. М. Веселовська, 2014
72 А.П. Голуб, Г.М. Веселовська
1. множина DΦ =
{
(u, t) ∈ R2
+ : Φ(u, t) ≤ 0
}
є обмеженою в R2
+;
2. потужнiсть множини DΦ ∩
{
(u, t) ∈ Z2
+ : u ≥ N1, t ≥ N2
}
дорiвнює (N1 + 1)(N2 + 1)− 1;
3. iснують однозначно визначенi функцiї u = ϕ(t) для t ∈ D1 =
=
{
t ∈ R+ : ∃u ∈ R+, (u, t) ∈ DΦ
}
та t = ψ(u) для u ∈ D2 =
=
{
u ∈ R+ : ∃t ∈ R+, (u, t) ∈ DΦ
}
;
4. ϕ(t) ≥ N1 ∀t ∈ D1, ψ(u) ≥ N2 ∀u ∈ D2,
i при цьому c(N1,N2)
N1,N2
6= 0, то рацiональна функцiя
[N/D]f (z, w) =
P (z, w)
Q(z, w)
, (3)
де
Q(z, w) =
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nz
jwn, (4)
а
P (z, w) =
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nsk−j,m−n+
+zN1
N2−1∑
m=0
[ϕ(m)]−N1∑
k=0
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n+
+wN2
N1−1∑
k=0
[ψ(k)]−N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n, (5)
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгати-
муться з коефiцiєнтами ряду (1) для (k,m) ∈
{
(k,m) ∈ Z2
+ :
Φ(k,m) ≤ 0
}
.
З використанням цiєї теореми в [1, 3, 4] було побудовано та дослiд-
жено апроксиманти типу Паде для деяких класiв гiпергеометричних
рядiв вiд двох змiнних.
Дана стаття продовжує вказанi дослiдження для нових класiв
функцiй.
Двовимiрнi апроксиманти типу Паде . . . 73
Як i в [1, 3, 4] будемо розглядати випадки, коли узагальненi мо-
ментнi зображення (2) можуть бути переформульованi в оператор-
ному виглядi, а саме, коли в лiнiйному нормованому просторi X iс-
нують лiнiйнi обмеженi оператори A та B, що комутують мiж собою,
i такi що
Axk,m = xk+1,m ∀(k,m) ∈ Z2
+,
Bxk,m = xk,m+1 ∀(k,m) ∈ Z2
+,
а в лiнiйному нормованому просторi Y iснують оператори A? та B?,
що є спряженими до операторiв A та B вiдповiдно вiдносно бiлiнiйної
форми 〈., .〉 (див. [5, с. 21]).
В [1] та [4] розглядаються випадки, коли оператори A та B збiга-
ються мiж собою. Тодi має мiсце зображення
f(z, w) = 〈R̂z(A)R̂w(A)x0,0, y0,0〉 =
zh(z)− wh(w)
z − w
,
де
h(z) = 〈R̂z(A)x0,0, y0,0〉,
а резольвентна функцiя оператора A визначається формулою
R̂z(A) = (I − zA)−1.
Найпростiшою є ситуацiя, коли оператори A та B є операторами
множення на незалежну змiнну, що вiдповiдають класичнiй степе-
невiй проблемi моментiв (див. [6, с. 172])
(Aϕ)(t) = (Bϕ)(t) = tϕ(t), ϕ ∈ L2 ([0, 1], dµ) . (6)
Вiдповiднi узагальненi моментнi зображення розглянутi в [1]. В [4]
розглянуто випадок, коли
(Aϕ)(t) = (Bϕ)(t) =
t∫
0
ϕ(τ)dτ, ϕ ∈ L1 ([0, 1]) . (7)
Розгляд лiнiйної комбiнацiї операторiв (6) та (7)
(Aϕ)(t) = (Bϕ)(t) = κ
t∫
0
ϕ(τ)dτ + tϕ(t), ϕ ∈ L1([0, 1]),
74 А.П. Голуб, Г.М. Веселовська
безпосередньо приводить до наступного результату.
Теорема 2. Для аналiтичної функцiї вигляду
f(z, w) =
zh(z)− wh(w)
z − w
, (8)
де
h(z) =
1
ν + 1
2F1(ν + κ + 1, 1; ν + 2; z) :=
1
ν + 1
∞∑
k=0
(ν + κ + 1)k
(ν + 2)k
zk,
при ν > −1, а символ Похгаммера (α)k визначається наступним
спiввiдношенням (див. [7, с. 82])
(α)k =
{
α(α+ 1) · . . . · (α+ k − 1), якщо k ∈ N,
1, якщо k = 0,
при довiльному N ∈ N рацiональна функцiя, що визначається рiв-
ностями (3) – (5) при ϕ(m) = 4N − 1 − m, ψ(k) = 4N − 1 − k,
N1 = N2 = N, в яких коефiцiєнти c
(N,N)
j,n , j, n = 0, 1, . . . , N, задо-
вольняють рiвностi
N∑
k=0
N∑
m=0
(κ + ν + 1)k+m
(ν + 1)k+m
c
(N,N)
k,m tk+m =
2N∑
j=0
p
(2N)
j tj , (9)
а p(2N)
j — коефiцiєнти зсунутого ортонормованого на [0, 1] з вагою
tνdt многочлена Якобi степеня 2N
p
(2N)
j = αN (−1)j
(
2N
j
)
(ν + 1)2N+j
(ν + 1)j
, j = 0, 1, . . . , 2N,
(див. [7, с. 581]) матиме розвинення в степеневий ряд, коефiцiєн-
ти якого збiгаються з коефiцiєнтами розвинення функцiї (8) для
(k,m) ∈
{
(k,m) ∈ Z2
+ : k +m ≤ 4N − 1
}
.
Зауваження. Як i в [1], рiвностi (9) не дають можливостi визна-
чити коефiцiєнти c(N,N)
k,m , k,m = 1, 2, . . . , N, однозначно. Тому можуть
Двовимiрнi апроксиманти типу Паде . . . 75
бути використанi рiзнi пiдходи до їх визначення (див. [1]). Вiдзначи-
мо також, що коефiцiєнти степеневого розвинення функцiй вигляду
(8) будуть наступними
sk,m =
(ν + κ + 1)k+m
(ν + 1)(ν + 2)k+m
, (k,m) ∈ Z2
+,
а отже, функцiї (8) будуть з точнiстю до постiйного множни-
ка частинними випадками гiпергеометричних рядiв Аппеля (див.
[8, с. 219])
F1(α, β, β′, γ, z, w) =
∞∑
k,m=0
(α)k+m(β)k(β′)m
(γ)k+mk!m!
zkwm
при β = β′ = 1, α = κ + ν + 1, γ = ν + 2.
Розглянемо тепер випадок, коли у просторi X = L2([0, 1], dµ)
визначено оператори
(Aϕ)(t) = tϕ(t), (Bϕ)(t) = (A2ϕ)(t) = t2ϕ(t).
Тодi
f(z, w) = 〈R̂z(A)R̂w(A2)x0,0, y0,0〉.
Можна записати
R̂z(A)R̂w(A2) = (I − zA)−1(I −
√
wA)−1(I +
√
wA)−1 =
= α(I − zA)−1 + β(I −
√
wA)−1 + γ(I +
√
wA)−1.
Звiдси отримаємо систему рiвнянь для визначення параметрiв α, β, γ α+ β + γ = 1,
(
√
w − z)β − (
√
w + z)γ = 0,
wα+ z
√
wβ − z
√
wγ = 0.
Розв’язуючи систему, будемо мати
α =
z2
z2 − w
,
β =
√
w
2(
√
w − z)
,
γ =
√
w
2(
√
w + z)
.
76 А.П. Голуб, Г.М. Веселовська
Покладаючи x0,0(t) = y0,0(t) ≡ 1, дiстанемо
f(z, w) =
z2
z2 − w
h(z) +
√
w
2(
√
w − z)
h(
√
w) +
√
w
2(
√
w + z)
h(−
√
w),
де
h(z) =
1∫
0
dµ(t)
1− zt
.
Звiдси отримуємо зображення
f(z, w) =
z2
z2 − w
1∫
0
dµ(t)
1− zt
+
w
w − z2
1∫
0
(1 + zt)dµ(t)
1− wt2
. (10)
Щоб побудувати апроксиманти типу Паде функцiї (10) за теоремою 1
потрiбно побудувати бiортогональний полiном вигляду
YN1,N2
(t) =
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n yj,n(t),
де yj,n(t) = tj+2n, (j, n) ∈ Z2
+, для якого є справедливими спiввiдно-
шення
1∫
0
xk,m(t)YN1,N2
(t)dµ(t) = 0,
де xk,m(t) = tk+2m, (k,m) ∈ Z2
+, при (k,m) ∈ ([0, N1]× [0, N2]) \
{(N1, N2)}. Очевидно, YN1,N2
(t) є алгебраїчним многочленом степе-
ня N1 + 2N2. Оскiльки ми розглядаємо випадок N1, N2 ∈ N, то цей
многочлен має бути ортогональним до всiх степенiв змiнної з показ-
ником, що не перевищує N1 + 2N2 − 1. А це означає, що вiн повинен
збiгатися з точнiстю до постiйного множника з ортонормованим на
[0, 1] з вагою dµ многочленом PN1+2N2(t). Отже, коефiцiєнти полiно-
ма YN1,N2
задовольняють рiвнiсть
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n tj+2n =
N1+2N2∑
r=0
p(N1+2N2)
r tr. (11)
Двовимiрнi апроксиманти типу Паде . . . 77
Як i у випадку рiвностi (9), рiвнiсть (11) не дає можливостi одно-
значно визначити коефiцiєнти c(N1,N2)
j,n . Один з варiантiв розв’язання
цiєї рiвностi:
c
(N1,N2)
j,n =
p2n+j при j = 0, 1; n = 0, 1, . . . , N2,
p2N2+j при j = 2, 3, . . . , N1; n = N2,
0 при j = 2, . . . , N1; n = 0, . . . , N2 − 1.
(12)
Це дає можливiсть встановити наступний результат.
Теорема 3. Для аналiтичної функцiї f(z, w), що має зображен-
ня (10) при довiльних N1, N2 ∈ N, рацiональна функцiя, що визна-
чається рiвностями (3) – (5) при ϕ(m) = 2N1, ψ(k) = 2N2, в яких
коефiцiєнти c
(N1,N2)
j,n , j = 0, 1, . . . , N1, n = 0, 1, . . . , N2, задовольня-
ють рiвностi (12), матиме розвинення в степеневий ряд, коефi-
цiєнти якого збiгаються з коефiцiєнтами розвинення функцiї (10)
для (k,m) ∈
{
(k,m) ∈ Z2
+ : k ≤ 2N1, n ≤ 2N2
}
\
{
(2N1, 2N2)
}
.
1. Голуб А.П., Чернецька Л.О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображен-
ня та рацiональнi апроксимацiї функцiй двох змiнних // Укр. мат. журн. —
2013. — 65, № 8. — С. 1035 – 1058.
2. Дзядик В.К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. —
1981. — 6. — С. 8 – 12.
3. Голуб А.П., Чернецька Л.О. Побудова апроксимант Паде для деяких
гiпергеометричних рядiв Аппеля за допомогою методу узагальнених мо-
ментних зображень // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання:
Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013. — 10, № 1. — С. 69 – 94.
4. Голуб А.П., Чернецька Л.О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображен-
ня та апроксимацiї Паде деяких рядiв Гумберта // Укр. мат. журн. —
2013. — 65, № 10. — С. 1315 – 1331.
5. Голуб А.П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. — К.:
Iн-т математики НАН України, 2002. — 222 c.
6. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы ана-
лиза, связанные с нею. — М.: Физматгиз, 1961. — 312 c.
7. Справочник по специальным функциям. Под ред. М.Абрамовица,
И.Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 c.
8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеомет-
рическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. — 296 c.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-68 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:58Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/47/639f21f11fd0a30839b145814d596747.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-682018-01-29T14:44:04Z Two-dimensional Padé type approximants for some analytic functions of two variables Двовимірні апроксиманти типу Паде для деяких аналітичих функцій двох змінних Golub, A. P. Veselovska, H. M. Голуб, А. П. Веселовська, Г. М. Two-dimensional Pade type approximants are constructed for some analytic functions by means of method of generalized moment representations За допомогою методу узагальнених моментних зображень побудовано апроксиманти типу Паде для деяких аналітичних функцій Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/68 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 71-77 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 71-77 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 71-77 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/68/64 |
| spellingShingle | Golub, A. P. Veselovska, H. M. Голуб, А. П. Веселовська, Г. М. Two-dimensional Padé type approximants for some analytic functions of two variables |
| title | Two-dimensional Padé type approximants for some analytic functions of two variables |
| title_alt | Двовимірні апроксиманти типу Паде для деяких аналітичих функцій двох змінних |
| title_full | Two-dimensional Padé type approximants for some analytic functions of two variables |
| title_fullStr | Two-dimensional Padé type approximants for some analytic functions of two variables |
| title_full_unstemmed | Two-dimensional Padé type approximants for some analytic functions of two variables |
| title_short | Two-dimensional Padé type approximants for some analytic functions of two variables |
| title_sort | two-dimensional padé type approximants for some analytic functions of two variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/68 |
| work_keys_str_mv | AT golubap twodimensionalpadetypeapproximantsforsomeanalyticfunctionsoftwovariables AT veselovskahm twodimensionalpadetypeapproximantsforsomeanalyticfunctionsoftwovariables AT golubap twodimensionalpadetypeapproximantsforsomeanalyticfunctionsoftwovariables AT veselovsʹkagm twodimensionalpadetypeapproximantsforsomeanalyticfunctionsoftwovariables AT golubap dvovimírníaproksimantitipupadedlâdeâkihanalítičihfunkcíjdvohzmínnih AT veselovskahm dvovimírníaproksimantitipupadedlâdeâkihanalítičihfunkcíjdvohzmínnih AT golubap dvovimírníaproksimantitipupadedlâdeâkihanalítičihfunkcíjdvohzmínnih AT veselovsʹkagm dvovimírníaproksimantitipupadedlâdeâkihanalítičihfunkcíjdvohzmínnih |