Construction of Padé approximants for Lauricella series by method of generalized moment representations

By means of extension of V.K.Dzyadyk's method of generalized moment representations to the case of three-dimensional number sequences Pade approximants for some Lauricella hypergeometric series are constructed

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Golub, A. P., Chernetska, L. A., Голуб, А. П., Черенецька, Л. О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2014
Online Zugang:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/69
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552598104440832
author	Golub, A. P. Chernetska, L. A. Голуб, А. П. Черенецька, Л. О.
author_facet	Golub, A. P. Chernetska, L. A. Голуб, А. П. Черенецька, Л. О.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "А. П. Голуб", "institution": "Інституту математики НАН України" }, { "author": "Л. О. Черенецька", "institution": "Інститут математики НАН України" } ]
author_sort	Golub, A. P.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-01-29T14:44:04Z
description	By means of extension of V.K.Dzyadyk's method of generalized moment representations to the case of three-dimensional number sequences Pade approximants for some Lauricella hypergeometric series are constructed
first_indexed	2026-08-04T01:01:58Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 78–103 УДК 517.53 А. П. Голуб, Л. О. Чернецька (Iн–т математики НАН України, Київ) ПОБУДОВА АПРОКСИМАНТ ПАДЕ ДЛЯ ДЕЯКИХ ГIПЕРГЕОМЕТРИЧНИХ РЯДIВ ЛАУРIЧЕЛЛИ ЗА ДОПОМОГОЮ МЕТОДУ УЗАГАЛЬНЕНИХ МОМЕНТНИХ ЗОБРАЖЕНЬ By means of extension of V.K. Dzyadyk’s method of generalized moment representations to the case of three–dimensional number sequences Padé approximants for some Lauricella hypergeometric series are constructed. За допомогою поширення методу узагальнених моментних зображень В.К. Дзядика на випадок тривимiрних числових послiдовностей побудо- вано апроксиманти Паде для деяких гiпергеометричних рядiв Лаурiчел- ли. Питанням побудови та дослiдження апроксимацiй Паде функцiй багатьох змiнних займаються вже понад чотирьох десяткiв рокiв. Зо- крема, рiзноманiтнi модифiкацiї багатовимiрних апроксимацiй Паде розглядалися в роботах [1 – 8]. Одним з пiдходiв до вивчення апроксимацiй Паде аналiтичних функцiй є запропонований В. К. Дзядиком у 1981 роцi метод уза- гальнених моментних зображень [9, 10]. В [11] цей метод було поши- рено на випадок двовимiрних числових послiдовностей i застосовано до побудови апроксимант Паде функцiй двох змiнних. У данiй ро- ботi розглядається задача про побудову апроксимант типу Паде для функцiй трьох змiнних за допомогою методу узагальнених момент- них зображень. Означення. Будемо говорити, що для тривимiрної числової по- слiдовностi {sk}k∈Z3 + має мiсце узагальнене моментне зображення на добутку лiнiйних просторiв X та Y за означеною на цьому добутку бiлiнiйною формою 〈., .〉, якщо у просторi X вказано три- вимiрну послiдовнiсть елементiв {xk}k∈Z3 + , а у просторi Y — три- вимiрну послiдовнiсть елементiв {yj}j∈Z3 + такi, що c© А. П. Голуб, Л. О. Чернецька, 2014 Побудова апроксимант Паде . . . 79 sk+j = 〈xk, yj〉, k, j ∈ Z3 +. (1) Тривимiрнiй числовiй послiдовностi {sk}k∈Z3 + можна поставити у вiдповiднiсть формальний степеневий ряд вiд трьох змiнних f(z) = ∑ k∈Z3 + skz k, (2) де z = (z1, z2, z3),k = (k1, k2, k3), zk = zk11 zk22 zk33 . Визначати аналоги апроксимант Паде для рядiв вигляду (2) мож- на за рiзними схемами (див. [12, с. 323]). Для цього фiксуються певнi обмеженi областi N та D з Z3 + i будуються алгебраїчнi многочлени вiд трьох змiнних PN (z) = ∑ k∈N pkz k, QD(z) = ∑ k∈D qkz k, для яких коефiцiєнти ek в розкладi f(z)− PN (z) QD(z) = ∑ k∈Z3 + ekz k дорiвнюють нулю при k ∈ E , де E — деяка обмежена пiдмножина Z3 +. Має мiсце такий результат. Теорема 1. Нехай формальний степеневий ряд вiд трьох змiн- них має вигляд (2) i для тривимiрної послiдовностi {sk}k∈Z3 + має мiсце узагальнене моментне зображення вигляду (1). Тодi якщо для деяких N = (N1, N2, N3) ∈ N3 та M = (M1,M2,M3) ∈ Z3 + iснує нетривiальний узагальнений полiном Y (M) N = N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j yj (3) такий, що виконуються умови бiортогональностi 〈xk, Y (M) N 〉 = 0 (4) 80 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька при k ∈ { (k1, k2, k3) ∈ Z3 +\|ki ∈ [ Mi,Mi + Ni ] , i = 1, 3 } \ {( M1+ +N1,M2 +N2,M3 +N3 )} , i c(N,M) N 6= 0, то рацiональна функцiя PN (z) Q (M) N (z) = 1 Q (M) N (z) { N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) N−j sk−j+ +zN1 1 N1+M1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,N3−j3)s(k1+j1,k2−j2,k3−j3)+ +zN2 2 N1−1∑ k1=0 N2+M2∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,N3−j3)s(k1−j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 N3+M3∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,N2−j2,j3)s(k1−j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 N1+M1∑ k1=0 N2+M2∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,j2,N3−j3)s(k1+j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN1 1 zN3 3 N1+M1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 N3+M3∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,j3)s(k1+j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN2 2 zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2+M2∑ k2=0 N3+M3∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,j3)s(k1−j1,k2+j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 zN3 3 ∑ k∈ΓM zk N1∑ j=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j sk+j } , де ΓM = ( 3∏ m=1 [0,Mm−1] )⋃( [0,M1−1]×[0,M2+N2]×[M3,M3+N3] )⋃ Побудова апроксимант Паде . . . 81 ⋃( [0,M1 +N1]× [M2,M2 +N2]× [0,M3 − 1] )⋃ ⋃( [M1,M1 +N1]× [0,M2 − 1]× [0,M3 +N3] ) , а Q (M) N (z) = N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) N−j zj, матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгати- муться з коефiцiєнтами ряду (2) для всiх k ∈ { (k1, k2, k3) ∈ Z3 +\|km ∈ [ 0, 2Nm +Mm ] ,m = 1, 3 } \ \ {( 2N1 +M1, 2N2 +M2, 2N3 +M3 )} . Зауваження . У теоремi 1 та надалi символом 3∏ i=1 Xi будемо по- значати декартiв добуток множин Xi, тобто 3∏ i=1 Xi = { (k1, k2, k3)\| ki ∈ Xi, i = 1, 3 } . Доведення. Помножимо рiвнiсть sk1+j1+M1,k2+j2+M2,k3+j3+M3 = 〈xk1+M1,k2+M2,k3+M3 , yj〉, k1, k2, k3, j1, j2, j3 ∈ Z+, на zk = zk11 zk22 zk33 i пiдсумуємо по k1, k2, k3 вiд 0 до досить великих чисел k̃1, k̃2, k̃3 вiдповiдно. Справа отримаємо〈 k̃1∑ k1=0 k̃2∑ k2=0 k̃3∑ k3=0 zkxk1+M1,k2+M2,k3+M3 , yj 〉 , злiва будемо мати k̃1∑ k1=0 k̃2∑ k2=0 k̃3∑ k3=0 sk1+j1+M1,k2+j2+M2,k3+j3+M3 zk = 82 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька = k̃1+j1+M1∑ k1=j1+M1 k̃2+j2+M2∑ k2=j2+M2 k̃3+j3+M3∑ k3=j3+M3 skz k−j−M = = 1 zj+M × { f(z)− j1+M1−1∑ k1=0 j2+M2−1∑ k2=0 j3+M3−1∑ k3=0 skz k− − j1+M1−1∑ k1=0 k̃2+j2+M2∑ k2=0 k̃3+j3+M3∑ k3=j3+M3 skz k − k̃1+j1+M1∑ k1=0 k̃2+j2+M2∑ k2=j2+M2 j3+M3−1∑ k3=0 skz k− − k̃1+j1+M1∑ k1=j1+M1 j2+M2−1∑ k2=0 k̃3+j3+M3∑ k3=0 skz k − k̃1+j1+M1∑ k1=0 k̃2+j2+M2∑ k2=0 ∞∑ k3=k̃3+j3+M3 skz k− − ∞∑ k1=k̃1+j1+M1 ∞∑ k2=0 ∞∑ k3=0 skz k − k̃1+j1+M1∑ k1=0 ∞∑ k2=k̃2+j2+M2 ∞∑ k3=0 skz k } . Домножимо тепер отриманi рiвностi на коефiцiєнти c(N,M) j полi- нома (3) i пiдсумуємо по j1 вiд 0 до N1, по j2 вiд 0 до N2, по j3 вiд 0 до N3. Справа отримаємо〈 k̃1∑ k1=0 k̃2∑ k2=0 k̃3∑ k3=0 zkxk1+M1,k2+M2,k3+M3 , Y (M) N 〉 . Враховуючи, що мають мiсце спiввiдношення бiортогонально- стi (4), розвинення отриманої справа величини в ряд за степенями z1, z2, z3 матиме нульовi коефiцiєнти при степенях k ∈ ( [M1,M1 + N1]××[M2,M2+N2]×[M3,M3+N3] ) \ { (M1+N1,M2+N2,M3+N3) } . Злiва отримаємо N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j 1 zj+M { f(z)− j1+M1−1∑ k1=0 j2+M2−1∑ k2=0 j3+M3−1∑ k3=0 skz k− Побудова апроксимант Паде . . . 83 − j1+M1−1∑ k1=0 k̃2+j2+M2∑ k2=0 k̃3+j3+M3∑ k3=j3+M3 skz k − k̃1+j1+M1∑ k1=0 k̃2+j2+M2∑ k2=j2+M2 j3+M3−1∑ k3=0 skz k− − k̃1+j1+M1∑ k1=j1+M1 j2+M2−1∑ k2=0 k̃3+j3+M3∑ k3=0 skz k − k̃1+j1+M1∑ k1=0 k̃2+j2+M2∑ k2=0 ∞∑ k3=k̃3+j3+M3 skz k− − ∞∑ k1=k̃1+j1+M1 ∞∑ k2=0 ∞∑ k3=0 skz k − k̃1+j1+M1∑ k1=0 ∞∑ k2=k̃2+j2+M2 ∞∑ k3=0 skz k } = = 1 zN+M × { f(z)Q (M) N (z)− N1∑ j1=1 N2∑ j2=1 N3∑ j3=1 c (N,M) j zN−j ∑ k∈Dj,M skz k } , де Dj,M = D0,0,0 ∪D0,0,1 ∪D0,1,0 ∪D1,0,0 ∪D0,0,2 ∪D2,1,1 ∪D0,2,1, а D0,0,0 = [0, j1 +M1 − 1]× [0, j2 +M2 − 1]× [0, j3 +M3 − 1], D0,0,1 = [0, j1 +M1 − 1]× [0, k̃2 + j2 +M2]× [j3 +M3, k̃3 + j3 +M3], D0,1,0 = [0, k̃1 + j1 +M1]× [j2 +M2, k̃2 + j2 +M2]× [0, j3 +M3 − 1], D1,0,0 = [j1 +M1, k̃1 + j1 +M1]× [0, j2 +M2 − 1]× [0, k̃3 + j3 +M3], D0,0,2 = [0, k̃1 + j1 +M1]× [0, k̃2 + j2 +M2]× [k̃3 + j3 +M3,∞), D2,1,1 = [k̃1 + j1 +M1,∞)× [0,∞)× [0,∞), D0,2,1 = [0, k̃1 + j1 +M1]× [k̃2 + j2 +M2,∞)× [0,∞). Будемо мати f(z)Q (M) N (z)− N1∑ j1=1 N2∑ j2=1 N3∑ j3=1 c (N,M) j zN−j j1+M1−1∑ k1=0 j2+M2−1∑ k2=0 j3+M3−1∑ k3=0 skz k− − N1∑ j1=1 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j zN−j j1+M1−1∑ k1=0 k̃2+j2+M2∑ k2=0 k̃3+j3+M3∑ k3=j3+M3 skz k− 84 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька − N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=1 c (N,M) j zN−j̃ k1+j1+M1∑ k1=0 k̃2+j2+M2∑ k2=j2+M2 j3+M3−1∑ k3=0 skz k− − N1∑ j1=0 N2∑ j2=1 N3∑ j3=0 c (N,M) j zN−j̃ k1+j1+M1∑ k1=j1+M1 j2+M2−1∑ k2=0 k̃3+j3+M3∑ k3=0 skz k = O ( zk̃11 ) + +O ( zk̃22 ) +O ( zk̃33 ) +zN+M 〈 k̃1∑ k1=0 k̃2∑ k2=0 k̃3∑ k3=0 zkxk1+M1,k2+M2,k3+M3 , Y (M) N 〉 . Звiдси за рахунок довiльностi вибору досить великих k̃1, k̃2, k̃3 i отримаємо твердження теореми. Нехай тепер неперервно диференцiйовна функцiя Φ(x1, x2, x3) : R3 + → R має наступнi властивостi: 1) множина { (x1, x2, x3) ∈ R3 +\|Φ(x1, x2, x3) 6 0 } є обмеженою в R3 +; 2) потужнiсть множини { (x1, x2, x3) ∈ Z3 +\|Φ(x1, x2, x3) 6 0} ∩ ∩ { (x1, x2, x3) ∈ Z3 +\|xi > Ni +Mi, i = 1, 3 } дорiвнює (N1 + 1) (N2 + 1) (N3 + 1)− 1; 3) iснують однозначно визначенi функцiї x1 = ϕ1(x2, x3), (x2, x3) ∈ D23 := { (x2, x3) ∈ R2 +\|∃x1 ∈ R1: Φ(x1, x2, x3) 6 0 } , x2 = ϕ2(x1, x3), (x1, x3) ∈ D13 := { (x1, x3) ∈ R2 +\|∃x2 ∈ R1: Φ(x1, x2, x3) 6 0 } , x3 = ϕ3(x1, x2), (x1, x2) ∈ D12 := { (x1, x2) ∈ R2 +\|∃x3 ∈ R1: Φ(x1, x2, x3) 6 0 } ; 4) ϕ1(x2, x3) > N1 ∀(x2, x3) ∈ D23, ϕ2(x1, x3) > N2 ∀(x1, x3) ∈ D13, ϕ3(x1, x2) > N3 ∀(x1, x2) ∈ D12. Тодi за умов теореми 1 має мiсце теорема 1′. Теорема 1′. Нехай для узагальненого полiнома (3) виконують- ся умови бiортогональностi вигляду (4) при k ∈ { (k1, k2, k3) ∈ Z3 +\| Побудова апроксимант Паде . . . 85 Φ(k1 +N1 +M1, k2 +N2 +M2, k3 +N3 +M3) 6 0 } , i c(N,M) N 6= 0, то- дi рацiональна функцiя PN (z) Q (M) N (z) = 1 Q (M) N (z) { N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) N−j sk−j+ +zN1 1 N2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 M1−N1+ϕ1(k2,k3)∑ k1=0 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,N3−j3)s(k1+j1,k2−j2,k3−j3)+ +zN2 2 N1−1∑ k1=0 N3−1∑ k3=0 M2−N2+ϕ2(k1,k3)∑ k2=0 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,N3−j3)s(k1−j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 M3−N3+ϕ3(k1,k2)∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,N2−j2,j3)s(k1−j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 N3−1∑ k3=0 M1−N1+ϕ1(N2,k3)∑ k1=0 M2−N2+ϕ2(k1,k3)∑ k2=0 zk× × N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,j2,N3−j3)s(k1+j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN1 1 zN3 3 N2−1∑ k2=0 M1−N1+ϕ1(k2,N3)∑ k1=0 M3−N3+ϕ3(k1,k2)∑ k3=0 zk× × N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,j3)s(k1+j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN2 2 zN3 3 N1−1∑ k1=0 M2−N2+ϕ2(k1,N3)∑ k2=0 M3−N3+ϕ3(k1,k2)∑ k3=0 zk× × k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,j3)s(k1−j1,k2+j2,k3+j3)+ 86 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька +zN1 1 zN2 2 zN3 3 ∑ k∈Γϕ1,ϕ2,ϕ3 zk N1∑ j=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j sk+j } , де Γϕ1,ϕ2,ϕ3 = ( [0,M1 − 1]× [0,M2 − 1]× [0,M3 − 1] )⋃ ⋃( [0,M1 − 1]× [0,M2 − 1]× [M3,M3 −N3 + ϕ3(k1, k2)] )⋃ ⋃ ([0,M1 − 1]× [0,M3 − 1]× [M2,M2 −N2 + ϕ2(k1, k3)]) ⋃ ⋃( [0,M2 − 1]× [0,M3 − 1]× [M1,M1 −N1 + ϕ1(k2, k3)] )⋃ ⋃( [0,M1−1]×[M2,M2−N2+ϕ2(k1, N3)]×[M3,M3−N3+ϕ3(k1, k2)] )⋃ ⋃( [0,M2−1]×[M1,M1−N1+ϕ1(k2, N3)]×[M3,M3−N3+ϕ3(k1, k2)] )⋃ ⋃( [0,M3−1]×[M1,M1−N1+ϕ1(N2, k3)]×[M2,M2−N2+ϕ2(k1, k3)] ) , а знаменник апроксиманти має вигляд Q (M) N (z) = N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) N−j zj, матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiга- тимуться з коефiцiєнтами ряду (2) для всiх (k1, k2, k3) ∈ E = = { (k1, k2, k3) ∈ Z3 +\|Φ(k1, k2, k3) 6 0 } . Доведення. У процесi доведення теореми 1 було встановлено рiвнiсть 〈 k̃1∑ k1=0 k̃2∑ k2=0 k̃3∑ k3=0 zkxk1+M1,k2+M2,k3+M3 , Y (M) N 〉 = = 1 zN+M × { f(z)Q (M) N (z)− N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j zN−j ∑ k∈Dj,M skz k } . Побудова апроксимант Паде . . . 87 Розглянемо N1∑ j1=1 N2∑ j2=1 N3∑ j3=1 c (N,M) j zN−j ∑ k∈D0,0,0 skz k = = zN N1∑ j1=1 N2∑ j2=1 N3∑ j3=1 c (N,M) j j1+M1−1∑ k1=0 j2+M2−1∑ k2=0 j3+M3−1∑ k3=0 skz k−j = = N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) N−j sk−j+ +zN1 1 M1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,N3−j3)s(k1+j1,k2−j2,k3−j3)+ +zN2 2 N1−1∑ k1=0 M2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,N3−j3)s(k1−j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 M3−1∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,N2−j2,j3)s(k1−j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 M1−1∑ k1=0 M2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,j2,N3−j3)s(k1+j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN1 1 zN3 3 M1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 M3−1∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,j3)s(k1+j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN2 2 zN3 3 N1−1∑ k1=0 M2−1∑ k2=0 M3−1∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,j3)s(k1−j1,k2+j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 zN3 3 M1−1∑ k1=0 M2−1∑ k2=0 M3−1∑ k3=0 zk N1∑ j=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j sk+j. 88 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька Далi розглянемо N1∑ j1=1 N2∑ j2=1 N3∑ j3=1 c (N,M) j zN−j ∑ k∈D0,0,1 skz k = = zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 k̃3+M3∑ k3=M3 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,N2−j2,j3)s(k1−j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN3 3 M1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 k̃3+M3∑ k3=M3 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,j3)s(k1+j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN2 2 zN3 3 N1−1∑ k1=0 k̃2+M2∑ k2=0 k̃3+M3∑ k3=M3 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,j3)s(k1−j1,k2+j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 zN3 3 M1−1∑ k1=0 k̃2+M2∑ k2=0 k̃3+M3∑ k3=M3 zk N1∑ j=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j sk+j. Аналогiчно запишуться суми по областях D0,1,0 та D1,0,0. Формуючи чисельник тривимiрної апроксиманти Паде, ми вклю- чаємо до нього першу суму повнiстю. З другої суми вiзьмемо zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 M3−N3+ϕ3(k1,k2)∑ k3=M3 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,N2−j2,j3)s(k1−j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN3 3 M1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 M3−N3+ϕ3(k1,k2)∑ k3=M3 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,j3)s(k1+j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN2 2 zN3 3 N1−1∑ k1=0 M2−N2+ϕ2(k1,N3)∑ k2=0 M3−N3+ϕ3(k1,k2)∑ k3=M3 zk× × k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,j3)s(k1−j1,k2+j2,k3+j3)+ Побудова апроксимант Паде . . . 89 +zN1 1 zN2 2 zN3 3 M1−1∑ k1=0 M2−N2+ϕ2(k1,N3)∑ k2=0 M3−N3+ϕ3(k1,k2)∑ k3=M3 zk N1∑ j=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j sk+j, а решта zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 k̃3+M3∑ k3=M3−N3+ϕ3(k1,k2)+1 zk× × k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,N2−j2,j3)s(k1−j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN3 3 M1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 k̃3+M3∑ k3=M3−N3+ϕ3(k1,k2)+1 zk× × N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,j3)s(k1+j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN2 2 zN3 3 N1−1∑ k1=0 k̃2+M2∑ k2=M2−N2+ϕ2(k1,N3)+1 k̃3+M3∑ k3=M3−N3+ϕ3(k1,k2)+1 zk× × k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,j3)s(k1−j1,k2+j2,k3+j3) + zN1 1 zN2 2 zN3 3 × × M1−1∑ k1=0 k̃2+M2∑ k2=M2−N2+ϕ2(k1,N3)+1 k̃3+M3∑ k3=M3−N3+ϕ3(k1,k2)+1 zk N1∑ j=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j sk+j потрапляє до залишку. Аналогiчнi дiї зробимо з третьою i четвертою сумами (сумами по областях D0,1,0 та D1,0,0) i отримаємо твердження теореми. У випадку, якщо простори X та Y є нормованими, бiлiнiйна форма 〈., .〉 є роздiльно неперервною [13, c. 63] i в просторi X за- дано комутуючi мiж собою обмеженi лiнiйнi оператори A1, A2, A3 : X →X такi, що A1xk1,k2,k3 = xk1+1,k2,k3 , 90 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька A2xk1,k2,k3 = xk1,k2+1,k3 , A3xk1,k2,k3 = xk1,k2,k3+1, для ∀ k = (k1, k2, k3) ∈ Z3 +, а в просторi Y iснують обмеженi лiнiй- нi оператори A?1, A ? 2, A ? 3 : Y → Y , спряженi вiдповiдно до опера- торiв A1, A2 та A3 вiдносно бiлiнiйної форми 〈., .〉 (див., наприклад, [10, c. 18]), за умов теореми 1 матиме мiсце така формула для похиб- ки апроксимацiї f(z)− PN (z) Q (M) N (z) = 1 Q (M) N (z) × × { zN1+M1 1 zN2+M2 2 zN3+M3 3 〈 R̂z1(A1)R̂z2(A2)R̂z3(A3)xM1,M2,M3 , Y (M) N 〉 + +zN1 1 ∞∑ k1=N1+M1+1 N2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,N3−j3)s(k1+j1,k2−j2,k3−j3)+ +zN2 2 N1−1∑ k1=0 ∞∑ k2=N2+M2+1 N3−1∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,N3−j3)s(k1−j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 ∞∑ k3=N3+M3+1 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,N2−j2,j3)s(k1−j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 ∞∑ k1=N1+M1+1 ∞∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,j2,N3−j3)s(k1+j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN1 1 zN2 2 N1+M1∑ k1=0 ∞∑ k2=N2+M2+1 N3−1∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,j2,N3−j3)s(k1+j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN1 1 zN3 3 ∞∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 ∞∑ k3=N3+M3+1 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,j3)s(k1+j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN3 3 ∞∑ k1=N1+M1+1 N2−1∑ k2=0 N3+M3∑ k3=0 zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,j3)s(k1+j1,k2−j2,k3+j3)+ Побудова апроксимант Паде . . . 91 +zN2 2 zN3 3 N1−1∑ k1=0 ∞∑ k2=N2+M2+1 ∞∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,j3)s(k1−j1,k2+j2,k3+j3)+ +zN2 2 zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2+M2∑ k2=0 ∞∑ k3=N3+M3+1 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,j3)s(k1−j1,k2+j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 zN3 3 ∑ k∈Γ∗ M zk N1∑ j=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j sk+j } , де Γ∗M = ( [0,M1 − 1]× [N2 +M2 + 1,∞)× [M3, N3 +M3] )⋃ ⋃( [N1 +M1 + 1,∞)× [M2, N2 +M2]× [0,M3 − 1] )⋃ ⋃( [M1, N1 +M1]× [0,M2 − 1]× [N3 +M3 + 1,∞) )⋃ ⋃( [0,M1 − 1]× [0,∞)× [N3 +M3 + 1,∞) )⋃ ⋃( [N1 +M1 + 1,∞)× [0,M2 − 1]× [0,∞) )⋃ ⋃( [0,∞)× [N2 +M2 + 1,∞)× [0,M3 − 1] ) , а резольвентна функцiя визначається рiвнiстю R̂z(A) = (I − zA)−1. За умов теореми 1′ ця формула набуває вигляду f(z)− PN (z) Q (M) N (z) = 1 Q (M) N (z) × × { zN1+M1 1 zN2+M2 2 zN3+M3 3 〈 R̂z1(A1)R̂z2(A2)R̂z3(A3)xM1,M2,M3 , Y (M) N 〉 + 92 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька +zN1 1 N2−1∑ k2=0 N3−1∑ k3=0 ∞∑ k1=M1−N1+1+ϕ1(k2,k3) zk× × N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,N3−j3)s(k1+j1,k2−j2,k3−j3)+ +zN2 2 N1−1∑ k1=0 N3−1∑ k3=0 ∞∑ k2=M2−N2+1+ϕ2(k1,k3) zk× × k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,N3−j3)s(k1−j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN3 3 N1−1∑ k1=0 N2−1∑ k2=0 ∞∑ k3=M3−N3+1+ϕ3(k1,k2) zk× × k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,N2−j2,j3)s(k1−j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 N3−1∑ k3=0 ( ∞∑ k1=M1−N1+1+ϕ1(N2,k3) ∞∑ k2=0 + M1−N1+ϕ1(N2,k3)∑ k1=0 ∞∑ k2=M2−N2+1+ϕ2(k1,k3) ) × ×zk N1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N,M) (j1,j2,N3−j3)s(k1+j1,k2+j2,k3−j3)+ +zN1 1 zN3 3 N2−1∑ k2=0 ( ∞∑ k1=0 ∞∑ k3=M3−N3+1+ϕ3(k1,k2) + ∞∑ k1=M1−N1+1+ϕ1(k2,N3) M3−N3+ϕ3(k1,k2)∑ k3=0 ) × ×zk N1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (j1,N2−j2,j3)s(k1+j1,k2−j2,k3+j3)+ +zN2 2 zN3 3 N1−1∑ k1=0 ( ∞∑ k2=M2−N2+1+ϕ2(k1,N3) ∞∑ k3=0 + M2−N2+ϕ2(k1,N3)∑ k2=0 ∞∑ k3=M3−N3+1+ϕ3(k1,k2) ) × Побудова апроксимант Паде . . . 93 ×zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) (N1−j1,j2,j3)s(k1−j1,k2+j2,k3+j3)+ +zN1 1 zN2 2 zN3 3 ∑ k∈Γ∗ ϕ1,ϕ2,ϕ3 zk N1∑ j=0 N2∑ j2=0 N3∑ j3=0 c (N,M) j sk+j } , де Γ∗ϕ1,ϕ2,ϕ3 = ( [0,M1−1]× [0,M2−1]× [M3−N3 +1+ϕ3(k1, k2),∞) )⋃ ⋃( [0,M1 − 1]× [M2 −N2 + 1 + ϕ2(k1, k3),∞)× [0,M3 − 1] )⋃ ⋃( [M1 −N1 + 1 + ϕ1(k2, k3),∞)× [0,M2 − 1]× [0,M3 − 1] )⋃ ⋃( [0,M1 − 1]× [M2,∞)× [M3 −N3 + 1 + ϕ3(k1, k2),∞) )⋃ ⋃( [0,M1−1]×[M2−N2+1+ϕ2(k1, N3),∞)×[M3,M3−N3+ϕ3(k1, k2)] )⋃ ⋃( [M1 −N1 + 1 + ϕ1(k2, N3),∞)× [0,M2 − 1]× [M3,∞] )⋃ ⋃( [M1,M1−N1+ϕ1(k2, N3)]×[0,M2−1]×[M3−N3+1+ϕ3(k1, k2),∞) )⋃ ⋃( [M1,∞]× [M2 −N2 + 1 + ϕ2(k1, k3),∞)× [0,M3 − 1] )⋃ ⋃( [M1−N1+1+ϕ1(N2, k3),∞)×[M2,M2−N2+ϕ2(k1, k3)]×[0,M3−1] ) . Розглянемо окремi приклади зображень вигляду (1) та застосує- мо їх до побудови рацiональних апроксимацiй. Нехай X = Y = L2 ([0, 1], dµ) для деякої мiри, що визначаєть- ся неспадною функцiєю µ(t), яка має нескiнченну кiлькiсть точок зростання на [0, 1]. 94 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька Введемо на декартовому добутку X × Y бiлiнiйну форму 〈x, y〉 = 1∫ 0 x(t)y(t)dµ(t). Визначимо в просторi X оператори множення на незалежну змiнну (A1ϕ)(t) = (A2ϕ)(t) = (A3ϕ)(t) = tϕ(t). Їх резольвентнi функцiї мають вигляд( R̂z1(A1)ϕ ) (t) = ϕ(t) 1− z1t , ( R̂z2(A2)ϕ ) (t) = ϕ(t) 1− z2t , ( R̂z3(A3)ϕ ) (t) = ϕ(t) 1− z3t . Таким чином, при x0,0,0(t) = y0,0,0(t) ≡ 1 функцiю f(z1, z2, z3) = f(z) можна записати у виглядi f(z)= 〈 R̂z1(A1)R̂z2(A2)R̂z3(A3)x0,0,0, y0,0,0 〉 = 1∫ 0 dµ(t) (1−z1t)(1−z2t)(1−z3t) = = z1 2(z3 − z2)g(z1) + z2 2(z1 − z3)g(z2) + z3 2(z2 − z1)g(z3) (z3 − z2)(z3 − z1)(z2 − z1) , (5) де g(zi) = 1∫ 0 dµ(t) 1− zit . Наприклад, для µ(t) = t будемо мати g(zi) = − ln(1− zi) zi . Отже, функцiя (5) набуде вигляду f(z)= z1(z2−z3) ln(1−z1) + z2(z3−z1) ln(1−z2) + z3(z1−z2) ln(1−z3) (z3 − z2)(z3 − z1)(z2 − z1) . Побудова апроксимант Паде . . . 95 Неважко встановити, що взагалi кожного разу, коли оператори A1, A2, A3 будуть однаковими, тобто A1 = A2 = A3 = A, будемо мати функцiю трьох змiнних, що є лiнiйною комбiнацiєю функцiй однiєї змiнної: f(z1, z2, z3)= z1 2(z3 − z2)g(z1) + z2 2(z1 − z3)g(z2) + z3 2(z2 − z1)g(z3) (z3 − z2)(z3 − z1)(z2 − z1) , де функцiя g(z) визначається рядом g(z) = ∞∑ k=0 skz k = 〈 R̂z(A)x0, y0 〉 . Коефiцiєнти sk1,k2,k3 в розвиненнi функцiї f(z1, z2, z3) вигляду (5) в ряд (2) при dµ(t) = tν(1− t)ρdt, ν, ρ > −1 (6) будуть мати вигляд sk1,k2,k3 = 〈xk1,k2,k3 , y0〉 = 1∫ 0 ( Ak11 A k2 2 A k3 3 x0 ) (t)y0(t)dµ(t) = = 1∫ 0 tk1+k2+k3tν(1− t)ρdt = Γ(k1 + k2 + k3 + ν + 1)Γ(ρ+ 1) Γ(k1 + k2 + k3 + ν + ρ+ 2) , а отже, побудована функцiя f(z1, z2, z3) = ∞∑ k1,k2,k3=0 Γ(k1 + k2 + k3 + ν + 1)Γ(ρ+ 1) Γ(k1 + k2 + k3 + ν + ρ+ 2) zk11 zk22 zk33 (7) буде частинним випадком гiпергеометричного ряду Лаурiчелли F (3) D (a,b1,b2,b3,c;z1,z2,z3) = ∞∑ k1,k2,k3=0 (a)k1+k2+k3(b1)k1(b2)k2(b3)k3 ck1+k2+k3k1!k2!k3! zk (див. [14, c. 114]) при a = ν + 1, b1 = b2 = b3 = 1, c = ρ+ ν + 2. Оскiльки функцiя f(z) вигляду (5) є симетричною вiдносно своїх змiнних, то має сенс наближати її симетричними агрегатами. Отже, обмежимось випадком N1 = N2 = N3 = N , M1 = M2 = M3 = 0. Для 96 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька знаходження апроксиманти Паде для f(z) вигляду (5) за теорема- ми 1 – 1′ нам потрiбно побудувати узагальнений полiном вигляду (3), для якого виконуються умови бiортогональностi (4). Оскiльки YN(t) в даному випадку буде алгебраїчним многочленом степеня 3N , який ортогональний до многочленiв степеня 6 3N − 1, то вiн спiвпада- тиме з точнiстю до сталого множника з многочленом степеня 3N , ортонормованим на [0, 1] за мiрою dµ(t) (див. [15, c. 268]): YN(t) = P3N (t). (8) Зауважимо, що полiном (8) при цьому буде ортогональним не ли- ше до xk(t) при k ∈ { (k1, k2, k3) ∈ ( [0, N ]3 ) \ (N,N,N) } , але i до xk(t) при k ∈ {(k1, k2, k3) ∈ Z+, k1 + k2 + k3 6 3N − 1}. Тому при побудовi апроксиманти Паде функцiй вигляду (5) має сенс брати коефiцiєнти чисельника з множини N = {(k1, k2, k3) : k1 +k2 +k3 6 6N−1}\{(k1, k2, k3) : k1, k2, k3 > N}, а iндекси коефiцiєнтiв знаменника — з областi D = [0, N ]3. Для обраної нами областi N в теоремi 1′ ми повиннi покласти ϕ(k1, k2) = 6N − 1− k1 − k2, ϕ(k1, k3) = 6N − 1− k1 − k3, ϕ(k2, k3) = 6N − 1− k2 − k3. Запишемо многочлен P3N (t) у виглядi: P3N (t) = 3N∑ j=0 p (3N) j tj . Отже, маємо N∑ k1=0 N∑ k2=0 N∑ k3=0 c (N) k tk1+k2+k3 = 3N∑ j=0 p (3N) j tj . З цiєї рiвностi коефiцiєнти c(N) k : k = (k1, k2, k3) ∈ [0, N ]3 можна визначити безлiччю способами. Оскiльки функцiя f(z) симетрична за своїми змiнними z1, z2, z3, нас будуть цiкавити тiльки симетричнi розв’язки. Виокремимо з них наступний: будемо вибирати коефiцiєн- ти c(N) k таким чином, щоб при k1 + k2 + k3 = k1 ? + k2 ? + k3 ? викону- вались рiвностi c (N) k1,k2,k3 = c (N) k1?,k2?,k3? . Побудова апроксимант Паде . . . 97 Для визначення коефiцiєнтiв c (N) k встановимо наступний допо- мiжний результат. Лема. Нехай N ∈ N, 0 6 j 6 3N . Тодi кiлькiсть впорядкованих трiйок (k1, k2, k3) ∈ Z3 +, таких що ki 6 N, i = 1, 3, i k1 + k2 + k3 = j дорiвнює γ (N) j =  (j + 1)(j + 2) 2 при 0 6 j 6 N, −3N2 + (6j + 3)N − 2j2 + 2 2 при N+1 6 j 6 2N−1, (3N − j + 1)(3N − j + 2) 2 при 2N 6 j 6 3N. (9) Доведення. Побудуємо алгебраїчний многочлен вiд трьох змiн- них YN (z1, z2, z3) = N∑ k1=0 N∑ k2=0 N∑ k3=0 zk11 zk22 zk33 . Очевидно, його можна зобразити у виглядi YN (z1, z2, z3) = ( N∑ k1=0 zk11 )( N∑ k2=0 zk22 )( N∑ k3=0 zk33 ) = = 1− zN+1 1 1− z1 · 1− zN+1 2 1− z2 · 1− zN+1 3 1− z3 . Якщо покласти z1 = z2 = z3 = z, то YN (z, z, z) = ( 1− zN+1 )3 (1− z)3 . (10) З iншого боку, очевидно, YN (z, z, z) = 3N∑ j=0 γ (N) j zj . Тому потрiбно порахувати коефiцiєнти розкладу многочлена (10) за степенями z. Маємо( 1− zN+1 )3 = 1− 3zN+1 + 3z2N+2 − z3N+3, (11) 98 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька 1 (1− z)3 = 1 + 3z + 6z2 + · · ·+ (j + 1)(j + 2) 2 zj + . . . . (12) Перемножаючи (11) та (12), отримаємо: YN (z, z, z) = 1 + 3z + 6z2 + · · ·+ (j + 1)(j + 2) 2 zj + · · · − −3zN+1 − 9zN+2 − 18zN+3 − · · · − 3 (j + 1)(j + 2) 2 zN+1+j − · · ·+ +3z2N+2 + 9z2N+3 + 18z2N+4 + · · ·+ 3 (j + 1)(j + 2) 2 z2N+2+j + · · · − −z3N+3 − 3z3N+4 − 6z3N+5 − · · · − (j + 1)(j + 2) 2 z3N+3+j − . . . Звiдси i випливає рiвнiсть (9). Таким чином, на основi леми для коефiцiєнтiв c (N) k отримаємо наступнi спiввiдношення: c (N) k1,k2,k3 =  2 (j + 1)(j + 2) p (3N) j при k1+k2+k3 =j6N, 2 −3N2+ (6j+3)N−2j2+2 p (3N) j при N+16j62N−1, 2 (3N − j + 1)(3N − j + 2) p (3N) j при 2N 6 j 6 3N. (13) Зупинимось на наближеннi функцiї f(z) вигляду (5) для ваги (6). У цьому випадку многочлен YN(t) буде спiвпадати з точнiстю до сталого множника з ортонормованим зсунутим на [0, 1] многочленом Якобi P (ν,ρ) 3N (t) степеня 3N . Враховуючи явний вираз для коефiцiєнтiв ортогональних много- членiв Якобi (див. [16, с. 581], (п. (22.3.3))) (константу для зручностi покладемо рiвною 1) P (ν,ρ) 3N (t) = 3N∑ m=0 (−1)m ( 3N m ) Γ(3N + ν + ρ+ 1 +m) Γ(ν + 1 +m) tm, Побудова апроксимант Паде . . . 99 p3N j = (−1)j ( 3N j ) Γ(3N + ν + σ + 1 + j) Γ(ν + 1 + j) , коефiцiєнти вигляду (13) запишемо: c (N) k1,k2,k3 =  2 · (−1)j (j + 1)(j + 2) ( 3N j ) Γ(3N + ν + σ + 1 + j) Γ(ν + 1 + j) при k1 + k2 + k3 = j 6 N, 2 · (−1)j −3N2+(6j+3)N−2j2+2 ( 3N j ) Γ(3N+ν+σ+1+j) Γ(ν + 1 + j) при N + 1 6 j 6 2N − 1, 2 · (−1)j (3N−j+1)(3N−j+2) ( 3N j ) Γ(3N+ν+σ+1+j) Γ(ν + 1 + j) при 2N 6 j 6 3N. (14) Отримаємо наступний результат. Теорема 2. Для гiпергеометричного ряду Лаурiчелли F (3) D (ν + 1, 1, 1, 1, ρ+ ν + 2; z1, z2, z3) = ∞∑ k1,k2,k3=0 (ν + 1)k1+k2+k3 (ρ+ ν + 2)k1+k2+k3 zk при будь-якому N ∈ N рацiональна функцiя [N /D ]f (z) = PN (z) QN(z) , де QN(z) = 3N∑ j=2N 2 · (−1)N−j (3N − j + 1)(3N − j + 2) Γ(6N + ν + σ + 1− j) Γ(3N + ν + 1− j) × × ( 3N 3N − j ) ∑ k1+k2+k3=j ki6N,i=1,3 zk + 2N−1∑ j=N+1 2 · (−1)N−j −3N2 + (6j + 3)N − 2j2 + 2 × × ( 3N 3N − j ) Γ(6N + ν + σ + 1− j) Γ(3N + ν + 1− j) ∑ k1+k2+k3=j ki6N,i=1,3 zk+ 100 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька + N∑ j=0 2 · (−1)N−j (j + 1)(j + 2) ( 3N 3N − j ) Γ(6N + ν + σ + 1− j) Γ(3N + ν + 1− j) ∑ k1+k2+k3=j zk, PN (z) = N−1∑ k1=0 N−1∑ k2=0 N−1∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N) N−j k1 + k2 + k3−j1−j2−j3 + 1 + +zN1 N−1∑ k2=0 N−1∑ k3=0 5N−1−k2−k3∑ k1=0 zk N∑ j1=0 k2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N) (j1,N−j2,N−j3) k1 + k2 + k3 + j1−j2−j3 + 1 + +zN2 N−1∑ k1=0 N−1∑ k3=0 5N−1−k1−k3∑ k2=0 zk k1∑ j1=0 N2∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N) (N−j1,j2,N−j3) k1 + k2 + k3−j1 + j2−j3 + 1 + +zN3 N−1∑ k1=0 N−1∑ k2=0 5N−1−k1−k2∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 k2∑ j2=0 N∑ j3=0 c (N) (N−j1,N−j2,j3) k1 + k2 + k3−j1−j2 + j3 + 1 + +zN1 z N 2 N−1∑ k3=0 4N−1−k3∑ k1=0 5N−1−k1−k3∑ k2=0 zk N∑ j1=0 N∑ j2=0 k3∑ j3=0 c (N) (j1,j2,N−j3) k1+k2+k3+j1+j2−j3+1 + +zN1 z N 3 N−1∑ k2=0 4N−1−k2∑ k1=0 5N−1−k1−k2∑ k3=0 zk N∑ j1=0 k2∑ j2=0 N∑ j3=0 c (N) (j1,N−j2,j3) k1+k2+k3+j1−j2+j3+1 + +zN2 z N 3 N−1∑ k1=0 4N−1−k1∑ k2=0 5N−1−k1−k2∑ k3=0 zk k1∑ j1=0 N∑ j2=0 N∑ j3=0 c (N) (N−j1,j2,j3) k1+k2+k3−j1+j2+j3+ 1 , де c(N) (k1,k2,k3) мають вигляд (14), матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду (7) для всiх (j1, j2, j3) ∈ E = { (j1, j2, j3) ∈ Z3 + : j1 + j2 + j3 6 6N − 1 } . Щоб проiлюструвати результат теореми 2, розглянемо частинний випадок ряду (7) при ν = ρ = 0. Тодi функцiя f , як було зазначено ранiше, матиме вигляд f(z)= z1(z2−z3) ln(1−z1) + z2(z3−z1) ln(1−z2) + z3(z1−z2) ln(1−z3) (z3 − z2)(z3 − z1)(z2 − z1) . (15) Побудова апроксимант Паде . . . 101 Покладемо N = 1. За теоремою 2 отримаємо рацiональну функ- цiю PN (z) Q1(z) = 1 35 ( −4200−350(z2 1 +z2 2 +z2 3)−350(z3 1 +z3 2 +z3 3)−315(z4 1 +z4 2+ +z4 3)−280(z5 1 +z5 2 +z5 3)−140(z1z2 +z1z3 +z2z3)−70(z2 1z2 +z1z 2 2 +z2 1z3+ +z1z 2 3 +z2 2z3 +z2z 2 3)−70(z3 1z2 +z1z 3 2 +z1z 3 3 +z3 1z3 +z2z 3 3 +z3 2z3 +z2 1z 2 3+ +z2 1z 2 2 +z2 2z 2 3)−70(z4 1z2 +z1z 4 2 +z1z 4 3 +z4 1z3 +z2z 4 3 +z4 2z3 +z3 1z 2 2 +z2 1z 3 2+ +z3 1z 2 3 +z2 1z 3 3 +z3 2z 2 3 +z2 2z 3 3)−68(z4 1z 2 2 +z2 1z 4 2 +z4 1z 2 3 +z2 1z 4 3 +z4 2z 2 3 +z2 2z 4 3+ +z5 1z2 +z1z 5 2 +z1z 5 3 +z5 1z3 +z2z 5 3 +z5 2z3 +z3 1z 3 3 +z3 1z 3 2 +z3 2z 3 3 ) × ( −120+ +60(z1 + z2 + z3)− 24(z1z2 + z1z3 + z2z3) + 6z1z2z3 )−1 . (16) Частинна сума степеневого ряду, що включає степенi zk11 zk22 zk33 , k1 + k2 + k3 6 6, матиме вигляд P6(z1, z2, z3) = 1+ 1 2 (z1 +z2 +z3)+ 1 3 (z2 1 +z2 2 +z2 3 +z1z2 +z1z3 +z2z3)+ + 1 4 (z3 1 + z3 2 + z3 3 + z2 1z2 + z1z 2 2 + z2 1z3 + z1z 2 3 + z2 2z3 + z2z 2 3 + z1z2z3)+ + 1 5 (z4 1 + z4 2 + z4 3 + z3 1z2 + z1z 3 2 + z3 1z3 + z1z 3 3 + z3 2z3 + z2z 3 3 + z2 1z 2 2 + z2 1z 2 3+ +z2 2z 2 3 +z1z2z 2 3 +z1z 2 2z3 +z2 1z2z3)+ 1 6 (z5 1 +z5 2 +z5 3 +z4 1z2 +z1z 4 2 +z4 1z3+ +z1z 4 3 + z4 2z3 + z2z 4 3 + z3 1z 2 2 + z2 1z 3 2 + z3 1z 2 3 + z2 1z 3 3 + z3 2z 2 3 + z2 2z 3 3 + z2 1z 2 2z3+ +z2 1z2z 2 3 + z1z 2 2z 2 3 + z3 1z2z3 + z1z 3 2z3 + z1z2z 3 3) + 1 7 (z6 1 + z6 2 + z6 3 + z5 1z2+ +z1z 5 2 +z5 1z3+z1z 5 3 +z5 2z3+z2z 5 3 +z4 1z 2 2 +z2 1z 4 2 +z4 1z 2 3 +z2 1z 4 3 +z4 2z 2 3 +z2 2z 4 3+ +z4 1z2z3 + z1z 4 2z3 + z1z2z 4 3 + z3 1z 3 2 + z3 2z 3 3 + z3 1z 3 3 + z2 1z 2 2z 2 3 + z3 1z 2 2z3+ +z2 1z 3 2z3 + z3 1z2z 2 3 + z2 1z2z 3 3 + z1z 3 2z 2 3 + z1z 2 2z 3 3). (17) Наведемо значення наближуваної функцiї (15), побудованої нами апроксиманти (16) та частинної суми степеневого ряду (17) в точках (0.4; 0.6; 0.8), (0.6; 0.6; 0.6), (0.8; 0.8; 0). 102 А.П. Голуб, Л.О. Чернецька f(z) PN /Q1 P6 (0.4; 0.6; 0.8) 4.90414626 4.49783506 4.20011048 (0.6; 0.6; 0.6) 4.37500000 4.22794427 4.00758400 (0.8; 0.8; 0) 5.00000000 4.25253946 3.95142400 Наведений приклад показує, що побудованi на основi теореми 2 рацiональнi апроксиманти наближають функцiю (15) краще за ча- стинну суму степеневого ряду з такою ж кiлькiстю вiльних коефi- цiєнтiв. 1. Alabiso C., Butera P. N-variable rational approximants and method of moments // J. Math. Phys. — 1975. — 16, № 4. — P. 840 – 845. 2. Hughes Jones R. General rational approximants in N variables // J. Approx. Theory. — 1976. — 16. — P. 201 – 233. 3. Cuyt A. Padé approximants for operators: theory and applications. — Berlin: Springer –Verlag, 1984. — 138 p. 4. Zhou P. Explicit construction of multivariate Padé approximants // J. Comput. Appl. Math. — 1997. — 79. — P. 1 – 17. 5. Guillaume P., Huard A., Robin V. Generalized multivariate Padé approximants // J. Approx. Theory. — 1998. — 95. — P. 203 – 214. 6. Cuyt A. How well can the concept of Padé approximant be generalized to the multivariate case? // J. Comput. Appl. Math. — 1999. — 105, № 1 – 2. — P. 25 – 50. 7. Cuyt A., Driver K., Tan J., Verdonk B. Exploring multivariate Padé approximants for multiple hypergeometric series // Adv. Comput. Math. — 1999. — 10, № 1. — P. 29 – 49. 8. Borwein P.B., Cuyt A., Zhou P. Explicit construction of general multivariate Padé approximants to an Appell function // Adv. Comput. Math. — 2005. — 22, № 3. — P. 249 – 273. 9. Дзядик В.К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. — 1981. — 6. — С. 8 – 12. 10. Голуб А.П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. — К.: Iн-т математики НАН України, 2002. — 222 c. 11. Голуб А.П., Чернецька Л.О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображен- ня та рацiональнi апроксимацiї функцiй двох змiнних // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 8. — С. 1035 – 1058. 12. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П.Р. Аппроксимации Паде. — М.: Мир, 1986. — 502 c. 13. Рудин У. Функциональный анализ. — M.: Мир, 1975. — 444 с. Побудова апроксимант Паде . . . 103 14. Appell P., Kampé de Fériet J. Fonctions hypergeométriques et hypersphériques: polynomes d’Hermite. — Paris: Gauthier—Villars, 1926. — 434 p. 15. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979. — 416 c. 16. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица, И. Сти- ган. — М.: Наука, 1979. — 832 c.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-69
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:01:58Z
publishDate	2014
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/a8/89a346d5df7206990eb325fd3ec65fa8.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-692018-01-29T14:44:04Z Construction of Padé approximants for Lauricella series by method of generalized moment representations Побудова апроксимант Паде для деяких гіпергеометричних рядів Лаурічелли за допомогою методу узагальнених моментних зображент Golub, A. P. Chernetska, L. A. Голуб, А. П. Черенецька, Л. О. By means of extension of V.K.Dzyadyk's method of generalized moment representations to the case of three-dimensional number sequences Pade approximants for some Lauricella hypergeometric series are constructed За допомогою поширення методу узагальнених моментних зображень В.К. Дзядика на випадок тривимірних числових послідовностей побудовано апроксиманти Паде для деяких гіпергеометричних рядів Лаурічелли Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/69 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 78-103 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 78-103 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 78-103 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/69/65
spellingShingle	Golub, A. P. Chernetska, L. A. Голуб, А. П. Черенецька, Л. О. Construction of Padé approximants for Lauricella series by method of generalized moment representations
title	Construction of Padé approximants for Lauricella series by method of generalized moment representations
title_alt	Побудова апроксимант Паде для деяких гіпергеометричних рядів Лаурічелли за допомогою методу узагальнених моментних зображент
title_full	Construction of Padé approximants for Lauricella series by method of generalized moment representations
title_fullStr	Construction of Padé approximants for Lauricella series by method of generalized moment representations
title_full_unstemmed	Construction of Padé approximants for Lauricella series by method of generalized moment representations
title_short	Construction of Padé approximants for Lauricella series by method of generalized moment representations
title_sort	construction of padé approximants for lauricella series by method of generalized moment representations
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/69
work_keys_str_mv	AT golubap constructionofpadeapproximantsforlauricellaseriesbymethodofgeneralizedmomentrepresentations AT chernetskala constructionofpadeapproximantsforlauricellaseriesbymethodofgeneralizedmomentrepresentations AT golubap constructionofpadeapproximantsforlauricellaseriesbymethodofgeneralizedmomentrepresentations AT čerenecʹkalo constructionofpadeapproximantsforlauricellaseriesbymethodofgeneralizedmomentrepresentations AT golubap pobudovaaproksimantpadedlâdeâkihgípergeometričnihrâdívlauríčellizadopomogoûmetoduuzagalʹnenihmomentnihzobražent AT chernetskala pobudovaaproksimantpadedlâdeâkihgípergeometričnihrâdívlauríčellizadopomogoûmetoduuzagalʹnenihmomentnihzobražent AT golubap pobudovaaproksimantpadedlâdeâkihgípergeometričnihrâdívlauríčellizadopomogoûmetoduuzagalʹnenihmomentnihzobražent AT čerenecʹkalo pobudovaaproksimantpadedlâdeâkihgípergeometričnihrâdívlauríčellizadopomogoûmetoduuzagalʹnenihmomentnihzobražent

Construction of Padé approximants for Lauricella series by method of generalized moment representations

Institution

Ähnliche Einträge