Singular rank one non-symmetric perturbations of self-adjoint operator
We present a construction and discuss the eigenvalue problem for a rank one singular nonselfadjoint perturbation $\tilde A = A + \alpha \langle \cdot, \omega_1 \rangle \omega_2$ of a selfadjoint half-bounded operator $A$, i.e. the operator $A$ perturbed by nonsymmetric potential $(\omega_1 \ne \omeg...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/7 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552612462592000 |
|---|---|
| author | Vdovenko, T. I. Dudkin, M. Ye. Вдовенко, Т. I. Дудкiн, М. Є. |
| author_facet | Vdovenko, T. I. Dudkin, M. Ye. Вдовенко, Т. I. Дудкiн, М. Є. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Т. I. Вдовенко",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
},
{
"author": "М. Є. Дудкiн",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
}
] |
| author_sort | Vdovenko, T. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:53:12Z |
| description | We present a construction and discuss the eigenvalue problem for a rank one singular nonselfadjoint perturbation $\tilde A = A + \alpha \langle \cdot, \omega_1 \rangle \omega_2$ of a selfadjoint half-bounded operator $A$, i.e. the operator $A$ perturbed by nonsymmetric potential $(\omega_1 \ne \omega_2)$. We give the constructive description of the operator $\tilde A$ and investigate the point spectrum that possess the operator $\tilde A$ in case of weakly singular perturbations. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 1, 57–73
УДК 517.9
Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн
(Нацiональний технiчний унiверситет України “КПI”, Київ)
Сингулярнi рангу один несиметричнi
збурення самоспряженого оператора.
tanyavdovenko@meta.ua, dudkin@imath.kiev.ua
We present a construction and discuss the eigenvalue problem for a rank
one singular nonselfadjoint perturbation à = A+α 〈·, ω1〉ω2 of a selfadjoint
half-bounded operator A, i.e. the operator A perturbed by nonsymmetric
potential (ω1 6= ω2). We give the constructive description of the operator
à and investigate the point spectrum that possess the operator à in case
of weakly singular perturbations.
Наведено конструкцiю та описано задача на власнi значення для рангу
один сингулярного несиметричного збурення Ã = A+α 〈·, ω1〉ω2 само-
спряженого напiвобмеженого оператора A, тобто оператора A збуре-
ного несиметричним потенцiалом (ω1 6= ω2). Надано конструктивний
опис оператора Ã i дослiджено точковий спектр, який набуває опера-
тор Ã у випадку слабо сингулярного збурення.
1. Вступ
В цiй роботi дослiджується сингулярне рангу один збурення самоспря-
женого оператора косим проектором. Таке збурення вiдповiдає фор-
мальному виразу A+α〈·, ω1〉ω2, де A = A∗ – необмежений самоспряже-
ний оператор в гiльбертовому просторi H, α ∈ C а вектори ωi, i = 1, 2
належать деякому негативному простору H−1, взятому зi шкали, по-
будованої за оператором A.
c© Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн, 2015
58 Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн
У випадку ω1 = ω2 i α ∈ R ми потрапляємо до добре вiдомої теорiї
сингулярних збурень самоспряжених операторiв (див. наприклад [1, 2,
3, 4, 6, 9, 10, 13, 14] та цитовану там лiтературу).
Взагалi, iдея i мотивацiї розглядати такi несиметричнi збурення
наведенi в [6, 11, 12] та з точки зору не самоспряжених розширень в
[15]. Вiдзначимо, що iз названих робiт найбiльш близькими до теми
даної роботи є цикл публiкацiй стосовних нелокальних взаємодiй [4,
13, 14].
2. Означення та основнi властивостi
Нехай A = A∗ – самоспряжений необмежений оператор, визначений
на DomA = D(A) у сепарабельному гiльбертовому просторi H зi ска-
лярним добутком (·, ·) i нормою ‖ ·‖. Позначимо σ(·), σp(·), ρ(·) спектр,
точковий спектр i регулярну множину, вiдповiдного оператора.
Нагадаємо, що {Hk(A)}k∈R1 позначає асоцiйовану A-шкалу гiль-
бертових просторiв [2, 10], де простiр Hk := Hk(A) = D(|A|k/2), k ≥ 1
iз нормою ‖ϕ‖k = ‖(|A| + I)k/2ϕ‖ (тут I позначає одиничний опера-
тор) ϕ ∈ Hk(A) i H−k := H−k(A) негативний (дуальний) простiр –
поповнення H за нормою ‖f‖−k = ‖(|A|+ I)−k/2f‖, f ∈ H. Нехай 〈·, ·〉
позначає дуальний скалярний добуток – спарення просторiв Hk i H−k.
У подальшому розглядi буде використано тiльки частина A-шкали для
k = 1, 2.
Використовуючи A-шкалу, оператор A продовжується на H+1 i ро-
зумiється тепер як обмежений оператор зi всього H+1 у H−1. Про-
довжений оператор позначено як A. Отже, вираз 〈ϕ, ω〉 для ω = Aψ
має сенс iз ϕ,ψ ∈ H+1. Позначимо також Rz = (A − z)−1 вiдповiдну
резольвенту z ∈ ρ(A).
Розглянемо в A-шкалi оператор вигляду V ω1,ω2 = 〈·, ω1〉ω2, в якого
очевидно D(V ) ⊆ H+1 i R(V ) ⊆ H−1.
Сума A+V є обмежений оператор з H+1 в H−1. Завдяки [5], можна
означити (A+V )+ – спряжений оператор, який дiє також з H+1 в H−1.
Тепер формальний вираз A+ α〈·, ω1〉ω2 можна розумiти, як опера-
тор A + 〈·, ω1〉ω2 з H+1 в H−1, звужений на H:
Aω1,ω2 = (A + 〈·, ω1〉ω2) �H . (1)
Надамо означення Aω1,ω2 без виходу iз простору H.
Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення 59
Означення 1. Оператор Aω1,ω2 називається рангу один несиметри-
чним слабо сингулярним збуренням самоспряженого оператора A у
сепарабельному гiльбертовому просторi H, якщо для ηi = A−1ωi,
ω1 ∈ H−1 \ H, або ω2 ∈ H−1 \ H, ω1 6= ω2:
D(Aω1,ω2) =
{
ψ = ϕ+ bη2 | ϕ ∈ D(A), b =
(Aϕ, η1)
1 + (A1/2η2, A1/2η1)
}
(2)
для випадку (A1/2η2, A
1/2η1) 6= −1; i
D(Aω1,ω2) = DH1+̇{cη}, DH1 = {ϕ ∈ D(A) | (Aϕ, η1) = 0} (3)
для випадку (A1/2η2, A
1/2η1) = −1;
Aω1,ω2ψ = Aϕ.
Використовуючи зв’язок ηi = A−1ωi, ωi ∈ H−1, i = 1, 2 можна
також вживати позначення Aη1,η2 для ηi ∈ H+1, i = 1, 2.
Оператор Aω1,ω2 має такi загальнi властивостi.
Твердження 1. Для a ∈ C маємо: Aaω1,ω2 = Aω1,āω2 .
Доведення. З означення 1 для обох випадкiв (2) i (3) випливає:
D(Aaω1,ω2) = D(Aω1,āω2) i Aaω1,ω2ψ = Aω1,āω2ψ = Aϕ. Твердження
1 доведено.
Твердження 2. Спряжений до оператор (Aω1,ω2)∗ має властивiсть
(Aω1,ω2)∗ = Aω2,ω1 .
Доведення. Для доведення використаємо означення 1 для Aω1,ω2 i
Aω2,ω1 та перевiримо рiвнiсть
(Aω1,ω2f1, f2) = (f1, A
ω2,ω1f2), (4)
для f1 ∈ D(Aω1,ω2) i f2 ∈ D(Aω2,ω1) у виглядi f1 = ϕ1 + b1η2 i f2 =
ϕ2 + b1η1 вiдповiдно. Лiва частина (4) має вигляд:
(Aω1,ω2f1, f2) = (Aω1,ω2(ϕ1 + b1η2), (ϕ2 + b2η1))
= (Aϕ1, ϕ2) + b̄2(Aϕ1, η1), (5)
де b1 = (Aϕ1,η1)
1+(A1/2η2,A1/2η1)
. Права частина (4) має вигляд
(f1, A
ω2,ω1f2) = ((ϕ1 + b1η2), Aω2,ω1(ϕ2 + b2η1))
= (ϕ1, Aϕ2) + b1(η2, Aϕ2), (6)
60 Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн
де b2 = (Aϕ2,η2)
1+(A1/2η1,A1/2η2)
.
Висновок твердження, що доводиться, випливає з рiвностi останнiх
доданкiв (5) i (6):
(Aϕ2, η2)
1 + (A1/2η1, A1/2η2)
(Aϕ1, η1) =
(Aϕ1, η1)
1 + (A1/2η2, A1/2η1)
(η2, Aϕ2).
Доведення у випадку (2), тобто (A1/2η2, A
1/2η1) 6= −1, завершено.
Твердження у випаду (3), тобто (A1/2η2, A
1/2η1) = −1, також викону-
ється. Твердження 2 доведено.
Приклад 1. Розглянемо оператор A = − d2
dx2 i у якостi простору
L2(R1, dx). Оператор A – продовження A на W 1
2 (R1) у сенсi узагаль-
нених функцiй. Нехай задано формальний вираз A+ 〈·, δx1〉δx2 , де δx1
i δx2
– δ-функцiї Дiрака зосередженi у точках x1 6= x2, xi ∈ R1, i = 1, 2.
Згiдно означення 1, (очевидно не симетричний) оператор
∆δx1 ,δx2 := − d2
dx2
+ 〈·, δx1
〉δx2
визначений в L2(R1, dx) областю визначення
D(∆δx1
,δx2 ) =
{
ψ ∈W 2
2 (R1 \ {x1}) | ψ(x1+) = ψ(x1−),
ψ′(x2+)− ψ′(x2−) = ψ(x1)}
i дiєю ∆δx1
,δx2ψ = −ψ′′.
Iнтегруванням частинами, встановлюємо, що спряжений оператор
(∆δx1
,δx2 )∗ = ∆δx2
,δx1 , має область визначення
D(∆δx2 ,δx1 ) =
{
ψ ∈W 2
2 (R1 \ {x2}) | ψ(x2+) = ψ(x2−),
ψ′(x1+)− ψ′(x1−) = ψ(x2)} (7)
iз тiєю ж дiєю.
3. Опис рангу один несиметричних збурень
самоспряженого оператора
У цьому роздiлi ми розглядаємо збурення iз параметром α ∈ C i по-
значаємо його Ã = A+α〈·, ω1〉ω2, де ωi ∈ H−1 \H i ‖ωi‖−1 = 1, i = 1, 2.
Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення 61
Множину таких операторiв позначимо Pws,ws(A) що означає ”weakly-
weakly” ”слабо-слабо” сингулярне збурення ((ws,ws)-збурення). Одра-
зу зауважимо, що якщо Ã ∈ Pws,ws(A) то i Ã∗ ∈ Pws,ws(A).
Теорема 1. Для резольвент Rz = (A−z)−1 i R̃z = (Ã−z)−1 операто-
рiв A = A∗ > c > 1 i à ∈ P1,1
ws,ws(A) у сепарабельному гiльбертовому
просторi H виконується формула типу М.Крейна z, ξ, ζ ∈ ρ(A)∩ρ(Ã):
R̃z = Rz + bz(·, nz̄)mz, (8)
з
nz = (A− ξ)(A− z)−1nξ, mz = (A− ζ)(A− z)−1mζ , (9)
де nz,mz ∈ H+1 \ H+2 i
b−1
z − b−1
ξ = (ξ − z)(mξ, nz̄). (10)
Вектори nz, mz i число bz пов’язанi iз ω1 i ω2 спiввiдношенням
nz = Rzω1,mz = Rzω2, −b−1
z = α−1 + 〈ω2, Rz̄ω1〉, (11)
де α 6= 0.
Випадок α = 0 можна включати у розгляд, оскiльки якщо α = 0,
то можна покласти bz ≡ 0 i вважати R̃z ≡ Rz.
Доведення. Без втрати загальностi надалi будемо писати A замiсть
A та Rz замiсть Rz. З (1) для деякого z ∈ ρ(A) ∩ ρ(Ã) маємо Ã− z =
A− z + α〈·, ω1〉ω2, i отже
(Ã− z)−1 = (A− z)−1 − α〈·, (A− z̄)−1ω1〉(Ã− z)−1ω2,
де (A − z)−1 i (Ã − z)−1 розумiємо як оператори з H−1 в H+1. Для
довiльного вектора з H−1 i зокрема ω2 ∈ H−1 маємо
(Ã− z)−1ω2 = (A− z)−1ω2 − α〈ω2, (A− z̄)−1ω1〉(Ã− z)−1ω2,
а також
(Ã− z)−1ω2 =
1
1 + α〈ω2, (A− z̄)−1ω1〉
(A− z)−1ω2.
Остаточно для α 6= 0
(Ã− z)−1 = (A− z)−1
− 1
α−1 + 〈ω2, (A− z̄)−1ω1〉
(·, (A− z̄)−1ω1)(A− z)−1ω2. (12)
62 Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн
Тепер лише слiд покласти
nz = (A− z)−1ω1, mz = (A− z)−1ω2, (13)
i
bz = − 1
α−1 + 〈ω2, (A− z̄)−1ω1〉
, (14)
що дає (11).
Аналогiчно, починаючи з Ã∗ = A+ ᾱ〈·, ω2〉ω1, також приходимо до
(13) i (14) у еквiвалентнiй формi
b̄z = − 1
ᾱ−1 + 〈ω1, (A− z)−1ω2〉
,
Зауважимо, що якщо ω1, ω2 ∈ H−1 \ H то nz,mz ∈ H+1 \ H+2.
З рiвностi (13) у виглядi nz = (A − z)−1ω1 i nξ = (A − ξ)−1ω1
отримуємо ω1 = (A− z)nz = (A− ξ)nξ i також перший вираз в (9)
nz = (A− ξ)(A− z)−1nξ.
Цей вираз має сенс в H. Аналогiчно отримуємо другий вираз в (9). З
(9) використовуючи тотожнiсть Гiльберта отримуємо (10):
b−1
z − b−1
ξ = −〈ω2, (A− z̄)−1ω1〉+ 〈ω2, (A− ξ̄)−1ω1〉
= 〈ω2,
(
(A− ξ̄)−1 − (A− z̄)−1
)
ω1〉
= 〈
(
(A− ξ)−1 − (A− z)−1
)
ω2, ω1〉
= 〈(ξ − z)(A− ξ)−1(A− z)−1ω2, ω1〉
= (ξ − z)〈(A− ξ)−1ω2, (A− z̄)−1ω1〉
= (ξ − z)(mξ, nz̄).
(15)
Що i завершує доведення.
Наприкiнцi роботи ми наводимо приклад, який iлюструє наступний
наслiдок iз попередньої теореми.
Наслiдок 1. Якщо оператор A = A∗ i à ∈ P1,1
ws,ws(A) обидва мають
зворотнi в H, тобто 0 ∈ ρ(A) ∩ ρ(Ã), то (8) i (9) та (11) мають
вигляд
Ã−1 = A−1 + b0(·, n0)m0, (16)
де
n0 = A−1ω1, m0 = A−1ω2, −b−1
0 = α−1 + 〈ω2, A
−1ω1〉. (17)
Доведення випливає з теореми 1, якщо покласти z = 0.
Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення 63
4. Спектральнi властивостi
Одразу зауважимо, що неперервний спектр σc(A) оператора A не мi-
няється при збуреннях скiнченого рангу, тобто σc(A) = σc(Ã), Ã ∈
Pn,ns,s (A), n <∞.
Теорема 2. Нехай (ws,ws)-збурений оператор Ã ∈ P1,1
ws,ws(A) набу-
ває, порiвняно iз A, нову точку λ ∈ C точкового спектру, тобто
iснує λ ∈ σp(Ã), така що λ 6∈ σp(A), тодi для вiдповiдних власних
векторiв ϕ, ψ: Ãϕ = λϕ Ã∗ψ = λ̄ψ виконуються такi спiввiдношення
(λ− z)bz(ϕ, nz̄) = 1, ϕ = (A− z)(A− λ)−1mz; (18)
(λ̄− z̄)b̄z(ψ,mz) = 1, ψ = (A− z̄)(A− λ̄)−1nz̄. (19)
Доведення. Нехай Ãϕ = λϕ, тобто
R̃zϕ = Rzϕ+ bz(ϕ, nz̄)mz =
1
λ− z
ϕ,
i отже
bz(ϕ, nz̄)mz =
[
1
λ− z
−Rz
]
ϕ =
1
λ− z
(A− λ)(A− z)−1ϕ,
(λ− z)bz(ϕ, nz̄)(A− z)(A− λ)−1mz = ϕ. (20)
Домножаючи на nz̄ останнiй вираз, отримуємо
(λ− z)bz(ϕ, nz̄)
(
(A− z)(A− λ)−1mz, nz̄
)
= (ϕ, nz̄),
i отже
(λ− z)bz(ϕ, nz̄) = 1. (21)
Зауважимо, що з (20) i (21) маємо ϕ = (A − z)(A − λ)−1mz. Отже
доведено (18).
Аналогiчно розглядаючи Ã∗ψ = λ̄ψ можна довести (19). Отже тео-
рема доведена.
Наслiдок 2. Нехай в умовах (20) i (21) теореми 2 z = 0, тодi
λb0(ϕ, n0) = 1, ϕ = A(A− λ)−1m0;
λ̄b̄0(ψ,m0) = 1, ψ = A(A− λ̄)−1n0.
64 Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн
Твердження 3. Нехай (ws,ws)-збурений опепатор Ã ∈ P1,1
ws,ws(A)
набуває, у порiвняннi iз A, нове власне значення λ ∈ C та власнi
вектори ϕ i ψ, тобто Ãϕ = λϕ i Ã∗ψ = λ̄ψ тодi спiввiдношення (18)
i (19) у термiнах ω1, ω2 мають вигляд
α〈(A− λ)−1ω2, ω1〉 = −1, ϕ = (A− λ)−1ω2; (22)
ᾱ〈(A− λ̄)−1ω1, ω2〉 = −1, ψ = (A− λ̄)−1ω1. (23)
Доведення випливає з теореми 2.
Якщо формулювання теореми 2 розумiти як пряма спектральна
задача, то обернена сформульована у такiй теоремi.
Теорема 3. Для заданого самоспряженого додатного оператора A =
A∗ в сепарабельному гiльбертовому просторi H i λ ∈ C та векторам
ϕ,ψ ∈ H+1 \ H+2, знайдеться єдиний (ws,ws)-сингулярно збурений
оператор Ã ∈ P1,1
ws,ws(A), такий що Ãϕ = λϕ i Ã∗ψ = λ̄ψ. При цьому
оператор Ã задається виразом (8):
R̃z = Rz + bz(·, nz̄)mz, (24)
з
mz = (A− λ)(A− z)−1ϕ, nz̄ = (A− λ̄)(A− z̄)−1ψ (25)
i
b−1
z = (λ− z)(ϕ, nz̄),
(
b̄−1
z = (λ̄− z̄)(ψ,mz)
)
. (26)
Для доведення теореми необхiдне допомiжне твердження загально-
го характеру, вiдоме наприклад з [7] у випадку нормального оператора.
Твердження 4. Нехай у сепарабельному гiльбертовому просторi H
задано додатнiй самоспряжений оператор A з областю визначення
D(A). Тодi для вектора η ∈ H \ D(A) i числа z ∈ C, Im(z) 6= 0 iснує
звуження Ȧ оператора A, таке що η = nz є його дефектним векто-
ром, тобто (Ȧ− z)∗nz = 0.
Далi наведемо твердження у певному розумiннi зворотнє до теоре-
ми 1: формула типу М.Крейна з точки зору несиметричого збурення,
тобто збурення резольвенти самоспряженого оператора косим прое-
ктором.
Твердження 5. Нехай в сепарабельному гiльбертовому просторi H
задано самоспряжений оператор A. Тодi операторно значна функцiя
R̃z := (A− z)−1 + bz(·, nz̄)mz, (27)
Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення 65
1) є резольвентою замкненого оператора, якщо для nz i bz виконую-
ться спiввiдношення (9) i (10) та nz̄, (mz̄) не є власними ве-
кторами для A− z, (A− z̄);
2) є резольвентою (ws,ws)-сингулярно збуреного оператора рангу
один якщо додатково до попереднього пункту є включення
nz,mz ∈ H+1 \ H+2.
Доведення. Доведемо пункт 1). За теоремою 7.7.1 [8] R̃z є резольвен-
тою замкненого оператора якщо:
a) R̃z задовольняє тотожнiсть Гiльберта: R̃z − R̃ξ = (z − ξ)R̃zR̃ξ,
Imz, ξ 6= 0;
b) R̃z має тривiальне ядро: ker(R̃z) = {0}, Imz 6= 0.
Перевiримо умову a). Пiдставимо (27) у тотожнiсть Гiльберта:
(A− z)−1 + bz(·, nz̄))mz − (A− ξ)−1 + bξ(·, nξ̄)mξ =
= (z − ξ)
(
(A− z)−1 + bz(·, nz̄))mz
) (
(A− ξ)−1 + bξ(·, nξ̄)mξ
)
.
Використовуючи тотожнiсть Гiльберта для (A− z)−1 отримуємо
bz(·, nz̄))mz − bξ(·, nξ̄)mξ = (z − ξ)bξ(·, nξ̄)(A− z)−1mξ+
+ (z − ξ)bz(·, (A− ξ̄)−1nz̄)mz + (z − ξ)bzbξ(·, nξ̄)(mξ, nz̄))mz. (28)
З (9) маємоmz = (A−ξ)(A−z)−1mξ, тодimz = mξ+(z−ξ)(A−z)−1mξ,
i (z−ξ)(A−z)−1mξ = mz−mξ. Аналогiчно, з другої рiвностi (9) маємо:
(z̄ − ξ̄)(A− ξ̄)−1nz̄ = nz̄ − nξ̄. Пiдставляємо останнi двi рiвностi в (28):
bz(·, nz̄))mz − bξ(·, nξ̄)mξ = bξ(·, nξ̄)[mz −mξ]+
+ bz(·, [nz̄ − nξ̄])mz + (z − ξ)bzbξ(·, nξ̄)(mξ, nz̄))mz.
Пiсля спрощення
0 = bξ(·, nξ̄)mz − bz(·, nξ̄)mz + (z − ξ)bzbξ(·, nξ̄)(mξ, nz̄))mz.
Пiсля скорочення на (·,mξ)nz̄ отримуємо вираз еквiвалентний (10).
Перевiримо умову b). Дiйсно для f ⊥ nz̄ iз фiксованою z, Imz 6= 0
R̃(z) = (A−z)−1 є резольвентою замкненого оператора i ker R̃(z) = {0}.
Для вектора nz̄ маємо
R̃znz̄ = (A− z)−1nz̄ + bz(nz̄, nz̄)mz 6= 0.
66 Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн
оскiльки з iншого боку nz̄ є власний вектор оператора (A− z)−1. Але
за умови твердження, вектор nz̄ не є власним вектором оператора (A−
z)−1.
Аналогiчно використовуючи спряжений вираз
R̃zmz̄ = (A− z)−1mz̄ + bz(mz̄,mz̄)nz 6= 0,
для вектора mz̄ i попереднiй доходимо висновку, що R̃(z) є резольвен-
тою деякого замкненого оператора. Тепер можна стверджувати, що
iснує замкнений лiнiйний оператор позначений Ã i можна покласти
(Ã− z)−1 := R̃(z).
Зокрема R̃(z) не є резольвентою самоспряженого оператора. За те-
оремою 7.7.3 з [8] операторно значна функцiя R̃(z) є резольвентою
самоспряженого оператора якщо (R̃(z))∗ = R̃(z̄). Але ми маємо
(R̃z)
∗ = (A− z̄)−1 + b̄z(·,mz̄)nz 6= R̃z̄.
Нехай умова 1) виконана i ми перевiряємо умову 2). Для цього
припустимо додатково nz,mz ∈ H \ D(A). Покажемо, що множина
D = {f ∈ D(A) | 〈f, ω2〉 = 0} i D∗ = {f ∈ D(A) | 〈f, ω1〉 = 0} обидвi є
щiльними в H. Припустимо протилежне, тобто D 6= H. Тодi ∃h ∈ H,
так що (D, h) = 0. Тодi
0 = (D, h) = ((A− z)−1Mz, h) = (Mz, (A− z̄)−1h).
Отже маємо (A− z)−1h ∈ Nz, i (A− z)−1h ∈ D(A), але за умови твер-
дження Nz := {cnz}c∈C ∈ H \D(A). Аналогiчна суперечнiсть доводи-
ться для множини D∗. Отриманi суперечностi завершують доведення.
Зауваження. У твердженнi 5 вектори nz,mz ∈ H \ D(A), отже
автоматично nz̄ imz не є власними для (A−z)−1 i (A− z̄)−1 вiдповiдно.
Тепер доведемо теорему 3.
Доведення теореми 3.
1. Оскiльки ϕ ∈ H+1 \ H+2, то з (25) випливає nz,mz ∈ H+1 \ H+2
a отже nz,mz ∈ H \ D(A), ∀z ∈ ρ(A). За твердженням 4, вектор nz
є дефектним для ермiтового оператора Ȧ з iндексами дефекту (1, 1),
що є звуженням оператора A i вектор mz є дефектним для ермiтова
оператора Ȧ∗ з iндексами дефекту (1, 1), який є звуженням також A.
З теореми 1 випливає, що (ws,ws)-збурений оператор описаний
формулами (8) з умовами (9) i (10). В твердженнi 5 доведено, що опе-
ратор R̃z, заданий в (27), є резольвентою самоспряженого оператора
за умови що bz задовольняє (10) i nz,mz задовольняють (9).
Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення 67
Нехай для nz, mz виконується (25) i (26):
mz = (A−λ)(A−z)−1ϕ = ϕ+ (z−λ)(A−z)−1ϕ, b−1
z = (λ− z)(ϕ, nz̄));
nz = (A−λ̄)(A−z)−1ψ = ψ + (z−λ̄)(A−z)−1ψ, b̄−1
z = (λ̄− z̄)(ψ,mz);
b−1
z = (λ− z)(mz, ψ).
Враховуючи (ϕ,ϕ) = 1, запишемо лiву частину (10):
bz − bξ = (λ− z)(ϕ, [ψ + (z̄ − λ̄)(A− z̄)−1ψ])−
− (λ− ξ)([ϕ+ (ξ − λ)(A− ξ)−1ϕ], ψ) =
= (λ− z)(ϕ,ψ)− (λ− z)2((A− z)−1ϕ,ψ)−
− (λ− ξ)(ϕ,ψ) + (λ− ξ)2((A− ξ)−1ϕ,ψ) =
= (ξ − z)(ϕ,ψ)− (λ− z)2((A− z)−1ϕ,ψ)+
+ (λ− ξ)2((A− ξ)−1ϕ,ψ).
(29)
Запишемо праву частину (10):
(ξ − z)(mξ, nz̄) = (ξ − z)([ϕ+ (ξ − λ)(A− ξ)−1ϕ],
[ψ + (z̄ − λ̄)(A− z̄)−1ψ]) =
= (ξ − z)[(ϕ,ψ) + (z − λ)((A− z)−1ϕ,ψ)+
+ (ξ − λ)((A− ξ)−1ϕ,ψ)+
+ (z − λ)(ξ − λ)((A− z)−1(A− ξ)−1ϕ,ψ)].
В останньому рядку використано тотожнiсть Гiльберта для резольвент
(A− z)−1 − (A− ξ)−1 = (z − ξ)(A− z)−1(A− ξ)−1.
68 Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн
Отже
(ξ − z)(mξ, nz̄) =
= (ξ − z)(ϕ,ψ) + (ξ − z)(z − λ)((A− z)−1ϕ,ψ)+
+ (ξ − z)(ξ − λ)((A− ξ)−1ϕ,ψ)+
+ (ξ − λ)(z − λ)((A− ξ)−1ϕ,ψ)−
− (z − λ)(ξ − λ)((A− z)−1ϕ,ψ) =
= (ξ − z)(ϕ,ψ) + (−z2 + zξ − λξ + λz)((A− z)−1ϕ,ψ)+
+ (ξ2 − zξ − λξ + λz)((A− ξ)−1ϕ,ψ)+
+ (zξ − λz − λξ + λ2)((A− ξ)−1ϕ,ψ)−
− (zξ − λz − λξ + λ2)((A− z)−1ϕ,ψ) =
= (ξ − z)(ϕ,ψ)− (λ2 − 2λz + z2)((A− z)−1ϕ,ϕ)+
+ (ξ2 − 2λξ + λ2)((A− ξ)−1ϕ,ψ).
Таким чином
(ξ − z)(mz, nξ̄) = (ξ − z)(ϕ,ψ) + (ξ − λ)2((A− ξ)−1ϕ,ψ)
− (z − λ)2((A− z)−1ϕ,ψ). (30)
Порiвнюючи (29) i (30), отримуємо (10).
2. Оскiльки вектори nz i mz належать до H+1 \H+2, то за твердже-
нням 5 пункт 2), оператор Ã є (ws,ws)-сингулярно збурений вiдносно
A.
3. Покажемо, що Ãϕ = λϕ, або (Ã− z)−1ϕ = 1
λ−zϕ. Дiйсно, пiдста-
новка в (8) першого виразу з (25) i (26) з ϕ дає
(Ã− z)−1ϕ = (A− z)−1ϕ+
+
1
(λ− z)(ϕ, nz̄)
(ϕ, nz̄)(ϕ+ (z − λ)(A− z)−1ϕ) =
1
λ− z
ϕ. (31)
Аналогiчно Ã∗ψ = λ̄ψ або (Ã∗ − z)−1ψ = 1
¯λ−z можемо отримати пид-
ставляючи в спряжений до (8) вираз друге рiвняння з (25) i (26) з
ψ.
4. Доведемо єдинiсть. Припустимо противне, тобто iснує iнший опе-
ратор Â ∈ P1,1
ws,ws(A), такий що Âϕ = λϕ i Â∗ψ = λψ але Â 6= Ã.
Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення 69
Оскiльки Â ∈ P1,1
ws,ws(A), то ∃b̂z i ∃n̂z, (m̂z), так що або b̂z 6= bz, або
n̂z 6= nz або m̂z 6= mz, i
(Â− z)−1 := (A− z)−1 + b̂z(·, n̂z̄)m̂z, z ∈ ρ(Â) ∩ ρ(A).
Тодi для λ i ϕ маємо
(Â− z)−1ϕ = (Ã− z)−1ϕ =
1
λ− z
,
1
λ− z
= (A− z)−1ϕ+ b̂z(·, n̂z̄)m̂z = (A− z)−1ϕ+ bz(·, nz̄)mz.
З iншої рiвностi маємо що n̂z = nz, m̂z = mz i також b̂z = bz, тобто
 6= Ã. Отримана суперечнiсть завершує доведення єдиностi i теореми
в цiлому.
Наслiдок 3. Для заданого додатного самоспряженого оператора A
в сепарабельному гiльбертовому просторi H i 0 6= λ ∈ C та векторiв
ϕ,ψ ∈ H+1 \ H+2, знайдеться єдиний Ã ∈ P1,1
ws,ws(A), такий що Ãϕ =
λϕ i Ã∗ψ = λ̄ψ. Припустимо додатково 0 ∈ ρ(A). При цьому оператор
à визначений в (16) має вигляд
Ã−1 = A−1 + b0(·, n0)m0, (32)
де
m0 = (A− λ)A−1ϕ, n0 = (A− λ̄)A−1ψ, (33)
b−1
0 = λ(ϕ, n0), or b̄−1
0 = λ̄(ψ,m0). (34)
Доведення випливає з теореми 4.
Твердження 6. Для заданого самоспряженого оператора A в сепа-
рабельному гiльбертовому просторi H i λ ∈ C та векторiв ϕ,ψ ∈
H+1 \H+2, iснує єдиний Ã ∈ P1,1
ws,ws(A) такий що Ãϕ = λϕ, Ã∗ψ = λ̄ψ
При цьому оператор Ã визначений (1) виразом Ã = A + α〈·, ω1〉ω2,
де ω1 = (A − λ̄)ψ, ω2 = (A − λ)ϕ, i α−1 = −〈(A − λ)ω2, ω1〉, або (що
еквiвалентно) α−1 = −〈(A− λ̄)ω1, ω2〉.
Доведення є простим поєднанням висновкiв теорем 1 i 3.
70 Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн
5. Приклади
Приклад 2. Нехай H = L2([
√
2,∞), dx) = L2 i A оператор множення
на незалежну змiнну x, тобто
Af(x) = xf(x), D(A) = {f(x) ∈ L2 | xf(x) ∈ L2}.
Очевидно оператор A ≥
√
2 i A має абсолютно неперервний спектр
σ(A) = σc(A) = [
√
2,∞).
Покладемо H+1 = L2([
√
2,∞), xdx) i H−1 = L2([
√
2,∞), 1
xdx) – про-
стiр iз вагою. У такому випадку D(A) = H+2 = L2([
√
2,∞), x2dx).
Вiзьмемо ω1 = 1√
x−1
i ω2 = 1√
x+1
. Очевидно, що ω1, ω2 ∈ H−1 \ H.
Отже наведено приклад оператора Ã ∈ P1,1
ws,ws.
Якщо припустити додатково, що Ã набуває нову точку точкового
спектру λ = 0 тобто 0 ∈ σp(Ã), то за твердженням 3, α = − 4
π за
формулами (22), оскiльки 〈A−1ω2, ω1〉 =
∞∫
√
2
dx
x
√
x2−1
= π
4 . Отже
Ãf(x) = xf(x)− 4
π
1√
x+ 1
∞∫
√
2
f(x)√
x− 1
dx.
У зв’язку зi сказаним ϕ = 1
x
√
x−1
, ψ = 1
x
√
x+1
.
Для iлюстрацiї теореми 1, формули (8) i теореми 3, формул (25)
та (26) (для випадку λ = 0) достатньо покласти nz = 1
(x−z)
√
x−1
,
mz = 1
(x−z)
√
x+1
, b−1
z = π
4 −
∞∫
√
2
dx
(x−z)
√
x2−1
.
Приклад 3. Нехай H = L2([1,∞), dx) = L2 i A оператор множення
на незалежну змiнну x як у попередньому прикладi, тобто Af(x) =
xf(x), D(A) = {f(x) ∈ L2 | xf(x) ∈ L2}. Очевидно A ≥ 1 i A мають
абсолютно неперервний спектр, тобто σ(A) = σc(A) = [1,∞).
Аналогiчно вiзьмемо H1 = L2([1,∞), xdx) i H−1 = L2([1,∞), 1
xdx) –
простiр з вагою. У цьому випадку D(A) = H2 = L2([1,∞), x2dx).
Виберемо ϕ = 1
x3/2 i ψ = 1
x5/4 . Очевидно, шо ϕ,ψ ∈ H+1\H+2. Отже
маємо приклад оператора Ã ∈ P1,1
ws,ws визначеного в (24).
Якщо припустимо додатково що Ã набуває нову точку точкового
спектру λ = i, тобто i ∈ σp(Ã) i покладемо для простоти z = 0, то за
Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення 71
наслiдком 3 отримуємо вектори n0, m0 i число b0 за формулами (33) i
(34) для (32), оскiльки m0 = x−i
x5/2 , n0 = x+i
x9/4 , b−1
0 = i
∞∫
1
1
x3/2
x−i
x9/4 dx =
4
11 −
4
7 i. Отже
Ã−1f(x) =
1
x
f(x) +
1
4/11− i4/7
x− i
x5/2
∞∫
1
x− i
x4/9
f(x) dx.
I взагалi nz = 1
(x−i)x3/2(x−z) , mz = 1
(x−i)x5/4(x−z) , b−1
z = i
∞∫
1
(x−i) dx
x11/4(x−z) .
Приклад 4. Нехай H = L2(R1) i роль A грає оператор Лапласа, тобто
Af(x) = −f ′′(x), D(A) = W 2
2 (R1) простiр Соболева. Оператор A ≥ 0
i має абсолютно неперервний спектр, тобто σ(A) = σc(A) = [0,∞).
Розглянемо вираз (1) для опису збурення δ-функцiєю.
За [1] можна записати резольвенти операторiв, тобто ядро резоль-
венти
(−∆̃− k2)−1(x, τ) = (i/2k)eik|x−τ |+α(2k)−1(iα+ 2k)−1eik[|x−x2|+|x1−τ |],
де Imk > 0, α ∈ C, x, τ, x1, x2 ∈ R1, x1 < x2. Неважко зрозумiти, що
iстотнiй спектр σess(−∆̃) = σac(−∆) = [0,∞), i сингулярно неперерв-
ний σsc(−∆̃) = ∅.
Якщо Re(α) < 0, то оператори −∆̃ (i −∆̃∗) набувають одне просте
власне значення {−α2/4} (i {−ᾱ2/4}) iз нормованим власним вектором
ϕ = (−α/2)1/2eα|x−y1|/2, (i ψ = (−ᾱ/2)1/2eᾱ|x−y2|/2).
6. Висновки
В статтi дано означення рангу один сингулярно не симетрично збуре-
ного оператора, встановленi його властивостi та дослiджено точковий
спектр, який набуває так збурений оператор.
Лiтература
[1] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-Krohn, H. Holden. Solvable
models in quantum mechanics.Second edition, With an appendix
by Pavel Exner // AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005.
xiv+488 pp.
72 Т.I. Вдовенко, М.Є. Дудкiн
[2] S. Albeverio, and P. Kurasov. Singular perturbations of differential
operators. Solvable Schrödinger type operators // London Mathemati-
cal Society Lecture Note Series, 271, Cambridge University Press,
Cambridge, 2000. xiv+429 pp.
[3] S. Albeverio, S. Kuzhel and L. Nizhnik. On the perturbation theorey
of self-adjoint operators // Tokyo Journal of Mathematics 31 (2008),
no. 2, 273–292.
[4] S. Albeverio and L. Nizhnik. Schrödinger operators with nonlocal
potentials // Methods Funct. Anal. Topology 10 (2013), no. 3, 199–
210.
[5] Y. M. Berezansky and J. Brasche. Generalized selfadjoint operators
and their singular perturbations // Methods Funct. Anal. Topology
8 (2002), no. 4, 1–14.
[6] A. Grod and S. Kuzhel. Schrödinger operators with non-symmetric
zero-range potentials // Methods Funct. Anal. Topology 20 (2014),
no. 1, 34–49.
[7] Дудкiн М.Є. Сингулярно збуренi нормальнi оператори // // Укр.
мат. журн. — 1999. — 51, No 8. — C. 1045-1053.
[8] Като Т. Теория возмущений линейных операторов // Т.Като. —
М.:Мир, 1972. — 740 с.
[9] Koшманенко В.Д. Сингулярные билинейные формы в теории во-
змущений самосопряженных операторов. — Киев: Нaук. думка,
1993. — 178 с.
[10] Koшманенко В.Д., Дудкiн М.Є. Методи оснащених просторiв у
теорiї сингулярних збурень самоспряжених операторiв // Працi
Iнституту математики НАН України т. 96 Київ: –2013. – 320 с.
[11] V. B. Lidskii. The non self-adjoint operator of Sturm-Liouville type
with discrete spectrum // Trudy Moskow. Mat. Obshchestva 9 (1960),
45–79.
[12] M. M. Malamud and V. I. Mogilevskii. Krĕın type formula for canoni-
cal resolvents of dual pairs of linear relations // Methods Funct. Anal.
Topology 8 (2002), no. 4, 72–100.
Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення 73
[13] L. Nizhnik. Inverse nonlocal Sturm-Liouville problem // Inverse
problems 26 (2010), 9 pp.
[14] L. Nizhnik. Inverse spectral nonlocal problem for the first order ordi-
nary differential equation // Tamkang Journal of Mathematics 42
(2011), no. 3, 385–394.
[15] M. I. Vishik. On general boundary-value problems for elliptic di-
fferential equation // Trudy Moskow. Mat. Obshchestva 1 (1952),
187–246.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-7 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:12Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c2/52d53e24485d225377be7c4772407bc2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-72018-01-23T09:53:12Z Singular rank one non-symmetric perturbations of self-adjoint operator Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення самоспряженого оператора Vdovenko, T. I. Dudkin, M. Ye. Вдовенко, Т. I. Дудкiн, М. Є. We present a construction and discuss the eigenvalue problem for a rank one singular nonselfadjoint perturbation $\tilde A = A + \alpha \langle \cdot, \omega_1 \rangle \omega_2$ of a selfadjoint half-bounded operator $A$, i.e. the operator $A$ perturbed by nonsymmetric potential $(\omega_1 \ne \omega_2)$. We give the constructive description of the operator $\tilde A$ and investigate the point spectrum that possess the operator $\tilde A$ in case of weakly singular perturbations. Наведено конструкцiю та описано задача на власнi значення для рангу один сингулярного несиметричного збурення $\tilde A = A + \alpha \langle \cdot, \omega_1 \rangle \omega_2$ самоспряженого напiвобмеженого оператора $A$, тобто оператора $A$ збуреного несиметричним потенцiалом $(\omega_1 \ne \omega_2)$. Надано конструктивний опис оператора $\tilde A$ i дослiджено точковий спектр, який набуває оператор $\tilde A$ у випадку слабо сингулярного збурення. Інститут математики НАН України 2015-05-05 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/7 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 1 (2015): Spectral theory of operators and of collections of operators; 57-73 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 57-73 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 57-73 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/7/5 |
| spellingShingle | Vdovenko, T. I. Dudkin, M. Ye. Вдовенко, Т. I. Дудкiн, М. Є. Singular rank one non-symmetric perturbations of self-adjoint operator |
| title | Singular rank one non-symmetric perturbations of self-adjoint operator |
| title_alt | Сингулярнi рангу один несиметричнi збурення самоспряженого оператора |
| title_full | Singular rank one non-symmetric perturbations of self-adjoint operator |
| title_fullStr | Singular rank one non-symmetric perturbations of self-adjoint operator |
| title_full_unstemmed | Singular rank one non-symmetric perturbations of self-adjoint operator |
| title_short | Singular rank one non-symmetric perturbations of self-adjoint operator |
| title_sort | singular rank one non-symmetric perturbations of self-adjoint operator |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/7 |
| work_keys_str_mv | AT vdovenkoti singularrankonenonsymmetricperturbationsofselfadjointoperator AT dudkinmye singularrankonenonsymmetricperturbationsofselfadjointoperator AT vdovenkoti singularrankonenonsymmetricperturbationsofselfadjointoperator AT dudkinmê singularrankonenonsymmetricperturbationsofselfadjointoperator AT vdovenkoti singulârniranguodinnesimetričnizburennâsamosprâženogooperatora AT dudkinmye singulârniranguodinnesimetričnizburennâsamosprâženogooperatora AT vdovenkoti singulârniranguodinnesimetričnizburennâsamosprâženogooperatora AT dudkinmê singulârniranguodinnesimetričnizburennâsamosprâženogooperatora |