Solution of the Kolmogorov-Nikol’skii problem for three-harmonic Poisson integrals on classes $C^{\psi}_{\beta,\infty}$
We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations by threeharmonic integrals of Poisson $P_{3}(\delta)$ in uniform metric on classes of continuous $2\pi$-periodic functions whose $(\psi,\beta)$-derivatives belong to the unit ball of the space $L_{\infty}$, in the case when the funct...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/70 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552601785991168 |
|---|---|
| author | Grabova, U. Z. Kal’chuk, I. V. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. |
| author_facet | Grabova, U. Z. Kal’chuk, I. V. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "У. З. Грабова",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
},
{
"author": "І. В. Кальчук",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Grabova, U. Z. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations by threeharmonic integrals of Poisson $P_{3}(\delta)$ in uniform metric on classes of continuous $2\pi$-periodic functions whose $(\psi,\beta)$-derivatives belong to the unit ball of the space $L_{\infty}$, in the case when the functions $\psi(t)$ tend to zero faster, then the function $t^{-3}$, which defines an order of the saturation of the method $P_{3}(\delta)$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 104–127
УДК 517.5
У.З. Грабова, I. В. Кальчук (Схiдноєвропейський нацiональний
унiверситет iменi Лесi Українки, Луцьк)
РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI
КОЛМОГОРОВА–НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ
ТРИГАРМОНIЙНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА
НА КЛАСАХ Cψ
β,∞
We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations by
threeharmonic integrals of Poisson P3(δ) in uniform metric on classes of
continuous 2π-periodic functions whose (ψ, β)-derivatives belong to the unit
ball of the space L∞, in the case when the functions ψ(t) tend to zero faster,
then the function t−3, which defines an order of the saturation of the method
P3(δ).
Одержано асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж наближень тригар-
монiйними iнтегралами Пуассона P3(δ) у рiвномiрнiй метрицi на класах
неперервних 2π-перiодичних функцiй, (ψ, β)-похiднi яких належать оди-
ничнiй кулi простору L∞, у випадку, коли функцiї ψ(t) спадають до нуля
швидше за функцiю t−3, яка визначає порядок насичення методу P3(δ).
Нехай L — простiр 2π-перiодичних сумовних на перiодi функцiй,
в якому норма задається за допомогою рiвностi ‖f‖L =
π∫
−π
|f(t)|dt;
L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних iстотно обмежених функцiй
з нормою ‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|; C — простiр 2π-перiодичних непере-
рвних функцiй, у якому норма задається рiвнiстю ‖f‖C = max
t
|f(t)|.
У роботах О. I. Степанця [1, 2] введенi класи LψβN i CψβN перiо-
дичних функцiй таким чином. Нехай f ∈ L i
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) =
∞∑
k=0
Ak(f ;x)
— ряд Фур’є функцiї f .
Нехай далi ψ(k) — довiльна фiксована функцiя натурального
c© У.З.Грабова, I. В. Кальчук, 2014
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 105
аргументу i β — фiксоване дiйсне число. Якщо ряд
∞∑
k=1
1
ψ (k)
(
ak cos
(
kx+
πβ
2
)
+ bk sin
(
kx+
πβ
2
))
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї ϕ, то цю функцiю назива-
ють (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають через fψβ . Множину усiх
функцiй f , котрi задовольняють таку умову, позначають через Lψβ .
Якщо f ∈ Lψβ i, крiм того, fψβ ∈ N, де N — деяка пiдмножина функ-
цiй iз L, то записують, що f ∈ LψβN. Далi покладемо Lψβ ∩ C = Cψβ i
LψβN ∩ C = CψβN.
Через Cψβ,∞ позначають множину функцiй f ∈ CψβN у випадку,
коли N є одиничною кулею простору L∞, тобто коли N = {ϕ ∈ L∞ :
‖ϕ‖∞ ≤ 1}.
Поняття (ψ, β)-похiдної є природним узагальненням поняття
(r, β)-похiдної у розумiннi Вейля–Надя. Дiйсно, якщо покласти
ψ(k) = k−r, r > 0, то одержимо, що fψβ = f
(r)
β i класи Cψβ,∞ є класами
Вейля–Надя W r
β,∞ [3].
Послiдовностi ψ(k), k ∈ N, якi визначають класи Cψβ,∞, зруч-
но розглядати як звуження на множину натуральних чисел деяких
неперервних функцiй ψ(t) неперервного аргументу t ≥ 1 таких, що
ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ ((t1 + t2)/2) + ψ(t2) ≥ 0 ∀t1, t2 ∈ [1,∞),
lim
t→∞
ψ(t) = 0.
Множину усiх таких функцiй ψ(t) будемо позначати через M.
Згiдно з О. I. Степанцем (див., наприклад, [2, с. 160]) iз множини
M видiлимо пiдмножини M0, MC , M∞ вигляду
M0 =
{
ψ(t) ∈M : 0 < µ(ψ; t) ≤ K ∀t ≥ 1
}
,
MC =
{
ψ(t) ∈M : 0 < K1 ≤ µ(ψ; t) ≤ K2 ∀t ≥ 1
}
,
M∞ =
{
ψ(t) ∈M : 0 < K ≤ µ(ψ; t) <∞ ∀t ≥ 1
}
,
де
µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
, η(t) = η (ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
, (1)
106 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
ψ−1 — функцiя, обернена до функцiї ψ, а K, K1, K2, взагалi кажучи,
можуть залежати вiд функцiї ψ.
Через M∗C та M∗∞ позначимо функцiї ψ(t), що належать множи-
нам MC та M∞ вiдповiдно i мають неперервнi другi похiднi ψ′′(t) на
[1,∞).
Нехай f ∈ L. Величину
P3(δ; f ;x)=
a0
2
+
∞∑
k=1
λk(δ) (ak cos kx+ bk sin kx) , δ > 0,
де λk(δ) =
(
1 + 1
4
(
3− e− 2
δ
)(
1− e− 2
δ
)
k + 1
8
(
1− e− 2
δ
)2
k2
)
e−
k
δ , на-
зивають тригармонiйним iнтегралом Пуассона функцiї f (див., на-
приклад, [4, с. 73]).
Дана робота присвячена вивченню асимптотичної поведiнки при
δ →∞ величини
E
(
Cψβ,∞;P3(δ)
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥f(x)− P3(δ; f ;x)
∥∥
C
, (2)
за умови, що ψ(t) за порядком спадає до нуля швидше нiж функцiя
t−3.
Задачу про вiдшукання асимптотичної рiвностi для величи-
ни (2), згiдно з О. I. Степанцем [2, с. 198], називатимемо задачею
Колмогорова–Нiкольського для методу P3(δ) на класi Cψβ,∞ у рiв-
номiрнiй метрицi.
Вивченню апроксимативних властивостей гармонiйних та бiгар-
монiйних iнтегралiв Пуассона на класах диференцiйовних функцiй
присвяченi роботи [5 – 13]. В [4] авторами знайдено розв’язок задачi
Колмогорова–Нiкольського для тригармонiйних iнтегралiв Пуассона
на класах Cψβ,∞ у випадку, коли функцiя ψ(t), що породжує цi кла-
си, спадає до нуля не швидше за функцiю t−3, яка визначає порядок
насичення методу P3(δ).
Домовимося далi через K, Ki, i = 1, 2, ..., позначати сталi, взагалi
кажучи рiзнi, в рiзних спiввiдношеннях.
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 107
Покладемо
τ(u) :=
{ (
1−
(
1 + γu+ θu2
)
e−u
) ψ(1)
ψ(δ) , 0 ≤ u ≤ 1
δ ,(
1−
(
1 + γu+ θu2
)
e−u
) ψ(δu)
ψ(δ) , u ≥ 1
δ ,
(3)
де γ = 1
4
(
3− e− 2
δ
)(
1− e− 2
δ
)
δ, θ = 1
8
(
1− e− 2
δ
)2
δ2, δ > 0, ψ ∈M.
Якщо для функцiї τ(u) перетворення Фур’є
τ̂β(t) =
1
π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du (4)
є сумовним на всiй дiйснiй осi, тобто iнтеграл
A(τ) =
∞∫
−∞
|τ̂β(t)|dt
збiжний, то аналогiчно до [2, с. 183] можна показати, що для довiль-
ної функцiї f ∈ Cψβ,∞ при всiх x ∈ R справедлива рiвнiсть
f(x)− P3(δ; f ;x) = ψ(δ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
τ̂β(t)dt, δ > 0. (5)
Використовуючи iнтегральне представлення (5), дослiдимо
асимптотичну поведiнку величини (2). Має мiсце твердження.
Теорема 1. Нехай ψ ∈M∗C , функцiя g(u) = u3ψ(u) опукла донизу
на [b,∞) при деякому b ≥ 1 i
∞∫
1
u2ψ(u)du <∞. (6)
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;P3(δ)
)
C
=
1
δ3
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥4
3
f
(1)
0 (x) + f
(2)
0 (x) +
1
6
f
(3)
0 (x)
∥∥∥∥
C
+
108 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
+O
1
δ4
δ∫
1
u3ψ(u)du+
1
δ3
∞∫
δ
u2ψ(u)du
, (7)
де f (r)0 (x), r = 1, 2, 3 — (r, β)-похiднi в сенсi Вейля–Надя при β = 0.
Доведення. Представимо функцiю τ(u), задану за допомогою
спiввiдношення (3), у виглядi τ(u) = ϕ(u) + µ(u), де
ϕ(u) =
{ (
4
3δ2u+ 1
δu
2 + 1
6u
3
) ψ(1)
ψ(δ) , 0 ≤ u ≤ 1
δ ,(
4
3δ2u+ 1
δu
2 + 1
6u
3
) ψ(δu)
ψ(δ) , u ≥ 1
δ ,
(8)
µ(u)=
{(
1−(1 + γu+ θu2)e−u− 4
3δ2u−
1
δu
2− 1
6u
3
) ψ(1)
ψ(δ) , 0 ≤ u ≤ 1
δ ,(
1−(1 + γu+θu2)e−u− 4
3δ2u−
1
δu
2− 1
6u
3
) ψ(δu)
ψ(δ) , u ≥
1
δ .
(9)
Переконаємося в тому, що перетворення
ϕ̂β(t) =
1
π
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du, (10)
µ̂β(t) =
1
π
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du, (11)
вiдповiдно функцiй ϕ(u) та µ(u), є сумовними на всiй числовiй осi,
тобто покажемо збiжнiсть iнтегралiв
A (ϕ) =
∞∫
−∞
|ϕ̂β(t)|dt, (12)
A (µ) =
∞∫
−∞
|µ̂β(t)|dt. (13)
З метою доведення збiжностi iнтеграла (12) розглянемо iнтеграли
1
2∫
0
u |dϕ′(u)| ,
∞∫
1
2
|u− 1| |dϕ′(u)| , (14)
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 109
∣∣∣sinβπ
2
∣∣∣ ∞∫
0
|ϕ(u)|
u
du,
1∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du (15)
i знайдемо для них оцiнки зверху.
Iз (8) будемо мати
|dϕ′(u)| =
(
2
δ
+ u
)
ψ(1)
ψ(δ)
du, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,
|dϕ′(u)| ≤ 1
ψ(δ)
((
2
δ
+ u
)
ψ(δu) +
(
4
3δ2
+
2
δ
u+
1
2
u2
)
2δ|ψ′(δu)|+
+
(
4
3δ2
u+
1
δ
u2 +
1
6
u3
)
δ2ψ′′(δu)
)
du, u ≥ 1
δ
. (16)
Тодi
1
δ∫
0
u|dϕ′(u)| = ψ(1)
ψ(δ)
1
δ∫
0
(
2
δ
u+ u2
)
du = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
, δ > 2. (17)
Оскiльки
1
2∫
1
δ
u|dϕ′(u)| ≤
∞∫
1
δ
u|dϕ′(u)|,
∞∫
1
2
|u− 1||dϕ′(u)| ≤
∞∫
1
δ
u|dϕ′(u)|, δ > 2,
(18)
то знайдемо оцiнку iнтеграла
∞∫
1
δ
u|dϕ′(u)|. Враховуючи (16), отримає-
мо
∞∫
1
δ
u|dϕ′(u)| ≤ 1
ψ(δ)
∞∫
1
δ
(
2
δ
u+ u2
)
ψ(δu)du +
+
2δ
ψ(δ)
∞∫
1
δ
(
4
3δ2
u+
2
δ
u2 +
1
2
u3
)
|ψ′(δu)|du +
110 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
+
δ2
ψ(δ)
∞∫
1
δ
(
4
3δ2
u2 +
1
δ
u3 +
1
6
u4
)
ψ′′(δu)du ≤ 3
ψ(δ)
∞∫
1
δ
u2ψ(δu)du+
+
23δ
3ψ(δ)
∞∫
1
δ
u3|ψ′(δu)|du+
5δ2
2ψ(δ)
∞∫
1
δ
u4ψ′′(δu)du. (19)
Виходячи з умови (6) та опуклостi донизу функцiї g(u) = u3ψ(u),
неважко переконатися, що
lim
u→∞
u3ψ(u) = 0, (20)
lim
u→∞
u4ψ′(u) = 0. (21)
Застосувавши метод iнтегрування частинами до iнтегралiв
∞∫
1
δ
u3|ψ′(δu)|du i
∞∫
1
δ
u4ψ′′(δu)du, i врахувавши умову (6) та рiвностi
(20), (21), одержимо
∞∫
1
δ
u|dϕ′(u)| ≤ K
1
δ3ψ(δ)
+
1
ψ(δ)
∞∫
1
δ
u2ψ(δu)du
=
= K
1
δ3ψ(δ)
+
1
δ3ψ(δ)
∞∫
1
u2ψ(u)du
=
K1
δ3ψ(δ)
. (22)
Об’єднуючи спiввiдношення (17), (18) та (22), отримуємо оцiнки
1
2∫
0
u|dϕ′(u)| = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
,
∞∫
1
2
|u− 1||dϕ′(u)| = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
, δ > 2.
(23)
Для оцiнки першого iнтеграла з (15), розiб’ємо промiжок [0,∞)
на три частини:
[
0, 1δ
]
,
[
1
δ ,
b
δ
]
,
[
b
δ ,∞
)
. Iз (8), беручи до уваги, що
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 111
ψ(δu) ≤ ψ(1) при u ∈
[
1
δ ,
b
δ
]
та сумовнiсть функцiї u2ψ(u), u ≥ 1,
одержуємо
1
δ∫
0
|ϕ(u)|
u
du =
ψ(1)
ψ(δ)
1
δ∫
0
(
4
3δ2
+
1
δ
u+
1
6
u2
)
du =
K
δ3ψ(δ)
,
b
δ∫
1
δ
|ϕ(u)|
u
du =
1
ψ(δ)
b
δ∫
1
δ
(
4
3δ2
+
1
δ
u+
1
6
u2
)
ψ(δu)du ≤
≤ ψ(1)
ψ(δ)
b
δ∫
1
δ
(
4
3δ2
+
1
δ
u+
1
6
u2
)
du =
K1
δ3ψ(δ)
,
∞∫
b
δ
|ϕ(u)|
u
du =
1
ψ(δ)
∞∫
b
δ
(
4
3δ2
+
1
δ
u+
1
6
u2
)
ψ(δu)du ≤
≤ 5
2ψ(δ)
∞∫
b
δ
u2ψ(δu)du =
5
2δ3ψ(δ)
∞∫
1
u2ψ(u)du =
K2
δ3ψ(δ)
.
Звiдси
∞∫
0
|ϕ(u)|
u
du = O
(
1
δ3ϕ(δ)
)
.
Перейдемо до оцiнки другого iнтеграла з (15). Мiркуючи анало-
гiчно, як i при встановленнi спiввiдношення (1.13) [14, с. 24] (див.
також [12, с. 1504 – 1508]), можна показати, що
1∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du =
1∫
0
|λ(1− u)− λ(1 + u)|
u
du+
+O
(
|ϕ(0)|+ |ϕ(1)|+
1
2∫
0
u|dϕ′(u)|+
∞∫
1
2
|u− 1||dϕ′(u)|
)
, (24)
112 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
де λ(u) = 1− 4
3δ2u−
1
δu
2 − 1
6u
3. Оскiльки
1∫
0
|λ(1−u)−λ(1+u)|
u du = O(1),
то, враховуючи оцiнки (23), iз (24) отримаємо
1∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
.
Отже, усi iнтеграли в (14) та (15) є збiжними. Тодi, застосовуючи
теорему 1 iз роботи Л. I. Баусова [15], приходимо до висновку, що
iнтеграл (12) є збiжний i для нього має мiсце оцiнка
A(ϕ) = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
.
Доведемо тепер збiжнiсть iнтеграла (13). Розглянемо iнтеграли
вигляду
1
2∫
0
u |dµ′(u)| ,
∞∫
1
2
|u− 1| |dµ′(u)| , (25)
∣∣∣ sin βπ
2
∣∣∣ ∞∫
0
|µ(u)|
u
du,
1∫
0
|µ(1− u)− µ(1 + u)|
u
du (26)
i знайдемо оцiнки зверху кожного з них.
Щоб оцiнити перший iнтеграл в (25), розiб’ємо промiжок
[
0, 12
]
на двi частини:
[
0, 1δ
]
та
[
1
δ ,
1
2
]
, δ > 2. Iз (9) при u ∈
[
0, 1δ
]
матимемо
µ′′(u) =
(
−e−u+2γe−u−2θe−u−γue−u+4θue−u−θu2e−u−2
δ
−u
)ψ(1)
ψ(δ)
.
Згiдно з формулою (23) [4, с. 80] справедлива нерiвнiсть
|µ′′(u)| ≤
(
6
δ2
+
12
δ
u+ 3u2
)
ψ(1)
ψ(δ)
, u ≥ 0. (27)
З урахуванням (27), отримаємо
1
δ∫
0
u|dµ′(u)|≤ ψ(1)
ψ(δ)
1
δ∫
0
(
6
δ2
u+
12
δ
u2 + 3u3
)
du =
K
δ4ψ(δ)
. (28)
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 113
З нерiвностi (24) [4, с. 80] випливає
1
2∫
1
δ
u|dµ′(u)| ≤ K1 +
K2
δ4ψ(δ)
δ∫
1
u3ψ(u)du. (29)
Об’єднуючи (28) i (29) та враховуючи, що внаслiдок монотонного
спадання функцiї g(u) = u3ψ(u)
1
δ4ψ(δ)
δ∫
1
u3ψ(u)du ≥ 1, (30)
отримаємо оцiнку
1
2∫
0
u|dµ′(u)| = O
1
δ4ψ(δ)
δ∫
1
u3ψ(u)du
. (31)
Оцiнимо другий iнтеграл з (25). Iз (9) випливає, що при u ≥ 1
δ
|dµ′(u)| ≤
(
|µ̃(u)|δ
2ψ′′(δu)
ψ(δ)
+ 2|µ̃′(u)|δ|ψ
′(δu)|
ψ(δ)
+ |µ̃′′(u)|ψ(δu)
ψ(δ)
)
du,
(32)
де
µ̃(u) = 1− (1 + γu+ θu2)e−u − 4
3δ2
u− 1
δ
u2 − 1
6
u3. (33)
Враховуючи нерiвностi
µ̃(u) ≤ 0, µ̃′(u) < 0, µ̃′′(u) < 0,
(див. формулу (20) iз [4]) та очевиднi нерiвностi
e−u ≤ 1, e−u ≤ 1− u+
u2
2
, e−u ≥ 1− u, u ≥ 0,
одержимо
|µ̃(u)| = −1 + e−u + γue−u + θu2e−u +
4
3δ2
u+
1
δ
u2 +
1
6
u3 ≤
114 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
≤ u
(
−1 + γ +
4
3δ2
)
+ u2
(
1
2
− γ + θ +
1
δ
)
+ u3
(
γ
2
+
1
6
)
,
|µ̃′(u)| = −e−u + γe−u− γue−u + 2θue−u− θu2e−u +
4
3δ2
+
2
δ
u+
1
2
u2 ≤
≤
(
−1 + γ +
4
3δ2
)
+ u
(
1− 2γ + 2θ +
2
δ
)
+ u2
(
3
2
γ + θ +
1
2
)
,
|µ̃′′(u)| = e−u − 2γe−u + γue−u + 2θe−u − 4θue−u + θu2e−u +
2
δ
+ u ≤
≤
(
1− 2γ + 2θ +
2
δ
)
+ u (3γ + 1) +
(
θu2 − 4θu
)
e−u ≤
≤
(
1− 2γ + 2θ +
2
δ
)
+ u (3γ + 1) +
(
θu2 + 4θu
)
e−u.
Далi, використовуючи оцiнки
−1 + γ +
4
3δ2
≤ 2
δ2
;
1
2
− γ + θ +
1
δ
≤ 2
δ
;
γ
2
+
1
6
≤ 1;
3
2
γ + θ +
1
2
≤ 4;
3γ + 1 ≤ 6;
(
4θu+ θu2
)
e−u ≤ 2u, u ≥ 0,
будемо мати
|µ̃(u)| ≤ 2
δ2
u+
2
δ
u2 + u3, u ≥ 0, (34)
|µ̃′(u)| ≤ 2
δ2
+
4
δ
u+ 4u2, u ≥ 0, (35)
|µ̃′′(u)| ≤ 4
δ
+ 8u, u ≥ 0. (36)
З урахуванням спiввiдношень (32) – (36), отримуємо
∞∫
1
2
|u−1||dµ′(u)| ≤
∞∫
1
2
u|dµ′(u)| ≤ δ2
ψ(δ)
∞∫
1
2
u
(
2
δ2
u+
2
δ
u2 + u3
)
ψ′′(u)du+
+
2δ
ψ(δ)
∞∫
1
2
u
(
2
δ2
+
4
δ
u+ 4u2
)
|ψ′(δu)|du+
1
ψ(δ)
∞∫
1
2
u
(
4
δ
+ 8u
)
ψ(δu)du ≤
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 115
≤ 5δ2
ψ(δ)
∞∫
1
2
u4ψ′′(δu)du+
20δ
ψ(δ)
∞∫
1
2
u3|ψ′(δu)|du+
12
ψ(δ)
∞∫
1
2
u2ψ(δu)du.
(37)
Проiнтегруємо частинами перший iнтеграл iз правої частини
спiввiдношення (37). Враховуючи (21) i застосовуючи теореми 3.12.1
та 3.16.1 [2] для функцiй ψ iз множини MC , отримаємо
5δ2
ψ(δ)
∞∫
1
2
u4ψ′′(δu)du =
5
8
δ
2 |ψ
′( δ2 )|
ψ(δ)
+
20δ
ψ(δ)
∞∫
1
2
u3|ψ′(δu)|du ≤
≤ K1 +
20δ
ψ(δ)
∞∫
1
2
u3|ψ′(δu)|du. (38)
Враховуючи (38), iз (37) будемо мати
∞∫
1
2
|u−1||dµ′(u)| ≤ K1+
40δ
ψ(δ)
∞∫
1
2
u3|ψ′(δu)|du+
12
ψ(δ)
∞∫
1
2
u2ψ(δu)du. (39)
Проiнтегруємо знову частинами перший iнтеграл з правої части-
ни останнього спiввiдношення, врахуємо (20) i застосуємо теоре-
му 3.16.1 [2] для функцiй ψ ∈MC , одержимо
40δ
ψ(δ)
∞∫
1
2
u3|ψ′(δu)|du =
5ψ( δ2 )
ψ(δ)
+
120
ψ(δ)
∞∫
1
2
u2ψ(δu)du ≤
≤ K2 +
120
ψ(δ)
∞∫
1
2
u2ψ(δu)du, δ > 2.
Враховуючи останнє спiввiдношення, iз (39) матимемо
∞∫
1
2
|u−1||dµ′(u)| ≤ K3+
K4
ψ(δ)
∞∫
1
2
u2ψ(δu)du = K3+
K4
ψ(δ)
1∫
1
2
u2ψ(δu)du+
116 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
+
K4
ψ(δ)
∞∫
1
u2ψ(δu)du ≤ K3 +
K4ψ
(
δ
2
)
ψ(δ)
1∫
1
2
u2du+
K4
δ3ψ(δ)
∞∫
δ
u2ψ(u)du ≤
≤ K5 +
K6
δ3ψ(δ)
∞∫
δ
u2ψ(u)du. (40)
Для того, щоб оцiнити перший iнтеграл з (26), розiб’ємо промi-
жок [0,∞) на три частини:
[
0, 1δ
]
,
[
1
δ , 1
]
,
[
1,∞
)
. Враховуючи спiввiд-
ношення (21) [4], згiдно з яким
|µ̃(u)| ≤ 3
δ3
u+
3
δ2
u2 +
2
δ
u3 + u4, u ≥ 0, (41)
одержимо
1
δ∫
0
|µ(u)|
u
du=
ψ(1)
ψ(δ)
1
δ∫
0
(
−1+e−u(1+ γu+θu2) +
4
3δ2
u+
1
δ
u2 +
1
6
u3
)
du
u
≤
≤ ψ(1)
ψ(δ)
1
δ∫
0
(
3
δ3
+
3
δ2
u+
2
δ
u2 + u3
)
du ≤ K1
δ4ψ(δ)
,
1∫
1
δ
|µ(u)|
u
du ≤ 1
ψ(δ)
1∫
1
δ
(
3
δ3
+
3
δ2
u+
2
δ
u2 + u3
)
ψ(δu)du ≤
≤ K2
δ4ψ(δ)
δ∫
1
u3ψ(u)du.
Далi, скориставшись нерiвнiстю (34), матимемо
∞∫
1
|µ(u)|
u
du ≤
∞∫
1
(
2
δ2
+
2
δ
u+ u2
)
ψ(δu)du ≤ K3
δ3ψ(δ)
∞∫
δ
u2ψ(u)du.
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 117
Об’єднуючи останнi спiввiдношення, одержуємо оцiнку
∞∫
0
|µ(u)|
u
du = O
(
1
δ4ψ(δ)
δ∫
1
u3ψ(u)du+
1
δ3ψ(δ)
∞∫
δ
u2ψ(u)du
)
. (42)
Оцiнимо другий iнтеграл з (26). Дiючи аналогiчно до того, як
було знайдено (24), прийдемо до формули
1∫
0
|µ(1−u)−µ(1+u)|du
u
=
1∫
0
|λ(1−u)−λ(1+u)|du
u
+O
(
H(µ)
)
, (43)
де
λ(u) = e−u
(
1 + γu+ θu2
)
+
4
3δ2
u+
1
δ
u2 +
1
6
u3,
H(µ) = |µ(0)|+ |µ(1)|+
1
2∫
0
u|dµ′(u)|+
∞∫
1
2
|u− 1||dµ′(u)|.
Оскiльки
1∫
0
|λ(1−u)−λ(1+u)|duu = O(1), то на пiдставi спiввiдношень
(30), (31) та (40), iз (43) отримуємо
1∫
0
|µ(1− u)− µ(1 + u)|du
u
=
= O
(
1
δ4ψ(δ)
δ∫
1
u3ψ(u)du+
1
δ3ψ(δ)
∞∫
δ
u2ψ(u)du
)
. (44)
Використовуючи формули (31), (40), (42), (44) та враховуючи
(30), згiдно з теоремою 1 iз роботи Л. I. Баусова [15], переконуємося
в тому, що iнтеграл (13) є збiжний i для нього має мiсце оцiнка
A(µ) = O
(
1
δ4ψ(δ)
δ∫
1
u3ψ(u)du+
1
δ3ψ(δ)
∞∫
δ
u2ψ(u)du
)
. (45)
118 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
Таким чином, за виконання умов теореми 1, перетворення Фур’є
τ̂β(t) вигляду (4) функцiї τ(u) = ϕ(u) + µ(u) є сумовним на всiй
числовiй осi i для довiльної функцiї f ∈ Cψβ,∞ у кожнiй точцi x ∈ R
має мiсце рiвнiсть (5).
З урахуванням (5), (8) – (11), для величини (2) одержимо
E
(
Cψβ,∞;P3(δ)
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥ψ(δ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
τ̂β(t)dt
∥∥∥∥
C
=
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥ψ(δ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
(ϕ̂β(t) + µ̂β(t))dt
∥∥∥∥
C
≤
≤ sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥ψ(δ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
ϕ̂β(t)dt
∥∥∥∥
C
+O
(
ψ(δ)A(µ)
)
. (46)
Повторюючи мiркування, використанi при доведеннi теоре-
ми 1.3.1 роботи О. I. Степанця [1, с. 54], неважко переконатися, в то-
му, що ряд Фур’є неперервної функцiї fϕ(x) =
∞∫
−∞
fψβ
(
x+ t
δ
)
ϕ̂β(t)dt
має вигляд
S [fϕ] =
∞∑
k=1
ϕ
(
k
δ
)
1
ψ(k)
(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
. (47)
Внаслiдок (47), враховуючи (8), можемо записати
S [fϕ] =
1
δ3ψ(δ)
∞∑
k=1
(
4
3
k + k2 +
1
6
k3
)(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
.
З iншого боку
S
[
4
3
f
(1)
0 (x) + f
(2)
0 (x) +
1
6
f
(3)
0 (x)
]
=
=
1
δ3ψ(δ)
∞∑
k=1
(
4
3
k + k2 +
1
6
k3
)(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
. (48)
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 119
Згiдно з спiввiдношенням 3.10.7 [2, с. 146] iз включення f ∈ Cψβ,∞
випливає, що f (r)0 ∈ C, r > 0. На пiдставi повноти тригонометрич-
ної системи у просторi C, з рiвностей (47) та (48) для усiх x ∈ R
одержимо
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
ϕ̂β(t)dt =
1
δ3ψ(δ)
(
4
3
f
(1)
0 (x) + f
(2)
0 (x) +
1
6
f
(3)
0 (x)
)
.
(49)
Iз (46) на пiдставi формул (45) та (49) маємо (7).
Теорему 1 доведено.
Теорему 1 задовольняють, зокрема, функцiї ψ(u), u ≥ 1, вигляду
ψ(u) = 1
ur , ψ(u) = 1
ur lnα(u+K) , ψ(u) = 1
ur (K + e−u), ψ(u) = 1
ur arctg u,
при r > 3, K > 0, α > 1.
Наслiдок 1. При r > 3 i δ → ∞ має мiсце асимптотична рiв-
нiсть
E
(
W r
β,∞;P3(δ)
)
C
=
1
δ3
sup
f∈W r
β,∞
∥∥∥∥4
3
f
(1)
0 (x)+f
(2)
0 (x)+
1
6
f
(3)
0 (x)
∥∥∥∥
C
+∆(r),
де
∆(r) =
1
δr , 3 < r < 4;
ln δ
δ4 , r = 4;
1
δ4 , r > 4.
Теорема 2. Якщо ψ ∈M, функцiя g(u) = u3ψ(u) опукла донизу
на [b,∞) при деякому b ≥ 1 i
∞∫
1
u4ψ(u)du <∞, (50)
то при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;P3(δ)
)
C
=
1
δ3
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥4
3
f
(1)
0 (x) + f
(2)
0 (x) +
1
6
f
(3)
0 (x)
∥∥∥∥
C
+O
(
1
δ4
)
,
(51)
120 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
де f (r)0 (x), r = 1, 2, 3 — (r, β)-похiднi в розумiннi Вейля–Надя при
β = 0.
Доведення. Як випливає з мiркувань, викладених в [16,
с. 64 – 67], при доведеннi теореми достатньо обмежитися функцiями
ψ з множини M, якi мають неперервну другу похiдну ψ′′(t) на [1,∞).
Покажемо збiжнiсть iнтеграла A(τ). Аналогiчно, як i при дове-
деннi теореми 1, запишемо функцiю τ(·) вигляду (3), як суму функ-
цiй ϕ(·) та µ(·), якi визначаються вiдповiдно формулами (8) та (9).
Дослiдимо на збiжнiсть iнтеграл (12). Для цього розiб’ємо множину
(−∞,∞) на двi пiдмножини (−∞,−δ) ∪ (δ,∞) i [−δ, δ].
Знайдемо оцiнку iнтеграла
∫
|t|>δ
|ϕ̂β(t)|dt. Виходячи з умови (50)
та опуклостi донизу функцiї g(u), неважко переконатися, що
lim
u→∞
u4ψ′(u) = lim
u→∞
u3ψ(u) = 0. (52)
Застосувавши двiчi iнтегрування частинами i враховуючи, що вна-
слiдок (8), ϕ(0) = 0, ϕ′(0) = 4
3δ2
ψ(1)
ψ(δ) , а, згiдно з (52), lim
u→∞
ϕ(u) =
= lim
u→∞
ϕ′(u) = 0, одержимо
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1
δ∫
0
+
∞∫
1
δ
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
= − 1
t2
1
δ∫
0
+
∞∫
1
δ
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du−
− 1
t2δ2ψ(δ)
(
4
3
ψ(1) cos
βπ
2
+
5
2
ψ′(1) cos
(
t
δ
+
βπ
2
))
.
Звiдки при |t| > δ
∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣ ≤ 1
t2
1
δ∫
0
+
∞∫
1
δ
|ϕ′′(u)|du+
1
t2
K
δ2ψ(δ)
.
(53)
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 121
Оскiльки функцiя ϕ(u) опукла донизу на [0, 1δ ], то, з урахуван-
ням (8),
1
δ∫
0
|ϕ′′(u)| du = ϕ′
(
1
δ
)
− ϕ′(0) =
5ψ(1)
2δ2ψ(δ)
. (54)
При u ∈
[
1
δ ,∞
)
, згiдно з (16), можемо записати
∞∫
1
δ
|ϕ′′(u)|du ≤ 1
ψ(δ)
∞∫
1
δ
(
2
δ
+ u
)
ψ(δu)du+
+
2δ
ψ(δ)
∞∫
1
δ
(
4
3δ2
+
2
δ
u+
1
2
u2
)
|ψ′(δu)|du+
+
δ2
ψ(δ)
∞∫
1
δ
(
4
3δ2
u+
1
δ
u2 +
1
6
u3
)
ψ′′(δu)du ≤ 3
ψ(δ)
∞∫
1
δ
uψ(δu)du+
+
23δ
3ψ(δ)
∞∫
1
δ
u2|ψ′(δu)|du+
5δ2
2ψ(δ)
∞∫
1
δ
u3ψ′′(δu)du. (55)
Застосувавши метод iнтегрування частинами до останнiх двох iн-
тегралiв з правої частини нерiвностi (55), врахувавши рiвностi (20),
(21) та умову (50), iз (55) отримаємо
∞∫
1
δ
|ϕ′′(u)|du ≤ K1
δ2ψ(δ)
+
K2
ψ(δ)
∞∫
1
δ
uψ(δu)du =
K1
δ2ψ(δ)
+
+
K2
δ2ψ(δ)
∞∫
1
uψ(u)du ≤ K3
δ2ψ(δ)
. (56)
122 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
З формул (53), (54) та (56) одержимо∫
|t|>δ
|ϕ̂β(t)|dt =
∫
|t|>δ
∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣dt = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
.
(57)
Знайдемо оцiнку iнтеграла
∫
|t|≤δ
|ϕ̂β(t)|dt . Враховуючи (8) та (50),
отримаємо
δ∫
−δ
∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣dt ≤ 2δ
∞∫
0
|ϕ(u)|du =
=
2δ
ψ(δ)
1
δ∫
0
(
4
3δ2
u+
1
δ
u2+
u3
6
)
ψ(1)du+
∞∫
1
δ
(
4
3δ2
u+
1
δ
u2+
u3
6
)
ψ(δu)du
≤
≤ K1
δ3ψ(δ)
+
K2
δ3ψ(δ)
∞∫
1
u3ψ(u)du ≤ K3
δ3ψ(δ)
. (58)
Iз (57) та (58) випливає оцiнка
A(ϕ) = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
.
Отже, перетворення ϕ̂β(t) вигляду (10) є сумовним на всiй чис-
ловiй осi.
Покажемо тепер збiжнiсть iнтеграла (13). З цiєю метою розiб’ємо
множину (−∞,∞) на двi частини: [−δ, δ] i (−∞,−δ) ∪ (δ,∞). Тодi
A(µ) =
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣dt+
+
1
π
∫
|t|>δ
∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣dt := I1 + I2.
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 123
Оцiнимо iнтеграл I1. Враховуючи нерiвнiсть (41) та умову (50), одер-
жуємо
I1 ≤
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣
( 1
δ∫
0
+
∞∫
1
δ
)
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣dt ≤
≤ 2δ
π
1
δ∫
0
+
∞∫
1
δ
|µ(u)|du≤ 2δψ(1)
πψ(δ)
1
δ∫
0
(
3
δ3
u+
3
δ2
u2+
2
δ
u3+u4
)
du+
+
∞∫
1
δ
(
3
δ3
u+
3
δ2
u2 +
2
δ
u3 + u4
)
ψ(δu)du
≤
≤ K1
δ4ψ(δ)
+
K2
δ4ψ(δ)
∞∫
1
u4ψ(u)du =
K3
δ4ψ(δ)
. (59)
Оцiнимо далi iнтеграл I2. Застосовуючи iнтегрування частинами
i враховуючи, що з (9), µ(0) = 0, µ′(0) =
(
1− γ − 4
3δ2
) ψ(1)
ψ(δ) , а, згiдно
з (52), lim
u→∞
µ(u) = lim
u→∞
µ′(u) = 0, то
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1
δ∫
0
+
∞∫
1
δ
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
=− 1
t2
1
δ∫
0
+
∞∫
1
δ
µ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du+
1
t2
µ̃
(1
δ
)δψ′(1)
ψ(δ)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
+
+
1
t2
(
−1 + γ +
4
3δ2
)
ψ(1)
ψ(δ)
cos
βπ
2
,
124 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
де µ̃(u) означається рiвнiстю (33). Звiдси, враховуючи оцiнку
γ − 1 + 4
3δ2 ≤
3
δ3 та нерiвнiсть (34) при u = 1
δ , одержимо
∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣ ≤ 1
t2
1
δ∫
0
+
∞∫
1
δ
|µ′′(u)|du+
K1
t2δ3ψ(δ)
.
(60)
При u ∈
[
0, 1δ
]
скористаємося нерiвнiстю (див. [4, с. 80])
|µ′′(u)| ≤
(
6
δ2
+
12
δ
u+ 3u2
)
ψ(1)
ψ(δ)
,
тодi
1
δ∫
0
|µ′′(u)|du ≤ ψ(1)
ψ(δ)
1
δ∫
0
(
6
δ2
+
12
δ
u+ 3u2
)
du =
K2
δ3ψ(δ)
. (61)
Нехай далi u ∈
[
1
δ ,∞
)
. Скориставшись спiввiдношеннями (32),
(52) даної роботи, а також оцiнками (21) – (23) [4], будемо мати
∞∫
1
δ
|µ′′(u)|du ≤ 1
ψ(δ)
∞∫
1
δ
(
3
δ3
u+
3
δ2
u2 +
2
δ
u3 + u4
)
δ2ψ′′(δu)du+
+
2
ψ(δ)
∞∫
1
δ
(
3
δ3
+
3
2δ2
u+
6
δ
u2 + 2u3
)
δ|ψ′(δu)|du+
+
1
ψ(δ)
∞∫
1
δ
(
6
δ2
+
12
δ
u+ 3u2
)
ψ(δu)du ≤
≤ 9δ2
ψ(δ)
∞∫
1
δ
u4ψ′′(δu)du+
25δ
ψ(δ)
∞∫
1
δ
u3|ψ′(δu)|du+
21
ψ(δ)
∞∫
1
δ
u2ψ(δu)du.
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 125
Застосовуючи до перших двох iнтегралiв останньої нерiвностi метод
iнтегрування частинами та враховуючи (52), одержимо
∞∫
1
δ
|µ′′(u)|du ≤ K3
δ3ψ(δ)
+
K4
ψ(δ)
∞∫
1
δ
u2ψ(δu)du =
K3
δ3ψ(δ)
+
K4
δ3ψ(δ)
∞∫
1
u2ψ(u)du.
Оскiльки функцiя u2ψ(u) сумовна на [1,∞), то з останнього
спiввiдношення випливає, що
∞∫
1
δ
|µ′′(u)|du ≤ K5
δ3ψ(δ)
. (62)
З (60) – (62) одержимо
∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣ ≤ K
t2δ3ψ(δ)
.
Тодi
I2 =
1
π
∫
|t|>δ
∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣dt = O
(
1
δ4ψ(δ)
)
. (63)
Iз (59) та (63) випливає оцiнка
A(µ) = O
(
1
δ4ψ(δ)
)
. (64)
Отже, iнтеграли (12) та (13) збiжнi i на пiдставi (5) приходимо до
рiвностi (46). Iз (46), (64) та рiвностi (49), яка за виконання умови
теореми 2 також має мiсце, одержуємо (51). Теорему 2 доведено.
Умови теореми 2 задовольняють, наприклад, функцiї ψ(u), u ≥ 1
вигляду ψ(u) = 1
ur , ψ(u) = 1
ur lnα(u+K) , при r > 5, K > 0, α > 1;
ψ(u) = ure−Ku
α
, K > 0, α > 0, r ∈ R.
126 У. З. Грабова, I. В. Кальчук
Наслiдок 2. Нехай ψ ∈ M∗∞, функцiя g(u) = u3ψ(u) опукла до-
низу на [b,∞) при деякому b ≥ 1 i
lim
u→∞
µ(ψ;u) =∞,
де величина µ(ψ;u) означена формулою (1). Тодi при δ → ∞ має
мiсце асимптотична рiвнiсть (51).
Доведення наслiдку 2 проводиться аналогiчно до доведення на-
слiдку 1 [13].
1. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функ-
ций. — К.: Наук. думка, 1987. — 268 с.
2. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН України. — 2002. — 40. — Ч. I. — 427 с.
3. Nagy B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen
Entwicklungen. I // Berichte Acad. d. Wiss. — Leipzig, 1938. — 90. —
S. 103 – 134.
4. Кальчук I. В., Грабова У. З. Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функ-
цiй малої гладкостi тригармонiйними iнтегралами Пуассона // Теорiя на-
ближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. — 2010. — 7, № 1. — С. 72 – 93.
5. Натансон И.П. О порядке приближения непрерывной 2π-периодической
функции при помощи ее интеграла Пуассона // Докл. АН СССР. — 1950. —
72, № 1. — С. 11 – 14.
6. Тиман А.Ф. Точная оценка остатка при приближении периодиче-
ских дифференцируемых функций интегралами Пуассона // Докл.
АН СССР. — 1950. — 74, № 1. — С. 17 – 20.
7. Sz.–Nagy B. Sur l’ordre de l’approximation d’une fonction par son intégrale
de Poisson // Acta Math. Acad. Sci Hungar. — 1950. — 1. — P. 183 – 188.
8. Штарк Э.Л. Полное асимптотическое разложение для верхней гра-
ни уклонения функций из Lip1 от их сингулярного интеграла Абеля–
Пуассона // Мат. заметки. — 1973. — 13, № 1. — С. 21 – 28.
9. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их гранич-
ных значений // Докл. АН СССР. — 1963. — 153, № 5. — С. 995 – 998.
10. Жигалло К.М., Харкевич Ю. I. Повна асимптотика вiдхилення вiд класу
диференцiйовних функцiй множини їх гармонiйних iнтегралiв Пуассона //
Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 1. — С. 43 – 52.
11. Жигалло К.М., Харкевич Ю. I. Наближення диференцiйовних перiо-
дичних функцiй їх бiгармонiйними iнтегралами Пуассона // Укр. мат.
журн. — 2002. — 54, № 9. — С. 1213 – 1219.
Розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського . . . 127
12. Жигалло Т.В., Харкевич Ю.I.Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функ-
цiй iнтегралами Пуассона у рiвномiрнiй метрицi //Укр. мат. журн. —
2009. — 61, № 11. — С. 1612 – 1629.
13. Жигалло Т.В., Харкевич Ю. I. Наближення функцiй з класу Cψβ,∞ iнте-
гралами Пуассона у рiвномiрнiй метрицi //Укр. мат. журн. — 2009. — 61,
№ 12. — С. 1497 – 1515.
14. Новикова А.К. О приближении функций в пространствах C и L // Во-
просы суммирования рядов Фурье. — Киев, 1985. — С. 14 – 51. — (Препр. /
АН УССР. Ин-т математики; 85.61).
15. Баусов Л.И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданны-
ми прямоугольными матрицами. I // Изв. вузов. — 1965. — 46, № 3. —
С. 15 – 31.
16. Кальчук I. В. Наближення диференцiйовних функцiй лiнiйними методами
пiдсумовування їх рядiв та iнтегралiв Фур’є: Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. —
Луцьк, 2007. — 131 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-70 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:02Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/21/f82dd66245ea872528067b08e5ebac21.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-702018-01-29T14:44:04Z Solution of the Kolmogorov-Nikol’skii problem for three-harmonic Poisson integrals on classes $C^{\psi}_{\beta,\infty}$ Розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для тригармонійних інтегралів Пуассона на класах $C^{\psi}_{\beta,\infty}$ Grabova, U. Z. Kal’chuk, I. V. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations by threeharmonic integrals of Poisson $P_{3}(\delta)$ in uniform metric on classes of continuous $2\pi$-periodic functions whose $(\psi,\beta)$-derivatives belong to the unit ball of the space $L_{\infty}$, in the case when the functions $\psi(t)$ tend to zero faster, then the function $t^{-3}$, which defines an order of the saturation of the method $P_{3}(\delta)$ Одержано асимптотичні рівності для верхніх меж наближень тригармонійними інтегралами Пуассона $P_{3}(\delta)$ у рівномірній метриці на класах неперервних $2\pi$-періодичних функцій, $(\psi,\beta)$-похідні яких належать одиничній кулі простору $L_{\infty}$, у випадку, коли функції $\psi(t)$ спадають до нуля швидше за функцію $t^{-3}$, яка визначає порядок насичення методу $P_{3}(\delta)$ Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/70 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 104-127 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 104-127 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 104-127 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/70/66 Авторське право (c) 2014 У.З. Грабова, І.В. Кальчук |
| spellingShingle | Grabova, U. Z. Kal’chuk, I. V. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. Solution of the Kolmogorov-Nikol’skii problem for three-harmonic Poisson integrals on classes $C^{\psi}_{\beta,\infty}$ |
| title | Solution of the Kolmogorov-Nikol’skii problem for three-harmonic Poisson integrals on classes $C^{\psi}_{\beta,\infty}$ |
| title_alt | Розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для тригармонійних інтегралів Пуассона на класах $C^{\psi}_{\beta,\infty}$ |
| title_full | Solution of the Kolmogorov-Nikol’skii problem for three-harmonic Poisson integrals on classes $C^{\psi}_{\beta,\infty}$ |
| title_fullStr | Solution of the Kolmogorov-Nikol’skii problem for three-harmonic Poisson integrals on classes $C^{\psi}_{\beta,\infty}$ |
| title_full_unstemmed | Solution of the Kolmogorov-Nikol’skii problem for three-harmonic Poisson integrals on classes $C^{\psi}_{\beta,\infty}$ |
| title_short | Solution of the Kolmogorov-Nikol’skii problem for three-harmonic Poisson integrals on classes $C^{\psi}_{\beta,\infty}$ |
| title_sort | solution of the kolmogorov-nikol’skii problem for three-harmonic poisson integrals on classes $c^{\psi}_{\beta,\infty}$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/70 |
| work_keys_str_mv | AT grabovauz solutionofthekolmogorovnikolskiiproblemforthreeharmonicpoissonintegralsonclassescpsibetainfty AT kalchukiv solutionofthekolmogorovnikolskiiproblemforthreeharmonicpoissonintegralsonclassescpsibetainfty AT grabovauz solutionofthekolmogorovnikolskiiproblemforthreeharmonicpoissonintegralsonclassescpsibetainfty AT kalʹčukív solutionofthekolmogorovnikolskiiproblemforthreeharmonicpoissonintegralsonclassescpsibetainfty AT grabovauz rozv039âzokzadačíkolmogorovaníkolʹsʹkogodlâtrigarmoníjnihíntegralívpuassonanaklasahcpsibetainfty AT kalchukiv rozv039âzokzadačíkolmogorovaníkolʹsʹkogodlâtrigarmoníjnihíntegralívpuassonanaklasahcpsibetainfty AT grabovauz rozv039âzokzadačíkolmogorovaníkolʹsʹkogodlâtrigarmoníjnihíntegralívpuassonanaklasahcpsibetainfty AT kalʹčukív rozv039âzokzadačíkolmogorovaníkolʹsʹkogodlâtrigarmoníjnihíntegralívpuassonanaklasahcpsibetainfty |