Estimations of linear widths of the classes $H_p^\Omega$ periodic functions of many variables in the space $L_q$
Obtained here are the order estimates of linear widths of the classes $H_{p}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for $1<p\leq 2$,${\frac{p}{(p-1)}<q<\infty}$ and $2\leq p<q<\infty$
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/71 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552601039405056 |
|---|---|
| author | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. |
| author_facet | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. В. Дерев'янко",
"institution": "Інститутт математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Derev’yanko, N. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | Obtained here are the order estimates of linear widths of the classes $H_{p}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for $1<p\leq 2$,${\frac{p}{(p-1)}<q<\infty}$ and $2\leq p<q<\infty$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 128–145
УДК 517.5
Н. В. Дерев’янко (Iн–т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ ЛIНIЙНИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ HΩ
p
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
У ПРОСТОРI Lq
Obtained here are the order estimates of linear widths of the classes HΩ
p
of periodic functions of many variables in the space Lq for 1 < p ≤ 2,
p
(p−1)
< q <∞ and 2 ≤ p < q <∞.
Отримано порядковi оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p перiодичних
функцiй багатьох змiнних у просторi Lq при 1 < p ≤ 2, p
(p−1)
< q <∞
та 2 ≤ p < q <∞.
У роботi дослiджується поведiнка лiнiйних поперечникiв класiв
HΩ
p в просторi Lq у випадках 1 < p ≤ 2, p
(p−1) < q <∞ i
2 ≤ p < q <∞. Детальнiше про це мова буде йти пiзнiше, а спочатку
наведемо основнi позначення та означення.
Нехай Rd, d ≥ 1, — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами
x = (x1, ..., xd), y = (y1, ..., yd), (x, y) = x1y1 + ... + xdyd i Lp(πd),
πd =
d∏
j=1
[0, 2π], — простiр 2π-перiодичних за кожною змiнною i су-
мовних у степенi p, 1 ≤ p < ∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при
p =∞), на кубi πd функцiй f(x) = f(x1, ..., xd), норма в якому визна-
чається таким чином:
‖f‖Lp(πd) = ‖f‖p =
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖L∞(πd) = ‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
У роботi будемо розглядати лише функцiї f ∈ Lp(πd), для яких
виконується умова
c© Н. В. Дерев’янко, 2014
Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p . . . 129
2π∫
0
f(x)dxj = 0, j = 1, d.
Далi для зручностей позначень замiсть Lp(πd) будемо писати Lp.
Для f ∈ Lp i h, x ∈ Rd означимо змiшану рiзницю порядку l ∈ N
за формулою
∆l
hf(x) = ∆l
hd
(...(∆l
h1
f(x))...),
де
∆l
hj
f(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nCnl f(x1, ..., xj−1, xj + nhj , xj+1, ..., xd).
Позначимо
Rd+ =
{
t ∈ Rd : tj ≥ 0, j = 1, d
}
i для f ∈ Lp i t ∈ Rd+ означимо змiшаний модуль неперервностi
порядку l ∈ N згiдно з формулою
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj ,j=1,d
‖∆l
hf(·)‖p.
Нехай Ω(t) = Ω(t1, ..., td) — функцiя типу змiшаного модуля непе-
рервностi порядку l, тобто функцiя визначена на Rd+, що задовольняє
такi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d i Ω(t) = 0, якщо
d∏
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй tj ≥ 0, j = 1, d, при довiльних
фiксованих значеннях iнших змiнних ti, i 6= j;
3) Ω(m1t1, ...,mdtd) ≤
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, d.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl.
Для заданої функцiї Ω ∈ Ψl означимо клас функцiй HΩ
p ,
1 ≤ p ≤ ∞, наступним чином [1]:
HΩ
p =
{
f ∈ Lp : Ωl(f, t)p ≤ C1Ω(t), C1 > 0
}
.
130 Н.В. Дерев’янко
Зауважимо, що у випадку коли r = (r1, ..., rd), 0 < rj < l, j = 1, d, i
Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j класи HΩ
p збiгаються з вiдомими класами Нiкольського
Hr
p [2].
Також будемо вважати, що Ω належить до множин Sα i Sl.
Будемо говорити, що функцiя однiєї змiнної ϕ ≥ 0 належить до
множини Sα, α > 0, якщо функцiя ϕ(τ)/τα майже зростає, тобто
iснує така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τα1
≤ C2
ϕ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Функцiя ϕ ≥ 0 належить до множини Sl, якщо iснує таке γ,
0 < γ < l, що функцiя ϕ(τ)/τγ майже спадає, тобто iснує така не
залежна вiд τ1 i τ2 стала C3 > 0, що
ϕ(τ1)
τγ1
≥ C3
ϕ(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Умови належностi функцiї ϕ до множин Sα i Sl називають умо-
вами Барi–Стєчкiна [3].
Будемо вважати, що Ω ∈ Sα (Ω ∈ Sl), якщо Ω(t1, ..., td) як функ-
цiя змiнної tj , j = 1, d, при довiльних фiксованих значеннях iнших
змiнних ti, i 6= j, належить до множини Sα (вiдповiдно до множини
Sl). Позначимо Φα,l = Ψl ∩ Sα ∩ Sl.
У роботi будемо розглядати класи HΩ
p з функцiєю Ω спецiального
вигляду. Нехай ω — задана функцiя однiєї змiнної типу модуля непе-
рервностi порядку l, яка належить до множин Sα та Sl. Покладемо
Ω(t) = ω
d∏
j=1
tj
, t ∈ Rd+.
Зрозумiло, що таким чином задана функцiя Ω буде належати до
множини Φα,l.
Надалi будемо вважати, що для двох невiд’ємних величин A i B
запис A � B означає, що iснують константи C4, C5 > 0 такi, що
C4A ≤ B ≤ C5A. Записи A� B або A� B, означають, що C6A ≤ B
Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p . . . 131
i B ≤ C7A, C6, C7 > 0, вiдповiдно. Всi константи Ci , i = 1, 2, ..., якi
будуть зустрiчатися у роботi, можуть залежати лише вiд тих пара-
метрiв, що входять в означення класу, метрики, в якiй оцiнюється
похибка наближення, та розмiрностi простору Rd. Через |N | будемо
позначати кiлькiсть елементiв множини N .
Для s ∈ Nd через ρ(s) позначимо пiдмножину цiлочислової решiт-
ки Zd вигляду
ρ(s) =
{
k ∈ Zd : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d
}
.
Покладемо для f ∈ L1
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
де f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Позначимо через Vm(t), m ∈ N, t ∈ R, ядро Валле Пуссена
Vm(t) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kt
i для функцiї f ∈ Lp, i вектора s ∈ Nd розглянемо оператор виду
As(f) = f ∗
d∏
j=1
(V2sj − V2sj−1),
де ” ∗ ” — операцiя згортки.
У роботi [1] доведено теорему про належнiсть функцiї до класу
HΩ
p .
Теорема А. Нехай Ω(t) = ω
(
d∏
j=1
tj
)
, де ω ∈ Φα,l, α > 0, l ∈ N.
Функцiя f належить класу HΩ
p тодi i тiльки тодi, коли викону-
ються порядковi нерiвностi.
‖δs(f)‖p � ω(2−(s,1)), 1 < p <∞, (1)
132 Н.В. Дерев’янко
‖As(f)‖p � ω(2−(s,1)), 1 ≤ p ≤ ∞,
де (s, 1) = s1 + ...+ sd.
Перейдемо тепер до означення дослiджуваної апроксимативної
характеристики.
Нехай W — центрально-симетрична множина в банаховому про-
сторi X, Linm(X) — множинa всiх лiнiйних пiдпросторiв простору
X, розмiрнiсть яких не бiльша нiж m, L(X,Xm) — множина лiнiй-
них операторiв, якi вiдображають весь простiр X у його пiдпростiр
Xm ∈ Linm(X). Тодi лiнiйний поперечник множини W у просторi X
означається згiдно з формулою
λm(W,X) = inf
Xm∈Linm(X)
inf
A∈L(X,Xm)
sup
x∈W
‖x−Ax‖X .
Поняття лiнiйного поперечника було введене В.М. Тихомировим
у 1960 р. [4]. Дослiдженням лiнiйних поперечникiв для класiв функ-
цiй однiєї змiнної займалися Р.С. Iсмагiлов [5], В. Е. Майоров [6, 7],
В.М. Тихомиров (див., наприклад, [8]), М.П. Корнєйчук (див., на-
приклад, [9]). З iсторiєю дослiдження лiнiйних поперечникiв тих або
iнших класiв функцiй багатьох змiнних можна ознайомитися в ро-
ботах Е.М. Галєєва [10, 11] та А.С. Романюка [12 – 14] (див. також
монографiю [15]), в яких також мiститься детальна бiблiографiя.
При одержаннi оцiнок знизу лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p бу-
демо користуватися вiдомими оцiнками колмогоровських поперечни-
кiв дискретних множин. Нагадаємо, що колмогоровським попереч-
ником центрально-симетричної множини W банахового простору X
називається величина [16]
dm(W,X) = inf
Xm∈Linm(X)
sup
x∈W
inf
u∈Xm
‖x− u‖X .
Легко бачити, що згiдно з означеннями лiнiйного i колмогоровсь-
кого поперечникiв має мiсце нерiвнiсть
dm(W,X) ≤ λm(W,X). (2)
Перед формулюванням основних результатiв наведемо тверджен-
ня, якi будемо використовувати при їх доведеннi.
Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p . . . 133
Нехай lnp означає простiр всеможливих упорядкованих систем з n
дiйсних чисел, норма в якому означається таким чином
‖x‖lnp =
(
n∑
j=1
|xj |p
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
max
1≤j≤n
|xj |, p =∞,
i Bnp =
{
x : ‖x‖lnp ≤ 1
}
— одинична куля в цьому просторi.
Теорема Б [17]. Нехай m < n, 1 ≤ p < 2 ≤ q < ∞, 1
p + 1
q ≥ 1.
Тодi
λm(Bnp , l
n
q ) � max
{
n
1
q−
1
p ,min{1, n
1
qm−
1
2 }
√
1− m
n
}
.
Зауважимо, що у випадку p = 1, q > 2 вiдповiдний до теореми Б
результат випливає iз твердження про колмогоровський поперечник
октаедра Bn1 в просторi lnq , встановленого Б.С. Кашиним [18].
Через T (ρ(s)) позначимо множину функцiй f вигляду
f(x) =
∑
k∈ρ(s)
cke
i(k,x),
де ck — довiльнi числа.
Теорема В [19]. Мiж простором тригонометричних полiномiв
T (ρ(s)) i простором R2(s,1)
iснує iзоморфiзм, який ставить у вiдпо-
вiднiсть функцiї f ∈ T (ρ(s)) вектор δsf j = {fn(τj)} ∈ R2(s,1)
fn(t) =
∑
signkl=nl
cke
i(k,t), l = 1, d, n = (±1, ...,±1) ∈ Rd,
τj = (π22−s1j1, ..., π22−sdjd), ji = 1, 2, ..., 2si−1, i = 1, d,
i при цьому має мiсце спiввiдношення
‖f(·)‖p � 2−(s,1)/p‖δsf j‖l2(s,1)p
, p ∈ (1,∞).
134 Н.В. Дерев’янко
При d = 1 теорема В є вiдомою теоремою Марцинкевича–
Зигмунда про дискретизацiю [20, с. 46].
Теорема Г (Лiттлвуда-Пелi) [21]. Нехай f ∈ Lp, 1 < p <∞. Тодi
iснують додатнi сталi C8 i C9 такi, що
C8‖f‖p ≤
∥∥∥∥∥
(∑
s
|δs(f, ·)|2
)1/2∥∥∥∥∥
p
≤ C9‖f‖p.
Як наслiдок, з означення лiнiйного поперечника, теореми В i тео-
реми Лiттлвуда–Пелi у роботi [10] отримано наступне твердження.
Лема А. Нехай s ∈ Nd i f ∈ T (ρ(s)), ms ∈ Z+, ms ≤ 2(s,1). Якщо
1 < p, q <∞, то iснує лiнiйний оператор Λms : T (ρ(s)) → T (ρ(s)),
розмiрнiсть областi значень якого не перевищує ms, i такий, що
‖f − Λms
f‖q � λms
(
B2(s,1)
p , l2
(s,1)
q
)
2(s,1)(1/p−1/q)‖f‖p.
Лема Б [22, c. 25]. Нехай 1 ≤ p < q <∞ i f ∈ Lp. Тодi має мiсце
спiввiдношення
‖f‖qq �
∑
s
(
‖δs(f, ·)‖p2(s,1)(1/p−1/q)
)q
.
Лема В [10]. Нехай 1 < q < ∞, q1 = max{q, 2}, q2 = min{q, 2}.
Тодi(∑
s
‖δs(f, ·)‖q1q
)1/q1
�
∥∥∥∥∑
s
δs(f, ·)
∥∥∥∥
q
�
(∑
s
‖δs(f, ·)‖q2q
)1/q2
.
Теорема Д [2]. Нехай nj ∈ N, j = 1, d, i
t(x) =
∑
|kj |≤nj
cke
i(k,x).
Тодi при 1 ≤ q < p ≤ ∞ виконується нерiвнiсть
‖t‖p ≤ 2d
d∏
j=1
n
1/q−1/p
j ‖t‖q. (3)
Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p . . . 135
Нерiвнiсть (3) доведена С.М. Нiкольським i має назву "нерiвнiсть
рiзних метрик". У випадку d = 1 i p =∞ вiдповiдну нерiвнiсть довiв
Д. Джексон [23].
Нехай знову X — банаховий простiр i A — деяка пiдмножина
цього простору. Полярою множини A ⊂ X будемо називати наступну
множину у спряженому просторi X∗:
A◦ =
{
x∗ ∈ X∗ : |〈x, x∗〉| ≤ 1, ∀x ∈ X
}
,
де 〈x, x∗〉 — значення лiнiйного функцiоналу x∗ на елементi x.
Теорема Е [5]. Нехай BX i BY — одиничнi кулi в банахових
просторах X i Y вiдповiдно, (BX)◦, (BY )◦ — поляри цих множин,
а простiр Y ∗ вкладений в простiр X. Тодi
λm ((BY )◦, X) = λm ((BX)◦, Y ) .
Зауважимо, якщо X — нормований простiр (не банаховий), то
означення поляри i теорема Е мають дещо iнший вигляд. Бiльш де-
тально з цими питаннями можна ознайомитися у роботах [5, 24].
Через ln,mp,q , 1 ≤ p, q ≤ ∞, n,m ∈ N, будемо позначати нормова-
ний простiр елементiв з простору Rnm, норма в якому означається
наступним чином
‖x‖ln,m
p,q
=
m∑
s=1
( ∑
k∈∆s
|xk|p
)q/p1/q
, 1 ≤ p, q <∞,
max
1≤s≤m
( ∑
k∈∆s
|xk|p
)1/p
, q =∞,
де ∆s =
{
k ∈ N : (s − 1)n < k ≤ sn
}
, s = 1,m. Вiдповiдно, Bn,mp,q =
=
{
x : ‖x‖ln,m
p,q
≤ 1
}
— одинична куля в просторi ln,mp,q . Зауважимо, що
‖ · ‖ln,m
p,p
≡ ‖ · ‖lnm
p
, 1 ≤ p ≤ ∞.
Теорема Ж [25]. Нехай N ≤ mn
2 . Тодi iснує додатна стала C10
така, що справедливi нерiвностi
C10m
√
log logm
logm
≤ dN
(
Bn,m1,∞ , l
n,m
2,1
)
≤ m.
136 Н.В. Дерев’янко
Тут i далi пiд log будемо розумiти логарифм за основою 2.
Сформулюємо i доведемо основнi результати.
Теорема 1. Нехай 1 < p ≤ 2, p′ < q < ∞, де 1
p + 1
p′ = 1, а
функцiя Ω(t) = ω
(
d∏
j=1
tj
)
, де ω ∈ Φα,l, α > 1 − 1
q , l ∈ N. Тодi має
мiсце порядкове спiввiдношення
√
log logm
logm
ω(2−m)2m(1/2−1/q)m
d−1
q � λM
(
HΩ
p , Lq
)
�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)m
d−1
q , (4)
де M � 2mmd−1.
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху. ЗадамоM ∈ N
i пiдберемо m ∈ N так, щоб виконувалася умова 2mmd−1 �M .
Для s ∈ Nd покладемо
ms =
{
2(s,1), (s, 1) ≤ m,
[2m+θ(m−(s,1))], (s, 1) > m,
де θ > 0 — довiльне достатньо мале число, значення якого ми уточ-
нимо пiзнiше.
Покажемо, що
∑
s∈Nd
ms �M . Cправдi
∑
s∈Nd
ms ≤
∑
(s,1)≤m
2(s,1) +
∑
(s,1)>m
2m+θ(m−(s,1)) =
=
m∑
j=1
∑
(s,1)=j
2(s,1) + 2m+θm
∑
j>m
∑
(s,1)=j
2−θ(s,1) =
=
m∑
j=1
2j
∑
(s,1)=j
1 + 2m+θm
∑
j>m
2−θj
∑
(s,1)=j
1. (5)
Враховуючи, що ∑
(s,1)=j
1 � jd−1, (6)
Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p . . . 137
з (5) отримаємо
∑
s∈Nd
ms �
m∑
j=1
2jjd−1 + 2m+θm
∑
j>m
2−θjjd−1 �
� 2mmd−1 + 2m+θm2−θmmd−1 � 2mmd−1 �M.
Через ΛM позначимо лiнiйний оператор рангу M , який дiє на
f ∈ HΩ
p згiдно з формулою
ΛMf =
∑
s
Λmsδs(f),
де оператори Λms
визначенi згiдно з лемою А.
Оцiнимо далi норму ‖f − ΛMf‖q. Оскiльки за умовою p′ < q, то
згiдно з лемою Б будемо мати
‖f − ΛMf‖q �
�
∑
(s,1)>m
(
‖δs(f)− Λms
δs(f)‖p′2(s,1)(1/p′−1/q)
)q1/q
. (7)
Послiдовно застосувавши до правої частини (7) лему А i спiввiд-
ношення (1), отримаємо
‖f − ΛMf‖q �
�
∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1/p−1/q)‖δs(f)‖pλms
(
B2(s,1)
p , l2
(s,1)
p′
))q1/q
�
�
∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1/p−1/q)ω(2−(s,1))λms
(
B2(s,1)
p , l2
(s,1)
p′
))q1/q
= J1.
Врахувавши, що згiдно з теоремою Б при ms < 2(s,1) має мiсце
спiввiдношення
λms
(
B2(s,1)
p , l2
(s,1)
p′
)
�
138 Н.В. Дерев’янко
� max
{
2(s,1)(1/p′−1/p),min
{
1, 2(s,1)/p′m−1/2
s
}√
1− ms
2(s,1)
}
≤
≤ max
{
2(s,1)(1/p′−1/p), 2(s,1)/p′m−1/2
s
√
1− ms
2(s,1)
}
� 2(s,1)/p′m−1/2
s ,
продовжимо оцiнку величини J1 таким чином:
J1 �
∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1/p−1/q)ω(2−(s,1))2(s,1)/p′m−1/2
s
)q1/q
=
=
∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1−1/q)ω(2−(s,1))m−1/2
s
)q1/q
= J2.
Пiдставивши в J2 замiсть ms їх значення, будемо мати
J2 ≤
∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1−1/q)ω(2−(s,1))2−m/2−θ/2(m−(s,1))
)q1/q
=
= 2−m/22−θm/2
∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1−1/q+θ/2−α)ω(2−(s,1))
2−(s,1)α
)q1/q
= J3.
Оскiльки ω ∈ Φα,l, α > 1− 1
q , то при (s, 1) > m буде виконуватись
порядкова нерiвнiсть
ω(2−(s,1))
2−(s,1)α
� ω(2−m)
2−mα
.
Врахувавши останнє спiввiдношення, отримаємо
J3 � 2−m/22−θm/2
ω(2−m)
2−mα
∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1−1/q+θ/2−α)
)q1/q
=
= 2−m/22−θm/2
ω(2−m)
2−mα
∑
j>m
∑
(s,1)=j
(
2(s,1)(1−1/q+θ/2−α)
)q1/q
=
Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p . . . 139
= 2−m/22−θm/2
ω(2−m)
2−mα
∑
j>m
2jq(1−1/q+θ/2−α)
∑
(s,1)=j
1
1/q
.
З огляду на порядкове спiввiдношення (6), будемо мати
J3 � 2−m/22−θm/2
ω(2−m)
2−mα
∑
j>m
2jq(1−1/q+θ/2−α)jd−1
1/q
.
Далi, пiдiбравши θ > 0 з умови θ
2 < α+ 1
q −1 (це завжди можливо
зробити, тому що α > 1− 1
q ), завершуємо оцiнку норми
‖f − ΛMf‖q � 2−m/22−θm/2
ω(2−m)
2−mα
2m(1−1/q+θ/2−α)m
d−1
q =
= ω(2−m)2m(1/2−1/q)m
d−1
q ,
де M � 2mmd−1.
Звiдси, внаслiдок означення лiнiйного поперечника, отримаємо
оцiнку зверху в (4).
Перейдемо тепер до встановлення оцiнки знизу. Для M ∈ N ви-
беремо число m ∈ N таким чином, щоб виконувалося спiввiдношен-
ня 2mmd−1 � M i кiлькiсть елементiв множини Qm =
⋃
s∈S
ρ(s), де
S =
{
s ∈ Nd : (s, 1) = m
}
, була не менша нiж 2M .
Позначимо через Tm множину тригонометричних полiномiв з но-
мерами гармонiк з Qm i нехай Pm оператор ортогонального проекту-
вання на цю множину. Тодi згiдно з означенням лiнiйного попереч-
ника
λM
(
HΩ
p , Lq
)
≥ λM
(
HΩ
p ∩ Tm, Lq
)
. (8)
З iншого боку, для t ∈ Tm
‖f − t‖q ≥ ‖Pm(f − t)‖q = ‖Pmf − t‖q. (9)
Врахувавши (8) i (9), отримаємо
λM
(
HΩ
p , Lq
)
≥ λM
(
HΩ
p ∩ Tm, Lq ∩ Tm
)
. (10)
140 Н.В. Дерев’янко
Зауважимо, що з теореми А отримаємо наступне: f ∈ HΩ
p тодi i
тiльки тодi, коли виконується спiввiдношення
sup
s
ω−1(2−(s,1))‖δs(f)‖p � 1. (11)
Вiзьмемо f ∈ HΩ
p ∩ Tm. Згiдно з теоремою В, будемо мати
sup
s∈S
ω−1(2−(s,1))‖δs(f)‖p �
� sup
s∈S
ω−1(2−(s,1))2−(s,1)/p‖δsf j‖l2(s,1)p
=
= ω−1(2−m)2−m/p sup
s∈S
‖δsf j‖l2(s,1)p
. (12)
Отже, згiдно з (11) i (12) f ∈ HΩ
p ∩ Tm тодi i тiльки тодi коли
sup
s∈S
‖δsf j‖l2(s,1)p
� ω(2−m)2m/p. (13)
З iншої сторони для g ∈ Lq ∩ Tm, q ≥ 2, на основi леми В i
теореми В, будемо мати
‖g‖q =
∥∥∥∥∑
s∈S
δs(g)
∥∥∥∥
q
�
(∑
s∈S
‖δs(g)‖qq
)1/q
�
�
(∑
s∈S
(
2−(s,1)/q‖δsgj‖l2(s,1)q
)q)1/q
=
= 2−m/q
(∑
s∈S
(
‖δsgj‖l2(s,1)q
)q)1/q
. (14)
Таким чином, врахувавши (10), (13) i (14), отримаємо
λM
(
HΩ
p , Lq
)
� ω(2−m)2m(1/p−1/q)λM
(
B2m,|S|
p,∞ , l2
m|S|
q
)
. (15)
Далi нам знадобляться деякi спiввiдношення. З нерiвностi про
середнє степеневе отримуємо
‖ · ‖l2mp ≤ ‖ · ‖l2m2 2m(1/p−1/2), p ≤ 2.
Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p . . . 141
Звiдси при p ≤ 2 має мiсце вкладення
B2m
p ⊃ 2m(1/2−1/p)B2m
2 ,
а, отже, i вкладення
B2m,|S|
p,∞ ⊃ 2m(1/2−1/p)B
2m,|S|
2,∞ . (16)
З iншого боку, знову ж таки за нерiвнiстю про середнє степеневе,
будемо мати
‖ · ‖
l
|S|
q
≥ ‖ · ‖
l
|S|
1
|S|1/q−1, q ≥ 1.
Врахувавши також, що при q ≤ ∞
‖ · ‖l2mq ≥ ‖ · ‖l2m∞ ,
отримаємо
‖ · ‖
l
2m|S|
q
≥ ‖ · ‖
l
2m,|S|
∞,1
|S|1/q−1. (17)
Беручи до уваги вiдомi спiввiдношення(
l
2m,|S|
2,1
)∗
= l
2m,|S|
2,∞ ,
(
l
2m,|S|
∞,1
)∗
⊇ l2
m,|S|
1,∞ , (18)
згiдно з означенням поляри множини будемо мати(
B
2m,|S|
2,1
)◦
= B
2m,|S|
2,∞ ,
(
B
2m,|S|
∞,1
)◦
⊇ B2m,|S|
1,∞ . (19)
З (18), (19), теореми Е та означення лiнiйного поперечника отри-
муємо
λm
(
B
2m,|S|
2,∞ , l
2m,|S|
∞,1
)
= λm
((
B
2m,|S|
2,1
)◦
, l
2m,|S|
∞,1
)
=
= λm
((
B
2m,|S|
∞,1
)◦
, l
2m,|S|
2,1
)
≥ λm
(
B
2m,|S|
1,∞ , l
2m,|S|
2,1
)
(20)
З огляду на (15) – (17) та (20) одержуємо
λM
(
HΩ
p , Lq
)
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)|S|1/q−1λm
(
B
2m,|S|
2,∞ , l
2m,|S|
∞,1
)
≥
142 Н.В. Дерев’янко
≥ ω(2−m)2m(1/2−1/q)|S|1/q−1λm
(
B
2m,|S|
1,∞ , l
2m,|S|
2,1
)
. (21)
Нарештi, скориставшись послiдовно нерiвнiстю (2) та теоре-
мою Ж, на основi (21) будемо мати
λM (HΩ
p , Lq)� ω(2−m)2m(1/2−1/q)|S|1/q−1dm
(
B
2m,|S|
1,∞ , l
2m,|S|
2,1
)
�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)|S|1/q−1|S|
√
log log |S|
log |S|
=
= ω(2−m)2m(1/2−1/q)|S|1/q
√
log log |S|
log |S|
�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)m
d−1
q
√
log logmd−1
logmd−1
�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)m
d−1
q
√
log logm
logm
,
де M � 2mmd−1.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай 2 ≤ p < q < ∞, а функцiя Ω(t) = ω
(
d∏
j=1
tj
)
,
де ω ∈ Φα,l, α > 1
p −
1
q , l ∈ N. Тодi має мiсце порядкове спiввiдно-
шення
√
log logm
logm
ω(2−m)2m(1/p−1/q)m
d−1
q � λM
(
HΩ
p , Lq
)
�
� ω(2−m)2m(1/p−1/q)m
d−1
q , (22)
де M � 2mmd−1.
Доведення. Оцiнка зверху в (22) випливає з оцiнок наближення
функцiй з класiв HΩ
p їх схiдчасто гiперболiчними сумами Фур’є [1].
Встановимо в (22) оцiнку знизу. Нехай f ∈ HΩ
p , 2 ≤ p < ∞. З
теореми Д будемо мати
sup
s
ω−1(2−(s,1))‖δs(f)‖p �
Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p . . . 143
� sup
s
ω−1(2−(s,1))2(s,1)(1/2−1/p)‖δs(f)‖2 =
= sup
s
ω−1
1 (2−(s,1))‖δs(f)‖2,
де ω1(τ) = ω(τ)τ1/2−1/p — функцiя з множини Φα1,l+1, α1 = α+
+
(
1
2 −
1
p
)
> 1
2 −
1
q .
Звiдси i з спiввiдношення (11) має мiсце вкладення
HΩ
p ⊃ H
Ω1
2 , (23)
де Ω1(t) = ω1
(
d∏
j=1
tj
)
.
Оскiльки оцiнка знизу в теоремi 1 є справедливою i для α > 1
2−
1
q ,
то з (4), (23) i означення лiнiйного поперечника при 2 ≤ p < q < ∞
будемо мати
λM
(
HΩ
p , Lq
)
≥ λM
(
HΩ1
2 , Lq
)
�
� ω(2−m)2−m(1/2−1/p)2m(1/2−1/q)m
d−1
q
√
log logm
logm
=
= ω(2−m)2m(1/p−1/q)m
d−1
q
√
log logm
logm
,
де M � 2mmd−1.
Таким чином, теорему 2 доведено.
Якщо при оцiнцi знизу в теоремi 1 покласти d = 1, то |S| = 1, а
тому
λM
(
B
2m,|S|
1,∞ , l
2m,|S|
2,1
)
= λM
(
B2m
1 , l2
m
2
)
� 1.
Отже, в одновимiрному випадку у (4), а, вiдповiдно, i у (22) бу-
дуть мати мiсце точнi за порядком оцiнки:
λM (HΩ
p , Lq) �
{
Ω(M−1)M1/2−1/q, 1 < p ≤ 2, p′ < q <∞,
Ω(M−1)M1/p−1/q, 2 ≤ p < q <∞.
(24)
Спiввiдношення (24) встановленi у роботi [26].
144 Н.В. Дерев’янко
Зауваження 1. Якщо Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j , rj > 0, j = 1, d, то вiдпо-
вiднi твердження до теорем 1 i 2 встановлено у роботi [11].
Зауваження 2. Теореми 1 i 2 доповнюють результати робо-
ти [27], в якiй встановлено точнi за порядком оцiнки лiнiйних попе-
речникiв класiв BΩ
p,θ ⊂ BΩ
p,∞ ≡ HΩ
p у просторi Lq при 2 ≤ θ ≤ q.
1. Пустовойтов Н.Н. Представление и приближение периодических функ-
ций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывно-
сти // Anal. Math. — 1994. — 20, № 1. — С. 35 – 48.
2. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной,
удовлетворяющей кратному условию Гeльдера // Сиб. мат. журн. —
1963. — 4, № 6. — С. 1342 –,1364.
3. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциаль-
ные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1956. —
5. — С. 483 – 522.
4. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных простран-
ствах и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук. — 1960. —
15, № 3. — С. 81 – 120.
5. Исмагилов Р.С. Поперечники множеств в линейных нормированных про-
странствах и приближение функций тригонометрическими многочлена-
ми // Успехи мат. наук. — 1974. — 29, № 3. — C. 161 – 178.
6. Майоров В. Е. Тригонометрические n-поперечники класса W r
1 в про-
странстве Lq // Математическое программирование и смежные вопросы.
Теория операторов в линейных пространствах. — М.: ЦЭМИ — 1976. —
С. 199 – 208.
7. Майоров В. Е. О линейных поперечниках соболевских классов и цепоч-
ках экстремальных подпространств // Мат. сб. — 1980. —113, № 3. —
С. 437 – 463.
8. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. — М.: Москов.
гос. ун-т, 1976. — 304 с.
9. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. — М.: Наука,
1987. — 424 с.
10. Галеев Э.М. О линейных поперечниках классов периодических функций
многих переменных // Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех. — 1987. — №4. —
С. 13 – 16.
11. Галеев Э.М. Линейные поперечники классов Гельдера–Никольского пе-
риодических функций многих переменных // Мат. заметки. — 1996. — 59,
№ 2. — С. 189 – 199.
Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p . . . 145
12. Романюк А.С. Линейные поперечники классов Бесова периодических
функций многих переменных. I // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, № 5. —
С. 647 – 661.
13. Романюк А.С. Линейные поперечники классов Бесова периодических
функций многих переменных. II // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, № 6. —
С. 820 – 829.
14. Романюк А.С. Поперечники и наилучшее приближение классов Brp,θ пе-
риодических функций многих переменных // Anal. Math. — 2011. — 37,
№ 3. — С. 181 – 213.
15. Романюк А.С. Аппроксимативные характеристики классов периодиче-
ских функций многих переменных // Працi Iн-ту математики НАН Украї-
ни. — 2012. — 93. — 352 с.
16. Kolmogoroff A. Über die beste annäherung von funktionen einer gegebenen
funktionenklasse // Ann. of Math. — 1963. — 37, № 1. — С. 107 – 110.
17. Глускин Е.Д. Нормы случайных матриц и поперечники конечномерных
множеств // Мат. сб. — 1983. — 120, № 2. — С. 180 – 189.
18. Кашин Б.С. О некоторых свойствах матриц ограниченных операторов
из пространства ln2 в lm2 // Изв. АН Арм. ССР. Cер. мат. — 1980. — 15,
№ 5. — С. 379 – 394.
19. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функ-
ций многих переменных W̃ ᾱ
p и H̃ᾱ
p в пространстве L̃q // Изв. АН СССР.
Cер. мат. — 1985. — 49, № 5. — С. 916 – 934.
20. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т.— М.: Мир, 1965. — Т. 2. —
537 c.
21. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения.— М.: Наука, 1969. — 480 с.
22. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной произ-
водной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178. — С. 3 – 113.
23. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1933. — 39, № 12. — P. 889 – 906.
24. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Двойственность выпуклых функций и экс-
тремальные задачи // Успехи мат. наук. — 1968. — 23, № 6. — C. 51 – 116.
25. Изаак А.Д. Поперечники по Колмогорову в конечномерных простран-
ствах со смешанной нормой // Мат. заметки. — 1994. — 55, № 1. — C. 4 – 52.
26. Конограй А.Ф. Лiнiйнi поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй
однiєї та багатьох змiнних //Теорiя наближення функцiй та сумiжнi пи-
тання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2010. — 7, № 1. —
С. 94 – 112.
27. Федуник О.В. Лiнiйнi поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй ба-
гатьох змiнних у просторi Lq // Укр. мат. журн. — 2006. — 58, № 1. —
С. 93 – 104.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-71 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:01Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/6a/c7da2e9300278ddee47d29bdc4164c6a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-712018-01-29T14:44:04Z Estimations of linear widths of the classes $H_p^\Omega$ periodic functions of many variables in the space $L_q$ Оцінки лінійних поперечників класів $H_p^\Omega$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. Obtained here are the order estimates of linear widths of the classes $H_{p}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for $1&lt;p\leq 2$,${\frac{p}{(p-1)}&lt;q&lt;\infty}$ and $2\leq p&lt;q&lt;\infty$ Отримано порядкові оцінки лінійних поперечників класів $H_{p}^\Omega$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ при $1&lt;p \leq 2$, ${\frac{p}{(p-1)}&lt;q&lt;\infty}$ та $2\leq p&lt;q&lt;\infty$ Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/71 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 128-145 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 128-145 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 128-145 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/71/67 |
| spellingShingle | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. Estimations of linear widths of the classes $H_p^\Omega$ periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title | Estimations of linear widths of the classes $H_p^\Omega$ periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_alt | Оцінки лінійних поперечників класів $H_p^\Omega$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ |
| title_full | Estimations of linear widths of the classes $H_p^\Omega$ periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_fullStr | Estimations of linear widths of the classes $H_p^\Omega$ periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_full_unstemmed | Estimations of linear widths of the classes $H_p^\Omega$ periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_short | Estimations of linear widths of the classes $H_p^\Omega$ periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_sort | estimations of linear widths of the classes $h_p^\omega$ periodic functions of many variables in the space $l_q$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/71 |
| work_keys_str_mv | AT derevyankonv estimationsoflinearwidthsoftheclasseshpomegaperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT derev039ânkonv estimationsoflinearwidthsoftheclasseshpomegaperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT derevyankonv ocínkilíníjnihpoperečnikívklasívhpomegaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq AT derev039ânkonv ocínkilíníjnihpoperečnikívklasívhpomegaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq |