Estimates of orthoprojection widths of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity
We obtain exact order estimates of approximation of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables in the space $L_q$ by using operators of orthogonal projection as well as linear operators subjected to some conditions
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/72 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552603594784768 |
|---|---|
| author | Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. |
| author_facet | Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Ф. Конограй",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. В. Федуник-Яремчук",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Konograi, A. F. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We obtain exact order estimates of approximation of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables in the space $L_q$ by using operators of orthogonal projection as well as linear operators subjected to some conditions |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 146–165
УДК 517.51
А.Ф. Конограй (Iн–т математики НАН України, Київ)
О.В. Федуник–Яремчук (Схiдноєвропейський нацiональний унiвер-
ситет iменi Лесi Українки, Луцьк)
ОЦIНКИ ОРТОПРОЕКЦIЙНИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ
КЛАСIВ BΩ
p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ
ЗМIННИХ IЗ ЗАДАНОЮ МАЖОРАНТОЮ МIШАНИХ
МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI
We obtain exact order estimates of approximation of classes BΩ
p,θ of periodic
functions of several variables in the space Lq by using operators of orthogonal
projection as well as linear operators subjected to some conditions.
Oдержано точнi за порядком оцiнки наближення класiв BΩ
p,θ перiодич-
них функцiй багатьох змiнних у просторi Lq за допомогою операторiв
ортогонального проектування, а також лiнiйних операторiв, якi пiдпо-
рядкованi деяким умовам.
Нехай Lp(πd), 1 ≤ p < ∞, — простiр 2π-перiодичних по кож-
нiй змiннiй i сумовних у степенi p на кубi πd =
d∏
j=1
[0; 2π] функцiй
f(x) = f(x1, ..., xd), в якому норма визначається таким чином
‖f‖Lp(πd) = ‖f‖p =
(
(2π)
−d
∫
πd
|f(x)|pdx
) 1
p
,
L∞(πd) — простiр 2π-перiодичних за кожною змiнною суттєво обме-
жених функцiй f(x) = f(x1, ..., xd) з нормою
‖f‖L∞(πd) = ‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Всюди далi будемо вважати, що для функцiй f ∈ Lp(πd) вико-
нується додаткова умова∫ 2π
0
f(x)dxj = 0 , j = 1, d.
c© А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук, 2014
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 147
Для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, i t = (t1, ..., td), tj ≥ 0, j = 1, d,
розглянемо мiшаний модуль неперервностi порядку l
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
‖∆l
hf(·)‖p,
де l ∈ N, ∆l
hf(x) = ∆l
h1
. . .∆l
hd
f(x) = ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x))) — мiшана
рiзниця порядку l з кроком hj за змiнною xj i
∆l
hjf(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного мо-
дуля неперервностi порядку l, яка задовольняє такi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,
d∏
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй;
3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, d .
Будемо вважати, що Ω задовольняє також умови (S) i (Sl), якi
називають умовами Барi–Стєчкiна [1]. Це означає наступне.
Функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (S), якщо
ϕ(τ)/τα майже зростає при деякому α > 0, тобто iснує така не за-
лежна вiд τ1 i τ2 стала C1 > 0, що
ϕ(τ1)
τα1
≤ C1
ϕ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Функцiя ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sl), якщо ϕ(τ)/τγ майже
спадає при деякому 0 < γ < l, тобто iснує така не залежна вiд τ1 i τ2
стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τγ1
≥ C2
ϕ(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Будемо говорити, що Ω(t) задовольняє умови (S) i (Sl), якщо Ω(t)
задовольняє цi умови по кожнiй змiннiй tj при фiксованих ti, i 6= j.
148 А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, а Ω — задана функцiя типу мiша-
ного модуля неперервностi порядку l. Тодi, згiдно з означенням [2]
BΩ
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,θ
≤ 1
}
,
де
‖f‖BΩ
p,θ
=
{∫
πd
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
} 1
θ
, 1 ≤ θ <∞,
‖f‖BΩ
p,∞
= sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
,
(запис t > 0 для t = (t1, ..., td) рiвносильний tj > 0, j = 1, d).
Зазначимо, що при θ =∞ класи BΩ
p,θ спiвпадають з класами HΩ
p ,
якi були розглянутi М.М. Пустовойтовим [3].
Для подальших мiркувань будемо використовувати еквiвалентнi
(з точнiстю до абсолютних сталих) означення класiв BΩ
p,θ.
Кожному вектору s = (s1, ..., sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть множину
ρ(s) =
{
k = (k1, ..., kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z \ {0}, j = 1, d
}
i для f ∈ Lp(πd) позначимо
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
де
f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f , (k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd.
Отже, нехай 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω — задана функцiя типу
мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови
(S) i (Sl), тодi з точнiстю до абсолютних сталих класи BΩ
p,θ можна
означити наступним чином [2]:
BΩ
p,θ=
{
f ∈Lp(πd) :‖f‖BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖δs(f, ·)‖θp
) 1
θ
≤ 1
}
, (1)
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 149
де 1 ≤ θ <∞ та
BΩ
p,∞ =
{
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,∞
= sup
s
‖δs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
≤ 1
}
, (2)
тут i надалi Ω(2−s) = Ω(2−s1 , ..., 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Наведене означення класiв BΩ
p,θ можна поширити i на крайнi ви-
падки p = 1 i p =∞, дещо змiнивши в (1) i (2) "блоки" δs(f, x).
Нехай Vn(t) позначає ядро Валле Пуссена порядку 2n− 1, тобто
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k − n
n
)
cos kt.
Кожному вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть полiном
As(x) =
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
i для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, через As(f, x) позначимо згортку
As(f, x) = f ∗As.
У прийнятих позначеннях з точнiстю до абсолютних сталих класи
BΩ
p,θ, 1 ≤ p ≤ ∞, можна означити наступним чином
BΩ
p,θ=
{
f ∈Lp(πd) :‖f‖BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖As(f, ·)‖θp
) 1
θ
≤ 1
}
, (3)
де 1 ≤ θ <∞ та
BΩ
p,∞ =
{
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,∞
= sup
s
‖As(f, ·)‖p
Ω(2−s)
≤ 1
}
. (4)
Зазначимо, що рiвностi (3) i (4) були отриманi в роботах [4] i [3]
вiдповiдно.
150 А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук
Зауважимо, що при Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j , 0 < rj < l, класи BΩ
p,θ є ана-
логами вiдомих класiв Бєсова Brp,θ, 1 ≤ θ < ∞, та Нiкольського
Brp,∞ = Hr
p (див., наприклад, [5]).
Нижче будемо розглядати класи BΩ
p,θ, якi визначаються функ-
цiєю Ω деякого спецiального вигляду:
Ω(t) = Ω(t1, ..., td) =
d∏
j=1
trj(
log 1
tj
)bj
+
, якщо tj > 0, j = 1, d;
0, якщо
d∏
j=1
tj = 0.
(5)
Тут i надалi розглядаються логарифми за основою 2, крiм того(
log
1
tj
)
+
= max
{
1, log
1
tj
}
.
Також будемо вважати, що bj < r, j = 1, d, i 0 < r < l, а значить
для функцiї Ω вигляду (5) виконуються властивостi 1 – 4, а також
умови (S) i (Sl).
Метою роботи є встановлення точних за порядком оцiнок ор-
топроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ в просторi Lq(πd) при
1 ≤ p < q <∞. Нагадаємо, поняття ортопроекцiйного поперечника
ввiв В.М. Темляков [6]. Щоб навести означення величини, що нами
дослiджується, введемо деякi позначення.
Нехай {ui}Mi=1 — ортонормована система функцiй ui ∈ L∞(πd).
Кожнiй функцiї f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, поставимо у вiдповiднiсть
апарат наближення вигляду
M∑
i=1
(f, ui)ui, тобто ортогональну проек-
цiю функцiї f на пiдпростiр, породжений системою функцiй {ui}Mi=1.
Тодi для функцiонального класу F ⊂ Lq(πd) величина
d⊥M (F,Lq) = inf
{ui}Mi=1
sup
f∈F
∥∥∥∥f(·)−
M∑
i=1
(f, ui)ui(·)
∥∥∥∥
q
(6)
називається ортопроекцiйним поперечником (Фур’є–поперечником)
цього класу в просторi Lq(πd).
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 151
У роботi, крiм ортопроекцiйних поперечникiв, будемо дослiджу-
вати величини dBM (F,Lq), розглянутi В.М. Темляковим (див., напри-
клад, [7]), якi визначаються наступним чином:
dBM (F,Lq) = inf
G∈LM (B)q
sup
f∈F∩D(G)
‖f(·)−Gf(·)‖q . (7)
Через LM (B)q тут позначено множину лiнiйних операторiв, якi за-
довольняють умови:
а) область визначення D(G) цих операторiв мiстить всi триго-
нометричнi полiноми, а їх область значень мiститься в пiдпросторi
розмiрностi M простору Lq(πd);
б) iснує число B ≥ 1 таке, що для всiх векторiв k = (k1, . . . , kd),
kj ∈ Z, j = 1, d, виконується нерiвнiсть
∥∥Gei(k,·)∥∥
2
≤ B.
Зазначимо, що до LM (1)2 належать оператори ортогонально-
го проектування на простори розмiрностi M , а також оператори,
якi задаються на ортонормованiй системi функцiй за допомогою
мультиплiкатора, який визначається послiдовнiстю {λm} такою, що
|λm| ≤ 1 для всiх m. Iз (6) i (7) легко бачити також, що величини
d⊥M (F,Lq) i dBM (F,Lq) пов’язанi мiж собою нерiвнiстю
dBM (F,Lq) ≤ d⊥M (F,Lq). (8)
На сьогоднi вiдомо багато робiт, в яких дослiджувалися величини
d⊥M (F,Lq) i dBM (F,Lq) для тих чи iнших класiв функцiй. Тут згадає-
мо роботи [7 – 11], в яких вивчались величини (6) i (7) для класiв
функцiй багатьох змiнних W r
p,α, Hr
p , Brp,θ та HΩ
p , i в яких можна
ознайомитись з бiльш детальною бiблiографiєю.
Зауважимо, що одержанi нижче оцiнки доповнюють результати,
якi отриманi в роботах [12, 13].
Наведемо кiлька вiдомих тверджень, якi будемо використовувати
у подальших мiркуваннях.
Для натурального N покладемо
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d, Ω(2−s) ≥ 1
N
}
,
Q(N) =
⋃
s∈χ(N)
ρ(s).
152 А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук
У прийнятих позначеннях має мiсце твердження.
Лема 1 [11]. Кiлькiсть елементiв множини Q(N) рiвна за по-
рядком:
|Q(N)| � N 1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr +d−1
.
Тут i далi для додатних функцiй µ1(N) та µ2(N) запис µ1 � µ2
означає, що iснує стала C > 0 така, що ∀N ∈ N виконується
µ1(N) ≤ Cµ2(N). Спiввiдношення µ1 � µ2 рiвносильне тому, що ви-
конуються порядковi нерiвностi µ1 � µ2 та µ1 � µ2. Зауважимо
також, що всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi будуть зустрiчатися в робо-
тi, можуть залежати тiльки вiд параметрiв, що входять в означення
класу, метрики, в якiй вимiрюється похибка наближення, та розмiр-
ностi d простору Rd.
Враховуючи (5) множину χ(N) можна означити так:
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
d∏
j=1
2rsjs
bj
j ≤ N
}
.
Далi, нехай
χ⊥(N) = Nd \ χ(N),
Θ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
1
2lN
≤ Ω(2−s) <
1
N
}
.
У [14] встановлено, що для кiлькостi елементiв множини Θ(N)
має мiсце порядкова рiвнiсть
|Θ(N)| � (logN)d−1.
Лема 2 [7, с. 25]. Нехай 1 ≤ p < q < ∞ i f ∈ Lp(πd). Тодi має
мiсце спiввiдношення
‖f‖qq �
∑
s
(
‖δs(f, ·)‖p 2‖s‖1(
1
p−
1
q )
)q
,
де ‖s‖1 = s1 + ...+ sd, sj ∈ N.
Лема 3 [11]. Для функцiї Ω, яка визначена рiвнiстю (5), при
0 < β < r, 0 < p <∞ має мiсце спiввiдношення∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)2‖s‖1β
)p � ∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)2‖s‖1β
)p
.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 153
Лема 4 [11]. Нехай γ1 ≤ ... ≤ γd < 1. Тодi
∑
s∈Θ(N)
d∏
j=1
s
−γj
j �
(
logN
)−γ1−...−γd+d−1
.
Лема 5 [8]. Нехай лiнiйний оператор A заданий рiвнiстю
Aei(k,x) =
M∑
m=1
akmψm(x),
де
{
ψm(x)
}M
m=1
— набiр функцiй, для яких
‖ψm(·)‖2 ≤ 1, m = 1, ...,M.
Тодi для будь-якого тригонометричного полiнома t має мiсце
спiввiдношення
min
y=x
Re At(x−y)≤Re
∑
k
M∑
m=1
t̂(k)akmψ̂m(k)≤
M M∑
m=1
∑
k
|akmt̂(k)|2
1
2
.
Теорема А (Лiттлвуда–Пелi) (див., наприклад, [15, с. 65]).
Нехай задано p ∈ (1,∞). Тодi iснують додатнi сталi C3(p) i C4(p)
такi, що для кожної функцiї f ∈ Lp(πd) виконується спiввiдно-
шення
C3(p)||f ||p ≤
∥∥∥∥∥
(∑
s
|δs(f, ·)|2
) 1
2
∥∥∥∥∥
p
≤ C4(p)‖f‖p .
Теорема Б [16]. Нехай Tn — тригонометричний полiном по-
рядку n = (n1, . . . , nd)
Tn(x) =
∑
|k1|≤n1
. . .
∑
|kd|≤nd
ck1,...,kde
i(k,x),
154 А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук
де nj, j = 1, d, — натуральнi числа, ck1,...,kd — довiльнi коефiцiєнти.
Тодi при 1 ≤ p < q ≤ ∞ має мiсце нерiвнiсть
‖Tn‖q ≤ 2d
( d∏
j=1
nj
) 1
p−
1
q
‖Tn‖p . (9)
Нерiвнiсть (9) була встановлена С.М. Нiкольським i отримала на-
зву "нерiвностi рiзних метрик". В одновимiрному випадку при p =∞
вiдповiдну нерiвнiсть довiв Д.Джексон [17].
Перш нiж перейти до викладу отриманих результатiв покладемо
M = |Q(N)|. Тодi, згiдно з лемою 1, отримаємо
M � N 1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr +d−1
,
logM � logN, N �Mr
(
logM
)b1+...+bd−(d−1)r
.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема. Нехай 1 ≤ p < q < ∞, 1 ≤ θ < ∞, а Ω задана форму-
лою (5). Тодi при 1
p −
1
q < r < l, bj <
r
q
p−1 , мають мiсце спiввiдно-
шення
d⊥M (BΩ
p,θ, Lq) � dBM (BΩ
p,θ, Lq) �
�M−r+
1
p−
1
q
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r− 1
p+ 1
q+( 1
q−
1
θ )
+
)
, (10)
де a+ = max{a, 0}.
Доведення. Встановимо спочатку в (10) оцiнку зверху. З цiєю
метою розглянемо наближення функцiї f ∈ BΩ
p,θ її частинною сумою
Фур’є з "номерами" гармонiк з множини Q(N)
SQ(N)(x) =
∑
s∈χ(N)
δs(f, x).
Нехай q0 — довiльне число, яке задовольняє умову p < q0 < q.
Використавши для f ∈ BΩ
p,θ лему 2, а також вiдоме спiввiдношення
‖δs(f, ·)‖q0 � ‖As(f, ·)‖q0 , 1 < q0 <∞,
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 155
будемо мати
‖f(·)− SQ(N)(·)‖q =
∥∥∥∥ ∑
s∈χ⊥(N)
δs(f, ·)
∥∥∥∥
q
�
�
∑
s∈χ⊥(N)
‖δs(f, ·)‖qq02
‖s‖1
(
1
q0
− 1
q
)
q
1
q
�
�
∑
s∈χ⊥(N)
‖As(f, ·)‖qq02
‖s‖1
(
1
q0
− 1
q
)
q
1
q
= I1.
Далi, застосувавши до As(f, x) "нерiвнiсть рiзних метрик" Нi-
кольського, продовжимо оцiнку
I1 �
∑
s∈χ⊥(N)
‖As(f, ·)‖qp2
‖s‖1( 1
p−
1
q0
)q2
‖s‖1
(
1
q0
− 1
q
)
q
1
q
=
=
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−q(2−s)‖As(f, ·)‖qpΩq(2−s)2
‖s‖1( 1
p−
1
q )q
1
q
= I2.
Щоб оцiнити I2, розглянемо окремо два випадки.
Нехай спочатку q < θ < ∞. Застосувавши до I2 нерiвнiсть Гель-
дера з показником θ
q , а також лему 3, одержимо
I2 ≤
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−θ(2−s)‖As(f, ·)‖θp
1
θ
×
×
∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)2‖s‖1(
1
p−
1
q )
) θq
θ−q
θ−q
θq
�
� ‖f‖BΩ
p,θ
∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)2‖s‖1(
1
p−
1
q )
) θq
θ−q
θ−q
θq
�
156 А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук
�
∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)2‖s‖1(
1
p−
1
q )
) θq
θ−q
θ−q
θq
≤
≤ N−1
∑
s∈Θ(N)
2‖s‖1(
1
p−
1
q ) θq
θ−q
θ−q
θq
= I3.
Далi, враховуючи, що для s ∈ Θ(N)
2‖s‖1 � N 1
r
d∏
j=1
s
−
bj
r
j ,
а також скориставшись лемою 4, будемо мати
I3 � N−1
∑
s∈Θ(N)
N
1
r ( 1
p−
1
q ) θq
θ−q
d∏
j=1
s
−
bj
r ( 1
p−
1
q ) θq
θ−q
j
θ−q
θq
=
= N−1+ 1
r ( 1
p−
1
q )
∑
s∈Θ(N)
d∏
j=1
s
−
bj
r ( 1
p−
1
q ) θq
θ−q
j
θ−q
θq
�
� N−1+ 1
r ( 1
p−
1
q )( logN
)(− b1r −...− bdr )( 1
p−
1
q )+(d−1)( 1
q−
1
θ ) �
�
(
Mr
(
logM
)b1+...+bd−(d−1)r
)−1+ 1
r ( 1
p−
1
q )
×
×
(
logM
)(− b1r −...− bdr )( 1
p−
1
q )+(d−1)( 1
q−
1
θ )
=
= M−r+
1
p−
1
q
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)(r− 1
p+ 2
q−
1
θ )
.
Нехай тепер 1 ≤ θ ≤ q. Будемо мати
I2 =
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−q(2−s)‖As(f, ·)‖qpΩq(2−s)2
‖s‖1( 1
p−
1
q )q
1
q
=
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 157
=
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−q(2−s)‖As(f, ·)‖qp
2−rq‖s‖1
d∏
j=1
s
qbj
j
2‖s‖1(
1
p−
1
q )q
1
q
=
=
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−q(2−s)‖As(f, ·)‖qp
2−q‖s‖1(r−
1
p+ 1
q )
d∏
j=1
s
qbj
j
1
q
= I3.
Якщо s ∈ χ⊥(N), то
2−‖s‖1 < N−
1
r
d∏
j=1
s
bj
r
j .
Звiдси
I3 <
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−q(2−s)‖As(f, ·)‖qpN
− qr (r− 1
p+ 1
q )
d∏
j=1
s
q
bj
r (r− 1
p+ 1
q )
j
s
qbj
j
1
q
=
= N−1+ 1
r ( 1
p−
1
q )
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−q(2−s)‖As(f, ·)‖qp
d∏
j=1
s
−q
bj
r ( 1
p−
1
q )
j
1
q
�
� N−1+ 1
r ( 1
p−
1
q )( logN
)(− b1r −...− bdr )( 1
p−
1
q )×
×
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−q(2−s)‖As(f, ·)‖qp
1
q
= I4.
Далi, використовуючи нерiвнiсть [18, c. 43](∑
k
|ak|ν2
) 1
ν2
≤
(∑
k
|ak|ν1
) 1
ν1
, 1 ≤ ν1 ≤ ν2 <∞,
158 А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук
будемо мати
I4 ≤ N−1+ 1
r ( 1
p−
1
q )( logN
)(− b1r −...− bdr )( 1
p−
1
q )×
×
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−θ(2−s)||As(f, ·)||θp
1
θ
�
� N−1+ 1
r ( 1
p−
1
q )( logN
)(− b1r −...− bdr )( 1
p−
1
q )‖f‖BΩ
p,θ
�
�
(
Mr
(
logM
)b1+...+bd−(d−1)r
)−1+ 1
r ( 1
p−
1
q )(
logM
)(− b1r −...− bdr )( 1
p−
1
q )
=
= M−r+
1
p−
1
q
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)(r− 1
p+ 1
q )
.
Таким чином, оцiнка зверху в (10) встановлена.
Перейдемо до встановлення в (10) оцiнки знизу. Оскiльки
має мiсце нерiвнiсть (8), то її достатньо отримати для величини
dBM (BΩ
p,θ, Lq). При цьому розглянемо два випадки.
Нехай спочатку q ≤ θ <∞. За допомогою мiркувань аналогiчних
тим, що i в [19], можна показати, що iснує множина Θ′(N) ⊂ Θ(N)
така, що для s = (s1, ..., sd) ∈ Θ′(N) будуть виконуватись спiввiдно-
шення
sj � logN, j = 1, d, i |Θ′(N)| �
(
logN
)d−1
.
Позначимо множини Q̃(N) =
⋃
s∈Θ(N)
ρ(s), Q̃′(N) =
⋃
s∈Θ′(N)
ρ(s).
Тодi T (Q̃(N)) i T (Q̃′(N)) — вiдповiдно множини тригонометричних
полiномiв з "номерами" гармонiк iз множин Q̃(N) i Q̃′(N).
Pозглянемо функцiю, яка аналогiчна до функцiї з прикладу 2
роботи [8].
Нехай Kn — ядро Фейєра порядку n, тобто
Kn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
cos kt.
Через ks позначимо вектор ks = (ks11 , ..., k
sd
d ), де
k
sj
j =
{
2sj−1 + 2sj−2, sj ≥ 2;
1, sj = 1, j = 1, d.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 159
Розглянемо функцiю
g(x) =
∑
s∈Θ′(N)
Ks(x),
де
Ks(x) = ei(k
s,x)
d∏
j=1
K2sj−2(xj).
У роботi [12] встановлено, що при G ∈ LM (B)∞ iснує вектор
y∗ = (y∗1 , ..., y
∗
d) такий, що
‖g(x− y∗)−Gg(x− y∗)‖∞ �M. (11)
Розглянемо функцiю
g1(x) = C5N
−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1(
logN
)− d−1
θ g(x), C5 > 0.
Покажемо, що функцiя g1 при вiдповiдному виборi сталої C5 на-
лежить до класу BΩ
p,θ.
Дiйсно, скориставшись властивостями ядра Фейера
‖Ks(·)‖p � 2‖s‖1(1− 1
p ) , 1 ≤ p ≤ ∞,
будемо мати
‖g1‖BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖As(g1, ·)‖θp
) 1
θ
�
� N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1(
logN
)− d−1
θ ×
×
∑
s∈Θ′(N)
Ω−θ(2−s)‖As(g, ·)‖θp
1
θ
�
�
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1(
logN
)− d−1
θ
∑
s∈Θ′(N)
2‖s‖1(1− 1
p )θ
1
θ
= I5.
160 А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук
Далi, враховуючи, що для s ∈ Θ′(N) ⊂ Θ(N) виконуються
спiввiдношення
2‖s‖1 � N 1
r
d∏
j=1
s
−
bj
r
j i sj � logN, j = 1, d, |Θ′(N)| �
(
logN
)d−1
,
будемо мати
I5 �
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1(
logN
)− d−1
θ ×
×
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr )1− 1
p |Θ′(N)| 1θ �
�
(
logN
)− d−1
θ
(
logN
) d−1
θ = 1.
Отже, g1 ∈ BΩ
p,θ, з вiдповiдною сталою C5 > 0.
У роботi [11] встановлено, що для t ∈ T (Q̃′(N)) має мiсце спiввiд-
ношення
‖t‖∞ � ‖t‖q
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
q (
logN
)(d−1)(1− 1
q )
.
Таким чином, скориставшись оцiнкою (11), отримаємо
‖g1(x− y∗)−Gg1(x− y∗)‖q �
� N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1(
logN
)− d−1
θ ×
×‖g(x− y∗)−Gg(x− y∗)‖q �
� N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1(
logN
)− d−1
θ ×
×
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr )− 1
q(
logN
)−(d−1)(1−1
q )‖g(x−y∗)−Gg(x−y∗)‖∞�
� N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr +d−1
) 1
p−
1
q−1(
logN
)(d−1)(− 1
p+ 2
q−
1
θ )
M �
�M−r
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)r
M
1
p−
1
q−1
(
logM
)(d−1)(− 1
p+ 2
q−
1
θ )
M =
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 161
= M−r+
1
p−
1
q
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r− 1
p+ 2
q−
1
θ
)
.
Нехай тепер 1 ≤ θ < q.
При доведеннi оцiнки знизу в цьому випадку використаємо мiр-
кування аналогiчнi до тих, якi використовувались у прикладi 4 ро-
боти [8].
Нехай оператор G належить LM (B)q, 1 < q < ∞. Розглянемо
оператор
A = (SQ(2lN) − SQ(N))G,
де SQ(N) — оператор знаходження частинної суми Фур’є, що вiд-
повiдає множинi Q(N). Тодi A ∈ LM (B)q i область значень опе-
ратора A є пiдпростiр AM простору T (Q̃(N)), розмiрнiсть якого
dimAM = M ≤ M . Iз теореми А випливає, що для f ∈ T (Q̃(N))
буде виконуватись
‖f −Af‖q = ‖(SQ(2lN) − SQ(N))(f −Gf)‖q � ‖f −Gf‖q.
Нехай
{
ψm(x)
}M
m=1
— ортонормований базис в AM . Розглянемо
для s ∈ Θ′(N) оператори As:
Ase
i(k,x) =
M∑
m=1
akmδs(ψm, x), k ∈ Q̃′(N).
Покладемо gs(x) = Ks(x) i розглянемо величини
Is = sup
y
‖gs(x− y)−As(gs(x− y))‖∞, s ∈ Θ′(N).
Позначимо bs = min
y=x
Re As(gs(x− y)). Тодi
Is ≥ gs(0)− bs. (12)
Далi, скориставшись лемою 5, будемо мати
bs ≤ Re
∑
|k|∈ρ(s)
M∑
m=1
ĝs(k)akmψ̂m(k), s ∈ Θ′(N),
162 А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук
звiдки знаходимо
∑
s∈Θ′(N)
bs ≤ Re
M∑
m=1
∑
k∈Q̃′(N)
ĝ(k)akmψ̂m(k) ≤
≤
M M∑
m=1
∑
k∈Q̃′(N)
|akmĝ(k)|2
1
2
≤M 1
2B
∑
k∈Q̃′(N)
|ĝ(k)|2
1
2
�
�M
1
2B|Q̃′(N)| 12 . (13)
Тут через |Q̃′(N)| позначено кiлькiсть елементiв множини Q̃′(N).
Далi, враховуючи, що |Θ′(N)| �
(
logN
)d−1, а також спiввiдно-
шення
|ρ(s)| � 2‖s‖1 � N 1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ,
будемо мати
|Q̃′(N)| � N 1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr +d−1
. (14)
З iншого боку,
g(0) � N 1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr +d−1 � |Q̃′(N)|. (15)
Враховуючи (13) i (14), можна пiдiбрати такеN , щоб |Q̃′(N)| �M
i права частина в (15) буде хоча б вдвiчi бiльшою нiж права части-
на (13).
Оскiльки g(0) =
∑
s∈Θ′(N)
gs(0), то iз (13) i (15) одержимо, що для
деякого s∗ ∈ Θ′(N) буде
gs∗(0)− bs∗ ≥
B(M |Q̃′(N)|) 1
2
|Θ′(N)|
�M
(
logN
)−(d−1)
.
Тодi iз (12), користуючись "нерiвнiстю рiзних метрик" Нiкольсь-
кого, одержимо, що для деякого y∗ виконується
‖Ks
∗
(x−y∗)−As∗(Ks
∗
(x−y∗))‖q = ‖gs∗(x−y∗)−As∗(gs∗(x−y∗))‖q �
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 163
� 2−
1
q ‖s‖1‖gs∗(x− y∗)−As∗(gs∗(x− y∗))‖∞ �
� 2−
1
q ||s||1M
(
logN
)−(d−1) �M1− 1
q
(
logM
)−(d−1)(1− 1
q )
.
Розглянемо функцiю
g2(x) = C6N
−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1
Ks
∗
(x), C6 > 0.
Покажемо, що функцiя g2 при вiдповiдному виборi сталої C6 на-
лежить до класу BΩ
p,θ.
Дiйсно,
‖As∗(g2, ·)‖p � N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1
‖Ks
∗
(·)‖p �
� N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1
2‖s
∗‖1(1− 1
p ) �
� N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr )1− 1
p
= N−1.
Тодi
‖g2‖BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖As(g2, ·)‖θp
) 1
θ
=
= Ω−1(2−s
∗
)‖As∗(g2, ·)‖p � Ω−1(2−s
∗
)N−1 � 1.
Таким чином, робимо висновок, що g2 ∈ BΩ
p,θ, з вiдповiдною ста-
лою C6 > 0.
Оскiльки
‖g2 −Gg2‖q � ‖g2 −As∗g2‖q,
будемо мати
‖g2(x− y∗)−Gg2(x− y∗)‖q �
�N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr ) 1
p−1
‖Ks
∗
(x−y∗)−As∗(Ks
∗
(x−y∗))‖q�
�M−r
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)r
M
1
p−1M1− 1
q
(
logM
)(d−1)(1− 1
p )−(d−1)(1− 1
q )
=
= M−r+
1
p−
1
q
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r− 1
p+ 1
q
)
.
164 А.Ф. Конограй, О.В. Федуник–Яремчук
Оцiнку знизу встановлено. Теорему доведено.
Зауваження 1. У випадку Ω(t) =
d∏
j=1
trj результати теореми
(для класiв Brp,θ, 1 ≤ θ <∞) отриманi А. С. Романюком [10].
Зауваження 2. Точнi за порядком оцiнки величин d⊥M (HΩ
p , Lq)
та dBM (HΩ
p , Lq) при значеннях параметрiв p i q, якi задовольняють
умову теореми, отриманi М. М. Пустовойтовим [11].
1. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциаль-
ные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1956. —
5. — C. 483 – 522.
2. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and Approximation of
Multivariate Periodic Functions with Bounded Mixed Moduli of Smoothness //
Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. — 1997. — 219. — С. 356 – 377.
3. Пустовойтов Н.Н. Представление и приближение периодических функ-
ций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывно-
сти // Anal. Math. — 1994. — 20, № 1. — C. 35 – 48.
4. Стасюк С.А., Федуник О.В. Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ
перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. — 2006. — 58,
№ 5. — C. 69 – 704.
5. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций смешанной
гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. — 1989. — 187. — C. 143 – 161.
6. Темляков В.Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких пе-
ременных // Докл. АН СССР. — 1982. — 267, № 2. — C. 314 – 317.
7. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной произ-
водной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178. — C. 1 – 112.
8. Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций
с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. — 1989. — 189. — C. 138 – 168.
9. Романюк А.С. Наилучшие приближения и поперечники классов периоди-
ческих функций многих переменных // Мат. сб. — 2008. — 199, № 2. —
C. 93 – 114.
10. Романюк А.С. Поперечники и наилучшие приближения классов Brp,θ пе-
риодических функций многих переменных // Anal. Math. — 2011. — 37,
№ 3. — C. 181 – 213.
11. Пустовойтов Н.Н. Ортопоперечники классов многомерных периодиче-
ских функций, мажоранта смешанных модулей непрерывности которых
содержит как степенные, так и логарифмические множители // Anal.
Math. — 2008. — 34, № 3. — C. 187 – 224.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ . . . 165
12. Конограй А.Ф. Оценки аппроксимативных характеристик классов BΩ
p,θ
периодических функций многих переменных с заданной мажорантой сме-
шанных модулей непрерывности // Мат. заметки. — 2014. — 95, № 5. —
C. 734 – 749.
13. Конограй А.Ф.,Федуник–Яремчук О.В. Оцiнки апроксимативних харак-
теристик класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних iз заданою ма-
жорантою мiшаних модулiв неперервностi // Теорiя наближення функцiй
та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013. —
10, № 1. — С. 148 – 160.
14. Пустовойтов Н.Н. Приближение многомерных функций с заданной ма-
жорантой смешанных модулей непрерывности // Мат. заметки. — 1999. —
65, № 1. — C. 107 – 117.
15. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения. — М.: Наука, 1977. — 456 c.
16. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их
применение в теории дифференцируемых функций многих переменных //
Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 1951. — 38. — С. 244 – 278.
17. Jakson D. Certain problem of closest approximation // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1933. — 39. — P. 889 – 906.
18. Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. — М.: Изд-во иностр. лит.,
1948. — 456 c.
19. Пустовойтов Н.Н. О приближении и характеризации периодических
функций многих переменных, имеющих мажоранту смешанных модулей
непрерывности специального вида // Anal. Math. — 2003. — 29, № 3. —
C. 201 – 218.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-72 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:04Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/64/546b5bd3096bf4c305408a1a67926864.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-722018-01-29T14:44:04Z Estimates of orthoprojection widths of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity Оцінки ортопроекційних поперечників класів $B^{\Omega}_{p,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. We obtain exact order estimates of approximation of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables in the space $L_q$ by using operators of orthogonal projection as well as linear operators subjected to some conditions Oдержано точні за порядком оцінки наближення класів $B^{\Omega}_{p,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $ L_q$ за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, які підпорядковані деяким умовам Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/72 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 146-165 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 146-165 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 146-165 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/72/68 |
| spellingShingle | Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. Estimates of orthoprojection widths of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity |
| title | Estimates of orthoprojection widths of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity |
| title_alt | Оцінки ортопроекційних поперечників класів $B^{\Omega}_{p,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності |
| title_full | Estimates of orthoprojection widths of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity |
| title_fullStr | Estimates of orthoprojection widths of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity |
| title_full_unstemmed | Estimates of orthoprojection widths of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity |
| title_short | Estimates of orthoprojection widths of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity |
| title_sort | estimates of orthoprojection widths of classes $b^{\omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/72 |
| work_keys_str_mv | AT konograiaf estimatesoforthoprojectionwidthsofclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofseveralvariableswithgivenmajorantofmixedmoduliofcontinuity AT fedunykyaremchukov estimatesoforthoprojectionwidthsofclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofseveralvariableswithgivenmajorantofmixedmoduliofcontinuity AT konograjaf estimatesoforthoprojectionwidthsofclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofseveralvariableswithgivenmajorantofmixedmoduliofcontinuity AT fedunikâremčukov estimatesoforthoprojectionwidthsofclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofseveralvariableswithgivenmajorantofmixedmoduliofcontinuity AT konograiaf ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT fedunykyaremchukov ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT konograjaf ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT fedunikâremčukov ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností |