Spectral analysis of two star graph with infinite chains
The detailed spectral analysis of two star graph with semibounded infinite chains is given. The spectrum of self-adjoint operator which is generated by the adjacency matrix of the graph is defined, the spectral measure is constructed, eigenvectors and spectral expansion in eigenvectors are provided
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/73 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552603850637312 |
|---|---|
| author | Lebid’, V. O. Лебідь, В. О. |
| author_facet | Lebid’, V. O. Лебідь, В. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. О. Лебідь",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Lebid’, V. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | The detailed spectral analysis of two star graph with semibounded infinite chains is given. The spectrum of self-adjoint operator which is generated by the adjacency matrix of the graph is defined, the spectral measure is constructed, eigenvectors and spectral expansion in eigenvectors are provided |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 166–172
УДК 517.983
В. О. Лебiдь (Iн–т математики НАН України, Київ)
СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛIЗ ДВОЗIРКОВОГО ГРАФА
З НЕСКIНЧЕННИМИ ПРОМЕНЯМИ
The detailed spectral analysis of two star graph with semibounded infinite
chains is given. The spectrum of self-adjoint operator which is generated by the
adjacency matrix of the graph is defined, the spectral measure is constructed,
eigenvectors and spectral expansion in eigenvectors are provided.
Проведено детальний спектральний аналiз двозiркового графа з нескiн-
ченними променями. Охарактеризовано спектр самоспряженого опера-
тора, який породжений матрицею сумiжностi даного графа, побудовано
спектральну мiру, наведенi у явнiй формi власнi вектори та спектраль-
ний розклад за власними векторами.
Нехай S(n,∞;n,∞) — двозiрковий зв’язний граф, який скла-
дається iз двох однакових зiркових графiв S(n,∞)(лiвого i правого)
з n нескiнченними променями, центри яких з’єднанi одним ребром.
q q qq q q
q q q
q q q
qqq qqq
qqq
qqq
qq
q
qq
q
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
sss sx−10 x10
@
@
@
@
@
@
x1,−12
x1,−11
�
�
�
�
�
�
xn,−12
xn,−11
�
�
�
�
�
�
x1,12
x1,11
@
@
@
@
@
@
xn,12
xn,11�
�
�
�
�
�
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
�
�
�
�
�
�
c© В. О. Лебiдь, 2014
Спектральний аналiз двозiркового графа з нескiнченними . . . 167
Матриця сумiжностi такого графа породжує обмежений само-
спряжений оператор A у гiльбертовому просторi l2(V ), де V — мно-
жина вершин графа S(n,∞;n,∞) (див. [1]). Оператор A дiє на век-
тор x = (xk0 , x
j,k
i )∞ n
i=1,j=1,k=±1 ∈ l2(V ) так
(Ax)k0 =
n∑
j=1
xj,k1 + x−k0 , (Ax)j,ki = xj,ki−1 + xj,ki+1,
xj,k0 ≡ xk0 для кожного k = ±1, j = 1, n, i ≥ 1.
(1)
Тут компоненти векторiв x та Ax iз простору l2(V ), що вiдповi-
дають центрам двозiркових графiв позначаємо нижнiм iндексом 0 та
верхнiм iндексом k(k = −1 для лiвого зiркового графа та k = 1 для
правого зiркового графа). Компоненту, що вiдповiдає i-й вершинi
на j-му променi позначаємо нижнiм iндексом i та двома верхнiми
iндексами j, k.
Теорема 1. Двозiрковому графу S(n,∞;n,∞) вiдповiдає обме-
жений самоспряжений оператор A вигляду (1), який визначений
на всьому просторi l2(V ). Iснує унiтарний оператор U такий, що
UAU−1 = J
√
n
1 ⊕ J
√
n
−1 ⊕ J0 ⊕ . . .⊕ J0︸ ︷︷ ︸
2n−2
, (2)
де J
√
n
±1 , J0 — матрицi Якобi, що мають вигляд
J
√
n
±1=
±1
√
n 0 0 0 . . .√
n 0 1 0 0 . . .
0 1 0 1 0 . . .
...
...
...
...
...
. . .
та J0=
0 1 0 0 0 . . .
1 0 1 0 0 . . .
0 1 0 1 0 . . .
...
...
...
...
...
. . .
.
Доведення. Нехай {ek0 , e
j,k
i }nj=1,i∈N,k=±1 — стандартний базис у
просторi l2(V ), пов’язаний iз вказаною нумерацiєю вершин V двозiр-
кового графа S(n,∞;n,∞). Розглянемо дiйсну унiтарну матрицю
U = ‖uij‖ni,j=1, у якої перший рядок складається iз чисел 1√
n
, тобто
u1j =
1√
n
, j = 1, . . . n. Оскiльки матриця U — дiйсна i унiтарна, то
n∑
j=1
ukjumj = δkm,
168 В.О. Лебiдь
де δkm — символ Кронекера. Звiдси випливає, що
n∑
j=1
uij = 0 при i = 2, . . . n.
Розглянемо у просторi l2(V ) новий базис {êk0 , ê
j,k
i }nj=1,i∈N,k=±1 та-
кий, що
êk0 =
1√
2
(
ek0+ke
−k
0
)
, êj,ki =
1√
2
(
n∑
m=1
ujme
m,k
i + k
n∑
m=1
ujme
m,−k
i
)
для кожного i ∈ N, j = 1, 2, . . . n, k = ±1.
Згiдно з (1) оператор A дiє на вихiдний базис так
(Ae)k0 =
n∑
j=1
ej,k1 + e−k0 , (Ae)j,ki = ej,ki−1 + ej,ki+1,
ej,k0 ≡ ek0 для кожного k = ±1, j = 1, n, i ≥ 1.
Враховуючи зв’язок мiж новим та вихiдним базисами, маємо
Aêk0 = kêk0 +
√
nê1,k1 , Aê1,k1 =
√
nêk0 + ê1,k2 ,
Aêj,ki = êj,ki−1 + êj,ki+1 для кожного k = ±1, j = 2, n та i ≥ 2
Таким чином, пiдпростори H1,k ⊂ l2(V ), у яких вектори
{êk0 , ê
1,k
1 , . . . , ê1,ki , . . .} (k = ±1) утворюють стандартний базис, є iн-
варiантними для оператора A, i A дiє в H1,k як матриця J
√
n
k . Пiд-
простори Hj,k з базисом {êj,k1 , . . . , êj,ki , . . .} при кожному j = 2, n та
k = ±1 є iнварiантними для оператора A, який в Hj,k зводиться до
матриць Якобi J0. Оператор U у просторi l2(V ), який переводить ба-
зис {ek0 , e
j,k
i }nj=1,i∈N,k=±1 у базис {êk0 , ê
j,k
i }nj=1,i∈N,k=±1, є унiтарним, i
задовольняє твердження теореми.
Теорему доведено.
Отже, за розкладом (2) оператора A бачимо, що спектральний
аналiз оператора A зводиться до спектрального аналiзу матриць
Якобi J
√
n
±1 .
Спектральний аналiз двозiркового графа з нескiнченними . . . 169
Теорема 2. Матриця Якобi J
√
n
1 породжує у просторi l2 об-
межений самоспряжений оператор, спектр якого складається iз
абсолютно неперервної компоненти, що збiгається iз iнтервалом
[−2, 2], та власних значень λ, що є нулями полiнома
p+(λ) = n2 + 1 + (n− 2)λ− (n− 1)λ2, (3)
для яких число µ = λ−1
n з умовою |µ| < 1. Таким власним значенням
вiдповiдають власнi вектори вигляду
eµ =
(
1√
n
, µ, µ2, µ3, . . . , µj , . . .
)
. (4)
При n = 2 та n = 3 iснує лише одне просте додатнє власне
значення λ =
√
5 та λ = 5
2 вiдповiдно, а при n ≥ 4 – їх два.
При цьому, кожному λ ∈ [−2, 2] вiдповiдає узагальнений власний
вектор
ϕλ =
(√
nP0(λ), P1(λ)−P0(λ), . . . , Pj(λ)−Pj−1(λ)−(n−1)Pj−2(λ), . . .
)
.
(5)
Справедливий розклад за приведеними власними векторами та
рiвнiсть Парсеваля зi спектральною щiльнiстю ρ(λ) =
√
4−λ2
2πp+(λ) непе-
рервного спектру.
Доведення. Матриця Якобi J
√
n
1 породжує у просторi l2(N0) об-
межений самоспряжений оператор, який будемо позначати тiєю ж
лiтерою J
√
n
1 . Оператор J
√
n
1 дiє на вектор x = (x0, x1, x2, . . .) ∈ l2(N0)
так
J
√
n
1 x = (x0 +
√
nx1,
√
nx0 + x2, . . . , xk−1 + xk+1, . . .).
Iз вигляду оператора J
√
n
1 випливає, що вектори eµ (|µ| < 1)
вигляду (4) є його власними векторам, що вiдповiдають власним зна-
ченням λ, якi є нулями полiнома (3). Для кожного λ ∈ [−2, 2] вектор
ϕλ задовольняє рiвнiсть J
√
n
1 ϕλ = λϕλ.
Легко перевiрити, що (eµ, ϕλ)l2 = 0. Вектор x ∈ l2(N0) буде орто-
гональним до вектора eµ тодi й тiльки тодi, коли
1√
n
x0 +
∞∑
k=1
µkxk = 0. (6)
170 В.О. Лебiдь
Розглянемо перетворення Фур’є за власними функцiями (5).
Враховуючи явний вигляд узагальненої власної функцiї ϕλ, для
x ∈ l2(N0), x⊥eµ маємо
x̃(λ) = (x, ϕλ)l2 = (
√
nx0−x1 − (n− 1)x2)P0(λ)+
+
∞∑
k=1
(xk − xk+1 − (n− 1)xk+2)Pk(λ).
(7)
Рiвнiсть (7) можна розглядати як розклад функцiї x̃(λ)
за ортонормованою системою полiномiв {Pk(λ)}∞k=0 у просторi
L2([−2, 2], ρ0(λ)dλ), де ρ0(λ) = 1
2π
√
4− λ2 (див., наприклад, [2]). То-
му∫ 2
−2
x̃(λ)Pk(λ)ρ0(λ)dλ =
{√
nx0 − x1 − (n− 1)x2, якщо k = 0,
xk − xk+1 − (p− 1)xk+2, якщо k ≥ 1.
(8)
Домножимо вираз (8) на µk i просумуємо за k. Оскiльки x⊥eµ i вико-
нуються рiвностi (6), аналогiчно, як у [3], iз врахуванням факту, що
функцiя 1
1−µλ+µ2 =
∑∞
k=0 µ
kPk(λ) є твiрною для системи полiномiв
{Pk(λ)}∞k=0, отримуємо
xk =
∫ 2
−2
x̃(λ)ϕλ,kρ(λ)dλ, k = 1, 2 . . . .
Таким чином, кожний вектор x ∈ l2(N), ортогональний до eµ,
розкладається за узагальненими власними функцiями ϕλ зi спек-
тральною мiрою ρ(λ)dλ, що є абсолютно неперервною вiдносно мiри
Лебега на iнтервалi [−2, 2]. Тому спектр оператора J
√
n
1 мiстить од-
нократну абсолютно неперервну компоненту, що збiгається з iнтер-
валом [−2, 2], та дискретнi власнi значення (їх кiлькiсть залежить
вiд n). Теорему доведено.
Теорема 3. Матриця Якобi J
√
n
−1 породжує у просторi l2 об-
межений самоспряжений оператор, спектр якого складається iз
абсолютно неперервної компоненти, що збiгається iз iнтервалом
[−2, 2], та власних значень λ, що є нулями полiнома
p−(λ) = n2 + 1− (n− 2)λ− (n− 1)λ2,
Спектральний аналiз двозiркового графа з нескiнченними . . . 171
для яких число µ = λ+1
n з умовою |µ| < 1. Таким власним значенням
вiдповiдають власнi вектори вигляду
eµ = (
1√
n
, µ, µ2, µ3, . . . , µj , . . .).
При n = 2 та n = 3 iснує лише одне просте вiд’ємне власне
значення λ = −
√
5 та λ = − 5
2 вiдповiдно, а при n ≥ 4 — їх два.
При цьому, кожному λ ∈ [−2, 2] вiдповiдає узагальнений власний
вектор
ϕλ =
(√
nP0(λ), P1(λ)+P0(λ), . . . , Pj(λ)+Pj−1(λ)−(n−1)Pj−2(λ), . . .
)
.
Справедливi розклад за приведеними власними векторами та
рiвнiсть Парсеваля зi спектральною щiльнiстю ρ(λ) =
√
4−λ2
2πp−(λ)
неперервного спектру.
Доведення теореми аналогiчне доведенню теореми 2.
Iз теорем 1 – 3 випливає, що спектр двозiркового зв’язного гра-
фа S(n,∞;n,∞) складається iз 2n-кратної абсолютно неперерв-
ної компоненти, що збiгається з iнтервалом [−2, 2], та при
n = 2, n = 3 ще iз двох простих власних значень λ = ±
√
5
та λ = ± 5
2 вiдповiдно. При n ≥ 4 спектр мiстить чотири про-
стi власнi значення λ = ±n−2±
√
(n−2)2+4(n−1)(n2+1)
2(n−1) . Iндекс графа
S(n,∞;n,∞), тобто спектральний радiус оператора A, визначається
числом ind S(n,∞;n,∞) =
n−2+
√
(n−2)2+4(n−1)(n2+1)
2(n−1) при n ≥ 2.
При n = 1 двозiрковий граф S(1,∞; 1,∞) є нескiнченним в обид-
ва боки ланцюгом, спектр якого складається лише з двократної аб-
солютно неперервної компоненти, що збiгається iз iнтервалом [−2, 2],
ind S(1,∞; 1,∞) = 2 (див., наприклад, [4, 5]).
Робота виконана в рамках проекту 03-01-12 "Оберненi задачi в
сучаснiй математичнiй фiзицi" спiльних проектiв НАН України та
Сибiрського вiддiлення РАН.
Автор висловлює щиру подяку Л.П.Нижнику та
Ю.С.Самойленку за конструктивнi зауваження.
1. Москалёва Ю.П., Самойленко Ю.С. Введение в спектральную теорию
графов. — К.: Центр учебной литературы, 2007. — 114 с.
172 В.О. Лебiдь
2. Simon B. Szego’s Theorem and Its Descendants: Spectral Theory for
L2 Perturbations of Orthogonal Polynomials, Princeton University Press,
Princeton, NY. — 2011. — xii. — 650 p.
3. Лебiдь В.О., Нижник Л.П. Спектральний аналiз зiркового графа з одним
нескiнченним променем // Науковi записки НаУКМА. — 2013. — 139. —
C. 18 – 22.
4. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряжен-
ных операторов. – К.: Наукова думка, 1965. — 798 с.
5. Лебiдь В.О., Нижник Л.П. Спектральний аналiз локально скiнченних
графiв з одним нескiнченним променем // Доп. НАН України. — 2014. —
№ 3. — C. 29 – 35.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-73 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:04Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/01/92d8fc7f77bbcb190cc179b8c04ad901.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-732018-01-29T14:44:04Z Spectral analysis of two star graph with infinite chains Спектральний аналіз двозіркового графа з нескінченними променями Lebid’, V. O. Лебідь, В. О. The detailed spectral analysis of two star graph with semibounded infinite chains is given. The spectrum of self-adjoint operator which is generated by the adjacency matrix of the graph is defined, the spectral measure is constructed, eigenvectors and spectral expansion in eigenvectors are provided Проведено детальний спектральний аналіз двозіркового графа з нескінченними променями. Охарактеризовано спектр самоспряженого оператора, який породжений матрицею суміжності даного графа, побудовано спектральну міру, наведені у явній формі власні вектори та спектральний розклад за власними векторами Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/73 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 166-172 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 166-172 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 166-172 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/73/70 |
| spellingShingle | Lebid’, V. O. Лебідь, В. О. Spectral analysis of two star graph with infinite chains |
| title | Spectral analysis of two star graph with infinite chains |
| title_alt | Спектральний аналіз двозіркового графа з нескінченними променями |
| title_full | Spectral analysis of two star graph with infinite chains |
| title_fullStr | Spectral analysis of two star graph with infinite chains |
| title_full_unstemmed | Spectral analysis of two star graph with infinite chains |
| title_short | Spectral analysis of two star graph with infinite chains |
| title_sort | spectral analysis of two star graph with infinite chains |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/73 |
| work_keys_str_mv | AT lebidvo spectralanalysisoftwostargraphwithinfinitechains AT lebídʹvo spectralanalysisoftwostargraphwithinfinitechains AT lebidvo spektralʹnijanalízdvozírkovogografazneskínčennimipromenâmi AT lebídʹvo spektralʹnijanalízdvozírkovogografazneskínčennimipromenâmi |