On uniform deviation from the space of continuous function
It's proven that for the normal space $X$ and any function $f\!:X\!\rightarrow\!\mathbb{R}$ the uniform distance $d(f,C(X))$ of function $f$ from the space $C(X)$ of all continuous functions $g\!:X\!\rightarrow \!\mathbb{R}$ is equal to the half of the uniform norm $\|\omega_{f}\|$ of the f...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/74 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552605405675520 |
|---|---|
| author | Maslyuchenko, V. K. Mel’nyk, V. S. Маслюченко, В. К. Мельник, В. С. |
| author_facet | Maslyuchenko, V. K. Mel’nyk, V. S. Маслюченко, В. К. Мельник, В. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. К. Маслюченко",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
},
{
"author": "В. С. Мельник",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
}
] |
| author_sort | Maslyuchenko, V. K. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | It's proven that for the normal space $X$ and any function $f\!:X\!\rightarrow\!\mathbb{R}$ the uniform distance $d(f,C(X))$ of function $f$ from the space $C(X)$ of all continuous functions $g\!:X\!\rightarrow \!\mathbb{R}$ is equal to the half of the uniform norm $\|\omega_{f}\|$ of the function's $f$ oscillation $\omega_{f}$ and it is reached on some function $g$ from $C(X)$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 173–181
УДК 517.5
В.К. Маслюченко, В.С. Мельник (Чернiвецький нацiональний
унiверситет iменi Ю.Федьковича, Чернiвцi)
ПРО РIВНОМIРНЕ ВIДХИЛЕННЯ ВIД ПРОСТОРУ
НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ
It’s proven that for the normal space X and any function f : X→R the uniform
distance d(f, C(X)) of function f from the space C(X) of all continuous
functions g : X → R is equal to the half of the uniform norm ‖ωf‖ of the
function’s f oscillation ωf and it is reached on some function g from C(X).
Доведено, що для нормального простору X i довiльної функцiї f : X → R
рiвномiрне вiдхилення d(f, C(X)) функцiї f вiд простору C(X) всiх непе-
рервних функцiй g : X → R дорiвнює половинi рiвномiрної норми ‖ωf‖
коливання ωf функцiї f , причому воно досягається на деякiй функцiї g з
C(X).
1. Вступ. У працi Й.Бен’ямiнi та Й.Лiнденштраусса [1, с. 23]
був отриманий один результат про рiвномiрну вiдстань d(f, Cb(X))
вiд довiльної обмеженої функцiї f : X → R, заданої на паракомпакт-
ному просторi X, до простору Cb(X) всiх неперервних i обмежених
функцiй g : X → R. Доведення базувалося на вiдомiй теоремi Гана–
Д’єдонне–Тонґа–Катетова (див. [2, с. 105] i вказану там лiтературу),
яку автори довели для паракомпактного простору за допомогою тео-
реми Майкла про селекцiю. Мiж тим, ця теорема справджується для
нормальних просторiв i є для них характеристичною. Крiм того, в
[3] незалежно вiд [1] було знайдено рiвномiрне вiдхилення деяких
функцiй f : R → R вiд простору C(R) усiх неперервних функцiй
g : R→ R, зокрема, для необмеженої функцiї f(x) = [x].
Тому постало природне питання про розширення згаданого ре-
зультату з [1], тобто про знаходження рiвномiрного вiдхилення
d(f, C(X)) = inf
g∈C(X)
sup
x∈X
|f(x)− g(x)|
довiльної функцiї f : X → R вiд простору C(X) усiх неперервних
функцiй g : X → R. Саме це i здiйснюється у данiй працi.
c© В.К. Маслюченко, В.С. Мельник, 2014
174 В.К. Маслюченко, В.С. Мельник
2. Вiдхилення та рiвномiрне вiдхилення. Нагадаємо [4,
с. 11], що вiдхилення на множинi M — це функцiя d :M2 → [0,+∞],
яка задовольняє умови:
E1. d(f, f) = 0 для кожного f ∈M ;
E2. d(f, g) = d(g, f) для довiльних f i g з M ;
E3. d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g) для довiльних f , g i h з M .
Якщо 0 ≤ d(f, g) < +∞ i з умови d(f, g) = 0 випливає, що f = g,
то вiдхилення d називається вiдстанню або метрикою на M . Вiдхи-
лення ж може набувати i значення +∞.
Нехай (M,d) — простiр з вiдхиленням d на M , ∅ 6= E ⊆ M i
f ∈M . Число
d(f,E) = inf
{
d(f, g) : g ∈ E
}
називається вiдхиленням елемента f вiд множини E. Зрозумiло,
що 0 ≤ d(f,E) ≤ +∞. Якщо d — метрика, то 0 ≤ d(f,E) < +∞.
Зокрема, нехай X — довiльна множина i M = RX — сукупнiсть
усiх функцiй f : X → R. Для кожної функцiї f ∈ RX покладемо
‖f‖ = sup
x∈X
|f(x)|.
Легко перевiрити, що функцiя f 7→ ‖f‖ має такi властивостi:
N1. 0 ≤ ‖f‖ ≤ +∞ для кожного f ∈ RX ;
N2. ‖f‖ = 0⇔ f = 0 для кожного f ∈ RX ;
N3. ‖λf‖ = |λ|‖f‖ для довiльних λ ∈ R i f ∈ RX ;
N4. ‖f + g‖ ≤ ‖f‖+ ‖g‖ для будь-яких f, g ∈ RX .
Допускаючи вiльнiсть мови, назвемо введену функцiю ‖ · ‖ рiвно-
мiрною нормою на RX , хоча вона може набувати i значення +∞.
З властивостей N1 –N4 нескладно вивести, що формулою
d(f, g) = ‖f − g‖
визначається вiдхилення на множинi RX , яке ми будемо називати
рiвномiрним вiдхиленням. Це вiдхилення породжує рiвномiрне вiд-
хилення
d(f,E) = inf
{
‖f − g‖ : g ∈ E
}
функцiї f : X → R вiд непорожньої пiдмножини E простору RX ,
зокрема, рiвномiрне вiдхилення d(f, C(X)) функцiї f вiд простору
Про рiвномiрне вiдхилення вiд простору неперервних функцiй 175
C(X) всiх неперервних функцiй g : X → R, якщо X — це топологiч-
ний простiр.
Для iлюстрацiї знайдемо вiдхилення d(f, C(R)) для деяких розри-
вних функцiй. Символом χA ми будемо позначати характеристичну
функцiю χA : X → R множини A ⊆ X, для якої χA(x) = 1, якщо
x ∈ A, i χA(x) = 0, якщо x ∈ X \A.
Твердження 1. Нехай f = sgn = χ[0,+∞)−χ(−∞,0] i 0 — нульова
функцiя на R. Тодi
d(f, C(R)) = ‖f − 0‖ = ‖f‖ = 1.
Доведення. Оскiльки 0 ∈ C(R) i ‖f‖ = 1, то d(f, C(R)) ≤
≤ ‖f − 0‖ = ‖f‖ = 1. Вiзьмемо довiльну функцiю g ∈ C(R) i дове-
демо, що d(f, g) = ‖f − g‖ ≥ 1.
Припустимо, що g(0) ≤ 0. Зауважимо, що
‖f − g‖ ≥ |f(x)− g(x)| = |1− g(x)|
для кожного x > 0. Тому з неперервностi функцiї g у точцi 0 випли-
ває, що
‖f − g‖ ≥ lim
x→+0
|1− g(x)| = |1− g(0)| = 1− g(0) ≥ 1.
Якщо ж g(0) > 0, то
‖f − g‖ ≥ lim
x→−0
| − 1− g(x)| = 1 + g(0) > 1.
Таким чином, ‖f − g‖ ≥ 1 для кожного g ∈ C(R). От-
же, d(f, C(R)) ≥ 1. З отриманих нерiвностей випливає, що
d(f, C(R)) = 1.
Твердження 2. Нехай f(x) = [x] — цiла частина дiйсного числа
x i g0(x) = x− 1
2 на R. Тодi
d(f, C(R)) = ‖f − g0‖ =
1
2
.
Доведення. Спочатку покажемо, що ‖f − g0‖ = 1
2 . Нехай n ∈ Z
i n ≤ x < n+ 1. Тодi f(x) = [x] = n,
−1
2
= n− n− 1 +
1
2
< f(x)− g0(x) = n− x+
1
2
≤ n− n+
1
2
=
1
2
,
176 В.К. Маслюченко, В.С. Мельник
i f(n) − g0(n) = n − n + 1
2 = 1
2 . Звiдси випливає, що для кожного
n ∈ Z
max
n≤x<n+1
|f(x)− g0(x)| =
1
2
,
а значить, i
‖f−g0‖=sup
{
|f(x)−g0(x)| : x∈R
}
=max
{
|f(x)−g0(x)| : x∈R
}
=
1
2
.
Тепер вiзьмемо довiльну функцiю g ∈ C(R) i доведемо, що
‖f − g‖ ≥ 1
2 . У випадку g(0) ≤ − 1
2 будемо мати
‖f − g‖ ≥ |f(0)− g(0)| = |g(0)| = −g(0) ≥ 1
2
.
Якщо ж g(0)> − 1
2 , то оскiльки при −1<x<0 маємо, що f(x)=−1 i
‖f − g‖ ≥ |f(x)− g(x)| = | − 1− g(x)| = |1 + g(x)|,
то
‖f − g‖ ≥ lim
x→−0
|1 + g(x)| = |1 + g(0)| = 1 + g(0) > 1− 1
2
=
1
2
.
Так чи iнакше виходить, що ‖f − g‖ ≥ 1
2 для кожного g ∈ C(R), а
значить, d(f, C(R)) ≥ 1
2 , бiльше того, d(f, C(R)) = 1
2 , бо ‖f − g0‖ =
1
2
i g0 ∈ C(R).
Зауваження 1. Позначимо символом C0(R) множину всiх
функцiй g : R → R, якi неперервнi в точцi 0. Як показує доведення
твердження 1, не тiльки d(sgn,C(R)) = 1, а й d(sgn,C0(R)) = 1.
Зауваження 2. Зрозумiло, що у доведеннi твердження 2 точку
0 можна замiнити будь-яким цiлим числом n, i тому для f(x) = [x]
справедлива рiвнiсть d(f,E) = 1
2 , якщо E — це сукупнiсть усiх функ-
цiй g : R→ R, якi неперервнi хоча б в однiй цiлiй точцi n.
3. Функцiї Бера i коливання. Для топологiчного простору X
i точки x ∈ X символом Ux позначимо систему всiх околiв точки x
в X. Нехай f : X → R — деяка функцiя. Покладемо для кожного
U ∈ Ux
Mf (U) = sup
x∈U
f(x) i mf (U) = inf
x∈U
f(x).
Про рiвномiрне вiдхилення вiд простору неперервних функцiй 177
Формулами
f∨(x) = inf
U∈Ux
Mf (U) та f∧(x) = sup
U∈Ux
mf (U)
визначаються функцiї f∨, f∧ : X → R = [−∞,+∞], якi називають-
ся вiдповiдно верхньою та нижньою функцiєю Бера чи верхньою та
нижньою граничними функцiями [5, с. 61]. В аналiзi їх ще познача-
ють так:
f∨(x) = lim
u→x
f(u) та f∧(x) = lim
u→x
f(u).
Добре вiдомо, що функцiя f∨ напiвнеперервна зверху, а функцiя
f∧ — знизу. Крiм того, f∧(x) ≤ f(x) ≤ f∨(x) на X.
Для непорожньої множини E ⊆ X число
ωf (E) = sup
x′,x′′∈E
|f(x′)− f(x′′)|
називається коливанням функцiї f на множинi E, а число
ωf (x) = inf
U∈Ux
ωf (U)
— коливанням функцiї f у точцi x. Функцiя ωf : X → [0,+∞] на-
зивається коливанням функцiї f . Рiвнiсть ωf (x) = 0 рiвносильна
неперервностi функцiї f у точцi x. Для коливання справджується
формула:
ωf = f∨ − f∧.
Оскiльки −∞ < f∨(x) ≤ +∞ i −∞ ≤ f∧(x) < +∞, то рiзниця
f∨(x)−f∧(x) завжди визначена i дорiвнює +∞ тодi i тiльки тодi, ко-
ли f∨(x) = +∞ або f∧(x) = −∞. Коливання ωf : X → [0,+∞] — це
напiвнеперервна функцiя i його рiвномiрна норма ‖ωf‖ = sup{ωf (x) :
x ∈ X}, причому ‖ωf‖ = +∞, якщо ωf (x) = +∞ для деякої точки
x ∈ X.
4. Теорема Гана–Д’єдонне–Тонґа–Катетова. Виклад основ-
ного результату статтi буде спиратися на одне твердження, яке ми
називаємо теоремою Гана–Д’єдонне–Тонґа–Катетова.
Теорема A. T1-простiр X буде нормальним тодi i тiльки тодi,
коли для довiльних функцiй g : X → R i h : X → R, таких, що
178 В.К. Маслюченко, В.С. Мельник
g(x) ≤ h(x) на X, g — напiвнеперервна зверху i h — напiвнеперервна
знизу, iснує така неперервна функцiя f : X → R, що g(x) ≤ f(x) ≤
≤ h(x) на X.
Для метричного простору X iснування такої неперервної функцiї
f : X → R, яка лежить мiж неперервними зверху i знизу вiдповiдно
функцiями g i h, такими, що g(x) ≤ h(x) наX, вперше довiв Г. Ган [6].
При цьому вiн застосував це твердження для доведення того, що ро-
зривна функцiя f : X → R, у якої коливання ωf (x) ≤ k, може бути
поданою у виглядi суми f = g+h неперервної функцiї g i функцiї h,
для якої |h(x)| ≤ k
2 . Звiдси легко виводиться, що d(f, C(X)) ≤ 1
2‖ωf‖.
Оскiльки обернену нерiвнiсть нескладно пояснити (див. далi п. 4), то
фактично у Г. Гана доведено, що d(f, C(X)) = 1
2‖ωf‖ для метричних
просторiвX. Ж.Д’єдонне [7] перенiс результат Гана на паракомпакт-
нi простори X(див. також [1], де розглянутий цей випадок). Саму ж
теорему А довели Г.Тонґ [8, 9] i М.Катетов [10, 11]. Схема доведення
теореми А подана у монографiї Р. Енгелькiнга [2, с. 105].
Вiдомi також аналоги теореми А: теорема Даукера–Катетова [10 –
12] i теорема Майкла [13]. Детальну iнформацiю на цю тему можна
отримати з праць [14, 15]. Теорема А застосовувалась i в працi [16].
5. Основний результат. Наступна теорема розвиває результати
праць [1, с. 23] i [6]. Вона була анонсована в тезах [19, 20].
Теорема 1. Нехай X — нормальний простiр i f : X → R —
довiльна функцiя. Тодi d(f, C(X)) = 1
2‖ωf‖, причому iснує функцiя
g ∈ C(X), така, що d(f, C(X)) = ‖f − g‖.
Доведення. Нехай 1
2‖ωf‖ = δ. Доведемо, що d(f, C(X)) ≥ δ.
Нехай g ∈ C(X), x ∈ X, U ∈ Ux i x′, x′′ ∈ U . Тодi
|f(x′)− f(x′′)| = |f(x′)− g(x′) + g(x′)− g(x′′) + g(x′′)− f(x′′)| ≤
≤ |f(x′)− g(x′)|+ |g(x′)− g(x′′)|+ |g(x′′)− f(x′′)| ≤
≤ ‖f − g‖+ ωg(U) + ‖g − f‖ = ωg(U) + 2‖f − g‖.
Переходячи до супремуму, отримаємо оцiнку
ωf (U) ≤ ωg(U) + 2‖f − g‖.
Про рiвномiрне вiдхилення вiд простору неперервних функцiй 179
Переходячи до iнфiмуму, будемо мати
ωf (x) = inf
U∈Ux
ωf (U) ≤ inf
U∈Ux
(ωg(U) + 2‖f − g‖) =
= inf
U∈Ux
ωg(U) + 2‖f − g‖ = ωg(x) + 2‖f − g‖ = 2‖f − g‖,
бо ωg(x) = 0, адже функцiя g неперервна в точцi x. Таким чином,
ωf (x) ≤ 2‖f − g‖
для кожного x ∈ X, а значить, ‖ωf‖ ≤ 2‖f −g‖. Звiдки випливає, що
‖f − g‖ ≥ 1
2‖ωf‖ = δ. Тодi i
d(f, C(X)) = inf
g∈C(X)
‖f − g‖ ≥ δ.
Зокрема, коли ‖ωf‖ = +∞, то δ = +∞ i справджується рiвнiсть
d(f, C(X)) = δ = +∞.
Припустимо, що ‖ωf‖ < +∞ i доведемо, що d(f, C(X)) ≤ δ. Для
цього розглянемо функцiї ϕ = f∨−δ i ψ = f∧+δ, якi будуть напiвне-
перервними вiдповiдно зверху i знизу. Оскiльки 0 ≤ ωf (x) ≤ ‖ωf‖ <
< +∞ i ωf = f∨−f∧, то функцiї f∨ i f∧ набувають лише скiнченних
значень. Оскiльки ‖ωf‖ = 2δ i
f∨(x)− f∧(x) = ωf (x) ≤ ‖ωf‖ = 2δ,
то
ϕ(x) = f∨(x)− δ ≤ f∧(x) + δ = ψ(x)
на множинi X. За теоремою А iснує така неперервна функцiя g :
X → R, що ϕ(x) ≤ g(x) ≤ ψ(x) на X. Для неї
g(x)− δ ≤ ψ(x)− δ = f∧(x) ≤ f(x) ≤ f∨(x) = ϕ(x) + δ ≤ g(x) + δ
на X. Отже,
g(x)− δ ≤ f(x) ≤ g(x) + δ
на X. Звiдки випливає, що −δ ≤ f(x) − g(x) ≤ δ на X, а значить
|f(x)− g(x)| ≤ δ на X, отже, i ‖f − g‖ ≤ δ. Тому
d(f, C(X)) ≤ ‖f − g‖ ≤ δ,
180 В.К. Маслюченко, В.С. Мельник
бо g ∈ C(X). Таким чином, d(f, C(X)) ≤ δ, а значить, d(f, C(X)) = δ.
При цьому ‖f−g‖ = δ. Якщо ‖ωf‖ = +∞, то ‖f−0‖ = +∞ i 0 ∈ C(X).
Зауваження 3. Якщо функцiя f обмежена, то i δ = 1
2‖ωf‖ ≤
≤ ‖f‖ < +∞. Знайдена на другому етапi доведення теореми 1 непе-
рервна функцiя g задовольняє нерiвнiсть ‖f − g‖ ≤ δ < +∞. Отже,
вона буде обмеженою, тому ми встановили рiвнiсть
d(f, Cb(X)) =
1
2
‖ωf‖
для нормального простору X, що теж розширює результат
Бен’ямiнi–Лiнденштраусса. Про можливiсть такого розширення було
зроблено зауваження у працi [17].
6. Прикiнцевi зауваження. В останнi роки ведеться активне
дослiдження рiзних ослаблень неперервностi: квазiнеперервнiсть,
ледь неперервнiсть, майже неперервнiсть тощо. Тому природно по-
ставити задачу про знаходження вiдхилень функцiй вiд iнших функ-
цiональних класiв. Така робота вже розпочата. Зокрема, в [18, 19]
розглянуто класи K0(R) i S0(R) всiх функцiй g : R → R, якi квазi-
неперервнi чи ледь неперервнi в точцi 0 вiдповiдно, i наведено такi
результати:
Твердження 3. Для довiльних дiйсних чисел b1, b2, b3 i функцiї
f = b1χ(−∞,0) + b2χ{0}| + b3χ(0,+∞) справджуються рiвностi:
d
(
f,K0(R)
)
= d(f, S0
(
R)
)
=
1
2
min
{
|b1 − b2|, |b2 − b3|
}
.
Твердження 4. Нехай |b| > 1, f(x) = sin 1
x при x 6= 0 i f(0) = b.
Тодi
d(f,K0(R)) = d(f, S0(R)) =
|b| − 1
2
.
Зокрема, коли b1 = −1, b2 = 0, b3 = 1, то функцiя f з тверджен-
ня 3 — це сигнум i d(sgn,K0(R)) = 1
2 , але d(sgn,C0(R)) = 1.
Розвитку цих результатiв буде присвячена наступна публiкацiя
авторiв.
1. Benyamini Y., Lindenstrauss J. Geometric nonlinear functional analysis.
V.1. — Amer. Math. Soc., 2000. — 488 p.
2. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Про рiвномiрне вiдхилення вiд простору неперервних функцiй 181
3. Мельник В. Знаходження вiдхилень вiд функцiй першого класу Бера до
простору неперервних функцiй // Матерiали студ. наук. конф. ЧНУ. 17–18
травня 2011. Фiз.-мат. науки. — Чернiвцi: ЧНУ, 2011. — С. 409 – 410.
4. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в об-
щей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. —М.:
Наука, 1975. — 408 с.
5. Маслюченко О.В. Побудова ω-первiсних та рiзнi аналоги компактних опе-
раторiв. Дис. ... доктора фiз.-мат. наук. — Чернiвцi, 2012. — 300с.
6. Hahn H. Uber halbstetige und unstetige Functionen // Sitzungsberichte Akad.
Wiss. Wien. Math.–naturwiss. Kl. Abt. IIa. — 1917. — 126. — S. 91 – 110.
7. Dieudonne J. Une généralisation des espaces compacts // J. de Math. Pyres
et Appl. — 1944. — 23. — P. 65 – 76.
8. Tong H. Some characterizations of normal and perfectly normal spaces // Bull.
Amer. Math. Soc. — 1948. — 54. — P. 65.
9. Tong H. Some characterizations of normal and perfectly normal spaces // Duke
Math.J. — 1952. — 19. — P. 289 – 292.
10. Katetov M. On real-valued functions in topological spaces // Fund. Math. —
1952. — 38. — P. 85 – 91.
11. Katetov M. Correction to ’On real-valued functions in topological spaces’ //
Fund. Math. — 1953. — 40. — P. 203 – 205.
12. Dowker C.H. On countably paracompact spaces // Canad. J. Math. — 1951. —
3. — P. 219 – 224.
13. Michael E. Continuous selections I//Ann. of Math.— 1956. – 63. – P. 361 – 382.
14. Yamazaki K. The range of maps on classical insertion theorems // Acta Math.
Hungar. — 2011. — 132 (1-2). — P. 42 – 48.
15. Good C., Stares I. New proofs of classical insertion theorems // Comm. Math.
Univ. Carolinae. — 2000. — 41, № 1. — P. 139 – 142.
16. Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В. Про пошарово рiв-
номiрне наближення нарiзно неперервних функцiй многочленами // Мат.
вiсн. НТШ. — 2013. — 10. — С. 135 – 158.
17. Cascales B., Marciszewski W., Raja M. Distance to spaces of continuous
functions // Topology Appl. — 2006. — 153, № 13. — P. 2303 -– 2319.
18. Мельник В. Про вiдстань до множин квазiнеперервних або ледь неперерв-
них у нулi функцiй // Матерiали студ. наук. конф. ЧНУ. 5 – 6 квiтня 2012.
Фiз.-мат. науки. — Чернiвцi: ЧНУ, 2012. — С. 341 – 342.
19. V. Maslyuchenko, V. Mel’nyk. Uniform distance to the space of continuous
functions // Мiжн. конф. "Комплексний аналiз, теорiя потенцiалу та її за-
стосування"19 – 23 серпня 2013. — Київ: Iнститут математики НАН Украї-
ни, 2013. — http://www.imath.kiev.ua/~complex/conf_2013/index.html
20. Мельник В. Навколо теореми Гана–Д’єдонне–Тонґа–Катетова // Матерiа-
ли студ. наук. конф. ЧНУ. 17 – 19 квiтня 2013. Фiз.-мат. науки. — Чернiвцi:
ЧНУ, 2013. — С. 441 – 442.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-74 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:05Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2e/711f57030fe1d25634e919127b89892e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-742018-01-29T14:44:04Z On uniform deviation from the space of continuous function Про рівномірне відхилення від простору неперервних функцій Maslyuchenko, V. K. Mel’nyk, V. S. Маслюченко, В. К. Мельник, В. С. It's proven that for the normal space $X$ and any function $f\!:X\!\rightarrow\!\mathbb{R}$ the uniform distance $d(f,C(X))$ of function $f$ from the space $C(X)$ of all continuous functions $g\!:X\!\rightarrow \!\mathbb{R}$ is equal to the half of the uniform norm $\|\omega_{f}\|$ of the function's $f$ oscillation $\omega_{f}$ and it is reached on some function $g$ from $C(X)$ Доведено, що для нормального простору $X$ і довільної функції $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ рівномірне відхилення $d(f,C(X))$ функції $f$ від простору $C(X)$ всіх неперервних функцій $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ дорівнює половині рівномірної норми $\|\omega_{f}\|$ коливання $\omega_{f}$ функції $f$, причому воно досягається на деякій функції $g$ з $C(X)$ Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/74 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 173-181 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 173-181 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 173-181 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/74/71 |
| spellingShingle | Maslyuchenko, V. K. Mel’nyk, V. S. Маслюченко, В. К. Мельник, В. С. On uniform deviation from the space of continuous function |
| title | On uniform deviation from the space of continuous function |
| title_alt | Про рівномірне відхилення від простору неперервних функцій |
| title_full | On uniform deviation from the space of continuous function |
| title_fullStr | On uniform deviation from the space of continuous function |
| title_full_unstemmed | On uniform deviation from the space of continuous function |
| title_short | On uniform deviation from the space of continuous function |
| title_sort | on uniform deviation from the space of continuous function |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/74 |
| work_keys_str_mv | AT maslyuchenkovk onuniformdeviationfromthespaceofcontinuousfunction AT melnykvs onuniformdeviationfromthespaceofcontinuousfunction AT maslûčenkovk onuniformdeviationfromthespaceofcontinuousfunction AT melʹnikvs onuniformdeviationfromthespaceofcontinuousfunction AT maslyuchenkovk prorívnomírnevídhilennâvídprostoruneperervnihfunkcíj AT melnykvs prorívnomírnevídhilennâvídprostoruneperervnihfunkcíj AT maslûčenkovk prorívnomírnevídhilennâvídprostoruneperervnihfunkcíj AT melʹnikvs prorívnomírnevídhilennâvídprostoruneperervnihfunkcíj |