Majorants of remainders of Taylor series of bounded holomorphic functions
We study the behavior on the interval $[0,1]$ of the majorant $R_n$ of the $n$-remainders of Taylor's series for bounded holomorphic functions in the unit disk $\mathbb D$. An extremal problem of finding the $\max|f(z_1)-f(z_2)|,$ $z_1, z_2\in\mathbb D,$ for functions from such class is sol...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/75 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552607642288128 |
|---|---|
| author | Meremelya, I. Yu. Savchuk, V. V. Меремеля, І. Ю. Савчук, В. В. |
| author_facet | Meremelya, I. Yu. Savchuk, V. V. Меремеля, І. Ю. Савчук, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Ю. Меремеля",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. В. Савчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Meremelya, I. Yu. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We study the behavior on the interval $[0,1]$ of the majorant $R_n$ of the $n$-remainders of Taylor's series for bounded holomorphic functions in the unit disk $\mathbb D$. An extremal problem of finding the $\max|f(z_1)-f(z_2)|,$ $z_1, z_2\in\mathbb D,$ for functions from such class is solved |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 182–188
УДК 517.5
I. Ю. Меремеля, В. В. Савчук (Iн–т математики НАН України,
Київ)
МАЖОРАНТИ ЗАЛИШКIВ РЯДIВ ТЕЙЛОРА
ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ
We study the behavior on the interval [0, 1] of the majorant Rn of the n–
remainders of Taylor’s series for bounded holomorphic functions in the unit
disk D. An extremal problem of finding the max |f(z1)− f(z2)|, z1, z2 ∈ D, for
functions from such class is solved.
Дослiджено поведiнку на вiдрiзку [0, 1] мажоранти Rn залишкiв рядiв
Тейлора порядку n, n ∈ N, обмежених голоморфних функцiй в одинично-
му крузi D i розв’язано екстремальну задачу про обчислення величини
max |f(z1)− f(z2)|, z1, z2 ∈ D, на даному класi функцiй.
1. Нехай B — клас функцiй f , голоморфних у крузi D := {z ∈ D :
|z| < 1}, для яких supz∈D |f(z)| ≤ 1 i Sn(f)(z) :=
∑n−1
k=0 f̂kz
k,
f̂k := f (k)(0)/k! — частинна сума порядку n, n ∈ N, ряду Тейлора
функцiї f .
Зафiксуємо n ∈ N i розглянемо функцiю Rn визначену на вiдрiзку
[0, 1] згiдно з правилом
Rn(ρ) :=
sup
{
|f(ρ)− Sn(f)(ρ)| : f ∈ B
}
, ρ ∈ [0, 1),
sup
{
|f(z)− Sn−1(f)(z)| : f ∈ B, z ∈ D
}
, ρ = 1.
Функцiя Rn є мажорантою залишкiв рядiв Тейлора функцiй кла-
су B, тобто для будь-якого z ∈ D
|f(z)− Sn(f)(z)| ≤ Rn(|z|), ∀ f ∈ B.
Справдi, для будь-якої функцiї f ∈ B
|f(z)− Sn(f)(z)| ≤ sup
{
|f(t)− Sn(f)(t)| : f ∈ B, |t| = |z|
}
.
c© I. Ю. Меремеля, В. В. Савчук, 2014
Мажоранти залишкiв рядiв Тейлора . . . 183
Оскiльки клас B є iнварiантним вiдносно повороту змiнної, тобто з
того, що f ∈ B випливає, що f(eiθ·) ∈ B для будь-якого θ ∈ [0, 2π],
права частина останньої нерiвностi збiгається з Rn(|z|).
В [1] показано, що
ρ−nRn(ρ) = ρ+ ρ
n−1∑
k=1
(
(2k − 1)!!
(2k)!!
)2
ρ2k + εn(ρ), (1)
де εn(ρ) — деяка величина, що |εn(ρ)| ≤ 1, а сума при n = 1 покла-
дається рiвною нулю.
У зв’язку з цим результатом цiкавим видається питання про те,
як поводяться на вiдрiзку [0, 1] функцiї ρ 7→ ρ−nRn(ρ) i ρ 7→ εn(ρ).
Теорема 1. Функцiя ρ 7→ ρ−nRn(ρ) зростає на [0, 1], причому
1 < ρ−nRn(ρ) ∀ ρ ∈ (0, 1].
Наслiдок. Функцiя ρ 7→ εn(ρ), де εn(ρ) визначається спiввiд-
ношенням (1), є функцiєю обмеженої варiацiї на [0, 1], причому
limρ→0+ εn(ρ) = 1.
Доведення. Нехай f ∈ B. Зафiксуємо довiльне ρ ∈ (0, 1) i розг-
лянемо функцiю
F (z) = f(ρz)− Sn(f)(ρz).
Оскiльки F̂k = 0, k = 0, 1, . . . , n − 1, i supz∈D |F (z)| ≤ Rn(ρ), то за
лемою Шварца (див., наприклад, [2, с. 30])
|f(ρλ)− Sn(f)(ρλ)| = |F (λ)| ≤ λnRn(ρ) ∀ λ ∈ [0, 1].
З другого боку,
sup
{
|f(ρλ)− Sn(f)(ρλ)| : f ∈ B
}
= Rn(ρλ).
Отже, має виконуватися нерiвнiсть Rn(ρλ) ≤ λnRn(ρ), або, що
рiвносильно,
ρ−n1 Rn(ρ1) ≤ ρ−n2 Rn(ρ2), 0 < ρ1 ≤ ρ2 ≤ 1.
Переконаємося в тому, що 1 < Rn(ρ)ρ−n ∀ ρ ∈ (0, 1].
184 I.Ю. Меремеля, В.В. Савчук
В [3] показано, що лiнiйний метод наближення Un, який будується
згiдно з правилом
Un(f)(z) :=
n−1∑
k=0
(
1− ρ2(n−k)
)
f̂kz
k,
є єдиним найкращим лiнiйним методом наближення на колi
Tρ :=
{
z ∈ C : |z| = ρ
}
у рiвномiрнiй метрицi. Тобто для будь-яких
комплексних чисел λk 6= 1− ρ2(n−k), k = 0, n− 1,
En(ρ) := max
{
|f(z)− Un(f)(z)| : f ∈ B, z ∈ Tρ
}
<
< max
{∣∣∣∣f(z)−
n−1∑
k=0
λkf̂kz
k
∣∣∣∣ : f ∈ B, z ∈ Tρ
}
,
i до того ж En(ρ) = ρn.
Тому
ρn < sup
{
|f(z)− Sn(f)(z)| : f ∈ B, z ∈ Tρ
}
= Rn(ρ).
Теорему доведено.
2. Нам вiдомо тiльки про два випадки, коли функцiю Rn вдалося
подати в явному виглядi:
Rn(ρ) =
2ρ
1 +
√
1− ρ2
, n = 1,
2ρ2
1 +
√
1− ρ2
+
ρ6
4(1 +
√
1− ρ2)4
, n = 2.
(2)
Рiвнiсть (2) при n = 1 доведена в [4] i передоведена в [5] (без
вiдповiдного посилання на [4]), а при n = 2 — в [6].
Оскiльки видання, в якому опублiкована стаття [4] є важкодо-
ступним, нам не вдалося побачити оригiнальне доведення першої
рiвностi в (2). У зв’язку з цим видається доцiльним навести iнше
доведення, яке до того ж є вiдмiнним i вiд [5].
Мажоранти залишкiв рядiв Тейлора . . . 185
Суть нашого методу доведення зводиться до розв’язання такої
екстремальної задачi, не позбавленої й самостiйного iнтересу: для
даних z1, z2 ∈ D обчислити величину
∆(z1, z2) := max
{
|f(z1)− f(z2)| : f ∈ B
}
, z1, z2 ∈ D,
i знайти функцiю f , для якої досягається максимум (таку функцiю
будемо називати екстремальною).
Розв’язком цiєї задачi є
Теорема 2. Нехай z1, z2 ∈ D. Тодi
∆(z1, z2) =
2|z1 − z2|
|1− z1z2|+
√
(1− |z1|2)(1− |z2|2)
. (3)
При фiксованих z1, z2 ∈ D єдиною з точнiстю до унiмодулярного
множника екстремальною функцiєю в (3) є
f(t) =
t− z2
1− tz2
− α
1− t− z2
1− tz2
α
,
або
f(t) =
t− z1
1− tz1
− β
1− t− z1
1− tz1
β
,
де
α =
z1 − z2
1− z1z2
|1− z1z2|
|1− z1z2|+
√
(1− |z1|2)(1− |z2|2)
, β = −α1− z1z2
1− z1z2
.
Зауважимо, що з рiвностi (3) випливає добре вiдоме спiввiдно-
шення [2, с. 30]: для будь-якої функцiї f ∈ B
|f ′(z)| =
∣∣∣ lim
z2→z
f(z)− f(z2)
z − z2
∣∣∣ ≤ 1
1− |z|2
, ∀ z ∈ D,
в якому рiвнiсть при фiксованому z ∈ D досягається для функцiї
f(t) = ω(t− z)/(1− tz), |ω| = 1.
186 I.Ю. Меремеля, В.В. Савчук
Зазначимо також, що рiвнiсть (3) можна знайти в [5]. Однак, на-
ведене нижче доведення теореми 2 є конструктивнiшим нiж у [5]
в тому розумiннi, що воно дає повний опис множини всiх екстре-
мальних функцiй. Наше доведення рiвностi (3) спирається на лему
Шварца–Пiка на вiдмiну вiд [5], де ключовим моментом було вико-
ристання теореми Ландау–Теплиця.
Доведення. Зафiксуємо довiльне z2 ∈ D, вiзьмемо довiльну
функцiю f ∈ B i розглянемо пiдклас B(f), який породжується функ-
цiєю f i складається з функцiй g ∈ B вигляду
g(t) =
f(t)− f(z2)
1− f(t)f(z2)
− λ
1− f(t)− f(z2)
1− f(t)f(z2)
λ
, λ ∈ D.
Для довiльного фiксованого z1 ∈ D покладемо
w :=
f(z1)− f(z2)
1− f(z1)f(z2)
.
Тодi для будь-якої функцiї g ∈ B(f)
|g(z1)− g(z2)| =
∣∣∣∣ w − λ1− wλ
+ λ
∣∣∣∣ ≤
≤ |w| 1− |λ|2
1− |λ||w|
=: R(|λ|) ≤ max
{
R(ρ) : ρ ∈ [0, 1]
}
. (4)
Дослiдивши функцiю R на екстремум на вiдрiзку [0, 1], знаходи-
мо, що її максимум досягається в точцi ρ∗ := (1 −
√
1− |w|2)/|w|,
причому
max
{
R(ρ) : ρ ∈ [0, 1]
}
= R(ρ∗) =
2|w|
1 +
√
1− |w|2
. (5)
Оскiльки згiдно з нерiвнiстю Шварца–Пiка (див., наприклад, [2,
с. 30])
|w| =
∣∣∣∣∣ f(z1)− f(z2)
1− f(z1)f(z2)
∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣ z1 − z21− z1z2
∣∣∣∣ , (6)
Мажоранти залишкiв рядiв Тейлора . . . 187
то з рiвностi (5) пiсля елементарних перетворень одержуємо оцiнку
R(ρ∗) ≤ 2|z1 − z2|
|1− z1z2|+
√
(1− |z1|2)(1− |z2|2)
. (7)
Легко бачити, що
f(t) =
f(t)− f(Z)
1− f(t)f(Z)
+ f(Z)
1 +
f(t)− f(Z)
1− f(t)f(Z)
f(Z)
, Z := z1 ∨ z2. (8)
Тому функцiя f ∈ B(f) i для неї справджується спiввiдношення (4),
яке разом з (5) i (7) доводить нерiвнiсть
|f(z1)− f(z2)| ≤ 2|z1 − z2|
|1− z1z2|+
√
(1− |z1|2)(1− |z2|2)
∀ z1, z2 ∈ D.
При фiксованих z1, z2 ∈ D рiвнiсть у цьому спiввiдношеннi мож-
лива тодi i тiльки тодi, коли для функцiї f одночасно досягаються
всi рiвностi в (4) i (6).
Оскiльки нетривiальна рiвнiсть в (6) досягається тiльки для
функцiй (див., наприклад, [2, с. 30])
f(t) = eiφ
t− a
1− ta
, a ∈ D, φ ∈ R, (9)
то для виконання рiвностi в (4) необхiдно i достатньо, щоб така функ-
цiя задовольняла умову
−f(z2) = ei(argw+φ)ρ∗ =
= eiφ
z1 − z2
1− z1z2
2|1− z1z2|
|1− z1z2|+
√
(1− |z1|2)(1− |z2|2)
=: eiφα, (10)
або ж умову
−f(z1) = −eiφα1− z1z2
1− z1z2
=: eiφβ. (11)
188 I.Ю. Меремеля, В.В. Савчук
Оскiльки |α| = |β| < 1, а екстремальна функцiя f є автоморфiз-
мом круга D, то множина автоморфiзмiв, для яких виконується (10)
або (11) є непорожньою.
Видiливши клас таких екстремальних функцiй i пiдставивши (9)
в (8), пiсля елементарних перетворень одержимо загальний вигляд
екстремальної функцiї.
Теорему доведено.
1. Савчук В.В. Властивостi твiрних ядер класiв голоморфних функцiй i екс-
тремальнi задачi теорiї наближення // Теорiя наближення функцiй та су-
мiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2010. — 7,
№ 1. — С. 235 – 263.
2. Avkhadiev F.G., Wirths K.–J. Schwarz–Pick Type Inequalities. — Basel:
Birkhauser Verlag, 2008. — 156 p.
3. Осипенко К.Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по ин-
формации об их значениях в конечном числе точек // Мат. заметки. —
1976. — 19, № 1. — С. 29 – 40.
4. Waadeland H. Zur Theorie der beschrankten Funktionen // Kgl., norske e vid.
selskabs forhandl. — 1962. — 35, № 15. — P. 80 – 85.
5. Burckel R. B., Marshall D. E., Minda D., Poggi–Corradini P., Ransford Th.
J. Area, capacity and diameter versions of Schwarz’s lemma // Conform.
Geom. Dyn. — 2008. — 12. — P. 133 – 152.
6. Турковский В.А.О некоторых экстремальных свойствах регулярных огра-
ниченных в круге |z| < 1 функций // Изв. высших учеб. зав. — 1966. —
52, № 3. — С. 166 – 170.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-75 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:08Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c6/9db12c07c77debd612b11e4d231e74c6.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-752018-01-29T14:44:04Z Majorants of remainders of Taylor series of bounded holomorphic functions Мажоранти залишків рядів Тейлора обмежених голоморфних функцій Meremelya, I. Yu. Savchuk, V. V. Меремеля, І. Ю. Савчук, В. В. We study the behavior on the interval $[0,1]$ of the majorant $R_n$ of the $n$-remainders of Taylor's series for bounded holomorphic functions in the unit disk $\mathbb D$. An extremal problem of finding the $\max|f(z_1)-f(z_2)|,$ $z_1, z_2\in\mathbb D,$ for functions from such class is solved Досліджено поведінку на відрізку $[0,1]$ мажоранти $R_n$ залишків рядів Тейлора порядку $n, n\in\mathbb N,$ обмежених голоморфних функцій в одиничному крузі $\mathbb D$ і розв'язано екстремальну задачу про обчислення величини $\max|f(z_1)-f(z_2)|,$ $z_1, z_2\in\mathbb D,$ на даному класі функцій Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/75 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 182-188 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 182-188 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 182-188 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/75/72 |
| spellingShingle | Meremelya, I. Yu. Savchuk, V. V. Меремеля, І. Ю. Савчук, В. В. Majorants of remainders of Taylor series of bounded holomorphic functions |
| title | Majorants of remainders of Taylor series of bounded holomorphic functions |
| title_alt | Мажоранти залишків рядів Тейлора обмежених голоморфних функцій |
| title_full | Majorants of remainders of Taylor series of bounded holomorphic functions |
| title_fullStr | Majorants of remainders of Taylor series of bounded holomorphic functions |
| title_full_unstemmed | Majorants of remainders of Taylor series of bounded holomorphic functions |
| title_short | Majorants of remainders of Taylor series of bounded holomorphic functions |
| title_sort | majorants of remainders of taylor series of bounded holomorphic functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/75 |
| work_keys_str_mv | AT meremelyaiyu majorantsofremaindersoftaylorseriesofboundedholomorphicfunctions AT savchukvv majorantsofremaindersoftaylorseriesofboundedholomorphicfunctions AT meremelâíû majorantsofremaindersoftaylorseriesofboundedholomorphicfunctions AT savčukvv majorantsofremaindersoftaylorseriesofboundedholomorphicfunctions AT meremelyaiyu mažorantizališkívrâdívtejloraobmeženihgolomorfnihfunkcíj AT savchukvv mažorantizališkívrâdívtejloraobmeženihgolomorfnihfunkcíj AT meremelâíû mažorantizališkívrâdívtejloraobmeženihgolomorfnihfunkcíj AT savčukvv mažorantizališkívrâdívtejloraobmeženihgolomorfnihfunkcíj |