Estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of several variables
We obtain the order estimates of the entropy numbers and $\varepsilon$-entropy of the Nikol'skii-Besov classes $B_{p,\theta}^r$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some values of the parameters $p$ and $q$
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/77 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552609269678080 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We obtain the order estimates of the entropy numbers and $\varepsilon$-entropy of the Nikol'skii-Besov classes $B_{p,\theta}^r$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some values of the parameters $p$ and $q$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 196–213
УДК 517.5
А.С. Романюк (Ин–т математики НАН Украины, Киев)
ОЦЕНКИ ЭНТРОПИЙНЫХ ЧИСЕЛ И
ε-ЭНТРОПИИ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО–БЕСОВА
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
We obtain the order estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the
Nikol’skii-Besov classes Br
p,θ of periodic functions of many variables in the
space Lq for some values of the parameters p and q.
Установлены порядковые оценки энтропийных чисел и ε-энтропии клас-
сов Никольского-Бесова Br
p,θ периодических функций многих переменных
в пространстве Lq для ряда значений параметров p и q .
1. Введение. Пусть Rd, d ≥ 1, — евклидово пространство с
элементами x = (x1, . . . , xd) и (x, y) = x1 y1 + . . . + xd yd; Lp(πd),
πd =
d∏
j=1
[0, 2π], обозначает множество функций f , 2π-периодических
по каждой переменной и таких, что
‖f‖p =
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|p dx
1
p
<∞, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)| <∞, p =∞.
В последующих рассуждениях будем рассматривать только те функ-
ции f ∈ Lp(πd), для которых выполнено условие
2π∫
0
f(x)dxj = 0, j = 1, d,
и множество таких функций будем обозначать L0
p(πd).
Для функции f ∈ L0
p(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, рассмотрим разность пер-
вого порядка по j-ой переменной с шагом h:
c© А.С. Романюк, 2014
Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов . . . 197
∆h,jf(x) = f(x1, . . . , xj−1, xj + h, xj+1, . . . , xd)− f(x)
и определим разность l-го порядка
∆l
h,jf(x) =
l︷ ︸︸ ︷
∆h,j · · ·∆h,j f(x)
в точке xj с шагом h.
Далее, если k = (k1, · · · , kd), kj ∈ N, j = 1, d, то смешанная раз-
ность порядка k с векторным шагом h = (h1, . . . , hd) определяется
следующим образом:
∆k
hf(x) = ∆k1
h1,1
· · ·∆kd
hd,d
f(x).
Пусть заданы вектор r = (r1, . . . , rd), rj >0, j = 1, d, и параметры
1 ≤ θ, p ≤ ∞. Тогда функция f ∈ L0
p(πd) принадлежит классу Brp,θ,
если ∫
πd
‖∆k
hf(·)‖θp
d∏
j=1
dhj
h
1+rjθ
j
1
θ
≤ 1, 1 ≤ θ <∞,
и
sup
h
‖∆k
hf(·)‖p
d∏
j=1
h
−rj
j ≤ 1, θ =∞.
При этом для векторов k = (k1, . . . , kd) и r = (r1, . . . , rd) предполага-
ются выполненными условия kj > rj , j = 1, d. Напомним, что классы
Brp,θ являются аналогами классов функций, введенных О.В. Бесо-
вым [1] и Brp,∞ = Hr
p , где Hr
p — аналоги классов, введенных С.М. Ни-
кольским (см., например, [2, c. 189]). С более подробной информаци-
ей о классах Brp,θ можно ознакомиться в работах [3, 4]. Далее, нам
будет удобно пользоваться определением классов Brp,θ в несколько
другом виде.
Для векторов s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, и k = (k1, . . . , kd), kj ∈ Z,
j = 1, d, положим
ρ(s) =
{
k = (k1, . . . , kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d
}
198 А.С. Романюк
и для f ∈ L0
p(πd) введем обозначение
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
где f̂(k) =
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коэффициенты Фурье функции f .
Пусть 1 < p < ∞, r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d. Тогда классы
Brp,θ можно определить следующим образом (см., например, [3, 4]):
Brp,θ =
{
f : ‖f‖Brp,θ �
(∑
s
2(s,r)θ‖δs(f, ·)‖θp
) 1
θ
≤ 1, 1 ≤ θ <∞
}
,
Brp,∞ =
{
f : ‖f‖Brp,∞ � sup
s
2(s,r)‖δs(f, ·)‖p ≤ 1
}
.
Отметим, что при соответствующем видоизменении "блоков"
δs(f, x), приведенное определение классов Brp,θ можно распростра-
нить и на крайние значения p = 1 и p =∞ (см., например, [4] (заме-
чание 2.1)).
Пусть Vl(t), l ∈ N, обозначает ядро Валле-Пуссена вида
Vl(t) = 1 + 2
l∑
k=1
cos kt+ 2
2l−1∑
k=l+1
(
1− k − l
l
)
cos kt.
Сопоставим каждому вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, поли-
ном
As(x) =
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
и для f ∈ L0
p(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, положим
As(f, x) = f(x) ∗As(x),
где "∗" обозначает операцию свертки. Тогда при 1 ≤ p ≤ ∞,
r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d
Brp,θ =
{
f : ‖f‖Brp,θ �
(∑
s
2(s,r)θ‖As(f, ·)‖θp
) 1
θ
≤ 1, 1 ≤ θ <∞
}
,
Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов . . . 199
Brp,∞ =
{
f : ‖f‖Brp,∞ � sup
s
2(s,r)‖As(f, ·)‖p ≤ 1
}
.
Всюду ниже будем предполагать, что координаты векторов
r = (r1, . . . , rd), которые содержатся в определении классов, упоря-
дочены в виде: 0 < r1 = . . . = rν < rν+1 ≤ . . . ≤ rd. Вектору
r = (r1, . . . , rd) сопоставим вектор γ = (γ1, . . . , γd), γj =
rj
r1
, j = 1, d,
которому, в свою очередь, сопоставляется вектор γ′ = (γ′1, . . . , γ
′
d),
где γj = γ′j при j = 1, ν и 1 < γ′j < γj при j = ν + 1, d.
Полученные результаты будем формулировать в терминах по-
рядковых соотношений. Для функций µ1(N) и µ2(N) запись
µ1 � µ2 означает, что существует постоянная C > 0 такая, что
µ1(N) ≤ Cµ2(N). Соотношение µ1 � µ2 равносильно тому, что вы-
полнены порядковые неравенства µ1 � µ2 и µ1 � µ2. Отметим, что
все постоянные Ci, i = 1, 2, . . ., которые будут встречаться в рабо-
те, могут зависеть только от тех параметров, которые содержатся
в определении классов, метрики и размерности пространства Rd. В
некоторых случаях мы будем указывать эту зависимость в явном
виде. Если M — некоторое конечное множество, то через |M| будем
обозначать количество его элементов.
Теперь определим асимптотические характеристики, которые бу-
дем исследовать.
Пусть X банахово пространство и BX — единичный шар в X
с центром в точке 0. Обозначим через BX (y, r) шар радиуса r с
центром в точке y, т.е.
BX (y, r) =
{
x ∈X : ‖x− y‖ ≤ r
}
.
Для компактного множества A и числа ε > 0 определим величину
Nε
(
A ,X
)
= min
{
n : ∃ y1, . . . , yn ∈X : A ⊆
n⋃
j=1
BX (yj , ε)
}
.
Тогда величина (см., например, [5, 6])
Hε
(
A ,X
)
= log Nε
(
A ,X
)
называется ε-энтропией множества A относительно банахова про-
странства X (здесь и далее log := log2).
200 А.С. Романюк
С ε-энтропией множества A связано понятие энтропийных чисел
εk
(
A ,X
)
(см., например, [7]):
εk
(
A ,X
)
= inf
{
ε : ∃ y1, . . . , y2k ∈X : A ⊆
2k⋃
j=1
BX (yj , ε)
}
.
Обратим внимание, что непосредственно из определений ве-
личин Hε
(
A ,X
)
и εk
(
A ,X
)
имеем: если Hε
(
A ,X
)
≤ k, то
εk
(
A ,X
)
≤ ε; и наоборот — оценка εk
(
A ,X
)
≤ ε влечет оцен-
ку Hε
(
A ,X
)
≤ k. Иными словами, если выполнены неравенства
k < Hε
(
A ,X
)
≤ k + 1, то имеют место соотношения εk+1
(
A ,X
)
≤
≤ ε ≤ εk(A ,X ). Это обстоятельство дает возможность из оценок
для энтропийных чисел εk
(
A ,X
)
получать оценки для ε-энтропии
Hε
(
A ,X
)
.
Мы не будем останавливаться на истории исследования ε-
энтропии и энтропийных чисел тех или иных компактов в банаховых
пространствах, а ограничимся только указанием на ряд работ [5 – 16],
в которых можно ознакомиться с соответствующими результатами
и обширной библиографией.
Для формулировки вспомогательных утверждений нам понадо-
бятся некоторые дополнительные обозначения.
Пусть, по прежнему s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d,
γ = (γ1, . . . , γd) и γ′ = (γ′1, . . . , γ
′
d) — векторы, которые определены
выше. Для n ∈ N положим
Qγn =
⋃
(s,γ)≤n
ρ(s), Qγ
′
n =
⋃
(s,γ′)≤n
ρ(s), ∆Qγ
′
n = Qγ
′
n \Q
γ′
n−1
и
Nγ′
n =
{
s = (s1, . . . , sd), n− 1 < (s, γ′) ≤ n, n ≥ d
}
.
Заметим, что |∆Qγ′n | � 2n nν−1.
Через S
Qγ
′
n
(f, x) обозначим ступенчатую гиперболическую сумму
Фурье функции f ∈ L1(πd) вида
S
Qγ
′
n
(f, x) =
∑
(s,γ′)≤n
δs(f, x).
Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов . . . 201
Имеют место утверждения.
Теорема А [17]. Пусть 1 < p < q < ∞, 1 ≤ θ < ∞, r1 >
1
p −
1
q .
Тогда
sup
f∈Brp,θ
‖f(·)− S
Qγ
′
n
(f, ·)‖q � 2−n(r1− 1
p+ 1
q ) n
(ν−1)( 1
q−
1
θ )
+ ,
где a+ = max{0, a}.
Лемма А. Пусть f ∈ L0
p(πd), 1 < p <∞. Тогда∥∥∥∥∑
s
δs(f, ·)
∥∥∥∥
p
�
(∑
s
‖δs(f, ·)‖p
∗
p
) 1
p∗
, (1)
где p∗ = min{2, p}.
Неравенство (1) является простым следствием теоремы
Литтлвуда–Пэли (см., например, теорему А из введения рабо-
ты [18]) и оно неоднократно использовалось в работах многих
авторов.
Лемма Б [18, c. 11]. Справедлива оценка∑
(s,γ′)≥l
2−α(s,γ) � 2−α llν−1, α > 0.
Пусть G ⊂ Zd. Тогда через T (G) обозначим множество тригоно-
метрических полиномов t вида
T (G) =
{
t : t̂(k) = 0 при k∈G
}
.
Для 1 ≤ q ≤ ∞ положим
T (G)q =
{
t ∈ T (G) : ‖t‖q ≤ 1
}
.
Лемма B [9]. Пусть 1 < p ≤ 2 ≤ q < ∞. Тогда имеет место
соотношение
εM
(
T (Qγn)p, Lq
)
�
{
C(p, q) |Qγn|M−1 (ln(|Qγn|M−1))2, 2M ≤ |Qγn|,
C(p, q) 2−M/|Qγn|, 2M ≥ |Qγn|.
(2)
202 А.С. Романюк
Приведем два замечания к оценкам (2).
Замечание 1. Легко убедиться, что такого вида оценки имеют
место и для множества полиномов T (Qγ
′
n )p после соответствующей
замены в правой части (2) множества Qγn на Qγ
′
n .
Замечание 2. В силу следствия из теоремы Литтлвуда–
Пэли (см., например, [18, c. 7]) имеем ‖SQγn(f, ·)‖q ≤ C(q) ‖f(·)‖q,
1 < q <∞, и поэтому в лемме B можно считать, что элементы соот-
ветствующей ε-сети также принадлежат T (Qγn). Такого же характера
заключение можно сделать и по отношению к множеству полиномов
T (Qγ
′
n ).
2. Основные результаты. Предварительно отметим, что при
доказательстве полученных результатов используются и развивают-
ся подходы, которые были предложены в работах [8, 9] при иссле-
довании соответствующих вопросов на классах Соболева W r
p,α и Ни-
кольского Hr
p периодических функций многих переменных.
Справедливо утверждение.
Теорема 1. Пусть 1 ≤ q < ∞, 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ < ∞ и r1 > 1.
Тогда
εM
(
Brp,θ, Lq
)
�M−r1(logν−1M)
r1+( 1
2−
1
θ )
+ . (3)
Доказательство. Заметим, что оценку (3) достаточно уста-
новить для случая p = 2 и 2 < q < ∞, поскольку Brp,θ ⊂ Br2,θ,
2 < p <∞, и ‖ · ‖q ≤ ‖ · ‖2, 1 < q ≤ 2.
Итак, пусть f ∈ Br2,θ, 1 ≤ θ < 2. Тогда согласно неравенству
(∑
l
|al|µ2
) 1
µ2
≤
(∑
l
|al|µ1
) 1
µ1
, 1 ≤ µ1 ≤ µ2 <∞,
(см. [19, c. 43]) и лемме A можем записать
∥∥∥∥ ∑
s∈Nγ′
n
δs(f, ·)
∥∥∥∥
2
�
∑
s∈Nγ′
n
‖δs(f, ·)‖22
1
2
≤
Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов . . . 203
≤
∑
s∈Nγ′
n
‖δs(f, ·)‖θ2
1
θ
≤ 2−n r1
∑
s∈Nγ′
n
2(s,r)θ‖δs(f, ·)‖θ2
1
θ
�
� 2−n r1‖f‖Br2,θ ≤ 2−n r1 . (4)
Пусть теперь θ ∈ (2,∞). Тогда, воспользовавшись леммой A,
неравенством Гельдера с показателем θ
2 и леммой Б, будем иметь
∥∥∥∥ ∑
s∈Nγ′
n
δs(f, ·)
∥∥∥∥
2
�
∑
s∈Nγ′
n
‖δs(f, ·)‖22
1
2
≤
≤
∑
s∈Nγ′
n
2(s,r)θ‖δs(f, ·)‖θ2
1
θ
∑
s∈Nγ′
n
2−2(s,r) θ
θ−2
1
2−
1
θ
�
� ‖f‖Br2,θ
∑
s∈Nγ′
n
2−2(s,r) θ
θ−2
1
2−
1
θ
� 2−n r1 n(ν−1)( 1
2−
1
θ ). (5)
Таким образом, согласно (4) и (5) для f ∈ Br2,θ, 1 ≤ θ <∞, имеем∥∥∥∥ ∑
s∈Nγ′
n
δs(f, ·)
∥∥∥∥
2
� 2−n r1 n
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ . (6)
Далее, по числу M подберем m ∈ N так, чтобы выполнялись
неравенства |Qγ
′
m−1| < M ≤ |Qγ′m|. Тогда, приняв во внимание соот-
ношения |Qγ′m| � |Q
γ′
m−1| � 2mmν−1, будем иметь M � 2mmν−1.
Положим σ = min
{
1
2 (r1 − 1), 1
2
}
и
Mn =
{
Cσ 2−
1
2 (m−n) при n < m,
CσM 2−σ(n−m) при n ≥ m,
где Cσ > 0 подобрано так, что
∞∑
n=1
Mn ≤M.
204 А.С. Романюк
Заметим, что такое Cσ > 0 существует, поскольку
∞∑
n=1
Mn = Cσ
m−1∑
n=1
2−
1
2 (m−n) + Cσ
∞∑
n=m
M 2−σ(n−m) ≤
≤ Cσ 2−
1
2m 2
1
2 (m−1) + CσM �M.
Обозначим Mn = [Mn ], где [ a ] — целая часть числа a. Тогда
Mn = 0, если CσM 2−σ(n−m) < 1, т.е. при n > m1 = m+σ−1 log CσM .
Положим
S
∆Qγ
′
n
(Br2,θ) =
{
g =
∑
k∈∆Qγ
′
n
f̂(k)ei(k,x), f ∈ Br2,θ
}
и
‖S
∆Qγ
′
n
(Br2,θ)‖q = sup
g∈S
∆Q
γ′
n
(Br2,θ)
‖g(·)‖q. (7)
В принятых обозначениях можем записать
εM
(
Br2,θ, Lq
)
≤
∑
n≤m1
εMn
(
S
∆Qγ
′
n
(Br2,θ), Lq
)
+
+
∑
n>m1
‖S4Qγ′n (Br2,θ)‖q = I1 + I2. (8)
Оценим сначала слагаемое I2. Для f ∈ Br2,θ, в силу теоремы A,
будем иметь
‖S
∆Qγ
′
n
(f, ·)‖q = ‖S
Qγ
′
n
(f, ·)− S
Qγ
′
n−1
(f, ·) + f(·)− f(·)‖q ≤
≤ ‖f(·)− S
Qγ
′
n
(f, ·)‖q + ‖f(·)− S
Qγ
′
n−1
(f, ·)‖q �
� 2−n(r1− 1
2 + 1
q ) n
(ν−1)( 1
q−
1
θ )
+ .
Следовательно, согласно (7) справедлива оценка
‖S
∆Qγ
′
n
(Br2,θ)‖q � 2−n(r1− 1
2 + 1
q ) n
(ν−1)( 1
q−
1
θ )
+ . (9)
Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов . . . 205
Таким образом, воспользовавшись (9), находим
I2 =
∑
n>m1
‖S
∆Qγ
′
n
(Br2,θ)‖q �
∑
n>m1
2−n(r1− 1
2 + 1
q ) n
(ν−1)( 1
q−
1
θ )
+ �
�
∑
n>m1
2−n(r1−1) n
(ν−1)( 1
q−
1
θ )
+ �
� 2−m1(r1−1)m
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+
1 = J1. (10)
Чтобы продолжить оценку величины J1, рассмотрим два случая.
Предположим сначала, что r1 ≥ 2. В таком случае σ = 1
2 и соот-
ветственно m1 = m+ log (CσM)2. Тогда для J1 получим
J1 = 2−m(r1−1)(CσM)−2(r1−1)
(
m+ log(CσM)2
)(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ �
� 2−m(r1−1)2−2(r1−1)mm−2(ν−1)(r1−1)m
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ �
� 2−mr1 m
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ . (11)
Пусть теперь выполнено условие 1 < r1 < 2. Тогда σ = 1
2 (r1 − 1)
и, следовательно, m1 = m+ log(CσM)
2
r1−1 . В таком случае величина
J1 допускает оценку
J1 = 2−m(r1−1)(CσM)−2
(
m+ log(CσM)
2
r1−1
)(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ �
� 2−m(r1−1)2−2mm−2(ν−1)m
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ � 2−mr1 m
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ .
(12)
Таким образом, приняв во внимание (11) и (12), из (10) будем
иметь
I2 � 2−mr1 m
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ . (13)
Теперь перейдем к оценке величины I1. С этой целью представим
ее в виде двух слагаемых
I1 =
∑
n≤m
εMn
(
S
∆Qγ
′
n
(Br2,θ), Lq
)
+
∑
m<n≤m1
εMn
(
S
∆Qγ
′
n
(Br2,θ), Lq
)
. (14)
206 А.С. Романюк
Для оценки первого слагаемого, воспользовавшись леммой B и
соотношением (6), будем иметь∑
n≤m
εMn
(
S4Qγ′n
(Br2,θ), Lq
)
�
�
∑
n≤m
2−n r1 n
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ εMn
(
T (Qγ
′
n )2, Lq
)
�
�
∑
n≤m
2−n r1 n
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ 2−CσM 2−
1
2
(m−n)|Qγ
′
n |
−1
= J2. (15)
Далее, приняв во внимание соотношения |Qγ′n | � 2n nν−1 и
M � 2mmν−1, легко убедиться, что величина J2 допускает оценку
J2 � 2−mr1 m(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ . (16)
Чтобы оценить второе слагаемое правой части (14), также вос-
пользуемся леммой B и соотношением (6). Выполнив элементарные
преобразования, будем иметь∑
m<n≤m1
εMn
(
S4Qγ′n
(Br2,θ), Lq
)
�
∑
m<n≤m1
2−n r1 n
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ M−1×
×2σ(n−m) |Qγ
′
n | ln
2(|Qγ
′
n |M−1)� 2−r1 mm
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ . (17)
Таким образом, с учетом (14) – (17), приходим к оценке
I1 � 2−mr1 m
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ . (18)
Наконец, подставив (13) и (18) в (8) и приняв во внимание, что
M � 2mmν−1, получаем искомую оценку величины εM
(
Br2,θ, Lq
)
:
εM
(
Br2,θ, Lq
)
� 2−mr1 m
(ν−1)( 1
2−
1
θ )
+ �M−r1(logν−1M)r1 .
Теорема 1 доказана.
Для доказательства следующего утверждения нам понадобятся
некоторые дополнительные обозначения.
Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов . . . 207
Пусть
ρ(s) =
{
k = (k1, . . . , kd) : 2sj−1 ≤ kj < 2sj , j = 1, d
}
и
T (ρ(s)) =
{
t(x) =
∑
k∈ρ(s)
t̂(k) ei(k,x)
}
.
Заметим, что каждый полином t ∈ T (ρ(s)), sj ≥ 2, j = 1, d, может
быть представлен в виде
t(x) = ei(k
s, x)t1(x),
где ks = (ks11 , . . . , k
sd
d ), ksjj = 2sj−1 + 2sj−2, j = 1, d и t1(x) — полином
степени 2sj−2 по переменной xj , j = 1, d.
Для m = (m1, . . . ,md), mj ∈ Z+, обозначим через RT (m) мно-
жество действительных тригонометрических полиномов t вида:
t(x) =
∑
|kj |≤mj
j=1,d
t̂(k)ei(k,x).
Пусть T ′(ρ(s)) обозначает множество тригонометрических поли-
номов t вида
t(x) = ei(k
s,x) t1(x), t1 ∈ RT (2s−2).
Для четного n определим множества
Ω∗n =
{
s : ‖s‖1 = n, sj − четные числа, j = 1, d
}
,
Q′n =
⋃
s∈Ω∗n
ρ(s),
T ′(Q′n) =
{
t(x) =
∑
s∈Ω∗n
ei(k
s,x)t1s(x), t1s ∈ RT (2s−2)
}
.
Имеет место теорема.
Теорема 2. Пусть r1 > 0, 1 ≤ θ <∞. Тогда
εM (Br∞,θ, L1)�M−r1(logν−1M)r1+ 1
2−
1
θ . (19)
208 А.С. Романюк
Доказательство. Заметим, что для доказательства оценки
(19) достаточно рассмотреть случай ν = d. Получим сначала оценку
величины εM
(
Br∞,θ, L2
)
. С этой целью рассмотрим множество три-
гонометрических полиномов
T
′
(Q
′
n)∞ =
{
t ∈ T
′
(Q
′
n) : ‖t1s‖∞ ≤ 1
}
.
Для f ∈ L2(πd) определим функции
fRn (x) =
∑
s∈Ω∗n
ei(k
s,x) Re
(
δs(f, x)e−i(k
s,x)
)
,
f In(x) =
∑
s∈Ω∗n
ei(k
s,x) Im
(
δs(f, x)e−i(k
s,x)
)
,
где
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x).
Тогда fRn ∈ T ′(Q′n) и для любого t ∈ T ′(Q′n) имеем
‖f(· )− t(· )‖22 ≥ ‖fRn (· ) + i f In(· )− t(· )‖2 =
=
∑
s∈Ω∗n
‖ts(· )− Re
(
δs(f, · )e−i(k
s,·))− i Im(δs(f, · )e−i(ks,·))‖22 ≥
≥ ‖t(· )− fRn (· )‖22.
Отсюда делаем вывод, что если задана ε-сеть множества T ′(Q′n)∞ в
L2, то можно считать, что ее элементы принадлежат T ′(Q′n).
Далее, положим M = |Q′n| � 2n nd−1 и воспользуемся оценкой
из [9]:
εM
(
T ′(Qn)∞ 2−r1 n, L2
)
� 2−r1 n|Ω∗n|
1
2 �M−r1(logd−1M)r1+ 1
2 . (20)
Поскольку имеет место включение
T ′(Q′n)∞ 2−r1 n ⊂ C1(d)Hr
∞, (21)
то ∀ f ∈ T ′(Q′n)∞ 2−r1 n выполнено соотношение (см. [18, c. 32])
‖As(f, · )‖∞ � 2−(r,s).
Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов . . . 209
Поэтому для f ∈ T ′(Q′n)∞ 2−r1 n будем иметь
‖f‖Br∞,θ �
∑
s∈Ω∗n
2(s,r)θ ‖As(f, · )‖θ∞
1
θ
�
∑
s∈Ω∗n
1
1
θ
� n
d−1
θ .
Отсюда, приняв во внимание (21), заключаем, что
T ′(Q′n)∞ 2−r1 n n−
d−1
θ ⊂ C2(d)Br∞,θ, 1 ≤ θ <∞. (22)
Таким образом, согласно вложению (22) и оценке (20), можем
записать
εM
(
Br∞,θ, L2
)
� εM
(
T ′(Q′n)∞ 2−r1 n n−
d−1
θ , L2
)
�
� 2−r1 nn
d−1
2 n−
d−1
θ = 2−r1 nn(d−1)( 1
2−
1
θ ) �
�M−r1(logd−1M)r1+ 1
2−
1
θ . (23)
Отправляясь от (23), получим оценку (19). Из (23) следует, что
в T ′(Q′n)∞ 2−r1 n n−
d−1
θ найдется 2M функций {fj(·)}2
M
j=1 таких, что
для i 6= j будет выполнена оценка
‖fi(· )− fj(· )‖2 � 2−r1 n n(d−1)( 1
2−
1
θ ). (24)
Покажем, что из (24) вытекает оценка
‖fi(· )− fj(· )‖1 � 2−r1 n n(d−1)( 1
2−
1
θ ). (25)
Действительно, воспользовавшись неравенством [20, c. 330]
‖f(· )‖a ≤ ‖f(· )‖α1 ‖f(· )‖1−αb , f ∈ Lb, 1 < a < b,
α =
(
1
a −
1
b
) (
1− 1
b
)−1, можем записать
‖f(· )‖2 ≤ ‖f(· )‖
1
3
1 ‖f(· )‖
2
3
4 .
Отсюда имеем
‖f(· )‖
1
3
1 ≥ ‖f(· )‖2 ‖f(· )‖−
2
3
4 . (26)
210 А.С. Романюк
Далее, пусть
fj(x) = 2−r1 n n−
d−1
θ ϕj(x),
где ϕj ∈ T ′(Q′n)∞.
Тогда в силу леммы A для i 6= j будем иметь
‖fi(·)− fj(·)‖4 �
∑
s∈Ω∗n
‖δs((fi − fj), ·)‖24
1
2
�
� 2−r1 n n−
d−1
θ
∑
s∈Ω∗n
‖δs((ϕi − ϕj), ·)‖2∞
1
2
�
� 2−r1 n n−
d−1
θ
∑
s∈Ω∗n
(
‖δs(ϕi, ·)‖∞ + ‖δs(ϕj , ·)‖∞
)2 1
2
�
� 2−r1 n n−
d−1
θ
∑
s∈Ω∗n
1
1
2
� 2−r1 n n(d−1)( 1
2−
1
θ ). (27)
Таким образом, воспользовавшись оценками (24), (27) и соотно-
шением (26), получаем (25):
‖fi(·)− fj(·)‖1 ≥ 2−3r1 n n3(d−1)( 1
2−
1
θ ) 22r1 n n2(d−1)( 1
2−
1
θ ) =
= 2−r1 n n(d−1)( 1
2−
1
θ ).
Отсюда следует искомая оценка
εM
(
Br∞,θ, L1
)
�M−r1(logd−1M)
1
2−
1
θ .
Теорема 2 доказана.
Теперь, отправляясь от оценок (3) и (19) можно сформулировать
следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть 1 ≤ q < ∞, 2 ≤ p ≤ ∞, 2 ≤ θ < ∞, , r1 > 1.
Тогда
εM
(
Brp,θ, Lq
)
�M−r1(logν−1M)r1+ 1
2−
1
θ .
Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов . . . 211
Далее, принимая во внимание связь между энтропийными числа-
ми εM
(
Brp,θ, Lq
)
и ε-энтропией Hε
(
Brp,θ, Lq
)
(см. комментарий к опре-
делению этих характеристик) приведем утверждения, соответству-
ющие теоремам 1 – 3, относящиеся к оценкам величин Hε
(
Brp,θ, Lq
)
.
Теорема 1′. Пусть 1 ≤ q < ∞, 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ < ∞, r1 > 1.
Тогда
Hε
(
Brp,θ, Lq
)
�
(
1
ε
) 1
r1
(
log
1
ε
)(ν−1)
(
1+ 1
r1
( 1
2−
1
θ )
+
)
, ε→ 0.
Теорема 2′. Пусть r1 > 0, 1 ≤ θ <∞. Тогда
Hε
(
Br∞,θ, L1
)
�
(
1
ε
) 1
r1
(
log
1
ε
)(ν−1)
(
1+ 1
r1
( 1
2−
1
θ )
)
, ε→ 0.
Теорема 3′. Пусть 1 ≤ q < ∞, 2 ≤ p ≤ ∞, 2 ≤ θ < ∞, r1 > 1.
Тогда
Hε
(
Brp,θ, Lq
)
�
(
1
ε
) 1
r1
(
log
1
ε
)(ν−1)
(
1+ 1
r1
( 1
2−
1
θ )
)
, ε→ 0.
В заключение работы отметим, что теоремы 1 – 3, 1′ – 3′ допол-
няют ряд утверждений, которые были получены при исследовании
энтропийных чисел и ε-энтропии классов Hr
p и W r
p,α периодических
функций многих переменных в работах [8 – 16].
1. Бесов О.В. О некотором семействе функциональных пространств в связи
с теоремами вложения и продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. —
1961. — 60. — C. 42 – 81.
2. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 с.
3. Аманов Т.И. Теоремы представления и вложения для функциональных
пространств S(r)
p,θB(Rn) и S(r)∗
p,θ B, (0 6 xj 6 2π; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат.
ин-та АН СССР. — 1965. — 77. — С. 5 – 34.
4. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций смешанной
гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. — 1989. — 187. — С. 143 – 161.
212 А.С. Романюк
5. Колмогоров А.Н. Асимптотические характеристики некоторых вполне
ограниченных метрических пространств // Докл. АН СССР. — 1956. —
108, № 3. — С. 385 – 389.
6. Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. ε-энтропия и ε-емкость множеств в
функциональных пространствах // Успехи мат. наук. — 1959. — 14, № 2. —
С. 3 – 86.
7. Höllig K. Diameters of classes of smooth functions // Quantitative
approximation. N.Y.: Acad. Press. — 1980. — P. 163 – 176.
8. Темляков В.Н. Об оценках ε-энтропии и поперечников классов функ-
ций с ограниченной смешанной производной или разностью // Докл. АН
СССР. — 1988. — 301, № 2. — С. 288 – 291.
9. Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций
с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. — 1989. — 189. — С. 138 – 168.
10. Belinskíı E. S. Approximation of functions of several variables by trigonometric
polynomials with given number of harmonics, and estimates of ε-entropy //
Anal. Math. — 1989. — 15, № 2. — P. 67 – 74.
11. Белинский Э.С. Асимптотические характеристики классов функций с
условиями на смешанную производную (смешанную разность) // Иссле-
дования по теории функций многих вещественных переменных. — Яро-
славль: Ярослав. ун-т, 1990. — С. 22 – 37.
12. Кашин Б.С., Темляков В.Н. О наилучших m-членных приближениях и
энтропии множеств в пространстве L1 // Мат. заметки. — 1994. — 56,
№ 5. — С. 57 – 86.
13. Кашин Б.С., Темляков В.Н. Об оценке аппроксимативных характери-
стик классов функций с ограниченной смешанной производной // Мат.
заметки. — 1995. — 58, № 6. — С. 922 – 925.
14. Belinskíı E. S. Estimates of Entropy Numbers and Gaussian Measures for
Classes of Functions with Bounded Mixed Derivative // J. of Approx.
Theory. — 1998. — 93, № 2. — P. 114 – 127.
15. Temlyakov V.N. An inequality for trigonometric polynomials and its
application for estimating the Kolmogorov widths // East J. Approx. —
1996. — 2, № 1. — P. 89 – 98.
16. Temlyakov V.N. An inequality for the entropy numbers and its application //
J. of Approx. Theory. — 2013. — 173. — P. 110 – 121.
17. Романюк А.С.Приближение классов Бесова периодических функций мно-
гих переменных в пространстве Lq // Укр. мат. журн. — 1991. — 43,
№ 10. — С. 1398 – 1408.
18. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной произ-
водной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178. — С. 1 – 112.
Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов . . . 213
19. Харди Г., Литтлвуд И.Е., Полиa Дж. Неравенства. — М.: Изд-во иностр.
лит., 1948. — 456 с.
20. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2-х т. — М.: Мир, 1965. — Т. 1. —
615 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-77 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:09Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/09/8e3bb2395b0fea6f2d04cfce3a887309.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-772018-01-29T14:44:04Z Estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of several variables Оценки энтропийных чисел и $\varepsilon$-энтропии классов Никольского-Бесова периодических функций многих переменных Оценки энтропийных чисел и $\varepsilon$-энтропии классов Никольского-Бесова периодических функций многих переменных Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. We obtain the order estimates of the entropy numbers and $\varepsilon$-entropy of the Nikol'skii-Besov classes $B_{p,\theta}^r$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some values of the parameters $p$ and $q$ Установлены порядковые оценки энтропийных чисел и $\varepsilon$-энтропии классов Никольского-Бесова $B_{p,\theta}^r$ периодических функций многих переменных в пространстве $L_q$ для ряда значений параметров $p$ и $q$ Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/77 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 196-213 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 196-213 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 196-213 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/77/78 |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of several variables |
| title | Estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_alt | Оценки энтропийных чисел и $\varepsilon$-энтропии классов Никольского-Бесова периодических функций многих переменных Оценки энтропийных чисел и $\varepsilon$-энтропии классов Никольского-Бесова периодических функций многих переменных |
| title_full | Estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_fullStr | Estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_full_unstemmed | Estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_short | Estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_sort | estimates of the entropy numbers and ε-entropy of the nikol’skii-besov classes of periodic functions of several variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/77 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas estimatesoftheentropynumbersandeentropyofthenikolskiibesovclassesofperiodicfunctionsofseveralvariables AT romanûkas estimatesoftheentropynumbersandeentropyofthenikolskiibesovclassesofperiodicfunctionsofseveralvariables AT romanyukas ocenkiéntropijnyhčiselivarepsilonéntropiiklassovnikolʹskogobesovaperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas ocenkiéntropijnyhčiselivarepsilonéntropiiklassovnikolʹskogobesovaperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh |