Faber polynomials with common roots
We describe two sets of meromorphic univalent functions in the class $\Sigma$, for which the sequences of Faber polynomials $\{F_j\}_{j=1}^\infty $ have the roots with following properties respectively: $\sum_{j=1}^{n}|F_j(z_0)|=0<|F_{n+1}(z_0)|, $ $n\in\mathbb N, $ and ${|F_1(z_0)|&a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/78 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552609884143616 |
|---|---|
| author | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. |
| author_facet | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. В. Савчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Savchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We describe two sets of meromorphic univalent functions in the class $\Sigma$, for which the sequences of Faber polynomials $\{F_j\}_{j=1}^\infty $ have the roots with following properties respectively: $\sum_{j=1}^{n}|F_j(z_0)|=0<|F_{n+1}(z_0)|, $ $n\in\mathbb N, $ and ${|F_1(z_0)|>0=\sum_{j=2}^{\infty}|F_j(z_0)|}$. We found an explicit form of Faber polynomials for such functions |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 214–227
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн–т математики НАН України, Київ)
МНОГОЧЛЕНИ ФАБЕРА ЗI СПIЛЬНИМ КОРЕНЕМ
We describe two sets of meromorphic univalent functions in the class Σ, for
which the sequences of Faber polynomials {Fj}∞j=1 have the roots with following
properties respectively:
∑n
j=1 |Fj(z0)| = 0 < |Fn+1(z0)|, n ∈ N, and |F1(z0)| >
> 0 =
∑∞
j=2 |Fj(z0)|. We found an explicit form of Faber polynomials for such
functions.
Описано двi множини мероморфних однолистих функцiй класу Σ, для
яких послiдовностi многочленiв Фабера {Fj}∞j=1 мають коренi вiдповiд-
но з такими властивостями:
∑n
j=1 |Fj(z0)| = 0 < |Fn+1(z0)|, n ∈ N, i
|F1(z0)| > 0 =
∑∞
j=2 |Fj(z0)|. Знайдено явний вигляд многочленiв Фабера
для таких функцiй.
Вступ. Нехай Σ — клас функцiй
Ψ(w) = w +
∞∑
j=0
αjw
−j , (1)
якi є мероморфними i однолистими в областi D− :=
{
w ∈ Ĉ : |w| > 1
}
.
Многочленами Фабера функцiї Ψ ∈ Σ називається послiдовнiсть
алгебраїчних многочленiв {Fj}∞j=1, якi визначаються як коефiцiєнти
розвинення
ln
Ψ(w)− z
w
= −
∞∑
j=1
Fj(z)
j
w−j , z ∈ C, (2)
у степеневий ряд вiдносно w в околi нескiнченно вiддаленої точки
(див., наприклад, [1, с. 57]).
Многочлени Фабера можна означити i для довiльної мероморф-
ної функцiї Ψ, не обов’язково однолистої. Таке означення дається
за допомогою рекурентної формули (див., наприклад, [2, с. 60]): си-
стемою многочленiв Фабера мероморфної в D− функцiї Ψ, яка має
розвинення (1), називається система F(Ψ) := {Fj}∞j=0 алгебраїчних
многочленiв Fj степеня j (F0(z) = 1, F1(z)= z− α0) таких, що для
c© В. В. Савчук, 2014
Многочлени Фабера зi спiльним коренем 215
будь-якого z ∈ C i кожного натурального j справджуються рiвно-
стi
Fj+1(z) + (α0 − z)Fj(z) +
j∑
k=1
αkFj−k(z) + jαj = 0. (3)
Зауважимо, що з рекурентних рiвностей (3) для даної системи
многочленiв {Fj}∞j=0 i послiдовностi комплексних чисел {αj}∞j=0, вза-
галi кажучи, не випливає той факт, що послiдовнiсть {αj}∞j=0 є по-
слiдовнiстю коефiцiєнтiв Лорана–Тейлора мероморфної однолистої
функцiї Ψ. Якщо ж розглядати означення многочленiв Фабера, данi
на основi спiввiдношень (2) i (3) на класi Σ, то вони рiвносильнi. За-
значимо також, якщо iснує система алгебраїчних многочленiв така,
що для заданої послiдовностi комплексних чисел {αj}∞j=0 виконуєть-
ся (3), то така система єдина.
У численних застосуваннях многочленiв Фабера, зокрема, в тео-
рiї наближення аналiтичних функцiй комплексної змiнної, важли-
вою є iнформацiя про коренi цих многочленiв. Дослiдженням питань
про розмiщення, асимптотичний розподiл коренiв многочленiв Фабе-
ра тощо, присвячено багато робiт. Бiблiографiю з цього кола задач
можна знайти в [3].
Мета даної роботи — описання множини функцiй Ψ ∈ Σ, для яких
тiльки першi n многочленiв Фабера мають один спiльний корiнь, а
також описання множини функцiй, для яких усi многочлени Фабера,
починаючи з деякого, i тiльки вони мають один спiльний корiнь.
Робота написана за такою схемою.
В п. 1 дано опис множини функцiй Ψ ∈ Σ, для яких∑n
j=1 |Fj(z0)| = 0 < |Fn+1(z0)|. Також описано функцiї Ψ, для
яких вiдрiзок послiдовностi многочленiв Фабера {Fj}mj=0 збiгаєть-
ся з вiдрiзком послiдовностi многочленiв Тейлора {(z − α0)k}mk=0, а
вiдрiзок {Fj}nj=m+1, m < n− 1, з вiдрiзком послiдовностi алгебраїч-
них многочленiв, якi задовольняють тричленне рекурентне спiввiд-
ношення зi сталим коефiцiєнтом.
В п. 2 показано, що єдиною функцiєю Ψ ∈ Σ, для якої послiдов-
нiсть F(Ψ) має спiльний корiнь z0, починаючи з многочлена F2, є
функцiя Ψ(w) = z0 + w exp((α0 − z0)/w).
В п. 3 знайдено явний вигляд многочленiв Фабера функцiї Ψ(w) =
216 В.В. Савчук
= z0 + w exp((α0 − z0)/w), а також встановлено деякi їх властивостi.
1. Добре вiдомо, що для функцiї Ψ(w) = w+α0 многочлени Фабе-
ра мають вигляд Fj(z) = (z−α0)j , j = 0, 1, 2, . . .. Тому точка z0 = α0 є
спiльним коренем для всiх Fj , j = 1, 2, . . .. В наступному твердженнi
розвинуто це спостереження.
Теорема 1. Нехай Ψ ∈ Σ, F(Ψ) = {Fj}∞j=0 — система мно-
гочленiв Фабера функцiї Ψ, n ∈ N ∪ {∞} i z0 ∈ C. Тодi наступнi
твердження рiвносильнi:
1)
n∑
j=1
|Fj(z0)| = 0 < |Fn+1(z0)|;
2) Ψ(w) = w + z0 +
∞∑
j=n
αjw
−j ∀ w ∈ D−, |αn| > 0
∞∑
j=∞
= 0
;
3) Fj(z) = (z − z0)j , j = 0, n i Fn+1(z) 6≡ (z − z0)n+1 ∀ z ∈ C.
Зауваження 1. Коефiцiєнти Лорана–Тейлора функцiї Ψ ∈ Σ,
про яку йдеться в твердженнi 2) теореми 1 задовольняють таку
нерiвнiсть [4, p. 139]:
|αj | ≤
2
j + 1
, j = n, 2n.
Цiкаво також зауважити (це випливає з (3)), що для такої функцiї Ψ
αj = −Fj+1(z0)
j + 1
, j = n, 2n.
Доведення. Твердження теореми 1 є тривiальним при n = 1,
тому далi вважаємо, що n ≥ 2.
Доведення ”1)⇒ 2)”. Згiдно з (3)
−(j + 1)αj = Fj+1(z0) + (α0 − z0)Fj(z0) +
j−1∑
k=1
αkFj−k(z0), j ∈ N,
де (i скрiзь далi) суми вигляду
∑m
j=n при m < n покладаються рiв-
ними нулю.
Многочлени Фабера зi спiльним коренем 217
Права частина останньої рiвностi дорiвнює нулю для всiх нату-
ральних j ≤ n − 1, до того ж F1(z0) = z0 − α0 = 0, тому α0 = z0 i
αj = 0, j = 1, n− 1.
Оскiльки |Fn+1(z0)| > 0, то |αn| = (n+ 1)−1|Fn+1(z0)| > 0.
Доведення ”2)⇒ 3)”. Згiдно з (3)
Fj(z0) = (z − z0)Fj−1(z), j = 1, n,
i
Fn+1(z) = (z − z0)Fn(z)− (n+ 1)αn.
Отже,
Fj(z) = (z − z0)j , j = 0, n,
i
Fn+1(z) = (z − z0)n+1 − (n+ 1)αn 6≡ (z − z0)n+1.
Iмплiкацiя ”3)⇒ 1)” є очевидною.
Повертаючись до теореми 1, зауважимо, що для функцiй Ψ(w) =
= w + α0 +
∑∞
k=n αkw
−k i тiльки для них першi n многочленiв Фаб-
ера збiгаються з першими n многочленами Тейлора (z − α0)k, якi
вiдповiдають функцiї w 7→ w+α0. У зв’язку з цим природно виникає
питання про описання функцiй Ψ ∈ Σ, для яких першi n многочленiв
Фабера збiгаються з iншими добре вiдомим частинними випадками
многочленiв Фабера, наприклад, з многочленами Чебишева.
Наступне твердження описує деякi з таких випадкiв.
Теорема 2. Нехай Ψ ∈ Σ, F(Ψ) = {Fj}∞j=0 — система много-
членiв Фабера функцiї Ψ, z0 ∈ C, m, n ∈ N ∪ {∞}, m < n − 1. Тодi
наступнi твердження рiвносильнi:
1)
n∑
j=1,
j 6=m+1
|Fj(z0)| = 0 < |Fm+1(z0)Fn+1(z0)|;
2) Ψ(w) = w+z0+αmw
−m+
∞∑
j=n
αjw
−j, ∀ w ∈ D−, |αmαn| > 0;
218 В.В. Савчук
3)
Fj+1(z) =
(z − z0)j+1, j = 0,m− 1,
(z − z0)m+1 − (m+ 1)αm, j = m,
(z − z0)Fj(z)− αmFj−m(z), j = m+ 1, n− 1,
(z−z0)Fj(z)−αmFj−m(z)−
j∑
k=n
αkFj−k(z)−jαj , j ≥ n.
Доведення є цiлком аналогiчним до доведення теореми 1. Тому
окреслимо лише його ключовi моменти.
Якщо справджується твердження 1), то за теоремою 1 αj = 0,
j = 1,m− 1, i Fj(z) = (z−α0)j , j = 1,m. Далi, згiдно з (3) Fm+1(z0)=
= −(m+ 1)αm 6= 0 i 0 = Fj+1(z0) = −
∑j−1
k=m αkFj−k(z0) − jaj ,
j = m,n− 1, тобто αj = 0, j = m+ 1, n− 1.
На пiдставi цих фактiв усi рекурентнi формули в твердженнi 3)
випливають iз формули (3), i навпаки.
Приклад 1. Нехай в умовах теореми 2 αm = 1/m, тобто
Ψ(w) = w +
1
mwm
+
∞∑
j=n
αjw
−j , m ∈ N. (4)
Вiдомо, що функцiя Ψ̃(w) := w+1/(mwm) здiйснює конформне вiдо-
браження областi D− на зовнiшнiсть m–гiпоциклоїди з m+1 точкою
звороту (див., наприклад, [5, с. 295]).
Для такої функцiї Ψ̃ в [6] одержано явний вираз для системи
многочленiв Фабера F(Ψ̃):
F̃j(z) = j
[j/(m+1)]∑
k=0
(−1)kΓ(j −mk)
Γ(j − (m+ 1)k + 1)mkk!
zj−(m+1)k, j ∈ N,
Многочлени Фабера зi спiльним коренем 219
де [
j
m+ 1
]
:=
j
m+ 1
, j = 0 mod(m+ 1),
j − l
m+ 1
, j = l mod(m+ 1), l = 1,m,
i Γ(·) — гамма-функцiя Ейлера, а у роботах [7, 8] показано, що всi
нулi многочленiв F̃j лежать на променях, що з’єднують точку 0 з
вершинами m–гiпоциклоїди.
Зокрема, при m = 1 областю значень функцiї Ψ є вся комплексна
площина з розрiзом вздовж вiдрiзка [−2, 2], тобто Ψ̃(D−) = Ĉ\[−2, 2].
Отже,
F(Ψ̃) = {T0} ∪
{
2Tj
(z
2
)}∞
j=1
,
де Tj — многочлени Чебишева (див., наприклад, [9, с. 56, 57]).
Таким чином, згiдно з теоремою 2 для функцiї Ψ, визначеної рiв-
нiстю (4), Fj(z) = F̃j(z), j = 0, n.
Многочлени Фабера Fj , розглянутi в прикладi 1, при j = m+ 1, n
утворюють пiдклас алгебраїчних многочленiв, що породжуються так
званими тричленними рекурентними спiввiдношеннями. Такi много-
члени вiдiграють важливу роль в багатьох роздiлах сучасного аналi-
зу, зокрема, в асимптотичнiй теорiї ортогональних многочленiв i в
теорiї апроксимацiй Ермiта–Паде. Цим та iншим аспектам теорiї при-
свячена робота [10].
2. Розглянемо тепер задачу про описання множини функцiй
Ψ ∈ Σ, для яких iснує принаймнi одна точка z0 ∈ C така, що для
деякого натурального n
n∑
j=1
|Fj(z0)| > 0 =
∞∑
j=n+1
|Fj(z0)|. (5)
Наступне твердження дає розв’язок поставленої задачi у випадку
n = 1.
Теорема 3. Нехай Ψ — мероморфна в D− функцiя вигляду (1),
F(Ψ) = {Fj}∞j=0 — система многочленiв Фабера функцiї Ψ i z0 ∈ C.
Тодi:
220 В.В. Савчук
1) для того, щоб спiввiдношення (5) виконувалося при n = 1
необхiдно i достатньо, щоб z0 6= α0 i
Ψ(w) = z0 + w exp
(
α0 − z0
w
)
= w + α0 +
∞∑
j=1
(α0 − z0)j+1
(j + 1)!
w−j ; (6)
2) функцiя Ψ, задана формулою (6), є однолистою тодi i тiльки
тодi, коли |α0 − z0| ≤ 1.
Наслiдок 1. Нехай Ψ — функцiя мероморфна в D− i F(Ψ) —
система многочленiв Фабера функцiї Ψ. Якщо z0 — точка, для якої
виконується спiввiдношення (5) при n = 1, то вона єдина.
Справдi, рiвняння F2(z) = (z − α0)2 − (z0 − α0)2 = 0 має два
коренi: z1 = z0, z2 = 2α0 − z0. Тому iншою точкою, для якої мо-
же виконуватися спiввiдношення (5) є тiльки точка z∗0 := 2α0 − z0.
Але в такому випадку для всiх w ∈ D− мала б виконуватися рiв-
нiсть exp((α0− z0)/w) = exp(−(α0− z0)/w), що неможливо, оскiльки
z0 6= α0.
Зауваження 2. Як буде видно з доведення теореми 3, умова
|α0 − z0| ≤ 1 є критерiєм того, що функцiя Ψ, задана формулою (6),
є зiрковою вiдносно точки z0, тобто, що область Ĉ \ Ψ(D−)− z0 є
зiрковою вiдносно початку координат.
Доведення. 1). Нехай F2(z0) = F3(z0) = . . . = 0 i z0 6= α0. Тодi
застосовуючи формулу (3) послiдовно для j = 1, 2, . . . при z = z0,
отримаємо рiвностi
0 + (α0 − z0)(z0 − α0) + 2α1 = 0,
0 + (α0 − z0) ·0 + α1(z0 − α0) + 3α2 = 0, (7)
0 + (α0 − z0) ·0 + α1 ·0 + α2(z0 − α0) ·0 + 4α3 = 0
i т. д.
Звiдси випливає, що
α1 =
(z0 − α0)2
2
, α2 =
(z0 − α0)3
2·3
, α3 =
(z0 − α0)4
2· 3·4
, . . . .
Многочлени Фабера зi спiльним коренем 221
Отже,
Ψ(w) = w + α0 +
∞∑
j=1
(z0 − α0)j+1
(j + 1)!
w−j .
Навпаки, якщо функцiя Ψ має вигляд (6) i z0 6= α0, то будуть
виконуватися рiвностi (7), якi згiдно з формулами (3) й доводять,
що F2(z0) = F3(z0) = . . . = 0.
Зауважимо, що якщо ж виконується (5) при n = 1 i функцiя Ψ ∈
Σ, то висновок про її вигляд можна зробити безпосередньо з рiвностi
(2). Справдi, у такому випадку розвинення (2) в околi нескiнченно
вiддаленої точки набуває вигляду
ln
Ψ(w)− z0
w
= −F1(z0)w−1 = (α0 − z0)w−1. (8)
Припустимо, що z0 = Ψ(w0) для деякого w0 ∈ D−. Тодi лiву частину
рiвностi (8) можна переписати у виглядi
ln
Ψ(w)− z0
w
= ln
Ψ(w)−Ψ(w0)
w − w0
+ ln
(
1− w0
w
)
.
Звiдки випливає, що при значеннях w з околу w0 абсолютна величи-
на лiвої частини рiвностi (8) за рахунок доданка ln(1− w0/w) може
бути як завгодно великою, в той час як права частина (8) є обмеже-
ною.
Отримана суперечнiсть доводить, що рiвнiсть (8) справджується
для всiх w ∈ D− i не iснує такого w0 ∈ D−, щоб z0 = Ψ(w0).
Отже, неодмiнно z0 ∈ Ĉ \Ψ(D−) i
Ψ(w) = z0 + w exp
(
α0 − z0
w
)
, w ∈ D−.
2). Нехай функцiя Ψ, задана формулою (6), є однолистою.
Тодi згiдно з вiдомою ознакою однолистостi (див. [11]) справд-
жується спiввiдношення
A(Ψ) := sup
w∈D−
{
(|w|2 − 1)
∣∣∣∣wΨ′′(w)
Ψ′(w)
∣∣∣∣} ≤ 6.
222 В.В. Савчук
Оскiльки
Ψ′(w) =
w − λ
w
exp
(
λ
w
)
, Ψ′′(w) =
λ2
w3
exp
(
λ
w
)
, w ∈ D−,
де λ := α0 − z0, то
6 ≥ A(Ψ) ≥ (R2 − 1)
∣∣∣∣ λ2
Rei arg λ (Rei arg λ − λ)
∣∣∣∣ =
= (R2 − 1)
|λ|2
R
∣∣R− |λ|∣∣ ∀ R > 1,
звiдки й випливає, що |λ| ≤ 1.
Доведемо тепер достатнiсть умови |λ| ≤ 1 для однолистостi функ-
цiї Ψ(w) = z0 + w exp(λw−1).
Зрозумiло, що однолистiсть функцiї Ψ є рiвносильною одноли-
стостi функцiї w 7→ (Ψ(w) − z0). Тому, не втрачаючи загальностi,
покладаємо z0 = 0.
Насправдi, у нашому випадку про функцiю Ψ можна стверджува-
ти бiльше. А саме, функцiя Ψ є зiрковою в D−, а отже, i однолистою.
У цьому легко переконатися за допомогою такого критерiю (див., на-
приклад, [1, с. 42]): голоморфна функцiя Ψ є зiрковою в D− тодi i
тiльки тодi, коли
B(Ψ) := inf
w∈D−
Re
(
w
Ψ′(w)
Ψ(w)
)
≥ 0.
Маємо
B(Ψ) = inf
w∈D−
Re
w − λ
w
= inf
w∈D−
(
1−
∣∣∣∣ λw
∣∣∣∣) = 1− |λ| ≥ 0,
що й доводить зiрковiсть i однолистiсть функцiї Ψ.
3. Наведемо тепер деякi властивостi многочленiв Фабера функцiї
Ψ, заданої формулою (6).
Розпочнемо з твердження, в якому дано явний вигляд много-
членiв Фабера такої функцiї.
Многочлени Фабера зi спiльним коренем 223
Теорема 4. Нехай Ψ(w) = η + w exp
(
λ
w
)
, η, λ ∈ C, |λ| ≤ 1 i
F(Ψ) — система многочленiв Фабера функцiї Ψ. Тодi
F1(z) = z−η−λ, Fj(z) = j
j∑
k=1
(−λ)j−k
kj−k−1
(j − k)!
(z−η)k, j ≥ 2, 00 = 1.
Доведення. Теорема є очевидною у випадку, коли λ = 0, тому
далi у доведеннi цей випадок виключаємо.
Нехай Φ := Ψ−1 — функцiя, обернена до Ψ. За теоремою 3 функ-
цiя Ψ є однолистою в D−, тому Φ є визначеною i однолистою в областi
Ψ(D−).
Добре вiдомо (див., наприклад, [2, с. 53]), що многочлени Фабера
Fj функцiї Ψ збiгаються з правильною частиною (тейлорiвською ча-
стиною) функцiї Φj у розвиненнi в ряд Лорана в околi нескiнченно
вiддаленої точки, тобто
(Φ(z))j = Qj(z) + Fj(z), j = 1, 2, . . . , (9)
де Qj(z) = O(1/z), |z| → ∞.
Знайдемо явний вигляд функцiї Φ. Для цього при довiльному
фiксованому z ∈ Ψ(D−) розглянемо рiвняння вiдносно w:
z = η + w exp
(
λ
w
)
.
Оскiльки η 6∈ Ψ(D−), то останнє рiвняння рiвносильне такому
− λ
w
exp
(
− λ
w
)
= − λ
z − η
.
Розв’язки цього рiвняння мають вигляд
w = − λ
W
(
− λ
z − η
) , (10)
де W — функцiя Ламберта, яка означається як обернена функцiя до
функцiї w 7→ wew, тобто W (wew) = w (див., наприклад, [12]).
224 В.В. Савчук
Функцiя W є багатозначною з розгалуженням в точцi −e−1 i
межею однозначностi гiлок — променем (−∞,−e−1]. Але оскiльки
−λ/(z − η) 6∈ (−∞,−e−1], то в правiй частинi (10) беремо головну
гiлку W0 функцiї Ламберта.
Таким чином,
Φ(z) = − λ
W0
(
− λ
z − η
) . (11)
Оскiльки, як показано в [12], для будь-якого цiлого j
(W0(t))
j
= −j
+∞∑
k=j
(−k)k−j−1
(k − j)!
tk, |t| < e−1, (0/0 = 1),
то згiдно з (9) i (11)
Fj(z) = (−λ)j
(
W0
(
− λ
z − η
))−j
−Qj(z) =
= (−λ)jj
0∑
k=−j
(−k)k+j−1
(k + j)!
(
− λ
z − η
)k
,
(
00 = 1
)
,
що й потрiбно було довести.
Розглянемо задачу з [13, с. 57] про явний вигляд алгебраїчних
многочленiв Pj , якi породжуються твiрною функцiєю
K(z, t) :=
A(t)
1− zg(t)
,
де A(t) =
∑∞
k=0 akt
k, |a0| > 0 i g(t) =
∑∞
k=1 gkt
k, |g1| > 0 — функцiї,
голоморфнi в крузi D :=
{
t ∈ C : |t| < 1
}
.
Йдеться про послiдовнiсть алгебраїчних многочленiв {Pj}∞j=0, для
яких справджується рiвнiсть
K(z, t) =
∞∑
j=0
Pj(z)t
j (12)
Многочлени Фабера зi спiльним коренем 225
при деякому фiксованому z для всiх t в околi 0, а також про визна-
чення областi Ω× D всiх таких допустимих значень (z, t).
Теорема 5. Нехай A(t) = 1, g(t) = t exp(−λt), λ ∈ C, |λ| ≤ 1. Тодi
рiвнiсть (12) справджується для всiх (z, t) ∈ Ω×D, де Ω — зiркова
вiдносно точки 0 область з межею Γ := {ζ = eiθ exp(λe−iθ) : θ ∈
∈ [0, 2π]},
Pj =
j∑
k=0
λj−kFk, j = 0, 1, 2, . . . ,
i Fk — многочлени Фабера функцiї Ψ(w) = w exp
(
λ
w
)
.
Доведення. За теоремою 3 i зауваженням 2 функцiя Ψ є зiр-
ковою, тобто область Ω := Ĉ \ Ψ(D−) є зiрковою вiдносно точки 0.
Зрозумiло також, що крива Γ є межею областi Ω.
Нехай z ∈ Ω. Тодi, продиференцiювавши вiдносно w рiвнiсть (2),
отримаємо добре вiдоме спiввiдношення
Ψ′(w)w
Ψ(w)− z
=
∞∑
j=0
Fj(z)w
−j , (13)
в якому ряд вiдносно w збiгається рiвномiрно i абсолютно в областi
D−.
З другого боку, для всiх z ∈ Ω i w ∈ D−
Ψ′(w)w
Ψ(w)− z
=
w − λ
w
K
(
z,
1
w
)
.
Отже, за правилом множення степеневих рядiв для будь-якого
z ∈ Ω i t ∈ D \ {0} маємо рiвностi
K(z, t) =
1
1− λt
·
Ψ′
(
1
t
)
1
t
Ψ
(
1
t
)
− z
=
=
( ∞∑
k=0
λktk
)( ∞∑
k=0
Fk(z)tk
)
=
∞∑
j=0
(
j∑
k=0
λj−kFk(z)
)
tj ,
226 В.В. Савчук
що й потрiбно було довести.
Область Ω не можна розширити не змiнивши область D. У цьому
легко переконатися, зауваживши таке.
Припустимо z ∈ Γ, тобто z = Ψ(w0) для деякого w0, |w0| = 1.
Тодi точка w0 є особливою точкою для ряду в правiй частинi (13),
що унеможливлює всi висновки, зробленi вище.
Теорему доведено.
Теорема 6. Нехай Ψ(w) = w exp
(
λ
w
)
, λ ∈ C, |λ| ≤ 1 i F(Ψ) —
система многочленiв Фабера функцiї Ψ. Тодi
zF ′j(z) = j
j∑
k=0
λj−kFk(z), j = 0, 1, 2, . . . . (14)
Доведення. За теоремою 5 для будь-якого z ∈ Ω i w ∈ D−
∞∑
j=0
Pj(z)w
−j =
1
1− z
w
exp
(
− λ
w
) =
w exp
(
λ
w
)
w exp
(
λ
w
)
− z
=
= 1 +
z
w exp
(
λ
w
)
− z
. (15)
З другого боку, внаслiдок диференцiювання (2) вiдносно z (див.
також [2, с. 129]), справджується рiвнiсть
1
Ψ(w)− z
=
=
1
w exp
(
λ
w
)
− z
=
∞∑
j=1
F ′j(z)
j
w−j ∀ z ∈ Ω, w ∈ D−. (16)
Пiдставивши (16) в (15) i зрiвнявши коефiцiєнти при w−j в роз-
виненнях в обох частинах, за теоремою 5 отримаємо (14).
Многочлени Фабера зi спiльним коренем 227
1. Pommerenke Chr. Univalent functions. — Göttingen: Vandenhoeck &
Ruprecht, 1975. — 376 p.
2. Суетин П.К. Ряды по многочленам Фабера. — М.: Наука, 1984. — 336 с.
3. Andrievskii V.V., Blatt H.–P. On the Distribution of Zeros of Faber
Polynomials // Comp. Meth. Funct. Th. — 2011. — 11, № 1. — P. 263 – 282.
4. Duren P. Univalent Functions. — New York: Springer–Verlag, 2001. — 383 p.
5. Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения и их приложения. —
М: Едиториал УРСС, 2002. — 324 с.
6. He M.X. Explicit Representations of Faber Polynomials for m-Cusped
Hypocycloids // J. Approx. Theory. — 1996. — 87, № 2. — P. 137 – 147.
7. Eiermann M. Varga R. S. Zeros and local extreme points of Faber polynomials
associated with hypocycloidal domains // Elec. Trans. Numer. Anal. — 1993. —
1. — P. 49 – 71.
8. He M. X., Saff E.B. The zeros of Faber polynomials for an m-cusped
hypocycloid // J. Approx. Theory. — 1994. — 78, № 3. — P. 410 – 432.
9. Gil A., Segura J., Temme N.M. Numerical Methods for Special Functions. —
Philadelphia: SIAM, 2007. — 417 p.
10. Aptekarev A. I., Kalyagin V.A., Saff E.B. Higher–Order Three–Term
Recurrences and Asymptotics of Multiple Orthogonal Polynomials // Constr.
Approx. — 2009. — 30, № 2. — P. 175 – 223.
11. Авхадиев Ф.А. Об условиях однолистности аналитических функций //
Изв. вузов. Матем. — 1970. — №11. — С. 3 – 13.
12. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E. G., Jeffrey D. J., Knuth D.E. On the
Lambert W function // Adv. Comp. Math. — 1996. — 5, № 4. — P. 329 – 359.
13. Boas R. P. Jr., Buck R.G. Polynomial expansions of analytic functions. —
Berlin: Springer–Verlag, 1964. — 77 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-78 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:10Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/23/7c4e4ed7ad0dfa246a754980fa3f4c23.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-782018-01-29T14:44:04Z Faber polynomials with common roots Многочлени Фабера зі спільним коренем Savchuk, V. V. Савчук, В. В. We describe two sets of meromorphic univalent functions in the class $\Sigma$, for which the sequences of Faber polynomials $\{F_j\}_{j=1}^\infty $ have the roots with following properties respectively: $\sum_{j=1}^{n}|F_j(z_0)|=0&lt;|F_{n+1}(z_0)|, $ $n\in\mathbb N, $ and ${|F_1(z_0)|&gt;0=\sum_{j=2}^{\infty}|F_j(z_0)|}$. We found an explicit form of Faber polynomials for such functions Описано дві множини мероморфних однолистих функцій класу $\Sigma$, для яких послідовності многочленів Фабера $\{F_j\}_{j=1}^\infty$ мають корені відповідно з такими властивостями: $\sum_{j=1}^{n}|F_j(z_0)|=0&lt;|F_{n+1}(z_0)|,$ $n\in\mathbb N,$ і $|F_1(z_0)|&gt;0=\sum_{j=2}^{\infty}|F_j(z_0)|$. Знайдено явний вигляд многочленів Фабера для таких функцій Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/78 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 214-227 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 214-227 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 214-227 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/78/76 Авторське право (c) 2014 В. В. Савчук |
| spellingShingle | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. Faber polynomials with common roots |
| title | Faber polynomials with common roots |
| title_alt | Многочлени Фабера зі спільним коренем |
| title_full | Faber polynomials with common roots |
| title_fullStr | Faber polynomials with common roots |
| title_full_unstemmed | Faber polynomials with common roots |
| title_short | Faber polynomials with common roots |
| title_sort | faber polynomials with common roots |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/78 |
| work_keys_str_mv | AT savchukvv faberpolynomialswithcommonroots AT savčukvv faberpolynomialswithcommonroots AT savchukvv mnogočlenifaberazíspílʹnimkorenem AT savčukvv mnogočlenifaberazíspílʹnimkorenem |