Approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$
We obtained the exact order estimates of approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}_{1,\theta}^{\omega}(\bar{\gamma})$ of periodic functions of many variables in the $L_q$-metric $(1<q<\infty)$
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/79 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552612324179968 |
|---|---|
| author | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. |
| author_facet | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. А. Стасюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Stasyuk, S. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We obtained the exact order estimates of approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}_{1,\theta}^{\omega}(\bar{\gamma})$ of periodic functions of many variables in the $L_q$-metric $(1<q<\infty)$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 228–240
УДК 517.5
С. А. Стасюк∗ (Iн–т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ СХIДЧАСТО-ГIПЕРБОЛIЧНИМИ
СУМАМИ ФУР’Є КЛАСIВ MBω1,θ(γ̄)
We obtained the exact order estimates of approximation by step-hyperbolic
Fourier sums of classes MBω
1,θ(γ̄) of periodic functions of many variables in
the Lq-metric (1 < q <∞).
Одержано точнi за порядком оцiнки наближення схiдчасто-
гiперболiчними сумами Фур’є класiв MBω
1,θ(γ̄) перiодичних функцiй
багатьох змiнних в просторi Lq, (1 < q <∞).
Нехай Lp(Td), Td :=
d∏
j=1
[0, 2π), 1 ≤ p <∞, — простiр 2π-перiодич-
них за кожною змiнною функцiй f(x̄) = f(x1, . . . , xd) зi скiнченною
нормою, яка визначається рiвнiстю
‖f‖p :=
(2π)−d
∫
Td
|f(x̄)|pdx̄
1
p
i
L0
p(Td) :=
{
f : f ∈ Lp(Td),
2π∫
0
f(x̄)dxj = 0, j = 1, . . . , d
}
.
Для f ∈ L0
p(Td) i для t̄ = (t1, . . . , td), tj ≥ 0, j = 1, . . . , d, озна-
чимо мiшаний модуль неперервностi порядку l̄ = (l1, . . . , ld), lj ∈ N,
j = 1, . . . , d,
Ωl̄(f, t̄)p := sup
|hj |≤tj
j=1,...,d
||∆l̄
h̄f(·)||p,
де ∆l̄
h̄
f(x̄) := ∆ld
hd,d
(. . . (∆l1
h1,1
f(x̄)) . . . ) — мiшана рiзниця порядку l̄;
∗Робота виконана за часткової пiдтримки FP7-People-2011-IRSES, проект
№295164 (EUMLS: EU–Ukrainian Mathematicians for Life Sciences).
c© С. А. Стасюк, 2014
Наближення схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є . . . 229
∆
lj
hj ,j
f(x̄) := ∆hj ,j∆
lj−1
hj ,j
f(x̄) — lj-рiзниця функцiї f з кроком hj за
змiнною xj ,
∆hj ,jf(x̄) := ∆1
hj ,jf(x̄) := f(x1, . . . , xj−1, xj + hj , xj+1, . . . , xd)− f(x̄),
∆0
hj ,jf(x̄) := f(x̄).
Вiдомо, що
∆k
hj ,jf(x̄) =
k∑
n=0
(−1)k−nCnk f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd),
де Cnk — бiномiальнi коефiцiєнти.
Надалi у випадку l1 = · · · = ld = l будемо писати Ωl(f, t̄)p замiсть
Ωl̄(f, t̄)p.
Нехай Ω(t̄) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного мо-
дуля неперервностi порядку l, яка задовольняє такi умови:
1) Ω(t̄) > 0, tj > 0, j = 1, . . . , d; Ω(t̄) = 0,
d∏
j=1
tj = 0;
2) Ω(t̄) не спадає по кожнiй змiннiй;
3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤ C1
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t̄), mj ∈ N, j = 1, . . . , d,
C1 — деяка додатна стала;
4) Ω(t̄) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, . . . , d.
На функцiю Ω(t̄) будемо накладати додатковi умови (S) та
(Sl) [1], якi називають умовами Барi–Стєчкiна. Сформулюємо їх.
Будемо говорити, що функцiя ϕ(τ) ≥ 0 вiд однiєї змiнної задо-
вольняє умову (S), якщо ϕ(τ)/τα майже зростає при деякому α > 0,
тобто iснує така не залежна вiд τ1 та τ2 стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τα1
≤ C2
ϕ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Функцiя ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sl), якщо ϕ(τ)/τβ майже
спадає при деякому β: 0 < β < l, тобто iснує така не залежна вiд τ1
та τ2 стала C3 > 0, що
ϕ(τ1)
τβ1
≥ C3
ϕ(τ2)
τβ2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
230 С.А. Стасюк
Будемо говорити, що Ω(t̄) задовольняє умови (S) та (Sl), якщо
Ω(t̄) задовольняє цi умови за кожною змiнною tj при фiксованих
значеннях iнших змiнних ti, i 6= j.
Наведемо означення просторiв MBΩ
p,θ, розглянутих у роботi [2].
Для 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i функцiї Ω(t̄) типу мiшаного модуля
неперервностi порядку l простiр MBΩ
p,θ визначається таким чином:
MBΩ
p,θ :=
{
f ∈ L0
p(Td) : ‖f‖MBΩ
p,θ
<∞
}
,
де
‖f‖MBΩ
p,θ
:=
{∫
Td
(
Ωl(f, t̄)p
Ω(t̄)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
} 1
θ
, 1 ≤ θ <∞, (1)
‖f‖MBΩ
p,∞
:= sup
t̄∈Td
Ωl(f, t̄)p
Ω(t̄)
. (2)
Простори MBΩ
p,∞ спiвпадають з узагальненими простора-
ми Нiкольського MHΩ
p (див. [3]). Зауважимо, що у випадку
Ω(t̄) = tr11 . . . trdd , 0 < rj < l, j = 1, . . . , d, простори MBΩ
p,θ вивчались
в [4]. Зокрема, в [4] одержано декомпозицiйне зображення для норм
функцiй iз цих просторiв.
Перейдемо до декомпозицiйного зображення норм функцiй з про-
сторiв MBΩ
p,θ. Кожному вектору s̄ ∈ Nd поставимо у вiдповiднiсть
множини
ρ(s̄) :=
{
k̄ = (k1, . . . , kd) : 2sj−1≤ |kj | <2sj , kj ∈ Z, j= 1, . . . , d
}
,
ρ+(s̄) := ρ(s̄)
⋂
Nd,
а для ε̄ = (ε1, . . . , εd), εj= ±1, j= 1, . . . , d, —
ρε̄(s̄) := ρ(s̄)
⋂ d∏
j=1
εjN,
де εjN := N, якщо εj = 1, i εjN := {−1,−2, . . . }, якщо εj = −1.
Для f ∈ L0
p(Td) покладемо
δs̄(f, x̄) :=
∑
k̄∈ρ(s̄)
f̂(k̄)ei(k̄,x̄), δ+
s̄ (f, x̄) :=
∑
k̄∈ρ+(s̄)
f̂(k̄)ei(k̄,x̄),
Наближення схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є . . . 231
δε̄s̄(f, x̄) :=
∑
k̄∈ρε̄(s̄)
f̂(k̄)ei(k̄,x̄),
де
f̂(k̄) = (2π)−d
∫
Td
f(t̄)e−i(k̄,t̄) dt̄
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f , (k̄, x̄) := k1x1 + · · ·+ kdxd.
Для ϕ, g ∈ L1(Td) позначимо
(ϕ ∗ g)(x̄) := (2π)−d
∫
Td
ϕ(ȳ)g(x̄− ȳ) dȳ.
Нехай
Dm(t) :=
m∑
k=−m
eikt, Vn(t) :=
1
n
2n−1∑
k=n
Dk(t), m, n ∈ N.
Покладемо As̄(f, x̄) := (f ∗As̄)(x̄), де
As̄ := As̄(x̄) :=
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
.
У роботi [5] встановлено, що при 1 ≤ p <∞, 1 ≤ θ <∞ у випадку,
коли Ω(t̄) = Ω(t1, . . . , td) — функцiя типу мiшаного модуля непе-
рервностi порядку l, що задовольняє умови (S) та (Sl), для ‖f‖MBΩ
p,θ
,
f ∈MBΩ
p,θ, має мiсце таке спiввiдношення:
‖f‖MBΩ
p,θ
�
{∑
s̄
(Ω(2−s̄))−θ||As̄(f, ·)||θp
} 1
θ
, (3)
де Ω(2−s̄) := Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), sj ∈ N, j = 1, . . . , d.
Зазначимо, що запис a � b означає, що для невiд’ємних величин
a та b, що визначаються деякою сукупнiстю параметрiв, iснує до-
датна стала C, що не залежить вiд одного, визначеного контекстом
параметра така, що C−1a ≤ b ≤ Ca. Якщо ж виконується нерiвнiсть
b ≤ Ca або b ≥ C−1a, то будемо писати b� a або b� a вiдповiдно.
232 С.А. Стасюк
Нехай ω(τ) — функцiя (вiд однiєї змiнної) типу модуля непе-
рервностi порядку l, що задовольняє умови (S) i (Sl). Покладемо
Ω(t̄) := ω(t̄γ̄) := ω
d∏
j=1
t
γj
j
, (4)
де γ̄ = (γ1, . . . , γd) ∈ Rd+, 1 = γ1 = · · · = γν < γν+1 ≤ · · · ≤ γd.
Функцiональний простiрMBΩ
p,θ, 1 ≤ p <∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, що визна-
чається за допомогою функцiї (4), а норми означаються формулами
(1) та (2), позначатимемо через MBωp,θ(γ̄). Таким чином,
MBωp,θ(γ̄) :=
{
f ∈ L0
p(Td) : ‖f‖MBωp,θ(γ̄) <∞
}
,
де
‖f‖MBωp,θ(γ̄) =
{∫
Td
Ωl∗(f, t̄)p
ω
(∏d
j=1 t
γj
j
)
θ
d∏
j=1
dtj
tj
} 1
θ
, 1 ≤ θ <∞,
‖f‖MBωp,∞(γ̄) = sup
t̄∈Td
Ωl∗(f, t̄)p
ω
(∏d
j=1 t
γj
j
) ,
а l∗ > lγd.
Вiдповiдно до (3), можемо записати
‖f‖MBωp,θ(γ̄) �
{∑
s̄
(ω(2−(s̄,γ̄)))−θ‖As̄(f, ·)‖θp
} 1
θ
.
Надалi у випадку γ1 = · · · = γd = 1 будемо використовувати запис
MBωp,θ для MBωp,θ(γ̄). Через MBω
p,θ(γ̄) будемо позначати одиничну
кулю простору MBωp,θ(γ̄), тобто
MBω
p,θ(γ̄) :=
{
f ∈MBωp,θ(γ̄) : ‖f‖MBωp,θ(γ̄) ≤ 1
}
.
Означимо апроксимативнi характеристики, якi розглядаються в
роботi. З цiєю метою, для заданого γ̄ = (γ1, . . . , γd) i n ∈ N че-
рез Qγ̄n позначимо множини точок Zd, якi називаються схiдчасто-
гiперболiчними хрестами i визначаються таким чином:
Qγ̄n :=
⋃
(s̄,γ̄)≤n
ρ(s̄).
Наближення схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є . . . 233
Зауважимо, що Qγ̄n є множинами, що породжуються поверхнями рiв-
ня функцiї Ω(t̄), визначеної формулою (4).
Через EQγ̄n(f)q будемо позначати найкраще наближення функцiї
f ∈ Lq(Td) за допомогою тригонометричних полiномiв зi спектром iз
множини Qγ̄n. Якщо F — деякий функцiональний клас (F ⊂ Lq(Td)),
то покладемо
EQγ̄n(F )q := sup
f∈F
EQγ̄n(f)q.
Нехай далi
SQγ̄n(f, x̄) :=
∑
(s̄,γ̄)≤n
δs̄(f, x̄)
— схiдчасто-гiперболiчна сума Фур’є функцiї f ∈ Lq(Td). Величину
EQγ̄n(f)q := ‖f − SQγ̄n(f)‖q
називають наближенням функцiї f за допомогою схiдчасто-
гiперболiчних сум Фур’є SQγ̄n(f) у метрицi простору Lq(Td). Для
F ⊂ Lq(Td) покладемо EQγ̄n(F )q := sup
f∈F
EQγ̄n(f)q.
Як вiдомо (див., наприклад, [6] (гл. III), [8] (гл. IV)), пiдпростори
тригонометричних полiномiв зi спектром iз Qγ̄n у рядi випадкiв є оп-
тимальними в сенсi порядкових оцiнок наближення анiзотропних (за
гладкiсним параметром) класiв Нiкольського–Бєсова мiшаної глад-
костi.
У данiй роботi знайдено точнi за порядком оцiнки величин
EQγ̄n(MBω
1,θ(γ̄))q i EQγ̄n(MBω
1,θ(γ̄))q при деяких умовах на парамет-
ри, що входять в означення класу MBω
1,θ(γ̄).
Сформулюємо допомiжнi твердження, якими будемо користува-
тись.
Теорема A (Лiттлвуда–Пелi) [6] (вступ). Нехай задано 1 < p <
<∞. Iснують додатнi сталi C1(p) i C2(p) такi, що для кожної
функцiї f ∈ L0
p(Td), мають мiсце оцiнки
C1(p)‖f‖p �
∥∥∥∥∥
(∑
s̄
|δs̄(f)|2
) 1
2
∥∥∥∥∥
p
� C2(p)‖f‖p.
234 С.А. Стасюк
Лема A [6] (гл. I, § 3). Нехай 1 ≤ p < q <∞ i f ∈ L0
p(Td), тодi
‖f‖q �
(∑
s̄
‖δs̄(f)‖qp 2‖s̄‖1(
1
p−
1
q )q
) 1
q
, (5)
де ‖s̄‖1 = (s̄, 1̄).
В [7] (гл. II, § 2) зауважено, що твердження леми А зберiгається,
якщо в (5) δs̄(f) замiнити на As̄(f).
Має мiсце наступне твердження.
Теорема. Нехай 1 < q < ∞, 1 ≤ θ < ∞, а функцiя Ω(t) визна-
чається рiвнiстю (4), причому функцiя ω(τ) типу модуля неперерв-
ностi порядку l задовольняє умову (S) з деяким α > 1− 1
q , а також
умову (Sl), тодi
EQγ̄n(MBω
1,θ(γ̄))q�EQγ̄n(MBω
1,θ(γ̄))q�ω(2−n)2n(1− 1
q )n
(ν−1)(1
q−
1
θ)+ , (6)
де a+ = max{a; 0}.
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху. Нехай
f ∈MBω
1,θ(γ̄). Скориставшись спiввiдношенням (5) та нерiвнiстю
рiзних метрик Нiкольського, одержимо при деякому 1 < q0 < q
‖f − Sγ̄n(f)‖q =
∥∥∥∥ ∑
(s̄,γ̄)≥n
δs̄(f)
∥∥∥∥
q
�
∑
(s̄,γ̄)≥n
‖δs̄(f)‖qq0 2
q‖s̄‖1
(
1
q0
− 1
q
) 1
q
�
�
∑
(s̄,γ̄)≥n
‖As̄(f)||qq
0
2
q‖s̄||1
(
1
q
0
− 1
q
) 1
q
�
�
∑
(s̄,γ̄)≥n
‖As̄(f)‖q12q‖s̄‖1(1− 1
q )
1
q
=: J1. (7)
Нехай θ ≥ q. Оскiльки згiдно з умовою теореми функцiя ω(τ) за-
довольняє умову (S) з деяким α > 1− 1
q , то при (s̄, γ̄) ≥ n виконується
Наближення схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є . . . 235
нерiвнiсть
ω(2−(s̄,γ̄))
2−α(s̄,γ̄)
� ω(2−n)
2−αn
. (8)
В [6, с. 11] показано, що∑
(s̄,γ̄)≥n
2−ζ(
¯̃γ,s̄) � 2−ζnnν−1, ζ > 0, (9)
де γ̄ = (γ1, . . . , γd), ¯̃γ = (γ̃1, . . . , γ̃d), а γ̃j = γj = 1, j = 1, . . . , ν, i
1 < γj < γ̃j , j = ν + 1, . . . , d.
Тодi, застосувавши до J1 з (7) нерiвнiсть Гельдера з показником
θ
q ≥ 1 i врахувавши (8), (9), будемо мати
J1 =
∑
(s̄,γ̄)≥n
(ω(2−(s̄,γ̄)))−q‖As̄(f)‖q1(ω(2−(s̄,γ̄)))q2q‖s̄‖1(1− 1
q )
1
q
≤
≤
∑
(s̄,γ̄)≥n
(
ω(2−(s̄,γ̄))
2−α(s̄,γ̄)
) qθ
θ−q
2−(α(s̄,γ̄)−‖s̄‖1(1− 1
q )) qθ
θ−q
1
q−
1
θ
×
×
∑
(s̄,γ̄)≥n
(ω(2−(s̄,γ̄)))−θ‖As̄(f)‖θ1
1
θ
�
� ω(2−n)
2−αn
∑
(s̄,γ̄)≥n
2−(α(s̄,γ̄)−‖s̄‖1(1− 1
q )) qθ
θ−q
1
q−
1
θ
‖f‖MBω1,θ(γ̄) ≤
≤ ω(2−n)
2−αn
∑
(s̄,γ̄)≥n
2−(α(s̄,γ̄)−‖s̄‖1(1− 1
q )) qθ
θ−q
1
q−
1
θ
=
=
ω(2−n)
2−αn
∑
(s̄,γ̄)≥n
2−(α−1+ 1
q )(s̄,¯̃γ) qθ
θ−q
1
q−
1
θ
�ω(2−n)2n(1− 1
q )n(ν−1)( 1
q−
1
θ ),
236 С.А. Стасюк
де ¯̃γ = (γ̃1, . . . , γ̃d), γ̃j =
(
αγj − 1 + 1
q
)
/
(
α− 1 + 1
q
)
, j = 1, . . . , d, при
цьому, як бачимо, γj < γ̃j , j = ν + 1, . . . , d.
Якщо ж 1 ≤ θ < q, то, використовуючи вкладення
MBω
p,1(γ̄) ⊂MBω
p,θ1(γ̄) ⊂MBω
p,θ2(γ̄) ⊂MBω
p,∞(γ̄), 1 < θ1 < θ2 <∞,
i встановлену вище оцiнку зверху для EQγ̄n(MBω
1,q(γ̄))q, будемо мати
EQγ̄n(MBω
1,θ(γ̄))q ≤ EQγ̄n(MBω
1,q(γ̄))q � ω(2−n)2n(1− 1
q ).
Таким чином, оцiнку зверху в (6) встановлено.
Для доведення в (6) оцiнки знизу (для випадку q ≤ θ <∞) пока-
жемо, що ця оцiнка реалiзується на функцiї
f1(x̄) = C4ω(2−n)n−
d−1
θ
∑
‖s̄‖1=n+1
As̄(x̄), C4 > 0.
Спочатку переконаємося у тому, що f1 ∈ MBω
1,θ при деякому зна-
ченнi сталої C4 > 0. Дiйсно, використовуючи вiдповiдну нерiвнiсть
для згортки та враховуючи той факт, що ‖As̄‖1 � 1 та∑
‖s̄‖1=n
1 � nd−1, (10)
будемо мати
‖f1‖MBω1,θ � ω(2−n)n−
d−1
θ
∑
s̄′: ‖s̄′−s̄‖∞≤1
(
ω(2−‖s̄
′‖1)
)−θ
×
×
∥∥∥∥∥
(
As̄′ ∗
( ∑
‖s̄‖1=n+1
As̄
))∥∥∥∥∥
θ
1
1
θ
�
� n−
d−1
θ
( ∑
s̄′: ‖s̄′−s̄||∞≤1
∥∥∥∥∥
(
As̄′ ∗
( ∑
‖s̄‖1=n+1
As̄
))∥∥∥∥∥
θ
1
) 1
θ
=
Наближення схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є . . . 237
= n−
d−1
θ
( ∑
s̄′: ‖s̄′−s̄‖∞≤1
∥∥∥∥∥
(
As̄′ ∗
( ∑
s̄: ‖s̄′−s̄‖∞≤1
‖s̄‖1=n+1
As̄
))∥∥∥∥∥
θ
1
) 1
θ
≤
≤ n−
d−1
θ
( ∑
s̄′: ‖s̄′−s̄‖∞≤1
‖As̄′‖θ1
∥∥∥∥∥ ∑
s̄: ‖s̄′−s̄‖∞≤1
‖s̄‖1=n+1
As̄
∥∥∥∥∥
θ
1
) 1
θ
≤
≤ n−
d−1
θ
( ∑
s̄′: ‖s̄′−s̄‖∞≤1
‖As̄′‖θ1
∑
s̄: ‖s̄′−s̄‖∞≤1
‖s̄‖1=n+1
‖As̄‖θ1
) 1
θ
�
� n−
d−1
θ
( ∑
s̄′: ‖s̄′−s̄‖∞≤1
‖As̄′‖θ1
∑
s̄: ‖s̄′−s̄‖∞≤1
‖s̄‖1=n+1
1
) 1
θ
≤
≤ n−
d−1
θ
( ∑
n+1−d≤‖s̄′‖1≤n+1+d
‖As̄′‖θ13d
) 1
θ
�
� n−
d−1
θ
( ∑
n+1−d≤‖s̄′‖1≤n+1+d
1
) 1
θ
= n−
d−1
θ
(
n+1+d∑
j=n+1−d
∑
‖s̄′‖1=j
1
) 1
θ
� 1.
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу величини EQ1̄
n
(f1)q. Для
s̄ ∈ Nd покладемо
�2−s̄ :=
{
x̄ = (x1, . . . , xd) : 2−sj ≤ xj < 2−sj+1, j = 1, . . . , d
}
i зауважимо, що �2−s̄ ∩�2−s̄′ = ∅ при s̄ 6= s̄′. Тодi, беручи до уваги,
що SQ1̄
n
(f1) = 0, i скориставшись теоремою Лiттлвуда–Пелi, а також
(10), можемо записати (аналогiчно, як i в [6] (гл. II, § 2) або [8], (гл. I,
§ 1.4))
EQ1̄
n
(f1)q= ‖f1‖q�
∥∥∥∥∥
( ∑
n+1≤‖s̄′‖1≤n+d+1
∑
‖ε̄‖1=d
|δε̄s̄′(f1)|2
)1
2
∥∥∥∥∥
q
≥
238 С.А. Стасюк
≥
∥∥∥∥∥
( ∑
n+1≤‖s̄′‖1≤n+d+1
|δ+
s̄′(f1)|2
)1
2
∥∥∥∥∥
q
�
� ω(2−n)n−
d−1
θ
∥∥∥∥∥
( ∑
‖s̄′‖1=n+1
∣∣∣∣∣δ+
s̄′
( ∑
‖s̄‖1=n+1
As̄
)∣∣∣∣∣
2) 1
2
∥∥∥∥∥
q
�
� ω(2−n)n−
d−1
θ
∑
‖s̄′‖1=n+1
∫
�
2−s̄′
∣∣∣∣δ+
s̄′
∑
‖s̄‖1=n+1
As̄
∣∣∣∣q dx̄
1
q
≥
≥ω(2−n)n−
d−1
θ
∑
‖s̄‖1=n+1
∫
�2−s̄
∣∣∣∣ d∏
j=1
2sj−1∑
kj=2sj−1+1
(
kj
2sj−1
− 1
)
sinkjxj
∣∣∣∣qdx̄
1
q
>
>
ω(2−n)
n
d−1
θ
∑
‖s̄‖1=n+1
d∏
j=1
2−sj
sin
1
2
2sj−1∑
kj=2sj−1
(
kj
2sj−1
− 1
)q
1
q
�
� ω(2−n)
n
d−1
θ
∑
‖s̄‖1=n+1
d∏
j=1
2sj(q−1)
1
q
� ω(2−n)
n
d−1
θ
2n(1− 1
q )
∑
‖s̄‖1=n+1
1
1
q
�
� ω(2−n)2n(1− 1
q )n(d−1)(1
q−
1
θ). (11)
Таким чином, оцiнка знизу в (6) у випадку q ≤ θ <∞ встановлена.
Зазначимо, що оцiнка знизу величини EQ1̄
n
(MBω
1,θ)q у випадку
1 ≤ θ < q реалiзується на функцiї
f2(x) = C5ω(2−n)As̄∗(x), C5 > 0,
де s̄∗ : ‖s̄∗‖1 = n + 1. Переконаємося в тому, що f2 ∈ MBω
1,θ при
деякому значеннi сталої C5 > 0. Дiйсно, використовуючи вiдповiдну
нерiвнiсть для згортки, подiбно як i при оцiнцi ‖f1‖MBω1,θ , будемо
мати
‖f2‖MBω1,θ � ω(2−n)
∑
s̄′: ‖s̄′−s̄∗‖∞≤1
(
ω(2−‖s̄
′‖1)
)−θ
‖As̄′ ∗As̄∗‖θ1
1
θ
�
Наближення схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є . . . 239
�
∑
s̄′: ‖s̄′−s̄∗‖∞≤1
‖As̄′‖θ1 ‖As̄∗‖θ1
1
θ
� 1.
Далi, беручи до уваги, що SQ1̄
n
(f2) = 0, аналогiчно як i в (11),
одержимо
EQ1̄
n
(f2)q � ω(2−n)2n(1− 1
q ),
звiдки слiдує оцiнка знизу в теоремi для EQ1̄
n
(MBω
1,θ)q у випадку
1 ≤ θ < q.
Теорему доведено.
Зауваження 1. У теоремi не розглянуто випадок θ =∞,
оскiльки точнi за порядком оцiнки величин EQγ̄n(MHω
1 (γ̄))q i
EQγ̄n(MHω
1 (γ̄))q встановлено М.М. Пустовойтовим [9].
2. У випадку ω(τ) = τ r, 1 − 1
q < α = r < l, результат теореми
вiдомий i доведений А.С. Романюком [10].
3. У випадку γj = 1, j = 1, . . . , d, результат теореми вiдомий i
встановлений О.В. Федуник [11].
4. Встановленi у теоремi оцiнки доповнюють дослiдження
М.М. Пустовойтова [9] та автора [12, 13], якi стосуються вивчення
апроксимативних характеристик класiв MHω
p (γ̄) та MBω
p,θ(γ̄) вiдпо-
вiдно.
1. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциаль-
ные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1956. —
5. — С. 483 – 522.
2. Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation of
multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness //
Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1997. — 219. — С. 356 – 377.
3. Пустовойтов Н.Н. Представление и приближение периодических функ-
ций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывно-
сти // Anal. Math. — 1994. — 20, № 1. — P. 35 – 48.
4. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций смешанной
гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. — 1989. — 187. — С. 143 – 161.
5. Стасюк С.А., Федуник О.В. Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ
перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. — 2006. — 58,
№ 5. — С. 692 – 704.
240 С.А. Стасюк
6. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной про-
изводной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178. — 112 с.
7. Temlyakov V.N. Approximation of periodic functions. — New York: Nova Sci.
Publ. Inc, 1993. — 419 p.
8. Романюк А.С. Аппроксимативные характеристики классов периодиче-
ских функций многих переменных // Працi Iн-ту математики НАН Украї-
ни. — 2012. — 93. — 352 c.
9. Пустовойтов Н.Н. О приближении и характеризации периодических
функций многих переменных, имеющих мажоранту смешанных модулей
непрерывности специального вида // Anal. Math. — 2003. — 29, № 3. —
P. 201 – 218.
10. Романюк А.С. Поперечники и наилучшее приближение классов периоди-
ческих функций многих переменных // Anal. Math. — 2011. — 37, № 3. —
P. 181 – 213.
11. Федуник О.В. Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ перiо-
дичних функцiй багатьох змiнних в просторi Lq // Проблеми теорiї наб-
лиження функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. — 2005. — 2, № 2. — С. 268 – 294.
12. Стасюк С.А. Найкраще наближення класiв BΩ
p,θ(γ) в метрицi простору
Lq // Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. — 2005. — 2, № 2. — С. 258 – 267.
13. Стасюк С.А. Найкраще наближення класiв BΩ
p,θ(γ) перiодичних функцiй
багатьох змiнних в метрицi простору Lp // Комплексний аналiз i течiї з
вiльними границями: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2006. —
3, № 4. — С. 255 – 265.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-79 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:12Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/10/4061a7b30018941c318332a8f600e610.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-792018-01-29T14:44:04Z Approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ Наближення східчасто-гіперболічними сумами Фур'є класів $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. We obtained the exact order estimates of approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}_{1,\theta}^{\omega}(\bar{\gamma})$ of periodic functions of many variables in the $L_q$-metric $(1&lt;q&lt;\infty)$ Одержано точні за порядком оцінки наближення східчасто-гіперболічними сумами Фур'є класів $\mathbf{MB}_{1,\theta}^{\omega}(\bar{\gamma})$ періодичних функцій багатьох змінних в просторі $L_q$, $(1&lt;q&lt;\infty)$ Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/79 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 228-240 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 228-240 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 228-240 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/79/75 |
| spellingShingle | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ |
| title | Approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ |
| title_alt | Наближення східчасто-гіперболічними сумами Фур'є класів $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ |
| title_full | Approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ |
| title_fullStr | Approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ |
| title_full_unstemmed | Approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ |
| title_short | Approximation by step-hyperbolic Fourier sums of classes $\mathbf{MB}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ |
| title_sort | approximation by step-hyperbolic fourier sums of classes $\mathbf{mb}^{\omega}_{1,\theta}(\bar{\gamma})$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/79 |
| work_keys_str_mv | AT stasyuksa approximationbystephyperbolicfouriersumsofclassesmathbfmbomega1thetabargamma AT stasûksa approximationbystephyperbolicfouriersumsofclassesmathbfmbomega1thetabargamma AT stasyuksa nabližennâshídčastogíperbolíčnimisumamifur039êklasívmathbfmbomega1thetabargamma AT stasûksa nabližennâshídčastogíperbolíčnimisumamifur039êklasívmathbfmbomega1thetabargamma |