Kinematic changeable sets with given universal coordinate transformation
This work is devoted to the investigation of kinematic changeable sets (“abstract kinematics”), that is the mathematical objects, in which changeable sets are equipped by different geometrical or topological structures, namely metric, topological, linear, Banach, Hilbert an...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/8 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552621525434368 |
|---|---|
| author | Grushka, Ya. I. Грушка, Я. I. |
| author_facet | Grushka, Ya. I. Грушка, Я. I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. I. Грушка",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Grushka, Ya. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:53:12Z |
| description | This work is devoted to the investigation of kinematic changeable sets (“abstract kinematics”), that is the mathematical objects, in which changeable sets are equipped by different geometrical or topological structures, namely metric, topological, linear, Banach, Hilbert and other spaces. Such mathematical objects allow to simulate the evolution of physical systems in a framework of different laws of kinematics. Existence of a few different kinematic theories of tachyon motion may serve as a physical motivation for investigations in this direction. In the paper the main properties of kinematic sets with given universal coordinate transform are investigated and examples of their application to mathematically strict foundation of tachyon kinematics are presented. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 1, 74–118
УДК 510.22 + 51-71 + 517.983
Я.I. Грушка
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Кiнематичнi мiнливi множини iз
заданим унiверсальним
перетворенням координат
grushka@imath.kiev.ua
This work is devoted to the investigation of kinematic changeable
sets (“abstract kinematics”), that is the mathematical objects, in whi-
ch changeable sets are equipped by different geometrical or topological
structures, namely metric, topological, linear, Banach, Hilbert and other
spaces. Such mathematical objects allow to simulate the evolution of physi-
cal systems in a framework of different laws of kinematics. Existence of a
few different kinematic theories of tachyon motion may serve as a physi-
cal motivation for investigations in this direction. In the paper the main
properties of kinematic sets with given universal coordinate transform are
investigated and examples of their application to mathematically strict
foundation of tachyon kinematics are presented.
Дана робота присвячена дослiдженню кiнематичних мiнливих множин
(“абстрактних кiнематик”), тобто математичних об’єктiв, в яких мiнли-
вi множини оснащенi рiзноманiтними геометричними та топологiчними
структурами, а саме, метричними, топологiчними, лiнiйними, банахо-
вими, гiльбертовими та iншими просторами. Такi математичнi об’єкти
дозволяють моделювати еволюцiю фiзичних систем в рамках рiзних
законiв кiнематики. Фiзичною мотивацiєю для дослiджень в цьому на-
прямку може служити наявнiсть декiлькох рiзних кiнематичних теорiй
тахiонного руху. В роботi дослiдженi основнi властивостi кiнематичних
мiнливих множин iз заданим унiверсальним перетворенням координат
та наведено приклади їхнього застосування до математично строгого
обґрунтування кiнематичних теорiй тахiонного руху.
c© Я.I. Грушка, 2015
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 75
1. Вступ.
Тематика побудови теорiї надсвiтлового руху була започаткована в ро-
ботах [1,2] понад 50 рокiв тому назад. Дослiдження в цьому напрямку
особливо активiзувались в останнi роки у зв’язку з дослiдами прове-
деними в рамках експерименту OPERA, 2011-2012 [3]. I хоча пiзнiше
перевищення швидкостi свiтла в дослiдах OPERA [3] не пiдтверди-
лось, дана тематика залишається актуальною. На сьогоднi наявнiсть
декiлькох кiнематичних теорiй тахiонного руху породжує необхiднiсть
побудови нових абстрактних математичних структур, якi б дозволяли
моделювати еволюцiю фiзичних систем в рамках рiзних законiв кiне-
матики. За умови вiдсутностi експериментальної перевiрки висновкiв
теорiй тахiонової кiнематики, такi математичнi структури гарантува-
ли б, принаймнi, коректнiсть отримання цих висновкiв iз постулатiв
даних теорiй. Дана робота, а також роботи [4,5] присвяченi побудовi та-
ких математичних структур. Дослiдження в цьому напрямку можуть
бути цiкавими, також, для астрофiзики, оскiльки iснує припущення,
що у великих масштабах Всесвiту закони фiзики (зокрема, закони кi-
нематики) можуть бути вiдмiнними вiд тих, якi дiють в околi нашої
сонячної системи.
На фiзичному рiвнi проблема дослiдження кiнематик з довiльни-
ми законами перетворення координат в iнерцiйних системах вiдлiку
ставилась у роботi [6]. Частинним випадком перетворень координат
виду [6] є (тривимiрнi) класичнi перетворення Лоренца, а також уза-
гальненi перетворення Лоренца в сенсi E. Recami [7–9] (для систем
вiдлiку, що рухаються зi швидкiстю, бiльшою за швидкiсть свiтла).
В [10, 11] було дано загальне означення лiнiйних перетворень коор-
динат та узагальнених перетворень Лоренца у випадку, коли простiр
геометричних змiнних є довiльним дiйсним гiльбертовим простором.
Слiд зазначити, що математичний апарат робiт [6–11] не базує-
ться на теорiї мiнливих множин, що iстотно зменшує його загальнiсть,
зокрема дає змогу вивчати лише унiверсальнi перетворення координат
(тобто такi перетворення координат, що дiють однаковим чином для
всiх матерiальних об’єктiв). Роботи [4, 5] базуються на загальнiй тео-
рiї мiнливих множин, побудованiй в роботах [12–15]. Зокрема, в [4, 5]
дано означення реального i унiверсального перетворення координат у
кiнематичних мiнливих множинах, а також доведено iснування кiне-
матичних мiнливих множин, у яких не iснує унiверсального перетворе-
ння координат [5]. Такi кiнематичнi множини можуть бути корисними
76 Я.I. Грушка
для математично строгого моделювання еволюцiї фiзичних систем за
умов гiпотези про iснування частинок з рiзними “власними” швидко-
стями свiтла (на фiзичному рiвнi подiбнi моделi розглядаються в ро-
ботах [16–20]). В той же час бiльшiсть фiзичних кiнематичних теорiй
(як класичних так i тахiонних) передбачають iснування унiверсаль-
ного перетворення координат. Саме тому в данiй роботi основну ува-
гу придiлено дослiдженню кiнематичних мiнливих множин iз заданим
унiверсальним перетворенням координат та їхньому застосуванню до
математичного обґрунтування кiнематичних теорiй тахiонного руху.
2. Основнi поняття теорiї мiнливих мно-
жин.
Наведемо необхiднi поняття та позначення теорiї мiнливих множин,
якi мiстяться в роботi [13] (див., також [4,12,14,15,21,22]). Мiнливi та
базовi мiнливi множини позначатимемо великими калiграфiчними або
готичними буквами. Надалi, для довiльної базової мiнливої множини
B будемо використовувати такi позначення:
Bs(B) – базова множина, або множина всiх елементарних станiв B.
Bs(B) – множина всiх елементарно-часових станiв B.
Tm(B) – множина моментiв часу B.
Tm(B) = (Tm(B),≤B), де ≤B – вiдношення часового порядку B.
←
B
– напрямне вiдношення змiн B.
Bs←
B
– база елементарних процесiв B.
Елементи множинBs(B) та Bs(B) будемо називати, вiдповiдно, еле-
ментарними та елементарно-часовими станами B.
Властивостi 1 ( [4]). Нехай, B — довiльна базова мiнлива множина.
Тодi:
1. ←
B
— рефлексивне бiнарне вiдношення, задане на Bs(B), тобто
для довiльного x ∈ Bs(B) справедливе спiввiдношення x←
B
x.
2. ≤B — вiдношення (нестрогого) лiнiйного порядку, задане на
Tm(B) (тобто Tm(B) = (Tm(B),≤B) — лiнiйно упорядкована
множина в сенсi [23, с. 12]).
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 77
3. Bs(B) ⊆ Tm(B) × Bs(B) (де T × X = {(t, x) | t ∈ T, x ∈ X} —
декартовий добуток множин T i X ).
4. Bs←
B
— рефлексивне бiнарне вiдношення на Bs(B).
Зауваження 1. У тому випадку, коли наперед вiдомо, про яку базову
мiнливу множину B йде мова у позначеннях ≤B, ←
B
, Bs←
B
, символ “B ”
будемо опускати, застосовуючи позначення ≤, ←, Bs←. Для довiльних
елементарно-часових станiв ω1, ω2 ∈ Bs(B) замiсть позначення ω2
Bs←
B
ω1
часто будемо використовувати позначення ω2←
B
ω1 або ω2←ω1.
Нехай, T = (T,≤) — довiльна лiнiйно упорядкована множина i X
— довiльна множина. Для довiльної пари ω = (t, x) ∈ T × X будемо
використовувати позначення:
bs (ω) := x, tm (ω) := t. (1)
Властивостi 2 ( [4, 13]). Нехай, B — довiльна базова мiнлива мно-
жина. Тодi:
1. Якщо ω1, ω2 ∈ Bs(B) i ω2←ω1, то bs (ω2)← bs (ω1) i tm (ω1) ≤
tm (ω2). Якщо, додатково, ω1 6= ω2, то tm (ω1) < tm (ω2).
2. Bs(B) = {bs (ω) |ω ∈ Bs(B)};
3. Для довiльних x1, x2 ∈ Bs(B) умова x2←x1 має мiсце тодi i
тiльки тодi, коли iснують елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈
Bs(B) такi, що bs (ω1) = x1, bs (ω2) = x2 i ω2←ω1.
4. Якщо Tm (B1) = Tm (B2) , Bs (B1) = Bs (B2) ,
Bs←
B1
=
Bs←
B2
, то B1 =
B2.
Для довiльної мiнливої множини Z будемо використовувати такi
позначення:
Ind (Z) – Множина iндексiв мiнливої множини Z.
Lk (Z) – Множина областей сприймання Z.
При цьому для довiльних областей сприймання l,m ∈ Lk (Z) викори-
стовуються наступнi позначення:
78 Я.I. Грушка
ind (l) – Iндекс областi сприймання l.
Bs(l), Bs(l), Tm(l), ≤l, ←
l
, Bs←
l
— множина всiх елементарних станiв
l, множина всiх елементарно-часових станiв l, множина моментiв
часу l, вiдношення часового порядку l, напрямне вiдношення змiн
l, база елементарних процесiв l вiдповiдно.
Tm(l) = (Tm(l),≤l).
〈m← l, Z〉 – вiдображення унiфiкацiї з l в m.
Зауваження 2. Безпосередньо з означення мiнливої множини ( [15,
означення 3.1], [13, definition 9.6]) випливає, що для довiльної областi
сприймання l ∈ Lk (Z) довiльної мiнливої множини Z мають мiсце
властивостi 1 та властивостi 2(1-3) (з замiною символу “B ” на символ
“l ” i термiну “базова мiнлива множина” на термiн “область сприйман-
ня”). При цьому використовуються всi скороченi варiанти позначень,
описанi в зауваженнi 1.
Властивостi 3 ( [4]). Нехай Z — довiльна мiнлива множина. Тодi:
1. Множини Lk (Z) та Ind (Z) завжди непорожнi, причому
Ind (Z) = {ind (l) | l ∈ Lk (Z)}.
2. Для довiльних l,m ∈ Lk (Z) рiвнiсть l = m має мiсце тодi i
тiльки тодi, коли ind (l) = ind (m).
3. Для довiльних l,m ∈ Lk (Z) вiдображення унiфiкацiї 〈m← l, Z〉
є вiдображенням з 2Bs(l) в 2Bs(m), де 2M означає множину всiх
пiдмножин множини M.
Твердження 1 ( [4]). Нехай, Z1, Z2 — мiнливi множини, причо-
му Lk (Z1) = Lk (Z2) i для довiльних областей сприймання l,m ∈
Lk (Z1) = Lk (Z2) справедлива рiвнiсть: 〈m← l,Z1〉 = 〈m← l,Z2〉. То-
дi, Z1 = Z2.
Нехай l,m ∈ Lk (Z)— довiльнi областi сприймання мiнливої множи-
ни Z. Тодi для довiльної пiдмножини A ⊆ Bs(l) через 〈m← l, Z〉A бу-
демо позначати дiю вiдображення унiфiкацiї 〈m← l, Z〉 на множину
A. Тобто, 〈m← l, Z〉A := 〈m← l, Z〉 (A). Якщо вiдомо про яку мiнливу
множину Z йде мова, у позначеннi 〈m← l, Z〉 символ Z будемо опу-
скати, вживаючи замiсть нього позначення, 〈m← l〉.
В роботах [13, 15] доведено, що довiльна мiнлива множина Z має
такi властивостi:
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 79
Властивостi 4. 1. Довiльну область сприймання l ∈ Lk (Z) мо-
жна подати у виглядi упорядкованої пари, l = (ind (l) , lˆ), де
lˆ є базовою мiнливою множиною. При цьому Bs(l) = Bs (lˆ),
Bs(l) = Bs (lˆ), Tm(l) = Tm (lˆ), Tm(l) = Tm (lˆ), ≤l=≤lˆ,
←
l
=←
lˆ
, Bs←
l
=
Bs←
lˆ
2. Для довiльних l ∈ Lk (Z) i A ⊆ Bs(l) справедлива рiвнiсть,
〈l← l〉A = A.
3. Якщо l,m ∈ Lk (Z) i A ⊆ B ⊆ Bs(l), то 〈m← l〉A ⊆ 〈m← l〉B;
4. Для довiльних l,m, p ∈ Lk (Z) i A ⊆ Bs(l) справедливе включення:
〈p←m〉 〈m← l〉A ⊆ 〈p← l〉A.
Означення 1 ( [4]). Мiнливу множину Z будемо називати чiтко
видимою, якщо для довiльних l,m ∈ Lk (Z) i A ⊆ Bs(l) з умови A 6= ∅
випливає, що 〈m← l〉A 6= ∅.
Твердження 2 ( [13, 14]). Нехай l,m ∈ Lk (Z) — довiльнi обла-
стi сприймання довiльної чiтко видимої мiнливої множини Z. То-
дi для довiльного ω ∈ Bs(l) iснує, причому єдиний елемент ω′ =:
〈!m← l,Z〉ω ∈ Bs(m) такий, що {ω′} = 〈m← l〉 {ω}.
Таким чином, в чiтко видимiй мiнливiй множинi для довiльних
l,m ∈ Lk (Z) i ω ∈ Bs(l) виконується рiвнiсть:
{〈!m← l,Z〉ω} = 〈m← l〉 {ω} .
Вiдображення 〈!m← l,Z〉 : Bs(l) 7→ Bs(m) будемо називати вiдображе-
ннями чiткої унiфiкацiї . У тих випадках, коли мiнлива множина Z
є наперед заданою, замiсть позначення 〈!m← l,Z〉 будемо використо-
вувати позначення 〈!m← l〉 .
Твердження 3 ( [13,14]). Нехай, l,m ∈ Lk (Z), де Z — чiтко видима
мiнлива множина. Тодi множини Bs(l) i Bs(m) є рiвнопотужними.
При цьому вiдображення: f(ω) = 〈!m← l〉ω (ω ∈ Bs(l)) є бiєкцiєю
(взаємно-однозначною вiдповiднiстю) мiж цими множинами.
Враховуючи властивiсть 4(2), а також [14, теореми 5.2, 5.1] або [13,
theorems 11.2, 11.1], отримуємо наступнi властивостi вiдображень чi-
ткої унiфiкацiї.
80 Я.I. Грушка
Властивостi 5. Нехай, Z — довiльна чiтко видима мiнлива множи-
на, i l,m, p ∈ Lk (Z) — довiльнi областi сприймання Z. Тодi:
1. ∀ ω ∈ Bs(l) 〈! l← l〉ω = ω;
2. ∀A ⊆ Bs(l) 〈m← l〉A = {〈!m← l〉ω | ω ∈ A};
3. ∀ ω ∈ Bs(l) 〈! p←m〉 〈!m← l〉ω = 〈! p← l〉ω.
3. Мiнливi множини i кiнематика
3.1. Математичнi об’єкти для побудови геометри-
чних оточень мiнливих множин.
Даний пiдроздiл носить суто технiчний характер. Тут не вводяться
нiякi принципово новi поняття, а лише робиться спроба вкласти най-
бiльш часто вживанi математичнi простори, якi хоч якимось чином
пов’язанi з геометрiєю, в одну математичну структуру, зручну для по-
будови абстрактних кiнематик.
Означення 2. Трiйку L = (K,⊕,⊗) будемо називати лiнiйною
структурою над множиною X, якщо:
1. K = (K,+K,×K) — поле.
2. ⊕ : X× X 7→ X — бiнарна операцiя над X;
3. ⊗ : K× X 7→ X — бiнарна операцiя з K× X в X.
4. Трiйка (X,⊕,⊗) є лiнiйним простором над полем K.
Якщо K ∈ {R,C}, то лiнiйну структуру L будемо називати число-
вою лiнiйною структурою над X.
Якщо L = (K,⊕,⊗) є лiнiйною структурою над X, то лiнiйний про-
стiр над полем K, породжений цiєю структурою будемо позначати че-
рез Lp (X,L) (Lp (X,L) = (X,⊕,⊗)).
Наступне означення базується на концепцiї, що бiльшiсть найбiльш
часто вживаних математичних об’єктiв (в тому числi функцiї, вiдно-
шення, алгебраїчнi операцiї, упорядкованi пари або набори) є множи-
нами.
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 81
Означення 3. Шестiрку множин Q = (X, T ,L, ρ, ‖·‖ , (·, ·)) будемо
називати координатним простором, якщо виконуються насту-
пнi умови:
1. X 6= ∅.
2. T ∪ L 6= ∅.
3. Якщо T 6= ∅, то T — топологiя на X.
4. Якщо L 6= ∅, то L — числова лiнiйна структура над X.
5. Якщо L 6= ∅ i T 6= ∅, то пара (Lp (X,L) , T ) є лiнiйним тополо-
гiчним простором.
6. Якщо ρ 6= ∅, то:
6.1) ρ — метрика на X;
6.2) T 6= ∅ i топологiя T породжена метрикою ρ.
7. Якщо ‖·‖ 6= ∅, то:
7.1) L 6= ∅ i ‖·‖ — норма на лiнiйному просторi Lp (X,L);
7.2) ρ 6= ∅ i ρ — метрика, породжена нормою ‖·‖.
8. Якщо (·, ·) 6= ∅, то:
8.1) ‖·‖ 6= ∅ (а отже, згiдно з 7.1), i L 6= ∅);
8.2) (·, ·) — скалярний добуток на лiнiйному просторi Lp (X,L);
8.3) норма ‖·‖ породжена скалярним добутком (·, ·).
Зауваження про позначення. Нехай Q = (X, T ,L, ρ, ‖·‖ , (·, ·))
— координатний простiр, де у випадку L 6= ∅, L = (K,⊕,⊗) — чи-
слова лiнiйна структура над X. Надалi будемо використовувати такi
позначення:
1. Zk(Q) := X (множину Zk(Q) будемо називати множиною
значень координат Q).
2. T p(Q) := T (T p(Q) будемо називати топологiєю Q).
82 Я.I. Грушка
3. Ls(Q) := L (Ls(Q) будемо називати лiнiйною структурою
Q).
4. Ps(Q) :=
{
K, Ls(Q) 6= ∅
∅, Ls(Q) = ∅
(Ps(Q) будемо називати полем
скалярiв Q).
5. Для елементiв x1, . . . , xn ∈ Zk(Q), λ1, . . . , λn ∈ Ps(Q) (n ∈ N)
будемо вживати позначення, (λ1x1 + · · ·+ λnxn)Q := λ1 ⊗ x1 ⊕
· · · ⊕ λn ⊗ xn.
6. diQ := ρ (diQ будемо називати дистанцiєю на Q).
7. ‖·‖Q := ‖·‖ (‖·‖Q будемо називати нормою на Q).
8. (·, ·)Q := (·, ·) ((·, ·)Q будемо називати скалярним добутком
на Q).
Елементи x ∈ Zk(Q) будемо називати координатами координатного
простору Q, а у випадку Ls(Q) 6= ∅ цi елементи будемо також назива-
ти векторами (векторними координатами) Q. У випадку, коли
це не викликає непорозумiнь у позначеннях (λ1x1 + · · ·+ λnxn)Q, diQ,
‖·‖Q, (·, ·)Q символ Q будемо опускати, вживаючи замiсть них позна-
чення λ1x1 + · · ·+ λnxn, di, ‖·‖, (·, ·) вiдповiдно.
3.2. Кiнематичнi мiнливi множини
Означення 4. 1. Пару G0 = (Q, k) будемо називати геометри-
чним оточенням базової мiнливої множини B, якщо:
а) Q — координатний простiр;
б) k : Bs(B) 7→ Zk(Q) — вiдображення з Bs(B) в Zk(Q).
При цьому пару Cb = (B,G0) = (B, (Q, k)) будемо називати базо-
вою кiнематичною мiнливою множиною, або, скорочено
— базовою кiнематичною множиною.
2. Нехай, Z — мiнлива множина. Iндексовану сiм’ю пар виду G =
((Ql, kl) | l ∈ Lk (Z)) будемо називати геометричним оточе-
нням мiнливої множини Z, якщо для довiльної областi спри-
ймання l ∈ Lk (Z) пара (Ql, kl) є геометричним оточенням ба-
зової мiнливої множини lˆ, породженої областю сприймання l,
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 83
тобто якщо пара (lˆ, (Ql, kl)) є базовою кiнематичною множи-
ною для довiльної l ∈ Lk (Z).
При цьому пару C = (Z,G) будемо називати кiнематичною
мiнливою множиною, або, скорочено — кiнематичною
множиною.
Пiдкреслимо, що в цiй статтi розглядаються лише кiнематичнi мно-
жини зi сталою (не змiнною в часi) геометрiєю. Такi кiнематичнi мно-
жини достатнi для побудови абстрактних кiнематик в iнерцiйних си-
стемах вiдлiку. Зробивши певну модифiкацiю означення 4, визначити
кiнематичнi множини з мiнливою геометрiєю, в принципi, можливо.
3.2.1 Система позначень для базових кiнематичних множин
Нехай, Cb = (B,G0) де G0 = (Q, k) — довiльна базова кiнематична мно-
жина. Надалi будемо використовувати наступну систему позначень.
а) Позначення, iндукованi з теорiї базових мiнливих множин:
Bs
(
Cb
)
:= Bs(B); Bs
(
Cb
)
:= Bs(B);
Bs←
Cb
:=
Bs←
B
; ←
Cb
:=←
B
;
Tm
(
Cb
)
:= Tm(B); Tm
(
Cb
)
:= Tm(B); ≤Cb := ≤B .
б) Позначення, iндукованi з позначень для координатних просторiв:
Zk
(
Cb
)
:= Zk (Q) ; T p
(
Cb
)
:= T p (Q) ; Ls
(
Cb
)
:= Ls (Q) ;
Ps
(
Cb
)
:= Ps (Q) ; diCb := diQ; ‖·‖Cb := ‖·‖Q ;
(·, ·) Cb := (·, ·)Q .
У випадку Ls
(
Cb
)
6= ∅ для довiльних a1, . . . , an ∈ Zk
(
Cb
)
, λ1, . . . λn ∈
Ps
(
Cb
)
будемо використовувати позначення, (λ1a1 + · · ·+ λnan)Cb :=
(λ1a1 + · · ·+ λnan)Q.
в) Власнi позначення для базових кiнематичних множин:
BE
(
Cb
)
:= B; BG
(
Cb
)
:= Q; qCb(x) := k(x)
(
x ∈ Bs
(
Cb
))
.
Зауважимо, що функцiя qCb(·) ставить у вiдповiднiсть кожному еле-
ментарному стану x ∈ Bs
(
Cb
)
його координату qCb(x).
г) Скороченi варiанти позначень
• Використовуються всi скороченi варiанти позначень, описанi в
зауваженнi 1 (але, з замiною символу “B ” на символ “Cb” i тер-
мiну “базова мiнлива множина” на термiн “базова кiнематична
множина”).
84 Я.I. Грушка
• У тих випадках, коли наперед вiдомо про яку базову кiнематичну
множину йде мова, замiсть позначень diCb , ‖·‖Cb , (·, ·) Cb , qCb(x)
будемо використовувати позначення di, ‖·‖, (·, ·), q(x) вiдповiдно.
3.2.2 Система позначень для кiнематичних множин
Нехай, C = (Z,G), де G = ((Ql, kl) | l ∈ Lk (Z)) — кiнематична множи-
на.
а) Мiнливу множину BE (C) := Z будемо називати базою еволюцiї
кiнематичної множини C.
б) Множини Ind (C) := Ind (Z) = Ind (BE (C)) ; Lk (C) := Lk (Z) =
Lk (BE (C)) будемо називати множиною iндексiв та мно-
жиною систем вiдлiку кiнематичної множини C (вiдповiд-
но). Причому у випадку кiнематичних множин, на вiдмiну вiд
абстрактних мiнливих множин, буде використовуватись термiн
“система вiдлiку”, а не “область сприймання”.
в) Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) = Lk (Z) зберiгаються всi
позначення, введенi для областей сприймання в теорiї мiнливих
множин (ind (l), Bs(l), ←
l
, Bs(l), Bs←
l
, Tm(l), Tm(l), ≤l).
г) Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (C) iндукуються позначення
для вiдображень унiфiкацiї:
〈m← l, C〉 := 〈m← l, Z〉 .
Зокрема, коли мiнлива множина Z є чiтко видимою, будемо го-
ворити, що кiнематична множина C є чiтко видимою i вико-
ристовувати позначення:
〈!m← l,C〉 := 〈!m← l,Z〉 .
д) За означенням 4, для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) пара
C � l = (lˆ, (Ql, kl)) є базовою кiнематичною множиною. C � l бу-
демо називати образом кiнематичної множини C у системi
вiдлiку l.
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 85
е) Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) введемо наступнi позначе-
ння:
Zk(l; C) := Zk (C � l) = Zk (Ql) ; Ls(l; C) := Ls (C � l) = Ls (Ql) ;
T p(l; C) := T p (C � l) = T p (Ql) ; Ps(l; C) := Ps (C � l) = Ps (Ql) ;
‖·‖l,C := ‖·‖C�l = ‖·‖Ql
; dil (·; C) := diC�l = diQl
;
(·, ·)l,C := (·, ·)C�l = (·, ·)Ql
; BE(l) := BE(C � l) = lˆ;
BG(l; C) := BG(C � l) = Ql.
Також для систем вiдлiку l ∈ Lk (C) таких, що Ls(l) 6=
∅ i довiльних a1, . . . , an ∈ Zk(l; C), λ1, . . . λn ∈ Ps(l; C)
будемо використовувати позначення, (λ1a1 + · · ·+ λnan)l,C :=
(λ1a1 + · · ·+ λnan)Ql .
є) Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) введемо таке позначення:
ql (x; C) := qC�l (x) = kl(x), x ∈ Bs (l) .
ж) Скороченi варiанти позначень:
• У тих випадках, коли наперед вiдомо про яку кiнематичну
множину C йде мова замiсть позначень 〈m← l, C〉, 〈!m← l, C〉 ,
Zk(l; C), Ls(l; C), dil (·; C), (·, ·)l,C, T p(l; C), Ps(l; C), ‖·‖l,C,
BG(l; C), ql (x; C) будемо використовувати позначення, 〈m← l〉,
〈!m← l〉 , Zk(l), Ls(l), dil, (·, ·)l, T p(l), Ps(l), ‖·‖l, BG(l), ql (x) вiд-
повiдно.
• У тих випадках, коли наперед вiдомо про яку систему вiдлi-
ку l ∈ Lk (C) йде мова замiсть позначень dil, ‖·‖l, (·, ·) l, ql (x),
(λ1a1 + · · ·+ λnan)l,C будемо використовувати позначення di, ‖·‖,
(·, ·), q(x), λ1a1+· · ·+λnan вiдповiдно. Також будемо користувати-
ся скороченими варiантами позначень для областей сприймання
мiнливих множин, описаними в зауваженнi 2.
Твердження 4 ( [4]). Нехай, C1, C2 — кiнематичнi множини, при-
чому:
1. Lk (C1) = Lk (C2).
2. Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C1) = Lk (C2) спра-
ведливi рiвностi, BG (l; C1) = BG (l; C2) i ql (x, C1) =
ql (x, C2) (∀x ∈ Bs(l)).
86 Я.I. Грушка
3. Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (C1) = Lk (C2) справе-
длива рiвнiсть, 〈m← l,C1〉 = 〈m← l,C2〉.
Тодi, C1 = C2.
Зауваження 3. Iз системи позначень, прийнятої в цьому пiдроздiлi,
випливає, що для довiльної кiнематичної множини C зберiгаються вла-
стивостi 3, властивостi 4 та твердження 3, а у випадку, коли C є чiтко
видимою, — властивостi 5 (з замiною скрiзь символу Z на символ C i
термiну “область сприймання” на термiн “система вiдлiку”).
Зауваження 4. Iз зауваження 2 та позначень для кiнематичних мно-
жин, прийнятих в даному пiдроздiлi випливає, що для довiльної систе-
ми вiдлiку l ∈ Lk (C) довiльної кiнематичної множини C мають мiсце
властивостi 1 та властивостi 2(1-3) (замiною символу “B ” на символ “l”
i термiну “базова мiнлива множина” на термiн “система вiдлiку”). При
цьому використовуються всi скороченi варiанти позначень, описанi
в зауваженнi 1.
4. Перетворення координат у кiнематичних
множинах.
Нехай, Cb – базова кiнематична множина. Введемо наступнi позначе-
ння.
1. Множину:
Mk
(
Cb
)
:= Tm
(
Cb
)
× Zk
(
Cb
)
,
будемо називати множиною Мiнковського базової кiнематичної
множини Cb.
2. Через Q〈C
b〉 будемо позначати вiдображення з Bs
(
Cb
)
в Mk
(
Cb
)
,
що задається формулою:
Q〈C
b〉(ω) := (tm (ω) , qCb(bs (ω))) , ω ∈ Bs
(
Cb
)
.
Для елементарно-часового стану ω ∈ Bs
(
Cb
)
значення Q〈C
b〉(ω) буде-
мо називати координатами Мiнковського ω.
3. Якщо C — довiльна кiнематична множина, то для довiльної си-
стеми вiдлiку l ∈ Lk (C) вводимо позначення:
Mk(l;C) := Tm(l)× Zk(l).
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 87
Q〈l〉(ω;C) := (tm (ω) , ql(bs (ω))) ∈Mk(l;C), ω ∈ Bs(l). (2)
Множину Mk(l;C) будемо називати множиною Мiнковського для
системи вiдлiку l у кiнематичнiй множинi C. Значення Q〈l〉(ω;C) буде-
мо називати координатами Мiнковського елементарно-часового
стану ω ∈ Bs (l) у системi вiдлiку l.
Коли наперед вiдомо, про яку кiнематичну множину C йде мова,
замiсть позначень Mk(l;C), Q〈l〉(ω;C) будемо використовувати позна-
чення Mk(l), Q〈l〉(ω) вiдповiдно.
Означення 5. Нехай, C — чiтко видима кiнематична множина i
l,m ∈ Lk (C) — довiльнi системи вiдлiку C.
1. Вiдображення Q〈m← l〉 ( · ;C) : Bs(l) 7→Mk(m), що задається фор-
мулою:
Q〈m← l〉(ω;C) = Q〈m〉(〈!m← l〉ω), ω ∈ Bs(l)
будемо називати реальним перетворенням координат з l
в m.
Для елементарно-часового стану ω ∈ Bs (l) значення
Q〈m← l〉(ω;C) можна назвати координатами Мiнковського ω у
(iншiй) системi вiдлiку m ∈ Lk (C).
2. Вiдображення Q̃ : Mk(l) 7→ Mk(m) будемо називати унiвер-
сальним перетворенням координат з l в m, якщо:
• Q̃ є бiєкцiєю мiж Mk(l) та Mk(m).
• Для довiльного елементарно-часового стану ω ∈ Bs(l) спра-
ведлива рiвнiсть:
Q〈m← l〉(ω;C) = Q̃
(
Q〈l〉(ω)
)
.
3. Будемо говорити, що системи вiдлiку l,m ∈ Lk (C) допуска-
ють унiверсальне перетворення координат, якщо iснує
хоч одне унiверсальне перетворення координат Q̃ : Mk(l) 7→
Mk(m) з l в m.
Якщо системи вiдлiку l,m ∈ Lk (C) допускають унiверсальне пе-
ретворення координат будемо використовувати позначення:
l�
C
m,
88 Я.I. Грушка
у випадку, коли наперед вiдомо, про яку кiнематичну множину
C йде мова, будемо використовувати позначення l�m.
4. Iндексовану сiм’ю
(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
будемо називати унiверсаль-
ним перетворенням координат для кiнематичної мно-
жини C, якщо:
• Для довiльних l,m ∈ Lk (C) Q̃m,l є унiверсальним перетво-
ренням координат з l в m.
• Для довiльних l,m, p ∈ Lk (C) i w ∈Mk(l) справедливi рiвно-
стi:
Q̃l,l(w) = w; Q̃p,m
(
Q̃m,l(w)
)
= Q̃p,l(w). (3)
5. Будемо говорити, що кiнематична множина C допускає унi-
версальне перетворення координат, якщо iснує хоч одне
унiверсальне перетворення координат
(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
для C.
Зауваження 5. У випадку, коли наперед вiдомо, про яку кiнематичну
множину C йде мова, замiсть позначення Q〈m← l〉(ω;C) будемо вико-
ристовувати позначення Q〈m← l〉(ω).
Твердження 5 ( [4]). Для довiльної чiтко видимої кiнематичної
множини C наступнi твердження рiвносильнi:
1. C допускає унiверсальне перетворення координат.
2. Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (C) має мiсце спiввiдно-
шення l�m (тобто довiльнi двi системи вiдлiку l,m ∈ Lk (C)
допускають унiверсальне перетворення координат).
3. Iснує система вiдлiку l ∈ Lk (C) така, що для довiльної системи
вiдлiку m ∈ Lk (C) виконується спiввiдношення l�m.
В роботi [5] показано, що кiнематичнi множини, пов’язанi iз класи-
чною спецiальною теорiєю вiдносностi в iнерцiйних системах вiдлiку
i її узагальненнями в сенсi E. Recami, допускають унiверсальне пере-
творення координат, а також наведено приклади кiнематичних мiнли-
вих множин, у яких не iснує унiверсального перетворення координат,
i якi можуть бути корисними для математичного моделювання еволю-
цiї фiзичних систем за умов гiпотези про iснування частинок з рiзни-
ми “власними” швидкостями свiтла (на фiзичному рiвнi подiбнi моделi
розглядались в роботах [16–20]).
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 89
5. Унiверсальнi кiнематичнi множини.
5.1. Означення унiверсальних кiнематичних мно-
жин
Означення 6. Якщо
←−
Q =
(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
є унiверсальним перетво-
ренням координат для чiтко видимої кiнематичної множини C, то
пару
F =
(
C,
←−
Q
)
будемо називати унiверсальною кiнематичною множиною,
або, скорочено, унiверсальною кiнематикою.
5.2. Система позначень для унiверсальних кiнема-
тик
Всюди в даному пiдроздiлi F =
(
C,
←−
Q
)
, де
←−
Q =
(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
—
довiльна унiверсальна кiнематика. Надалi будемо вживати наступну
систему позначень.
5.2.1 Позначення, iндукованi з теорiї кiнематичних множин
а) Мiнливу множину
BE (F) := BE (C)
будемо називати базою еволюцiї унiверсальної кiнематики F .
б) Введемо позначення:
Ind (F) := Ind (C) = Ind (BE (C)) = Ind (BE (F)) ;
Lk (F) := Lk (C) = Lk (BE (C)) = Lk (BE (F)) .
Множину Lk (F) будемо називати множиною систем вiдлi-
ку унiверсальної кiнематики F .
в) Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (F) = Lk (C):
• зберiгаються всi позначення, введенi в теорiї мiнливих мно-
жин (ind (l), lˆ, Bs(l),←
l
, Bs(l), Bs←
l
, Tm(l), Tm(l), ≤l, BE(l) =
lˆ ).
90 Я.I. Грушка
• iндукуються всi позначення, введенi в теорiї кiнематичних
мiнливих множин:
BG(l; F) := BG(l; C); Ls(l; F) := Ls(l; C);
Zk(l; F) := Zk(l; C); dil (·; F) := dil (·; C) ;
T p(l; F) := T p(l; C); ‖·‖l,F := ‖·‖l,C ;
Ps(l; F) := Ps(l; C); (·, ·)l,F := (·, ·)l,C .
• Також для систем вiдлiку l ∈ Lk (C) таких, що Ls(l) 6= ∅ i
довiльних a1, . . . , an ∈ Zk(l), λ1, . . . λn ∈ Ps(l) iндукується
позначення: (λ1a1 + · · ·+ λnan)l,F := (λ1a1 + · · ·+ λnan)l,C .
г) Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (F) = Lk (C) переносяться
позначення
〈m← l, F〉 := 〈m← l,C〉 ; 〈!m← l,F〉 := 〈!m← l,C〉 ;
Mk(l;F) := Mk (l;C) F � l := C � l;
Q〈l〉(ω;F) := Q〈l〉(ω;C); Q〈m← l〉(ω;F) := Q〈m← l〉(ω;C)
(де ω ∈ Bs(l))
ql(x;F) := ql(x;C); (де x ∈ Bs(l)).
Зауважмо, що iз введених позначень випливає, що для довiльної
системи вiдлiку l ∈ Lk (F) довiльної унiверсальної кiнематики F
справедлива рiвнiсть, BE (F � l) = BE(l).
5.2.2 Власнi позначення для унiверсальних кiнематик
Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (F) через [m← l;F ] будемо
позначати вiдображення з Mk(l) := Mk(l;F) в Mk(m), що дiє за фор-
мулою:
[m← l;F ] w = [m← l;F ] (w) := Q̃m,l(w), w ∈Mk(l).
При цьому, коли немає нагальної необхiдностi, круглi дужки у позна-
ченнi [m← l;F ] (w) будемо опускати ([m← l;F ] (w) = [m← l;F ] w).
5.2.3 Скороченi варiанти позначень
• У тих випадках, коли наперед вiдомо про яку унiверсальну кi-
нематику F йде мова, замiсть позначень Q〈l〉(·;F), Q〈m← l〉(·;F),
[m← l;F ] будемо використовувати позначення Q〈l〉(·), Q〈m← l〉(·),
[m← l] вiдповiдно.
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 91
• Також будемо користуватися скороченими варiантами позначень
для систем вiдлiку кiнематичних множин, описаними пунктi ж)
пiдроздiлу 3.2.2 (при цьому, символ C слiд замiнити на символ
F i термiн “кiнематична множина” на термiн “унiверсальна кi-
нематика”). Зокрема, залишаються в силi всi скороченi варiанти
позначень для областей сприймання мiнливих множин, описанi
в зауваженнi 2.
Нехай, F — унiверсальна кiнематика. Використовуючи прийнятi по-
значення, а також означення 5 (пункти 2,4) для довiльних систем вiд-
лiку l,m ∈ Lk (F) отримуємо рiвнiсть:
Q〈m← l〉(ω) = [m← l]Q〈l〉(ω) (∀ω ∈ Bs(l)) , (4)
тобто, враховуючи означення 5 (пункт 1) рiвнiсть:
Q〈m〉 (〈!m← l〉ω) = [m← l]Q〈l〉(ω) (∀ω ∈ Bs(l)) . (5)
Крiм того, за означенням 5 (пункт 4), для довiльних систем вiдлiку
l,m, p ∈ Lk (F) отримуємо рiвностi:
[l← l] w = w; (∀w ∈Mk(l)) ; (6)
[p←m] [m← l] w = [p← l] w (∀w ∈Mk(l)) . (7)
Твердження 6. Нехай, F1, F2 — унiверсальнi кiнематики, причому:
1. Lk (F1) = Lk (F2).
2. Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (F1) = Lk (F2) справедливi
рiвностi:
BG (l; F1) = BG (l; F2) ;
ql (x, F1) = ql (x, F2) (∀x ∈ Bs(l)) .
3. Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (F1) = Lk (F2) справе-
дливi рiвностi:
〈m← l,F1〉 = 〈m← l,F2〉 ;
[m← l,F1] = [m← l,F2] .
Тодi, F1 = F2.
92 Я.I. Грушка
Доведення. Нехай, F1 =
(
C1,
←−
Q1
)
, F2 =
(
C2,
←−
Q2
)
, де
←−
Q1 =(
Q̃
(1)
m,l
)
l,m∈Lk(C1)
,
←−
Q2 =
(
Q̃
(2)
m,l
)
l,m∈Lk(C2)
— унiверсальнi кiнематики, що
задовольняють умови даного твердження. Тодi, за першою умовою
твердження i згiдно iз системою позначень, прийнятою у пiдроздiлi
5.2.1, отримуємо:
Lk (C1) = Lk (F1) = Lk (F2) = Lk (C2) . (8)
Далi, використовуючи другу i третю умови твердження, згiдно iз си-
стемою позначень, прийнятою у пiдроздiлi 5.2.1, для довiльних систем
вiдлiку l,m ∈ Lk (C1) = Lk (C2) маємо:
BG (l; C1) = BG (l; F1) = BG (l; F2) = BG (l; C2) ; (9)
ql (x, C1) = ql (x, F1) = ql (x, F2) = ql (x, C2) (∀x ∈ Bs(l)) ; (10)
〈m← l,C1〉 = 〈m← l,F1〉 = 〈m← l,F2〉 = 〈m← l,C2〉 . (11)
З рiвностей (8), (9), (10), (11), за твердженням 4, випливає рiвнiсть
C1 = C2.
Розглянемо довiльнi системи вiдлiку l,m ∈ Lk (C1) = Lk (C2) =
Lk (F1) = Lk (F2). Оскiльки, за доведеним вище, C1 = C2, то, згiдно iз
позначеннями, прийнятими в пунктi г) пiдроздiлу 5.2.1:
Mk (l;F1) = Mk (l;C1) = Mk (l;C2) = Mk (l;F2) .
Тому, використовуючи третю умову даного твердження, а також по-
значення, прийнятi в пiдроздiлi 5.2.2, для довiльного елемента w ∈
Mk (l;C1) = Mk (l;C2) = Mk (l;F1) = Mk (l;F2) отримуємо:
Q̃
(1)
m,l(w) = [m← l;F1] w = [m← l;F2] w = Q̃
(2)
m,l(w),
тобто Q̃
(1)
m,l = Q̃
(2)
m,l. Звiдси, враховуючи довiльнiсть систем вiдлi-
ку l,m ∈ Lk (C1) = Lk (C2) отримуємо,
←−
Q1 =
(
Q̃
(1)
m,l
)
l,m∈Lk(C1)
=(
Q̃
(2)
m,l
)
l,m∈Lk(C2)
=
←−
Q2. Отже, F1 =
(
C1,
←−
Q1
)
=
(
C2,
←−
Q2
)
= F2. �
Зауваження 6. Iз зауваження 4 та позначень для унiверсальних кi-
нематик, прийнятих в даному пiдроздiлi випливає, що для довiльної
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 93
системи вiдлiку l ∈ Lk (F) довiльної унiверсальної кiнематики F ма-
ють мiсце властивостi 1 та властивостi 2(1-3) (з замiною символу “B ”
на символ “l ” i термiну “базова мiнлива множина” на термiн “система
вiдлiку”). При цьому використовуються всi скороченi варiанти по-
значень, описанi в зауваженнi 1.
6. Теореми про мультиобраз.
У даному роздiлi буде доведено теорему про мультиобраз для унiвер-
сальних кiнематик, необхiдну для побудови математично строгої моде-
лi кiнематики спецiальної теорiї вiдносностi, а також деяких її узагаль-
нень. Перш нiж доводити теорему про мультиобраз для унiверсальних
кiнематик необхiдно довести теореми про мультиобраз для мiнливих
та кiнематичних множин. Це буде зроблено у пiдроздiлах 6.2., 6.3..
В наступному пiдроздiлi буде сформульовано теорему про образ для
базових мiнливих множин, необхiдну для формулювання i доведення
всiх зазначених теорем про мультиобраз.
6.1. Теорема про образ для базових мiнливих мно-
жин.
Означення 7. Упорядковану трiйку (T,X , U) будемо називати ево-
люцiйним проектором для базової мiнливої множини B, якщо:
1. T = (T,≤) — лiнiйно упорядкована множина;
2. X — довiльна множина;
3. U — є вiдображенням виду, U : Bs(B) 7→ T×X .
Означення 8 ( [14]). Будемо говорити, що елементарно-часовi ста-
ни ω1, ω2 ∈ Bs(B) об’єднанi долею в базовiй мiнливiй множинi B,
якщо виконується хоч одна з умов ω2←ω1 або ω1←ω2.
Теорема 1 ( [15]). Нехай (T,X , U) — еволюцiйний проектор для ба-
зової мiнливої множини B. Тодi iснує, причому єдина базова мiнлива
множина U [B,T], що задовольняє такi умови:
1. Tm (U [B,T]) = T;
2. Bs(U [B,T]) = U(Bs(B)) = {U(ω) | ω ∈ Bs(B)};
94 Я.I. Грушка
3. Якщо ω̃1, ω̃2 ∈ Bs(U [B,T]) i tm (ω̃1) 6= tm (ω̃2), то ω̃1 i ω̃2 є об’єд-
нанi долею в U [B,T] тодi i тiльки тодi, коли iснують об’єднанi
долею в B елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) такi, що
ω̃1 = U (ω1), ω̃2 = U (ω2).
Зауваження 7. Теорема 3.1 з роботи [15], на перший погляд вигля-
дає менш загальною, нiж теорема 1, оскiльки там вимагається, щоб
вiдображення U в еволюцiйному проекторi (T,X , U) було визначене
на множинi Tm(B) × Bs(B), яка, взагалi кажучи є бiльш широкою,
нiж Bs(B). Проте довiльне вiдображення U , задане лише на множинi
Bs(B) ⊆ Tm(B) ×Bs(B) завжди можна довiльним чином продовжи-
ти на множину Tm(B) ×Bs(B), i при цьому отримати теорему 1, як
наслiдок з [15, теорема 3.1].
Зауваження 8. У випадку, коли T = Tm(B) замiсть позначення
U [B,T] будемо використовувати позначення U [B]:
U [B] := U [B,Tm(B)] .
Зауваження 9. Нехай, B — базова мiнлива множина i IBs(B) : Bs(B) 7→
Tm(B)×Bs(B) — вiдображення, що задається формулою: IBs(B)(ω) =
ω (ω ∈ Bs(B)). Тодi трiйка
(
Tm(B),Bs(B), IBs(B)
)
, очевидно є еволю-
цiйним проектором для B. При цьому, якщо в умови теореми 1 замiсть
T i U [B,T] пiдставити Tm(B) i B вiдповiдно, то всi цi умови будуть
задовольнятись. Отже, для тотожного на Bs(B) вiдображення IBs(B)
маємо:
IBs(B) [B] = B.
6.2. Теорема про мультиобраз для мiнливих мно-
жин
Через R(U) будемо позначати область значень (довiльного) вiд-
ображення U .
Означення 9. 1. Еволюцiйний проектор (T,X , U) (де T = (T,≤))
для базової мiнливої множини B будемо називати бiєктив-
ним, якщо вiдображення U є бiєкцiєю з Bs(B) на R(U) ⊆ T×X .
2. Довiльну iндексовану сiм’ю бiєктивних еволюцiйних проекторiв
для базової мiнливої множини B виду P = ((Tα,Xα, Uα) | α ∈ A)
будемо називати еволюцiйним мультипроектором для B.
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 95
Теорема 2. Нехай, P = ((Tα,Xα, Uα) | α ∈ A) — еволюцiйний муль-
типроектор для базової мiнливої множини B. Тодi:
А. Iснує, причому єдина мiнлива множина Z, що задовольняє такi
умови:
1. Lk (Z) = {(α,Uα [B,Tα]) | α ∈ A}.
2. Для довiльних областей сприймання l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (Z),
m = (β, Uβ [B,Tβ ]) ∈ Lk (Z) (α, β ∈ A) i довiльної множини
A ⊆ Bs(l) = Uα(Bs(B)) справедлива рiвнiсть:
〈m← l,Z〉A = Uβ
(
U [−1]
α (A)
)
=
{
Uβ
(
U [−1]
α (ω)
)
| ω ∈ A
}
,
де U [−1]
α — вiдображення, обернене до Uα.
Б. Мiнлива множина Z, що задовольняє умови 1, 2 є чiтко видимою.
Зауваження 10. Якщо мiнлива множина Z задовольняє умову 1 теоре-
ми 2, то для довiльної областi сприймання l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (Z),
згiдно з властивiстю 4(1), маємо, ind (l) = α, lˆ = Uα [B,Tα], а от-
же, Bs(l) = Bs (lˆ) = Bs (Uα [B,Tα]). Тому, за теоремою 1, Bs(l) =
Uα(Bs(B)). Таким чином, умова 2 теореми 2 сформульована коректно.
Доведення теореми 2.
А. Для довiльного α ∈ A трiйка (Tα,Xα, Uα), згiдно з означенням
9, є (бiєктивним) еволюцiйним проектором для B. Згiдно з теоремою
1, покладемо:
Bα := Uα [B,Tα] (α ∈ A) .
Оскiльки (Tα,Xα, Uα) є бiєктивним еволюцiйним проектором, то, за
означенням 9, вiдображення Uα є взаємно-однозначним. Отже, iснує
обернене вiдображення U [−1]
α (при всiх α ∈ A).
Для довiльних iндексiв α, β ∈ A i довiльної множини A ⊆ Bs (Bα)
(де, за теоремою 1, Bs (Bα) = Uα (Bs(B))) покладемо:
Uβ,αA := Uβ
(
U [−1]
α (A)
)
. (12)
Тодi Uβ,α є вiдображенням з 2Bs(Bα) в 2Bs(Bβ) = 2Uβ(Bs(B)).
Легко бачити, що iндексована сiм’я вiдображень (Uβ,α | α, β ∈ A)
має такi властивостi:
96 Я.I. Грушка
1. Uα,αA = A (α ∈ A, A ⊆ Bs (Bα));
2. Якщо α, β ∈ A i A ⊆ B ⊆ Bs (Bα), то Uβ,αA ⊆ Uβ,αB.
3. Якщо α, β, γ ∈ A i A ⊆ Bs (Bα), то
Uγ,βUβ,αA = Uγ,αA. (13)
Отже, згiдно з [13, definition 9.6] або [15, означення 3.1], трiйка:
Z =
(
A,
←−
B ,
←−
U
)
, де
←−
B = (Bα | α ∈ A) ;
←−
U = (Uβ,α | α, β ∈ A) .
є мiнливою множиною. При цьому, згiдно iз системою позначень для
теорiї мiнливих множин, прийнятою в з [13], [15]:
Lk (Z) = {(α,Bα) | α ∈ A} = {(α,Uα [B,Tα]) | α ∈ A} , (14)
i для довiльних областей сприймання l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (Z), m =
(β, Uβ [B,Tβ ]) ∈ Lk (Z) (де α, β ∈ A) i довiльної множини A ⊆ Bs(l) =
Bs (Uα [B,Tα]) = Uα(Bs(B)), згiдно (12) отримуємо:
〈m← l, Z〉A = Uβ,αA = Uβ
(
U [−1]
α (A)
)
. (15)
З (14) i (15) випливає, що мiнлива множина Z задовольняє умови 1,2
теореми 2.
Якщо мiнлива множина Z1 також задовольняє умови 1,2 теореми
2, то, за умовою 1, Lk (Z) = Lk (Z1), а, згiдно з умовою 2, довiльних
областей сприймання l,m ∈ Lk (Z) = Lk (Z1) справедлива рiвнiсть:
〈m← l,Z〉 = 〈m← l,Z1〉. Отже, згiдно з твердженням 1, Z = Z1. Таким
чином, мiнлива множина, що задовольняє умови 1,2 теореми 2 — єдина.
Б. Використовуючи рiвностi (15) та (13), для довiльних l,m, p ∈
Lk (Z) (l = (α,Uα [B,Tα]), m = (β, Uβ [B,Tβ ]), p = (γ, Uγ [B,Tγ ]) (де
α, β, γ ∈ A)) отримуємо:
〈p←m〉 〈m← l〉A = Uγ,βUβ,αA = Uγ,αA = 〈p← l〉A (A ⊆ Bs(l)) .
Отже, згiдно [14, теорема 5.1] або [13, theorem 11.1], мiнлива множина
Z є чiтко видимою. �
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 97
Означення 10. Нехай, P = ((Tα,Xα, Uα) | α ∈ A) — еволюцiйний
мультипроектор для базової мiнливої множини B. Мiнливу множи-
ну Z, що задовольняє умови 1,2 теореми 2 будемо називати (ево-
люцiйним) мультиобразом базової мiнливої множини B вiдно-
сно еволюцiйного мультипроектора P, i будемо позначати її через
Z im [P,B]:
Z im [P,B] := Z.
Безпосередньо з теорем 2 та 1, враховуючи властивiсть 2(2) та за-
уваження 2, випливають наступнi властивостi мультиобразу базової
мiнливої множини.
Властивостi 6. Нехай P = ((Tα,Xα, Uα) | α ∈ A), де Tα = (Tα,≤α)
(α ∈ A) — еволюцiйний мультипроектор для базової мiнливої мно-
жини B i Z = Z im [P,B]. Тодi:
1. Lk (Z) = {(α,Uα [B,Tα]) | α ∈ A}.
2. Ind (Z) = A.
3. Для довiльної областi сприймання l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (Z)
справедливi рiвностi:
Bs(l) = Uα (Bs(B)) = {Uα(ω) | ω ∈ Bs(B)} ;
Bs(l) = {bs (Uα(ω)) | ω ∈ Bs(B)} ;
Tm(l) = Tα; Tm(l) = Tα.
4. Нехай, l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (Z), де α ∈ A. Якщо ω̃1, ω̃2 ∈
Bs(l) i tm (ω̃1) 6= tm (ω̃2), то ω̃1 i ω̃2 є об’єднанi долею в l тодi
i тiльки тодi, коли iснують об’єднанi долею в B елементарно-
часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) такi, що ω̃1 = Uα (ω1), ω̃2 = Uα (ω2).
Нехай, B — довiльна базова мiнлива множина, X — довiльна мно-
жина, що мiститьBs(B) (Bs(B) ⊆ X). Нагадаємо [15, приклад 3.2], [13,
example 10.2] що довiльна множина бiєкцiй U, заданих на Tm(B)×X:
U : Tm(B)×X ←→ Tm(B)×X (U ∈ U) (16)
називається трансформуючою множиною бiєкцiй вiдносно базо-
вої мiнливої множини B на X.
Нехай, U — трансформуюча множина бiєкцiй вiдносно B наX. Тодi,
за означенням 7, кожне вiдображення U ∈ U породжує еволюцiйний
98 Я.I. Грушка
проектор,
(
Tm(B), X, U�Bs(B)
)
, де U�Bs(B) — звуження вiдображення U
на множину Bs(B) ⊆ Tm(B) × X (надалi, коли не виникає непорозу-
мiнь, будемо вiдображення U�Bs(B) ототожнювати з вiдображенням U
при такому ототожнення можна вважати, що
(
Tm(B), X, U�Bs(B)
)
=
(Tm(B), X, U)). Отже, множина
PB [U] = {(Tm(B), X, U) | U ∈ U}
є еволюцiйним мультипроектором для B. У цьому частинному випадку
отримуємо мiнливу множину:
Z im (U,B) = Z im [PB [U] ,B] ,
тобто багатоликий образ базової мiнливої множини B вiдносно транс-
формуючої множини бiєкцiй U в сенсi [13,15].
З пункту Б теореми 2 випливає, що мiнливi множини типу
Z im [P,B] та Z im (U,B) є чiтко видимими. Отже, отримуємо насту-
пний наслiдок з теореми 2:
Наслiдок 1. Якщо Z = Z im [P,B], де P = ((Tα,Xα, Uα) | α ∈ A),
то для довiльних систем вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (Z), m =
(β, Uβ [B,Tβ ]) ∈ Lk (Z) (α, β ∈ A) справедлива рiвнiсть:
〈!m← l, Z〉ω = Uβ
(
U [−1]
α (ω)
)
(ω ∈ Bs(l) = Uα (Bs(B))) .
6.3. Теорема про мультиобраз для кiнематичних
множин
Означення 11.
1. Упорядковану п’ятiрку (T,X , U,Q, k) будемо називати бiєктив-
ним кiнематичним проектором для базової мiнливої мно-
жини B, якщо:
1.1. (T,X , U) бiєктивним еволюцiйним проектором для B.
1.2. Q — координатний простiр.
1.3. k — вiдображення з X в Zk(Q).
2. Довiльну iндексовану сiм’ю P = ((Tα,Xα, Uα,Qα, kα) | α ∈ A) бi-
єктивних кiнематичних проекторiв для базової мiнливої мно-
жини B будемо називати кiнематичним мультипроекто-
ром для B.
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 99
Зауваження 11. Враховуючи, що надалi розглядатимуться лише бiє-
ктивнi кiнематичнi проектори, замiсть термiну “бiєктивний кiнемати-
чний проектор” будемо використовувати термiн “кiнематичний прое-
ктор”.
Нехай, P = ((Tα,Xα, Uα,Qα, kα) | α ∈ A) — довiльний кiнемати-
чний мультипроектор для B. Покладемо:
P[e] := ((Tα,Xα, Uα) | α ∈ A) .
За означеннями 11 та 9, P[e] є еволюцiйним мультипроектором для B.
Теорема 3. Нехай, P = ((Tα,Xα, Uα,Qα, kα) | α ∈ A) — кiнемати-
чний мультипроектор для базової мiнливої множини B. Тодi:
А) Iснує, причому єдина, кiнематична множина C, що задовольняє
такi умови:
1. BE (C) = Z im
[
P[e],B
]
.
2. Для довiльної системи вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (C), де
α ∈ A виконуються рiвностi:
2.1) BG(l) = Qα; 2.2) ql(x) = kα(x) (x ∈ Bs(l)).
Б) Кiнематична множина C, що задовольняє умови 1,2 є чiтко ви-
димою.
Доведення. Нехай, P = ((Tα,Xα, Uα,Qα, kα) | α ∈ A), де Tα =
(Tα,≤α) (α ∈ A) — кiнематичний мультипроектор для B.
А) Покладемо:
Z := Z im
[
P[e],B
]
.
Тодi, за теоремою 2:
Lk (Z) = {(α,Uα [B,Tα]) | α ∈ A} .
Зафiксуємо довiльну область сприймання l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (Z),
де α ∈ A. Покладемо:
Q(l) := Qα.
П’ятiрка (Tα,Xα, Uα,Qα, kα) є кiнематичним проектором, а отже,
за означенням 11, трiйка (Tα,Xα, Uα) = ((Tα,≤α) ,Xα, Uα) є еволюцiй-
ним проектором для B. Тому, за означенням еволюцiйного проектора
100 Я.I. Грушка
(означення 7), Uα є вiдображенням виду Uα : Bs(B) 7→ Tα×Xα. Отже,
за властивiстю 6(3), отримуємо:
Bs(l) = {bs (Uα(ω)) | ω ∈ Bs(B)} ⊆ Xα.
Для довiльного x ∈ Bs(l) покладемо:
k(l)(x) := kα(x).
За означенням кiнематичного проектора (означення 11) kα є вiдобра-
женням з Xα в Zk (Qα) = Zk
(
Q(l)
)
. Отже, k(l) — вiдображення з Bs(l)
в Zk
(
Q(l)
)
.
Враховуючи довiльнiсть областi сприймання l ∈ Lk (Z), за означе-
нням 4 (пункт 2), отримуємо, що пара
C =
(
Z,
((
Q(l), k(l)
)
| l ∈ Lk (Z)
))
(17)
є кiнематичною множиною. При цьому, враховуючи систему позна-
чень, прийняту в пiдроздiлi 3.2.2, отримуємо:
BE(C) = Z = Z im
[
P[e],B
]
,
i для довiльної системи вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (C), де α ∈ A
маємо:
BG(l) = Q(l) = Qα;
ql(x) = k(l)(x) = kα(x) (x ∈ Bs(l)).
Отже, кiнематична множина C задовольняє умови 1,2 пункту А)
теореми 3.
Доведемо, що кiнематична множина C, що задовольняє умови 1,2
пункту А) теореми 3 єдина. Припустимо, що кiнематична множина C1
також задовольняє умови 1,2 пункту А) теореми 3. Тодi, за умовою 1,
BE (C) = Z = BE (C1). Отже,
Lk (C) = Lk (Z) = Lk (C1) ,
причому, для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (C) = Lk (C1) маємо:
〈m← l,C〉 = 〈m← l,Z〉 = 〈m← l,C1〉 .
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 101
Далi, за умовою 2, для довiльної системи вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈
Lk (C) = Lk (C1) отримуємо:
BG (l; C) = Qα = BG (l; C1) ;
ql (x, C) = kα(x) = ql (x, C1) (x ∈ Bs(l)) .
Звiдси, за твердженням 4, C = C1.
Б) Оскiльки мiнлива множина Z є чiтко видимою, то кiнемати-
чна множина C, що задається формулою (17) також, за пунктом г)
пiдроздiлу 3.2.2, є чiтко видимою. �
Означення 12. Нехай, P = ((Tα,Xα, Uα,Qα, kα) | α ∈ A) — кiнема-
тичний мультипроектор для базової мiнливої множини B. Кiнема-
тичну множину C, що задовольняє умови 1,2 теореми 3 будемо нази-
вати кiнематичним мультиобразом базової мiнливої множини
B вiдносно кiнематичного мультипроектора P, i будемо позначати
її через Kim [P,B]:
Kim [P,B] := C.
Використовуючи властивостi 6, наслiдок 1 та теорему 3, отримує-
мо наступнi властивостi кiнематичного мультиобразу базової мiнливої
множини.
Властивостi 7. Нехай P = ((Tα,Xα, Uα,Qα, kα) | α ∈ A), де Tα =
(Tα,≤α) (α ∈ A) — кiнематичний мультипроектор для B i C =
Kim [P,B]. Тодi:
1. Lk (C) = {(α,Uα [B,Tα]) | α ∈ A}.
2. Ind (C) = A.
3. Для довiльної системи вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (C) спра-
ведливi рiвностi:
Bs(l) = Uα (Bs(B)) = {Uα(ω) | ω ∈ Bs(B)} ;
Bs(l) = {bs (Uα(ω)) | ω ∈ Bs(B)} ;
Tm(l) = Tα; Tm(l) = Tα;
Zk(l) = Zk (BG(l)) = Zk (Qα) ;
Mk(l) = Tm(l)× Zk(l) = Tα × Zk (Qα) ;
ql(x) = kα(x) (x ∈ Bs(l));
Q〈l〉(ω) = (tm (ω) , ql(bs (ω))) = (tm (ω) , kα(bs (ω))) (ω ∈ Bs(l)) .
102 Я.I. Грушка
4. Нехай, l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (C), де α ∈ A. Якщо ω̃1, ω̃2 ∈
Bs(l) i tm (ω̃1) 6= tm (ω̃2), то ω̃1 i ω̃2 є об’єднанi долею в l тодi
i тiльки тодi, коли iснують об’єднанi долею в B елементарно-
часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) такi, що ω̃1 = Uα (ω1), ω̃2 = Uα (ω2).
5. Для довiльних систем вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (C), m =
(β, Uβ [B,Tβ ]) ∈ Lk (C) (α, β ∈ A) справедлива рiвнiсть:
〈!m← l, C〉ω = Uβ
(
U [−1]
α (ω)
)
(ω ∈ Bs(l) = Uα (Bs(B))) .
6.4. Теорема про мультиобраз для унiверсальних
кiнематик
Означення 13. 1. Упорядковану п’ятiрку (T,X , U,Q,K), де T =
(T,≤) — лiнiйно упорядкована множина, будемо називати унi-
версальним кiнематичним проектором для базової кiне-
матичної множини Cb, якщо:
1.1) (T,X , U) є еволюцiйним проектором для BE
(
Cb
)
.
1.2) Q — координатний простiр.
1.3) K — бiєкцiя з Mk
(
Cb
)
на T × Zk(Q) (K : Mk
(
Cb
)
↔
T× Zk(Q)).
1.4) Для довiльних ω1, ω2 ∈ Bs
(
Cb
)
з умови bs (U (ω1)) =
bs (U (ω2)) випливає рiвнiсть bs
(
K
(
Q〈C
b〉 (ω1)
))
=
bs
(
K
(
Q〈C
b〉 (ω2)
))
.
1.5) Для довiльного ω ∈ Bs
(
Cb
)
справедлива рiвнiсть:
tm (U(ω)) = tm
(
K
(
Q〈C
b〉 (ω)
))
.
2. Довiльну iндексовану сiм’ю ((Tα,Xα, Uα,Qα,Kα) | α ∈ A) (де
A 6= ∅) унiверсальних кiнематичних проекторiв для базової кi-
нематичної множини Cb будемо називати унiверсальним кi-
нематичним мультипроектором для Cb.
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 103
Нехай, P = ((Tα,Xα, Uα,Qα,Kα) | α ∈ A) — унiверсальний кiнема-
тичний мультипроектор для базової кiнематичної множини Cb. Тодi,
за означенням 13, iндексована сiм’я:
P[e] = ((Tα,Xα, Uα) | α ∈ A)
є еволюцiйним мультипроектором для базової мiнливої множини
BE
(
Cb
)
.
Теорема 4. Для довiльного унiверсального кiнематичного мульти-
проектора P = ((Tα,Xα, Uα,Qα,Kα) | α ∈ A) для базової кiнемати-
чної множини Cb iснує, причому єдина, унiверсальна кiнематика F
така, що:
1. BE (F) = Z im
(
P[e],BE
(
Cb
))
.
2. Для будь-якої системи вiдлiку l =
(
α,Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
∈ Lk (F)
(α ∈ A) i для будь-якого елементарно-часового стану ω ∈ Bs(l)
справедливi рiвностi:
BG (l,F) = Qα;
Q〈l〉 (ω,F) = Kα
(
Q〈C
b〉
(
U [−1]
α (ω)
))
.
3. Для довiльних систем вiдлiку l =
(
α,Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
∈ Lk (F),
m =
(
β, Uβ
[
BE
(
Cb
)
,Tβ
])
∈ Lk (F) (α, β ∈ A) i для довiльного
елемента w ∈Mk(l) справедлива рiвнiсть:
[m← l, F ] w = Kβ
(
K[−1]
α (w)
)
.
Доведення. Нехай, P = ((Tα,Xα, Uα,Qα,Kα) | α ∈ A), де Tα =
(Tα,≤α), α ∈ A — унiверсальний кiнематичний мультипроектор для
базової кiнематичної множини Cb. Зафiксуємо довiльний iндекс α ∈
A. За означенням 13, трiйка (Tα,Xα, Uα) є еволюцiйним проектором
для базової мiнливої множини BE
(
Cb
)
. Отже, за означенням еволю-
цiйного проектора (означення 7), Uα є вiдображенням з множини
Bs
(
BE
(
Cb
))
= Bs
(
Cb
)
в множину Tα ×Xα. Покладемо:
X̃α :=
{
bs (Uα(ω)) | ω ∈ Bs
(
Cb
)}
.
104 Я.I. Грушка
Тодi:
X̃α ⊆ Xα.
Для довiльного x = bs (Uα(ω)) ∈ X̃α, де ω ∈ Bs
(
Cb
)
покладемо:
k̃α(x) := bs
(
Kα
(
Q〈C
b〉(ω)
))
.
З умови 1.4) означення 13 випливає, що вiдображення k̃α визначено
коректно.
Оскiльки, за означенням 13, Kα є вiдображенням з Mk
(
Cb
)
в
Tα×Zk (Qα), то k̃α є вiдображенням з X̃α в Zk (Qα). Продовжимо до-
вiльним чином вiдображення k̃α до вiдображення kα : Xα 7→ Zk (Qα).
Враховуючи довiльнiсть iндексу α ∈ A, отримуємо iндексовану сiм’ю:
P[k] := ((Tα,Xα, Uα,Qα,kα) | α ∈ A) .
За означенням 11, P[k] є кiнематичним мультипроектором для базової
мiнливої множини BE
(
Cb
)
. Покладемо:
C := Kim
[
P[k], BE
(
Cb
)]
.
Оскiльки
(
P[k]
)[e]
= P[e], то, за теоремою 3:
BE (C) = Z im
[
P[e],BE
(
Cb
)]
. (18)
Розглянемо довiльну систему вiдлiку l =
(
α,Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
∈
Lk (C). За теоремою 3:
BG (l,C) = Qα. (19)
За теоремою 1,
Bs(l) = Bs
(
Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
= Uα
(
Bs
(
BE
(
Cb
)))
=
= Uα
(
Bs
(
Cb
))
=
{
Uα(ω) | ω ∈ Bs
(
Cb
)}
.
Отже, згiдно з властивiстю 2(2) та зауваженням 4:
Bs(l) = {bs (ω̃) | ω̃ ∈ Bs(l)} =
=
{
bs (Uα(ω)) | ω ∈ Bs
(
Cb
)}
= X̃α.
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 105
Звiдси, за теоремою 3, для довiльного елементарного стану x =
bs (Uα(ω)) ∈ Bs(l) = X̃α, де ω ∈ Bs
(
Cb
)
, отримуємо, ql (x,C) = kα(x) =
k̃α(x) = bs
(
Kα
(
Q〈C
b〉(ω)
))
, тобто:
ql (bs (Uα(ω)) ,C) = bs
(
Kα
(
Q〈C
b〉(ω)
)) (
ω ∈ Bs
(
Cb
))
. (20)
Оскiльки, за означенням 13, пункт 2, (Tα,Xα, Uα,Qα,Kα) є унiверсаль-
ним кiнематичним проектором для Cb, то, за означенням 13, пункт
1.5):
tm (Uα(ω)) = tm
(
Kα
(
Q〈C
b〉 (ω)
))
, ω ∈ Bs
(
Cb
)
.
Отже, з рiвностi (20) для ω ∈ Bs
(
Cb
)
отримуємо:
Q〈l〉 (Uα(ω),C) = (tm (Uα(ω)) , ql (bs (Uα(ω)) ,C)) =
=
(
tm
(
Kα
(
Q〈C
b〉 (ω)
))
, bs
(
Kα
(
Q〈C
b〉 (ω)
)))
= Kα
(
Q〈C
b〉 (ω)
)
.
Звiдси:
Q〈l〉 (ω,C) = Kα
(
Q〈C
b〉
(
U [−1]
α (ω)
))
, ω ∈ Uα
(
Bs
(
Cb
))
= Bs(l). (21)
Для довiльної системи вiдлiку l =
(
α,Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
∈ Lk (C),
згiдно властивостями 7, мамо:
Tm(l) = Tα;
Tm(l) = Tα;
Zk(l,C) = Zk (Qα) ;
Mk(l,C) = Tα × Zk (Qα) . (22)
Для довiльних систем вiдлiку l =
(
α,Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
∈ Lk (C),
m =
(
β, Uβ
[
BE
(
Cb
)
,Tβ
])
∈ Lk (C) покладемо:
Q̃m,l(w) := Kβ
(
K[−1]
α (w)
)
, w ∈Mk(l,C) = Tα × Zk (Qα) . (23)
Оскiльки, за означенням 13, пункт 1.3), Kα є бiєкцiєю мiж Mk
(
Cb
)
i
Tα × Zk (Qα) = Mk(l), то вiдображення Q̃m,l є бiєкцiєю мiж Mk(l) i
Mk(m) (для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (C). Доведемо, що сiм’я
106 Я.I. Грушка
бiєкцiй
(
Q̃m,l | l,m ∈ Lk (C)
)
є унiверсальним перетворенням коорди-
нат для кiнематичної множини C.
Використовуючи властивiсть 7(5) i формулу (21), для довiль-
них систем вiдлiку l =
(
α,Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
∈ Lk (C), m =(
β, Uβ
[
BE
(
Cb
)
,Tβ
])
∈ Lk (C) i довiльного ω ∈ Bs(l) отримуємо:
Q〈m← l〉 (ω,C) = Q〈m〉 (〈!m← l, C〉ω; C) = Q〈m〉
(
Uβ
(
U [−1]
α (ω)
))
=
= Kβ
(
Q〈C
b〉
(
U
[−1]
β
(
Uβ
(
U [−1]
α (ω)
))))
=
= Kβ
(
Q〈C
b〉
(
U [−1]
α (ω)
))
=
= Kβ
(
K[−1]
α
(
Kα
(
Q〈C
b〉
(
U [−1]
α (ω)
))))
=
= Kβ
(
K[−1]
α
(
Q〈l〉 (ω,C)
))
= Q̃m,l
(
Q〈l〉 (ω,C)
)
.
Отже, за означенням 5, пункт 2, Q̃m,l є унiверсальним перетворенням
координат з системи вiдлiку l в систему вiдлiку m (для довiльних си-
стем вiдлiку l,m ∈ Lk (C)). З формули (23) випливає, що для будь-яких
l,m, p ∈ Lk (C) i w ∈Mk(l) виконуються рiвностi:
Q̃l,l(w) = w i Q̃p,m
(
Q̃m,l(w)
)
= Q̃p,l(w).
Тому, за означенням 5, пункт 4, сiм’я вiдображень
(
Q̃m,l | l,m ∈ Lk (C)
)
є унiверсальним перетворенням координат для кiнематичної множини
C. Покладемо:
←−
Q :=
(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
;
F :=
(
C,
←−
Q
)
=
(
C,
(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
)
.
За означенням 6, F є унiверсальною кiнематикою. Згiдно iз системою
позначень, введеною в пiдроздiлi 5.2. i формулою (18):
BE (F) = BE(C) = Z im
[
P[e],BE
(
Cb
)]
;
Lk (F) = Lk (C) .
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 107
При цьому, використовуючи формули (19), (21), (22), (23), для до-
вiльних систем вiдлiку l =
(
α,Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
∈ Lk (F), m =(
β, Uβ
[
BE
(
Cb
)
,Tβ
])
∈ Lk (F) отримуємо:
BG (l, F) = BG (l, C) = Qα ;
Q〈l〉 (ω,F) = Q〈l〉 (ω,C) = Kα
(
Q〈C
b〉
(
U [−1]
α (ω)
))
(
∀ ω ∈ Bs(l) = Uα
(
Bs
(
Cb
)))
;
[m← l, F ] w = Q̃m,l(w) = Kβ
(
K[−1]
α (w)
)
(∀ w ∈Mk(l,F) = Mk(l,C) = Tα × Zk (Qα)) .
Отже, унiверсальна кiнематика F задовольняє умови 1–3 даної теоре-
ми.
Доведемо, що кiнематика F , яка задовольняє умови 1–3 даної те-
ореми — єдина. Припустимо, що унiверсальна кiнематика F1 також
задовольняє умови 1–3 даної теореми. Тодi, в силу першої умови,
BE (F) = Z im
(
P[e],BE
(
Cb
))
= BE (F1). Отже, в силу системи позна-
чень, прийнятої у пiдроздiлi 5.2.1 отримуємо:
Lk (F) = Lk (BE (F)) = Lk (BE (F1)) = Lk (F1) ; (24)
〈m← l,F〉 = 〈m← l, BE (F)〉 =
= 〈m← l, BE (F1)〉 = 〈m← l,F1〉 . (25)
Далi, використовуючи другу умову даної теореми для будь-якої систе-
ми вiдлiку l =
(
α,Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
∈ Lk (F) = Lk (F1) (α ∈ A) i для
будь-якого елементарно-часового стану ω ∈ Bs(l) маємо:
BG (l,F) = Qα = BG (l,F1) ; (26)
Q〈l〉 (ω,F) = Kα
(
Q〈C
b〉
(
U [−1]
α (ω)
))
= Q〈l〉 (ω,F1) . (27)
Розглянемо довiльний елементарний стан x ∈ Bs(l). Згiдно з зауважен-
ням 6 та з властивiстю 2(2), iснує елементарно-часовий стан ωx ∈ Bs(l)
такий, що x = bs (ωx). Використовуючи рiвностi (2) i (27), отримуємо:
(tm (ωx) , ql(x;F)) = (tm (ωx) , ql (bs (ωx) ;F)) = Q〈l〉 (ωx;F) =
= Q〈l〉 (ωx;F1) = (tm (ωx) , ql (x;F1)) .
108 Я.I. Грушка
Отже:
ql(x;F) = ql (x;F1) (∀x ∈ Bs(l)) . (28)
Використовуючи третю умову даної теореми для довiльних систем вiд-
лiку l =
(
α,Uα
[
BE
(
Cb
)
,Tα
])
∈ Lk (F), m =
(
β, Uβ
[
BE
(
Cb
)
,Tβ
])
∈
Lk (F) (α, β ∈ A) i для довiльного елемента w ∈Mk(l) отримуємо:
[m← l,F ] w = Kβ
(
K[−1]
α (w)
)
= [m← l,F1] w. (29)
Iз спiввiдношень (24), (26), (28), (25), (29), згiдно з твердженням 6,
отримуємо рiвнiсть, F = F1. �
Означення 14. Нехай P = ((Tα,Xα, Uα,Qα,Kα) | α ∈ A) — унiвер-
сальний кiнематичний мультипроектор для базової кiнематичної
множини Cb. Унiверсальну кiнематику F , що задовольняє умови
1,2,3 теореми 4 будемо називати унiверсальним кiнематичним
мультиобразом Cb вiдносно мультипроектора P, i будемо її позна-
чати через Ku
[
P,Cb
]
:
Ku
[
P,Cb
]
:= F .
Властивостi 8. Нехай P = ((Tα,Xα, Uα,Qα,Kα) | α ∈ A), де Tα =
(Tα,≤α) (α ∈ A) — унiверсальний кiнематичний мультипроектор
для Cb i F = Ku
[
P,Cb
]
. Тодi:
1. Lk (F) = {(α,Uα [B,Tα]) | α ∈ A}.
2. Ind (F) = A.
3. Для довiльної системи вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (F) спра-
ведливi рiвностi:
Bs(l) = Uα (Bs(B)) = {Uα(ω) | ω ∈ Bs(B)} ;
Bs(l) = {bs (Uα(ω)) | ω ∈ Bs(B)} ;
Tm(l) = Tα; Tm(l) = Tα;
4. Для довiльної системи вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (F) спра-
ведливi рiвностi:
Zk(l;F) = Zk (Qα) ; (30)
Mk(l;F) = Tα × Zk (Qα) ; (31)
Q〈l〉(ω;F) = Kα
(
Q〈C
b〉
(
U [−1]
α (ω)
))
(ω ∈ Bs(l)) . (32)
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 109
5. Нехай, l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (F), де α ∈ A. Якщо ω̃1, ω̃2 ∈
Bs(l) i tm (ω̃1) 6= tm (ω̃2), то ω̃1 i ω̃2 є об’єднанi долею в l тодi
i тiльки тодi, коли iснують об’єднанi долею в B елементарно-
часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) такi, що ω̃1 = Uα (ω1), ω̃2 = Uα (ω2).
6. Для довiльних систем вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (F), m =
(β, Uβ [B,Tβ ]) ∈ Lk (F) (α, β ∈ A) справедлива рiвнiсть:
〈!m← l, F〉ω = Uβ
(
U [−1]
α (ω)
)
(ω ∈ Bs(l) = Uα (Bs(B))) ;
7. Для довiльних систем вiдлiку l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (F), m =
(β, Uβ [B,Tβ ]) ∈ Lk (F) (α, β ∈ A) справедлива рiвнiсть:
[m← l, F ] w = Kβ
(
K[−1]
α (w)
)
(w ∈Mk(l;F)) .
Доведення. Нехай P = ((Tα,Xα, Uα,Qα,Kα) | α ∈ A), де Tα =
(Tα,≤α) (α ∈ A) — унiверсальний кiнематичний мультипроектор для
Cb i F = Ku
[
P,Cb
]
.
1,2,3,5,6: Згiдно з теоремою 4 (пункт 1),
BE (F) = Z im
(
P[e],BE
(
Cb
))
.
Отже, згiдно iз прийнятою системою позначень для унiвер-
сальних кiнематик, значення всiх компонент мiнливої множини
Z im
(
P[e],BE
(
Cb
))
збiгаються iз значеннями вiдповiдних компонент
унiверсальної кiнематики F . Тому, властивостi 8(1,2,3,5,6) випливають
з властивостей 6(1-4) та наслiдка 1.
4: Нехай, l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (F), де α ∈ A. Згiдно з теоремою
4 (пункт 2),
BG (l,F) = Qα. (33)
Iз прийнятої системи позначень випливає, що для довiльної системи
вiдлiку k ∈ Lk (Y) довiльної кiнематичної множини або унiверсаль-
ної кiнематики Y справедлива рiвнiсть: Zk (k,Y) = Zk (BG (k,Y)). З
останньої рiвностi, враховуючи рiвнiсть (33), отримуємо рiвнiсть (30).
Рiвнiсть (31) випливає з рiвностi (30), властивостi 8(3) i означення
множини Мiнковського. Рiвнiсть (32) випливає з теореми 4 (пункт 2).
7: Властивiсть 8(7) випливає з теореми 4 (пункт 3). �
110 Я.I. Грушка
7. Унiверсальнi кiнематики, породженi
спецiальною теорiєю вiдносностi та де-
якими її узагальненнями
Нехай, Q — координатний простiр. Довiльна базова мiнлива множи-
на B така, що Bs(B) ⊆ Zk(Q) (1) породжує базову кiнематичну
множину:
C(B,Q) =
(
B,
(
Q, IBs(B)
))
,
де IBs(B) — тотожне вiдображення на Bs(B). Тодi:
Zk
(
C(B,Q)
)
= Zk(Q);
Mk
(
C(B,Q)
)
= Tm
(
C(B,Q)
)
× Zk
(
C(B,Q)
)
= Tm(B)× Zk(Q); (34)
qC(B,Q)(x) = x, x ∈ Bs
(
C(B,Q)
)
= Bs(B);
Q〈C
(B,Q)〉(ω) = (tm (ω) , qC(B,Q) (bs (ω))) =
= (tm (ω) , bs (ω)) = ω, ω ∈ Bs
(
C(B,Q)
)
= Bs(B). (35)
Нехай, U — довiльна трансформуюча множина бiєкцiй вiдносно B на
Zk(Q).
Твердження 7. Для довiльного вiдображення U ∈ U упорядкована
п’ятiрка:
(Tm(B),Zk(Q),U,Q,U)
є унiверсальним кiнематичним проектором для C(B,Q).
Доведення. Нехай U ∈ U. Згiдно (16), U є бiєкцiєю типу, U :
Tm(B) × Zk(Q) ←→ Tm(B) × Zk(Q), де Bs(B) ⊆ Tm(B) ×Bs(B) ⊆
Tm(B)×Zk(Q). Отже, трiйка (Tm(B),Zk(Q),U) є еволюцiйним про-
ектором для базової мiнливої множини B = BE
(
C(B,Q)
)
. При цьому,
згiдно з (34), U є бiєкцiєю типу, U : Mk
(
C(B,Q)
)
←→ Tm(B)× Zk(Q).
Отже, умови 1.1)–1.3) означення 13 виконанi. Перевiримо виконання
1Для того, щоб побудувати базову мiнливу множину B, що задовольняє умову
Bs(B) ⊆ Zk(Q) достатньо покласти B := At (T,R), де T = (T,≤) — довiльна
лiнiйно упорядкована множина, R — система абстрактних траєкторiй з T в M де
M ⊆ Zk(Q). Означення базової мiнливої множини типу At (T,R) можна знайти
в [13,21,22].
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 111
умов 1.4), 1.5). Використовуючи (35) для довiльних ω1, ω2 ∈ Bs
(
C(B,Q)
)
таких, що bs (U (ω1)) = bs (U (ω2)) i довiльного ω ∈ Bs
(
C(B,Q)
)
отри-
муємо:
bs
(
U
(
Q〈C
(B,Q)〉 (ω1)
))
= bs (U (ω1)) = bs (U (ω2)) =
= bs
(
U
(
Q〈C
(B,Q)〉 (ω2)
))
;
tm (U(ω)) = tm
(
U
(
Q〈C
(B,Q)〉 (ω)
))
.
Отже, умови 1.4), 1.5) означення 13 також виконуються. Твердження
доведено. �
Покладемо:
ÛUK := ((Tm(B),Zk(Q),U,Q,U) |U ∈ U) .
Згiдно з твердженням 7 i означенням 13, ÛUK є унiверсальним кiнема-
тичним мультипроектором для базової кiнематичної множини C(B,Q).
Покладемо:
Ku (U,B,Q) := Ku
[
ÛUK,C
(B,Q)
]
.
Нехай, (H, ‖·‖ , 〈·, ·〉) — гiльбертовий простiр над полем дiйсних чи-
сел i L (H) — простiр лiнiйних (однорiдних) неперервних операто-
рiв над H. Позначимо через L× (H) — простiр всiх лiнiйних непе-
рервних операторiв над H, включаючи неоднорiднi, тобто L× (H) ={
A[a] | A ∈ L (H) , a ∈ H
}
, де A[a]x = Ax+a, x ∈ H. Гiльбертовий про-
стiр H породжує координатний простiр Ĥ = (H, TH,LH, ρH, ‖·‖ , 〈·, ·〉),
де ρH та TH — метрика та топологiя, породженi нормою ‖·‖ на про-
сторi H, а LH — природна лiнiйна структура простору H. Просто-
ром Мiнковського над H називається гiльбертовий простiрM (H) =
R×H = {(t, x) | t ∈ R, x ∈ H}, оснащений скалярним добутком та нор-
мою: 〈w1,w2〉 = 〈w1,w2〉M(H) = t1t2 + 〈x1, x2〉, ‖w1‖ = ‖w1‖M(H) =(
t21 + ‖x1‖
2
)1/2
(wi = (ti, xi) ∈ M (H) , i ∈ {1, 2}) ( [10, 11]). В просторi
M (H) видiлимо такi пiдпростори:
H0 := {(t,0) | t ∈ R} , H1 := {(0, x) |x ∈ H} ,
де 0 — нульовий вектор. Тодi,M (H) = H0 ⊕ H1, де ⊕ означає ортого-
нальну суму пiдпросторiв. Покладемо: e0 := (1,0) ∈ M (H). Введемо
112 Я.I. Грушка
ортопроектори на пiдпростори H1 та H0:
Xw = (0, x) ∈ H1; T̂w = (t,0) = T (w) e0 ∈ H0, (36)
де T (w) = t (w = (t, x) ∈M (H)) .
Довiльний вектор V ∈ H1 породжує наступнi пiдпростори в просто-
рi H1.
H1 [V ] = span {V } ; H1⊥ [V ] = H1 H1 [V ] = {x ∈ H1 | 〈x, V 〉 = 0} ,
де spanM означає лiнiйну оболонку множиниM ⊆M (H). Позначимо
через X1 [V ] та X⊥1 [V ] ортопроектори в M (H) на пiдпростори H1 [V ]
та H1⊥ [V ]:
X1 [V ] w :=
{
〈V,w〉 ‖V ‖−2 V, V 6= 0
0, V = 0
, w ∈M (H) ;
X⊥1 [V ] := X−X1 [V ] .
(37)
Тодi для довiльного V ∈ H1 отримуємо рiвнiсть:
T̂+X = T̂+X1 [V ] +X⊥1 [V ] = IM(H), (38)
де IM(H) — тотожний (одиничний) оператор наM (H).
Позначимо через Pk (H) множину операторiв S ∈ L× (M (H)), що
мають неперервний обернений оператор S−1 ∈ L× (M (H)). Оператори
S ∈ Pk (H) будемо називати операторами перетворення коор-
динат . Нехай, B — базова мiнлива множина така, що Bs(B) ⊆ H =
Zk
(
Ĥ
)
i Tm(B) = (R,≤), де ≤ — стандартний порядок на полi дiйсних
чисел R. Тодi Bs(B) ⊆ R× H =M (H). Довiльна множина S ⊆ Pk (H)
є трансформуючою множиною бiєкцiй вiдносно B на H = Zk
(
Ĥ
)
. По-
кладемо:
Ku (S,B; H) := Ku
(
S,B, Ĥ
)
.
Нагадаємо, що оператор U ∈ L (H) називається унiтарним на
H, якщо iснує неперервний обернений оператор U−1 ∈ L (H) i ∀x ∈
H ‖Ux‖ = ‖x‖. Покладемо:
U (H1) := {U ∈ L (H1) | U − унiтарний на H1} ;
B1 (H1) := {x ∈ H1 | ‖x‖ = 1} .
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 113
Зафiксуємо будь-якi c ∈ (0,∞], λ ∈ [0,∞] \ {c}, s ∈ {−1, 1}, J ∈
U (H1), n ∈ B1 (H1), i a ∈ M (H). Для довiльного вектора w ∈ M (H)
покладемо:
Wλ,c [s,n, J ] w :=
(sT (w)− λ
c2
〈n,w〉)√∣∣∣1−λ2
c2
∣∣∣ e0 + J
λT (w)−s〈n,w〉√∣∣∣1−λ2
c2
∣∣∣ n+X⊥1 [n] w
, λ <∞, c <∞;
− 〈n,w〉c e0 + J
(
cT (w)n+X⊥1 [n] w
)
, λ =∞, c <∞;
sT (w)e0 + J
(
(λT (w)− s 〈n,w〉)n+X⊥1 [n] w
)
, λ <∞, c =∞.
Wλ,c [s,n, J ;a]w := Wλ,c [s,n, J ] (w + a). (39)
У випадку c <∞ оператори виду Wλ,c [s,n, J ] являють собою уза-
гальненi перетворення Лоренца, введенi в [10] (а також в роботах [7–9],
для випадку dim(H) = 3). При накладаннi додаткових умов λ < c <∞,
dim (H) = 3, s = 1 формула (39) еквiвалентна формулi (2.28б) з [25, ст.
37], тобто дає класичнi перетворення Лоренца для iнерцiйних систем
вiдлiку в найбiльш загальнiй формi запису, з довiльною орiєнтацiєю
осей координат. Крiм того, у випадку dim (H) = 3, c < ∞ клас опера-
торiв O+ (H, c) = {Wλ,c [s,n, J ] | s = 1, λ < c} збiгається з повною гру-
пою Лоренца в сенсi [24] (бiльш детально про це див. [15]). Оператори
виду Wλ,∞ [s,n, J ] (λ <∞) являють собою перетворення Галiлея (не-
важко довести, що Wλ,∞ [s,n, J ] = limc→∞Wλ,c [s,n, J ], де границя
iснує у рiвномiрнiй операторнiй топологiї).
Твердження 8. Для довiльних c ∈ (0,∞], λ ∈ [0,∞]\{c}, s ∈ {−1, 1},
J ∈ U (H1), n ∈ B1 (H1), i a ∈M (H) маємо:
Wλ,c [s,n, J ;a] ∈ Pk (H) .
Доведення. Очевидно, що досить довести, що при c ∈ (0,∞], λ ∈
[0,∞]\{c}, s ∈ {−1, 1}, J ∈ U (H1) i n ∈ B1 (H1) оператор Wλ,c [s,n, J ]
має неперервний обернений Wλ,c [s,n, J ]
−1 ∈ L (M (H)). При c <
∞ видiлене твердження було доведено в роботi [10].
Отже залишилось розглянути випадок c =∞. Нехай λ ∈ [0,∞), s ∈
{−1, 1}, J ∈ U (H1) i n ∈ B1 (H1). Легко перевiрити, що Wλ,∞ [s,n, J ] ∈
L (M (H)). Доведемо рiвнiсть:
Wλ,∞ [s,n, J ]Wλ,∞
[
s, Jn, J−1
]
= IM(H). (40)
114 Я.I. Грушка
Нехай w ∈M (H). Тодi, згiдно (39):
Wλ,∞ [s,n, J ]Wλ,∞
[
s, Jn, J−1
]
w = Wλ,∞ [s,n, J ] w̃, де (41)
w̃ = Wλ,∞
[
s, Jn, J−1
]
w = sT (w)e0+
+ J−1
(
(λT (w)− s 〈Jn,w〉) Jn+X⊥1 [Jn] w
)
.
Використовуючи (36) та (37) та враховуючи унiтарнiсть оператора J
на пiдпросторi H1 ⊆M (H), маємо:
T (w̃) = sT (w);
〈n, w̃〉 = (λT (w)− s 〈Jn,w〉) 〈n,n〉+
〈
n, J−1X⊥1 [Jn] w
〉
=
= (λT (w)− s 〈Jn,w〉) +
〈
Jn,X⊥1 [Jn] w
〉
= (λT (w)− s 〈Jn,w〉) ;
X⊥1 [n] w̃ = (X−X1 [n]) w̃ =
= J−1
(
(λT (w)− s 〈Jn,w〉) Jn+X⊥1 [Jn] w
)
− 〈n, w̃〉n =
= J−1
(
〈n, w̃〉 Jn+X⊥1 [Jn] w
)
− 〈n, w̃〉n = J−1X⊥1 [Jn] w.
Звiдси, використовуючи (41), (39) та (38) отримуємо:
Wλ,∞ [s,n, J ]Wλ,∞
[
s, Jn, J−1
]
w =
= sT (w̃)e0 + J
(
(λT (w̃)− s 〈n, w̃〉)n+X⊥1 [n] w̃
)
= s (sT (w)) e0+
+ J
(
(λ (sT (w))− s (λT (w)− s 〈Jn,w〉))n+ J−1X⊥1 [Jn] w
)
=
= T (w)e0 + 〈Jn,w〉 Jn+X⊥1 [Jn] w =
= T̂w+X1 [Jn] w +X⊥1 [Jn] w = w.
Рiвнiсть (40) доведено. Застосовуючи рiвнiсть (40)
до оператора Wλ,∞
[
s, Jn, J−1
]
, отримуємо рiвнiсть
Wλ,∞
[
s, Jn, J−1
]
Wλ,∞ [s,n, J ] = IM(H). Отже, Wλ,∞ [s,n, J ]
−1
=
Wλ,∞
[
s, Jn, J−1
]
∈ L (M (H)). �
Для 0 < c ≤ ∞ введемо наступнi класи лiнiйних (неоднорiдних)
операторiв:
PT (H, c) := {Wλ,c [s,n, J ;a] | s ∈ {−1, 1} , λ ∈ [0,∞] \ {c},
n ∈ B1 (H1) , J ∈ U (H1) , a ∈M (H)} ;
PT+ (H, c) := {Wλ,c [s,n, J ;a] ∈ PT (H, c) | s = 1} ;
P (H, c) := {Wλ,c [s,n, J ;a] ∈ PT (H, c) | λ < c} ;
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 115
P+ (H, c) := {Wλ,c [s,n, J ;a] ∈ P (H, c) | s = 1}
(очевидно, що PT (H,∞) = P (H,∞), PT+ (H,∞) = P+ (H,∞)). Ви-
користовуючи введенi класи операторiв, можна визначити наступнi
унiверсальнi кiнематики:
UPT0 (H,B, c) := Ku (PT (H, c) ,B; H) ;
UPT (H,B, c) := Ku
(
PT+ (H, c) ,B; H
)
;
UP0 (H,B, c) := Ku (P (H, c) ,B; H) ;
UP (H,B, c) := Ku (P+ (H, c) ,B; H) .
У випадку dim(H) = 3, c <∞ унiверсальна кiнематика UP (H,B, c)
являє собою математично строгу модель кiнематики спецiальної тео-
рiї вiдносностi в iнерцiйних системах вiдлiку. Унiверсальна кiнематика
UP0 (H,B, c) побудована на основi загальної групи Лоренца-Пуанкаре,
i мiстить крiм звичайних систем вiдлiку “з додатним напрямком часу”,
якi мають зрозумiлу фiзичну iнтерпретацiю, також системи вiдлiку з
“вiд’ємним напрямком часу”. Унiверсальнi кiнематики UPT (H,B, c) i
UPT0 (H,B, c) мiстять крiм стандартних (“тардiонних”) систем вiдлiку
також i “тахiоннi” системи вiдлiку, якi рухаються вiдносно “тардiон-
них” систем вiдлiку зi швидкiстю бiльшою за швидкiсть свiтла c. У
випадку dim(H) = 3, c = ∞ унiверсальна кiнематика UP (H,B,∞) =
UPT (H,B,∞) являє собою математично строгу модель класичної кi-
нематики Галiлея в iнерцiйних системах вiдлiку.
Зауваження 12. З результатiв робiт [10,15] випливає, що множини опе-
раторiв P (H, c) та P+ (H, c) утворюють групи операторiв над просто-
ромM (H) (зокрема у випадку dim(H) = 3) група операторiв P+ (H, c)
спiвпадає з класичною групою Пуанкаре в чотиривимiрному просторi
Мiнковського. В той же час, в роботi [11] доведено, що при c <∞ кла-
си операторiв PT (H, c) та PT+ (H, c) не утворюють групи операторiв
над M (H). Це означає, що побудованi на основi цих класiв операто-
рiв кiнематики типу UPT0 (H,B, c) та UPT (H,B, c) не задовольняють
умовам принципу вiдносностi, оскiльки, як легко перевiрити, для кi-
нематики F ∈ {UPT0 (H,B, c) , UPT (H,B, c)} множина унiверсальних
перетворень координат:
UP(l) = {[m← l,F ] |m ∈ Lk (F)} ,
що забезпечують перехiд вiд системи вiдлiку l ∈ Lk (F) до всiх iн-
ших систем вiдлiку m ∈ Lk (F) буде рiзною для рiзних систем вiдлi-
116 Я.I. Грушка
ку l. В той же час, принцип вiдносностi в цих кiнематиках порушує-
ться лише на надсвiтловому дiапазонi, оскiльки кiнематичнi множини
UPT0 (H,B, c) та UPT (H,B, c) побудованi шляхом “додавання” нових,
надсвiтлових, систем вiдлiку до кiнематичних множин UP0 (H,B, c) та
UP (H,B, c), якi задовольняють умовам принципу вiдносностi. Слiд за-
значити, що принцип вiдносностi є лише одним iз експериментально
встановлених фактiв. Тому, цiлком можливо, що цей принцип не ви-
конується при виходi за межi свiтлового бар’єру. Фiлософським пiд-
ґрунтям принципу вiдносностi є припущення, що у всьому безмежно-
му Всесвiтi дiють однаковi закони фiзики, яке виглядає недостатньо
обґрунтованим. Якщо вiдмовитись вiд цього припущення, то область
Всесвiту, в якiй з певною, наперед заданою точнiстю дiють такi ж са-
мi закони, як i в околi нашої сонячної системи може служити цiлком
природною основою “абсолютної” системи вiдлiку для “наших” законiв
фiзики. Можливiсть перегляду принципу вiдносностi зараз обговорю-
ється в фiзичнiй лiтературi (див., наприклад, [6, 26–31]).
Лiтература
[1] O.-M. P. Bilaniuk, V. K. Deshpande, E. C. G. Sudarshan. “Meta”
Relativity. // American Journal of Physics. 30 (10), (1962), 718.
[2] O.-M. P. Bilaniuk, E. C. G. Sudarshan. Particles beyond the Light
Barrier. // Physics Today. 22, (5), (1969), 43–51.
[3] T. Adam et al., [OPERA Collaboration].Measurement of the neutrino
velocity with the OPERA detector in the CNGS beam. // Preprint:
arXiv:1109.4897v2 [hep-ex], (Sep 2011).
[4] Грушка Я.I. Критерiй iснування унiверсального перетворення ко-
ординат у кiнематичних мiнливих множинах. // Буковинський
математичний журнал. 2, (2-3), (2014), 59-71.
[5] Грушка Я.I. Перетворення координат у кiнематичних мiнливих
множинах. // Доповiдi НАН України. (03), (2015).
[6] Valentina Baccetti, Kyle Tate, Matt Visser. Inertial frames without
the relativity principle. // Journal of High Energy Physics. 2012, (5),
(2012).
Кiнематичнi множини з унiверсальним перетворенням координат 117
[7] E. Recami. Classical Tachyons and Possible Applications. // Riv.
Nuovo Cim. 9, (s. 3, N 6), (1986), 1-178.
[8] Ricardo S. Vieira. An Introduction to the Theory of Tachyons. //
Preprint: arXiv:1112.4187v2, (2012).
[9] James M. Hill, Barry J. Cox. Einstein’s special relativity beyond the
speed of light. // Proc. of the Royal Society. 468, (2148), (December
2012), 4174-4192.
[10] Grushka Ya.I. Tachyon Generalization for Lorentz Transforms. //
Methods of Functional Analysis and Topology. 20, (2), (2013), P. 127-
145.
[11] Грушка Я.I. Алгебраїчнi властивостi тахiонних перетворень Ло-
ренца // Збiрник праць Iн-ту математики НАНУ. 10 (2), (2013),
138-169.
[12] Грушка Я.I. Мiнливi множини та їх властивостi. // Доповiдi НА-
НУ. (5), (2012), 12-18.
[13] Ya.I. Grushka. Abstract concept of changeable set. // Preprint
arXiv:1207.3751v1, (2012).
[14] Я.I. Грушка. Видимiсть у мiнливих множинах. // Працi Iн-ту
математики НАНУ. – 9, (2), (2012), 122-145.
[15] Я.I. Грушка. Мiнливi множини та їх застосування для побудови
кiнематики тахiонiв. // Працi Iн-ту математики НАНУ. 11, (1),
(2014), 192-227.
[16] S. R. Coleman, S. L. Glashow. Cosmic ray and neutrino tests of speci-
al relativity. // Physics Letters B, 405, (1997), 249-252. (arXiv: hep-
ph/9703240).
[17] S. R. Coleman, S. L. Glashow. High-energy tests of Lorentz
invariance. // Physical Review D. 59, (116008), (1999), 249-252.
(arXiv: hep-ph/9703240).
[18] Alessandro Drago, Isabella Masina, Giuseppe Pagliara, and Raffaele
Tripiccione. The Hypothesis of Superluminal Neutrinos: comparing
OPERA with other Data. // Europhysics Letters. 97, (2), (2012)
(arXiv:1109.5917 [hep-ph]).
118 Я.I. Грушка
[19] Helene Gertov. Lorentz Violations. // Published by University of
Southern Denmark. (August, 2012).
[20] G. Ter-Kazarian. Extended Lorentz code of a superluminal particle.
// Preprint: arXiv:1202.0469 [physics.gen-ph], (2012).
[21] Я. I. Грушка. Базовi мiнливi множини та математичне моделюва-
ння еволюцiї систем. // Укр. мат. журн. 65, (9), (2013), 1190-1210.
[22] Я.I. Грушка. Еволюцiйнi розширення та аналоги операцiї об’єд-
нання для базових мiнливих множин. // Працi Iн-ту математики
НАНУ. 11, (2), (2014).
[23] Г. Биркгоф, Теория Решёток. // Москва, “Наука”, (1984), 567 c.
[24] М.А. Наймарк. Линейные представления группы Лоренца. //
УМН. IX, (Вып. 4 (62)), (1954), 19-93.
[25] К. Мёлер. Теория Относительности. // М.:Атомиздат, (1975), 400
с.
[26] Valentina Baccetti, Kyle Tate, and Matt Visser. Lorentz violating
kinematics: Threshold theorems. // Journal of High Energy Physics.
2012, (3), (March 2012).
[27] Valentina Baccetti, Kyle Tate, and Matt Visser. Inertial frames wi-
thout the relativity principle: breaking Lorentz symmetry. // Prepri-
nt: arXiv:1302.5989, (2013).
[28] Eolo Di Casola. Sieving the Landscape of Gravity Theories. // Thesis
submitted for the degree of Ph.D. SISSA, (2014).
[29] S. Liberati. Tests of Lorentz invariance: a 2013 update. // Class.
Quant. Grav. 30, (13), (2013), 133001 (arXiv: 1304.5795 [gr-qc]).
[30] Gao shan. How to realize quantum superluminal communication. //
Preprint: arXiv:quant-ph/9906116v2, (8 Jul 1999).
[31] A. L. Kholmetskii, Oleg V. Missevitch, Roman Smirnov Rueda, T.
Yarman. The special relativity principle and superluminal velocities.
// Physics essays. 25, (4), (2012), 621-626.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-8 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:21Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b0/a4dea2ef1ae5b735117d119b0304c6b0.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-82018-01-23T09:53:12Z Kinematic changeable sets with given universal coordinate transformation Кiнематичнi мiнливi множини iз заданим унiверсальним перетворенням координат Grushka, Ya. I. Грушка, Я. I. This work is devoted to the investigation of kinematic changeable&nbsp;sets (“abstract kinematics”), that is the mathematical objects, in which changeable sets are equipped by different geometrical or topological&nbsp;structures, namely metric, topological, linear, Banach, Hilbert and other&nbsp;spaces. Such mathematical objects allow to simulate the evolution of physical systems in a framework of different laws of kinematics. Existence of a&nbsp;few different kinematic theories of tachyon motion may serve as a physical motivation for investigations in this direction. In the paper the main&nbsp;properties of kinematic sets with given universal coordinate transform are&nbsp;investigated and examples of their application to mathematically strict&nbsp;foundation of tachyon kinematics are presented. Дана робота присвячена дослiдженню кiнематичних мiнливих множин&nbsp;(“абстрактних кiнематик”), тобто математичних об’єктiв, в яких мiнливi множини оснащенi рiзноманiтними геометричними та топологiчними&nbsp;структурами, а саме, метричними, топологiчними, лiнiйними, банаховими, гiльбертовими та iншими просторами. Такi математичнi об’єкти&nbsp;дозволяють моделювати еволюцiю фiзичних систем в рамках рiзних&nbsp;законiв кiнематики. Фiзичною мотивацiєю для дослiджень в цьому напрямку може служити наявнiсть декiлькох рiзних кiнематичних теорiй&nbsp;тахiонного руху. В роботi дослiдженi основнi властивостi кiнематичних&nbsp;мiнливих множин iз заданим унiверсальним перетворенням координатта наведено приклади їхнього застосування до математично строгого&nbsp;обґрунтування кiнематичних теорiй тахiонного руху. Інститут математики НАН України 2015-05-05 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/8 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 1 (2015): Spectral theory of operators and of collections of operators; 74-118 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 74-118 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 74-118 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/8/8 |
| spellingShingle | Grushka, Ya. I. Грушка, Я. I. Kinematic changeable sets with given universal coordinate transformation |
| title | Kinematic changeable sets with given universal coordinate transformation |
| title_alt | Кiнематичнi мiнливi множини iз заданим унiверсальним перетворенням координат |
| title_full | Kinematic changeable sets with given universal coordinate transformation |
| title_fullStr | Kinematic changeable sets with given universal coordinate transformation |
| title_full_unstemmed | Kinematic changeable sets with given universal coordinate transformation |
| title_short | Kinematic changeable sets with given universal coordinate transformation |
| title_sort | kinematic changeable sets with given universal coordinate transformation |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/8 |
| work_keys_str_mv | AT grushkayai kinematicchangeablesetswithgivenuniversalcoordinatetransformation AT gruškaâi kinematicchangeablesetswithgivenuniversalcoordinatetransformation AT grushkayai kinematičniminlivimnožiniizzadanimuniversalʹnimperetvorennâmkoordinat AT gruškaâi kinematičniminlivimnožiniizzadanimuniversalʹnimperetvorennâmkoordinat |