Estimates for the best approximations and approximation by Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in integral metrics
We obtain in the metric of spaces $L_{s}$, $1< s\leq\infty$, the exact order estimates of the best approximations and approximations by Fourier sums of classes of convolutions periodic functions that belong to unit ball of space $L_{1}$, with generating kernel $\Psi_{\beta}(t)=\sum_{k=1}^...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/80 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552612785553408 |
|---|---|
| author | Stepaniuk, T. A. Степанюк, Т. А. |
| author_facet | Stepaniuk, T. A. Степанюк, Т. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Т. А. Степанюк",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Stepaniuk, T. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We obtain in the metric of spaces $L_{s}$, $1< s\leq\infty$, the exact order estimates of the best approximations and approximations by Fourier sums of classes of convolutions periodic functions that belong to unit ball of space $L_{1}$, with generating kernel $\Psi_{\beta}(t)=\sum_{k=1}^{\infty}\psi(k)\cos\left(kt-\frac{\beta\pi}{2}\right)$, $\beta\in\mathbb{R}$. The kernel's coefficients $\psi(k)$ are such that product $\psi(n)n^{1-\frac{1}{s}}$, $1<s\leq\infty$, tends to zero not faster than an arbitrary power function and if $1<s<\infty$, then $\sum_{k=1}^{\infty}\psi^{s}(k)k^{s-2}<\infty$ and if $s=\infty$, then $\sum_{k=1}^{\infty}\psi(k)<\infty$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 241–269
УДК 517.5
Т. А. Степанюк (Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi
Лесi Українки, Луцьк)
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА
НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є КЛАСIВ ЗГОРТОК
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ НЕВЕЛИКОЇ ГЛАДКОСТI
В IНТЕГРАЛЬНИХ МЕТРИКАХ
We obtain in the metric of spaces Ls, 1 < s ≤ ∞, the exact order estimates
of the best approximations and approximations by Fourier sums of classes
of convolutions periodic functions that belong to unit ball of space L1, with
generating kernel Ψβ(t) =
∑∞
k=1 ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, β ∈ R. The kernel’s
coefficients ψ(k) are such that product ψ(n)n1− 1
s , 1 < s ≤ ∞, tends to
zero not faster than an arbitrary power function and if 1 < s < ∞, then∑∞
k=1 ψ
s(k)ks−2 <∞ and if s =∞, then
∑∞
k=1 ψ(k) <∞.
У метриках просторiв Ls, 1 < s ≤ ∞, одержано точнi за порядком оцiн-
ки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є класiв згорток
перiодичних функцiй, що належать одиничнiй кулi простору L1, з твiр-
ним ядром Ψβ(t) =
∑∞
k=1 ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, β ∈ R. Коефiцiєнти ψ(k) в
ядрi такi, що добуток ψ(n)n1− 1
s , 1 < s ≤ ∞, прямує до нуля не швидше
за будь-яку степеневу функцiю i
∑∞
k=1 ψ
s(k)ks−2 <∞ при 1 < s <∞ та∑∞
k=1 ψ(k) <∞ при s =∞.
Нехай Lp, 1 ≤ p <∞, — простiр 2π-перiодичних сумовних в p-му
степенi на [0, 2π) функцiй f з нормою
‖f‖p :=
2π∫
0
|f(t)|pdt
1
p
.
L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених
функцiй f з нормою
‖f‖∞ := ess sup
t
|f(t)|.
c© Т. А. Степанюк, 2014
242 Т.А. Степанюк
Позначимо через Lψβ,1 — множину функцiй f ∈ L1, якi майже в
кожнiй точцi x ∈ R зображуються за допомогою згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt, ϕ ∈ B0
1 , a0 ∈ R, (1)
де
B0
1 =
{
ϕ : ||ϕ||1 ≤ 1, ϕ ⊥ 1
}
,
з сумовним на [0, 2π) ядром Ψβ вигляду
Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, ψ(k) > 0, β ∈ R.
Якщо f i ϕ пов’язанi рiвнiстю (1), то функцiю ϕ у цiй рiвностi нази-
вають (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають fψβ (див., наприклад,
[1, с. 132]).
Якщо послiдовностi ψ(k) монотонно незростають i виконується
умова
∞∑
k=1
ψs(k)ks−2 <∞, 1 < s <∞,
тодi згiдно з лемою 12.6.6 [2, с. 193] Ψβ ∈ Ls, 1 < s <∞, а отже, на
пiдставi твердження 1.5.5 [3, с. 43] Lψβ,1 ⊂ Ls, 1 < s <∞.
Якщо ж ψ(k) така, що
∞∑
k=1
ψ(k) <∞,
то Ψβ ∈ L∞, i, очевидно, має мiсце вкладення Lψβ,1 ⊂ L∞.
При ψ(k) = k−r, r > 0 класи Lψβ,1 є вiдомими класами Вейля–
Надя W r
β,1, для яких при r > 1− 1
s має мiсце вкладення W r
β,1 ⊂ Ls,
1 < s ≤ ∞, β ∈ R.
Будемо вважати, що послiдовностi ψ(k), k ∈ N, в означеннi класiв
Lψβ,1, є звуженнями на множину натуральних чисел деяких додатних,
неперервних, опуклих донизу функцiй ψ(t), заданих на [1,∞), що
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 243
задовольняють умову lim
t→∞
ψ(t) = 0. Множину всiх таких функцiй
ψ(t) позначатимемо через M.
Для класифiкацiї функцiй ψ iз M за їх швидкiстю спадання до
нуля важливу роль вiдiграє характеристика
α(ψ; t) :=
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t) := ψ′(t+ 0). (2)
З її допомогою з множини M видiляють такi пiдмножини (див., на-
приклад, [1, с. 161]):
M0 :=
{
ψ ∈M : ∃K > 0 ∀t ≥ 1 0 < K ≤ α(ψ; t)
}
,
MC :=
{
ψ ∈M : ∃K1,K2 > 0 ∀t ≥ 1 K1 ≤ α(ψ; t) ≤ K2 <∞
}
,
M+
∞ :=
{
ψ ∈M : α(ψ; t) ↓ 0
}
.
Розглянемо величини вигляду
En(Lψβ,1)s = sup
f∈Lψβ,1
‖f(·)− Sn−1(f ; ·)‖s, 1 ≤ s ≤ ∞,
де Sn−1(f ; ·) — частиннi суми Фур’є порядку n−1, а також найкращi
наближення класiв Lψβ,1 за допомогою тригонометричних полiномiв
заданого порядку, тобто величини вигляду
En(Lψβ,1)s = sup
f∈Lψβ,1
inf
tn−1∈T2n−1
‖f − tn−1‖s, 1 ≤ s ≤ ∞,
де T2n−1 — пiдпростiр усiх тригонометричних полiномiв tn−1 порядку
не вищого за n− 1.
У роботi розв’язується задача про знаходження точних порядко-
вих оцiнок для величин En(Lψβ,1)s i En(Lψβ,1)s, 1 < s ≤ ∞, при певних
обмеженнях на функцiю ψ.
Для класiв Вейля–НадяW r
β,1 порядковi оцiнки величин En(W r
β,1)s
i En(W r
β,1)s при довiльних r > 1
s′ , β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s + 1
s′ = 1, вiдомi
(див., наприклад, [4]) i мають вигляд
En(W r
β,1)s � n−r+
1
s′ , 1 ≤ s ≤ ∞, r >
1
s′
, (3)
244 Т.А. Степанюк
En(W r
β,1)1 � n−r ln(n+ 1), r > 0, n ∈ N,
En(W r
β,1)s � n−r+
1
s′ , 1 < s ≤ ∞, r >
1
s′
. (4)
В [5] у випадку, коли 1
ψ(t) опукла i ψ ∈ B ∩ Θs′ , 1 ≤ s′ < ∞,
де Θs′ — множина незростаючих функцiй ψ(t), для яких iснує
стала α > 1
s′ така, що функцiя tαψ(t) майже спадає (тобто знай-
деться додатна стала K для якої при будь–яких t1 > t2 ≥ 1
tα1ψ(t1) ≤ Ktα2ψ(t2)), а B — множина незростаючих при t ≥ 1 додат-
них функцiй ψ(t), для кожної з яких можна вказати додатну сталу
K таку, що ψ(t)
ψ(2t) ≤ K, t ≥ 1, показано, що iснують додатнi величини
K(1), K(2), залежнi лише вiд ψ i s такi, що для довiльних 1 < s ≤ ∞,
β ∈ R i n ∈ N
K(2)ψ(n)n
1
s′ ≤ En(Lψβ,1)s ≤ En(Lψβ,1)s ≤ K(1)ψ(n)n
1
s′ .
У випадку ψ ∈ M+
∞ порядковi оцiнки величин En(Lψβ,1)s i
En(Lψβ,1)s, 1 ≤ s ≤ ∞, були знайденi у роботах [6 – 7].
У роботi [8] за умови
∞∑
k=1
ψ2(k) <∞ для всiх β ∈ R i n ∈ N знай-
дено точнi значення величин En(Lψβ,1)2, а саме встановлено рiвнiсть
En(Lψβ,1)2 =
1√
π
( ∞∑
k=n
ψ2(k)
) 1
2
.
У випадку ψ ∈MC ∪M+
∞ вiдомi асимптотичнi рiвностi для вели-
чин En(Lψβ,1)1 при n→∞ (див., наприклад, [6, с. 153]).
При ψ ∈ M+
∞ i β ∈ R в [9] встановлено асимптотичнi рiвностi
i для найкращих наближень En(Lψβ,1)1. Крiм того, в [10], [11] отри-
мано точнi значення величин En(Lψβ,1)1, β ∈ R, за деяких умов на
послiдовнiсть ψ(k).
У роботi знайдено точнi за порядком оцiнки величин En(Lψβ,1)s i
En(Lψβ,1)s у випадку, коли
gs′(t) := ψ(t)t
1
s′ ∈M0, 1 < s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1, (5)
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 245
i
∞∑
k=1
ψs(k)ks−2 <∞ при 1 < s <∞ та
∞∑
k=1
ψ(k) <∞ при s =∞. При
цьому константи в отриманих оцiнках виражаються через параметри
задачi в явному виглядi.
Теорема 1. Нехай ψ(t)t
1
s′ ∈M0 i
∞∑
k=1
ψs(k)ks−2 <∞, (6)
1 < s <∞, 1
s + 1
s′ = 1. Тодi для довiльних n ∈ N i β ∈ R мають
мiсце спiввiдношення
K
(1)
ψ,s
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
≤ En(Lψβ,1)s ≤ En(Lψβ,1)s ≤
≤ K(2)
ψ,s
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
, (7)
де K(1)
ψ,s i K(2)
ψ,s — додатнi величини, що залежать лише вiд ψ i s.
Доведення. Згiдно з iнтегральним зображенням (1) для довiль-
ної функцiї f ∈ Lψβ,1, β ∈ R, майже для всiх x ∈ R справедлива
рiвнiсть
f(x)− Sn−1(f ;x) =
1
π
π∫
−π
Ψβ,n(x− t)fψβ (t)dt, fψβ ∈ B
0
1 , (8)
де
Ψβ,n(t) =
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, n ∈ N, β ∈ R.
При цьому, на пiдставi включення gs′ ∈ M0 i умови (6), Ψβ,n ∈ Ls,
1 < s <∞, 1
s + 1
s′ = 1. Скориставшись нерiвнiстю (1.5.28) роботи [3,
с.4̇3], одержимо, що для довiльних 1 < s <∞
En(Lψβ,1)s ≤
1
π
sup
f∈Lψβ,1
‖Ψβ,n‖s‖fψβ ‖1 ≤
1
π
‖Ψβ,n‖s. (9)
246 Т.А. Степанюк
В [12] (див. формули (32) i (35)) при виконаннi умови (6) i умов
gs′ ∈M0, 1 < s <∞, 1
s + 1
s′ = 1, де gs′ означається згiдно з (5), було
доведено нерiвнiсть
1
π
‖Ψβ,n‖s ≤
1
π
ξ(s)
(
1 +
s
αn(gs′)
) 1
s
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
, (10)
в якiй
ξ(s) := max
{
4
(
π
s− 1
) 1
s
, 14(8π)
1
s s
}
, (11)
αn(ψ) := inf
t≥n
α(ψ; t), ψ ∈M, n ∈ N, (12)
а α(ψ; t) означається згiдно з (2).
З нерiвностей (9) i (10) отримуємо оцiнку
En(Lψβ,1)s ≤ En(Lψβ,1)s ≤
≤ 1
π
ξ(s)
(
αn(gs′) + s
αn(gs′)
) 1
s
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
≤
≤ 1
π
ξ(s)
(
α1(gs′) + s
α1(gs′)
) 1
s
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
, 1 < s <∞, 1
s
+
1
s′
= 1.
(13)
Знайдемо оцiнку знизу для En(Lψβ,1)s, 1 < s <∞. З цiєю метою
розглянемо згортку
fm(t) =
1
π
π∫
−π
ϕm(τ)Ψβ(t− τ)dτ, (14)
де
ϕm(t) :=
1
4π
(
Vm(t)− 1
2
)
, (15)
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 247
а Vm(t) — ядра Валле Пуссена вигляду (див. формулу (1.3.15) роботи
[1, с. 31])
Vm(t) =
1
2
+
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
cos kt, m ∈ N. (16)
Покажемо, що ‖ϕm‖1 ≤ 1, m ∈ N. Вiдомо, що
Vm(t) = 2F2m−1(t)− Fm−1(t), (17)
(див., наприклад, [4, с. 28]), де Fk(t) — ядра Фейєра порядку k
Fk(t) =
1
2
+
1
k + 1
k∑
ν=0
ν∑
j=1
cos jt
, k ∈ N.
Оскiльки (див., наприклад, [13, с. 148])
‖Fk‖1 = π, k ∈ N, (18)
то з (17) i (18) отримуємо
‖Vm‖1 ≤ 3π, m ∈ N. (19)
Враховуючи (19), одержуємо
‖ϕm‖1 =
1
4π
∥∥∥Vm(t)− 1
2
∥∥∥
1
≤ 1
4π
(
‖Vm‖1 + π
)
≤ 1.
Оскiльки ‖ϕm‖1 ≤ 1 i ϕ ⊥ 1, то fm ∈ Lψβ,1, m ∈ N. Використовуючи
спiввiдношення (14) – (16), а також твердження (3.7.1) з [1, с. 134],
отримаємо рiвнiсть
fm(t) =
1
4π
(
m∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
+
+2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
))
. (20)
248 Т.А. Степанюк
Покладемо
Φs(x) :=
∞∫
x
ψs(t)ts−2dt, 1 < s <∞,
i
B(n) = B(ψ; s;n) :=
[
Φ−1s
( 1
2n
Φs(n)
)]
+ 1, (21)
де [α] — цiла частина дiйсного числа α, а Φ−1s — функцiя обернена
до Φs.
Розглянемо iнтеграл
I1 =
π∫
−π
(
fB(n)(t)− tn−1(t)
) ∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
dt, (22)
дe tn−1(t) ∈ T2n−1, а функцiя fB(n)(t) означається формулою (20)
при m = B(n).
Використавши нерiвнiсть Гельдера (див., наприклад, [1, с. 137]),
запишемо
I1 ≤ ‖fB(n) − tn−1‖s
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥
s′
. (23)
Для оцiнки другої норми iз спiввiдношення (23) скористаємося
таким твердженням [12].
Лема 1. Нехай 1 < p < ∞ i {ak}∞k=1 — незростаюча послiдов-
нiсть додатних чисел така, що
∞∑
k=1
apkk
p−2 <∞. Тодi для Lp-норми
функцiї
hγ,n(x) =
∞∑
k=n
ak cos(kx+ γ), γ ∈ R, n ∈ N,
має мiсце нерiвнiсть
‖hγ,n‖p ≤ ξ(p)
(
apnn
p−1 +
∞∑
k=n
apkk
p−2
) 1
p
,
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 249
де величина ξ(p) означається формулою (11).
Оскiльки згiдно з умовою теореми gs′ ∈ M0, то функцiя
ψs−1(t)ts−2 = gs−1s′ (t)t−
1
s монотонно спадає до нуля. Тому, поклав-
ши в умовах леми 1 ak = ψs−1(k)ks−2, γ = −βπ2 , p = s′, запишемо∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥
s′
≤
≤ ξ(s′)
( ∞∑
k=n
(
ψs−1(k)ks−2
)s′
ks
′−2 +
(
ψs−1(n)ns−2
)s′
ns
′−1
) 1
s′
=
= ξ(s′)
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2 + ψs(n)ns−1
) 1
s′
. (24)
Далi використаємо наступне твердження [12].
Лема 2. Нехай
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞, 1 < p <∞, 1
p+ 1
p′ = 1, n ∈ N.
Тодi, якщо gp ∈M0, де gp(t) = ψ(t)t
1
p , то виконується нерiвнiсть
ψp
′
(n)np
′−1 ≤ p′
αn(gp)
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2,
де величина αn(gp) означається формулою (12).
Застосувавши лему 2 при p = s′, з (24) отримаємо∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥
s′
≤
≤ ξ(s′)
(
1 +
s
αn(gs′)
) 1
s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s′
. (25)
Зi спiввiдношень (23) i (25) отримуємо оцiнку
‖fB(n) − tn−1‖s ≥
250 Т.А. Степанюк
≥ 1
ξ(s′)
(
αn(gs′)
αn(gs′) + s
) 1
s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)− 1
s′
I1. (26)
Оскiльки для будь-якого tn−1 ∈ T2n−1
π∫
−π
tn−1(t)
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
dt = 0,
то з (22)
I1 =
π∫
−π
fB(n)(t)
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
dt. (27)
Очевидно, що
π∫
−π
cos(kt+θ) cos(mt+θ)dt =
{
0, k 6= m,
π, k = m,
k,m ∈ N, θ ∈ R. (28)
Використовуючи (28) при θ = −βπ2 i (20) при m = B(n), з (27)
одержуємо
I1 =
1
4π
π∫
−π
B(n)∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
+
+2
2B(n)−1∑
k=B(n)+1
(
1− k
2B(n)
)
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)×
×
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
dt =
=
1
4
B(n)∑
k=n
ψs(k)ks−2 + 2
2B(n)−1∑
k=B(n)+1
(
1− k
2B(n)
)
ψs(k)ks−2
>
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 251
>
1
4
B(n)∑
k=n
ψs(k)ks−2 =
1
4
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2 −
∞∑
k=B(n)+1
ψs(k)ks−2
.
(29)
Для оцiнки знизу iнтеграла I1 залишилось оцiнити зверху суму
∞∑
k=B(n)+1
ψs(k)ks−2. З (21) випливає
∞∑
k=B(n)+1
ψs(k)ks−2 ≤
∞∫
B(n)
ψs(t)ts−2dt = Φs(B(n)) <
<
1
2n
Φs(n) ≤ 1
2n
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (30)
З нерiвностей (26), (29) i (30) для довiльного tn−1 ∈ T2n−1 отри-
маємо оцiнку
‖fB(n) − tn−1‖s ≥
≥ 1
ξ(s′)
(
αn(gs′)
αn(gs′)+s
) 1
s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)− 1
s′
1
4
(
1− 1
2n
) ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2≥
≥ 1
8ξ(s′)
(
αn(gs′)
αn(gs′) + s
) 1
s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
≥
≥ 1
8ξ(s′)
(
α1(gs′)
α1(gs′) + s
) 1
s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
. (31)
Об’єднуючи (13) i (31), отримуємо спiввiдношення (7). Теорему 1
доведено.
Прикладами функцiй ψ, якi задовольняють умови теореми 1 є
функцiї:
1) ψ(t) = t−r, r > 1
s′ ;
2) ψ(t) = t−
1
s′ ln−γ(t+K), γ > 1
s ,K > 0;
252 Т.А. Степанюк
3) ψ(t) = t−
1
s′
(
ln(t+K1)
)− 1
s
(
ln ln(t+K2)
)−γ
,
γ >
1
s
,K2 ≥ e− 1,K1 > 0, (32)
та iншi.
Зауваження. У ходi доведення теореми 1 при виконаннi її умов
було показано, що для довiльного n ∈ N виконується бiльш точна,
нiж (7), оцiнка:
1
8ξ(s′)
(
αn(gs′)
αn(gs′) + s
) 1
s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
≤ En(Lψβ,1)s ≤ En(Lψβ,1)s ≤
≤ 1
π
ξ(s)
(
αn(gs′) + s
αn(gs′)
) 1
s
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
, (33)
де 1 < s < ∞, 1
s + 1
s′ = 1, a ξ(s′) i αn(gs′) — додатнi величини, що
означаються за допомогою формул (11) i (12) вiдповiдно.
З нерiвностей (33) випливає наступне твердження.
Наслiдок 1. Нехай r > 1
s′ , 1 < s < ∞, 1
s + 1
s′ = 1. Тодi для
довiльних β ∈ R i n ∈ N виконується оцiнка:
1
8ξ(s′)
(
s′
s′ + s(rs′ − 1)
) 1
s′
( ∞∑
k=n
1
ks(r−1)+2
) 1
s
≤ En(W r
β,1)s ≤
≤ En(W r
β,1)s ≤
1
π
ξ(s)
(
s′ + s(rs′ − 1)
s′
) 1
s
( ∞∑
k=n
1
ks(r−1)+2
) 1
s
, (34)
де ξ(s) — додатна величина, що означається за допомогою формули
(11).
Оскiльки
1
α− 1
n1−α ≤
∞∑
k=n
1
kα
≤
(
1 +
1
α− 1
)
n1−α, α > 1,
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 253
то з (34) одержуємо спiввiдношення
1
8ξ(s′)
(
s′
s′ + s(rs′ − 1)
) 1
s′
(
1
s(r − 1) + 1
) 1
s
n−r+
1
s′ ≤ En(W r
β,1)s ≤
≤ En(W r
β,1)s ≤
1
π
ξ(s)
(
s′ + s(rs′ − 1)
s′
) 1
s
(
s(r − 1) + 2
s(r − 1) + 1
) 1
s
n−r+
1
s′ .
(35)
Нерiвностi (35) уточнюють порядковi оцiнки (3) i (4).
В [12] показано, що при виконаннi умов
∞∑
k=1
ψs(k)ks−2 < ∞,
ψ(t)t
1
s′ ∈MC , 1 < s <∞, 1
s + 1
s′ = 1 має мiсце порядкова оцiнка
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2 � ψs(n)ns−1, (36)
де пiд записом A(n) � B(n) будемо розумiти, що для додатних по-
слiдовностей A(n) i B(n) iснують такi сталi K1 > 0 i K2 > 0, що
K1B(n) ≤ A(n) ≤ K2B(n), n ∈ N.
Отже, з (7) i (36) випливає наступне твердження.
Наслiдок 2. Нехай
∞∑
k=1
ψs(k)ks−2 < ∞, 1 < s <∞, 1
s + 1
s′ = 1,
β ∈ R i n ∈ N. Тодi, якщо функцiя gs′ iз (5) належить до M0, то
En(Lψβ,1)s � En(Lψβ,1)s �
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
,
а якщо ж gs′ ∈MC , то
En(Lψβ,1)s � En(Lψβ,1)s � ψ(n)n
1
s′ . (37)
Порядковi оцiнки (37) встановленi ранiше у роботi [5].
Зауважимо, що у випадку, коли
gs′ ∈M0, lim
t→∞
α(gs′ ; t) =∞, (38)
254 Т.А. Степанюк
виконується оцiнка
ψ(n)n
1
s′ = o
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
, n→∞,
тобто порядковi рiвностi (37) мiсця не мають. Зокрема умова (38) ви-
конується для функцiй ψ вигляду (32). Наведемо наслiдок з теореми
1 для згаданих функцiй ψ.
Наслiдок 3. Нехай ψ(t) = t−
1
s′ ln−
1
s (t + K1)
(
ln ln(t + K2)
)−γ ,
γ > 1
s , K2 ≥ e−1, K1 > 0, 1 < s <∞, 1
s+ 1
s′ = 1, β ∈ R i n ≥ 3, n ∈ N.
Тодi
En(Lψβ,1)s � En(Lψβ,1)s � ψ(n)n
1
s′ (lnn)
1
s (ln lnn)
1
s .
Доведення. Як зазначалося вище, функцiї ψ(t) вигляду (32)
задовольняють умови теореми 1. Тому, враховуючи спiввiдношення
(42) [12], неважко переконатися у справедливостi спiввiдношення
∞∫
n
ψs(t)ts−2dt ≤
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2 ≤ ψs(n)ns−2 +
∞∫
n
ψs(t)ts−2dt ≤
≤
(
s
αn(gs′)
· 1
n
+ 1
) ∞∫
n
ψs(t)ts−2dt. (39)
З (7), (39) i того, що αn(gs′) > K > 0 випливає, що при n ≥ 3
En(Lψβ,1)s � En(Lψβ,1)s �
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
) 1
s
�
�
∞∫
n
ψs(t)ts−2dt
1
s
=
∞∫
n
dt
t ln(t+K1)(ln ln(t+K2))γs
1
s
�
�
∞∫
n
dt
t ln t(ln ln t)γs
1
s
� (ln lnn)
1
s−γ �
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 255
� ψ(n)n
1
s′ (lnn)
1
s (ln lnn)
1
s , n ≥ 3.
Наслiдок 3 доведено.
Теорема 2. Нехай ψ ∈M,
∞∑
k=1
ψ(k) <∞, β ∈ R i cos βπ2 6= 0. Тодi
для довiльних n ∈ N мають мiсце нерiвностi
1
4π
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣ ∞∑
k=n
ψ(k) ≤ En(Lψβ,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k). (40)
Доведення. Встановимо оцiнку зверху величини En(Lψβ,1)∞. З
урахуванням формули (8) i нерiвностi (1.5.28) роботи [3, с. 43]
En(Lψβ,1)∞ ≤
1
π
∥∥Ψβ,n
∥∥
∞. (41)
Оскiльки
‖Ψβ,n‖∞ =
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥
∞
≤
∞∑
k=n
ψ(k),
то з (41) одержуємо
En(Lψβ,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k), β ∈ R, n ∈ N. (42)
Встановимо оцiнку знизу величини En(Lψβ,1)∞. Покладемо
Ψ(x) :=
∞∫
x
ψ(t)dt
i
D(l;n) = D(ψ; l;n) :=
[
Ψ−1
( 1
2l
Ψ(n)
)]
+ 2n, l, n ∈ N. (43)
Розглянемо функцiю fD(l;n)(t), що означається формулою (20)
при m = D(l;n), тобто
fD(l;n)(t) =
1
4π
D(l;n)∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
+
256 Т.А. Степанюк
+2
2D(l;n)−1∑
k=D(l;n)+1
(
1− k
2D(l;n)
)
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
) . (44)
Як було показано при доведеннi теореми 1, fD(l;n) ∈ Lψβ,1. Беручи до
уваги рiвнiсть (44) та враховуючи умови теореми 2, отримуємо, що
при довiльних l ∈ N
En(Lψβ,1)∞ ≥
∣∣fD(l;n)(0)− Sn−1(fD(l;n); 0)
∣∣ =
=
1
4π
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣
D(l;n)∑
k=n
ψ(k) + 2
2D(l;n)−1∑
k=D(l;n)+1
(
1− k
2D(l;n)
)
ψ(k)
>
>
1
4π
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣D(l;n)∑
k=n
ψ(k) =
1
4π
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣
∞∑
k=n
ψ(k)−
∞∑
k=D(l;n)+1
ψ(k)
.
З (43) випливає, що для довiльних l ∈ N
∞∑
k=D(l;n)+1
ψ(k) ≤
∞∫
D(l;n)
ψ(t)dt = Ψ(D(l;n)) <
1
2l
Ψ(n) ≤ 1
2l
∞∑
k=n
ψ(k).
(45)
Тому
En(Lψβ,1)∞ >
1
4π
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣(1− 1
2l
) ∞∑
k=n
ψ(k), l, n ∈ N. (46)
Перейшовши до границi у нерiвностi (46) при l→∞, одержимо
En(Lψβ,1)∞ ≥
1
4π
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣ ∞∑
k=n
ψ(k). (47)
На пiдставi (42) i (47) отримуємо оцiнку (40). Теорему 2 доведено.
Теорема 3. Нехай
∞∑
k=1
ψ(k) <∞, ψ(t) = g(t)t−1, g ∈M0 i
α1(g) = inf
t≥1
α(g; t) > 1.
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 257
Тодi для довiльних β ∈ R, cos βπ2 6= 0 i n ∈ N
1
48π
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣ (1− 1
α1(g)
) ∞∑
k=n
ψ(k) ≤ En(Lψβ,1)∞ ≤
≤ En(Lψβ,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k). (48)
Доведення. Внаслiдок теореми 2, при умовi
∞∑
k=1
ψ(k) <∞ спра-
ведлива оцiнка
En(Lψβ,1)∞ ≤ En(Lψβ,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k), β ∈ R, n ∈ N. (49)
Знайдемо оцiнку знизу величини En(Lψβ,1)∞. Розглянемо iнтеграл
I2 =
π∫
−π
(
fD(l;n)(t)− tn−1(t)
)(
VD(l;n)(t)− Vn−1(t)
)
dt,
де tn−1 ∈ T2n−1, а функцiя fD(l;n)(t) та величина D(l;n) означаються
формулами (44) i (43) вiдповiдно. Оцiнимо знизу |I2|.
Використавши формулу (16), запишемо
VD(l;n)(t)− Vn−1(t) =
=
D(l;n)∑
k=n
cos kt+2
2D(l;n)−1∑
k=D(l;n)+1
(
1− k
2D(l;n)
)
cos kt−2
2n−3∑
k=n
(
1− k
2n− 2
)
cos kt.
(50)
З (50) випливає, що для довiльного tn−1 ∈ T2n−1
π∫
−π
tn−1(t)
(
VD(l;n)(t)− Vn−1(t)
)
dt = 0 ∀n ∈ N. (51)
258 Т.А. Степанюк
Оскiльки
π∫
−π
cos kt cos
(
mt− βπ
2
)
dt =
{
0, k 6= m,
π cos βπ2 , k = m,
k,m ∈ N, β ∈ R,
то беручи до уваги (44), (50) i (51), одержуємо
|I2| =
∣∣∣∣∣
π∫
−π
fD(l;n)(t)
(
VD(l;n)(t)− Vn−1(t)
)
dt
∣∣∣∣∣ =
=
1
4π
∣∣∣∣∣
π∫
−π
D(l;n)∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
+
+ 2
2D(l;n)−1∑
k=D(l;n)+1
(
1− k
2D(l;n)
)
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)×
×
D(l;n)∑
k=n
cos kt+ 2
2D(l;n)−1∑
k=D(l;n)+1
(
1− k
2D(l;n)
)
cos kt−
− 2
2n−3∑
k=n
(
1− k
2n− 2
)
cos kt
)
dt
∣∣∣∣∣ =
=
1
4
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣
D(l;n)∑
k=n
ψ(k)− 2
2n−3∑
k=n
(
1− k
2n− 2
)
ψ(k)+
+ 4
2D(l;n)−1∑
k=D(l;n)+1
(
1− k
2D(l;n)
)2
ψ(k)
>
>
1
4
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣
D(l;n)∑
k=n
ψ(k)− 2
2n−3∑
k=n
(
1− k
2n− 2
)
ψ(k)
=
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 259
=
1
4
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣
∞∑
k=n
ψ(k)−
∞∑
k=D(l;n)+1
ψ(k)− 2
2n−3∑
k=n
(
1− k
2n− 2
)
ψ(k)
.
(52)
Враховуючи монотоннiсть функцiї ψ(t), отримуємо
2
2n−3∑
k=n
(
1− k
2n− 2
)
ψ(k) ≤ ψ(n)
1
n− 1
2n−3∑
k=n
(2n− 2− k) =
=
1
2
ψ(n)(n− 2) <
1
2
ψ(n)n. (53)
Для будь-якої функцiї ψ ∈ M через αn(ψ), n ∈ N, позначимо
величину
αn(ψ) := sup
t≥n
α(ψ; t),
де характеристика α(ψ; t) означається згiдно з (2). У прийнятих по-
значеннях має мiсце наступне твердження.
Лема 3. Нехай ψ(t) = g(t)t−1 i
∞∑
k=1
ψ(k) <∞. Тодi, якщо g ∈M0,
то для довiльних n ∈ N
ψ(n)n ≤ 1
αn(g)
∞∑
k=n
ψ(k). (54)
Якщо ж g ∈MC , то
1
αn(g)
· nαn(g)
1 + nαn(g)
∞∑
k=n
ψ(k) ≤ ψ(n)n ≤ 1
αn(g)
∞∑
k=n
ψ(k). (55)
Доведення леми 3. Нехай g ∈ M0. Покажемо справедливiсть
нерiвностi (54). Очевидно,
∞∑
k=n
ψ(k) ≥
∞∫
n
ψ(t)dt. (56)
260 Т.А. Степанюк
Оскiльки функцiя ψ(t)t монотонно спадає до нуля, то проiнтегру-
вавши частинами iнтеграл
∞∫
n
ψ(t)dt, отримаємо
∞∫
n
ψ(t)dt = −ψ(n)n−
∞∫
n
ψ′(t)tdt = −ψ(n)n+
∞∫
n
ψ(t)
1
α(ψ; t)
dt. (57)
З рiвностi (57) випливає
ψ(n)n =
∞∫
n
ψ(t)
1
α(ψ; t)
dt−
∞∫
n
ψ(t)dt. (58)
Покажемо, що
1
α(ψ; t)
= 1 +
1
α(g; t)
, t ≥ 1. (59)
Дiйсно, оскiльки ψ(t) = g(t)t−1, то
1
α(ψ; t)
=
t|ψ′(t)|
ψ(t)
=
t−1g(t) + |g′(t)|
g(t)t−1
=
= 1 +
t|g′(t)|
g(t)
= 1 +
1
α(g; t)
.
Пiдставивши (59) в (58), отримаємо рiвнiсть
ψ(n)n =
∞∫
n
ψ(t)
(
1 +
1
α(g; t)
)
dt−
∞∫
n
ψ(t)dt =
∞∫
n
ψ(t)
1
α(g; t)
dt. (60)
З (56) i (60) випливає спiввiдношення
ψ(n)n ≤ 1
αn(g)
∞∫
n
ψ(t)dt ≤ 1
αn(g)
∞∑
k=n
ψ(k). (61)
Нерiвнiсть (54) доведено.
Нехай g ∈ MC . Оскiльки MC ⊂ M0, то справедливiсть другої
нерiвностi в (55) випливає з (54).
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 261
Врахувавши (61), маємо
∞∑
k=n
ψ(k) ≤ ψ(n) +
∞∫
n
ψ(t)dt ≤
(
1
αn(g)
· 1
n
+ 1
) ∞∫
n
ψ(t)dt. (62)
Тодi на пiдставi формул (60) – (62) одержуємо
ψ(n)n ≥ 1
αn(g)
∞∫
n
ψ(t)dt ≥ 1
αn(g)
(
1
αn(g)
· 1
n
+ 1
)−1 ∞∑
k=n
ψ(k).
Спiввiдношення (55), а отже, i лему 3 доведено.
З (53) i (54) випливає нерiвнiсть
2
2n−3∑
k=n
ψ(k)
(
1− k
2n− 2
)
<
1
2αn(g)
∞∑
k=n
ψ(k). (63)
Об’єднуючи (45), (52) i (63), отримаємо, що для довiльних l ∈ N
i n ∈ N
|I2| >
1
4
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣ (1− 1
2l
− 1
2αn(g)
) ∞∑
k=n
ψ(k). (64)
З iншого боку, використовуючи твердження Д.1.1 [3, с. 391] та
формулу (19), переконуємося, що для довiльного tn−1 ∈ T2n−1
|I2| ≤ ‖fD(l;n)− tn−1‖∞‖VD(l;n)−Vn−1‖1 ≤ 6π‖fD(l;n)− tn−1‖∞. (65)
З (64), (65) та умови cos βπ2 6= 0 отримаємо
En(fD(l;n))∞ = inf
tn−1∈T2n−1
‖fD(l;n) − tn−1‖∞ ≥
1
6π
|I2| ≥
≥ 1
24π
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣ (1− 1
2n
− 1
2αn(g)
) ∞∑
k=n
ψ(k) ≥
≥ 1
48π
∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣ (1− 1
α1(g)
) ∞∑
k=n
ψ(k). (66)
262 Т.А. Степанюк
Oб’єднуючи (49) i (66), отримуємо (48). Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай β = 2k + 1, k ∈ Z,
∞∑
k=1
ψ(k) < ∞,
ψ(t) = g(t)t−1, g ∈M0, i
α1(g) = inf
t≥1
α(g; t) > 1.
Тодi для довiльних n ∈ N мають мiсце нерiвностi
1
360π
(
1− 1
α1(g)
)
ψ(n)n ≤ En(Lψβ,1)∞ ≤
≤ En(Lψβ,1)∞ ≤
(
1 +
2
π
)
ψ(n)n. (67)
Доведення. Спочатку знайдемо оцiнку зверху величини
En(Lψβ,1)∞. З формули (41) при β = 2k + 1, k ∈ Z, випливає
En(Lψβ,1)∞ ≤
1
π
∥∥Ψβ,n
∥∥
∞ =
1
π
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψ(k) sin kt
∥∥∥∥
∞
. (68)
Вiдомо (див., наприклад, [15, с. 611])∣∣∣∣ k∑
j=1
sin jx
j
∣∣∣∣ ≤ π
2
+ 1, k ∈ N, 0 < x < 2π. (69)
Застосувавши перетворення Абеля до суми
∞∑
k=n
ψ(k) sin kt, та вико-
риставши те, що g(t) = ψ(t)t монотонно спадає, а також (69), отри-
муємо ∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψ(k) sin kt
∥∥∥∥
∞
=
=
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
(
kψ(k)− (k + 1)ψ(k + 1)
) k∑
j=1
sin jt
j
− nψ(n)
n−1∑
j=1
sin jt
j
∥∥∥
∞
≤
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 263
≤
(π
2
+ 1
) ∞∑
k=n
|g(k)− g(k + 1)|+
(π
2
+ 1
)
g(n) =
= (π + 2)g(n) = (π + 2)ψ(n)n. (70)
З (68) i (70) випливає оцiнка зверху для величини En(Lψβ,1)∞ у
випадку, коли cos βπ2 = 0. А саме
En(Lψβ,1)∞ ≤
(
1 +
2
π
)
ψ(n)n. (71)
Знайдемо оцiнку знизу величин En(Lψβ,1)∞. Розглянемо функцiю
f∗n(t) =
1
π
π∫
−π
Ψβ(τ)ϕ∗n(t− τ)dτ, (72)
де
ϕ∗n(t) =
−1
5πn
(
n∑
k=1
k sin kt+
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k) sin kt
)
. (73)
Покажемо, що ‖ϕ∗n‖1 ≤ 1. Очевидно,∣∣∣∣ n∑
k=1
k sin kt+
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k) sin kt
∣∣∣∣ ≤
≤
n∑
k=1
k +
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k) = n(n+ 1), 0 ≤ |t| ≤ π. (74)
Застосовуючи перетворення Абеля до кожної з сум в (73), отримуємо
n∑
k=1
k sin kt+
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k) sin kt =
= −
n−1∑
k=1
k∑
j=1
sin jt+n
n∑
j=1
sin jt+
2n−1∑
k=n+1
k∑
j=1
sin jt+
2n∑
j=1
sin jt−n
n∑
j=1
sin jt =
264 Т.А. Степанюк
= −
n−1∑
k=1
k∑
j=1
sin jt+
2n∑
k=n+1
k∑
j=1
sin jt. (75)
Використавши рiвнiсть
N∑
k=0
cos(kt+γ) = cos
(
N
2
t+ γ
)
sin
(N + 1)t
2
cosec
t
2
, γ ∈ R, 0 < |t| ≤ π,
(див., наприклад, [14, с. 43]), з (75) отримуємо∣∣∣∣ n∑
k=1
k sin kt+
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k) sin kt
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣− n−1∑
k=1
cos t2 − cos
(
k + 1
2
)
t
2 sin t
2
+
2n∑
k=n+1
cos t2 − cos
(
k + 1
2
)
t
2 sin t
2
∣∣∣∣ =
=
1
2
∣∣ sin t
2
∣∣
∣∣∣∣ n−1∑
k=0
cos
(
k +
1
2
)
t−
2n∑
k=n+1
cos
(
k +
1
2
)
t
∣∣∣∣ =
=
1
2
∣∣ sin t
2
∣∣
∣∣∣∣ n−1∑
k=0
cos
(
k +
1
2
)
t−
2n∑
k=0
cos
(
k +
1
2
)
t+
n∑
k=0
cos
(
k +
1
2
)
t
∣∣∣∣ ≤
≤ 3
2
(
sin t
2
)2 , 0 < |t| ≤ π. (76)
Зi спiввiдношення (76) та нерiвностi
sin
t
2
≥ t
π
, 0 ≤ t ≤ π,
маємо∣∣∣∣ n∑
k=1
k sin kt+
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k) sin kt
∣∣∣∣ ≤ 3π2
2t2
, 0 < |t| ≤ π. (77)
З (74) i (77) випливає, що
‖ϕ∗n‖1 ≤
1
5πn
∫
|t|≤πn
n(n+ 1)dt+
3π2
2
∫
π
n≤|t|≤π
dt
t2
=
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 265
=
1
5πn
(
2π(n+ 1) + 3π(n− 1)
)
< 1.
Оскiльки ‖ϕ∗n‖1 ≤ 1 i ϕ∗n ⊥ 1, то f∗n ∈ L
ψ
β,1.
З урахуванням формул (72), (73) та твердження (3.7.1) роботи
[1, с. 134] неважко переконатися, що для функцiї f∗n вигляду (72)
має мiсце рiвнiсть
f∗n(t) =
1
5πn
(
n∑
k=1
kψ(k) cos kt+
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k)ψ(k) cos kt
)
. (78)
Розглянемо iнтеграл
I3 =
π∫
−π
(
f∗n(t)− tn−1(t)
)(
V2n(t)− Vn(t)
)
dt, (79)
де tn−1 ∈ T2n−1, а Vm(t) — суми Валле Пуссена вигляду (16). Вико-
риставши твердження Д.1.1 [3, с. 391] та нерiвнiсть (19), отримаємо
I3 ≤ ‖f∗n − tn−1‖∞‖V2n − Vn‖1 ≤ 6π‖f∗n − tn−1‖∞. (80)
Оскiльки згiдно з (16)
V2n(t)− Vn(t) =
=
2n∑
k=n+1
cos kt+ 2
4n−1∑
k=2n+1
(
1− k
4n
)
cos kt− 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k
2n
)
cos kt,
то, враховуючи (28), (78), (79) та виконуючи елементарнi перетво-
рення, запишемо оцiнку знизу
I3 =
π∫
−π
f∗n(t)
(
V2n(t)− Vn(t)
)
dt =
=
1
5πn
π∫
−π
(
n∑
k=1
kψ(k) cos kt+
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k)ψ(k) cos kt
)
×
×
(
2n∑
k=n+1
cos kt+ 2
4n−1∑
k=2n+1
(
1− k
4n
)
cos kt− 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k
2n
)
cos kt
)
dt=
266 Т.А. Степанюк
=
1
5n
(
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k)ψ(k)− 2
2n−1∑
k=n+1
(2n+ 1− k)ψ(k)
(
1− k
2n
))
=
=
1
5n2
2n∑
k=n+1
ψ(k)(2n+ 1− k)(k − n) ≥
=
ψ(2n)
5n2
(
(2n+ 1)
2n∑
k=n+1
(k − n)−
2n∑
k=n+1
k2 + n
2n∑
k=n+1
k
)
=
=
ψ(2n)
5n2
(
n(n+ 1)(2n+ 1)
2
− 2n(2n+ 1)(4n+ 1)
6
+
+
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
+
n2(3n+ 1)
2
)
=
=
ψ(2n)
10n
(
1
3
n2 + n+
2
3
)
>
1
30
ψ(2n)n =
=
1
30
ψ(n)n
ψ(2n)
ψ(n)
=
1
60
ψ(n)n
g(2n)
g(n)
. (81)
Оскiльки
g(2n)
g(n)
=
g(2n)− g(n)
g(n)
+ 1 >
g′(n)n
g(n)
+ 1 = 1− 1
α(g;n)
≥ 1− 1
α1(g)
,
то використовуючи спiввiдношення (80), (81), отримаємо, що для
довiльного tn−1 ∈ T2n−1 справедлива оцiнка
‖f∗n − tn−1‖∞ ≥
1
6π
I3 ≥
1
6π
1
60
ψ(n)n
g(2n)
g(n)
≥
≥ 1
360π
(
1− 1
α1(g)
)
ψ(n)n.
Тому, внаслiдок довiльностi полiнома tn−1 ∈ T2n−1, одержуємо оцiн-
ку
En(Lψβ,1)∞ ≥ inf
tn−1∈T2n−1
‖f∗n − tn−1‖∞ ≥
1
360π
(
1− 1
α1(g)
)
ψ(n)n.
(82)
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 267
Об’єднуючи (71) i (82), отримуємо (67). Теорему 4 доведено.
Прикладами функцiй ψ, якi задовольняють умови теорем 3 – 4 є
функцiї:
1) ψ(t) = t−r, 1 < r < 2;
2) ψ(t) = t−1 ln−γ(t+K1), K1 ≥ eγ , γ > 1;
3) ψ(t) = t−1 ln−γ(t+K1)(ln ln(t+K2))−δ, γ ≥ 1, δ > 1,
K2 ≥ K1 ≥ eγ+δ,
та iншi.
Iз теорем 3 – 4 безпосередньо випливає твердження.
Наслiдок 4. Нехай
∞∑
k=1
ψ(k) < ∞, ψ(t) = g(t)t−1, g ∈ M0 i
α1(g) > 1. Тодi, якщо β ∈ R такi, що cos βπ2 6= 0, то для довiль-
ного n ∈ N справедливi порядковi оцiнки
En(Lψβ,1)∞ � En(Lψβ,1)∞ �
∞∑
k=n
ψ(k); (83)
а якщо ж cos βπ2 = 0, то
En(Lψβ,1)∞ � En(Lψβ,1)∞ � ψ(n)n. (84)
Якщо в умовах наслiдку 4 g ∈ MC , то згiдно з (55) має мiсце
порядкова рiвнiсть
∞∑
k=n
ψ(k) � ψ(n)n.
Отже, у цьому випадку має мiсце твердження.
Наслiдок 5. Нехай
∞∑
k=1
ψ(k) < ∞, ψ(t) = g(t)t−1, g ∈ MC ,
α1(g) > 1. Тодi для довiльних β ∈ R справедливi порядковi оцiнки
En(Lψβ,1)∞ � En(Lψβ,1)∞ � ψ(n)n. (85)
Справедливiсть порядкових оцiнок (85) встановлено в [5].
268 Т.А. Степанюк
Наведемо наслiдок з теорем 3 – 4 для функцiй
ψ(t) = t−1 ln−γ(t+ eγ), γ > 1.
Наслiдок 6. Нехай ψ(t) = t−1 ln−γ(t + eγ), γ > 1, β ∈ R, i
n ∈ N, n ≥ 2. Тодi
En(Lψβ,1)∞ � En(Lψβ,1)∞ �
{
ψ(n)n lnn, cos βπ2 6= 0,
ψ(n)n, cos βπ2 = 0.
(86)
Доведення. Покажемо, що для функцiй ψ(t) = t−1 ln−γ(t+ eγ),
γ > 1, виконуються умови теорем 3 – 4. Дiйсно, для них
∞∑
k=1
ψ(k) =
∞∑
k=1
1
t lnγ(t+ eγ)
<∞
i
α(g; t) =
ln(t+ eγ)
γ
t+ eγ
t
>
ln(t+ eγ)
γ
> 1.
Якщо cos βπ2 = 0, то порядкова оцiнка (86) безпосередньо випливає
з (84). Покажемо справедливiсть (86) у випадку, коли cos βπ2 6= 0.
Враховуючи нерiвнiсть (62) та монотоннiсть функцiї ψ(t), маємо
∞∫
n
ψ(t)dt ≤
∞∑
k=n
ψ(k) ≤
(
1
αn(g)
· 1
n
+ 1
) ∞∫
n
ψ(t)dt ≤ 2
∞∫
n
ψ(t)dt. (87)
Тодi з (83) i (87) одержуємо
En(Lψβ,1)∞ � En(Lψβ,1)∞ �
∞∑
k=n
ψ(k) �
∞∫
n
ψ(t)dt �
∞∫
n
dt
t lnγ(t+ eγ)
�
� ln1−γ n � ψ(n)n lnn, n ≥ 2.
Наслiдок 6 доведено.
1. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН України. — 2002. — 40. — Ч. I. — 427 с.
2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2 т. — М.: Мир, 1965. — Т. II. —
538 с.
Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є . . . 269
3. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. — М.: Наука,
1987. — 424 с.
4. Temlyakov V.N. Approximation of Periodic Functions. — New York: Nova Sci.
Publ., Inc., 1993. — 419 p.
5. Грабова У. З., Сердюк А.С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наб-
лижень сумами Фур’є класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй // Укр. мат.
журн. — 2013. — 65, № 9. — С. 1186 – 1197.
6. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функ-
ций. — К.: Наук. думка, 1987. — 268 c.
7. Сердюк А.С., Степанюк Т.А. Порядковi оцiнки найкращих наближень i
наближень сумами Фур’є класiв нескiнченно диференцiйовних функцiй //
Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту матема-
тики НАН України. — 2013. — 10, № 1. — С. 255 – 282.
8. Сердюк А.С., Соколенко I. В. Наближення лiнiйними методами класiв
(ψ, β)-диференцiйовних функцiй // Теорiя наближення функцiй та сумiж-
нi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013. — 10, № 1. —
С. 245 – 254.
9. Сердюк А.С. Про один лiнiйний метод наближення перiодичних функ-
цiй // Проблеми теорiї наближеня функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць
Iн-ту матем. НАН України. — 2004. — 1, № 1. — С. 294 – 336.
10. Сердюк А.С. Про найкраще наближення на класах згорток перiодичних
функцiй // Теорiя наближення та її застосування: Пр. Iн-ту математики
НАН України. — 2002. — 41. — С. 168 – 189.
11. Сердюк А.С. Найкращi наближення i поперечники класiв згорток перiо-
дичних функцiй високої гладкостi // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 7. —
С. 946 – 971.
12. Serdyuk A. S., Stepaniuk T.A. Order estimates of the best approximations and
approximations of Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions
of not high smoothness in uniform metric // Arxiv preprint, arXiv:1403.5311,
2014. — 20 p.
13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2 т. — М.: Мир, 1965. — Т.I. —
615 с.
14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
изведений. — М.: Физматиз, 1962. — 1100 с.
15. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисле-
ния. В 3 т. — М.: Наука, 1969. — Т. III. — 656 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-80 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:12Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/36/484387a325bfbb4f1da08d8304344236.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-802018-01-29T14:44:04Z Estimates for the best approximations and approximation by Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in integral metrics Оцінки найкращих наближень та наближень сумами Фур'є класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості в інтегральних метриках Stepaniuk, T. A. Степанюк, Т. А. We obtain in the metric of spaces $L_{s}$, $1&lt; s\leq\infty$, the exact order estimates of the best approximations and approximations by Fourier sums of classes of convolutions periodic functions that belong to unit ball of space $L_{1}$, with generating kernel $\Psi_{\beta}(t)=\sum_{k=1}^{\infty}\psi(k)\cos\left(kt-\frac{\beta\pi}{2}\right)$, $\beta\in\mathbb{R}$. The kernel's coefficients $\psi(k)$ are such that product $\psi(n)n^{1-\frac{1}{s}}$, $1&lt;s\leq\infty$, tends to zero not faster than an arbitrary power function and if $1&lt;s&lt;\infty$, then $\sum_{k=1}^{\infty}\psi^{s}(k)k^{s-2}&lt;\infty$ and if $s=\infty$, then $\sum_{k=1}^{\infty}\psi(k)&lt;\infty$ У метриках просторів $L_{s}$, $1&lt;s\leq\infty$, одержано точні за порядком оцінки найкращих наближень та наближень сумами Фур'є класів згорток періодичних функцій, що належать одиничній кулі простору $L_{1},$ з твірним ядром $\Psi_{\beta}(t)=\sum_{k=1}^{\infty}\psi(k)\cos\left(kt-\frac{\beta\pi}{2}\right)$,&nbsp; $\beta\in \mathbb{R}$. Коефіцієнти $\psi(k)$ в ядрі такі, що добуток $\psi(n)n^{1-\frac{1}{s}}$, $1&lt;s\leq\infty$, прямує до нуля не швидше за будь-яку степеневу функцію і $\sum_{k=1}^{\infty}\psi^{s}(k)k^{s-2}&lt;\infty$ при $1&lt;s&lt;\infty$ та $\sum_{k=1}^{\infty}\psi(k)&lt;\infty$ при $s=\infty$ Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/80 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 241-269 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 241-269 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 241-269 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/80/74 Авторське право (c) 2014 Т. А. Степанюк |
| spellingShingle | Stepaniuk, T. A. Степанюк, Т. А. Estimates for the best approximations and approximation by Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in integral metrics |
| title | Estimates for the best approximations and approximation by Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in integral metrics |
| title_alt | Оцінки найкращих наближень та наближень сумами Фур'є класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості в інтегральних метриках |
| title_full | Estimates for the best approximations and approximation by Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in integral metrics |
| title_fullStr | Estimates for the best approximations and approximation by Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in integral metrics |
| title_full_unstemmed | Estimates for the best approximations and approximation by Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in integral metrics |
| title_short | Estimates for the best approximations and approximation by Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in integral metrics |
| title_sort | estimates for the best approximations and approximation by fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in integral metrics |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/80 |
| work_keys_str_mv | AT stepaniukta estimatesforthebestapproximationsandapproximationbyfouriersumsofclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsofnothighsmoothnessinintegralmetrics AT stepanûkta estimatesforthebestapproximationsandapproximationbyfouriersumsofclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsofnothighsmoothnessinintegralmetrics AT stepaniukta ocínkinajkraŝihnabliženʹtanabliženʹsumamifur039êklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostívíntegralʹnihmetrikah AT stepanûkta ocínkinajkraŝihnabliženʹtanabliženʹsumamifur039êklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostívíntegralʹnihmetrikah |