Imbedding theorems for sets $L^{\psi}L_{M}$ and approximation by Fourier sums
In this paper we study questions of imbedding the sets of $\psi $-integrals of functions in Orlicz spaces $L_{M}, $ and obtain the orders of approximation by Fourier sums of functions from these sets
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/81 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552615145897984 |
|---|---|
| author | Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. |
| author_facet | Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. О. Чайченко",
"institution": "Донбаський державний педагогічний університет"
}
] |
| author_sort | Chaichenko, S. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | In this paper we study questions of imbedding the sets of $\psi $-integrals of functions in Orlicz spaces $L_{M}, $ and obtain the orders of approximation by Fourier sums of functions from these sets |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 270–286
УДК 517.5
С. О. Чайченко (Донбаський державний пед. ун-т, Слов’янськ)
ТЕОРЕМИ ВКЛАДЕННЯ ДЛЯ МНОЖИН LψLM
I НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є
In this paper we study questions of imbedding the sets of ψ-integrals of functions
in Orlicz spaces LM , and obtain the orders of approximation by Fourier sums
of functions from these sets.
У роботi вивчаються питання вкладення множин ψ-iнтегралiв функ-
цiй з просторiв Орлича LM , а також знаходяться порядки наближення
сумами Фур’є функцiй з цих множин.
1. Означення i постановка задач. Наведемо спочатку деякi
вiдомостi з теорiї опуклих функцiй i просторiв Орлича.
Означення 1. Неперервна опукла функцiя M = M(x) нази-
вається функцiєю Юнга (N -функцiєю), якщо M є парною i задо-
вольняє умовам
lim
x→0
M(x)
x
= 0, lim
x→∞
M(x)
x
=∞.
Означення 2. Функцiя M̃ = M̃(y), яка визначається спiввiд-
ношенням
M̃(y) := max
x≥0
{
x|y| −M(x)
}
називається додатковою до функцiї M в сенсi Юнга.
Вiдомо (див., наприклад, [1, c. 22 – 25]), що функцiя M̃, додаткова
до M в сенсi Юнга, також є N -функцiєю i для них справджується
нерiвнiсть
xy ≤M(x) + M̃(y),
яку називають нерiвнiстю Юнга.
Означення 3. Кажуть, що функцiя M задовольняє умову
∆2 (M ∈ ∆2), якщо iснує така стала c > 0, що
M(2x) ≤ c M(x), ∀x ∈ R.
c© С. О. Чайченко, 2014
Теореми вкладення для множин LψLM . . . 271
Нехай функцiя Юнга M ∈ ∆2. Через LM позначають лiнiйний про-
стiр 2π-перiодичних вимiрних функцiй f : [0; 2π] 7→ R, якi задоволь-
няють спiввiдношенню∫ 2π
0
M(λ|f(t)|) dt <∞
при довiльному λ > 0. З нормою
‖f‖M := sup
{∫ 2π
0
|f(t)g(t)| dt :
∫ 2π
0
M̃(|g(t)|) dt ≤ 1
}
,
де M̃ — функцiя, додаткова до M в сенсi Юнга, LM стає банаховим
простором, який називають простором Орлича, породженим функ-
цiєю M.
Для довiльної пари функцiй u ∈ LM i v ∈ LM̃ , де M̃ — функцiя,
додаткова до M в сенсi Юнга, справджується нерiвнiсть [1, c. 91]:∫ 2π
0
|u(x)v(x)| dx ≤ ‖u‖M‖v‖M̃ ,
яку називають нерiвнiстю Гельдера. Неважко бачити, що кожна
функцiя з LM є сумовною (тобто LM ⊂ L, де L — простiр сумов-
них на перiодi функцiй).
Простори Орлича добре вiдомi як узагальнення просторiв Лебега
Lp функцiй, сумовних в степенi p, 1 < p < ∞. В окремому випад-
ку простори Орлича, породженi функцiями вигляду Mp(x) = xp/p,
1 < p <∞, є iзоморфними просторам Лебега Lp. Бiльш повну iнфор-
мацiю стосовно просторiв Орлича можна знайти в роботах [1 – 3].
Далi нам знадобляться визначення ψ-iнтеграла i ψ-похiдної, якi
належать О. I. Степанцю.
Означення 4 [6, c. 149]. Нехай f ∈ L i
S(f ;x) =
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
(ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx) ≡
∞∑
k=0
Ak(f ;x) (1)
— ряд Фур’є функцiї f . Нехай, далi, ψ(k) = (ψ1;ψ2) — пара довiльних
272 С.О. Чайченко
числових послiдовностей ψ1(k) i ψ2(k), k = 1, 2, . . . . Розглянемо ряд
A0 +
∞∑
k=1
(
ψ1(k)Ak(f ;x) + ψ2(k)Ãk(f ;x)
)
, (2)
де A0 — деяке число i
Ãk(f ;x) = ak sin kx− bk cos kx.
Якщо ряд (2) для даної функцiї f i пари ψ є рядом Фур’є деякої
функцiї F ∈ L, то функцiю F називають ψ-iнтегралом функцiї f i
позначають F (·) = J ψ(f ; ·). Множина ψ-iнтегралiв всiх функцiй з
L позначається Lψ.
Означення 5 [6, c. 149 – 150]. Нехай f ∈ L, (1) — її ряд Фур’є i
пара ψ = (ψ1, ψ2) задовольняє умову
ψ(k) = ψ2
1(k) + ψ2
2(k) 6= 0, k ∈ N. (3)
Якщо ряд
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ2(k)
Ak(f ;x)− ψ2(k)
ψ2(k)
Ãk(f ;x)
)
є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L, то ϕ називають ψ-похiдною
функцiї f i пишуть ϕ(·) = Dψ(f ; ·) = fψ(·).
Пiдмножину функцiй f ∈ L, у яких iснують ψ-похiднi, познача-
ють через L̄ψ.
Зв’язок мiж ψ-iнтегралами i ψ-похiдними встановлюється в на-
ступному твердженнi.
Лема А [6, c. 150]. Якщо f ∈ L, ряд (1) — її ряд Фур’є i ви-
конується умова (3), то функцiя J ψ(f ;x) має ψ-похiдну i справд-
жується рiвнiсть
Dψ(J ψ(f ; ·)) = f(·)− a0
2
.
Якщо ж f ∈ L̄ψ i ряд (1) — її ряд Фур’є, то функцiя Dψ(f ; ·) має
ψ-iнтеграл i при цьому
J ψ(Dψ(f ; ·)) = f(·) +A0,
Теореми вкладення для множин LψLM . . . 273
де A0 — деяка стала.
Позначимо через LψLM множини ψ-iнтегралiв функцiй f ∈ LM
i, як звичайно,
Sn(f ;x) =
a0(f)
2
+
n∑
k=1
(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
, n = 0, 1, . . . ,
— частиннi суми порядку n ряду Фур’є функцiї f. У роботi будуть
дослiдженi питання вкладення множин LψLM , а також знайденi по-
рядки наближення сумами Фур’є функцiй з цих множин. Отриманi
твердження поширюють на випадок просторiв Орлича LM вiдповiд-
нi результати О. I. Степанця [7, c. 29 – 46], знайденi ним для просторiв
Лебега Lp.
2. Допомiжнi результати. При доведеннi основних тверджень
роботи будемо використовувати такi вiдомi результати.
Теорема A [4, c. 278]. Якщо M ∈ ∆2 то для довiльної функцiї
f ∈ LM, виконуються нерiвностi∫ 2π
0
M(|Sn(f ; t)|) dt ≤ C
∫ 2π
0
M(|f(t)|) dt
i ∫ 2π
0
M(|f̃(t)|) dt ≤ C
∫ 2π
0
M(|f(t)|) dt, (4)
в яких f̃ — функцiя, тригонометрично спряжена з f i C — деяка
додатна стала, що залежить вiд функцiї M .
З теореми A, зокрема, випливає, що оператор Фур’є i опера-
тор тригонометричного спряження є обмеженими в просторах LM ,
M ∈ ∆2, тобто
‖Sn(f)‖M ≤ C‖f‖M , (5)
‖f̃‖M ≤ C‖f‖M . (6)
Позначимо через
En(ϕ)M := inf
tn−1∈Tn−1
‖ϕ− tn−1‖M , ϕ ∈ LM ,
274 С.О. Чайченко
— найкраще наближення функцiї ϕ за допомогою пiдпростору Tn−1
тригонометричних полiномiв порядку не вище n − 1. З результатiв
роботи [5] (див. лему 3) випливає, що для даної функцiї f ∈ LM
i довiльного ε > 0 завжди знайдеться тригонометричний полiном
T (x), для якого ∫ 2π
0
M(|f(x)− T (x)|) dx < ε,
звiдки випливає, що
‖f − T‖M < ε
i
En(f)M → 0, n→∞. (7)
На пiдставi нерiвностей (5), (6) i (7) робимо висновок, що в умовах
теореми A, виконуються спiввiдношення
‖f − Sn−1(f)‖M → 0, n→∞, (8)
i
‖f − Sn−1(f)‖M = O(1)En(f)M = O(1)En(f̃)M , (9)
де O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi по n.
Через M позначимо множину функцiй Юнга M, якi задоволь-
няють наступним додатковим умовам: iснують два числа p1 i p2
(1 < p1 < p2 < ∞) такi, що для деяких констант ε, δ > 0 вико-
нується нерiвнiсть p1 + ε < p2 − δ i функцiя M(u)u−(p1+ε) не спадає,
а функцiя M(u)u−(p2−δ) не зростає при u→∞.
Лема B [8]. Нехай послiдовнiсть λ(k), k = 0, 1, 2, . . . , задоволь-
няє умовам
ν0 = ν0(λ) = sup
k
|λ(k)| ≤ C,
σ0 = σ0(λ) = sup
m∈N
2m+1∑
k=2m
|λ(k + 1)− λ(k)| ≤ C,
де C — величина, яка не залежить вiд k i m.
Теореми вкладення для множин LψLM . . . 275
Тодi, якщо M ∈ M, то для даної функцiї f ∈ LM iснує така
функцiя F ∈ LM , що ряд
λ(0)a0(f)
2
+
∞∑
k=1
λ(k)
(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
є рядом Фур’є функцiї F i справджується оцiнка∫ 2π
0
M(|F (x)|) dx ≤ KM
∫ 2π
0
M(θ|f(x)|) dx, θ = max{ν0, σ0}, (10)
в якiй величина KM залежить тiльки вiд функцiї M.
У випадку просторiв Lp, 0 < p <∞, це твердження є добре вiдо-
мою теоремою Марцинкевича для мультиплiкаторiв [10].
Будемо також використовувати наступну теорему Гардi–
Лiттлвуда.
Теорема B [9]. Нехай 1 < p < s <∞, p, s = const, α = p−1 − s−1
i
Dα(t) =
∞∑
k=1
k−α cos kt.
Тодi для довiльної функцiї ϕ ∈ Lp згортка
Φα(x) =
1
π
∫ π
−π
ϕ(x+ t)Dα(t) dt
належить до Ls, причому
‖Φα‖s ≤ Cs,p‖ϕ‖p,
де Cs,p — величина, що залежить тiльки вiд s i p.
Слiд вiдзначити, якщо ϕ ∈ Lp i S[ϕ] =
∞∑
k=0
Ak(ϕ;x), то
S[Φα] =
∞∑
k=0
k−αAk(ϕ;x),
276 С.О. Чайченко
тобто Φα = Mα(ϕ), де Mα — оператор-мультиплiкатор, який визна-
чається послiдовнiстю µα(k) = k−α, k = 0, 1, 2, . . . , i дiє з Lp в Ls, де
показники 1 < p < s < ∞, p, s = const, пов’язанi спiввiдношенням
p−1 − s−1 = α.
3. Теореми вкладення для множин LψLM . Будемо казати,
що пара ψ = (ψ1;ψ2) систем чисел ψ1(k) и ψ2(k), k = 0, 1, 2, . . . ,
ψ1(0) = 1, ψ2(0) = 0 належить множинi Υα, α ≥ 0, якщо величини
να(ψi) := sup
k∈N
|ψi(k)|kα, i = 1, 2,
σα(ψi) := sup
m∈N
2m+1∑
2m
∣∣ψi(k + 1)(k + 1)α − ψi(k)kα
∣∣, i = 1, 2,
є скiнченними.
Для формулювання та доведення основних результатiв робо-
ти нам знадобляться додатковi вiдомостi з теорiї просторiв Орли-
ча [1, c. 132].
Функцiї Юнга M(x) i N(x) називаються еквiвалентними
(M(x) ∼ N(x)), якщо iснують такi додатнi сталi k1, k2 i x0, що для
всiх x ≥ x0 одночасно справджуються нерiвностi
N(k1x) ≤M(x) (11)
i
M(x) ≤ N(k2x). (12)
Вiдомо, що необхiдною i достатньою умовою поелементного збiгу
двох просторiв Орлича LM i LN є умова еквiвалентностi функцiй
Юнга, що їх визначають, тобто LM = LN ⇔M(x) ∼ N(x).
У випадку, коли виконана тiльки нерiвнiсть (11), то для вiдповiд-
них класiв Орлича LM i LN має мiсце включення LM ⊂ LN i (див.
[1, c. 132]) iснує така додатна стала K, що
‖u‖N ≤ K‖u‖M , u(x) ∈ LM . (13)
Якщо ж виконана тiльки нерiвнiсть (12), то LN ⊂ LM .
Теореми вкладення для множин LψLM . . . 277
Домовимося, у цьому пунктi i далi через K,KM , CM , ..., позна-
чати додатнi сталi, залежнi вiд зазначених параметрiв, взагалi ка-
жучи рiзнi в рiзних мiсцях тексту i розглянемо спочатку випадок
M(x) ∼ N(x).
Теорема 1. Якщо ψ ∈ Υ0 i M ∼ N ∈M, то LψLM ⊂ LN .
Доведення. Беручи до уваги зв’язок мiж ψ-iнтегралом i ψ-
похiдною (див. лему A), для довiльної функцiї f ∈ LψLM можна
записати рiвнiсть
S[f ] =
∞∑
k=0
Ak(f ;x) =
=
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
ψ1(k)Ak(fψ;x) +
∞∑
k=1
ψ2(k)Ãk(fψ;x) =
=
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
λ(k)Ak(fψ;x) +
∞∑
k=1
λ̃(k)Ãk(fψ;x) =
=
a0(f)
2
+ Λ{fψ(x)}+ Λ̃{f̃ψ(x)}, (14)
де f̃ψ — функцiя, тригонометрично спряжена з fψ, а Λ i Λ̃ —
оператори-мультиплiкатори, заданi формулами
Λ =
{
λ(k) = ψ1(k), k = 1, 2, . . .
}
,
Λ̃ =
{
λ̃(k) = ψ2(k), k = 1, 2, . . .
}
.
Умова ψ ∈ Υ0 разом з лемою B означає, що оператори-
мультиплiкатори Λ i Λ̃ дiють з LM в LM . Умова ж f ∈ LψLM дає
включення fψ ∈ LM . Отже, згiдно з теоремою A (нерiвнiсть (4))
матимемо f̃ψ ∈ LM . Тому на пiдставi спiввiдношення (14) знаходимо∫ 2π
0
M(|f(x)|) dx =
∫ 2π
0
M
(∣∣∣a0(f)
2
+ Λ{fψ(x)}+ Λ̃{f̃ψ(x)}
∣∣∣) dx ≤
≤
∫ 2π
0
M
(∣∣∣a0(f)
2
∣∣∣) dx+
∫ 2π
0
M(|Λ{fψ(x)}|) dx+
278 С.О. Чайченко
+
∫ 2π
0
M(|Λ̃{f̃ψ(x)}|) dx ≤
∫ 2π
0
M(|a0(f)
2
|) dx+
+KM
∫ 2π
0
M(|fψ(x)|) dx+KM
∫ 2π
0
M(|f̃ψ(x)|) dx ≤ KM .
Звiдси випливає, що f ∈ LM i, оскiльки простори LM i LN склада-
ються з одних i тих же функцiй, то f ∈ LN . Теорему доведено.
З теореми 1 отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 1. Якщо ψ ∈ Υ0, M,N ∈M i виконана умова (11), то
LψLM ⊂ LN .
Дiйсно, в ходi доведення теореми 1 було показано, якщо
f ∈ LψLM , то f ∈ LM . Оскiльки при виконаннi умови (11) матиме
мiсце вкладення LM ⊂ LN , то звiдси випливає, що f ∈ LN .
Далi нам знадобляться наступнi вiдомостi з теорiї просторiв Ор-
лича [11 – 13] (див. також [14]). Нехай M−1 : [0,∞) 7→ [0,∞) — функ-
цiя, обернена до M i нехай
h(t) := lim
x→∞
sup
M−1(x)
M−1(tx)
, t > 0.
Числа βM i γM , якi визначаються наступним чином:
βM := lim
t→∞
− lnh(t)
ln t
, γM := lim
t→0+
− lnh(t)
ln t
,
називаються, вiдповiдно, нижнiм i верхнiм iндексами Бойда (lower
and upper Boyd indices) простору Орлича LM .
Вiдомо, якщо M є функцiєю Юнга, то iндекси Бойда завжди iс-
нують i задовольняють нерiвностi
0 ≤ βM ≤ γM ≤ 1,
i, крiм того, для них справджуються рiвностi
βM + γM̃ = 1, βM̃ + γM = 1,
де M i M̃ — додатковi в сенсi Юнга функцiї. Вiдомо також, що про-
стiр Орлича LM є рефлексивним тодi i тiльки тодi, коли 0 < βM ≤
Теореми вкладення для множин LψLM . . . 279
≤ γM < 1 i, якщо
1 ≤ q < 1
γM
≤ 1
βM
< p ≤ ∞,
то має мiсце включення Lp ⊂ LM ⊂ Lq.
Виберемо тепер числа q∗, q
∗ таким чином, щоб iндекси Бойда
функцiй M i N задовольняли нерiвностям
1 < q∗ <
1
γM
≤ 1
βM
<∞, 1 <
1
γN
≤ 1
βN
< q∗ <∞.
Очевидно, що в цьому випадку будуть мати мiсце вкладення
Lq∗ ⊂ LN ⊂ LM ⊂ Lq∗ . (15)
Використовуючи цей факт, отримаємо аналог теореми 1 у випад-
ку, коли функцiї M(x) i N(x) задовольняють умовi (12).
Теорема 2. Нехай M,N ∈ M, виконана умова (12) i ψ ∈ Υα, де
α = 1
q∗
− 1
q∗ . Тодi L
ψLM ⊂ LN .
Доведення. Позначимо через Λα и Λ̃α мультиплiкатори, пород-
женi послiдовностями kαψ1(k) i kαψ2(k), k = 0, 1, 2, . . . , вiдповiдно.
Тодi
∞∑
k=1
ψ1(k)Ak(fψ;x) =
∞∑
k=1
kαψ1(k)
(
k−αAk(fψ;x)
)
=
= Λα
{ ∞∑
k=1
k−αAk(fψ;x)
}
= Λα
{
S
[ 1
π
∫ π
−π
fψ(x+ t)Dα(t) dt
]}
, (16)
де Dα(t) — функцiя, визначена в теоремi B.
Оскiльки f ∈ LψLM , то fψ ∈ LM , i тим бiльше fψ ∈ Lq∗ . На
пiдставi теореми B робимо висновок, що згортка
gα(x) =
1
π
∫ π
−π
fψ(x+ t)Dα(t) dt
знаходиться в Lq∗ , i тим бiльше gα ∈ LN . З умови ψ ∈ Υα на пiдставi
леми B випливає, що оператор-мультиплiкатор Mα дiє з LN в LN
280 С.О. Чайченко
для довiльного N ∈ M. Тому зi спiввiдношення (8), рiвностi (16) i
леми B одержуємо∫ 2π
0
N
(∣∣∣ ∞∑
k=1
ψ1(k)Ak(fψ;x)
∣∣∣) dx =
∫ 2π
0
N
(∣∣∣Λα{S(gα;x)}
∣∣∣) dx ≤
≤ K
∫ 2π
0
N(|gα(x)|) dx ≤ K, (17)
де величина K = KM,N залежить тiльки вiд функцiй M = M(x) i
N = N(x).
Аналогiчно знаходимо
∞∑
k=1
ψ2(k)Ãk(fψ;x) =
∞∑
k=1
kαψ2(k)
(
k−αÃk(fψ;x)
)
=
= Λ̃α
{ ∞∑
k=1
k−αÃk(fψ;x)
}
= Λ̃α{S(g̃α;x)}. (18)
Оскiльки оператор-мультиплiкатор Λ̃α дiє з LN в LN для довiльно-
го N ∈ M, а функцiя g̃α ∈ LN , то на пiдставi спiввiдношення (8),
рiвностi (18) i леми B матимемо∫ 2π
0
N
(∣∣∣∣ ∞∑
k=1
ψ2(k)Ãk(fψ;x)
∣∣∣∣
)
dx =
∫ 2π
0
N
(∣∣∣Λ̃α{S(g̃α;x)}
∣∣∣) dx ≤
≤ K
∫ 2π
0
N(|g̃α(x)|) dx ≤ K. (19)
Зiставляючи тепер спiввiдношення (14), (17) i (19), переконуємося
в справедливостi твердження теореми. Теорему доведено.
4. Наближення сумами Фур’є функцiй з множин LψLM .
У цьому пунктi для функцiй f ∈ LψLM , M ∈ M за умови, що пари
ψ належать до Υα, α = 1
q∗
− 1
q∗ i пiдпорядкованi деяким додатко-
вим умовам, будуть знайденi порядковi оцiнки для величин En(f)M
i ‖ρn(f)‖M , де
ρn(f) = ρn(f ;x) := f(x)− Sn−1(f ;x).
Теореми вкладення для множин LψLM . . . 281
Переконаємося в справедливостi наступного допомiжного твер-
дження.
Лема 1. Нехай функцiї M,N ∈ M, пов’язанi спiввiдношеннями
(11) та/або (12). Нехай, далi, при x ≥ x0
α =
(
1
q∗
− 1
q∗
)
+
:=
0, N(k1x) ≤M(x) ≤ N(k2x),
0, N(k1x) ≤M(x),
1
q∗
− 1
q∗ , M(x) ≤ N(k2x),
де k1, k2 i x0 — додатнi сталi, Λ
(n)
α i Λ̃
(n)
α — оператори-
мультиплiкатори, заданi послiдовностями
λ(n)α = λ(n)α (k) =
{
0, k < n,
kαψ1(k), k ≥ n,
(20)
i
λ̃(n)α = λ̃(n)α (k) =
{
0, k < n,
kαψ2(k), k ≥ n,
(21)
i такi, що при кожному n = 1, 2, . . . , для довiльної функцiї f ∈ LN
справджуються включення
Λ(n)
α
{
S(f ; ·)
}
∈ LN , Λ̃(n)
α
{
S(f)
}
∈ LN .
Тодi, якщо f ∈ LψLM , то для довiльного натурального n має
мiсце спiввiдношення
En(f)N ≤ ‖ρn(f)‖N ≤ K(n)
M,N‖ρn(fψ)‖M ≤ C(n)
M,NEn(fψ)M , (22)
де K(n)
M,N , C
(n)
M,N — додатнi сталi, що залежать вiд n i функцiй
M = M(x), N = N(x).
Доведення. Використовуючи спiввiдношення (14), знаходимо
En(f)N ≤ ‖ρn(f)‖N =
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
Ak(f ; ·)
∥∥∥∥
N
≤
≤
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
λ(k)Ak(fψ; ·)
∥∥∥∥
N
+
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
λ̃(k)Ãk(fψ; ·)
∥∥∥∥
N
, (23)
282 С.О. Чайченко
де λ(k) i λ̃(k) — послiдовностi, визначенi рiвностями
λ(k) = ψ1(k), λ̃(k) = ψ2(k), k ∈ N.
Нехай спочатку функцiї M i N задовольняють нерiвностi (12). У
цьому випадку матимемо (див. (16))
∞∑
k=n
λ(k)Ak(fψ;x) =
∞∑
k=n
ψ1(k)Ak(fψ;x) =
= Λ(n)
α
{
S
[ 1
π
∫ π
−π
ρn(fψ;x+ t)Dα(t) dt
]}
,
де Λ
(n)
α — оператор-мультиплiкатор, заданий послiдовнiстю (20). Ви-
користовуючи лему B, знаходимо∫ π
−π
N
(∣∣∣∣ ∞∑
k=n
λ(k)Ak(fψ;x)
∣∣∣∣
)
dx =
=
∫ π
−π
N
(∣∣∣∣Λ(n)
α
{
S
[ 1
π
∫ π
−π
ρn(fψ;x+ t)Dα(t) dt
]}∣∣∣∣) dx ≤
≤ Kn,N
∫ π
−π
N
(∣∣∣ 1
π
∫ π
−π
ρn(fψ;x+ t)Dα(t) dt
∣∣∣∣) dx.
Звiдси випливає справедливiсть нерiвностi для норм∥∥∥∥ ∞∑
k=n
λ(k)Ak(fψ; ·)
∥∥∥∥
N
≤ Kn,N
∥∥∥∥ 1
π
∫ π
−π
ρn(fψ; ·+ t)Dα(t) dt
∥∥∥∥
N
. (24)
Враховуючи спiввiдношення (13), (15) i застосовуючи теорему B,
на пiдставi оцiнки (24) отримуємо∥∥∥∥ ∞∑
k=n
λ(k)Ak(fψ; ·)
∥∥∥∥
N
≤ Kn,N
∥∥∥∥ 1
π
∫ π
−π
ρn(fψ; ·+ t)Dα(t) dt
∥∥∥∥
q∗
≤
≤ Kn,N‖ρn(fψ)‖q∗ ≤ K
(n)
N,M‖ρn(fψ)‖M . (25)
Теореми вкладення для множин LψLM . . . 283
Проводячи аналогiчнi мiркування, з урахуванням нерiвностi (6)
знаходимо∥∥∥∥ ∞∑
k=n
λ̃(k)Ãk(fψ; ·)
∥∥∥∥
N
=
∥∥∥∥Λ̃(n)
α U
{
S
[ 1
π
∫ π
−π
ρn(fψ; ·+ t)Dα(t) dt
]}∥∥∥∥
N
≤
≤ Kn,N
∥∥∥∥ 1
π
∫ π
−π
ρn(fψ; ·+ t)Dα(t) dt
∥∥∥∥
N
≤ K(n)
N,M‖ρn(fψ; ·)‖M , (26)
де U — оператор тригонометричного спряження.
Об’єднуючи нерiвностi (23) i (25) – (26), отримуємо промiжну
оцiнку в спiввiдношеннi (22) i для завершення доведення леми, в
розглянутому випадку, залишається скористатися нерiвнiстю (9).
Якщо виконана умова (11), то α = 0 i тодi при k ≥ n матимемо
λ
(n)
α (k) = λ
(n)
0 (k) = ψ1(k). Тому∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψ1(k)Ak(fψ; ·)
∥∥∥∥
N
=
∥∥∥Λ
(n)
0 {ρn(fψ)}
∥∥∥
N
≤ Kn,N‖ρn(fψ)‖N . (27)
Аналогiчно, враховуючи спiввiдношення (6), знаходимо∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψ2(k)Ãk(fψ; ·)
∥∥∥∥
N
≤ Kn,N‖ρn(fψ; ·)‖N . (28)
Зiставляючи спiввiдношення (23) i (27) – (28), одержуємо
En(f)N ≤ ‖ρn(f ; ·)‖N ≤ K(n)
N,M‖ρn(fψ; ·)‖N .
Якщо тепер N(x) ∼ M(x), то для отримання (22) досить засто-
сувати оцiнку (9). Якщо ж виконується тiльки умова (11), то попе-
редньо слiд скористатися нерiвнiстю (13). Лему доведено.
При кожному фiксованому α ≥ 0 через Υ∗α позначимо пiдмножи-
ну пар ψ = (ψ1;ψ2) з Υα, для яких числа |ψi(k)|kα, i = 1, 2, k ∈ N,
не зростають i при всiх k ≥ k0 виконується нерiвнiсть |ψi(k)|kα ≤ 1,
i = 1, 2.
284 С.О. Чайченко
Лема 2. Якщо ψ ∈ Υ∗α, то мультиплiкатори Λ
(n)
α i Λ̃
(n)
α , що
породжуються послiдовностями (21) i (22) дiють з LM в LM при
довiльному M ∈M, причому для всiх n ≥ n0
‖Λ(n)
α {f}‖M ≤ Cψ1(n)nα‖f‖M (29)
i
‖Λ̃(n)
α {f}‖M ≤ Cψ2(n)nα‖f‖M , (30)
де C — величина, рiвномiрно обмежена по f.
Доведення леми випливає з леми B. Дiйсно, згiдно зi спiввiд-
ношенням (21) i (22)
ν0(λn,α) = sup
k
|λn,α(k)| = sup
k≥n
|ψ1(k)|kα ≤ ψ1(n)nα;
σ0(λn,α) = sup
m∈N
2m+1−1∑
k=2m
∣∣ψ1,n(k + 1)(k + 1)α − ψ1,n(k)(k)α
∣∣ ≤ ψ1(n)nα.
На пiдставi леми B робимо висновок, що за умови M ∈ M має
мiсце включення Λ
(n)
α {f} ∈ LM , причому в цьому випадку
θ = θ(λn,α) ≤ ψ1(n)nα ≤ 1, ∀n ≥ n0.
Беручи тепер до уваги нерiвнiсть
M(ax) ≤ aM(x), 0 ≤ a ≤ 1,
справедливу для довiльної функцiї Юнга [1, c. 17], з оцiнки (10) отри-
муємо нерiвнiсть (29). Зрозумiло, що такi ж мiркування можуть бу-
ти використанi i для доведення справедливостi спiввiдношення (30).
Лему доведено.
Використовуючи у ходi доведення леми 1 нерiвностi (29), (30) та
враховуючи при цьому спiввiдношення
1
2
(ψ1(n) + ψ2(n)) ≤ ψ(n) ≤ (ψ1(n) + ψ2(n)), ∀n ∈ N,
де ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), отримаємо таке твердження.
Теореми вкладення для множин LψLM . . . 285
Теорема 3. Нехай функцiї M,N ∈ M пов’язанi спiввiдношен-
нями (11) та/або (12). Нехай, далi, α =
(
1
q∗
− 1
q∗
)
+
i ψ ∈ Υ∗α. Тодi,
якщо f ∈ LψLM , то починаючи з деякого натурального n0 вико-
нується нерiнiсть
En(f)N ≤ ‖ρn(f)‖N ≤ Cψ(n)nα‖ρn(fψ)‖M ≤
≤ Cψ(n)nαEn(fψ)M ,
де ψ(n) =
√
ψ2
1(n) + ψ2
2(n), C — величина, рiвномiрно обмежена по
f.
Нехай LψM := LψUM , де UM =
{
f ∈ LM : ‖f‖M ≤ 1
}
. Тодi
En(f)M ≤ ‖fψ − 0‖M ≤ ‖fψ‖M ≤ 1, ∀f ∈ LψM .
Враховуючи цей факт, з теореми 3 отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 2. В умовах теореми 3 справджуються оцiнки
En(LψM )N ≤ En(LψM )N ≤ Cψ(n)nα,
де
En(LψM )N := sup
f∈LψM
inf
Tn∈Tn
‖f − Tn‖N
— найкраще наближення класу LψM за допомогою пiдпростору Tn
тригонометричних полiномiв порядку не вище n;
En(LψM )N = sup
f∈LψM
‖f − Sn(f)‖N
— верхня межа вiдхилення сум Фур’є на класi LψM в метрицi про-
сторiв LN .
1. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и простран-
ства Орлича. — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958. — 271 с.
2. Rao M.M., Ren Z.D. Theory of Orlicz Spaces. — Marcel Dekker Inc., New
York, 1991. — 449 p.
3. Rao M.M., Ren Z.D. Applications of Orlicz Spaces. — Marcel Dekker Inc.,
New York, 2002. — 488 p. p.
286 С.О. Чайченко
4. Genebashvili I., Gogatishvili A., Kokilashvili V.Krbec M. Weight Theory for
Integral Transforms on Spaces of Homogeneous Type. — Longman, Harlow,
UK: vol. 92 of Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied
Mathematics. — 1998. — 410 p.
5. Khabazi M. The mean convergence of trigonometric Fourier series in weighted
Orlicz classes // Proceedings of A. Razmadze Mathematical Institute. —
2002. — 129. — P. 65 – 75.
6. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН України. — 2002. — 40. — Ч. I. — 427 с.
7. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту ма-
тематики НАН України. — 2002. — 40. — Ч. II. — 468 c.
8. Ponomarenko V.G. Approximation of periodic functions in Orlicz spaces //
Translated from Sib. Matem. Zh. — November–December, 1966. — 7, № 6. —
P. 1337 – 1346. Original article submitted June 28, 1965.
9. Hardy G., Littlewood J. Some properties of fractional integrals // IMZ. —
1928. — 27. — P. 565—606.
10. Marcinkievicz J. Sur les multiplicateures des séries de Fourier // Studia
Math. — 1938. — VIII. — P. 78 – 91.
11. Boyd D.W. Spaces between a pair of reflexive Lebesgue spaces // Proc. Amer.
Math. Soc. — 1967. — 18. — P. 215—219.
12. Boyd D.W. Indices of function spaces and their relationship to interpolation //
Canad. J. Math. — 1969. — 21. — P. 1245—1254.
13. Boyd D.W. Indices for the Orlicz spaces // Pacific J. Math. — 1971. — 3. —
P. 315—323.
14. Bennet C., Sharplay R. Interpolation of Operators. — Boston: Academic
Press, 1988. — 469 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-81 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:15Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/1f/99021223cc13c9b332a5eb476d3c441f.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-812018-01-29T14:44:04Z Imbedding theorems for sets $L^{\psi}L_{M}$ and approximation by Fourier sums Теореми вкладення для множин $L^{\psi}L_{M}$ і наближення сумами Фур'є Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. In this paper we study questions of imbedding the sets of $\psi $-integrals of functions in Orlicz spaces $L_{M}, $ and obtain the orders of approximation by Fourier sums of functions from these sets У роботі вивчаються питання вкладення множин $\psi$-інтегралів функцій з просторів Орлича $L_{M},$ а також знаходяться порядки наближення сумами Фур'є функцій з цих множин Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/81 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 270-286 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 270-286 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 270-286 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/81/73 |
| spellingShingle | Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. Imbedding theorems for sets $L^{\psi}L_{M}$ and approximation by Fourier sums |
| title | Imbedding theorems for sets $L^{\psi}L_{M}$ and approximation by Fourier sums |
| title_alt | Теореми вкладення для множин $L^{\psi}L_{M}$ і наближення сумами Фур'є |
| title_full | Imbedding theorems for sets $L^{\psi}L_{M}$ and approximation by Fourier sums |
| title_fullStr | Imbedding theorems for sets $L^{\psi}L_{M}$ and approximation by Fourier sums |
| title_full_unstemmed | Imbedding theorems for sets $L^{\psi}L_{M}$ and approximation by Fourier sums |
| title_short | Imbedding theorems for sets $L^{\psi}L_{M}$ and approximation by Fourier sums |
| title_sort | imbedding theorems for sets $l^{\psi}l_{m}$ and approximation by fourier sums |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/81 |
| work_keys_str_mv | AT chaichenkoso imbeddingtheoremsforsetslpsilmandapproximationbyfouriersums AT čajčenkoso imbeddingtheoremsforsetslpsilmandapproximationbyfouriersums AT chaichenkoso teoremivkladennâdlâmnožinlpsilmínabližennâsumamifur039ê AT čajčenkoso teoremivkladennâdlâmnožinlpsilmínabližennâsumamifur039ê |