Order estimates of functionals in terms of which the best $n$-term approximations of classes ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ are expressed.
We obtain the exact order estimates of the functionals, which are the expressions of best $n$-term approximations of the classes of functions of several variables ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$. The obtained results are applied to finding the approximative characteristics in the spaces $S^p$ and $L_p$
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/82 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552615537016832 |
|---|---|
| author | Shidlich, A. L. Шидліч, А. Л. |
| author_facet | Shidlich, A. L. Шидліч, А. Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Л. Шидліч",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Shidlich, A. L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We obtain the exact order estimates of the functionals, which are the expressions of best $n$-term approximations of the classes of functions of several variables ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$. The obtained results are applied to finding the approximative characteristics in the spaces $S^p$ and $L_p$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т.11, № 3, 287–314
УДК 517.5
А. Л. Шидлiч∗ (Iн–т математики НАН України, Київ)
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ ФУНКЦIОНАЛIВ, У ТЕРМIНАХ
ЯКИХ ВИРАЖАЮТЬСЯ НАЙКРАЩI n-ЧЛЕННI НАБ-
ЛИЖЕННЯ КЛАСIВ Fψq,r
We obtain the exact order estimates of the functionals, which are the
expressions of best n-term approximations of the classes of functions of several
variables Fψ
q,r. The obtained results are applied to finding the approximative
characteristics in the spaces Sp and Lp.
В роботi отримано точнi порядковi оцiнки функцiоналiв, у термiнах
яких виражаються найкращi n-членнi наближення класiв функцiй ба-
гатьох змiнних Fψ
q,r. Отриманi результати застосовано до знаходжен-
ня апроксимативних характеристик просторiв Sp та Lp.
1. Вступ. Нехай Ψ = Ψ(k), k = 1, 2, . . . , — довiльна незростаюча
додатна числова послiдовнiсть, для якої
lim
k→+∞
Ψ(k) = 0. (1.1)
Розглянемо функцiонали Hn(Ψ, s), n = 1, 2, . . ., котрi при s ∈ (0, 1]
задаються рiвнiстю
Hn(Ψ, s) = sup
l>n
(l − n)
(
l∑
k=1
Ψ−s(k)
)− 1
s
, (1.2)
а при s ∈ (1,∞) — рiвнiстю
Hn(Ψ, s) =
(ln − n)s
′
l∑
j=1
Ψ−s(j)
− s
′
s
+
∞∑
j=ln+1
Ψs′(j)
1
s′
, (1.3)
в якiй 1
s + 1
s′ = 1,
∗Робота виконана за часткової пiдтримки програми FP7-People-2011-IRSES но-
мер проекту 295164 (EUMLS: EU–Ukrainian Mathematicians for Life Sciences).
c© А. Л. Шидлiч, 2014
288 А.Л. Шидлiч
∞∑
j=1
Ψs′(j) <∞, (1.4)
а число ln для кожного n ∈ N визначається спiввiдношенням
Ψ−s(ln) ≤ 1
ln − n
ln∑
j=1
Ψ−s(j) < Ψ−s(ln + 1). (1.5)
У термiнах функцiоналiв Hn(Ψ, s) формулюються розв’язки ба-
гатьох екстремальних задач теорiї наближень (див., наприклад, [1],
[2] (гл. XI), [3 – 7]). Зокрема, О. I. Степанець у роботах [1], [2] (гл. XI)
показав, що найкращi n-членнi наближення у просторах Sp класiв
функцiй багатьох змiнних Fψq,r збiгаються за певних умов зi значен-
нями величин Hn(Ψ, s) (бiльш детально цi результати будуть розг-
лянутi у пiдроздiлi 4). Тому природнiм є дослiдження асимптотичної
поведiнки функцiоналiв Hn(Ψ, s) у залежностi вiд вибору послiдов-
ностi Ψ та параметра s, що їх визначають.
Данi дослiдження є продовженням дослiджень робiт [8 – 12]. У ви-
падку, коли послiдовностi Ψ=Ψ(k) є слiдами на множинi натураль-
них чисел деяких опуклих функцiй, порядковi оцiнки для величин
Hn(Ψ, s) було отримано в [8, 9], а для їх iнтегральних аналогiв — у
роботi [7].
У данiй роботi розглядається випадок, коли послiдовностi Ψ є
схiдчастими, а впорядкованi множини їх значень є слiдами на мно-
жинi натуральних чисел деяких додатних функцiй ψ, якi спадають
до нуля швидше довiльної степеневої функцiї, але не швидше за
геометричну прогресiю. Основнi результати роботи сформульованi
у пiдроздiлi 2, їх доведення — у пiдроздiлi 3, а у пiдроздiлах 4 та 5
наведено застосування цих результатiв до оцiнок важливих апрок-
симативних характеристик у просторах Sp та Lp вiдповiдно.
Зауважимо, що величини Hn(Ψ, s) для схiдчастих функцiй Ψ роз-
глядались також у роботах [10, 11] (випадок, коли функцiї ψ спада-
ють до нуля не швидше деякої степеневої функцiї) i [12] (випадок,
коли функцiї ψ спадають до нуля швидше довiльної геометричної
прогресiї).
2. Основний результат. Нехай d ∈ N; M , c1 i c2 — деякi до-
датнi числа; ν = {νi}∞i=0 — довiльна зростаюча послiдовнiсть цiлих
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 289
невiд’ємних чисел таких, що ν0 := 0, а при всiхm, бiльших нiж деяке
число k0, виконується умова
M(m− c1)d < Vm :=
m∑
i=0
νi ≤M(m+ c2)d. (2.1)
Тодi через Sd(ν,M) = Sd(ν,M, c1, c2) позначимо множину всiх додат-
них незростаючих послiдовностей Ψ = Ψ(k), k = 1, 2, . . . , якi задо-
вольняють умову (1.1) i зображуються у виглядi
Ψ(k) = ψ(m), k ∈ (Vm−1, Vm], m = 1, 2, . . . , (2.2)
де ψ — спадна послiдовнiсть значень послiдовностi Ψ.
Будемо вважати послiдовностi ψ слiдом на множинi натуральних
чисел N деяких спадних додатних функцiй ψ(t) вiд неперервного
аргументу t ∈ [1,∞). Крiм цього, позначимо через M′∞ множину
всiх додатних опуклих вниз функцiй ψ(t), t ≥ 1, що задовольняють
умови
lim
t→∞
ψ(t) = 0, (2.3)
α(ψ, t) :=
ψ(t)
t|ψ′(t)|
↓ 0 (2.4)
i ψ(t)/|ψ′(t)| ↑ ∞. Через Mc
∞ позначимо множину всiх додатних
опуклих вниз функцiй ψ(t), t ≥ 1, якi задовольняють умови (2.3),
(2.4) i
K1 ≤ tα(ψ, t) = ψ(t)/|ψ′(t)| ≤ K2, t ≥ 1.1 (2.5)
Зазначимо, що природними представниками множин M ′
∞ та Mc
∞
є, зокрема, функцiї exp(−αts), α > 0, у випадках, коли s ∈ (0, 1) та
s = 1 вiдповiдно.
Теорема 2.1. Нехай s ∈ (0,∞), функцiя Ψ належить множинi
Sd(ν,M), а послiдовнiсть її значень є слiдом на множинi натураль-
1Через K, K1, K2, . . . скрiзь у роботi позначаються деякi додатнi сталi, що не
залежать вiд величин, якi є параметрами (в даному випадку — вiд змiнної t).
290 А.Л. Шидлiч
них чисел деякої функцiї ψ з множини M′∞ або Mc
∞. Тодi
Hn(Ψ; s) � ψ(mn)
(nα(ψ,mn))
1
s−1
, 2 (2.6)
де
mn := (n/M)
1
d . (2.7)
Зазначимо, що у випадку, коли для послiдовностi Ψ ∈ Sd(M) по-
слiдовнiсть її рiзних значень є слiдом на множинi натуральних чисел
деякої функцiї ψ, що задовольняє умову (2.4), ряд в (1.4) збiгаєть-
ся. Дiйсно, у такому випадку внаслiдок теореми 2 роботи [13] для
довiльного β > 0 маємо ψ(t)� t−β i тому
∞∑
j=1
Ψs′(j) =
∞∑
k=1
νkψ
s′(k)�
∞∑
k=1
kd−1ψs
′
(k)�
∞∑
k=1
kd−1k−s
′β <∞.
У випадку, коли послiдовнiсть Ψ належить множинi Sd(ν,M), а
впорядкована множина її значень є слiдом на множинi натураль-
них чисел деякої функцiї ψ, яка спадає до нуля не швидше деякої
степеневої функцiї, аналогiчнi оцiнки величин Hn(Ψ, s) були отри-
манi в роботi [10] (див. також [11]). Якщо ж ψ спадає до нуля швид-
ше довiльної геометричної прогресiї, то аналогiчнi оцiнки величин
Hn(Ψ, s) отримано в роботi [12].
3.1. Деякi допомiжнi твердження. Перед доведенням теоре-
ми 2.1 встановимо декiлька допомiжних тверджень для опуклих вниз
функцiй, якi будуть далi суттєво використовуватися.
Наслiдуючи О. I. Степанця [2] (§3.12) (див. також [14]), для до-
вiльної додатної опуклої вниз функцiї ψ(t), t ≥ 1, яка задовольняє
умову (2.3) (у такому разi пишемо ψ ∈M), розглянемо такi величини
η(ψ, t) та µ(ψ, t), що
ψ(η(ψ, t)) =
1
2
ψ(t), t ≥ 1, (3.1)
2Тут i далi для додатних послiдовностей a(n) та b(n) вираз "a(n) � b(n)"
означає, що iснують такi сталi K3,K4 > 0, що при всiх n ∈ N виконуються нерiв-
ностi a(n) ≤ K4b(n) (в такому випадку пишемо "a(n) � b(n)" ) i a(n) ≥ K3b(n)
(в такому випадку пишемо "a(n)� b(n)" ).
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 291
i
µ(ψ, t) =
t
η(ψ, t)− t
.
Внаслiдок строгої монотонностi функцiї ψ, величина η(ψ, t) з (3.1)
визначається єдиним чином: η(ψ, t) = ψ−1(ψ(t)/2), t ≥ 1, де ψ−1(·) —
функцiя, обернена до ψ.
Далi, розглянемо множини
M+
∞ =
{
ψ ∈M : µ(ψ; t) ↑ ∞
}
i
F =
{
ψ ∈M : η′(ψ, t) ≤ K
}
.
Внаслiдок теорем 12.1 i 13.1 з [2] (§3.12) (див. також теореми 1 та
2 [14]), робимо висновок, що довiльна функцiя з множини M′∞ чи
Mc
∞ належить множинам M+
∞ ⊂ F .
Зауваження 3.1. На пiдставi зауважень 13.1 та 13.2 з [2] (§3.12)
(див. також зауваження 1 та 2 [14]) для довiльної функцiї ψ ∈F (i,
зокрема, для довiльної функцiї ψ ∈M+
∞) виконуються спiввiдношен-
ня:
K5
(
η(ψ, t)− t
)
≤ ψ(t)/|ψ′(t)| ≤ K6
(
η(ψ, t)− t
)
, t ≥ 1,
i
2
(
η(ψ, t)− t
)
≤ η(ψ, η(ψ, t))− η(ψ, t) ≤ K
(
η(ψ, t)− t
)
, t ≥ 1.
Твердження 3.1. Для довiльних фiксованих чисел d ≥ 1 та
c > 0 i для будь-якої функцiї ψ з множин M′∞ чи Mc
∞ iснує така
стала Kc > 0, що при всiх t ≥ 1:
1 ≤ ψ(t1/d)
ψ((t+ c)1/d)
≤ Kc. (3.2)
Доведення. Якщо функцiя ψ належить до множин M′∞ чи Mc
∞,
то при всiх t ≥ 1 виконується нерiвнiсть |ψ′(t)|/ψ(t) ≤ K. Звiдси
292 А.Л. Шидлiч
випливає, що для довiльних d ≥ 1, c > 0 i t ≥ 1,
(t+c)1/d∫
t1/d
|ψ′(τ)|
ψ(τ)
dτ ≤ K
(
(t+ c)1/d − t1/d
)
≤ K c.
З iншого боку маємо
(t+c)1/d∫
t1/d
|ψ′(τ)|
ψ(τ)
dτ = −
(t+c)1/d∫
t1/d
ψ′(τ)
ψ(τ)
dτ = ln
ψ(t1/d)
ψ((t+ c)1/d)
.
Таким чином, iснує така стала Kc > 0, що при всiх t ≥ 1 виконується
спiввiдношення (3.2).
Твердження 3.2. Для довiльних фiксованих чисел d ≥ 1, c > 0 i
для будь-якої функцiї ψ з множин M′∞ чи Mc
∞ iснують такi сталi
Kc,1,Kc,2 > 0, що при всiх t ≥ 1:
Kc,1 ≤
ψ(t1/d)/|ψ′(t1/d)|
ψ((t+ c)1/d)/|ψ′((t+ c)1/d)|
≤ Kc,2. (3.3)
Доведення. Для довiльної функцiї ψ ∈ Mc
∞ справедливiсть
спiввiдношення (3.3) очевидна.
Якщо ж ψ ∈ M′∞, то функцiя ψ(t)/|ψ′(t)| монотонно зростає.
Тому
ψ(t1/d)/|ψ′(t1/d)|
ψ((t+ c)1/d)/|ψ′((t+ c)1/d)|
≤ 1. (3.4)
З iншого боку внаслiдок (2.4) величина α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
монотонно
спадає до нуля. Звiдси
ψ(t1/d)/|ψ′(t1/d)|
ψ((t+ c)1/d)/|ψ′((t+ c)1/d)|
=
t1/d
(t+ c)1/d
· α(ψ; t1/d)
α(ψ; (t+ c)1/d)
≥ K. (3.5)
Об’єднуючи спiввiдношення (3.4) та (3.5), робимо висновок, що i в
цьому випадку iснують такi сталi Kc,1, Kc,2 > 0, що при всiх t ≥ 1
виконується спiввiдношення (3.3).
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 293
Твердження 3.3. Якщо ψ ∈ M+
∞ i для деяких послiдовностей
натуральних чисел an та bn виконується спiввiдношення
ψ(an) � ψ(bn), (3.6)
то
an � bn.
Доведення. Iз спiввiдношення (2.4) випливає, що при всiх t ≥ 1
1
t
≤ K |ψ
′(t)|
ψ(t)
, K = const.
Iнтегруючи лiву i праву частину цiєї нерiвностi в межах вiд a до b
(1 ≤ a < b), отримуємо
ln
b
a
≤ K ln
ψ(a)
ψ(b)
. (3.7)
Поклавши у (3.7) ān = min{an, bn} i b̄n = max{an, bn}, внаслiдок (3.6)
робимо висновок, що iснує така стала K0 > 1, що при всiх n ∈ N має
мiсце спiввiдношення b̄n ≤ K0ān, звiдки
1/K0an ≤ bn ≤ K0an.
3.2. Доведення теореми 2.1. Розглянемо випадок, коли
s∈ (0, 1]. Внаслiдок (2.2) величини Hn(Ψ; s) можна подати у виглядi
Hn(Ψ, s) = sup
l>n
(l − n)
l∑
j=1
1
Ψs(j)
− 1
s
=
= sup
l>n
(l − n)
(
kl−1∑
k=1
νk
ψs(k)
+
l − Vkl−1
ψs(kl)
)− 1
s
=: H̃n(ψ, s), (3.8)
де через kl, l ∈ N, позначається такий номер, що
Vkl−1 < l ≤ Vkl . (3.9)
294 А.Л. Шидлiч
Внаслiдок (2.1) при всiх l > n ≥ k0 маємо
(l/M)
1
d − c2 ≤ kl < (l/M)
1
d + c1 + 1. (3.10)
Iз спiввiдношення (2.1) також випливає, що
νk � kd−1, (3.11)
i тому для довiльного s > 0
l∑
k=1
νk
ψs(k)
�
l∑
k=1
kd−1
ψs(k)
. (3.12)
Оскiльки функцiя
f(t) = f(ψ, t) :=
ψs(t)
td−1
, t ≥ 1, (3.13)
монотонно спадає, то для довiльного l ∈ N,
l∫
1
td−1dt
ψs(t)
≤
l∑
k=1
kd−1
ψs(k)
≤
l+1∫
1
td−1dt
ψs(t)
. (3.14)
Спочатку покажемо, що для довiльної функцiї ψ з множин M′∞
чи Mc
∞ має мiсце спiввiдношення
l∑
k=1
kd−1
ψs(k)
�
l∫
1
td−1dt
ψs(t)
� ldα(ψ, l)
ψs(l)
, (3.15)
де величина α(ψ, l) визначається за спiввiдношенням (2.4).
Для будь-якого t ≥ 1 маємо
f ′(t) =
(
ψs(t)
td−1
)′
= −ψ
s(t)
td−1
(
s
|ψ′(t)|
ψ(t)
+
d− 1
t
)
i
|f ′(t)|
f(t)
= s
|ψ′(t)|
ψ(t)
+
d− 1
t
. (3.16)
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 295
Звiдси випливає, що для довiльної функцiї ψ ∈M′∞ функцiя
f(t)=f(ψ, t) також належить множинi M′∞.
Оскiльки для довiльного l > 1,
l∫
1
td−1dt
ψs(t)
=
l∫
1
dt
f(t)
=
l
f(l)
− 1
f(1)
−
l∫
1
dt
α(f ; t)f(t)
,
то, враховуючи монотонне спадання до нуля величини
α(f ; t)=f(t)/(t|f ′(t)|), отримуємо
l∫
1
dt
f(t)
≥ α(f ; l)
1 + α(f ; l)
(
l
f(l)
− 1
f(1)
)
� lα(f, l)
f(l)
. (3.17)
З iншого боку, оскiльки f ∈M′∞, то функцiя f(t)/|f ′(t)| зростає.
Тому
l∫
1
dt
f(t)
=
l∫
1
(
|f ′(t)|
f2(t)
· f(t)
|f ′(t)|
)
dt ≤
≤ f(l)
|f ′(l)|
l∫
1
|f ′(t)|
f2(t)
dt � 1
|f ′(l)|
=
lα(f, l)
f(l)
. (3.18)
Крiм того, внаслiдок означення множини M′∞ та (3.16),
1
α(f, l)
=
l|f ′(l)|
f(l)
= s
l|ψ′(l)|
ψ(l)
+ d− 1 � l|ψ′(l)|
ψ(l)
� 1
α(ψ, l)
. (3.19)
На пiдставi (3.17) – (3.19) бачимо, що
l∫
1
td−1dt
ψs1(t)
=
l∫
1
dt
f(t)
� lα(f, l)
f(l)
� ldα(ψ, l)
ψs(l)
. (3.20)
Об’єднуючи спiввiдношення (3.20) та (3.14) i враховуючи твер-
дження 3.1 та 3.2, робимо висновок, що у випадку, коли ψ ∈ M′∞
має мiсце спiввiдношення (3.15).
296 А.Л. Шидлiч
Нехай тепер ψ ∈ Mc
∞. Внаслiдок означення множини Mc
∞
для функцiї f(t) = f(ψ, t) вигляду (3.13), величина α(f ; t) =
= f(t)/(t|f ′(t)|) монотонно спадає до нуля при t→∞ i
K7 ≤
|f ′(t)|
f(t)
≤ K8.
Звiдси випливає
l∫
1
td−1dt
ψs(t)
=
l∫
1
dt
f(t)
≤ 1
K7
l∫
1
|f ′(t)|
f2(t)
dt � 1
f(l)
=
ld−1
ψs(l)
. (3.21)
З iншого боку, внаслiдок (3.14) маємо
l+1∫
1
td−1dt
ψs(t)
≥
l∑
k=1
kd−1
ψs(k)
≥ ld−1
ψs(l)
. (3.22)
Об’єднуючи спiввiдношення (3.14), (3.21) та (3.22) i враховуючи
твердження 3.1, отримуємо
l∑
k=1
kd−1
ψs(k)
�
l∫
1
td−1dt
ψs(t)
� ld−1
ψs(l)
. (3.23)
Звiдки внаслiдок (2.5) робимо висновок, що i в цьому випадку має
мiсце спiввiдношення (3.15).
Далi, для довiльного фiксованого c > 0, достатньо великих n ∈ N
i l ≥ n, розглянемо функцiю
Wn(l, c) := (l − n)
( k(l)∫
1
td−1dt
ψs(t)
)− 1
s
,
де
k(l) = k(l, c) := (l/M)
1
d + c. (3.24)
На пiдставi (3.14), (3.8) – (3.12), маємо
sup
l>n, l∈N
Wn(l, c1 + 2)� H̃n(ψ, s)� sup
l≥n
Wn(l,−c2 − 1). (3.25)
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 297
Функцiя Wn(l, c) є неперервно диференцiйовною, Wn(n, c) = 0 i
Wn(l, c) > 0 при l > n. Крiм того, внаслiдок монотонного спадан-
ня до нуля функцiї f(ψ, t) бачимо, що
Wn(l, c) ≤ l
( k(l)∫
k(l)/2
td−1dt
ψs(t)
)− 1
s
≤ l(
k(l)
2
) d
s
ψ
(
k(l)
2
)
−→
l→∞
0.
Тому iснує принаймнi одна точка ln, ln > n, яка є точкою максимуму
функцiї Wn(l, c).
При всiх l > n похiдна функцiї Wn(l, c) iснує i має вигляд
W ′n(l, c)=
( k(l)∫
1
td−1dt
ψs(t)
− kd−1(l)
sψs(k(l))
· l − n
dM
1
d l1−
1
d
)(k(l)∫
1
td−1dt
ψs(t)
)−s−1
s
, (3.26)
де
lim
l→∞
kd−1(l)
l1−
1
d
= lim
l→∞
(
(l/M)
1
d + c
l
1
d
)d−1
= M
1−d
d .
При цьому, оскiльки в точцi максимуму ln W ′n(ln, c) = 0, то iз спiввiд-
ношення (3.26) випливає
(ln − n)
( k(ln)∫
1
td−1dt
ψs(t)
)−1
= dsM
1
d
ψs
(
k(ln)
)
l
1− 1
d
n
kd−1(ln)
� ψs
(
k(ln)
)
. (3.27)
Таким чином, на пiдставi (3.20) та (3.27) отримуємо
sup
l≥n
Wn(l, c) = Wn(ln, c) =
ln − n∫ k(ln)
1
td−1dt
ψs(t)
·
( k(ln)∫
1
td−1dt
ψs(t)
)1− 1
s
�
� ψs(k(ln))
(
kd(ln)α
(
ψ; k(ln)
)
ψs
(
k(ln)
) )1− 1
s
=
ψ
(
k(ln)
)(
kd(ln)α
(
ψ; k(ln)
)) 1
s−1
. (3.28)
298 А.Л. Шидлiч
У цьому спiввiдношеннi внаслiдок того, що ln ≥ n, маємо
ψ
(
k(ln)
)(
kd(ln)α(ψ; k(ln))
) 1
s−1
≤ sup
l≥n
ψ
(
k(l)
)(
kd(l)α(ψ; k(l))
) 1
s−1
. (3.29)
Далi, якщо функцiя ψ належить множинi M′∞, то величина
ψ
(
k(l)
)(
kd(l)α(ψ; k(l))
) 1
s−1
= ψ
(
k(l)
)(
kd−1(l)
ψ
(
k(l)
)
|ψ′
(
k(l)
)
|
)−( 1
s−1)
монотонно спадає до нуля при l→∞. Звiдси, враховуючи тверджен-
ня 4.1 та 4.2 i позначення (3.24) та (2.7), отримуємо
sup
l≥n
ψ
(
k(l)
)(
kd(l)α(ψ; k(l))
) 1
s−1
=
ψ
(
k(n)
)
(
kd−1(n)
ψ
(
k(n)
)
|ψ′(k(n))|
) 1
s−1
�
� ψ(mn)(
nα(ψ;mn)
) 1
s−1
. (3.30)
Якщо ж ψ ∈ Mc
∞, то внаслiдок (2.5) iз врахуванням тверджень
3.1 та 3.2 i позначень (3.24) та (2.7), отримуємо
sup
l≥n
ψ
(
k(l)
)(
kd(l)α(ψ; k(l))
) 1
s−1
� sup
l≥n
ψ
(
k(l)
)(
kd−1(l)
) 1
s−1
=
=
ψ
(
k(n)
)(
kd−1(n)
) 1
s−1
� ψ(mn)
(nα(ψ;mn))
1
s−1
. (3.31)
Таким чином, якщо функцiя ψ належить однiй iз множинM′∞ або
Mc
∞, то внаслiдок (3.28) – (3.31) для довiльного фiксованого c ∈ R
sup
l≥n
Wn(l, c)� ψ(mn)(
nα(ψ;mn)
) 1
s−1
,
i з огляду на (3.25) отримуємо необхiдну оцiнку зверху в спiввiдно-
шеннi (2.6)
Hn(Ψ; r) = H̃n(ψ; r) ≤ sup
l≥n
Wn(l,−c2 − 1)� ψ(mn)
(nα(ψ;mn))
1
s−1
.
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 299
Знайдемо також оцiнку знизу для величин H̃n(ψ, s). Внаслiдок
(3.15) та (3.20) маємо
Wn(l, c)� (l − n)
(
kd(l)α
(
ψ; k(l)
)
ψs
(
k(l)
) )− 1
s
�
ψ
(
k(l)
)
(l − n)
(kd(l)α(ψ; k(l)))
1
s
,
де число k(l) визначається спiввiдношенням (3.24).
З огляду на твердження 3.1 та 3.2 випливає, що для довiльного
c ∈ R,
Wn(l, c)�
ψ
(
(l/M)
1
d
)
(l − n)(
lα
(
ψ; (l/M)
1
d
)) 1
s
=: Rn(l). (3.32)
Внаслiдок (3.25) та (3.32)
H̃n(ψ, s) ≥ sup
l>n, l∈N
Wn(l, c1 + 2)� sup
l∈N, l>n
Rn(l) ≥ Rn(l∗), (3.33)
де l∗ — довiльне натуральне число, l∗ > n.
Розглянемо функцiю
g(t) = g(ψ; t) := ψ
(
(t/M)
1
d
)
, (t/M)
1
d ≥ 1. (3.34)
Легко бачити, що для довiльної функцiї ψ з множини M′∞ або Mc
∞
функцiя g(ψ; t) належить множинi M+
∞. На пiдставi зауваження 3.1
η(g; t)− t � g(t)
|g′(t)|
= dM
1
d
ψ
(
(t/M)
1
d
)∣∣ψ′((t/M)
1
d
)∣∣ · t1− 1
d � tα
(
ψ; (t/M)
1
d
)
.
(3.35)
Покладемо l∗ = ([η(g;n)]+1) ∈ N. Внаслiдок тверджень 3.1 та 3.2
Rn(l∗)�
ψ
(
(η(g;n)/M)
1
d
)(
η(g;n)− n
)(
η(g;n)α(ψ; (η(g;n)/M)
1
d )
) 1
s
.
Враховуючи спiввiдношення (3.34), (3.35), зауваження 3.1 i означен-
ня величин g(ψ; t), η(g; t) та mn, отримуємо
Rn(l∗)�
g(n)
(
η(g;n)− n
)(
η(g; η(g;n))− η(g;n)
) 1
s
�
300 А.Л. Шидлiч
� g(n)(
η(g;n)− n
) 1
s−1
� ψ(mn)(
nα(ψ;mn)
) 1
s−1
. (3.36)
Об’єднуючи спiввiдношення (3.33) та (3.36), отримуємо необхiдну
оцiнку знизу:
Hn(Ψ; s) = H̃n(ψ; s)� ψ(mn)(
nα(ψ;mn)
) 1
s−1
.
Розглянемо тепер випадок, коли s ∈ (1,∞). Покладемо
Qn(Ψ, l) := (l − n)
l∑
j=1
Ψ−s(j)
−1 , l ≥ n, l ∈ N.
Оскiльки для довiльного l > n виконуються спiввiдношення
Qn(Ψ, l+1)−Qn(Ψ, l) =
(
Ψs(l+1)−Qn(Ψ, l)
)
Ψ−s(l+1)
(
l+1∑
i=1
Ψ−s(i)
)−1
i
Ψs(l+1)−Qn(Ψ, l+1)=
(
Ψs(l+1)−Qn(Ψ, l)
) l∑
j=1
Ψ−s(j)
(
l+1∑
i=1
Ψ−s(i)
)−1
,
то, враховуючи монотоннiсть функцiї Ψ та означення числа ln
(спiввiдношення (1.5)), приходимо до висновку, що при всiх l ≥ ln
Qn(Ψ, l) > Qn(Ψ, l + 1) > ψs(l + 1),
а при всiх l ∈ [n, ln)
Qn(Ψ, l) ≤ Qn(Ψ, l + 1) ≤ ψs(l + 1).
Звiдси випливає, що
Qn(Ψ, ln) = sup
l>n
Qn(Ψ, l). (3.37)
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 301
Крiм того, внаслiдок (1.5) маємо Ψ(ln + 1) > Ψ(ln), i тому, якщо
функцiя Ψ(t) задається у виглядi (2.2), то при деякому kln ∈ N справ-
джується рiвнiсть
ln = Vkln =
kln∑
i=0
νi.
У такому випадку величини Hn(Ψ, s), s ∈ (1,∞), можна подати у
виглядi
Hn(Ψ, s) =
(
(ln − n)s
′
( kln∑
k=1
νk
ψs(k)
)− s′s
+
+
∞∑
k=kln+1
νkψ
s′(k)
) 1
s′
:= H̃n(ψ, s),
де число ln визначається спiввiдношенням
ψ−s(kln) ≤ 1
ln − n
kln∑
j=1
νk
ψs(k)
< ψ−s(kln + 1). (3.38)
При цьому функцiя
Q̃n(ψ, l) := (l − n)
(
kl−1∑
k=1
νk
ψs(k)
+
l − Vkl−1
ψs(kl)
)−1
,
де число kl визначається спiввiдношенням (3.9), внаслiдок (3.37) за-
довольняє спiввiдношення
sup
l>n
Q̃n(ψ, l) = Q̃n(ψ, ln) = (ln − n)
kln∑
k=1
νk
ψs(k)
−1 .
Аналогiчно до доведеного вище випадку s ∈ (0, 1] переконуємося,
що для будь-яких функцiй ψ з множин M′∞ або Mc
∞
l∑
k=1
νk
ψs(k)
� ldα(ψ, l)
ψs(l)
, (3.39)
302 А.Л. Шидлiч
Q̃n(ψ, ln) = sup
l>n
Q̃n(ψ, l) � ψs(mn). (3.40)
Звiдси, на пiдставi (3.38) i тверджень 4.1 – 4.3, отримуємо
ψ(kln) � ψ(mn) (3.41)
i
kln � mn. (3.42)
Далi, внаслiдок (3.11) та монотонностi функцiї ψ маємо
∞∑
k=l+1
νkψ
s′(k)�
∞∑
k=l+1
kd−1ψs
′
(k)�
η(ψ,l+1)∑
k=l+1
kd−1ψs
′
(k)�
� (l + 1)d−1ψs
′(
η(ψ, l + 1)
)(
η(ψ, l + 1)− (l + 1)
)
,
звiдки, внаслiдок означення величини η(ψ, t), зауваження 4.1 i твер-
джень 4.1 та 4.2, будемо мати
∞∑
k=l+1
νkψ
s′(k)�
∞∑
k=l+1
kd−1ψs
′
(k)� ldψs
′
(l)α(ψ, l). (3.43)
З iншого боку, похiдна функцiї h(t) := td−1ψs
′
(t) при t > 1 має вигляд
h′(t) = s′ψs
′
(t)td−2
(
d− 1
s′
− t|ψ′(t)|
ψ(t)
)
.
Звiдси, враховуючи (2.4), бачимо, що функцiя h(t) при достатньо
великих t спадає i тому, з огляду на (3.11), отримуємо
∞∑
k=l+1
νkψ
s′(k)�
∞∑
k=l+1
kd−1ψs
′
(k)�
∞∫
l
td−1ψs
′
(t)dt. (3.44)
Крiм цього, як зазначено вище, для довiльного d> 0 величина
kdψs
′
(k)→ 0 при k →∞.
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 303
Далi, використовуючи (2.4) i метод iнтегрування частинами, от-
римаємо
∞∫
l
td−1ψs
′
(t)dt = − l
dψs
′
(l)
d
+
s′
d
∞∫
l
td−1ψs
′
(t)
α(ψ, t)
dt�
� −ldψs
′
(l) +
1
α(ψ, l)
∞∫
l
td−1ψs
′
(t)dt.
Звiдси для достатньо великих l отримуємо оцiнку зверху
∞∫
l
td−1ψs
′
(t)dt� α(ψ, t)
1− α(ψ, t)
ldψs
′
(l)� ldψs
′
(l)α(ψ, l). (3.45)
Iз спiввiдношень (3.43) – (3.45) випливає, що
∞∑
k=l+1
νkψ
s′(k) �
∞∑
k=l+1
kd−1ψs
′
(k) � ldψs
′
(l)α(ψ, l). (3.46)
Об’єднуючи спiввiдношення (3.39) – (3.42), (3.46) iз врахуванням
тверджень 4.1 та 4.2, отримуємо необхiдну оцiнку величиниHn(Ψ, r):
Hn(Ψ, r) = H̃n(ψ, s) �
(
ψs
′s(mn) ·
(
md
nα(ψ,mn)ψs(mn)
)(1− 1
s )s
′
+
+md
nψ
s′(mn)α(ψ,mn)
) 1
s′
� ψ(mn)
(
nα(ψ,mn)
) 1
s′ .
Теорему доведено.
4. Застосування отриманих результатiв до оцiнок апрок-
симативних характеристик просторiв Sp(Td).
4.1. Нехай d — фiксоване натуральне число, Rd та Zd — множини
усiх впорядкованих наборiв k:=(k1, . . . , kd) вiдповiдно iз d дiйсних та
цiлих чисел i Td := [0, 2π]d.
304 А.Л. Шидлiч
Нехай далi Lp(Td), 1 ≤ p <∞, — простiр всiх вимiрних за Лебе-
гом на Rd функцiй 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй зi скiнченною
нормою
‖f‖
Lp(Td)
:=
(
(2π)−d
∫
Td
|f(x)|pdx
) 1
p
.
Покладемо (k,x) := k1x1 + k2x2 + . . .+ kdxd i для довiльної функцiї
f ∈ L1(Td) означимо її коефiцiєнти Фур’є формулою
f̂(k) := (2π)−d
∫
Td
f(x)e−i(k,x)dx, k ∈ Zd.
Через lNp , N = 1, 2, . . ., 0 < p ≤ ∞, позначимо простiр всiх послiдов-
ностей x = {xk}Nk=1 ∈ RN зi звичайною lp-нормою (квазi-нормою)
|x|p := ‖x‖lp =
(∑N
k=1 |xk|p
) 1
p
, 0 < p <∞,
sup1≤i≤N |xi|, p =∞.
Простiр Sp(Td), 0 < p < ∞, (див., наприклад, [2] (гл. XI)) — це
простiр всiх функцiй f ∈ L1(Td), для яких
‖f‖
Sp(Td)
:= ‖{f̂(k)}k∈Zd‖lp(Zd) =
∑
k∈Zd
|f̂(k)|p
1
p
<∞. (4.1)
Функцiї f ∈ L1(Td) та g ∈ L1(Td) є еквiвалентними в просторi Sp(Td),
якщо ‖f − g‖
Sp(Td)
= 0.
Нехай ψ = ψ(t), t ≥ 1, — довiльна додатна спадна функцiя,
ψ(0) := ψ(1) i 0 < q, r ≤ ∞. У даному пiдроздiлi наведено засто-
сування отриманих вище результатiв до знаходження точних поряд-
кових оцiнок деяких важливих апроксимативних характеристик у
просторах Sp(Td) класiв
Fψq,r :=
{
f ∈ L1(Td) : ‖{f̂(k)/ψ(|k|r)}k∈Zd‖lp(Zd) ≤ 1
}
.
Зазначимо, що коли ψ(t) = t−s, s ∈ N, i q = 1, класи Fψq,∞ =: Fsq,∞
є множинами функцiй, у яких частиннi похiднi порядку s мають аб-
солютно збiжнi ряди Фур’є. Якщо ж q = 2, то класи Fs2,∞ еквiвалент-
нi одиничним кулям вiдомих класiв Соболєва W s
2 . Апроксимативнi
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 305
характеристики класiв Fψq,r для рiзних r ∈ (0,∞] i рiзних функцiй ψ
дослiджувались, зокрема, у роботах [10 – 12, 15 – 18].
4.2. Нехай f — довiльна функцiя з простору L1(Td). Позначимо
через {k(l)}∞k=1 = {k(l, f)}∞k=1 перестановку чисел k ∈ Zd таку, що
|f̂(k(1))| ≥ |f̂(k(2))| ≥ . . . . (4.2)
Якщо така перестановка не єдина, то через {k(l)}∞k=1 позначимо
будь-яку з перестановок, яка задовольняє умову (4.2).
Основними апроксимативними величинами для функцiй f ∈ Fψq,r,
якi розглядаються в данiй роботi, є наступнi величини:
‖f −Gn(f)‖
X
:=
∥∥∥∥f(·)−
n∑
l=1
f̂(k(l))ei(k(l),·)
∥∥∥∥
X
, (4.3)
e⊥n (f)
X
:= inf
γn
∥∥∥∥f(·)−
∑
k∈γn
f̂(k)ei(k,·)
∥∥∥∥
X
(4.4)
та
en(f)
X
:= inf
γn,ck
∥∥∥∥f(·)−
∑
k∈γn
cke
i(k,·)
∥∥∥∥
X
, (4.5)
де X — один iз просторiв Lp(Td) або Sp(Td), γn — довiльний набiр iз
n рiзних векторiв з множини Zd, ck — довiльнi комплекснi числа; за
умови, що Fψq,r ⊂ X.
Величини (4.5) та (4.4) називають вiдповiдно найкращим n-
членним тригонометричним та найкращим n-членним ортогональ-
ним тригонометричним наближенням функцiї f у просторi X, а ве-
личину (4.3) — наближенням у просторi X функцiї f за допомогою
"greedy" апроксимант.
Вивчення величин вигляду (4.3) – (4.5) бере свiй початок вiд ро-
боти С.Б. Стєчкiна [19]. Порядковi оцiнки при n→∞ таких величин
на рiзних класах функцiй однiєї та багатьох змiнних встановлюва-
лись багатьма авторами. З бiблiографiєю робiт, в яких отримуються
подiбнi результати, можна ознайомитись, зокрема, в [20] та [21].
Якщо N — деяка пiдмножина з простору X, то покладають
e⊥n (N)
X
:= sup
f∈N
e⊥n (f)
X
та en(N)
X
:= sup
f∈N
en(f)
X
.
306 А.Л. Шидлiч
Слiд також зазначити, що для довiльної функцiї f ∈ Lp(Td) має
мiсце спiввiдношення
en(f)
Lp(Td)
≤ e⊥n (f)
Lp(Td)
≤ ‖f −Gn(f)‖
Lp(Td)
, (4.6)
а для довiльної функцiї f ∈ Sp(Td), 0 < p < ∞, внаслiдок (4.1) —
спiввiдношення
en(f)
Sp(Td)
= e⊥n (f)
Sp(Td)
= ‖f −Gn(f)‖
Sp(Td)
. (4.7)
Поряд з величинами (4.3) – (4.5) для функцiй f ∈ Fψq,r природно
також розглянути величини
Eγn(f)
X
:=
∥∥∥∥f(·)−
∑
k∈γn
f̂(k)ei(k,·)
∥∥∥∥
X
,
де, як i ранiше, X — один iз просторiв Sp(Td) або Lp(Td), γn — до-
вiльний набiр iз n рiзних векторiв з множини Zd, а також величини
D⊥n (Fψq,r)X := inf
γn
Eγn(Fψq,r)X = inf
γn
sup
f∈Fψq,r
Eγn(f)
X
,
за умови, що Fψq,r ⊂ X. Величини Eγn(f)
X
та Eγn(Fψq,r)X називають
наближенням у просторi X вiдповiдно функцiї f та класу Fψq,r сума-
ми Фур’є порядку n, гармонiки яких взятi iз множини γn. Величини
D⊥n (Fψq,r)X можна називати ортопроекцiйним тригонометричним по-
перечником порядку n класу Fψq,r в просторi X.
З означення величин e⊥n (Fψq,r)X , D⊥n (Fψq,r)X та Eγn(Fψq,r)X випли-
ває, що для довiльного набору γn ⊂ Zd
e⊥n (Fψq,r)X ≤ D⊥n (Fψq,r)X ≤ Eγn(Fψq,r)X .
4.3. Точнi значення величин en(Fψq,r)Sp(Td) , а отже, i величин
sup
f∈Fψq,r
‖f −Gn(f)‖Sp(Td) та e⊥n (Fψq,r)Sp(Td), при будь-яких 0 < p, q <∞
випливають iз результатiв О. I. Степанця [1], [2] (гл. XI). Зокрема, iз
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 307
теореми 9.1 роботи [2] (гл. XI) випливає, що для будь-яких 0<q≤p<∞
та довiльної додатної функцiї ψ = ψ(t), t ≥ 0, яка задовольняє умову
(2.3) при кожному n ∈ N
epn(Fψq,r)Sp(Td) = sup
l>n
(l − n)
l∑
j=1
ψ̄−q(j)
−
p
q
, (4.8)
де ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., — незростаюча перестановка системи чисел
ψ(|k|r), k∈Zd; якщо ж 0 < p < q < ∞, а додатна функцiя ψ = ψ(t),
t ≥ 0, задовольняє умову∑
k∈Zd
ψ
pq
q−p (|k|r) <∞, (4.9)
то iз теореми 9.4 роботи [2] (гл. XI) випливає, що
epn(Fψq,r)Sp(Td)=
(ln − n)
q
q−p
(
ln∑
k=1
ψ̄−q(k)
) p
q−p
+
∞∑
k=ln+1
ψ̄
pq
q−p (k)
q−p
q
,
(4.10)
де ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., — незростаюча перестановка системи чисел
ψ(|k|r), k∈Zd, а число ln вибране з умови
ψ̄−q(ln) ≤ 1
ln − n
ln∑
k=1
ψ̄−q(k) < ψ̄−q(ln + 1).
Враховуючи позначення (1.2) та (1.3), спiввiдношення (4.8) та (4.10)
можна записати у виглядi
epn(Fψq,r)Sp(Td) = Hn(ψ̄p, q/p), 0 < p, q <∞.
Зазначимо, що коли функцiя ψ спадає до нуля, незростаючу пе-
рестановку ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., системи чисел ψ(|k|r) можна визна-
чити рiвнiстю
ψ̄(l) = ψ(m), l ∈ (Vm−1, Vm], m = 1, 2, . . . , (4.11)
308 А.Л. Шидлiч
де Vm := |∆̃d
m,r| — кiлькiсть елементiв множини
∆̃d
m,r :=
{
k ∈ Zd : |k|r ≤ m, m = 0, 1, . . .
}
.
Далi, при формулюваннi результатiв важливо, щоб при всiх до-
статньо великих m (бiльших, нiж деяке додатне число k0) виконува-
лось спiввiдношення
Mr(m− c1)d < Vm = |∆̃d
m,r| ≤Mr(m+ c2)d, (4.12)
де Mr, c1 та c2 — деякi додатнi сталi.
Зрозумiло, що у випадку, коли r = ∞, спiввiдношення (4.12) ви-
конується i M∞ = vol
{
k∈Rd : |k|∞≤1
}
= 2d, якщо ж r = 1, то
M1 = vol
{
k∈Rd : |k|1 ≤ 1
}
= 2d/d!. Чи має мiсце подiбне спiввiд-
ношення при iнших r нам невiдомо, однак навiть для цих випадкiв
наведенi далi результати є новими.
Слiд зазначити, що коли виконується умова (4.12), внаслiдок
(4.11) перестановка ψ̄ належить множинi Sd(ν,M)=Sd(ν,M, c1, c2)
при M=Mr. Тому на пiдставi теореми 2.1 можна сформулювати та-
кий наслiдок.
Твердження 4.1. Нехай 0 < r ≤ ∞, 0 < p, q <∞, виконується
умова (4.12), а функцiя ψp належить множинi M′∞ або ∈Mc
∞. Тодi
en(Fψq,r)Sp(Td) �
ψ(mn)(
nα(ψp,mn)
) 1
q−
1
p
� ψ(mn)(
nα(ψ,mn)
) 1
q−
1
p
,
де величина mn задається спiввiдношенням (2.7) при M = Mr.
4.3. Запишемо також вiдповiднi оцiнки величин D⊥n (Fψq,r)Sp(Td) .
Точнi значення величин D⊥n (Fψq,r)Sp(Td) , а також величин
Dn(Fψq,r)Sp(Td):=inf
γn
Eγn(Fψq,r)Sp(Td)=inf
γn
sup
f∈Fψq,r
inf
ak
∥∥∥∥f(·)−
∑
k∈γn
ake
i(k,·)
∥∥∥∥
Sp(Td)
випливають iз результатiв роботи О. I. Степанця [22]. Зокрема, iз
теорем 6.1 та 6.4 [22] випливає, що для будь-яких 0 < q ≤ p < ∞ i
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 309
довiльної додатної функцiї ψ = ψ(t), t ≥ 0, яка задовольняє умову
(2.3), при кожному n ∈ N
Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥n (Fψq,r)Sp(Td) = ψ̄(n+ 1); (4.13)
якщо ж 0 < p < q <∞, а додатна функцiя ψ = ψ(t), t ≥ 0, задоволь-
няє умову (4.9), то
Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥n (Fψq,r)Sp(Td) =
( ∞∑
k=n+1
ψ̄
pq
q−p (k)
) q−p
pq
, (4.14)
де, як i ранiше, через ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., позначається незроста-
юча перестановка системи чисел ψ(|k|r), k∈Zd.
Iз спiввiдношень (4.13) та (4.11) випливає, що для довiльної спад-
ної до нуля функцiї ψ = ψ(t), t ≥ 0, при будь-яких 0 < q ≤ p < ∞ i
кожному n ∈ [Vm−1, Vm), m = 1, 2, . . . , має мiсце рiвнiсть
Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥n (Fψq,r)Sp(Td) = ψ(m).
При цьому, якщо виконується умова (4.12), то, як зазначено вище,
ψ̄ ∈ Sd(ν,M, c1, c2) при M=Mr i
(n/Mr)
1
d − c2 < m < (n/Mr)
1
d + c1 + 1. (4.15)
Звiдси, враховуючи твердження 3.1, робимо висновок, що коли функ-
цiя ψ належить множинi M′∞ або Mc
∞, виконується спiввiдношення
Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥n (Fψq,r)Sp(Td) � ψ((n/Mr)
1
d ) = ψ(mn). (4.16)
У випадку, коли функцiя ψp(·) належить множинам M′∞ та Mc
∞,
i виконується умова (4.12), можна отримати також оцiнку правої ча-
стини спiввiдношення (4.14). Дiйсно, для довiльного n ∈ [Vm−1, Vm)
внаслiдок (4.11) та (4.12) маємо
∞∑
l=m+1
ld−1
(
ψp(l)
) q
q−p �
∞∑
k=n+1
ψ̄
pq
q−p (k)�
∞∑
s=m
ld−1
(
ψp(l)
) q
q−p .
310 А.Л. Шидлiч
Тому, на пiдставi спiввiдношення (3.46) (при s′ = q
q−p ) з урахуванням
(4.15) i тверджень 3.1 та 3.2, робимо висновок, що
∞∑
k=n+1
ψ̄
pq
q−p (k) � mdψ
pq
q−p (m)α(ψp,m) � nψ
pq
q−p (mn)α(ψ,mn).
Таким чином, справджується наступне твердження.
Твердження 4.2. Нехай 0 < r ≤ ∞, 0 < p, q < ∞ та вико-
нується умова (4.12). Тодi
1) якщо 0 < q ≤ p <∞ i функцiя ψ належить множинi M′∞ або
Mc
∞, то має мiсце спiввiдношення (4.16);
2) якщо ж 0 < p < q <∞ i функцiя ψp належить множинi M′∞
або Mc
∞, то
Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥n (Fψq,r)Sp(Td) � ψ(mn)
(
nα(ψ,mn)
) 1
p−
1
q .
Зауваження 4.1. Внаслiдок (2.5) для довiльної функцiї
ψp ∈Mc
∞ маємо nα(ψ,mn) � n
d−1
d . Крiм цього, при d = 1 кла-
си Fψq,r =: Fψq не залежать вiд r, умова (4.12) виконується з ста-
лою Mr = 2. Тому для довiльної функцiї ψp ∈ Mc
∞ та будь-яких
0 < p, q <∞ справджується оцiнка
Dn(Fψq )
Sp(T1)
= D⊥n (Fψq )
Sp(T1)
� en(Fψq )
Sp(T1)
� ψ(n/2). (4.17)
Зауваження 4.2. Аналiзуючи результати даного пiдроздiлу ба-
чимо, що коли 0 < r ≤ ∞, виконується умова (4.12) i функцiя ψp
∗
(p∗ = max{1, p}) належить множинi M′∞ або множинi Mc
∞ (при
d > 1), для будь-яких 0 < q < p має мiсце спiввiдношення
lim
n→∞
en(Fψq,r)Sp(Td)
Dn(Fψq,r)
Sp(Td)
= lim
n→∞
en(Fψq,r)Sp(Td)
D⊥n (Fψq,r)
Sp(Td)
= 0,
а для будь-яких 0 < p ≤ q — спiввiдношення
en(Fψq,r)Sp(Td) � Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥n (Fψq,r)Sp(Td) .
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 311
5. Застосування отриманих результатiв до оцiнок апрок-
симативних характеристик просторiв Lp(T1). У випадку, коли
2 ≤ p < ∞ на пiдставi теореми Гаусдорфа–Юнга (див., наприклад,
[23, c. 16]) для довiльної функцiї f ∈ Lp(Td)
‖f‖
Lp(Td)
≤ ‖f‖
Sp
′
(Td)
. (5.1)
3 Якщо ж 1 ≤ p < 2, то
‖f‖
Lp(Td)
≤ ‖f‖
L2(Td)
= ‖f‖
S2(Td)
. (5.2)
Таким чином, iз отриманих у пiдроздiлi 4 оцiнок апроксимативних
величин просторiв Sp(Td) випливають також i оцiнки зверху анало-
гiчних величин просторiв Lp(Td).
У випадку, коли d = 1 i функцiя ψp
′
належить множинi Mc
∞ нам
вдалося також отримати вiдповiднi оцiнки знизу. А саме, має мiсце
наступне твердження.
Твердження 5.1. Нехай 1 ≤ p < ∞, 0 < q < ∞ i функцiя ψp
′
належить множинi Mc
∞. Тодi
e⊥n (Fψq )
Lp(T1)
� sup
f∈Fψq
‖f −Gn(f)‖
Lp(T1)
� D⊥n (Fψq )
Lp(T1)
� ψ(n/2).
Доведення. Iз врахуванням (4.6) та (4.7) для отримання оцiнок
зверху в цьому твердженнi достатньо скористатись спiввiдношення-
ми (5.1) та (5.2) i оцiнкою (4.17).
Для отримання оцiнок знизу розглянемо множину k∗1 , k∗2 , . . . всiх
цiлих чисел таких, що
ψ(|k∗j |) = ψ̄(j), j = 1, 2, . . . , (5.3)
де ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., — незростаюча перестановка системи чисел
ψ(|k|), k∈Zd. Покладемо
f1(x) = C1(n)
n+1∑
j=1
eik
∗
j x, де C1(n) =
n+1∑
j=1
ψ−q(|k∗j |)
− 1
q
.
3Тут i далi, для довiльного 1 < p < ∞ покладаємо p′ := p
p−1
i p′ := ∞ при
p = 1. При цьому, очевидно, p′ > 1.
312 А.Л. Шидлiч
Очевидно, що f1 ∈ Fψq , а на пiдставi (5.3), (3.23) та твердження 3.1
робимо висновок, що
C−q1 (n) =
n+1∑
j=1
ψ̄−q(j) �
[(n+1)/2]∑
k=1
1
ψq(k)
� ψ−q(n/2).
Тому для довiльного набору чисел γn i полiнома
∑
k∈γn
f̂1(k)eikx iз
врахуванням теореми Гаусдорфа–Юнга отримуємо∥∥∥∥f1(x)−
∑
k∈γn
f̂2(k)eikx
∥∥∥∥
Lp(Td)
=
∥∥∥∥ n+1∑
j=1
k∗j /∈γn
f̂1(k∗j )eik
∗
j x
∥∥∥∥
Lp(Td)
≥
≥
∥∥∥∥ n+1∑
j=1
k∗j /∈γn
f̂1(k∗j )eik
∗
j x
∥∥∥∥
L1(Td)
� max
j=1,n+1
k∗j /∈γn
|f̂1(k∗j )| = C1(n) � ψ(n/2).
Звiдси випливає, що при всiх 1 ≤ p <∞ має мiсце необхiдна оцiнка:
e⊥n (Fψq )
Lp(T1)
� e⊥n (f1)
Lp(T1)
� ψ(n/2).
Твердження доведено.
1. Степанец А.И. Аппроксимационные характеристики пространств Spϕ в
разных метриках // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, № 8. — C. 1121 – 1146.
2. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН України. — 2002. — 40, ч. II. — 468 с.
3. Софман Л .Б. Поперечники октаэдров // Мат. заметки. — 1969. — 5, № 4. —
C. 429 – 436.
4. Софман Л.Б. Поперечники бесконечного октаэдра // Вестн. москов. ун-
та. — 1973. — №5. — C. 54 – 56.
5. Pinkus A. n-widths in approximation theory. — Springer-Verlag Berlin
Heidelberg New York Tokyo, 1985. — 291 p.
6. Fang Gensun, Qian Lixin. Approximation Characteristics for Diagonal
Operators in Different Computational Settings // J. Approx. Theory. —
2006. — 140, № 2. — P. 178 – 190.
Порядковi оцiнки функцiоналiв . . . 313
7. Степанец А.И., Шидлич А.Л. Экстремальные задачи для интегралов от
неотрицательных функций // Изв. РАН. Сер. мат. — 2010. — 74, вып. 3. —
С. 169—224.
8. Степанец А.И., Шидлич А.Л. Экстремальные задачи для интегралов
от неотрицательных функций. — Киев, 2007. — 103 c. — (Препр. / НАН
Украины. Ин-т математики; 2007.2).
9. Шидлiч А.Л. Порядковi рiвностi для деяких функцiоналiв та їх застосу-
вання до оцiнок найкращих n-членних наближень i поперечникiв // Укр.
мат. журн. — 2009. — 61, № 10. — C. 1403 – 1423.
10. Шидлiч А.Л. Порядковi оцiнки найкращих n-членних ортогональних три-
гонометричних наближень класiв функцiй Fψq,∞ в просторах Lp(Td) //
Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту матема-
тики НАН України. — 2011. — 8, № 1. — С. 216 – 235.
11. Shidlich A. L. Approximations of certain classes of functions of several
variables by greedy approximants in the integral metrics // arXiv.org:
arXiv1302.2790v1. — 2013. — 16 p.
12. Шидлiч А.Л. Порядковi оцiнки для деяких апроксимативних величин //
Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання : Зб. праць Iн-ту матема-
тики НАН України. — 2013. — 10, № 1. — С. 304 – 327.
13. Степанець О. I., Шидлiч А.Л. Про один критерiй для опуклих функцiй //
Доп. НАН України. — 2007. — №8. — C. 31 – 36.
14. Степанец А.И. Несколько утверждений для выпуклых функций // Укр.
мат. журн. — 1999. — 51, № 5. — C. 688 – 702.
15. DeVore R.A., Temlyakov V.N. Nonlinear approximation by trigonometric
sums // J. Fourier Anal. Appl. — 1995. — 2, № 1. — P. 29 – 48.
16. Temlyakov V.N. Greedy Algorithm and m-Term Trigonometric
Approximation // Constr. Approx. — 1998. — 14, № 4. — P. 569 – 587.
17. Li R. S., Liu Y. P. Asymptotic Estimations of m-term Approximation and
Greedy Algorithm for Multiplier Function Classes Defined by Fourier Series //
Chinese Journal of Engineering Mathematics. — 2008. — 25, № 1. — P. 90 -– 96.
18. Li R. S., Liu Y. P. Best m-term One-sided Trigonometric Approximation of
Some Function Classes Defined by a Kind of Multipliers // Acta Mathematica
Sinica, English Series. — 2010. — 26, № 5. — P. 975 – 984.
19. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл.
АН СССР. — 1955. — 102, № 1. — C. 37 – 40.
20. De Vore R. Nonlinear approximation // Acta Numer. — 1998. — 7. —
P. 51 – 150.
21. Романюк А.С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения
классов Бесова периодических функций многих переменных // Изв. РАН.
Сер. мат. — 2003. — 67, № 2. — С. 61 – 100.
314 А.Л. Шидлiч
22. Степанец А.И. Задачи теории приближений в линейных простран-
ствах // Укр. мат. журн. — 2006. — 58, № 1. — C. 47 – 92.
23. Temlyakov V.N. Approximation of periodic functions. — New York: Nova Sci.
Publ. Inc, 1993. — 419 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-82 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:15Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/92/cdea3f42d0428860df02e309547b3f92.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-822018-01-29T14:44:04Z Order estimates of functionals in terms of which the best $n$-term approximations of classes ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ are expressed. Порядкові оцінки функціоналів, термінах яких виражаються найкращі $n$-членні наблження класів ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ Shidlich, A. L. Шидліч, А. Л. We obtain the exact order estimates of the functionals, which are the expressions of best $n$-term approximations of the classes of functions of several variables ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$. The obtained results are applied to finding the approximative characteristics in the spaces $S^p$ and $L_p$ В роботі отримано точні порядкові оцінки функціоналів, у термінах яких виражаються найкращі $n$-членні наближення класів функцій багатьох змінних ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$. Отримані результати застосовано до знаходження апроксимативних характеристик просторів $S^p$ та $L_p$ Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/82 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 287-314 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 287-314 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 287-314 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/82/79 |
| spellingShingle | Shidlich, A. L. Шидліч, А. Л. Order estimates of functionals in terms of which the best $n$-term approximations of classes ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ are expressed. |
| title | Order estimates of functionals in terms of which the best $n$-term approximations of classes ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ are expressed. |
| title_alt | Порядкові оцінки функціоналів, термінах яких виражаються найкращі $n$-членні наблження класів ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ |
| title_full | Order estimates of functionals in terms of which the best $n$-term approximations of classes ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ are expressed. |
| title_fullStr | Order estimates of functionals in terms of which the best $n$-term approximations of classes ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ are expressed. |
| title_full_unstemmed | Order estimates of functionals in terms of which the best $n$-term approximations of classes ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ are expressed. |
| title_short | Order estimates of functionals in terms of which the best $n$-term approximations of classes ${\cal F}_{q,r}^{\psi}$ are expressed. |
| title_sort | order estimates of functionals in terms of which the best $n$-term approximations of classes ${\cal f}_{q,r}^{\psi}$ are expressed. |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/82 |
| work_keys_str_mv | AT shidlichal orderestimatesoffunctionalsintermsofwhichthebestntermapproximationsofclassescalfqrpsiareexpressed AT šidlíčal orderestimatesoffunctionalsintermsofwhichthebestntermapproximationsofclassescalfqrpsiareexpressed AT shidlichal porâdkovíocínkifunkcíonalívtermínahâkihviražaûtʹsânajkraŝínčlennínablžennâklasívcalfqrpsi AT šidlíčal porâdkovíocínkifunkcíonalívtermínahâkihviražaûtʹsânajkraŝínčlennínablžennâklasívcalfqrpsi |