Best orthogonal trigonometric approximations of functions from classes $L_{\beta,1}^\psi$
We obtain the exact order estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of periodic functions that are analogues of the Bernoulli kernels and functions of the classes $L_{\beta, 1}^\psi$ in the space $L_q$, $1< q<\infty$
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/83 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552619324473344 |
|---|---|
| author | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. |
| author_facet | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. В. Шкапа",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Shkapa, V. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We obtain the exact order estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of periodic functions that are analogues of the Bernoulli kernels and functions of the classes $L_{\beta, 1}^\psi$ in the space $L_q$, $1< q<\infty$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 315–329
УДК 517.5
В. В. Шкапа (Iн–т математики НАН України, Київ)
НАЙКРАЩI ОРТОГОНАЛЬНI ТРИГОНОМЕТРИЧНI
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Lψβ,1
We obtain the exact order estimates of the best orthogonal trigonometric
approximations of periodic functions that are analogues of the Bernoulli kernels
and functions of the classes Lψβ,1 in the space Lq, 1 < q < ∞.
Отримано точнi за порядком оцiнки найкращих ортогональних триго-
нометричних наближень перiодичних функцiй, якi є аналогами ядер Бер-
нуллi та функцiй iз класiв Lψβ,1 у просторi Lq, 1 < q < ∞.
У роботi встановлено порядковi оцiнки найкращих ортогональ-
них тригонометричних наближень 2π-перiодичних функцiй Dβ
ψ, якi є
аналогами ядер Бернуллi. З використанням цих результатiв одержа-
но порядковi оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних
наближень функцiй iз класiв Lψβ,1 у просторi Lq при 1 < q <∞.
Наведемо спочатку необхiднi позначення та означення, якi будуть
нами використовуватися.
Нехай Lq — простiр 2π-перiодичних i сумовних у степенi q,
1 ≤ q <∞, (вiдповiдно суттєво обмежених при q = ∞) на вiдрiз-
ку [−π, π] функцiй f . Норма у цьому просторi визначається таким
чином:
‖f‖Lq = ‖f‖q =
(
1
2π
π∫
−π
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 ≤ q <∞,
ess sup
x∈[−π,π]
|f(x)| , q =∞.
Для функцiї f ∈ Lq розглянемо її ряд Фур’є∑
k∈Z
f̂(k)eikx,
де f̂(k) = 1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
c© В. В. Шкапа, 2014
316 В.В. Шкапа
Скрiзь нижче будемо вважати, що для f ∈ Lq виконується умова
π∫
−π
f(t)dt = 0.
Нехай, далi, ψ 6= 0 довiльна функцiя натурального аргументу,
β — довiльне фiксоване дiйсне число. Якщо ряд
∑
k∈Z\{0}
ei
π
2 βsignk
ψ(|k|)
f̂(k)eikx
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи О. I. Сте-
панця [1] (див. також [2, с. 25], [3, с. 132]), називатимемо (ψ, β)-
похiдною функцiї f i позначимо fψβ . Множину функцiй f , що задо-
вольняють таку умову, позначатимемо Lψβ . Надалi будемо вважати,
що функцiя f належить класу Lψβ,p, якщо
f ∈ Lψβ i f
ψ
β ∈ Up =
{
ϕ : ϕ ∈ Lp, ‖ϕ‖p ≤ 1
}
, 1 ≤ p ≤ ∞.
Зауважимо, що при ψ(|k|) = |k|−r, r > 0, k ∈ Z \ {0}, класи Lψβ,p
спiвпадають з класами Вейля–НадяW r
β,p (див., наприклад, [2, с. 25]).
Нехай для фiксованої функцiї натурального аргументу ψ i числа
β ∈ R ряд ∑
k∈Z\{0}
ψ(|k|)e−iπ2 βsignkeikx
є рядом Фур’є деякої сумовної на [−π, π] функцiї Dβ
ψ. Тодi кожну
функцiю f ∈ Lψβ,p можна зобразити у виглядi згортки
f(x) =
1
2π
π∫
−π
ϕ(x− t)Dβ
ψ(t)dt,
де ‖ϕ‖p ≤ 1, 1 ≤ p ≤ ∞ (див., наприклад, [3, с. 135]).
Зазначимо, що функцiї Dβ
ψ називають аналогами ядер Бернуллi.
Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення . . . 317
Розглянемо для f ∈ Lq апроксимативну характеристику
e⊥m(f)q = inf
Θm
∥∥f(·)− SΘm(f, ·)
∥∥
q
, (1)
де SΘm(f, x) =
m∑
k=1
f̂(nk)einkx, Θm — набiр iз m цiлих чисел n1, ..., nm.
Величину (1) називають найкращим ортогональним тригонометрич-
ним наближенням функцiї f ∈ Lq. Якщо F ⊂ Lq — деякий функцiо-
нальний клас, то покладемо
e⊥m(F )q = sup
f∈F
e⊥m(f)q.
Зазначимо, що величина (1) була введена Е.С. Белiнським (див.,
наприклад, [4]), i останнiм часом дослiдження її на тих або iнших
функцiональних класах отримало потужний розвиток у роботах ба-
гатьох авторiв [5 – 13]. У цих роботах можна ознайомитися з бiльш
детальною бiблiографiєю.
Позначимо через B множину функцiй ψ, що задовольняють умо-
ви:
1) ψ — додатнi i незростаючi;
2) iснує стала C > 0 така, що
ψ(t)
ψ(2t)
≤ C, ∀t ∈ N.
Зазначимо, що до множини B належать, наприклад, функцiї 1
tr ,
r > 0; lnγ(t+1)
tr , γ > 0, r > 0 та iн.
Надалi для величин A i B запис A � B означає, що iснують до-
датнi сталi C1 та C2 такi, що C1A ≤ B ≤ C2A. Якщо тiльки B ≤ C2A
(B ≥ C1A), то пишемо B � A (B � A). Всi сталi Ci, i = 1, 2, ..., якi
будуть зустрiчатися у роботi, можуть залежати лише вiд тих пара-
метрiв, що входять в означення класу та метрики, в якiй здiйснюєть-
ся наближення.
1. Допомiжнi твердження. У даному пунктi сформулюємо
декiлька вiдомих тверджень, якi нам знадобляться при доведеннi
отриманих результатiв.
318 В.В. Шкапа
Нехай f ∈ Lq, 1 < q <∞. Для s ∈ N розглянемо множину
ρ(s) =
{
k : 2s−1 ≤ |k| < 2s
}
i покладемо
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)eikx.
Тодi функцiю f можна подати у виглядi
f(x) =
∑
s∈N
δs(f, x).
Теорема А (Лiттлвуда–Пелi, див., наприклад, [14, с. 54]). Нехай
задано 1 < q < ∞. Тодi iснують додатнi сталi C3(q), C4(q) такi,
що для кожної функцiї f ∈ Lq має мiсце оцiнка
C3(q)‖f‖q ≤
∥∥∥∥∥
(∑
s
|δs(f, ·)|2
) 1
2
∥∥∥∥∥
q
≤ C4(q)‖f‖q.
Теорема Б (Марцинкевича) [15, т. 2, с. 346]. Нехай задано послi-
довнiсть {λn}∞n=−∞, що задовольняє умови:
1) |λn| ≤M, n ∈ Z;
2)
±2ν−1∑
µ=±2ν−1
|λµ+1 − λµ| ≤M, ν ∈ N.
Тодi, якщо
f(x) =
+∞∑
k=−∞
f̂(k)eikx ∈ Lq, 1 < q <∞,
то
F (x) =
+∞∑
k=−∞
λkf̂(k)eikx ∈ Lq
i iснує стала C5(q) така, що
‖F‖q ≤ C5(q)M‖f‖q.
Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення . . . 319
Твердження A (див., наприклад, [16, с. 392]). Якщо f ∈ Lq,
1 ≤ q ≤ ∞, то
‖f‖q = sup
‖g‖q′≤1
π∫
−π
f(x)g(x)dx,
де 1
q + 1
q′ = 1.
Твердження Б [17, с. 119]. Нехай ψ(t) — довiльна незростаюча
послiдовнiсть невiд’ємних чисел, для яких виконується одна з умов:
∆2
(
1
ψ(t− 1)
)
≥ 0, t = 1,m− 1, (2)
або
∆2
(
1
ψ(t− 1)
)
≤ 0, t = 1,m− 1, (3)
де
∆2
(
1
ψ(t)
)
=
1
ψ(t)
− 2
ψ(t+ 1)
+
1
ψ(t+ 2)
i, крiм того,
∣∣∣ sin βπ
2
∣∣∣m−1∑
k=1
ψ(m)(tψ(t))−1 = O(1), (4)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по m. Тодi для довiльно-
го тригонометричного полiнома tm порядку m виконується нерiв-
нiсть
‖(tm)ψβ ‖1 ≤ O(1)|ψ(m)|−1‖tm‖1,
в якiй величина O(1) — рiвномiрно обмежена по m i tm.
2. Основнi результати. Має мiсце твердження.
Теорема 1. Нехай 1 < q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R i, крiм того, iснує
ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t1−
1
q+ε, t ∈ N, не зростає. Тодi
справедлива порядкова оцiнка
e⊥m(Dψ
β )q � ψ(m)m1− 1
q .
320 В.В. Шкапа
Доведення. Доведемо оцiнку зверху. Нехай l i m такi, що
2l < m ≤ 2l+1. Спочатку розглянемо випадок 1 < q ≤ 2. Маємо
e⊥m(Dψ
β )q �
∥∥∥∥Dψ
β −
∑
s<l
δs(D
ψ
β )
∥∥∥∥
q
=
∥∥∥∥∑
s≥l
δs(D
ψ
β )
∥∥∥∥
q
= I1.
Продовжимо оцiнку величини I1 з використанням теореми А, нерiв-
ностi Мiнковського i нерiвностi Iєнсена. Одержимо
I1 �
∥∥∥∥∥
(∑
s≥l
|δs(Dψ
β )|2
) 1
2
∥∥∥∥∥
q
=
∥∥∥∥∑
s≥l
|δs(Dψ
β )|2
∥∥∥∥
q
2
1
2
≤
≤
∑
s≥l
∥∥∥∥|δs(Dψ
β )|2
∥∥∥∥
q
2
1
2
=
∑
s≥l
‖δs(Dψ
β )‖2q
1
2
≤
≤
∑
s≥l
‖δs(Dψ
β )‖qq
1
q
. (5)
Оцiнимо величину
‖δs(Dψ
β )‖q =
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
ψ(|k|)e−iπ2 βsignkeikx
∥∥∥∥
q
.
Спочатку покажемо, що виконується спiввiдношення∥∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
ψ(|k|)e−iπ2 βsignkeikx
∥∥∥∥
q
� ψ(2s)
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
eikx
∥∥∥∥
q
, 1 < q <∞.
З цiєю метою для s ≥ l розглянемо послiдовнiсть {λk}, яка задається
таким чином
{λk} =
{
ψ(|k|)
ψ(2s)
e−i
π
2 βsignk
}
, 2s−1 ≤ |k| < 2s.
Переконаємося, що послiдовнiсть {λk} задовольняє умови теореми Б.
Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення . . . 321
Зауважимо, що для цього достатньо перевiрити виконання цих
умов для додатних k таких, що 2s−1 ≤ k < 2s.
Оскiльки ψ ∈ B i 2s−1 ≤ k < 2s, то:
1) |λk| =
∣∣∣∣ ψ(k)
ψ(2s)
e−i
π
2 β
∣∣∣∣ =
ψ(k)
ψ(2s)
≤M,
2)
2s−1∑
k=2s−1
|λk − λk+1| =
=
2s−1∑
k=2s−1
∣∣∣∣ ψ(k)
ψ(2s)
e−i
π
2 β − ψ(k + 1)
ψ(2s)
e−i
π
2 β
∣∣∣∣ ≤
≤ 1
ψ(2s)
2s−1∑
k=2s−1
(
ψ(k)− ψ(k + 1)
)
≤ 1
ψ(2s)
(
ψ(2s−1)− ψ(2s)
)
≤
≤ ψ(2s−1)
ψ(2s)
≤M.
Тепер подiємо мультиплiкатором Λs, який задається послiдов-
нiстю {λk}, на полiном
∑
k∈ρ(s)
eikx. Маємо
Λs
∑
k∈ρ(s)
eikx =
∑
k∈ρ(s)
ψ(|k|)
ψ(2s)
e−i
π
2 βsignkeikx =
=
1
ψ(2s)
∑
k∈ρ(s)
ψ(|k|)e−iπ2 βsignkeikx.
Таким чином, можемо записати∥∥∥∥Λs
∑
k∈ρ(s)
eikx
∥∥∥∥
q
=
1
ψ(2s)
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
ψ(|k|)e−iπ2 βsignkeikx
∥∥∥∥
q
.
З iншого боку, за теоремою Б, має мiсце оцiнка∥∥∥∥Λs
∑
k∈ρ(s)
eikx
∥∥∥∥
q
≤ C6(q)M
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
eikx
∥∥∥∥
q
.
322 В.В. Шкапа
Отже,∥∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
ψ(|k|)e−iπ2 βsignkeikx
∥∥∥∥
q
� ψ(2s)
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
eikx
∥∥∥∥
q
.
Далi, використовуючи останню оцiнку, а також вiдоме спiввiдно-
шення (див., наприклад, [18, с. 25])∥∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
eikx
∥∥∥∥
q
� 2s(1− 1
q ), 1 < q <∞, (6)
одержимо
‖δs(Dψ
β )‖q � ψ(2s)2s(1− 1
q ). (7)
Об’єднуючи спiввiдношення (5) та (7), матимемо
I1 =
∥∥∥∥∑
s≥l
δs(D
ψ
β )
∥∥∥∥
q
�
∑
s≥l
ψq(2s)2qs(1− 1
q )
1
q
.
Насамкiнець, врахувавши, що ψ(t)t1−
1
q+ε не зростає, можемо запи-
сати
e⊥m(Dψ
β )q � I1 � ψ(2l)2l(1− 1
q+ε)
∑
s≥l
2−sεq
1
q
�
� ψ(2l)2l(1− 1
q ) � ψ(m)m1− 1
q .
Тепер розглянемо випадок 2 < q <∞. Застосовуючи теорему А i
нерiвнiсть Мiнковського, маємо
‖Dψ
β −
∑
s<l
δs(D
ψ
β )‖q =
∥∥∥∥∑
s≥l
δs(D
ψ
β )
∥∥∥∥
q
�
�
∥∥∥∥∥
(∑
s≥l
|δs(Dψ
β )|2
) 1
2
∥∥∥∥∥
q
=
∥∥∥∥∑
s≥l
|δs(Dψ
β )|2
∥∥∥∥
q
2
1
2
�
Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення . . . 323
�
∑
s≥l
∥∥|δs(Dψ
β )|2
∥∥
q
2
1
2
=
∑
s≥l
‖δs(Dψ
β )‖2q
1
2
.
Далi, використавши (7), повторимо мiркування, якi проводились для
випадку 1 < q ≤ 2, i отримаємо шукану оцiнку
e⊥m(Dψ
β )q � ψ(m)m1− 1
q , 2 < q <∞.
Таким чином, оцiнку зверху в теоремi встановлено.
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу.
Нехай Θm — довiльний набiр iз m цiлих чисел n1, ..., nm. Ско-
риставшись рiвнiстю з твердження A, адаптованою до комплексно-
значних функцiй, можемо записати
‖Dψ
β − SΘm(Dψ
β )‖q =
= sup
‖g‖q′≤1
∣∣∣∣
π∫
−π
(
Dψ
β (x)− SΘm(Dψ
β , x)
)
g(x)dx
∣∣∣∣. (8)
За заданим m виберемо l iз умови 2m < 2l ≤ 4m i покладемо
g(x) = C72−
l
q
∑
k∈ρ+(l)
eikx,
де ρ+(l) =
{
k : 2l−1 ≤ k < 2l
}
. Легко бачити, що ‖g‖q′ ≤ 1,
q′ ∈ (1,∞), при певному виборi сталої C7 > 0.
Дiйсно, використовуючи спiввiдношення (6), будемо мати
‖g‖q′ = C72−
l
q
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(l)
eikx
∥∥∥∥
q′
� 2−
l
q 2
l
(
1− 1
q′
)
= 1,
тобто функцiя g при деякому виборi сталої C7 задовольняє нерiвнiсть
‖g‖q′ ≤ 1.
Тепер пiдставивши функцiю g в (8), одержимо
‖Dψ
β − SΘm(Dψ
β )‖q ≥
∣∣∣∣
π∫
−π
(
Dψ
β (x)− SΘm(Dψ
β , x)
)
g(x)dx
∣∣∣∣ =
324 В.В. Шкапа
=
∣∣∣∣
π∫
−π
Dψ
β (x)g(x)dx−
π∫
−π
SΘm(Dψ
β , x)g(x)dx
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣
( ∑
k∈ρ+(l)
C7ψ(k)2−
l
q e−i
π
2 β
)
−
( ∑
k∈Θm∩ρ+(l)
C7ψ(k)2−
l
q e−i
π
2 β
)∣∣∣∣∣�
� 2−
l
q
∑
k∈ρ+(l)\Θm
ψ(k)� 2−
l
qψ(2l)2l =
= 2l(1− 1
q )ψ(2l) � ψ(m)m1− 1
q .
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему доведено.
Порiвняємо результат теореми 1 з оцiнкою найкращого m-
членного тригонометричного наближення em(Dψ
β )q, 1 < q < ∞, яку
отримано в [19]. Нагадаємо, що
em(f)q = inf
Θm
inf
T (Θm,·)
∥∥f(·)− T (Θm, ·)
∥∥
q
,
де T (Θm, x) =
m∑
k=1
ake
inkx, ak — довiльнi коефiцiєнти.
З означення величин em(f)q i e⊥m(f)q легко бачити, що має мiсце
спiввiдношення
em(f)q ≤ e⊥m(f)q.
Спiвставивши результати теореми 1 i теорем 1.6.2, 1.6.3 роботи [19],
отримуємо, що величини em(Dψ
β )q та e⊥m(Dψ
β )q у випадку 1 < q ≤ 2
рiвнi за порядком. Якщо ж 2 < q <∞, то має мiсце спiввiдношення
e⊥m(Dψ
β )q � m
1
2−
1
q em(Dψ
β )q.
Зауваження 1. У випадку ψ(|k|) = |k|−r, r > 1 − 1
q порядок
величини e⊥m(Dψ
β )q, 1 < q <∞, встановлено у роботi [10].
Далi доведемо твердження, в якому одержана оцiнка величини
e⊥m(Lψβ,1)q при 1 < q <∞.
Теорема 2. Нехай 1 < q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R, виконується одна
з умов (2) або (3) i, крiм того, iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть
Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення . . . 325
ψ(t)t1−
1
q+ε, t ∈ N, не зростає. Тодi справедливе наступне спiввiдно-
шення
e⊥m(Lψβ,1)q � ψ(m)m1− 1
q .
Доведення. Оцiнку зверху проведемо у бiльш загальному ви-
падку. Для цього нам знадобиться допомiжне твердження
Лема 1. Нехай 1 ≤ q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R. Тодi має мiсце
наступне спiввiдношення
e⊥m(Lψβ,1)q � e⊥m(Dψ
β )q.
Доведення. Згiдно з означенням класу Lψβ,1 можемо записати
e⊥m(Lψβ,1)q = sup
f∈Lψβ,1
inf
SΘm (f)
‖f − SΘm(f)‖q =
= sup
‖ϕ‖1≤1
inf
SΘm (ϕ∗Dψβ )
‖ϕ ∗Dψ
β − SΘm(ϕ ∗Dψ
β )‖q =
= sup
‖ϕ‖1≤1
inf
SΘm (Dψβ )
‖ϕ ∗ (Dψ
β − SΘm(Dψ
β ))‖q.
Враховуючи властивiсть згортки (див., наприклад, [20, с. 71]), мати-
мемо
e⊥m(Lψβ,1)q ≤ sup
‖ϕ‖1≤1
inf
SΘm (Dψβ )
‖ϕ‖1 × ‖Dψ
β − SΘm(Dψ
β )‖q ≤
≤ inf
SΘm (Dψβ )
‖Dψ
β − SΘm(Dψ
β )‖q = e⊥m(Dψ
β )q.
Лему доведено.
Отже, оцiнку зверху в теоремi 2 отримуємо, використавши лему 1
i встановлену в теоремi 1 оцiнку величини e⊥m(Dψ
β )q :
e⊥m(Lψβ,1)q ≤ e⊥m(Dψ
β )q � ψ(m)m1− 1
q .
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу.
326 В.В. Шкапа
За заданим m виберемо l iз умови 2m < 2l ≤ 4m i розглянемо
функцiю
fl(x) = C8ψ(2l)
(
V2l+1(x)− V2l(x)
)
, C8 > 0,
де Vm(x) — ядро Валле Пуссена вигляду
Vm(x) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kx+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kx.
Покажемо, що fl ∈ Lψβ,1 при певному виборi сталої C8 > 0.
Для цього достатньо пересвiдчитися, що ‖(fl)ψβ ‖1 ≤ C9, C9 > 0.
Скористаємося твердженням Б.
Зауважимо, що умова (4) виконується, оскiльки iснує число α > 1
q
таке, що послiдовнiсть ϕ(m) = mαψ(m) не зростає, тодi
m−1∑
k=1
ψ(m)
kψ(k)
=
m−1∑
k=1
ϕ(m)kα
mαϕ(k)k
≤ 1
mα
m−1∑
k=1
kα
k
≤ 1.
Таким чином, одержимо
‖(fl)ψβ ‖1 = C8ψ(2l)‖V2l+1 − V2l‖1 �
ψ(2l)
ψ(2l+2)
‖V2l+1 − V2l‖1,
причому (див., наприклад, [21, с. 66])
‖V2l+1 − V2l‖q � 2l(1− 1
q ), 1 ≤ q ≤ ∞. (9)
Отже, ‖(fl)ψβ ‖1 � 1 i fl ∈ Lψβ,1 при певному виборi сталої C8.
Далi розглянемо полiном
g(x) = C10m
− 1
q
(
V2l+1(x)− V2l(x)
)
, C10 > 0.
Iз (9) випливає, що полiном g при певному виборi сталої C10 задо-
вольняє нерiвнiсть ‖g‖q′ ≤ 1. Скориставшись твердженням A, одер-
жимо
‖fl − SΘm(fl)‖q ≥
∣∣∣∣
π∫
−π
(
fl(x)− SΘm(fl, x)
)
g(x)dx
∣∣∣∣ =
Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення . . . 327
=
∣∣∣∣
π∫
−π
fl(x)g(x)dx−
π∫
−π
SΘm(fl, x)g(x)dx
∣∣∣∣�
� m−
1
qψ(2l)
(
‖V2l+1 − V2l‖22 −m
)
�
� m−
1
qψ(2l)
(
2l+1 −m
)
≥ m−
1
qψ(2l)2l � ψ(2l)2l(1− 1
q ).
Враховуючи вибiр l, iз останньої оцiнки маємо
e⊥m(Lψβ,1)q � ψ(m)m1− 1
q .
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему 2 доведено.
Порiвняємо результат теореми 2 з вiдповiдним результатом, отри-
маним при дослiдженнi величин Em(Lψβ,1)q i Em(Lψβ,1)q у роботi [22].
Нагадаємо, що
Em(Lψβ,1)q = sup
f∈Lψβ,1
inf
tm−1∈T2m−1
∥∥f(·)− tm(·)
∥∥
q
,
Em(Lψβ,1)q = sup
f∈Lψβ,1
∥∥f(·)− Sm−1(f, ·)
∥∥
q
,
де T2m−1 — пiдпростiр усiх тригонометричних полiномiв tm−1 поряд-
ку не вищого за m− 1 . Отримуємо, що
e⊥m(Lψβ,1)q � Em(Lψβ,1)q � Em(Lψβ,1)q � ψ(m)m1− 1
q .
Зауважимо, що для оцiнки зверху у теоремi 2, можна було ско-
ристатись результатом отриманим у роботi [22] для Em(Lψβ,1)q та
спiввiдношенням
e⊥m(Lψβ,1)q ≤ Em(Lψβ,1)q.
Зауваження 2. У випадку ψ(|k|) = |k|−r, r > 1 − 1
q , даний
результат було одержано у роботi [10].
1. Степанец А.И. Классы периодических функций и приближение их эле-
ментов суммами Фурье. — Киев, 1983. — 57 с. — (Препр. / АН УССР. Ин-т
математики; 83.10).
328 В.В. Шкапа
2. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функ-
ций. — К.: Наук. думка, 1987. — 286 с.
3. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН України, 2002. — 40. — Ч.I. — 427 с.
4. Белинский Э.С. Приближение "плавающей" системой экспонент на клас-
сах гладких периодических функций с ограниченной смешанной произ-
водной // Исследование по теории функций многих вещественных пере-
менных. — Ярославль: Яросл. ун-т. — 1988. — С. 16 – 33.
5. Романюк А.С. О приближении классов Бесова функций многих перемен-
ных частными суммами с заданным числом гармоник // Оптимизация ме-
тодов приближения. — Киев: Ин-т математики НАН Украины. — 1992. —
C. 112 – 118.
6. Романюк А.С. Приближение классов функций многих переменных их ор-
тогональными проекциями на подпространства тригонометрических по-
линомов // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 1. — C. 80 – 89.
7. Федоренко А.С. Про найкращi m−членнi тригонометричнi та ортогональ-
нi тригонометричнi наближення функцiй класiв Lψβ,p // Укр. мат. журн. —
1999. — 51, № 12. — C. 1719 – 1721.
8. Консевич Н.М. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення
класiв функцiй багатьох змiнних Lψβ,p // Укр. мат. журн. — 2001. — 53,
№ 1. — C. 23 – 29.
9. Романюк А.С. Приближение классов периодических функций многих пе-
ременных // Мат. заметки. — 2002. — 71, № 1. — C. 109 – 121.
10. Романюк А.С. Билинейные и тригонометрические приближения классов
Бесова Brp,θ периодических функций многих переменных // Изв. РАН.
Сер. матем. — 2006. — 70, № 2. — C. 69 – 98.
11. Стасюк С.А. Найкращi M−членнi ортогональнi тригонометричнi набли-
ження класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат.
журн. — 2008. — 60, № 5. — C. 647 – 656.
12. Войтенко С.П. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення
класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. —
2009. — 61, № 11. — C. 1473 – 1484.
13. Романюк А.С. Аппроксимативные характеристики классов периодиче-
ских функций многих переменных // Працi Iн-ту математики НАН Украї-
ни. — 2012. — 93. — 352 с.
14. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения. —М.: Наука, 1977. — 456 с.
15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. // М.: Мир. — 1965. — Т. 1. —
615 с.; — Т. 2. — 537 с.
16. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. — М.: Наука,
1987. — 424 с.
Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення . . . 329
17. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН України, 2002. — 40. — Ч. 2. — 468 с.
18. Temlyakov V.N. Approximation of periodic functions. — New York: Nova Sci.
Publ. Inc, 1993. — 419 p.
19. Федоренко О.С. Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функцiй тригоно-
метричними полiномами. Дис. канд. фiз.-мат.н. — 2000. — 114 с.
20. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. — М.: На-
ука, 1976. — 320 с.
21. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной произ-
водной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178. — C. 1 – 112.
22. Грабова У. З., Сердюк А.С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наб-
лижень сумами Фур’є класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй // Укр. мат.
журн. — 2013. — 65, № 9. — C. 1186 – 1197.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-83 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:19Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c3/3ecfa6faf4b9f59e159bc88a479b6bc3.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-832018-01-29T14:44:04Z Best orthogonal trigonometric approximations of functions from classes $L_{\beta,1}^\psi$ Найкращі ортогональні тригонометричні наближення функцій з класів $L_{\beta,1}^\psi$ Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. We obtain the exact order estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of periodic functions that are analogues of the Bernoulli kernels and functions of the classes $L_{\beta, 1}^\psi$ in the space $L_q$, $1&lt; q&lt;\infty$ Отримано точні за порядком оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень періодичних функцій, які є аналогами ядер Бернуллі та функцій із класів $L_{\beta, 1}^\psi$ у просторі $L_q$, $1&lt; q&lt;\infty$ Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/83 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 315-329 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 315-329 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 315-329 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/83/80 |
| spellingShingle | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. Best orthogonal trigonometric approximations of functions from classes $L_{\beta,1}^\psi$ |
| title | Best orthogonal trigonometric approximations of functions from classes $L_{\beta,1}^\psi$ |
| title_alt | Найкращі ортогональні тригонометричні наближення функцій з класів $L_{\beta,1}^\psi$ |
| title_full | Best orthogonal trigonometric approximations of functions from classes $L_{\beta,1}^\psi$ |
| title_fullStr | Best orthogonal trigonometric approximations of functions from classes $L_{\beta,1}^\psi$ |
| title_full_unstemmed | Best orthogonal trigonometric approximations of functions from classes $L_{\beta,1}^\psi$ |
| title_short | Best orthogonal trigonometric approximations of functions from classes $L_{\beta,1}^\psi$ |
| title_sort | best orthogonal trigonometric approximations of functions from classes $l_{\beta,1}^\psi$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/83 |
| work_keys_str_mv | AT shkapavv bestorthogonaltrigonometricapproximationsoffunctionsfromclasseslbeta1psi AT škapavv bestorthogonaltrigonometricapproximationsoffunctionsfromclasseslbeta1psi AT shkapavv najkraŝíortogonalʹnítrigonometričnínabližennâfunkcíjzklasívlbeta1psi AT škapavv najkraŝíortogonalʹnítrigonometričnínabližennâfunkcíjzklasívlbeta1psi |