Order estimates for approximative characteristics of functions from generalized classes of mixed smoothness of the Nikol’skii-Besov type
We obtain the exact order estimates of the approximation classes $S^{\Omega}_{p,\theta}B$ functions of many variables defined on $\mathbb{R}^d$ by using entire functions of exponential type with supported of their Fourier transform on some sets in uniform metric
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Author Affiliations: |
|
| Keywords: | keywords |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/84 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552618831642624 |
|---|---|
| author | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_facet | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. Я. Янченко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Yanchenko, S. Ya. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We obtain the exact order estimates of the approximation classes $S^{\Omega}_{p,\theta}B$ functions of many variables defined on $\mathbb{R}^d$ by using entire functions of exponential type with supported of their Fourier transform on some sets in uniform metric |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 330–343
УДК 517.51
C.Я. Янченко∗ (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ФУНКЦIЙ З УЗАГАЛЬНЕНИХ
КЛАСIВ МIШАНОЇ ГЛАДКОСТI
ТИПУ НIКОЛЬСЬКОГО–БЄСОВА
We obtain the exact order estimates of the approximation classes SΩ
p,θB
functions of many variables defined on Rd by using entire functions of
exponential type with supported of their Fourier transform on some sets in
uniform metric.
Одержано точнi за порядком оцiнки наближення класiв SΩ
p,θB функцiй
багатьох змiнних, якi визначенi на Rd за допомогою цiлих функцiй експо-
ненцiального типу з носiєм їх перетворення Фур’є на певних множинах
у рiвномiрнiй метрицi.
У роботi продовжено дослiдження апроксимативних характери-
стик функцiй з так званих узагальнених аналогiв класiв мiшаної
гладкостi Нiкольського–Бєсова SΩ
p,θB(Rd). Знайдено точнi за поряд-
ком оцiнки наближення цих класiв функцiй цiлими функцiями з
носiєм їх перетворення Фур’є у схiдчастому гiперболiчному хрестi, а
також на множинах бiльш довiльної структури, лебегова мiра яких є
обмежена. Похибка наближення при цьому оцiнюється у рiвномiрнiй
метрицi L∞(Rd).
1. Означення класiв функцiй SΩ
p,θB(Rd). Нехай Rd —
d-вимiрний евклiдовий простiр з елементами x = (x1, ..., xd) i
(x,y) = x1y1 + ...+ xdyd. Через Lq(Rd), 1 6 q 6 ∞, позначимо про-
стiр вимiрних функцiй f(x) = f(x1, ..., xd) зi скiнченною нормою
‖f‖Lq := ‖f‖q :=
(∫
Rd
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 6 q <∞,
∗Робота виконана за часткової пiдтримки FP7-People-2011-IRSES, проект
№295164 (EUMLS: EU–Ukrainian Mathematicians for Life Sciences).
c© С.Я. Янченко, 2014
Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик класiв . . . 331
‖f‖L∞ := ‖f‖∞ := ess sup
x∈Rd
|f(x)|.
Для функцiї f ∈ Lq(Rd) розглянемо рiзницю l-го порядку, l ∈ N,
за змiнною xj з кроком hj , яка визначається таким чином:
∆l
hjf(x) :=
l∑
n=0
(−1)l−nCnl f(x1, ..., xj−1, xj + nhj , xj+1, ..., xd).
Також означимо мiшану рiзницю l-го порядку з векторним кроком
h = (h1, . . . , hd):
∆l
hf(x) = ∆l
hd
(
∆l
hd−1
...(∆l
h1
f(x))
)
i покладемо
Ωl(f, t)q := sup
|hj |6tj
j=1,d
‖∆l
hf(·)‖q
— мiшаний модуль неперервностi функцiї f ∈ Lq(Rd). Тут
t = (t1, ..., td), tj > 0, j = 1, d (далi будемо писати t > 0,
|h| = (|h1|, ..., |hd|) i будемо використовувати запис |h| 6 t, який озна-
чає, що |hj | 6 tj , j = 1, d).
Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного мо-
дуля неперервностi порядку l, тобто функцiя, що визначена на Rd+ i
задовольняє такi умови:
1) Ω(t) > 0, t > 0 i Ω(t) = 0, якщо
d∏
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) неспадна за кожною змiнною;
3) Ω(t) неперервна на Rd+;
4) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) 6 C1
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d.
Множину таких функцiй Ω(t) позначимо через Ψl.
Додатково будемо вимагати, щоб функцiя Ω(t) задовольняла умо-
ви (S) та (Sl), якi називають умовами Барi–Стєчкiна [1]. Сформу-
люємо їх:
332 С.Я. Янченко
а) функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) > 0 задовольняє умову (S) з α > 0,
якщо ϕ(τ)/τα майже зростає, тобто iснує така не залежна вiд
τ1 i τ2 стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τα1
6 C2
ϕ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 6 τ2 6 1;
б) функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) > 0 задовольняє умову (Sl), якщо
iснує таке γ, 0 < γ < l, що ϕ(τ)/τ l−γ майже спадає, тобто iснує
така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C3 > 0, що
ϕ(τ1)
τ l−γ1
> C3
ϕ(τ2)
τ l−γ2
, 0 < τ1 6 τ2 6 1.
Будемо вважати, що Ω(t) задовольняє умови (S) та (Sl), якщо
Ω(t) задовольняє цi умови за кожною змiнною tj при всiх фiксо-
ваних ti, i 6= j. У тому випадку, коли для Ω(t) виконана умова (S),
будемо говорити, що Ω(t) належить множинi Sα, а коли умова (Sl) —
множинi Sl. Стверджуючи це (також i для функцiї ω(t) однiєї змiн-
ної), використовуватимемо запис Ω(t) ∈ Φα,l, (ω(t) ∈ Φα,l), l ∈ N, де
множина Φα,l визначається спiввiдношенням Φα,l = Ψl ∩ Sα ∩ Sl.
Варто зазначити, що до множини Φα,l належать, наприклад,
функцiї
Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) =
d∏
j=1
t
rj
j{
log 1
tj
}bj
+
, якщо tj > 0, j = 1, d;
0, якщо
d∏
j=1
tj = 0,
де {log τ}+ = max {1; log τ}, rj , bj ∈ R, 0 < rj < l, j = 1, d.
Нехай S = S(Rd) — простiр Л. Шварца основних, нескiнченно
диференцiйовних на Rd комплекснозначних функцiй ϕ, що спада-
ють на нескiнченностi разом зi всiма своїми похiдними швидше за
будь-який степiнь функцiї |x|−1 (див., наприклад, [2], [3] (гл. 2)). Че-
рез S′ позначимо простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв на S.
Зазначимо, що елементами простору S′ є узагальненi функцiї. Якщо
f ∈ S′ i ϕ ∈ S, то 〈f, ϕ〉 позначає значення f на ϕ.
Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик класiв . . . 333
Перетворення Фур’є Fϕ : S → S визначається за формулою
(Fϕ)(λ) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(t)e−i(λ,t)dt ≡ ϕ̃(λ),
де λ = (λ1, . . . , λd), t = (t1, . . . , td).
Обернене перетворення Фур’є задається таким чином:
(F−1ϕ)(t) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(λ)ei(λ,t)dλ ≡ ϕ̂(t).
Перетворення Фур’є узагальнених функцiй f ∈ S′ (для нього ми
зберiгаємо те ж позначення) визначається формулою
〈Ff, ϕ〉 = 〈f,Fϕ〉, 〈f̃ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̃〉,
де ϕ ∈ S.
Обернене перетворення Фур’є узагальненої функцiї також позна-
чимо F−1f , i визначається воно аналогiчно до прямого перетворення
Фур’є за правилом
〈F−1f, ϕ〉 = 〈f,F−1ϕ〉, 〈f̂ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̂〉.
Зазначимо, що для 1 < p < ∞ iснує природне неперервне вкла-
дення Lp(Rd) в S′, i в цьому сенсi функцiї з Lp(Rd) ототожнюються
з елементами з S′.
Далi, для кожного вектора s = (s1, ..., sd), sj ∈ Z+, j = 1, d, розг-
лянемо множину
Q∗2s :=
{
λ = (λ1, . . . , λd) : η(sj)2
sj−1 6 |λj | < 2sj , λj ∈ R, j = 1, d
}
,
де η(0) = 0 i η(t) = 1, t > 0.
Нехай A ⊂ Rd — деяка множина. Позначимо через χA характе-
ристичну функцiю множини A i для f ∈ Lp(Rd) покладемо
δ∗s(f,x) = F−1
(
χQ∗
2s
· Ff
)
.
Надалi по тексту вживається запис A � B, який означає, що
для невiд’ємних величин A та B iснує додатна стала C така, що
334 С.Я. Янченко
C−1A 6 B 6 CA. Якщо тiльки B 6 CA (B > C−1A), то пишемо
B � A (B � A). Всi сталi Ci , i = 1, 2, ..., якi будуть зустрiчатися
у роботi, можуть залежати лише вiд тих параметрiв, що входять в
означення класу, метрики, в якiй оцiнюється похибка наближення,
та розмiрностi простору Rd.
Простори SΩ
p,θB, 1 < p < ∞, 1 6 θ 6 ∞, згiдно з наведеними
позначеннями можна означити таким чином [4]:
SΩ
p,θB =
{
f ∈ Lp(Rd) : Ω(t) ∈ Φα,l, ‖f‖SΩ
p,θB
<∞
}
,
де
‖f‖SΩ
p,θB
�
∑
s>0
(
Ω(2−s)
)−θ‖δ∗s(f, ·)‖θp
1
θ
, 1 6 θ <∞, (1)
i
‖f‖SΩ
p,∞B
� sup
s>0
‖δ∗s(f, ·)‖p
Ω(2−s)
, θ =∞, (2)
Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd).
Зауважимо, що простори функцiй SΩ
p,θB(Rd) є узагальненням вi-
домих просторiв Srp,θB(Rd). У випадку Ω(t) = tr = tr1 · . . . · trd ,
0 < rj < l, j = 1, d, простори SΩ
p,θB(Rd) та Srp,θB(Rd) збiгаються.
Нагадаємо, що простори Srp,θB(Rd) були введенi Т. I. Амановим [5]
i у випадку θ = ∞ збiгаються з просторами SrpH(Rd), якi вперше
були розглянутi С.М. Нiкольським [6]. Надалi, для спрощення за-
писiв, будемо використовувати замiсть SΩ
p,θB(Rd), а також Srp,θB(Rd)
та SrpH(Rd) позначення SΩ
p,θB, Srp,θB i SrpH вiдповiдно.
У випадку, коли ‖f‖SΩ
p,θB
6 1, будемо говорити, що функцiя f
належить класу SΩ
p,θB, зберiгаючи при цьому для класiв SΩ
p,θB тi ж
самi позначення, що i для просторiв SΩ
p,θB.
2. Наближення цiлими функцiями. Дамо означення апрок-
симативних характеристик, якi дослiджуються.
Носiєм узагальненої функцiї f будемо називати замикання N та-
кої множини точок N ⊂ Rd, що для довiльної ϕ ∈ S, яка дорiвнює
Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик класiв . . . 335
нулю в N, виконується рiвнiсть 〈f, ϕ〉 = 0. Носiй узагальненої функ-
цiї f будемо позначати через supp f . Також будемо говорити, що
функцiя f зосереджена на множинi G, якщо supp f ⊆ G.
Для вектора s = (s1, ..., sd), sj ∈ Z+, j = 1, d, i f ∈ Lq(Rd),
1 < q 6∞, покладемо
SQ̄n(f,x) =
∑
‖s‖1<n
δ∗s(f,x), (3)
де, як було позначено вище,
δ∗s(f,x) = F−1
(
χQ∗
2s
· Ff
)
,
i χQ∗
2s
— характеристична функцiя множини Q∗2s , а Ff i F−1f вiдпо-
вiдно пряме й обернене перетворення Фур’є функцiї f .
Зазначимо, що SQ̄n(f,x) — функцiя з носiєм на множинi
Q̄n =
⋃
‖s‖16n
Q∗2s .
Множина Q̄n називається схiдчастим гiперболiчним хрестом i при
цьому mes Q̄n � 2nnd−1, де mes Q̄n позначає лебегову мiру множини
Q̄n.
Для f ∈ Lq(Rd), 1 < q 6 ∞, розглянемо таку апроксимативну
характеристику
EQ̄n
(
f
)
q
:= ‖f(·)− SQ̄n(f, ·)‖q
i, вiдповiдно, для функцiонального класу SΩ
p,θB
EQ̄n
(
SΩ
p,θB
)
q
:= sup
f∈SΩ
p,θB
EQ̄n
(
f
)
q
. (4)
Нехай Θ — деяка множина в Zd+, M = M(Θ) =
⋃
s∈Θ
Q∗2s . Тодi для
f ∈ Lq(Rd), 1 < q 6∞, покладемо
SM(f,x) =
∑
s∈Θ
δ∗s(f,x).
336 С.Я. Янченко
Зауважимо, що SM(f,x) є цiлою функцiєю, яка належить про-
стору Lq(Rd) (див., наприклад, [2]) i suppSM(f,x) ⊆M.
Далi розглянемо апроксимативну характеристику
eFM
(
f
)
q
:= inf
Θ: mesM6M
‖f(·)− SM(f, ·)‖q ,
i для функцiонального класу SΩ
p,θB
eFM
(
SΩ
p,θB
)
q
:= sup
f∈SΩ
p,θB
eFM
(
f
)
q
. (5)
Безпосередньо з означення апроксимативних характеристик (4) i
(5) випливає, що у випадку mes Q̄n � mes M виконується спiввiдно-
шення
eFM
(
SΩ
p,θB
)
q
� EQ̄n
(
SΩ
p,θB
)
q
. (6)
Наведемо твердження, яке буде використане у процесi доведення.
Теорема A [7, c. 150]. Якщо 1 6 p 6 p′ 6∞, то для цiлої функцiї
експоненцiального типу gν ∈ Lp(Rd) має мiсце нерiвнiсть (рiзних
метрик)
‖gν‖Lp′ (Rd) 6 2d
d∏
j=1
νk
1
p−
1
p′
‖gν‖Lp(Rd).
Сформулюємо результати, у яких встановлено точнi за порядком
оцiнки величин (4) i (5).
Теорема 1. Нехай 1 < p < ∞, 1 6 θ 6 ∞, Ω(t) = ω(t1 · . . . · td),
де ω ∈ Φα,l з α > 1
p . Тодi має мiсце порядкове спiввiдношення
EQ̄n
(
SΩ
p,θB
)
∞ � ω(2−n)2
n
p n(d−1)(1− 1
θ ). (7)
Теорема 2. Нехай 1 < p <∞, 1 6 θ 6∞ i Ω(t) = ω(t1 · . . . ·td), де
ω ∈ Φα,l з α > 1
p . Тодi для будь-яких натуральних n та M = M(n)
таких, що M � 2nnd−1 справедливе порядкове спiввiдношення
eFM
(
SΩ
p,θB
)
∞ � ω(2−n)2
n
p n(d−1)(1− 1
θ ). (8)
Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик класiв . . . 337
Перш нiж перейти до доведення сформульованих теорем, вiдзна-
чимо, що з оцiнок (7) i (8) випливає, що EQ̄n
(
SΩ
p,θB
)
∞ � e
F
M
(
SΩ
p,θB
)
∞,
деM � 2nnd−1. Оскiльки має мiсце спiввiдношення (6), то достатньо
встановити оцiнку зверху в теоремi 1 i оцiнку знизу в теоремi 2.
Доведення оцiнки зверху в теоремi 1. Нехай f ∈ SΩ
p,θB. То-
дi, скориставшись нерiвнiстю Мiнковського та теоремою A, можемо
записати
‖f(·)− SQ̄n(f, ·)‖∞ =
∥∥∥∥f(·)−
∑
‖s‖16n
δ∗s(f, ·)
∥∥∥∥
∞
6
∑
‖s‖1>n
‖δ∗s(f, ·)‖∞ �
�
∑
‖s‖1>n
2
‖s‖1
p ‖δ∗s(f, ·)‖p. (9)
Щоб продовжити оцiнку (9), розглянемо спочатку випадок, коли
1 6 θ <∞. Тодi, застосувавши до останньої суми нерiвнiсть Гель-
дера (з вiдповiдною модифiкацiєю при θ = 1) i врахувавши, що Ω
задовольняє умову (S) з α > 1
p , будемо мати
∑
‖s‖1>n
2
‖s‖1
p ‖δ∗s(f, ·)‖p 6
∑
‖s‖1>n
(Ω(2−s))−θ‖δ∗s(f, ·)‖θp
1
θ
×
×
∑
‖s‖1>n
(
Ω(2−s)2
‖s‖1
p
) θ
θ−1
1− 1
θ
�
� ‖f‖SΩ
p,θB
∑
‖s‖1>n
(
Ω(2−s)
2−α‖s‖1
2−(α− 1
p )‖s‖1
) θ
θ−1
1− 1
θ
�
� ω(2−n)
2−αn
2−(α− 1
p )nn(d−1)(1− 1
θ ) = ω(2−n)2
n
p n(d−1)(1− 1
θ ). (10)
Нехай тепер θ =∞. Тодi, беручи до уваги, що згiдно з (2)
‖δ∗s(f, ·)‖p � Ω(2−s),
338 С.Я. Янченко
оскiльки Ω ∈ Φα,l з α > 1
p , для останньої суми з (9) можемо записати∑
‖s‖1>n
2
‖s‖1
p ‖δ∗s(f, ·)‖p �
∑
‖s‖1>n
2
‖s‖1
p Ω(2−s)�
� ω(2−n)
2−αn
∑
‖s‖1>n
2−(α− 1
p )‖s‖1 � ω(2−n)2
n
p nd−1. (11)
Таким чином, спiвставляючи (10) i (11), отримаємо оцiнку зверху
в (7)
EQ̄n
(
SΩ
p,θB
)
∞ � ω(2−n)2
n
p n(d−1)(1− 1
θ ).
Доведення оцiнки знизу в теоремi 2. Нехай
Θ(n) =
{
s = (s1, . . . , sd) ∈ Zd+ : s1 + . . .+ sd = n
}
i Q̃n =
⋃
s∈Θ(n)
Q∗2s ,
тодi mes Q̃n � 2nnd−1.
Вкажемо екстремальнi функцiї f ∈ SΩ
p,θB, якi реалiзують шукану
оцiнку знизу. Покладемо
Dk(x) =
d∏
j=1
Dkj (xj), k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd+,
де
Dkj (xj) =
√
2
π
(
2 sin
xj
2
cos
2kj + 1
2
xj
)
· x−1
j .
У роботi [8] показано, що для перетворення Фур’є функцiї Dk
справедлива рiвнiсть
FDk(x) = χk(x) =
d∏
j=1
χkj (xj),
де
χkj (xj) =
1, kj < |xj | < kj + 1,
1
2 , |xj |=kj , |xj |=kj+1,
0 — в iнших випадках,
χ0(xj) =
1, |xj | < 1,
1
2 , |xj | = 1,
0, |xj | > 1.
Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик класiв . . . 339
Вiдповiдно для оберненого перетворення будемо мати
F−1χk(x) = Dk(x).
Вiдзначимо, що при 1 < p <∞ має мiсце оцiнка [8]∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
p
� 2‖s‖1(1− 1
p ),
де
ρ+(s) :=
{
k = (k1, ..., kd) : η(sj)2
sj−1 6 kj < 2sj , kj ∈ Z+, j = 1, d
}
.
Розглянемо функцiю
f1(x) = C4ω(2−n)2−n(1− 1
p )n−
d−1
θ
∑
s∈Θ(n)
∑
k∈ρ+(s)
Dk(x), C4 > 0,
якщо 1 6 θ <∞, i
f2(x) = C5ω(2−n)2−n(1− 1
p )
∑
s∈Θ(n)
∑
k∈ρ+(s)
Dk(x), C5 > 0,
якщо θ =∞.
Переконаємося, що данi функцiї належать класам SΩ
p,θB i SΩ
p,∞B
вiдповiдно.
Для f1 будемо мати
‖f1‖SΩ
p,θB
�
∑
s∈Θ(n)
(Ω(2−s))−θ‖δ∗s(f1, ·)‖θp
1
θ
�
�
(ω(2−n))θ2−n(1− 1
p )θn−(d−1)
∑
s∈Θ(n)
(Ω(2−s))−θ
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥θ
p
1
θ
�
� 2−n(1− 1
p )n−
d−1
θ
∑
s∈Θ(n)
2‖s‖1(1− 1
p )
1
θ
=
340 С.Я. Янченко
= 2−n(1− 1
p )n−
d−1
θ 2n(1− 1
p )
∑
s∈Θ(n)
1
1
θ
� 1.
Для f2 будемо мати
‖f2‖SΩ
p,∞
� sup
s∈Θ(n)
(Ω(2−s))−1‖δ∗s(f2, ·)‖p �
� ω(2−n)2−n(1− 1
p ) sup
s∈Θ(n)
(Ω(2−s))−1
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
p
�
� 2−n(1− 1
p ) sup
s∈Θ(n)
2‖s‖1(1− 1
p ) � 1.
Далi, нехай M — довiльна множина векторiв s = (s1, . . . , sd) з
цiлими невiд’ємними координатами така, що для N =
⋃
s∈MQ2s має
мiсце спiввiдношення mes N 6M . У подальших мiркуваннях будемо
вважати, що числа M i n пов’язанi спiввiдношенням
mes Q̃n 6 4 mes N < mes Q̃n+1. (12)
Тодi можемо записати
eFM
(
SΩ
p,θB
)
∞ > eFM
(
f1)∞ = inf
mesN6M
‖f1(·)− SM(f1, ·)‖∞ >
> inf
mesN6M
∣∣‖f1(·)‖∞ − ‖SM(f1, ·)‖∞
∣∣. (13)
Зауважимо, що в SM(f1, ·), за рахунок вибору f1, будуть входити
лише тi доданки δ∗s (f1, ·), для яких s ∈M∩Θ(n). Вiдзначимо також,
що має мiсце оцiнка [9]∥∥∥∥ ∑
s∈Θ(n)
∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
∞
� 2nnd−1. (14)
Скориставшись (14) та (12), (13) можемо продовжити наступним
чином
eFM
(
SΩ
p,θ
)
∞ > ω(2−n)2−n(1− 1
p )n−
d−1
θ (2nnd−1 −M)�
Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик класiв . . . 341
� ω(2−n)2−n(1− 1
p )n−
d−1
θ 2nnd−1 = ω(2−n)2
n
p n(d−1)(1− 1
θ ).
Аналогiчно, як i для f1, у випадку θ =∞, отримаємо
‖f2(·)− SM(f2, ·)‖∞ � ω(2−n)2−
n
p nd−1.
Оцiнки знизу в теоремi 2 встановлено.
Зауваження 1. Вiдзначимо, що результат теореми 1 доповнює
дослiдження величини EQ̄n(SΩ
p,θB)q у випадку q = ∞. Для ряду iн-
ших спiввiдношень мiж параметрами p, q оцiнки даної апрокисма-
тивної характеристики встановлено в [4, 10]. Окрiм цього, оцiнку (7)
у випадку, коли Ω(t) = tr = tr1 · . . . · trd , 0 < rj < l, j = 1, d встанов-
лено в [9, 11].
Зауваження 2. Питанню знаходження точних за порядком оцi-
нок апроксимативної характеристики аналогiчної до величини (4)
перiодичних функцiй багатьох змiнних з класiв типу Нiкольського-
Бєсова у рiвномiрнiй метрицi (наближення схiдчастими гiперболiч-
ними сумами Фур’є) присвяченi роботи [12 — 15].
Зауваження 3. Порядковi оцiнки величини eFM
(
SΩ
p,θB
)
q
для ря-
ду iнших спiввiдношень мiж параметрами p, q i θ встановлено в [16],
де також показано, що iснують спiввiдношення мiж параметрами p,
q, θ при яких величини eFM
(
SΩ
p,θB
)
q
i EQ̄n
(
SΩ
p,θB
)
q
мають рiзнi поряд-
ки. Окрiм цього, оцiнку (8) у випадку, коли Ω(t) = tr = tr1 · . . . · trd ,
0 < rj < l, j = 1, d, встановлено в [9].
Зауваження 4. Дослiдження аналогiчної до (5) апроксиматив-
ної характеристики класiв типу Нiкольського–Бєсова перiодичних
функцiй багатьох змiнних у рiвномiрнiй метрицi (так зване найкра-
ще ортогональне тригонометричне наближення) проводилося в ро-
ботах [17, 18].
1. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциаль-
ные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1956. —
5. — C. 483 – 522.
2. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод
мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функ-
ций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1969. — 105. — C. 89 – 167.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М.: Наука,
1967. — 436 c.
342 С.Я. Янченко
4. Стасюк С.А., Янченко С.Я. Найкраще наближення класiв BΩ
p,θ функцiй
багатьох змiнних у просторi Lp(Rd) // Теорiя наближення функцiй та су-
мiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2008. — 5,
№ 1. — С. 367 – 384.
5. Аманов Т.И. Теоремы представления и вложения для функциональных
пространств S(r)
p,θB(Rn) и S(r)∗
p,θ B, (0 6 xj 6 2π; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат.
ин-та АН СССР. — 1965. — 77. — С. 5 – 34.
6. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной,
удовлетворяющей кратному условию Гельдера // Сиб. мат. журн. —
1963. — 4, № 6. — C. 1342 – 1364.
7. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 c.
8. Wang Heping, Sun Yongsheng. Approximation of multivariate functions with
certain mixed smoothness by entire functions // Northeast. Math. J. — 1995. —
11, № 4. — P. 454 – 466.
9. Янченко С.Я. Оцiнки апроксимативних характеристик класiв функцiй
Srp,θB(Rd) у рiвномiрнiй метрицi // Теорiя наближення функцiй та су-
мiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013. — 10,
№ 1. — С. 328 – 340.
10. Янченко С.Я. Наближення класiв BΩ
p,θ функцiй багатьох змiнних цiлими
функцiями у просторi Lq(Rd) // Укр. мат. журн. — 2010. — 62, № 1. —
С. 123 – 135.
11. Янченко С.Я. Наближення функцiй iз класiв Srp,θB у рiвномiрнiй метри-
цi // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 5. — С. 698 – 705.
12. Романюк А.С. Приближение классов Brp,θ периодических функций мно-
гих переменных линейными методами и наилучшие приближения // Мат.
сб. — 2004. — 195, № 2. — С. 91 – 116.
13. Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций
с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. — 1988. — 189. — C. 138 – 168.
14. Стасюк С.А. Наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох
змiнних у рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 11. —
С. 1551 – 1559.
15. Стасюк С.А. Наилучшее приближение периодических функций несколь-
ких переменных из классов Bωp,θ в равномерной метрике // Тр. ИММ УрО
РАН. — 2012. — 18, № 4. — С. 258 – 266.
16. Миронюк В.В., Янченко С.Я. Наближення функцiй з узагальнених класiв
Нiкольського–Бєсова цiлими функцiями у просторах Лебега // Мат.
Студiї. — 2013. — 39, № 2. — С. 190 – 202.
Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик класiв . . . 343
17. Романюк А.С. Наилучшие тригонометрические приближения классов пе-
риодических функций многих переменных в равномерной метрике // Мат.
заметки. — 2007. — 82, № 2. — С. 247 – 261.
18. Конограй А.Ф., Стасюк С.А. Найкращi ортогональнi тригонометричнi
наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Тео-
рiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. — 2007. — 4, № 1. — С. 151 – 171.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-84 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:18Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a0/32a540256712f5ba63971c6d6821e4a0.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-842018-01-29T14:44:04Z Order estimates for approximative characteristics of functions from generalized classes of mixed smoothness of the Nikol’skii-Besov type Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з узагальених класів мішаної гладкості типу Нікольського-Бєсова Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. We obtain the exact order estimates of the approximation classes $S^{\Omega}_{p,\theta}B$ functions of many variables defined on $\mathbb{R}^d$ by using entire functions of exponential type with supported of their Fourier transform on some sets in uniform metric Одержано точні за порядком оцінки наближення класів $S^{\Omega}_{p,\theta}B$ функцій багатьох змінних, які визначені на $\mathbb{R}^d$ за допомогою цілих функцій експоненціального типу з носієм їх перетворення Фур'є на певних множинах у рівномірній метриці Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/84 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 330-343 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 330-343 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 330-343 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/84/81 |
| spellingShingle | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. Order estimates for approximative characteristics of functions from generalized classes of mixed smoothness of the Nikol’skii-Besov type |
| title | Order estimates for approximative characteristics of functions from generalized classes of mixed smoothness of the Nikol’skii-Besov type |
| title_alt | Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з узагальених класів мішаної гладкості типу Нікольського-Бєсова |
| title_full | Order estimates for approximative characteristics of functions from generalized classes of mixed smoothness of the Nikol’skii-Besov type |
| title_fullStr | Order estimates for approximative characteristics of functions from generalized classes of mixed smoothness of the Nikol’skii-Besov type |
| title_full_unstemmed | Order estimates for approximative characteristics of functions from generalized classes of mixed smoothness of the Nikol’skii-Besov type |
| title_short | Order estimates for approximative characteristics of functions from generalized classes of mixed smoothness of the Nikol’skii-Besov type |
| title_sort | order estimates for approximative characteristics of functions from generalized classes of mixed smoothness of the nikol’skii-besov type |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/84 |
| work_keys_str_mv | AT yanchenkosya orderestimatesforapproximativecharacteristicsoffunctionsfromgeneralizedclassesofmixedsmoothnessofthenikolskiibesovtype AT ânčenkosâ orderestimatesforapproximativecharacteristicsoffunctionsfromgeneralizedclassesofmixedsmoothnessofthenikolskiibesovtype AT yanchenkosya porâdkovíocínkiaproksimativnihharakteristikfunkcíjzuzagalʹenihklasívmíšanoígladkostítipuníkolʹsʹkogobêsova AT ânčenkosâ porâdkovíocínkiaproksimativnihharakteristikfunkcíjzuzagalʹenihklasívmíšanoígladkostítipuníkolʹsʹkogobêsova |