An extremal decomposition of the complex plane with fixed poles
Paper is devoted to extremal problems in geometric function theory of complex variables associated with estimates of functionals defined on systems of non-overlapping domains.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/93 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552624758194176 |
|---|---|
| author | Bakhtin, Alexander Bakhtina, Galina Денега, Ирина Бахтин, Александр Бахтина, Галина Бахтин, Александр Бахтина, Галина Денега, Ирина |
| author_facet | Bakhtin, Alexander Bakhtina, Galina Денега, Ирина Бахтин, Александр Бахтина, Галина Бахтин, Александр Бахтина, Галина Денега, Ирина |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Александр Бахтин",
"institution": null
},
{
"author": "Галина Бахтина",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bakhtin, Alexander |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | Paper is devoted to extremal problems in geometric function theory of complex variables associated with estimates of functionals defined on systems of non-overlapping domains. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 34–38
УДК 517.54
А.К. Бахтин 1, Г.П. Бахтина 2,
И. В. Денега 3
1,3 (Институт математики НАН Украины, Киев)
2 (Национальный технический университет Украины “Киевский
политехнический институт имени Игоря Сикорского”, Киев)
1 alexander.bahtin@yandex.ru, 2 bakhtina_galina@mail.ru,
3 iradenega@yandex.ru
Экстремальное разбиение
комплексной плоскости с
фиксированными полюсами
Посвящается 70-летию профессора Юрия Борисовича Зелинского
Работа посвящена исследованию экстремальних проблем геометриче-
ской теории функций комплексного переменного, связанных с оценка-
ми функционалов, заданных на системах неналегающих областей.
Paper is devoted to extremal problems in geometric function theory of
complex variables associated with estimates of functionals defined on
systems of non-overlapping domains.
Задачи о максимизации произведения внутренних радиусов непере-
секающихся областей хорошо известны в геометрической теории функ-
ций комплексного переменного [1-14]. Одна из задач такого рода рас-
сматривается в данной статье.
Пусть N, R – множество натуральных и вещественных чисел, соот-
ветственно, C — комплексная плоскость, C = C∪{∞} — расширенная
c© А.К. Бахтин, Г.П. Бахтина, И. В. Денега, 2017
Экстремальное разбиение комплексной плоскости. . . 35
комплексная плоскость или сфера Римана. Пусть r(B, a) — внутрен-
ний радиус области B ⊂ C, относительно точки a ∈ B (см., напри-
мер, [1–4]). Пусть U1 := {z ∈ C : |z| ≤ 1} — единичный круг.
Рассмотрим следующую задачу.
Формулировка проблемы. Пусть a0 = 0, |a1| = . . . = |an| = 1,
ak ∈ Bk ∈ C, k = 0, n, где B0, . . . , Bn — взаимно непересекающиеся
области и B1, . . . , Bn — симметричны относительно единичной окруж-
ности. Требуется найти точную верхнюю грань произведения
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak).
При γ = 1 эта задача была поставлена, как открытая проблема в
работе [3]. Для n ≥ 2 и γ = 1 ее решил Л.В. Ковалев [5,6]. Следующая
теорема существенно дополняет результаты работ [5–7]. Имеет место
результат.
Теорема 1. Пусть γ ∈ (0, 2]. Для произвольно фиксированного набо-
ра взаимно неналегающих областей B0, B1, B2, таких, что 0 ∈ B0,
1 ∈ B1, −1 ∈ B2, причем области Bk, k ∈ {1, 2}, обладают сим-
метрией относительно единичной окружности {w ∈ C : |w| = 1},
справедливо неравенство
rγ (B0, 0) r (B1, 1) r (B2,−1) ≤
≤ 21−γ
[
22γ+6 · (2γ)γ
(2−
√
2γ)
1
2 (2−
√
2γ)2 · (2 +
√
2γ)
1
2 (2+
√
2γ)2
] 1
2
.
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда B0, B1, B2,
являются круговыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
4 + 2(4− γ)w2 + γ
w2(w2 − 1)2
dw2. (1)
Доказательство. Пусть
Pk := {w : (−1)k+1Imw > 0}, k ∈ {1, 2}, D1 = P1 ∩ U1,
D2 = P2 ∩ U1, D3 = (C\U1) ∩ P1, D4 = (C\U1) ∩ P2, π(w) =
2w
1 + w2
.
36 А.К. Бахтин, Г.П. Бахтина, И.В. Денега
Тогда из определения функции π(w) вытекает, что
|π(w)| ∼ 2|w|, w → 0, w ∈ Pk,
|π(w)− 1| ∼ 1
2
|w − 1|2 , w → 1, w ∈ Pk.
Результат разделяющего преобразования области B0 относительно
функции π(w) и системы областей {Dk}4k=1 обозначим через B
(k)
0 ,
k = 1, 4; результат разделяющего преобразования области Bj ,
j ∈ {1, 2}, относительно функции 2w/(1 + w2) и системы областей
{Dk}4k=1, обозначим — B
(k)
1 , B
(k)
2 , k = 1, 4. Далее, используя соответ-
ствующие результаты работ [3, 4], имеем неравенства
r (B0, 0) ≤
[
1
2
r
(
B
(1)
0 , 0
)
· 1
2
r
(
B
(2)
0 , 0
)] 1
2
,
r (B1, 1) ≤
[
2r
(
B
(1)
1 , 1
)
2r
(
B
(2)
1 , 1
)
2r
(
B
(3)
1 , 1
)
2r
(
B
(4)
1 , 1
)] 1
8
,
r (B2,−1) ≤
[
2r
(
B
(1)
2 ,−1
)
2r
(
B
(2)
2 ,−1
)
2r
(
B
(3)
2 ,−1
)
2r
(
B
(4)
2 ,−1
)] 1
8
.
Отсюда
rγ (B0, 0) r (B1, 1) r (B2,−1) ≤
[
1
2
r
(
B
(1)
0 , 0
)
· 1
2
r
(
B
(2)
0 , 0
)] γ
2
×
×
[
2r
(
B
(1)
1 , 1
)
2r
(
B
(2)
1 , 1
)
2r
(
B
(3)
1 , 1
)
2r
(
B
(4)
1 , 1
)] 1
8 ×
×
[
2r
(
B
(1)
2 ,−1
)
2r
(
B
(2)
2 ,−1
)
2r
(
B
(3)
2 ,−1
)
2r
(
B
(4)
2 ,−1
)] 1
8
.
Поскольку области B1, B2, обладают симметрией относительно еди-
ничной окружности, тогда
rγ (B0, 0) r (B1, 1) r (B2,−1) ≤
[
1
2
r
(
B
(1)
0 , 0
)
· 1
2
r
(
B
(2)
0 , 0
)] γ
2
×
×
[(
2r
(
B
(1)
1 , 1
))2 (
2r
(
B
(2)
1 , 1
))2] 1
8
×
Экстремальное разбиение комплексной плоскости. . . 37
×
[(
2r
(
B
(1)
2 ,−1
))2 (
2r
(
B
(2)
2 ,−1
))2] 1
8
.
Далее, используя несложные преобразования, получаем
rγ (B0, 0) r (B1, 1) r (B2,−1) ≤
≤ 2
[
2−2γr2γ
(
B
(1)
0 , 0
)] 1
4
[
r
(
B
(1)
1 , 1
)
r
(
B
(2)
1 , 1
)] 1
4 ×
×
[
2−2γr2γ
(
B
(2)
0 , 0
)] 1
4
[
r
(
B
(1)
2 ,−1
)
r
(
B
(2)
2 ,−1
)] 1
4 ≤
≤ 21−γ
[
r2γ
(
B
(1)
0 , 0
)
r
(
B
(1)
1 , 1
)
r
(
B
(1)
2 ,−1
)] 1
4 ×
×
[
r2γ
(
B
(2)
0 , 0
)
r
(
B
(2)
1 , 1
)
r
(
B
(2)
2 ,−1
)] 1
4
,
где B(k)
0 , B(k)
1 , B(k)
2 , k ∈ {1, 2}, — круговые области квадратичного
дифференциала
Q(z)dz2 = − (2− γ)z2 + γ
z2(z2 − 1)2
dz2 (2)
(0 ∈ B(k)
0 , 1 ∈ B(k)
1 , −1 ∈ B(k)
2 ). Поскольку γ ∈ (0, 2], тогда согласно
работам [1–3] справедливо неравенство
r2γ
(
B
(1)
0 , 0
)
r
(
B
(1)
1 , 1
)
r
(
B
(1)
2 ,−1
)
≤
≤ 22γ+6 · (2γ)γ · (2−
√
2γ)−
1
2 (2−
√
2γ)2 · (2 +
√
2γ)−
1
2 (2+
√
2γ)2 .
Отсюда
rγ (B0, 0) r (B1, 1) r (B2,−1) ≤
≤ 21−γ
[
22γ+6 · (2γ)γ · (2−
√
2γ)−
1
2 (2−
√
2γ)2 · (2 +
√
2γ)−
1
2 (2+
√
2γ)2
] 1
4 ×
×
[
22γ+6 · (2γ)γ · (2−
√
2γ)−
1
2 (2−
√
2γ)2 · (2 +
√
2γ)−
1
2 (2+
√
2γ)2
] 1
4
=
= 21−γ
[
22γ+6 · (2γ)γ · (2−
√
2γ)−
1
2 (2−
√
2γ)2 · (2 +
√
2γ)−
1
2 (2+
√
2γ)2
] 1
2
.
Таким образом, основное неравенство теоремы 1 доказано. Осуществ-
ляя в (2) замену переменной по формуле z = 2w/(1 + w2), получаем
квадратичный дифференциал (1). Знак равенства проверяется непо-
средственно. Теорема 1 доказана.
38 А.К. Бахтин, Г.П. Бахтина, И.В. Денега
Список литературы
[1] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-
алгебраические структуры и геометрические методы в комплекс-
ном анализе. // Працi Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т
математики НАН України, 2008. — 73. — 308 с.
[2] Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экс-
тремальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та
АН СССР. — 1988. — 168. — С. 48 – 66.
[3] Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функ-
ций комплексного переменного // Успехи мат. наук. — 1994. — 49,
№ 1(295). — С. 3 – 76.
[4] Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометри-
ческой теории функций комплексного переменного. — Владивосток:
"Дальнаука" ДВО РАН, 2009. — 390 с.
[5] Ковалев Л.В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными по-
люсами на окружности // Дальневост. мат. сб. — 1996. — 2. — С. 96 — 98.
[6] Ковалев Л.В. О внутренних радиусах симметричных неналегающих об-
ластей // Изв. вузов. Матем. — 2000. — № 6. — С. 80 – 81.
[7] Бахтина Г.П. О конформных радиусах симметричных неналегающих
областей // Современ. вопр. веществен. и комплексн. анализа. — К.:
Ин-т математики АН УССР, 1984. — С. 21 – 27.
[8] Бахтин А.К. Некоторые задачи в теории неналегающих областей //
Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 6. — С. 723 – 731.
[9] Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих об-
ластей и открытых множеств // Укр. мат. журн. — 2009. — 61. — № 5. —
С. 596 — 610.
[10] Бахтин А.К., Денега И.В. Некоторые оценки функционалов для N -
лучевых систем точек // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
К.: Iн-т математики НАН України, 2011. — 8, № 1. — C. 12 — 21.
[11] Заболотний Я.В. Застосування роздiляючого перетворення в однiй за-
дачi про неперетиннi областi // Доповiдi НАН України. — 2011. —
№ 9. — С. 11 — 14.
[12] Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР. — 1934. — 5. — С. 159 – 245.
[13] Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображе-
ния. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 256 с.
[14] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного перемен-
ного. — М.: Наука, 1966. — 628 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-93 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:24Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/05/054f69c9df857e755d772785962e4105.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-932018-02-13T13:58:16Z An extremal decomposition of the complex plane with fixed poles Экстремальное разбиении комплексной плоскости с фиксированными полюсами Экстремальное разбиении комплексной плоскости с фиксированными полюсами Bakhtin, Alexander Bakhtina, Galina Денега, Ирина Бахтин, Александр Бахтина, Галина Бахтин, Александр Бахтина, Галина Денега, Ирина Paper is devoted to extremal problems in geometric function theory of complex variables associated with estimates of functionals defined on systems of non-overlapping domains. Работа посвящена исследованию экстремальних проблем геометрической теории функций комплексного переменного, связанных с оценками функционалов, заданных на системах неналегающих областей.Робота присвячена дослідженню екстремальних проблем геометричної теорії функцій комплексного змінного, пов'язаних з оцінками функціоналів, заданих на системах неналегающіх областей. Робота присвячена дослідженню екстремальних проблем геометричної теорії функцій комплексної змінної, пов'язаних з оцінками функціоналів, заданих на системах неперетинних областей. Інститут математики НАН України 2017-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/93 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 34-38 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 34-38 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 34-38 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/93/88 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Bakhtin, Alexander Bakhtina, Galina Денега, Ирина Бахтин, Александр Бахтина, Галина Бахтин, Александр Бахтина, Галина Денега, Ирина An extremal decomposition of the complex plane with fixed poles |
| title | An extremal decomposition of the complex plane with fixed poles |
| title_alt | Экстремальное разбиении комплексной плоскости с фиксированными полюсами Экстремальное разбиении комплексной плоскости с фиксированными полюсами |
| title_full | An extremal decomposition of the complex plane with fixed poles |
| title_fullStr | An extremal decomposition of the complex plane with fixed poles |
| title_full_unstemmed | An extremal decomposition of the complex plane with fixed poles |
| title_short | An extremal decomposition of the complex plane with fixed poles |
| title_sort | extremal decomposition of the complex plane with fixed poles |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/93 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinalexander anextremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bakhtinagalina anextremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT denegairina anextremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bahtinaleksandr anextremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bahtinagalina anextremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bahtinaleksandr anextremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bahtinagalina anextremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT denegairina anextremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bakhtinalexander ékstremalʹnoerazbieniikompleksnojploskostisfiksirovannymipolûsami AT bakhtinagalina ékstremalʹnoerazbieniikompleksnojploskostisfiksirovannymipolûsami AT denegairina ékstremalʹnoerazbieniikompleksnojploskostisfiksirovannymipolûsami AT bahtinaleksandr ékstremalʹnoerazbieniikompleksnojploskostisfiksirovannymipolûsami AT bahtinagalina ékstremalʹnoerazbieniikompleksnojploskostisfiksirovannymipolûsami AT bahtinaleksandr ékstremalʹnoerazbieniikompleksnojploskostisfiksirovannymipolûsami AT bahtinagalina ékstremalʹnoerazbieniikompleksnojploskostisfiksirovannymipolûsami AT denegairina ékstremalʹnoerazbieniikompleksnojploskostisfiksirovannymipolûsami AT bakhtinalexander extremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bakhtinagalina extremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT denegairina extremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bahtinaleksandr extremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bahtinagalina extremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bahtinaleksandr extremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT bahtinagalina extremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles AT denegairina extremaldecompositionofthecomplexplanewithfixedpoles |