Estimates for approximative characteristics of classes $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ of functions in the uniform metric.
Exact-order estimates for approximation of function from the classes $S^{r}_{p,\theta}B$ by entire functions of the exponential type in the metric of the space $L_{\infty}$ are established
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Author Affiliations: |
|
| Keywords: | keywords |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/96 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552627231784960 |
|---|---|
| author | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_facet | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. Я. Янченко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Yanchenko, S. Ya. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | Exact-order estimates for approximation of function from the classes $S^{r}_{p,\theta}B$ by entire functions of the exponential type in the metric of the space $L_{\infty}$ are established |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 328�340
ÓÄÊ 517.51
C.ß. ßí÷åíêî (Ií-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â)
ÎÖIÍÊÈ ÀÏÐÎÊÑÈÌÀÒÈÂÍÈÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ
ÊËÀÑIÂ ÔÓÍÊÖIÉ Sr
p,θB(Rd) Ó ÐIÂÍÎÌIÐÍIÉ ÌÅÒÐÈ-
ÖI
Exact-order estimates for approximation of function from the classes Sr
p,θB
by entire functions of the exponential type in the metric of the space L∞ are
established.
Îäåðæàíî òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè íàáëèæåííÿ ôóíêöié ç êëàñiâ Sr
p,θB
öiëèìè ôóíêöiÿìè åêñïîíåíöiàëüíîãî òèïó â ìåòðèöi ïðîñòîðó L∞.
Ó ðîáîòi ïðîäîâæåíî âèâ÷åííÿ àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê
êëàñiâ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ Íiêîëüñüêîãî�Á¹ñîâà Sr
p,θB(Rd) ó
ïðîñòîði Lq(Rd). Âñòàíîâëåíî ïîðÿäîê íàáëèæåííÿ ôóíêöié iç çãàäà-
íèõ êëàñiâ öiëèìè ôóíêöiÿìè çi ñïåêòðîì çîñåðåäæåíèì íà ìíîæèíi,
ÿêà íàçèâà¹òüñÿ ñõiä÷àñòèì ãiïåðáîëi÷íèì õðåñòîì. Òàêîæ çíàéäåíî
ïîðÿäîê íàáëèæåííÿ öiëèìè ôóíêöiÿìè çi ñïåêòðîì íà ìíîæèíàõ,
âiäìiííèõ âiä ñõiä÷àñòîãî ãiïåðáîëi÷íîãî õðåñòà i ïðè öüîìó ïîõèáêà
íàáëèæåííÿ îöiíþ¹òüñÿ ó ðiâíîìiðíié ìåòðèöi.
1. Îñíîâíi ïîçíà÷åííÿ òà äîïîìiæíi òâåðäæåííÿ. Íåõàé
Rd � d-âèìiðíèé åâêëiäiâ ïðîñòið ç åëåìåíòàìè x = (x1, ..., xd) i
(x,y) = x1y1 + ... + xdyd. Lq(Rd), 1 6 q 6 ∞, � ïðîñòið âèìiðíèõ
ôóíêöié f(x) = f(x1, ..., xd) çi ñêií÷åííîþ íîðìîþ
‖f‖q :=
(∫
Rd
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 6 q < ∞,
‖f‖∞ := ess sup
x∈Rd
|f(x)|.
Äëÿ ôóíêöi¨ f(x) ∈ Lq(Rd) âèçíà÷èìî ðiçíèöþ 1-ãî ïîðÿäêó ç
êðîêîì h çà çìiííîþ xj òàêèì ÷èíîì:
∆h,jf(x) = f(x1, . . . , xj−1, xj + h, xj+1, . . . , xd)− f(x)
c© Ñ.ß. ßí÷åíêî, 2013
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ ôóíêöié . . . 329
i, âiäïîâiäíî, l-ãî ïîðÿäêó, l ∈ N,
∆l
h,jf(x) =
l︷ ︸︸ ︷
∆h,j . . .∆h,j f(x).
Íåõàé çàäàíî âåêòîðè h = (h1, . . . , hd), hj ∈ R, òà k = (k1, . . . , kd),
kj ∈ Z+, j = 1, d. Òîäi ìiøàíà ðiçíèöÿ k-ãî ïîðÿäêó ç âåêòîðíèì
êðîêîì h âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíiñòþ
∆k
hf(x) = ∆k1
h1,1∆
k2
h2,2 . . .∆kd
hd,df(x).
Êðiì öüîãî ïîêëàäåìî ed = {1, 2, ..., d}, d ∈ N, i e = {j1, ..., jm},
m ∈ N, m 6 d, 1 6 j1 < j2 < ... < jm 6 d, e ⊂ ed. Çàäàìî íåâiä'¹ìíèé
âåêòîð re = (rj1 , . . . , rjm
), rj > 0, j = 1, d, i r̄e = (r̄1, . . . , r̄d), äå
r̄i =
{
ri, i ∈ e;
0, i ∈ ed\e.
Ïðîñòîðè Sr
p,θB(Rd), 1 6 p, θ 6 ∞, äå r � çàäàíèé âåêòîð iç
íåâiä'¹ìíèìè êîîðäèíàòàìè îçíà÷àþòüñÿ òàêèì ÷èíîì (äèâ. [1, 2]):
1) ÿêùî 1 6 θ < ∞, òî
Sr
p,θB(Rd) =
{
f ∈ Lp(Rd) : ‖f‖Sr
p,θB(Rd) < ∞
}
,
äå íîðìà çàäà¹òüñÿ ðiâíiñòþ
‖f‖Sr
p,θB(Rd) = ‖f‖p +
∑
e⊂ed
2∫
0
. . .
2∫
0
∏
j∈e
h
−θrj−1
j ‖∆ke
hef(·)‖θ
p
∏
j∈e
dhj
1
θ
;
2) ÿêùî θ = ∞, òî
Sr
p,∞B(Rd) =
{
f ∈ Lp(Rd) : ‖f‖Sr
p,∞B(Rd) < ∞
}
i
‖f‖Sr
p,∞B(Rd) = ‖f‖p +
∑
e⊂ed
sup
h>0
∏
j∈e
h
−rj
j ‖∆ke
hef(·)‖p,
330 Ñ.ß. ßí÷åíêî
äå kj > rj , j = 1, d. Çàçíà÷èìî, ùî ïðîñòîðè ôóíêöié Sr
p,θB(Rd)
áóëè ââåäåíi Ò. I. Àìàíîâèì [2] i ïðè çíà÷åííi ïàðàìåòðà θ = ∞
çáiãàþòüñÿ ç ïðîñòîðàìè Sr
p H(Rd), ÿêi ââiâ Ñ. Ì. Íiêîëüñüêèé [3].
Äàëi ç ìåòîþ ñïðîùåííÿ çàïèñiâ áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè çàìiñòü
Sr
p,θB(Rd) i Sr
p H(Rd) ïîçíà÷åííÿ Sr
p,θB òà Sr
p H âiäïîâiäíî. Êðiì öüî-
ãî, áóäåìî ââàæàòè, ùî êîîðäèíàòè âåêòîðà r = (r1, . . . , rd) âïîðÿä-
êîâàíi òàêèì ÷èíîì: 0 < r1 = r2 = . . . = rν < rν+1 6 . . . 6 rd.
Íàâåäåìî åêâiâàëåíòíå îçíà÷åííÿ íîðìè ôóíêöié iç ïðîñòîðiâ
Sr
p,θB [1], ÿêèì áóäåìî êîðèñòóâàòèñÿ ó ïîäàëüøèõ ìiðêóâàííÿõ.
Äëÿ öüîãî íàãàäà¹ìî îçíà÷åííÿ ïåðåòâîðåííÿ Ôóð'¹ (äèâ., íàïðè-
êëàä, [4]), ç âèêîðèñòàííÿì ÿêîãî äà¹òüñÿ âiäïîâiäíå îçíà÷åííÿ.
Îòæå, íåõàé S = S(Rd) � ïðîñòið Ë. Øâàðöà îñíîâíèõ íåñêií÷åí-
íî äèôåðåíöiéîâíèõ íà Rd êîìïëåêñíîçíà÷íèõ ôóíêöié ϕ, ùî ñïà-
äàþòü íà íåñêií÷åííîñòi ðàçîì çi ñâî¨ìè ïîõiäíèìè øâèäøå çà áóäü-
ÿêèé ñòåïiíü ôóíêöi¨ |x|−1 (äèâ., íàïðèêëàä, [4; 5, ãë. 2; 6, ãë. 1,
3]). ×åðåç S′ ïîçíà÷èìî ïðîñòið ëiíiéíèõ íåïåðåðâíèõ ôóíêöiîíàëiâ
íà S. Çàçíà÷èìî, ùî åëåìåíòàìè ïðîñòîðó S′ ¹ óçàãàëüíåíi ôóíêöi¨.
ßêùî f ∈ S′ i ϕ ∈ S, òî 〈f, ϕ〉 ïîçíà÷๠çíà÷åííÿ f íà ϕ.
Ïåðåòâîðåííÿ Ôóð'¹ Fϕ : S → S âèçíà÷à¹òüñÿ çà ôîðìóëîþ:
(Fϕ)(λ) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(t)e−i(λ,t)dt ≡ ϕ̃(λ),
äå λ = (λ1, . . . , λd), t = (t1, . . . , td) i (λ, t) =
d∑
i=1
λiti � ñêàëÿðíèé
äîáóòîê â Rd âåêòîðiâ λ i t.
Îáåðíåíå ïåðåòâîðåííÿ Ôóð'¹ F−1ϕ : S → S çàäà¹òüñÿ òàêèì
÷èíîì:
(F−1ϕ)(t) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(λ)ei(λ,t)dλ ≡ ϕ̂(t).
Ïåðåòâîðåííÿ Ôóð'¹ óçàãàëüíåíî¨ ôóíêöi¨ f ∈ S′ (äëÿ íüîãî ìè
çáåðiãà¹ìî òå æ ïîçíà÷åííÿ) âèçíà÷à¹òüñÿ ôîðìóëîþ
〈Ff, ϕ〉 = 〈f,Fϕ〉
(
〈f̃ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̃〉
)
,
äå ϕ ∈ S.
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ ôóíêöié . . . 331
Îáåðíåíå ïåðåòâîðåííÿ Ôóð'¹ óçàãàëüíåíî¨ ôóíêöi¨ f ∈ S′ òàêîæ
ïîçíà÷èìî F−1f , i âèçíà÷à¹òüñÿ âîíî àíàëîãi÷íî äî ïðÿìîãî ïåðå-
òâîðåííÿ Ôóð'¹ çà ïðàâèëîì
〈F−1f, ϕ〉 = 〈f,F−1ϕ〉
(
〈f̂ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̂〉
)
.
Çàçíà÷èìî, ùî äëÿ 1 < p < ∞ iñíó¹ ïðèðîäíå íåïåðåðâíå âêëà-
äåííÿ Lp(Rd) â S′ i â öüîìó ñåíñi ôóíêöi¨ ç Lp(Rd) îòîòîæíþþòüñÿ
ç åëåìåíòàìè ç S′.
Äëÿ êîæíîãî âåêòîðà s = (s1, ..., sd), sj ∈ Z+, j = 1, d, ðîçãëÿíåìî
ìíîæèíè
Q∗
2s =
{
λ = (λ1, ..., λd) : η(sj)2sj−1 6 |λj | < 2sj , λj ∈ R, j = 1, d
}
,
ρ+(s) :=
{
k = (k1, ..., kd) : η(sj)2sj−1 6 kj < 2sj , kj ∈ Z+, j = 1, d
}
,
äå η(0) = 0 i η(t) = 1, t > 0, òîáòî ρ+(s) = Q∗
2s ∩ Zd
+.
Íàäàëi ïî òåêñòó âæèâà¹òüñÿ çàïèñ A � B, ÿêèé îçíà÷à¹, ùî
äëÿ íåâiä'¹ìíèõ âåëè÷èí A òà B, çàëåæíèõ âiä äåÿêî¨ ñóêóïíîñòi
ïàðàìåòðiâ, iñíó¹ äîäàòíà ñòàëà C òàêà, ùî C−1A 6 B 6 CA. ßêùî
òiëüêè B 6 CA (B > C−1A), òî ïèøåìî B � A (B � A).
Íåõàé A ⊂ Rd � äåÿêà ìíîæèíà. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç χ
A
õàðàêòå-
ðèñòè÷íó ôóíêöiþ ìíîæèíè A i äëÿ f ∈ Lp(Rd) ïîêëàäåìî
δ∗s(f,x) = F−1(χQ∗2s
· Ff).
Ó ïðèéíÿòèõ ïîçíà÷åííÿõ ïðîñòîðè Sr
p,θB, 1 < p < ∞, r > 0,
ìîæíà îçíà÷èòè òàêèì ÷èíîì [1]:
Sr
p,θB :=
{
f ∈ Lp(Rd) : ‖f‖Sr
p,θB < ∞
}
,
äå
‖f‖Sr
p,θB �
(∑
s>0
2(s,r)θ‖δ∗s(f, ·)‖θ
p
) 1
θ
ïðè 1 6 θ < ∞ i
‖f‖Sr
p H � sup
s>0
2(s,r)‖δ∗s(f, ·)‖p.
332 Ñ.ß. ßí÷åíêî
Ó âèïàäêó, êîëè ‖f‖Sr
p,θB 6 1, áóäåìî ãîâîðèòè, ùî ôóíêöiÿ f
íàëåæèòü êëàñó Sr
p,θB, çáåðiãàþ÷è ïðè öüîìó äëÿ êëàñiâ Sr
p,θB òi æ
ñàìi ïîçíà÷åííÿ, ùî i äëÿ ïðîñòîðiâ Sr
p,θB.
2. Íàáëèæåííÿ öiëèìè ôóíêöiÿìè ç íîñi¹ì ó ñõiä÷àñòîìó
ãiïåðáîëi÷íîìó õðåñòi. Íåõàé r = (r1, . . . , rd) � âåêòîð ç öiëî÷èñ-
ëîâèìè íåâiä'¹ìíèìè êîîðäèíàòàìè. Ïîñòàâèìî éîìó ó âiäïîâiäíiñòü
âåêòîð γ = (γ1, . . . , γd), γj = rj
r1
, j = 1, d.
Äëÿ f ∈ Lq(Rd) i γ = (γ1, . . . , γd), γj > 0, j = 1, d, ïîçíà÷èìî
SQγ
n
(f,x) =
∑
(s,γ)6n
δ∗s(f,x). (1)
Çàçíà÷èìî, ùî SQγ
n
(f,x) � ôóíêöiÿ çi ñïåêòðîì íà ìíîæèíi
Qγ
n =
⋃
(s,γ)6n
Q∗
2s .
Ìíîæèíà Qγ
n íàçèâà¹òüñÿ ñõiä÷àñòèì ãiïåðáîëi÷íèì õðåñòîì i ïðè
öüîìó mes Qγ
n � 2nnd−1 (äèâ., íàïðèêëàä, [1]), äå mesA ïîçíà÷à¹
ëåáåãîâó ìiðó ìíîæèíè A.
Ðîçãëÿíåìî òàêó àïðîêñèìàòèâíó õàðàòåðèñòèêó
EQγ
n
(
f
)
∞ = ‖f(·)− SQγ
n
(f, ·)‖∞
i, âiäïîâiäíî, äëÿ ôóíêöiîíàëüíîãî êëàñó Sr
p,θB(Rd)
EQγ
n
(
Sr
p,θB
)
∞ = sup
f∈Sr
p,θB
EQγ
n
(
f
)
∞.
Íàâåäåìî ðåçóëüòàò, ó ÿêîìó âñòàíîâëåíî òî÷íó çà ïîðÿäêîì
îöiíêó íàáëèæåííÿ êëàñiâ Sr
p,θB â ìåòðèöi ïðîñòîðó L∞ ôóíêöiÿ-
ìè âèãëÿäó (1).
Òåîðåìà 1. Íåõàé 1 < p < ∞, r1 > 1
p , 1 6 θ 6 ∞. Òîäi ì๠ìiñöå
ïîðÿäêîâå ñïiââiäíîøåííÿ
EQγ
n
(
Sr
p,θB
)
∞= sup
f∈Sr
p,θB
‖f(·)−SQγ
n
(f, ·)‖∞�2−n(r1− 1
p )n(ν−1)(1− 1
θ ). (2)
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ ôóíêöié . . . 333
Äîâåäåííÿ. Çàçíà÷èìî, ùî îöiíêó çâåðõó ïðè d > 1 i îöiíêó
çíèçó ïðè d = 1 âñòàíîâëåíî â [7], òîìó ïåðåéäåìî äî âñòàíîâëåííÿ
îöiíêè çíèçó ïðè d > 1. Òàêîæ çàóâàæèìî, ùî ¨¨ äîñòàòíüî îòðèìàòè
ó âèïàäêó ν = d.
Ïîáóäó¹ìî åêñòðåìàëüíi ôóíêöi¨ f ∈ Sr
p,θB, ÿêi ¨¨ ðåàëiçóþòü.
Ïîêëàäåìî
Dk(x) =
d∏
j=1
Dkj
(xj), k ∈ Zd
+,
äå
Dkj (xj) =
√
2
π
(
2 sin
xj
2
cos
2kj + 1
2
xj
)
· x−1
j .
Ó ðîáîòi [8] ïîêàçàíî, ùî äëÿ ïåðåòâîðåííÿ Ôóð'¹ ôóíêöi¨ Dk(x)
ñïðàâåäëèâà ðiâíiñòü
FDk(x) = χk(x) =
d∏
j=1
χkj
(xj),
äå
χkj
(xj)=
1, kj < |xj | < kj + 1;
1
2 , |xj | = kj àáî |xj | = kj+1;
0 − â iíøèõ âèïàäêàõ;
χ0(xj) =
1, |xj | < 1;
1
2 , |xj | = 1;
0, |xj | > 1.
Âiäïîâiäíî äëÿ îáåðíåíîãî ïåðåòâîðåííÿ áóäåìî ìàòè
F−1χk(t) = Dk(x).
Âiäçíà÷èìî, ùî ïðè 1 < p < ∞ ì๠ìiñöå îöiíêà [8]∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
p
� 2‖s‖1(1−
1
p ).
334 Ñ.ß. ßí÷åíêî
Îöiíèìî òåïåð íîðìó
∑
k∈ρ+(s)
Dk(·) ó âèïàäêó, êîëè p = ∞.
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
∞
=
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
d∏
j=1
Dkj
(·)
∥∥∥∥
∞
=
∥∥∥∥ d∏
j=1
2sj−1∑
kj=η(sj)2
sj−1
Dkj
(·)
∥∥∥∥
∞
=
=
∥∥∥∥ d∏
j=1
√
2
π
sin 2sj xj − sin η(sj)2sj−1xj
xj
∥∥∥∥
∞
= J1 (3)
Âñòàíîâèìî ñïî÷àòêó äëÿ âåëè÷èíè J1 îöiíêó çâåðõó:
J1 =
∥∥∥∥ d∏
j=1
√
2
π
sin 2sj−η(sj)2
sj−1
2 xj cos 2sj +η(sj)2
sj−1
2 xj
xj
∥∥∥∥
∞
�
�
d∏
j=1
∥∥∥∥ sin(2sj−1 − η(sj)2sj−2)xj
xj
∥∥∥∥
∞
=
d∏
j=1
(
2sj−1 − η(sj)2sj−2
)
� 2‖s‖1 .
Äàëi ïðîâåäåìî â (3) îöiíêó çíèçó. Âèêîðèñòàâøè íåðiâíiñòü∣∣a− b
∣∣ > ∣∣|a| − |b|
∣∣, îäåðæèìî
J1 =
√
2
π
d∏
j=1
ess sup
xj∈R
∣∣∣∣ sin 2sj xj − sin η(sj)2sj−1xj
xj
∣∣∣∣ >
>
√
2
π
d∏
j=1
ess sup
xj∈R
∣∣∣∣∣∣∣∣ sin 2sj xj
xj
∣∣∣∣− ∣∣∣∣ sin η(sj)2sj−1xj
xj
∣∣∣∣∣∣∣∣ >
>
√
2
π
d∏
j=1
(
ess sup
xj∈R
∣∣∣∣ sin 2sj xj
xj
∣∣∣∣− ess sup
xj∈R
∣∣∣∣ sin η(sj)2sj−1xj
xj
∣∣∣∣
)
=
=
√
2
π
d∏
j=1
(
2sj − η(sj)2sj−1
)
� 2‖s‖1 .
Îòæå, ìà¹ìî ∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
∞
� 2‖s‖1 . (4)
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ ôóíêöié . . . 335
Ðîçãëÿíåìî ôóíêöi¨
f1(x) = C12−n(r1+1− 1
p )n−
d−1
θ
∑
(s,1)=n+1
∑
k∈ρ+(s)
Dk(x), C1 > 0,
ÿêùî 1 6 θ < ∞ i
f2(x) = C22−n(r1+1− 1
p ) ∑
(s,1)=n+1
∑
k∈ρ+(s)
Dk(x), C2 > 0,
ÿêùî θ = ∞.
Ïåðåêîíà¹ìîñÿ, ùî äàíi ôóíêöi¨ íàëåæàòü êëàñàì Sr
p,θB i Sr
p,∞B
âiäïîâiäíî.
‖f1‖Sr
p,θB �
∑
(s,1)=n+1
2(s,r)θ‖δ∗s(f, ·)‖θ
p
1
θ
�
�
∑
(s,1)=n+1
2(s,r)θ2−n(r1+1− 1
p )θn−(d−1)
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥θ
p
1
θ
�
� 2−n(r1+1− 1
p )n−
d−1
θ
∑
(s,1)=n+1
2(s,r)θ2‖s‖1(1−
1
p )
1
θ
�
� 2−n(r1+1− 1
p )n−
d−1
θ 2n(r1+1− 1
p )
∑
(s,1)=n+1
1
1
θ
� 1.
Äëÿ f2 áóäåìî ìàòè
‖f2‖Sr
p,∞
� sup
(s,1)=n+1
2(s,r)‖δ∗s(f, ·)‖p �
� sup
(s,1)=n+1
2(s,r)2−n(r1+1− 1
p )
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
p
�
� 2−n(r1+1− 1
p ) sup
(s,1)=n+1
2(s,r)2‖s‖1(1−
1
p ) � 1.
336 Ñ.ß. ßí÷åíêî
Ïîêàæåìî, ùî∥∥∥∥ ∑
(s,1)=n+1
∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
∞
� 2nnd−1. (5)
Âñòàíîâèìî ñïî÷àòêó îöiíêó çâåðõó. Çãiäíî ç íåðiâíiñòþ Ìií-
êîâñüêîãî i (4) îäåðæèìî∥∥∥∥ ∑
(s,1)=n+1
∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
∞
6
∑
(s,1)=n+1
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
∞
�
�
∑
(s,1)=n+1
2‖s‖1 � 2n
∑
(s,1)=n+1
1 � 2nnd−1.
Âiäïîâiäíî äëÿ îöiíêè çíèçó ìîæåìî çàïèñàòè∥∥∥∥ ∑
(s,1)=n+1
∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
∞
= ess sup
x∈Rd
∣∣∣∣ ∑
(s,1)=n+1
∑
k∈ρ+(s)
Dk(·)
∣∣∣∣ =
= ess sup
x∈Rd
∣∣∣∣ ∑
(s,1)=n+1
d∏
j=1
√
2
π
sin 2sj xj − sin η(sj)2sj−1xj
xj
∣∣∣∣ >
>
∑
(s,1)=n+1
d∏
j=1
√
2
π
sin 1− sin η(sj) 1
2
2−sj
�
∑
(s,1)=n+1
2‖s‖1 � 2nnd+1.
Çà ðàõóíîê âèáîðó ôóíêöié f1 i f2 SQγ
n
(f1, ·) = 0 i SQγ
n
(f2, ·) = 0.
Ñêîðèñòàâøèñü (5), áóäåìî ìàòè
‖f1(·)− SQγ
n
(f1, ·)‖∞ = ‖f1(·)‖∞ � 2−n(r1− 1
p )n(d−1)(1− 1
θ ),
‖f2(·)− SQγ
n
(f2, ·)‖∞ = ‖f2(·)‖∞ � 2−n(r1− 1
p )n(d−1).
Îöiíêè çíèçó âñòàíîâëåíî.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Íà çàâåðøåííÿ âiäçíà÷èìî, ùî ðåçóëüòàòè äàíîãî ïóíêòó äîïîâ-
íþþòü äîñëiäæåííÿ êëàñiâ Sr
p,θB, ùî ïðîâîäèëèñÿ ó ðîáîòi [8], à òà-
êîæ ïîøèðþþòü îäåðæàíèé àâòîðîì â [7] (òåîðåìà 2) ðåçóëüòàò íà
d-âèìiðíèé âèïàäîê.
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ ôóíêöié . . . 337
3. Íàáëèæåííÿ öiëèìè ôóíêöiÿìè çi ñïåêòðîì ñïåöiàëü-
íîãî âèãëÿäó. Íàâåäåìî íåîáõiäíi ïîçíà÷åííÿ é îçíà÷èìî äîñëiä-
æóâàíó àïðîêñèìàòèâíó õàðàêòåðèñòèêó.
Íîñi¹ì óçàãàëüíåíî¨ ôóíêöi¨ f áóäåìî íàçèâàòè çàìèêàííÿ N òà-
êî¨ ìíîæèíè òî÷îê N ⊂ Rd, ùî äëÿ äîâiëüíî¨ ϕ ∈ S, ÿêà äîðiâíþ¹
íóëþ â N, âèêîíó¹òüñÿ ðiâíiñòü 〈f, ϕ〉 = 0. Íîñié óçàãàëüíåíî¨ ôóíê-
öi¨ f áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç supp f .
Íåõàé Θ � äåÿêà ìíîæèíà â Zd
+, M = M(Θ) =
⋃
s∈Θ
Q∗
2s . Òîäi äëÿ
f ∈ Lq(Rd), 1 < q < ∞, ïîêëàäåìî
SM(f,x) =
∑
s∈Θ
δ∗s(f,x),
äå, ÿê âæå áóëî ñêàçàíî âèùå,
δ∗s(f,x) = F−1
(
χQ∗2s
· Ff
)
,
i χQ∗2s
� õàðàêòåðèñòè÷íà ôóíêöiÿ ìíîæèíè Q∗
2s .
Çàóâàæèìî, ùî SM(f,x) ¹ öiëîþ ôóíêöi¹þ, ÿêà íàëåæèòü ïðî-
ñòîðó Lq(Rd) (äèâ., íàïðèêëàä, [4]) i suppSM(f, x) ⊆ M.
Äàëi äëÿ f ∈ Lq(Rd) ðîçãëÿíåìî àïðîêñèìàòèâíó õàðàêòåðèñòèêó
eF
M
(
f
)
q
= inf
Θ: mes M6M
‖f(·)− SM(f, ·)‖q .
ßêùî K ⊂ Lq(Rd) � äåÿêèé êëàñ ôóíêöié, òî ïîêëàäåìî
eF
M
(
K
)
q
= sup
f∈K
eF
M
(
f
)
q
.
Òåîðåìà 2. Íåõàé 1 < p < ∞, r1 > 1
p , 1 6 θ 6 ∞. Òîäi ì๠ìiñöå
îöiíêà
eF
M
(
Sr
p,θB
)
∞ �
(
M−1 logν−1 M
)r1− 1
p
(
logν−1 M
)1− 1
θ . (6)
Äîâåäåííÿ. Îöiíêà çâåðõó â (6), îòðèìó¹òüñÿ ç òåîðåìè 1.
Îñêiëüêè mes Qγ
n � 2nnν−1, òî ïiäiáðàâøè äëÿ M ÷èñëî n ∈ N iç
338 Ñ.ß. ßí÷åíêî
ñïiââiäíîøåííÿ mes Qγ
n 6 M < mes Qγ
n+1, òîáòî M � 2nnν−1, ç
îöiíêè (2) áóäåìî ìàòè
eF
M
(
Sr
p,θB
)
∞ � 2−n(r1− 1
p )n(ν−1)(1− 1
θ ) �
�
(
M−1 logν−1 M
)r1− 1
p
(
logν−1 M
)(1− 1
θ )
.
Ïåðåéäåìî äî âñòàíîâëåííÿ îöiíêè çíèçó â (6). Ïîïåðåäíüî çàóâà-
æèìî, ùî ¨¨, ÿê i äëÿ îöiíêè çíèçó â òåîðåìi 1, äîñòàòíüî îòðèìàòè
ó âèïàäêó ν = d.
Íåõàé
Θ(n) =
{
s = (s1, . . . , sd) ∈ Zd : s1 + . . . + sd = n
}
i Q̃n =
⋃
s∈Θ(n)
Q∗
2s ,
òîäi mes Q̃n � 2nnν−1. Äàëi áóäåìî ââàæàòè, ùî ÷èñëà M i n ïîâ'ÿ-
çàíi ñïiââiäíîøåííÿì
mes Q̃n 6 4M < mes Q̃n+1. (7)
Ðîçãëÿíåìî ôóíêöi¨
f3(x) = C32−n(r1+1− 1
p )n−
d−1
θ
∑
s∈Θ(n)
∑
k∈ρ+(s)
Dk(x), C3 > 0,
ÿêùî 1 6 θ < ∞ i
f4(x) = C42−n(r1+1− 1
p ) ∑
s∈Θ(n)
∑
k∈ρ+(s)
Dk(x), C4 > 0,
ÿêùî θ = ∞.
Àíàëîãi÷íî äî òîãî, ÿê öå áóëî ïîêàçàíî äëÿ ôóíêöié f1 i f2,
ìîæåìî ïåðåêîíàòèñÿ, ùî f3 òà f4 íàëåæàòü êëàñàì Sr
p,θB òà Sr
p,∞B
âiäïîâiäíî.
Îñêiëüêè mes Q̃n � 2nnν−1, òî âèáåðåìî â ÿêîñòi ìíîæèíè M
ìíîæèíó Q̃n, òîáòî M = Q̃n.
Òîäi, âèêîðèñòàâøè (5) òà (7), ìîæåìî çàïèñàòè
‖f3(·)− SM(f3, ·)‖∞ >
∣∣‖f3(·)‖∞ − ‖SM(f3, ·)‖∞
∣∣�
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ ôóíêöié . . . 339
� 2−n(r1+1− 1
p )n
d−1
θ (2nnd−1 −M) � 2−n(r1+1− 1
p )n
d−1
θ 2nnd−1 =
= 2−n(r1− 1
p )n(d−1)(1− 1
θ ) �
(
M−1 logd−1 M
)r1− 1
p
(
logd−1 M
)(1− 1
θ )
.
Àíàëîãi÷íî ó âèïàäêó θ = ∞ îòðèìà¹ìî
‖f4(·)− SM(f4, ·)‖∞ �
(
M−1 logd−1 M
)r1− 1
p logd−1 M.
Îöiíêè çíèçó âñòàíîâëåíî.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Íà çàâåðøåííÿ ðîáîòè çðîáèìî äåÿêi êîìåíòàði äî îäåðæàíèõ
ðåçóëüòàòiâ.
Çàóâàæåííÿ 1. Ïîðiâíþþ÷è ïîðÿäêîâi îöiíêè, ÿêi îäåðæàíî â
òåîðåìàõ 1 i 2, ðîáèìî âèñíîâîê, ùî
EQγ
n
(
Sr
p,θB
)
∞ � eF
M
(
Sr
p,θB
)
∞, M � 2nnν−1.
Âiäçíà÷èìî òàêîæ, ùî ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èíè eF
M
(
Sr
p,θB
)
q
ó ðÿäi
iíøèõ ñïiââiäíîøåíü ìiæ ïàðàìåòðàìè p, q i θ âñòàíîâëåíî â [9]. ßê
ïîêàçàíî ó çàçíà÷åíié ðîáîòi, iñíóþòü ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ ïàðàìåò-
ðàìè p, q, θ i r1 ïðè ÿêèõ âåëè÷èíè eF
M
(
Sr
p,θB
)
q
i EQγ
n
(
Sr
p,θB
)
q
ìàþòü
ðiçíi ïîðÿäêè.
Çàóâàæåííÿ 2. Äîñëiäæåííÿ àíàëîãi÷íèõ àïðîêñèìàòèâíèõ õà-
ðàêòåðèñòèê êëàñiâ Íiêîëüñüêîãî�Á¹ñîâà ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áà-
ãàòüîõ çìiííèõ ç äîìiíóþ÷îþ ìiøàíîþ ïîõiäíîþ ó ðiâíîìiðíié ìåò-
ðèöi ïðîâîäèëèñÿ, çîêðåìà, À.Ñ. Ðîìàíþêîì [10, 11] i Â.Ì. Òåìëÿ-
êîâèì [12].
1. Ëèçîðêèí Ï. È., Íèêîëüñêèé Ñ. Ì. Ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé ñìåøàí-
íîé ãëàäêîñòè ñ äåêîìïîçèöèîííîé òî÷êè çðåíèÿ // Òð. Ìàò. èí-òà ÀÍ
ÑÑÑÐ. � 1989. � 187. � C. 143 � 161.
2. Àìàíîâ Ò. È. Òåîðåìû ïðåäñòàâëåíèÿ è âëîæåíèÿ äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ
ïðîñòðàíñòâ S
(r)
p,θB(Rn) è S
(r)∗
p,θ B, (0 6 xj 6 2π; j = 1, . . . , n) // Òð. Ìàò.
èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1965. � 77. � Ñ. 5 � 34.
3. Íèêîëüñêèé Ñ. Ì. Ôóíêöèè ñ äîìèíèðóþùåé ñìåøàííîé ïðîèçâîäíîé,
óäîâëåòâîðÿþùåé êðàòíîìó óñëîâèþ Ãåëüäåðà // Ñèá. ìàò. æóðí. �
1963. � 4, �6. � C. 1342 � 1364.
4. Ëèçîðêèí Ï. È. Îáîáùåííîå ëèóâèëëåâñêîå äèôôåðåíöèðîâàíèå è ìåòîä
ìóëüòèïëèêàòîðîâ â òåîðèè âëîæåíèé êëàññîâ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíê-
öèé // Òð. Ìàò. èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1969. � 105. � C. 89 � 167.
340 Ñ.ß. ßí÷åíêî
5. Âëàäèìèðîâ Â. Ñ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. � Ì.: Íàóêà,
1967. � 436 c.
6. Íèêîëüñêèé Ñ. Ì. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ è òåîðåìû
âëîæåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1969. � 480 c.
7. ßí÷åíêî Ñ. ß. Íàáëèæåííÿ ôóíêöié ç êëàñiâ Sr
p,θB ó ðiâíîìiðíié ìåòðè-
öi // Óêð. ìàò. æóðí. � 2013. � 65, �5. � Ñ. 698 � 705.
8. Wang Heping, Sun Yongsheng. Approximation of multivariate functions with
certain mixed smoothness by entire functions // Northeast. Math. J. � 1995. �
11, �4. � P. 454 � 466.
9. ßí÷åíêî Ñ. ß. Íàáëèæåííÿ êëàñiâ SΩ
p,θB ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ öiëèìè
ôóíêöiÿìè ñïåöiàëüíîãî âèãëÿäó // Óêð. ìàò. æóðí. � 2010. � 62, �8. �
Ñ. 1124 � 1138.
10. Ðîìàíþê À. Ñ. Ïðèáëèæåíèå êëàññîâ Br
p,θ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíî-
ãèõ ïåðåìåííûõ ëèíåéíûìè ìåòîäàìè è íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ // Ìàò.
ñá. � 2004. � 195, �2. � Ñ. 91 � 116.
11. Ðîìàíþê À. Ñ. Íàèëó÷øèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïðèáëèæåíèÿ êëàññîâ ïå-
ðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå // Ìàò.
çàìåòêè. � 2007. � 82, �2. � Ñ. 247 � 261.
12. Òåìëÿêîâ Â. Í. Îöåíêè àñèìïòîòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê êëàññîâ ôóíêöèé
ñ îãðàíè÷åííîé ñìåøàííîé ïðîèçâîäíîé èëè ðàçíîñòüþ // Òð. Ìàò. èí-òà
ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1988. � 189. � C. 138 � 168.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-96 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:26Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/bd/ed45309529e9b423d182d139a2a0bfbd.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-962018-01-29T14:44:27Z Estimates for approximative characteristics of classes $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ of functions in the uniform metric. Оцінки апроксимативних характеристик класів функцій $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ у рівномірній метриці Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. Exact-order estimates for approximation of function from the classes $S^{r}_{p,\theta}B$ by entire functions of the exponential type in the metric of the space $L_{\infty}$ are established Одержано точні за порядком оцінки наближення функцій з класів $S^{r}_{p,\theta}B$ цілими функціями експоненціального типу в метриці простору $L_{\infty}$ Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/96 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 328-340 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 328-340 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 328-340 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/96/83 |
| spellingShingle | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. Estimates for approximative characteristics of classes $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ of functions in the uniform metric. |
| title | Estimates for approximative characteristics of classes $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ of functions in the uniform metric. |
| title_alt | Оцінки апроксимативних характеристик класів функцій $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ у рівномірній метриці |
| title_full | Estimates for approximative characteristics of classes $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ of functions in the uniform metric. |
| title_fullStr | Estimates for approximative characteristics of classes $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ of functions in the uniform metric. |
| title_full_unstemmed | Estimates for approximative characteristics of classes $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ of functions in the uniform metric. |
| title_short | Estimates for approximative characteristics of classes $S^r_{p,\theta}B(\mathbb{R}^d)$ of functions in the uniform metric. |
| title_sort | estimates for approximative characteristics of classes $s^r_{p,\theta}b(\mathbb{r}^d)$ of functions in the uniform metric. |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/96 |
| work_keys_str_mv | AT yanchenkosya estimatesforapproximativecharacteristicsofclassessrpthetabmathbbrdoffunctionsintheuniformmetric AT ânčenkosâ estimatesforapproximativecharacteristicsofclassessrpthetabmathbbrdoffunctionsintheuniformmetric AT yanchenkosya ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívfunkcíjsrpthetabmathbbrdurívnomírníjmetricí AT ânčenkosâ ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívfunkcíjsrpthetabmathbbrdurívnomírníjmetricí |