The estimations of the area of a disk image for Sobolev classes
Lower and upper estimates of an area for image of a disk under regular homeomorphisms of the Sobolev class $W^{1,1}_{\textrm{loc}}$, havingthe Luzin $N$-property, are established in terms of an angular $p$-dilatation.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/97 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552630270558208 |
|---|---|
| author | Bilet, V. V. Klishchyk, B. A. Salimov, R. R. Билет, В. В. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. |
| author_facet | Bilet, V. V. Klishchyk, B. A. Salimov, R. R. Билет, В. В. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Ин-т прикладной математики и механики НАН Украины"
},
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
},
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Bilet, V. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | Lower and upper estimates of an area for image of a disk under regular homeomorphisms of the Sobolev class $W^{1,1}_{\textrm{loc}}$, havingthe Luzin $N$-property, are established in terms of an angular $p$-dilatation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 39–45
УДК 517.54 + 517.12
В.В. Билет 1, Б.А. Клищук 2,
Р. Р. Салимов 3
1 (Институт прикладной математики и механики НАН Украины,
Славянск)
2,3 (Институт математики НАН Украины, Киев)
1 biletvictoriya@mail.ru, 2 kban1988@gmail.com,
3 ruslan623@yandex.ru
Оценки площади образа круга для
классов Соболева
Посвящается 70-летию профессора Юрия Борисовича Зелинского
Для регулярных гомеоморфизмов класса Соболева W 1,1
loc , обладающих
N -свойством Лузина, установлены верхние и нижние оценки площади
образа круга в терминах угловой p-дилатации.
Lower and upper estimates of an area for image of a disk under regular
homeomorphisms of the Sobolev class W 1,1
loc , having the Luzin N -property,
are established in terms of an angular p-dilatation.
1. Введение. Задача об искажении площадей при ква-
зиконформных отображениях берет свое начало в работе
Б.Боярского (см. [1]). Ряд результатов в этом направлении по-
лучен в работах [2–4].
В данной статье получены точные оценки искажения площади об-
раза круга при регулярных гомеоморфизмах класса Соболева W 1,1
loc ,
обладающих N -свойством (Лузина).
c© В.В. Билет, Б.А. Клищук, Р. Р. Салимов, 2017
40 В.В. Билет, Б.А. Клищук, Р. Р. Салимов
Отметим, что впервые оценка площади образа круга при квазикон-
формных отображениях встречается в монографии М.А. Лаврентье-
ва [5]. В монографии [6, предложение 3.7], получено уточнение нера-
венства Лаврентьева в терминах угловой дилатации. Также, ранее в
работах [7, 8] верхние оценки искажения площади образа круга были
получены методом модулей.
Пусть G — область в комплексной плоскости C, то есть связное,
открытое подмножество C. Напомним, что отображение f : G −→ C
называется регулярным в точке z0 ∈ G, если в этой точке f имеет
полный дифференциал и его якобиан Jf = |fz|2−|fz̄|2 6= 0 (см., напри-
мер, I. 1.6 в [10]). Гомеоморфизм f класса Соболева W 1,1
loc называется
регулярным, если Jf > 0 почти всюду (п.в.).
Говорят, что гомеоморфизм f : G −→ C обладаетN -свойством (Лу-
зина), если для любого множества E ⊂ G из условия |E| = 0 следует,
что |f(E)| = 0.
Пусть f — регулярный гомеоморфизм класса СоболеваW 1,1
loc , p > 1.
Будем называть p-угловой дилатацией отображения f относительно
точки z0 величину:
Dp(z, z0) = Dp(re
iθ) =
|fθ(reiθ)|p
rpJf (reiθ)
.
Здесь z = z0 + reiθ, Jf — якобиан отображения f . Для каждого
r > 0 введем в рассмотрение величину
dp(r) =
(
1
2πr
∫
γr
D
1
p−1
p (z) ds
)p−1
.
2. Вспомогательные леммы. Всюдy далее полагаем
Br = {z ∈ C : |z| 6 r} , γr = {z ∈ C : |z| = r} , B = {z ∈ C : |z| < 1}.
Обозначим через L(r) длину кривой f(reiθ) , 0 6 θ < 2π , а через
S(r) = |f(Br)| — площадь f(Br).
Лемма 1. Пусть f : B −→ B — регулярный гомеоморфизм класса
Соболева W 1,1
loc , обладающий N -свойством.
Тогда при p > 1 для п.в. r ∈ (0, 1) имеет место оценка:
Lp(r) 6 (2πr)p−1 dp(r)S
′(r). (1)
Оценка площади образа круга для классов Соболева 41
Доказательство. Для п.в. r ∈ (0, 1) , имеем
L(r) =
∫ 2π
0
|fθ(reiθ)| dθ =
∫ 2π
0
D
1
p
p (re
iθ) J
1
p
f (re
iθ) r dθ.
Применяя неравенство Гельдера с показателями q = p, q′ = p
p−1 ,
имеем
L(r) 6
(∫ 2π
0
Jf (re
iθ) r dθ
) 1
p
(∫ 2π
0
D
1
p−1
p (reiθ) r dθ
) p−1
p
для п.в. r ∈ (0, 1). Используя тот факт, что
S′(r) =
∫ 2π
0
Jf (re
iθ) r dθ ,
получаем
Lp(r) 6 (2πr)p−1 dp(r)S
′(r)
для п.в. r ∈ (0, 1). Лемма 1 доказана.
В следующей лемме получено дифференциальное неравенство для
функции S(r).
Лемма 2. Пусть f : B −→ B — регулярный гомеоморфизм клас-
са Соболева W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Тогда при p > 1 для
п.в. r ∈ (0, 1) имеет место неравенство
S′(r) > 2π
2−p
2 r1−p d−1
p (r)S
p
2 (r). (2)
Доказательство. Из неравенства (1) следует, что для п.в. r ∈ (0, 1)
справедлива оценка
S′(r) > (2πr)1−p d−1
p (r)Lp(r) .
Используя, далее, известное изопериметрическое неравенство
L2(r) > 4πS(r),
получаем дифференциальное соотношение (2). Лемма 2 доказана.
Имеет место следующее утверждение.
42 В.В. Билет, Б.А. Клищук, Р. Р. Салимов
Лемма 3. Пусть f : B −→ B — регулярный гомеоморфизм класса
Соболева W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Тогда при 0 < r1 6 r2 < 1
выполняются оценки:
S(r1) 6 S(r2) exp
−2
r2∫
r1
dr
r d2(r)
, p = 2,
S
2−p
2 (r1)− S
2−p
2 (r2) 6 π
2−p
2 (p− 2)
r2∫
r1
dr
rp−1 dp(r)
, p > 2,
S
2−p
2 (r2)− S
2−p
2 (r1) > π
2−p
2 (2− p)
r2∫
r1
dr
rp−1 dp(r)
, 1 < p < 2.
Доказательство. Воспользуемся дифференциальным неравен-
ством (2). Тогда для п.в. r ∈ (0, 1)
S′(r)
S
p
2 (r)
dr > 2π
2−p
2
dr
rp−1 dp(r)
. (3)
При p = 2, имеем
S′(r)
S(r)
dr > 2
dr
r d2(r)
.
Интегрируя обе части последнего неравенства по r ∈ (r1, r2), получаем
r2∫
r1
(lnS(r))
′
dr > 2
r2∫
r1
dr
r d2(r)
.
Заметим, что функция g(r) = lnS(r) является неубывающей, тогда
r2∫
r1
(lnS(r))
′
dr =
r2∫
r1
g′(r)dr 6 g(r2)− g(r1) = ln
S(r2)
S(r1)
(см., напр., Теорему IV. 7.4 в [9]) и
ln
S(r2)
S(r1)
> 2
r2∫
r1
dr
r d2(r)
,
Оценка площади образа круга для классов Соболева 43
откуда
S(r1) 6 S(r2) exp
−2
r2∫
r1
dr
r d2(r)
.
Рассмотрим случай p 6= 2. Интегрируя обе части неравенства (3) по
r ∈ (r1, r2), имеем
r2∫
r1
(
S
2−p
2 (r)
2−p
2
)′
dr > 2π
2−p
2
r2∫
r1
dr
rp−1 dp(r)
.
Заметим, что функция gp(r) =
S
2−p
2 (r)
2−p
2
является неубывающей, тогда
r2∫
r1
(
S
2−p
2 (r)
2−p
2
)′
dr =
r2∫
r1
g′p(r) 6 gp(r2)− gp(r1) =
=
2
2− p
(
S
2−p
2 (r2)− S
2−p
2 (r1)
)
(см., Теорему IV. 7.4 в [9]).
Таким образом, получаем неравенства:
S
2−p
2 (r1)− S
2−p
2 (r2) 6 π
2−p
2 (p− 2)
r2∫
r1
dr
rp−1 dp(r)
, p > 2,
S
2−p
2 (r2)− S
2−p
2 (r1) > π
2−p
2 (2− p)
r2∫
r1
dr
rp−1 dp(r)
, 1 < p < 2.
Лемма 3 доказана.
3. Основные результаты. Ниже приведена теорема об оцен-
ке площади образа круга.
Теорема 1. Пусть f : B −→ B — регулярный гомеоморфизм класса
Соболева W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Тогда имеют место оцен-
ки:
|f(Br)| 6 π exp
−2
1∫
r
dt
t d2(t)
, p = 2,
44 В.В. Билет, Б.А. Клищук, Р. Р. Салимов
|f(Br)| 6 π
1 + (p− 2)
1∫
r
dt
tp−1 dp(t)
−
2
p−2
, p > 2,
|f(Br)| > π (2− p)
2
2−p
r∫
0
dt
tp−1 dp(t)
2
2−p
, 1 < p < 2.
Доказательство. Теорема 1 следует из Леммы 3 при условии, что
S(1) 6 |f(B)| ≤ π.
Из Теоремы 1 непосредственно вытекают следующие утверждения.
Следствие 1. Пусть f : B −→ B — регулярный гомеоморфизм
класса Соболева W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Пусть, кроме того,
для некоторого конечного числа k > 0 выполняется условие dp(r) 6 k
для п.в. r ∈ (0, 1). Тогда имеют место оценки:
|f(Br)| 6 πr
2
k , p = 2,
|f(Br)| 6 π
(
k − 1
k
+
1
k
r2−p
)− 2
p−2
, p > 2,
|f(Br)| > k
2
p−2 π r2, 1 < p < 2.
Следствие 2. Пусть f : B −→ B — регулярный гомеоморфизм
класса Соболева W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Пусть, кроме то-
го, для некоторого конечного числа k > 0 выполняется условие
dp(r) 6 k r2−p для п.в. r ∈ (0, 1). Тогда при p > 2 имеет место оценка
|f(Br)| 6 π
(
1 +
p− 2
k
ln
1
r
)− 2
p−2
.
Следствие 3. Пусть f : B −→ B — регулярный гомеоморфизм
класса Соболева W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Пусть, кроме то-
го, для некоторого конечного числа k > 0 выполняется условие
dp(r) 6 k ln
(
e
r
)
для п.в. r ∈ (0, 1). Тогда при p = 2 имеет место
оценка
|f(Br)| 6 π ln−
2
k
(e
r
)
.
Оценка площади образа круга для классов Соболева 45
Список литературы
[1] Боярский Б.В. Гомеоморфные решения систем Бельтрами // ДАН
СССР. — 1955. — 102. — С. 661 – 664.
[2] Gehring F., Reich E. Area distortion under quasiconformal mappings //
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. — 1966. — 388. — P. 1 – 15.
[3] Astala K. Area distortion of quasiconformal mappings // Acta Math. —
1994. — 173. — P. 37 – 60.
[4] Eremenko A., Hamilton D. On the area distortion by quasiconformal
mappings // Proc. Amer. Math. Soc. — 1995. — 123. — P. 2793 – 2797.
[5] Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем
уравнений эллиптического типа. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. — 136 с.
[6] Bojarski B., Gutlyanskii V., Martio O., Ryazanov V. Infinitesimal Geome-
try of Quasiconformal and Bi-Lipschitz Mappings in the Plane /Tracts in
Mathematics, 19/. — Warsaw–Donetsk–Helsinki, 2013. — 216 p.
[7] Ломако Т.В., Салимов Р. Р. К теории экстремальных задач // Зб. пра-
ць Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН Украї-
ни. — 2010. — 7, № 2. — С. 264 – 269.
[8] Салимов Р. Р. Нижние оценки p-модуля и отображения класса Соболе-
ва // Алгебра и анализ. — 2014. — 26, № 6. — С. 143 – 171.
[9] Сакс С. Теория интеграла. — М.: ИЛ, 1949. — 495 с.
[10] Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal Mappings in the Plane. — New York:
Springer–Verlag, 1973. — 258 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-97 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:29Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2b/68ece2235d47b0e9c9324afb32555e2b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-972018-02-13T13:58:16Z The estimations of the area of a disk image for Sobolev classes Оценки площади образа круга для классов Соболева Оценки площади образа круга для классов Соболева Bilet, V. V. Klishchyk, B. A. Salimov, R. R. Билет, В. В. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. Lower and upper estimates of an area for image of a disk under regular homeomorphisms of the Sobolev class $W^{1,1}_{\textrm{loc}}$, havingthe Luzin $N$-property, are established in terms of an angular $p$-dilatation. Для регулярных гомеоморфизмов класса Соболева $W^{1,1}_{\textrm{loc}}$, обладающих $N$-свойством Лузина, установлены верхние и нижние оценки площади образа круга в терминах угловой $p$-дилатации. Для регулярных гомеоморфизмов класса Соболева $W^{1,1}_{\textrm{loc}}$, обладающих $N$-свойством Лузина, установлены верхние и нижние оценки площади образа круга в терминах угловой $p$-дилатации. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/97 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 39-45 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 39-45 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 39-45 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/97/84 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Bilet, V. V. Klishchyk, B. A. Salimov, R. R. Билет, В. В. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. The estimations of the area of a disk image for Sobolev classes |
| title | The estimations of the area of a disk image for Sobolev classes |
| title_alt | Оценки площади образа круга для классов Соболева Оценки площади образа круга для классов Соболева |
| title_full | The estimations of the area of a disk image for Sobolev classes |
| title_fullStr | The estimations of the area of a disk image for Sobolev classes |
| title_full_unstemmed | The estimations of the area of a disk image for Sobolev classes |
| title_short | The estimations of the area of a disk image for Sobolev classes |
| title_sort | estimations of the area of a disk image for sobolev classes |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/97 |
| work_keys_str_mv | AT biletvv theestimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT klishchykba theestimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT salimovrr theestimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT biletvv theestimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT kliŝukba theestimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT salimovrr theestimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT biletvv ocenkiploŝadiobrazakrugadlâklassovsoboleva AT klishchykba ocenkiploŝadiobrazakrugadlâklassovsoboleva AT salimovrr ocenkiploŝadiobrazakrugadlâklassovsoboleva AT biletvv ocenkiploŝadiobrazakrugadlâklassovsoboleva AT kliŝukba ocenkiploŝadiobrazakrugadlâklassovsoboleva AT salimovrr ocenkiploŝadiobrazakrugadlâklassovsoboleva AT biletvv estimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT klishchykba estimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT salimovrr estimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT biletvv estimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT kliŝukba estimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT salimovrr estimationsoftheareaofadiskimageforsobolevclasses |