Estimates of internal radii for mutually disjoint domains
Paper is devoted to extremal problems of geometric function theory associated with estimates of functionals defined on systems of non-overlapping domains. In particular some special case of the well-known Dubinin's problem about extremal decomposition of the complex plane is consider.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/99 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552629889925120 |
|---|---|
| author | Bakhtin, A. K. Бахтин, А. К. |
| author_facet | Bakhtin, A. K. Бахтин, А. К. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Bakhtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | Paper is devoted to extremal problems of geometric function theory associated with estimates of functionals defined on systems of non-overlapping domains. In particular some special case of the well-known Dubinin's problem about extremal decomposition of the complex plane is consider. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 25–33
УДК 517.54
А.К. Бахтин
(Институт математики НАН Украины, Киев)
alexander.bahtin@yandex.ru
Оценки внутренних радиусов для
взаимно непересекающихся областей
Посвящается 70-летию профессора Юрия Борисовича Зелинского
Работа посвящена исследованию экстремальных проблем геометриче-
ской теории функций комплексного переменного, связанных с оцен-
ками функционалов, заданных на системах неналегающих областей.
Рассматривается некоторый частный случай известной проблемы
В.Н. Дубинина об экстремальном разбиении комплексной плоскости.
Paper is devoted to extremal problems of geometric function theory
associated with estimates of functionals defined on systems of non-
overlapping domains. In particular some special case of the well-known
Dubinin’s problem about extremal decomposition of the complex plane is
considered.
Пусть N, R — множество натуральных и вещественных чисел, соот-
ветственно, C — комплексная плоскость, C = C∪{∞} — ее одноточеч-
ная компактификация, R+ = (0,∞). Пусть r(B,a) – внутренний радиус
области B ⊂ C, относительно точки a ∈ B (см., например, [1–3]).
Определение 1. Систему точек An := {ak ∈ C, k = 1,n}, n ∈ N,
n ≥ 2, назовем n-лучевой, если |ak| ∈ R+, k = 1,n, и
0 = arg a1 < arg a2 < · · · < arg an < 2π.
c© А.К. Бахтин, 2017
26 А.К. Бахтин
Обозначим: αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1, k = 1, n,
∑n
k=1 αk = 2,
Γ := {w ∈ C := |w| = 1}.
В 1994 году в работе [1] была сформулирована одна открытая экс-
тремальная проблема о неналегающих областях со свободными полю-
сами. Эта задача вызвала большой интерес и изучалась во многих
работах (см., например, [1–12]).
Задача [1, с. 68]. Показать, что для попарно непересекающихся
областей B0, B1, B2, . . . , Bn, n ≥ 2, в C, точек a0 = 0, |ak| = 1, k = 1,n,
числа γ ≤ n, максимум произведения
rγ (B0,0)
n∏
k=1
r (Bk,ak) ,
достигается для некоторой конфигурации из областей Bk и точек ak,
обладающей n-кратной симметрией.
В данный момент по этой проблеме известны только частичные ре-
зультаты, в целом она не решена. При γ = 1 и n ≥ 2 эта задача была
решена в работе [1], причем из метода этой работы следует, что ре-
зультат верен и при 0 < γ < 1. Л. В. Ковалев [4] получил решение этой
проблемы при существенных ограничениях на геометрию расположе-
ния систем точек на единичной окружности, а именно: для n ≥ 5 и
подкласса систем точек, удовлетворяющих условию 0 < αk ≤ 2/
√
γ,
k = 1,n. Ясно, что эти условия являются достаточно жесткими и су-
щественно сужающими множество допустимых конфигураций. Эта за-
дача также изучалась при γ ∈ (0,1] в случае односвязных областей
(см. [6]). В дальнейшем в работах [7–12] рассматривались частные слу-
чаи этой проблемы.
Имеют место следующие результаты.
Теорема 1. Пусть n = 2, γ ∈ (0, γ2], γ2 = 1,6. Тогда для произвольных
различных точек ak ∈ Γ, k = 1,2, и любых взаимно непересекающихся
односвязных областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1,2, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C,
справедливо неравенство
rγ (B0,0) r (B1,a1) r (B2,a2) ≤ 4γ
γ
2(
1− γ
4
)2+ γ
2
(
1−
√
γ
2
1 +
√
γ
2
)2
√
γ
.
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда a0, a1, a2 и
Оценки внутренних радиусов для . . . 27
B0, B1, B2, являются, соответственно, полюсами и круговыми об-
ластями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = − (4− γ)w2 + γ
w2(w2 − 1)2
dw2.
Теорема 2. Пусть n = 3, γ ∈ (0, γ3], γ3 = 2. Тогда для произволь-
ных попарно различных точек ak ∈ Γ, k = 1,3, и любых взаимно
непересекающихся односвязных областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1,3,
a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, справедливо неравенство
rγ (B0,0)
3∏
k=1
r (Bk,ak) ≤
(
4
3
)3 (
4γ
9
) γ
3(
1− γ
9
)3+ γ
3
(
1−
√
γ
3
1 +
√
γ
3
)2
√
γ
.
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда {ak}3k=0 и
{Bk}3k=0, являются, соответственно, полюсами и круговыми обла-
стями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = − (9− γ)w3 + γ
w2(w3 − 1)2
dw2.
Сформулируем один вспомогательный результат, который является
обобщением соответствующего результата работы [5] для произвольно-
го γ > 0 и n ≥ 2.
Лемма 1. Пусть n ∈ N, n ≥ 2, γ > 0. Пусть система взаимно
непересекающихся односвязных областей {B0, B1, B2, . . . , Bn} такова,
что 0 ∈ B0, ak ∈ Bk∩Γ, k = 1,n и rγ (B0,0)
n∏
k=1
r (Bk,ak) ≥ J0
n(γ). Тогда
имеет место неравенство
r (B0,0) ≤ n−
n
2(n−γ) J0
n(γ)−
1
n−γ ,
где
J0
n(γ) =
(
4
n
)n (
4γ
n2
) γ
n(
1− γ
n2
)n+ γ
n
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)2
√
γ
.
28 А.К. Бахтин
Доказательство. Предположим, что
rγ (B0,0)
n∏
k=1
r (Bk,ak) ≥ ∆,
где ∆ – некоторое положительное число. Для компактного множества
E ⊂ C обозначим через m(E) его плоскую меру Лебега, через d(E) –
трансфинитный диаметр [13, c. 286]. Тогда для Bk, k = 1,n, имеем
r (B0,0) = r
(
B+
0 ,∞
)
=
1
d(C\B+
0 )
≤ 1
d
(
∪nk=1B
+
k
) ,
где B+ = {z : 1/z ∈ B}. Из работы [13, c. 34] следует, что
m(Bk) ≥ πr2 (Bk,ak) , k = 1,n.
Учитывая [13, c. 292], имеем
d
(
∪nk=1B
+
k
)
≥
√√√√ 1
π
n∑
k=1
m
(
B+
k
)
≥
√√√√ n∑
k=1
r2 (Bk,ak).
Отсюда
r (B0,0) ≤ 1√
n∑
k=1
r2 (Bk,ak)
. (1)
По нашему предположению
n∏
k=1
r (Bk,ak)(
n∑
k=1
r2 (Bk,ak)
) γ
2
≥ ∆. (2)
Полагая ∆ = J0
n(γ), используя неравенство Коши и соотношение (2),
имеем
n∑
k=1
r2 (Bk,ak) ≥
(
n ·
(
J0
n(γ)
) 2
n
) n
n−γ
. (3)
Оценки внутренних радиусов для . . . 29
Из (1) и (3), получаем неравенство
r (B0,0) ≤ n−
n
2(n−γ) J0
n(γ)−
1
n−γ .
Лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы 1. Сначала покажем, что утверждение
Теоремы 1 справедливо для n = 2 при γ = 1,6. Метод доказатель-
ства базируется на применении метода разделяющего преобразова-
ния областей. Описание разделяющего преобразования областей для
данного случая проведено в [11]. Пусть 0 = arg a1 < arg a2 < 2π,
α1 := 1
π (arg a2 − arg a1), α2 := 1
π (2π − arg a2). Тогда, аналогично до-
казательству [2, Теорема 5.2.3], получаем неравенство
rγ (B0,0) r (B1,a1) r (B2,a2) ≤
[
2∏
k=1
αkr
γα2
k(Λ0,0)r(Λ1,i)r(Λ2,− i)
] 1
2
,
где Λk, {k} = {0,1,2}, — круговые области квадратичного дифферен-
циала (1). Рассмотрим случай, когда α0 ≥ 2√
γ , где α0 = max{α1,α2}.
Согласно работам [1,2, 4], максимум функционала имеет вид:
J0
2 (γ) = rγ(Λ0, 0)
2∏
k=1
r(Λk,λk) =
4γ
γ
2(
1− γ
4
)2+ γ
2
(
1−
√
γ
2
1 +
√
γ
2
)2
√
γ
.
Таким образом, при γ = 1,6 и n = 2, получаем, что J0
2 (1,6) ≈ 0,560264.
Имеет место равенство
r1,6 (B0,0) r (B1,a1) r (B2,a2) =
= r0,6 (B0,0) (r (B0,0) r (B1,a1) r (B2,a2)) .
Согласно Лемме 1, имеем r0,6(B0,0) ≤ 0,843074 < 1. Применив к произ-
ведению r (B0,0) r (B1,a1) r (B2,a2) теорему Голузина [13, c.165], имеем
J2(γ) = rγ (B0,0) r (B1,a1) r (B2,a2) ≤
≤ 0,843074 · 128
81
√
3
sinπ
(
1− 1√
1,6
)
≤ 0,470351.
Отсюда
rγ (B0,0) r (B1,a1) r (B2,a2) ≤ 0,470351 < J0
2 (1,6) = 0,560264.
30 А.К. Бахтин
Таким образом, для α0 ≥ 2√
γ выполняется неравенство
rγ (B0,0) r (B1,a1) r (B2,a2) < J0
2 (γ).
Остается рассмотреть случай, когда α0 <
2√
γ , для которого теорема 1
имеет место, согласно работе [12]. Стандартными методами несложно
показать, что
J2(γ)
J0
2 (γ)
≤ J2(1,6)
J0
2 (1,6)
< 1
на промежутке γ ∈ (1; 1,6] является монотонно возрастающей функ-
цией по γ. Случай равенства проверяется непосредственно. Теорема 1
доказана.
Замечание 1. В работе [11] доказано утверждение Tеоремы 1 для
n = 2 и γ ∈ (0; 1,4].
Доказательство теоремы 2. С помощью разделяющего преобразо-
вания получаем следующее неравенство:
rγ (B0,0)
3∏
k=1
r (Bk,ak) ≤
[
3∏
k=1
αkr
γα2
k(Λ0,0)r(Λ1,i)r(Λ2,− i)
] 1
2
,
где Λk, k ∈ {0,1,2}, – круговые области квадратичного дифференциала
(2). Докажем, что это неравенство имеет место при γ = 2. Для этого
покажем, что для экстремальной конфигурации областей выполняется
неравенство α0 <
2√
γ , α0 = max{α1,α2,α3}. Допустим противополож-
ное, а именно: α0 ≥ 2√
γ . Справедлива цепочка равенств
(J3(γ))
2
=
(
r2 (B0,0)
3∏
k=1
r (Bk,ak)
)2
= r4 (B0,0)
(
3∏
k=1
r (Bk,ak)
)2
=
= r (B0,0) r3 (B0,0)
(
3∏
k=1
r (Bk,ak)
)2
=
= r (B0,0) (r (B0,0) r (B1,a1) r (B2,a2))×
× (r (B0,0) r (B2,a2) r (B3,a3)) (r (B0,0) r (B1,a1) r (B3,a3)) =
= r (B0,0)
(
r1,5 (B0,0)
3∏
k=1
r (Bk,ak)
)2
.
Оценки внутренних радиусов для . . . 31
Согласно [1, 2, 4], максимум функционала
J0
3 (γ) = rγ(Λ0, 0)
3∏
k=1
r(Λk,λk) =
(
4
3
)3 (
4γ
9
) γ
3(
1− γ
9
)3+ γ
3
(
1−
√
γ
3
1 +
√
γ
3
)2
√
γ
.
При γ = 2 и n = 3, получаем, что J0
3 (2) ≈ 0,304346. Согласно Лемме 1
r(B0,0) ≤ 0,632339 < 1.
На основании теоремы Голузина [13, c.165] получаем:
(J3(γ))
2 ≤ 0,632339
(
64
81
√
3
)3 3∏
k=1
|a1 − a2||a1 − a3||a2 − a3|.
Отсюда
|a1 − a2| = 2 sin
π
2
(
2− 2√
2
)
,
|a1 − a3| = |a2 − a3| = 2 sin
π
4
(
2− 2√
2
)
.
Таким образом,
(J3(γ))
2 ≤
≤ 8 · 0,632339
(
64
81
√
3
)3
sin
π
2
(
2−
√
2
)(
sin
π
4
(
2−
√
2
))2
≤ 0,075333.
То есть
J3(2) = 0,274469 < J0
3 (2).
Для случая α0 <
2√
γ Теорема 2 имеет место согласно работе [12]. Стан-
дартными методами показываем, что
J3(γ)
J0
3 (γ)
≤ J3(2)
J0
3 (2)
< 1
на промежутке γ ∈ (1, 2] является монотонно возрастающей функци-
ей по γ. Случай равенства проверяется непосредственно. Теорема 2
доказана.
Замечание 2. В работе [10] доказано утверждение Tеоремы 2 для
n = 3 и γ ∈ (0; 1,5].
32 А.К. Бахтин
Список литературы
[1] Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функ-
ций комплексного переменного // Успехи мат. наук. — 1994. — 49,
№ 1(295). — С. 3 – 76.
[2] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-
алгебраические структуры и геометрические методы в комплекс-
ном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т
математики НАН України, 2008. — 73. — 308 с.
[3] Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометри-
ческой теории функций комплексного переменного. — Владивосток:
"Дальнаука" ДВО РАН, 2009. — 390 с.
[4] Ковалев Л.В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными по-
люсами на окружности // Дальнев. матем. сб. — 1996. — 2. — С. 96 – 98.
[5] Ковалев Л.В. О трех непересекающихся областях // Дальнев. матем.
сб. — 2000. — 1. — С. 3 – 7.
[6] Кузьмина Г.В. Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме
произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей
при наличии свободных параметров // Зап. науч. сем. ПОМИ. — СПб.:
ПОМИ, 2003. — 302. — С. 52 – 67.
[7] Бахтина Г.П., Бахтин А.К. Разделяющее преобразование и задачи о
неналегающих областях // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
К.: Iн-т математики НАН України, 2006. — 3., № 4, — С. 273 – 281.
[8] Заболотний Я.В. Задача про обчислення максимуму добутку внутрiш-
нiх радiусiв неперетинних областей на комплекснiй площинi // Зб. пра-
ць Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН Украї-
ни, 2013. — 10, №4-5. — С. 557 – 564.
[9] Бахтин А.К., Денега И.В. Об одной проблеме В. Н. Дубинина // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН
України, 2013. — 10, №4-5. — C. 401 – 411.
[10] Заболотний Я.В. Про одну екстремальну задачу В.М. Дубiнiна // Укр.
мат. журн. — 2012. — 64, №1. — C. 24 – 31.
[11] Бахтiн О.К., Заболотний Я.В. Оцiнки добутку внутрiшнiх радiусiв
трьох неперетинних областей // Доп. НАН України. — 2013. — №10. —
C. 7 — 10.
[12] Bakhtin A.K., Denega I. V. Addendum to a theorem on extremal
decomposition of the complex plane // Bulletin de la société des sciences et
des lettres de Lódź, Recherches sur les déformations. — 2012. — 62, № 2. —
P. 83 – 92.
Оценки внутренних радиусов для . . . 33
[13] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного перемен-
ного. — М.: Наука, 1966. — 628 с.
[14] Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР. — 1934. — 5. — С. 159 – 245.
[15] Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображе-
ния. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 256 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-99 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:29Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/fe/433f849660731799bf31f42a098f60fe.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-992018-02-13T13:58:16Z Estimates of internal radii for mutually disjoint domains Оценки внутренних радиусов для взаимно непересекающихся областей Bakhtin, A. K. Бахтин, А. К. Paper is devoted to extremal problems of geometric function theory associated with estimates of functionals defined on systems of non-overlapping domains. In particular some special case of the well-known Dubinin's problem about extremal decomposition of the complex plane is consider. Работа посвящена исследованию экстремальних проблем геометрической теории функций комплексного переменного, связанных с оценками функционалов, заданных на системах неналегающих областей. Рассматривается некоторый частный случай известной проблемы В.Н. Дубинина об экстремальном разбиении комплексной плоскости. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/99 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 25-33 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 25-33 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 25-33 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/99/85 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Bakhtin, A. K. Бахтин, А. К. Estimates of internal radii for mutually disjoint domains |
| title | Estimates of internal radii for mutually disjoint domains |
| title_alt | Оценки внутренних радиусов для взаимно непересекающихся областей |
| title_full | Estimates of internal radii for mutually disjoint domains |
| title_fullStr | Estimates of internal radii for mutually disjoint domains |
| title_full_unstemmed | Estimates of internal radii for mutually disjoint domains |
| title_short | Estimates of internal radii for mutually disjoint domains |
| title_sort | estimates of internal radii for mutually disjoint domains |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/99 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak estimatesofinternalradiiformutuallydisjointdomains AT bahtinak estimatesofinternalradiiformutuallydisjointdomains AT bakhtinak ocenkivnutrennihradiusovdlâvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastej AT bahtinak ocenkivnutrennihradiusovdlâvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastej |