Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу
We have investigated the fundamental properties of the matrices of three systems of algebraic equations describing the key problems of intersectoral balance: determination of output by the data of final demand, determination of output by the data of added value, and establishing the interrelation be...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://systemre.org/index.php/journal/article/view/599 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System Research in Energy |
Репозитарії
System Research in Energy| id |
oai:www.systemre.org:article-599 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
System Research in Energy |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2023-10-10T10:39:54Z |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| topic |
матриця детермінант ранг вектор випуск витрати баланс ціна. |
| spellingShingle |
матриця детермінант ранг вектор випуск витрати баланс ціна. Kulyk М.M. Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу |
| topic_facet |
matrix determinant rank vector output input balance price. матриця детермінант ранг вектор випуск витрати баланс ціна. |
| format |
Article |
| author |
Kulyk М.M. |
| author_facet |
Kulyk М.M. |
| author_sort |
Kulyk М.M. |
| title |
Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу |
| title_short |
Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу |
| title_full |
Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу |
| title_fullStr |
Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу |
| title_full_unstemmed |
Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу |
| title_sort |
фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу |
| title_alt |
Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance |
| description |
We have investigated the fundamental properties of the matrices of three systems of algebraic equations describing the key problems of intersectoral balance: determination of output by the data of final demand, determination of output by the data of added value, and establishing the interrelation between equilibrium prices and output. All these problems have been solved with using the same method proposed here and called the method of extrapolation to zero determinant. We have shown that the system of equations recommended by numerous authors for establishing the interrelation between equilibrium prices and output volumes in output units is homogeneous. We have proved that, in this matrix, there exist at least n positive minors with a dimension r = n - 1 , where n is the dimension of matrix. This important feature envisions the fact that, in the continual set of solutions of the corresponding system, it is impossible to find even if a single vector that would correspond to the meaning content of tables “input-output”. Therefore, this system cannot be used not only for determining equilibrium prices and output in output units, but also for the solution of other problems of intersectoral balance.We have proved that the matrix of the system of equations for finding output by the data of final demand has a rank r = n, and its determinant is always positive for any dimension of this matrix and non-negativeness of the elements of final demand, and the last condition not always is necessary.We have established that the system of equations for finding output by the data of added value has a matrix whose rank is r = n, and its determinant is positive for all values of variables satisfying the condition of input balance. The property of positiveness of the determinant of this matrix was already proved by R. Bellman, and this proof was based on the Gram determinants. It is more compact than the method of extrapolation to zero determinant, but the latter can be applied to all problems considered here and, which is quite important, enables one to obtain not only the sign, but also the values of determinants under study.We should especially emphasize the unique property of matrices of the systems of equations for determining output by the data of final demand and added value. The determinants of these matrices depend on the values of right-hand sides of the corresponding systems, namely, on the values of elements of the vectors of final demand and added value, respectively. The initial cause of such property is the fact that these systems were constructed on the basis of output and input balances. |
| publisher |
General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| publishDate |
2017 |
| url |
https://systemre.org/index.php/journal/article/view/599 |
| work_keys_str_mv |
AT kulykmm fundamentalpropertiesofthemainmatrixformsinthesystemsofequationsofintersectoralbalance AT kulykmm fundamentalʹnívlastivostíosnovnihmatričnihformvsistemahrívnânʹmížgaluzevogobalansu |
| first_indexed |
2025-09-24T17:33:43Z |
| last_indexed |
2025-09-24T17:33:43Z |
| _version_ |
1844167546062766080 |
| spelling |
oai:www.systemre.org:article-5992023-10-10T10:39:54Z Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу Kulyk М.M. matrix, determinant, rank, vector, output, input, balance, price. матриця, детермінант, ранг, вектор, випуск, витрати, баланс, ціна. We have investigated the fundamental properties of the matrices of three systems of algebraic equations describing the key problems of intersectoral balance: determination of output by the data of final demand, determination of output by the data of added value, and establishing the interrelation between equilibrium prices and output. All these problems have been solved with using the same method proposed here and called the method of extrapolation to zero determinant. We have shown that the system of equations recommended by numerous authors for establishing the interrelation between equilibrium prices and output volumes in output units is homogeneous. We have proved that, in this matrix, there exist at least n positive minors with a dimension r = n - 1 , where n is the dimension of matrix. This important feature envisions the fact that, in the continual set of solutions of the corresponding system, it is impossible to find even if a single vector that would correspond to the meaning content of tables “input-output”. Therefore, this system cannot be used not only for determining equilibrium prices and output in output units, but also for the solution of other problems of intersectoral balance.We have proved that the matrix of the system of equations for finding output by the data of final demand has a rank r = n, and its determinant is always positive for any dimension of this matrix and non-negativeness of the elements of final demand, and the last condition not always is necessary.We have established that the system of equations for finding output by the data of added value has a matrix whose rank is r = n, and its determinant is positive for all values of variables satisfying the condition of input balance. The property of positiveness of the determinant of this matrix was already proved by R. Bellman, and this proof was based on the Gram determinants. It is more compact than the method of extrapolation to zero determinant, but the latter can be applied to all problems considered here and, which is quite important, enables one to obtain not only the sign, but also the values of determinants under study.We should especially emphasize the unique property of matrices of the systems of equations for determining output by the data of final demand and added value. The determinants of these matrices depend on the values of right-hand sides of the corresponding systems, namely, on the values of elements of the vectors of final demand and added value, respectively. The initial cause of such property is the fact that these systems were constructed on the basis of output and input balances. Досліджено фундаментальні властивості матриць трьох систем алгебраїчних рівнянь, якими формалізуються ключові задачі міжгалузевого балансу: визначення випуску за даними кінцевого попиту, визначення випуску за даними доданої вартості, встановлення взаємозв'язку між рівноважними цінами і випуском. Всі ці задачі вирішено з використанням одного і того самого запропонованого тут методу, названого методом екстраполяції до нульового детермінанту. Показано, що система рівнянь, рекомендована багатьма авторами для встановлення взаємозв'язку рівноважних цін та обсягів випуску в одиницях випуску, є однорідною. Доведено, що в цій матриці існує, як мінімум, n позитивних мінорів з розмірністю r = n - 1, де n - розмірність матриці. Ця важлива особливість зумовлює те, що в континуальній множині розв’язків відповідної системи неможливо знайти хоча б один вектор, який відповідав би смисловому змісту таблиць «витрати-випуск». Тому цю систему не можна використовувати не тільки для визначення рівноважних цін і випусків в одиницях випуску, а й для розв'язання інших задач міжгалузевого балансу.Доведено, що матриця системи рівнянь для визначення випуску за даними кінцевого попиту має ранг r = n. Детермінант цієї матриці є завжди позитивним при будь-якій її розмірності і невід'ємності елементів кінцевого попиту, причому остання умова не завжди є необхідною.Встановлено, що система рівнянь для визначення випуску за даними доданої вартості має матрицю, ранг якої r = n, а детермінант позитивний при всіх значеннях змінних, які відповідають умові балансу витрат. Властивість позитивності детермінанта цієї матриці вже було доведено Р. Беллманом. При цьому використовувалося доказ, заснований на визначниках Грама. Він компактніший за метод екстраполяції до нульового детермінанта, проте останній використовується відразу до всіх розглянутих тут задач і, що важливо, дає можливість визначити не тільки знак, а й значення досліджуваних детермінантів.Слід особливо підкреслити унікальну властивість матриць систем рівнянь для визначення випусків за даними кінцевого попиту і доданої вартості. Визначники цих матриць залежать від значень правих частин відповідних систем, а саме, від значень елементів векторів кінцевого попиту і доданої вартості відповідно. Першопричиною такої властивості є те, що ці системи побудовані на підставі балансів випуску і витрат. General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine 2017-07-14 Article Article application/pdf https://systemre.org/index.php/journal/article/view/599 10.15407/pge2017.02.014 System Research in Energy; No. 2 (49) (2017): The Problems of General Energy; 14-39 Системні дослідження в енергетиці; № 2 (49) (2017): Проблеми загальної енергетики; 14-39 2786-7102 2786-7633 uk https://systemre.org/index.php/journal/article/view/599/525 |