Construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling

The modified additively-averaged splitting is used with the coordinate-wise domain decomposition in numeric modeling parallelization. It allows us to avoid determination of boundary conditions inside the domain. Quantitative estimations of parallelized algorithm are considered and a numerical experi...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2026
Main Authors:	Chernish, R.I., Tyrchak, Yu.M., Ivanenko, P.A.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	PROBLEMS IN PROGRAMMING 2026
Subjects:	UDC 681.3
Online Access:	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/1010
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Problems in programming
Download file:

Institution

Problems in programming

_version_	1867841447986724864
author	Chernish, R.I. Tyrchak, Yu.M. Ivanenko, P.A.
author_facet	Chernish, R.I. Tyrchak, Yu.M. Ivanenko, P.A.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "R.I. Chernish", "institution": "Ukrainian Hydrometeorological Institute" }, { "author": "Yu.M. Tyrchak", "institution": "Institute of Software Systems NAS of Ukraine" }, { "author": "P.A. Ivanenko", "institution": "Institute of Software Systems NAS of Ukraine" } ]
author_sort	Chernish, R.I.
baseUrl_str	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai
collection	OJS
datestamp_date	2026-06-12T14:33:31Z
description	The modified additively-averaged splitting is used with the coordinate-wise domain decomposition in numeric modeling parallelization. It allows us to avoid determination of boundary conditions inside the domain. Quantitative estimations of parallelized algorithm are considered and a numerical experiment is performed.Problems in programming 2009; 1: 85-91
first_indexed	2026-06-13T01:00:16Z
format	Article
fulltext	Прикладне програмне забезпечення © Р.І. Черниш, Ю.М. Тирчак, П.А. Іваненко, 2009 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2009. № 1 85 УДК 681.3 Р.І. Черниш, Ю.М. Тирчак, П.А. Іваненко ПОБУДОВА ПАРАЛЕЛЬНОГО АЛГОРИТМУ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ БАГАТОВИМІРНОЇ ЗАДАЧІ МОДЕЛЮВАННЯ НАВКОЛИШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА Розглядається розпаралелювання чисельного моделювання з використанням модифікованого адитивно- усередненого розщеплення з покоординатною декомпозицією області. Це дозволяє уникнути визначен- ня крайових умов усередині розрахункової області. Наведені кількісні показники розпаралеленого ал- горитму, проведено чисельний експеримент. Вступ Реалізація обчислень на ЕОМ є від- повідальною ланкою під час розв’язання прикладних задач. Від неї у значній мірі залежить ефективність та доцільність отримання остаточного результату. Як ві- домо [1, 2], сучасні інформаційні техноло- гії та прикладне програмне забезпечення так чи інакше ґрунтуються на концепціях паралельних та розподілених обчислень. Саме їх використання є принципово важ- ливим для досягнення високих показників продуктивності мультипроцесорної оброб- ки та паралельного програмування. Для наближеного чисельного розв’язання багатовимірних задач матема- тичної фізики цілком прийнятними є обид- ві парадигми паралелізму [3, 4]: розпарале- лювання на рівні чисельної процедури та на рівні даних. Звісно, одночасне застосу- вання цих парадигм є бажаним, проте не завжди можливе. Причиною цьому є та об- ставина, що не всі чисельні алгоритми мо- жуть бути зведені до паралельної форми. Проте будь-яку задачу математичної фізи- ки можливо звести до сукупності підзадач шляхом поділу даних, тобто декомпозиції розрахункової області [5, 6]. Такий підхід не лише зведе алгоритм до паралельної форми, а й спростить геометрію підоблас- тей. Але для коректної постановки підза- дач виникає потреба задання крайових умов усередині розрахункової області. Крайові умови для підзадач у разі геометричного розщеплення враховуються постановкою обмінних граничних умов, накладанням підобластей, постановкою умов із явного шару, застосуванням ітера- цій тощо [5, 6]. У даній роботі на прикладі модифікованої адитивно-усередненої схе- ми розщеплення [7] та покоординатної де- композиції області буде показано, що мож- ливе поєднання геометричного та операто- рного розщеплення, яке не потребує поста- новки крайових умов усередині розрахун- кової області. Модифіковане адитивно-усереднене розщеплення Розглянемо нестаціонарну крайову задачу із крайовими умовами першого роду fu t u =Λ+ ∂ ∂ , ΓΩ∈x ( ]Tt ;0∈ , (1) ( ) ( )xuxu 0,0 = , Ω∈x , (2) ( ) ( )tuxtu Γ=, , Ω∂=Γ∈x [ ]Tt ;0∈ , (3) де ∑ = Λ=Λ L k k 1 – просторовий оператор, що подається через суму простіших операто- рів, ∑ = = L k kff 1 . Згідно [7] модифікація полягає у введенні незалежного параметру m таким чином: часовий проміжок [ ]T;0 розбива- ється на відрізки довжини τm . Тоді задача (1) – (3) зводиться до розв’язання низки підзадач (4) та усереднення їх результатів (5) через кожні m кроків Прикладне програмне забезпечення 86 lll l fu t u L =Λ+ ∂ ∂1 , ( )[ ]ττ mqqmt 1; +∈ , L,1=l , (4) ( ) ( )xqmyxqmu ,, ττ =l , ( ) )(,0 0 xuxy = , ( )( ) ( )( )∑ = +=+ L xmqu L xmqy 1 ,1 1 ,1 l l ττ , (5) де  τmTq ,...,0= . Слід зауважити, що можлива пара- лельна реалізація етапу (4) для всіх L під- задач оскільки обмін інформацією між ни- ми здійснюється на етапі (5). Покоординатна декомпозиція області Розглянемо спеціальну декомпози- цію для області [ ]p1;0=Ω . Ця декомпози- ція p -мірного гіперкубу полягає у поділі на частини       Ω=ΩΩ=Ω = U ks i k i k i k 1 )()()( : таким чином, щоб принаймні за k -м координат- ним напрямком область Ω залишалася ці- лою. Тобто, покоординатна декомпозиція )(kΩ має задовольняти наступні вимоги: 1) 1=kdiaml для довільного відрізка kl із )()( kk i Ω∈Ω , ksi ,...,1= , що паралель- ний вісі kOx ; 2) можливе також існування інших координатних напрямків, що мають влас- тивість (п. 1). Надалі декомпозицію )(kΩ будемо пов’язувати із розбиттям області Ω , тобто вважатимемо, що суміжні підобласті )()()( , kk j k i Ω∈ΩΩ , ji ≠ матимуть спільні гіперграні розмірності не більше за 1−p . Також поставимо у відповідність області Ω одну із можливих множин покоордина- тних декомпозицій { }pkk ,...,1:)( =Ω , яка покриває всі просторові координатні на- прямки відповідно до (п. 1). Внаслідок (п. 2) можлива ситуація, коли деяка декомпо- зиція )(kΩ відповідає кільком координат- ним напрямкам. Зокрема, випадок виро- дженої декомпозиції Ω=Ω )(k відповідає відразу всім напрямкам. Приклади двох множин покоорди- натних декомпозицій для випадку [ ]31;0=Ω , що покривають всі напрямки, показано на рис. 1 та 2. Декомпозиції із { }3,2,1:)3( =Ω k , які показані на рис. 1, визначаються лише (п. 1). Тому кожна покоординатна декомпози- ція )(kΩ відповідає лише одному просторо- вому напрямку. На рис. 2 кожна із двох декомпозицій визначається (п. 1 та 2). По- тім кожній декомпозиції відповідає два на- прямки; напрямку 2Ox відповідають обид- ві декомпозиції. Рис. 1. Множина індивідуальних покоординатних декомпозицій: а) для напрямку 1x ; б) для напрямку 2x ; в) для напрямку 3x Прикладне програмне забезпечення 87 Паралельна реалізація задачі Розглянемо деяку еволюційну мо- дель, що складається із r рівнянь, містить крайові умови першого роду та визначена в області [ ]p1;0=Ω . )()( )( ii i fu t u =Λ+ ∂ ∂ , ΓΩ∈x ( ]Tt ;0∈ , (6) ( ) ( )xuxu ii )( 0 )( ,0 = , Ω∈x , (7) ( ) ( )tuxtu ii )()( , Γ= , Ω∂=Γ∈x [ ]Tt ;0∈ , (8) де ∑ = Λ=Λ L k i k i 1 )()( – просторові оператори, що подаються через суму простіших опе- раторів ∑ = = L k i k i ff 1 )()( , ri ,1= . Обмежимося розглядом коректно поставлених задач, коли для деякого класу початкових (7) та крайових (8) даних розв’язок існує у заданому класі функцій, єдиним чином визначений та неперервно залежить від цих даних, які є взаємно узгодженими. Для спрощення подальших мірку- вань зробимо кілька припущень. Нехай має місце рівність pL = та кожна операторна компонента )(i kΛ , ri ,1= пов’язана лише з k -м просторовим напрямком (уздовж вісі kOx ). Прикладом цього може бути випа- док, коли оператори )(i kΛ , ri ,1= містять всі похідні за змінною kx та не містять похід- них за іншими змінними. Надалі орієнтуватимемося на MIMD архітектуру паралельної обчислю- вальної системи (ПОС) згідно класифікації Флінна. Одна із парадигм паралельного програмування для ПОС передбачає поділ алгоритму на окремі частини, що дозволя- ють їх паралельне виконання. У цьому ви- падку формула Вірта набуває вигляду [2, 3]: паралельна програма = паралельні алгоритми + структури даних. Розглянемо застосування цієї пара- дигми до поставленої модельної задачі (6) – (8), що розв’язується алгоритмом (4) – (5). Існує дві можливості застосуван- ня алгоритмічного розпаралелювання. У загальному випадку система рів- нянь (6) – (8) є нелінійною. Проте навіть за таких умов можливий вибір методів на- ближеного розв’язання відповідних одно- вимірних задач, які дозволяють здійснити розпаралелення обчислень за рівняннями завдяки інформаційній взаємній незалеж- ності обчислень при переході на наступ- ний часовий шар чи на наступний ітера- ційний крок. Обмін інформацією у відпо- відній системі дискретних рівнянь здійс- нюється через початкові дані. Іншою можливістю є паралельна реалізація етапу (4) модифікованого ади- Рис. 2. Множина парних покоординатних декомпозицій: а) для напрямків 1x та 2x ; б) для напрямків 2x та 3x Прикладне програмне забезпечення 88 тивно-усередненого розщеплення. За при- йнятих припущень це фактично є розщеп- лення за напрямками. Проте слід зауважи- ти, що етап (5) не підлягає алгоритмічному розпаралелюванню. Парадигма геометричного паралелі- зму передбачає декомпозицію структур даних та записується так: паралельна програма = алгоритми + розподілені структури даних. Ця парадигма досить широко засто- совується для реалізації розв’язання різно- манітних задач скінченно-різницевими ме- тодами. Її суть полягає у поділі просторо- вої області визначення задачі на підмно- жини та розв’язанні сукупності підзадач, що визначені на цих підмножинах. Такий підхід є досить універсальним та ефектив- ним засобом розпаралелювання обчислень та поширюється на широкий клас алгори- тмів. Проте застосування цієї парадигми для розв’язання еволюційних задач зумов- лює появу принципової проблеми – про- блема постановки крайових умов для підо- бластей. Як варіант її вирішення вдаються до постановки обмінних граничних умов на границях підобластей (підобласті пере- криваються), умов узгодження (підобласті не перекриваються) чи постановки цих умов із явного шару з подальшим ітегру- ванням [5, 6]. Звісно, в цьому разі або з’являється певна залежність обчислень у підобластях від наявних на поточний мо- мент даних, або використовується ітера- ційний підхід до розв’язання чи здійсню- ються додаткові обчислення граничних умов (неітераційні). Ці фактори призво- дять до зниження ефективності розпарале- лення. Тому зведення до мінімуму вагової частки додаткових витрат є пріоритетним напрямком оптимізації чисельного розв’язання задачі. Поєднаємо алгоритмічне розпара- лелення задачі із геометричним таким чи- ном, щоб запобігти врахуванню крайових умов усередині розрахункової області. Для цього задамо множину покоординатних декомпозицій { }pkk ,1:)( =Ω , яка покриває усі просторові напрямки. Зокрема, можли- во, що деякі декомпозиції )(kΩ відповіда- ють відразу кільком напрямкам. Нехай ко- жне розбиття )(kΩ складається із s рівно- великих підобластей. Поставимо у відпові- дність кожній задачі із (4) )()()( )(1 iii i fu t u p lll l =Λ+ ∂ ∂ , ( )[ ]ττ mqqmt 1; +∈ , (9) де ri ,1= , p,1=l , декомпозицію розрахункової області )(lΩ . Це забезпечить розщеплення задачі (9) на підзадачі, що визначені у підобластях із )(lΩ : )()()( )( 1 i j i j i j i j fu t u p lll l =Λ+ ∂ ∂ , ( )[ ]ττ mqqmt 1; +∈ )(l jx Ω∈ , (10) де )(i jlΛ , )(i jf l – звуження відповідного опе- ратора та функції на область Ω⊆Ω )(l j , p,1=l , sj ,1= , ri ,1= . Зрозуміло, що задачі (10) є повно- цінними, оскільки початковими умовами для них є відповідна частина результату усереднення (5), або власний результат попереднього обчислення. Внаслідок під- бору покоординатної декомпозиції )(lΩ до операторів )(i lΛ , ri ,1= , а також її особли- вості, підобласть залишилася цілою вздовж дії оператора. Отже, необхідні ли- ше крайові умови для граней { }1,0∈lx , які є межами розрахункової області Ω . Геометричне розпаралелювання та- кож застосовне і до усереднення (5). Обе- ремо для цього, наприклад, декомпозицію )1(Ω , тоді ( )( ) ( )( )∑ = +=+ p ii j xmqu p xmqy 1 )()( ,1 1 ,1 l l ττ , )1( jx Ω∈ , ri ,1= , (11) де lu – скомпонований із відповідних век- торів lju згідно (10), sj ,1= . Остаточний результат формується компонуванням ( )( )xmqy i ,1)( τ+ із векто- рів, що отримані за формулою (11). Прикладне програмне забезпечення 89 Кількісні показники паралельної реалізації Для кількісної оцінки ефективності реалізації системи (6) – (8) із використан- ням одночасного розпаралелювання за рів- няннями, напрямками (9) та підобластями (10) – (11) використаємо модель паралель- ної машини PRAM. Для теоретичного ана- лізу алгоритму вона є цілком прийнятною та широко використовується [1, 4]. Припустимо, що кожна декомпози- ція складається з однакової кількості рів- новеликих елементів: { }sik i k ,1:)()( =Ω=Ω , pk ,1= . Введемо такі позначення: a – середній час, що витрачається од- ним процесором на здійснення одного кроку за часом τ для всієї просторової об- ласті Ω за формулою (4); b – середній час, що витрачається од- ним процесором на здійснення усереднен- ня для всієї просторової області Ω за формулою (5). Часова складність для паралельної реалізації на rps процесорах одного обчи- слення для задачі за формулами (10) – (11) становить s bma Trps += , а у разі послідовного виконання цих дій на одному процесорі, маємо ( )bpmarT +=1 . Загальний час розв’язання задачі для обох випадків становитиме відповідно       +== m b a s N T m N rpsrpsθ ,       +== m b paNrT m N m)( 11θ . Знаходимо коефіцієнт мультипро- цесорного прискорення ( ) srp cm pcmsr S rps rps ≤ + +== 1 11 θ θ , де 1>>= b a c . Ефективність використання проце- сорів дорівнює 1 1 ≤ + +== ppcm pcm rps S E rps rps . Часова ціна алгоритму складає ( )bmarp m N rpsC rpsrps +== θ . Очевидно, що має місце нерівність ( ) ( ) rpsCbmarp m N bpmarp m N p =+≥+=1θ . Тому виконується оцінка ( ))( 1 m rps OC θ= , яка доводить оптимальність алгоритму. Чисельний експеримент Зауважимо, що нас цікавить чисе- льна складність задачі, а не її фізична чи математична цінність. Тому розглядалася проста тестова тривимірна початково- крайова задача конвективної дифузії, що визначена в області [ ]31;0=Ω f x u xx u v t u k k k kk k k +      ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂+ ∂ ∂ ∑∑ == 3 1 )( 3 1 )( µ , Ω∈x , [ ]1;0∈t , ( )      −= ∑ = 3 1 2exp,0 k kxAxu , Ω∈x , ( ) ( )xtuxtu A ,, = , Ω∂∈x [ ]1;0∈t , де 0,0,0 )()( >=>=>= constconstvconstA kk µ , ( ) ( ) ( )( )∑ = −−= 3 1 2)()( 41,, k k k k tvxxtuxtf µ . Відомий аналітичний розв’язок цієї задачі ( ) ( )( )      −+−= ∑ = 3 1 2)()(exp, k k k k A tvxtAxtu µ , який було використано для визначення то- чності чисельного розв’язку. Тестова задача реалізована за до- помогою модифікованого адитивно- усередненого розщеплення та геометрич- ного розпаралелення згідно формул (10) – (11). Для порівняння та оцінки результатів паралельної реалізації також здійснено по- слідовне розв’язання задачі. В обох випад- ках до уваги бралися лише витрати часу, що пов’язані безпосередньо з обчислен- нями. Всі експерименти здійснено за та- ких значень параметрів: Прикладне програмне забезпечення 90 ,033.0321 =∆=∆=∆ xxx 03.0,5.0,1 )()( === kkvA µ . Величина кроку за часом варіювалася для досягнення заданої точності розв’язку. Де- композиційні множини, що покривають всі просторові напрямки, задавалися згідно рис. 2 та мали однакову кількість рівно- великих підобластей. Експеримент здійснено на гомоген- ній ЕОМ, що містить 24 процесори Dual- Core Intel Itanium 2 Series 9000 із частотою 1.6 ГГц та архітектурою IA64. Система до- ступу до пам’яті NUMAlink 4; топологія доступу fat-tree; загальний обсяг оператив- ної пам’яті становить 96 ГБ. Паралельна реалізація задачі здійснювалася засобами бібліотеки MPI. Результати експерименту подані у графічній формі на рис. 3. На рис. 3, б, в, г чітко простежуєть- ся тенденція до зменшення часових витрат на розв’язання задачі (за фіксованої точно- сті) зі збільшенням кількості підобластей у декомпозиціях. Одночасно відбувається певне їх зростання з ростом значення параметра m. Зміна лінійного тренду різким гра- дієнтом графіків на рис. 3, а та згущення ізоліній у верхній частині рис. 3, б, в, г по- яснюється наближенням чисельного розв’язку до межі точності, яка визнача- ється похибкою просторової дискретизації. З метою перевірки формули для мультипроцесорного прискорення вибе- ремо, наприклад, часові витрати на розв’язання задачі в точці 0.3lg,10 =−= εs на графіках рис. 3, б, в, г та порівняємо їх із відповідними значеннями на рис. 3, а. Рис. 3. Залежність витрат часу Tlg від точності розв’язку εlg− : послідовна реалізація: а) 1 1=m , 2 2=m , 3 4=m , паралельна реалізація ( s – кількість підобластей); б) 1=m ; в) 2=m ; г) 4=m Прикладне програмне забезпечення 91 Маємо, що для рис. 3, б 55.0lg −=T , для рис. 3, в 5.0lg −=T , для рис. 3, г 45.0lg −=T . Відповідні значення Tlg на рис. 3, а становлять: 0.85, 0.9 та 1.0. Звідси знаходимо коефіцієнт прискорення: для 1=m та 2=m , S = 25.1, для 4=m , 2.28=S . Як і очікувалося, значення ко- ефіцієнтів обмежені числом 10⋅1⋅3 = 30. Висновки Запропонований альтернативний підхід до декомпозиції області розв’язання задачі. Поєднання покоординатної деком- позиції із алгоритмічним розщепленням задачі за просторовими напрямками дозво- ляє отримати сукупність підзадач, які не потребують жодних узгоджень розв’язків через обміни даними чи через умови спря- ження на спільних границях підобластей. Підзадачі виявляються абсолютно незале- жними в межах кількох кроків за часом завдяки застосуванню модифікованого адитивно-усередненого методу розщеп- лення. Ця властивість дозволяє підвищити ефективність обчислень оскільки зменшу- ються витрати часу на додаткові дії. Наведено кількісні оцінки розпара- лелювання чисельного алгоритму для ви- падку реалізації системи еволюційних рів- нянь за допомогою PRAM-моделі. Вони свідчать про оптимальність паралельного алгоритму та його широкі можливості для ефективного розв’язання задачі. Всі теоре- тичні результати цілком узгоджуються з проведеним чисельним екпериментом. 1. Миллер Р., Боксер Л. Последовательные и параллельные алгоритмы. Общий подход / Пер. с англ. А.В. Козвонина – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006. – 406 с. 2. Прусов В.А., Дорошенко А.Ю. Моделювання природних і техногенних процесів в атмо- сфері. – К.: Наук. думка, 2006. – 542 с. 3. Дорошенко А.Ю. Лекції з паралельних об- числювальних систем // Методичний посі- бник. – К.: Видавничий дім „КМ Акаде- мія”, 2003. – 44 с. 4. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. – М.: Наука, 1986. – 269 с. 5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитив- ные схемы для задач математической фи- зики. – М.: Наука, 2001. – 320 с. 6. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. – Минск: ЦОТЖ, 1998. – 442 с. 7. Прусов В.А., Дорошенко А.Е., Черныш Р.И. Метод численного решения многомерной задачи конвективной диффузии // Киберне- тика и системный анализ. – 2009. – № 1. – С. 100 – 107. Отримано 04.12.2008 Про авторів: Черниш Руслан Іванович, старший науковий співробітник Українського гідрометеорологічного інституту, Тирчак Юрій Мар’янович, науковий співробітник Інституту програмних систем НАН України, Іваненко Павло Андрійович, студент 6-го курсу Київського національного університету імені Тараса Шевченка. . Місце роботи авторів: Український гідрометеорологічний інститут 03028, Київ, проспект Науки, 37, E-mail: chernysh@uhmi.org.ua Інститут програмних систем НАН України. 03187, Київ, проспект Академіка Глушко- ва, 40, корп. 5, E-mail: chacke@gmail.com Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 01033, Київ, вул. Володимирська 60. E-mail: paiv@ukr.net
id	pp_isofts_kiev_ua-article-1010
institution	Problems in programming
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-13T01:00:16Z
publishDate	2026
publisher	PROBLEMS IN PROGRAMMING
record_format	ojs
resource_txt_mv	ppisoftskievua/43/e2032282aff646774d6ae008fa479c43.pdf
spelling	pp_isofts_kiev_ua-article-10102026-06-12T14:33:31Z Construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling Построение параллельного алгоритма численного решения многомерной задачи моделирования окружающей среды Побудова паралельного алгоритму чисельного розв’язання багатовимірної задачі моделювання навколишнього середовища Chernish, R.I. Tyrchak, Yu.M. Ivanenko, P.A. UDC 681.3 УДК 681.3 УДК 681.3 The modified additively-averaged splitting is used with the coordinate-wise domain decomposition in numeric modeling parallelization. It allows us to avoid determination of boundary conditions inside the domain. Quantitative estimations of parallelized algorithm are considered and a numerical experiment is performed.Problems in programming 2009; 1: 85-91 Рассматривается распараллеливание численного моделирования с использованием модифицированного адитивно-усредненного расщепления с покоординатной декомпозицией области. Это позволяет избежать определения граничных условий внутри расчетной области. Приведены количественные показатели распараллеленного алгоритма, проведен численный эксперимент.Problems in programming 2009; 1: 85-91 Розглядається розпаралелювання чисельного моделювання з використанням модифікованого адитивно-усередненого розщеплення з покоординатною декомпозицією області. Це дозволяє уникнути визначення крайових умов усередині розрахункової області. Наведені кількісні показники розпаралеленого ал-горитму, проведено чисельний експеримент.Problems in programming 2009; 1: 85-91 PROBLEMS IN PROGRAMMING ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ 2026-06-12 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/1010 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 1 (2009); 85-91 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 1 (2009); 85-91 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 1 (2009); 85-91 1727-4907 uk https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/1010/1078 Copyright (c) 2026 PROBLEMS IN PROGRAMMING
spellingShingle	UDC 681.3 Chernish, R.I. Tyrchak, Yu.M. Ivanenko, P.A. Construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling
title	Construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling
title_alt	Построение параллельного алгоритма численного решения многомерной задачи моделирования окружающей среды Побудова паралельного алгоритму чисельного розв’язання багатовимірної задачі моделювання навколишнього середовища
title_full	Construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling
title_fullStr	Construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling
title_full_unstemmed	Construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling
title_short	Construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling
title_sort	construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling
topic	UDC 681.3
topic_facet	UDC 681.3 УДК 681.3 УДК 681.3
url	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/1010
work_keys_str_mv	AT chernishri constructionofparallelalgorithmfornumericsolvingmultidimensionalproblemofenvironmentalmodeling AT tyrchakyum constructionofparallelalgorithmfornumericsolvingmultidimensionalproblemofenvironmentalmodeling AT ivanenkopa constructionofparallelalgorithmfornumericsolvingmultidimensionalproblemofenvironmentalmodeling AT chernishri postroenieparallelʹnogoalgoritmačislennogorešeniâmnogomernojzadačimodelirovaniâokružaûŝejsredy AT tyrchakyum postroenieparallelʹnogoalgoritmačislennogorešeniâmnogomernojzadačimodelirovaniâokružaûŝejsredy AT ivanenkopa postroenieparallelʹnogoalgoritmačislennogorešeniâmnogomernojzadačimodelirovaniâokružaûŝejsredy AT chernishri pobudovaparalelʹnogoalgoritmučiselʹnogorozvâzannâbagatovimírnoízadačímodelûvannânavkolišnʹogoseredoviŝa AT tyrchakyum pobudovaparalelʹnogoalgoritmučiselʹnogorozvâzannâbagatovimírnoízadačímodelûvannânavkolišnʹogoseredoviŝa AT ivanenkopa pobudovaparalelʹnogoalgoritmučiselʹnogorozvâzannâbagatovimírnoízadačímodelûvannânavkolišnʹogoseredoviŝa

Construction of parallel algorithm for numeric solving multidimensional problem of environmental modeling

Institution

Similar Items