Semantic properties of five-valued logics

A new class of program-oriented logical formalisms – propositional five-valued logics and five-valued logics of quasiary predicates is proposed and studied in the article. The quasiarity of predicates means that their arity is not fixed. A special feature of such five-valued logics is the use of spe...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Nikitchenko, M.S., Shyshatska, E.V.
Формат:	Стаття
Мова:	rus
Опубліковано:	Інститут програмних систем НАН України 2018
Теми:	program system five-valued function five-valued predicate algebra logic UDC 004.42:510.69
Онлайн доступ:	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/230
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Problems in programming
Завантажити файл:

Репозитарії

Problems in programming

id	pp_isofts_kiev_ua-article-230
record_format	ojs
resource_txt_mv	ppisoftskievua/3c/26e598836a2c3359e86920686150933c.pdf
spelling	pp_isofts_kiev_ua-article-2302024-04-28T11:34:15Z Semantic properties of five-valued logics Семантические свойства пятизначных логик Семантичні властивості п’ятизначних логік Nikitchenko, M.S. Shyshatska, E.V. program system; five-valued function; five-valued predicate; algebra; logic UDC 004.42:510.69 программная система; пятизначная функция; пятизначный предикат; алгебра; логика УДК 004.42:510.69 програмна система; п’ятизначна функція; п’ятизначний предикат; алгебра; логіка УДК 004.42:510.69 A new class of program-oriented logical formalisms – propositional five-valued logics and five-valued logics of quasiary predicates is proposed and studied in the article. The quasiarity of predicates means that their arity is not fixed. A special feature of such five-valued logics is the use of special truth values, indicating errors or uncertainties in various systems, in particular, software systems. The article gives an ontological justification of five-valued logics and examines their examples. For the propositional level, an algebra of truth values is constructed and its semantic properties are studied. For the predicate level, the five-valued logic of quasiary predicates is constructed, its semantic properties are studied, the relation of equivalence of formulas and the relation of logical consequence are introduced, the principle of duality is proved and various normal forms are considered. Further research is focused on constructing algorithms for checking satisfiability and refutability of formulas and constructing various types of calculi for the introduced logics.Problems in programming 2018; 1: 22-35 Предложен и исследован новый класс программно-ориентированных логи-ческих формализмов – пропозициональные пятизначные логики и логики пятизначных квазиарных предикатов. Квазиарность предикатов означает, что их арность не фиксирована. Особенностью таких пятизначных логик является использование специальных истинностных значений, указывающих на ошибки или неопределенности в различных системах, в частности, программных системах. Приведено онтологическое обоснование пятизначных логик и рассмотрены их примеры. Для пропозиционального уровня построена алгебра истинностных значений и изучены ее семантические свойства. Для предикатного уровня построена пятизначная логика квазиарных предикатов, изучены ее семантические свойства, введено отношение эквивалентности формул и отношение логического следования, доказан принцип дуальности и рассмотрены различные нормальные формы. Дальнейшие исследования ориентированы на построение алгоритмов проверки выполнимости и опровержимости формул и построению различных типов исчислений для введенных логик.Problems in programming 2018; 1: 22-35 Запропоновано та досліджено програмно-орієнтовані п’ятизначні логіки двох рівнів: пропозиційну п’ятизначну логіку та логіку п’ятизначних квазіарних предикатів. Такі логіки природним чином виникають при розгляді систем, у тому числі програмних систем, які обробляють різні типи невизначеностей та помилок. Побудовано алгебри п’ятизначних функцій та предикатів. Описано семантичні властивості таких алгебр та відповідних п’ятизначних логік.Problems in programming 2018; 1: 22-35 Інститут програмних систем НАН України 2018-10-09 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/230 10.15407/pp2018.01.022 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 1 (2018); 22-35 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 1 (2018); 22-35 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 1 (2018); 22-35 1727-4907 10.15407/pp2018.01 rus https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/230/225 Copyright (c) 2018 PROBLEMS OF PROGRAMMING
institution	Problems in programming
baseUrl_str	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai
datestamp_date	2024-04-28T11:34:15Z
collection	OJS
language	rus
topic	program system five-valued function five-valued predicate algebra logic UDC 004.42:510.69
spellingShingle	program system five-valued function five-valued predicate algebra logic UDC 004.42:510.69 Nikitchenko, M.S. Shyshatska, E.V. Semantic properties of five-valued logics
topic_facet	program system five-valued function five-valued predicate algebra logic UDC 004.42:510.69 программная система пятизначная функция пятизначный предикат алгебра логика УДК 004.42:510.69 програмна система п’ятизначна функція п’ятизначний предикат алгебра логіка УДК 004.42:510.69
format	Article
author	Nikitchenko, M.S. Shyshatska, E.V.
author_facet	Nikitchenko, M.S. Shyshatska, E.V.
author_sort	Nikitchenko, M.S.
title	Semantic properties of five-valued logics
title_short	Semantic properties of five-valued logics
title_full	Semantic properties of five-valued logics
title_fullStr	Semantic properties of five-valued logics
title_full_unstemmed	Semantic properties of five-valued logics
title_sort	semantic properties of five-valued logics
title_alt	Семантические свойства пятизначных логик Семантичні властивості п’ятизначних логік
description	A new class of program-oriented logical formalisms – propositional five-valued logics and five-valued logics of quasiary predicates is proposed and studied in the article. The quasiarity of predicates means that their arity is not fixed. A special feature of such five-valued logics is the use of special truth values, indicating errors or uncertainties in various systems, in particular, software systems. The article gives an ontological justification of five-valued logics and examines their examples. For the propositional level, an algebra of truth values is constructed and its semantic properties are studied. For the predicate level, the five-valued logic of quasiary predicates is constructed, its semantic properties are studied, the relation of equivalence of formulas and the relation of logical consequence are introduced, the principle of duality is proved and various normal forms are considered. Further research is focused on constructing algorithms for checking satisfiability and refutability of formulas and constructing various types of calculi for the introduced logics.Problems in programming 2018; 1: 22-35
publisher	Інститут програмних систем НАН України
publishDate	2018
url	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/230
work_keys_str_mv	AT nikitchenkoms semanticpropertiesoffivevaluedlogics AT shyshatskaev semanticpropertiesoffivevaluedlogics AT nikitchenkoms semantičeskiesvojstvapâtiznačnyhlogik AT shyshatskaev semantičeskiesvojstvapâtiznačnyhlogik AT nikitchenkoms semantičnívlastivostípâtiznačnihlogík AT shyshatskaev semantičnívlastivostípâtiznačnihlogík
first_indexed	2024-09-16T04:07:36Z
last_indexed	2024-09-16T04:07:36Z
_version_	1818568191133089792
fulltext	Теоретичні та методологічні основи програмування © М.С. Нікітченко, О.В. Шишацька, 2018 22 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2018. № 1 УДК 004.42:510.69 М.С. Нікітченко, О.В. Шишацька СЕМАНТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ П’ЯТИЗНАЧНИХ ЛОГІК Запропоновано та досліджено програмно-орієнтовані п’ятизначні логіки двох рівнів: пропозиційну п’ятизначну логіку та логіку п’ятизначних квазіарних предикатів. Такі логіки природним чином вини- кають при розгляді систем, у тому числі програмних систем, які обробляють різні типи невизначенос- тей та помилок. Побудовано алгебри п’ятизначних функцій та предикатів. Описано семантичні власти- вості таких алгебр та відповідних п’ятизначних логік. Ключові слова: програмна система, п’ятизначна функція, п’ятизначний предикат, алгебра, логіка. Вступ Важливим класом задач інформати- ки, штучного інтелекту, лінгвістики є по- будова нових логік, орієнтованих на пот- реби моделювання та специфікації систем різного типу. Існують різні підходи до ро- зробки таких логік 1–3, в основі яких ле- жать ті чи інші властивості систем, зокре- ма, програмних систем. Побудова нових класів моделей програм, у тому числі ком- позиційно-номінативних моделей 4–5, відкриває можливість визначення нових логік різних типів: від пропозиційних логік та логік предикатів до модальних та тем- поральних логік. Побудову таких логік на підставі композиційно-номінативного під- ходу започатковано в 6–9. Ці логіки є бівалентними (двозначними), тобто як множини істиннісних значень виступає множина Bool={T, F}, де T означає істину, а F – хибу. Разом з тим складність програ- мних систем вимагає для адекватної їх фо- рмалізації введення багатозначних логік. Найбільш дослідженими є тризначні логі- ки, певна увага приділена чотирьохзнач- ним логікам, але п’ятизначні логіки дослі- джені слабко 10. Мета роботи – це визначення та до- слідження п’ятизначних логік двох рівнів: пропозиційної п’ятизначної логіки та логі- ки п’ятизначних квазіарних предикатів. Статтю побудовано на розділи. В першому розділі наводиться он- тологічне обґрунтування п’ятизначної ло- гіки та розглядаються приклади. В друго- му розділі будується пропозиційна п’ятизначна логіка на основі алгебри іс- тиннісних значень; вивчаються семантичні властивості цієї алгебри. В третьому розді- лі будується п’ятизначна логіка квазіарних предикатів, вивчаються її семантичні влас- тивості, вводяться відношення еквівалент- ності формул та логічного наслідку, фор- мулюється принцип дуальності та дослі- джуються різні нормальні форми. 1. Онтологічне обґрунтування п’ятизначної логіки Центральна методологічна пробле- ма багатозначної логіки є питання про сутність висловлювань, які не є ні істин- ними ні хибними. Необхідність введення в класичну логіку хоча б ще одного істинні- сного значення, відмінного від T та F, мо- тивовано різноманітними онтологічними аргументами: 1) недостатністю класичних істин- нісних значень для побудови логічних конструкцій, що моделюють людські мір- кування; 2) відсутністю інформації для оцін- ки висловлювання як істинного чи хибно- го; 3) існуванням висловлювання, які можуть не мати чіткого смислу, що, в свою чергу, веде до приписування їм істинності чи хиби залежно від контексту; 4) існуванням принципової багатоз- начності (нечіткості, розмитості), органіч- но пов’язаної з певними множинами і вла- стивостями цих множин. Окрім цього, існує багато інших мотивацій, що приводять до ідеї побудови багатозначних логік. Теоретичні та методологічні основи програмування 23 Питання інтерпретації істиннісних значень завжди було складною проблемою при дослідженні багатозначних логік. Ак- туальним воно постає на даний момент, коли багатозначні логіки набувають особ- ливої ролі в комп’ютерних науках, штуч- ному інтелекті, теорії програмуванні, лінг- вістиці тощо. Швидкий розвиток багатозначних логік підтверджується наявністю великої кількості досліджень та публікацій [10]. Поряд із виникненням все більшої кілько- сті формальних систем багатозначних ло- гік, гостро постає проблема інтуїтивної інтерпретації отриманих за їх допомогою результатів та адекватних методів їх дос- лідження. Зокрема, як відзначено в [11], без змістовної інтерпретації істиннісних значень будь-яке n-значне числення за- лишається абстрактною структурою. Як це не дивно, подібні проблеми виникають вже для класичних істиннісних значень «істина» та «хиба» («істина» та «хиба» вперше в явному виді зустрічаються у Ч. Пірса в 1885 році). Філософський ана- ліз феномену введення в логіку двох абс- трактних об’єктів «істина» і «хиба» даєть- ся в [12]. Дуже швидко універсум двох іс- тиннісних значень – «істина» та «хиба» – виявився недостатнім, оскільки окрім на- явного стану справ, часто доводиться роз- глядати потенційно можливий стан справ, який може бути чи не бути. Так з’являється тризначна логіка Лукасевича. Поява додаткових істиннісних значень «випадково», «можливо», «невизначено», «парадоксально» «невідомо» тощо гово- рить про змістовну інтерпретацію і прив’язується до безпосереднього засто- сування тієї чи іншої з тризначних логік (Лукасевича, Бочвара, Кліні, Асеньо- Пріста і т. д.). Основне – це те, що прийнята інтерпретація третього значення дозволяє відповідним чином визначити логічні зв’язки. Поява чотиризначних логік вияви- лась дуже зручним засобом визначення й інтерпретації модальних операторів, а також обґрунтуванням самих чотиризнач- них логік. Множиною істиннісних зна- чень логіки Катона є множина чисел {1, 2, 3, 4}, цими числами позначаються відпо- відно «логічна істина», «випадкова істи- на» «випадкова хиба», «логічна хиба» [13]. В чотиризначній логіці Н. Решера інтерпретація істиннісних значень наступ- на: 1 – «необхідно істинно»/«істино»; 2 – «випадково істинно»/«імовірно істинно»; 3 – «випадково хибно»/«імовірно хибно»; 4 – «необхідно хибно»/«хибно». А. Прайор при обґрунтуванні чоти- ризначних логік використовує ідею семан- тики можливих логік. Елементи множини {1, 2, 3, 4} відповідно інтерпретуються двочленними послідовностями з T («істи- на») та F («хиба»): 1 – T , T , 2 – T , F , 3 – F , T , 4 – F , F . Важливою виявилася чотиризначна логіка Белнапа, істиннісні значення якої можна по-різному впорядковувати, отри- муючи як результат або логічну решітку або епістемічну решітку. Зазвичай, при кількості логічних значень більше чотирьох, говорять про n- значну логіку. Зрозуміло, що кількість ло- гічних систем, що можуть бути побудова- ні, при збільшенні кількості логічних зна- чень, зростає з неймовірною швидкістю. Наприклад, при двох істиннісних значен- нях є 16=24 бінарних зв’язок; трьох – 19686 =39 , чотирьох – 4294967296 =416 , п’яти – 769531252980232238=525 (при- близно 17103 ) і т. д. Особливо цікавими та важливими логічними системами, є ті, що виникають природним чином у процесі розв’язання прикладних задач (при наявності двох істиннісних значеннях, такою є класична логіка). Шлях «інтуїтивна інтерпретація – змістовна інтерпретація – побудова логі- ки – дослідження логіки», на відміну від «побудова логіки – дослідження логі- ки – змістовна інтерпретація – інтуїтивна інтерпретація» дозволить природним чи- Теоретичні та методологічні основи програмування 24 ном застосовувати апарат багатозначної математичної логіки, який є одним з основних засобів моделювання предмет- них областей. Розглянемо приклади п’ятизначних функцій та предикатів, які фактично інду- кують відповідні п’ятизначні логіки. Приклад 1. Вчення про першо- елементи. Вчення про першоелементи (поча- ток, стихії) є спільним для всіх древніх культур. Наприклад, за Аристотелем Кос- мос складається з Землі, Води, Повітря, Вогню та Ефіру. В філософії Китаю [14– 15] ядром множини філософських катего- рій, починаючи з якого є сенс встановлю- вати більш складні структурні (логічні та семантичні) зв’язки між поняттями, вва- жаються п’ять фундаментальних понять. Це – дао («шлях»), тянь («небо»), жень («людина» чи «принцип»), ци («пневма»). Китайські філософи бачать в них також категоріальне ядро всієї китайської куль- тури, яке кількісно відповідає основним класифікаційним схемам: п’ять елементів (у-син) і п’ять країн світу (у-фан: чотири сторони світу + центр). Зазначимо, що си- стема «у-син» є підсистемою «інь-янь», яка, як стверджують філософи, веде до двійкової системи числення. Зауважимо також, що в традиційній музично- теоретичній системі Китаю важливе місце займає пентатоніка, тобто набір з п’яти нот. Цей набір побудовано за принципом п'яти стихій/елементів. П’ятизначні функції (та відповідні логіки) використовуються і в повсякден- ному житті. Приклад 2. Логіка роботи касира при здійсненні валютно-обмінних опе- рації з готівковою іноземною валютою. Касир банку при здійсненні валют- но-обмінних операції з готівковою інозем- ною валютою діє згідно Постанови Прав- ління Національного банку N502 від 12.12.2002 [16]. Постановою затверджена «Інструк- ція про порядок організації та здійснення валютно-обмінних операцій на території України». Зокрема, пункт 4.15 фактично описує алгоритм роботи касира, побудо- ваний на п’яти станах/значеннях купюр іноземної валюти: «вилучено з обігу», «незначна зношеність», «значні пош- кодження», «сумнівна купюра», «нор- мальна купюра». В залежності від стану купюри касир виконує дію: «приймає ку- пюру для обміну», «приймає купюру на інкасо» або «вилучає купюру для перевір- ки» (рис. 1). Рис. 1. Логіка роботи касира при здійс- ненні валютно-обмінних операції з готів- ковою іноземною валютою Приклад 3. П’ятизначна логіка в ло- гічному моделюванні (схемотехніці). В технічних пристроях можливі дві інтерпретації логічних нуля і одиниці. Імпульсна логіка: 0 – струму/напруги не- має, 1 – струм/напруга є. Потенційна ло- гіка: як інформацію використовують рі- вень напруги. 0 – низький рівень напруги, 1 – високий рівень. Перехід з одного ста- ну в інший вважається миттєвим. Однак в реальній роботі пристрою у певні момен- ти часу визначити напругу неможливо. Тоді, разом з логічним 0 (низька напруга) і логічною 1 (висока напруга), вводять u , що позначає перехід з одного стану в ін- ший або невизначений стан (тризначна логіка). У п’ятизначних моделях четверте значення ( ) позначає перехід з 0 в 1 (зростання напруги), а п’яте значення ( ) – перехід з 1 в 0 (спадання напруги). Тоб- Теоретичні та методологічні основи програмування 25 то використовується наступна множина значень: – 0 (низький рівень напруга); – 1 (високий рівень напруги); – u (невизначений стан); –  (перехід із стану 0 в стан 1); –  (перехід із стану 1 в стан 0. Для вказаних значень визначаються операції « » заперечення (НЕ), диз’юнкції « » (АБО) та кон’юнкції « » (І) та інші операції [17]. Наприклад, опера- ція заперечення задається табл. 1, а опера- ція диз’юнкції – табл. 2. Таблиця 1. Таблиця істинності для запере- чення 0 1 u ↑ ↓  1 0 u ↓ ↑ Таблиця 2. Таблиця істинності для диз’юнкції  0 1 u ↑ ↓ 0 0 1 u ↑ ↓ 1 1 1 1 1 1 u u 1 u u u ↑ ↑ 1 u ↑ u ↓ ↓ 1 u u ↓ Для операцій потенційної логіки вивчаються такі їх властивості, як асоціа- тивність, комутативність, ідемпотентність тощо. В системотехніці багатозначні мо- делі дозволяють: 1) виявити слабкі місця в схемі, де можливі ризики збою і наявність кри- тичних станів при синхронному моделю- ванні; 2) підвищити інформативність в асинхронному моделюванні – при викори- станні п’ятизначної моделі чітко фіксу- ються фронти сигналу, що має велике зна- чення. П’ятизначні функції також природ- но виникають при моделюванні програм- них систем. Існують різні підходи до вве- дення додаткових логічних значень, на- приклад, в [1] запропоновано розглядати такі ситуації:  незавершуваність, тобто про- грама не завершується;  помилковість, тобто деякі зна- чення аргументу певної операції є неза- конними (ділення на нуль; операція pop, застосована до порожнього стеку тощо) та призводять до помилки;  неоднозначність, тобто коли ре- зультат операції не визначається одно- значно. Ми розглянемо трохи іншу систему з п’яти істиннісних значень, які природно виникають у процесі обчислення програм. Приклад 4. П’ятизначна логіка при моделюванні програмних систем. Розглянемо ситуації, що виникають при обчисленні простого виразу zyx  . Операції / та  стандартно визна- чені на множині дійсних чисел. Множиною результатів є істиннісні (логічні) значення. Розглянемо усі можливі набори значень x, y , z та результати виразу на цих наборах. 1. Всі змінні визначені, 0y , zyx  . Тоді вираз приймає значення T («істина»). 2. Всі змінні визначені, 0y , zyx  . Тоді вираз приймає значення («хиба»). 3. Всі змінні визначені, 0y . Оскільки операція ділення на нуль не ви- значена, то і результат виразу невизначе- ний. Будемо цей результат позначати спе- ціальним істиннісним значенням }{e , яке трактуватимемо як «помилка, виняткова ситуація» (error, exeption). 4. Хоча б одна змінна невизначе- на, а якщо змінна y визначена, то 0y . Результатом вважатимемо спеціальне зна- чення }{u . Трактуватимемо його як «неви- Теоретичні та методологічні основи програмування 26 значеність значення змінної, недостатньо інформації» (undefined value). 5. Хоча б одна змінна x або y не- визначена, а 0y . Результатом вважати- мемо спеціальне значення }{eu , яке трак- туватимемо як «та/або виняткова ситуа- ція і недостатньо інформації». Наведений приклад природним чи- ном задає п’ятизначну множину істинніс- них значень },,,,{ euueFTEU  . Ми обра- ли позначення EU , тому що саме e та u визначають таку множину. Це дає належну передумову побу- дови і дослідження п’ятизначних логік, які будемо називати п’ятизначними EU -логіками. Спочатку визначимо EU -логіку пропозиційного рівня EUPL , . 2. Пропозиційна п’ятизначна EU-логіка 2.1. Визначення пропозиційних зв'язок логіки EUPL , Введення додаткових істиннісних (логічних) значень вимагає означення ло- гічних зв’язок згідно з онтологічними тлу- маченнями цих значень. Базовими логічними зв’язками вважатимемо диз’юнкцію  та запере- чення  . Спочатку визначимо більш просту зв’язку – заперечення:  беремо класичне визначення для значень істинності T і F , тобто  FT  і TF  ;  для значення e , яке означає «помилку», заперечення не може усунути помилку, тому ee  ;  для значення u , яке означає «невизначеність змінної», заперечення не може надати змінній визначеності, тому uu  ;  з аналогічних міркувань eueu  . Таким чином, отримуємо таблицю істинності для заперечення (табл. 3). Таблиця 3. Таблиця істинності для запере- чення T F e u eu  F T e u eu Диз’юнкцію для п’ятизначної логіки EUPL , визначаємо таким чином:  у випадку, коли аргументи прий- мають значення із множини  FT , значен- ня диз’юнкції визначаються класично;  в усіх інших випадках, коли хоча один аргумент приймає значення з множи- ни  e , u , eu , керуємось пріоритетністю T перед іншими значеннями, далі пріори- тетність має eu , а значення e та u неза- лежні і мають пріоритет над F . Наведені міркування означають, що на множині EU задається частковий порядок (рис. 2, а), відносно якого диз’юнкція є операцією супремуму, тобто множина EU є верхньою напівграткою. а б Рис. 2. Часткові порядки на множині T , F , e, u, eu а –щодо диз’юнкції; б – щодо кон’юнкції Це дозволяє задати таблицю істин- ності для диз’юнкції (табл. 4). Ще раз зазначимо, що для п’яти- значних логік існує багато варіантів ви- значення диз’юнкції – 255 , але ми спира- лись на онтологічні тлумачення введених істиннісних значень, які фактично зада- ють лише одну логіку цих значень. Теоретичні та методологічні основи програмування 27 Таблиця 4. Таблиця істинності для диз’юнкції  T F u e eu T T T T T T F T F u e eu u T u u eu eu e T e eu e eu eu T eu eu eu eu За допомогою базових зв’язок тра- диційним чином означимо кон’юнкцію за формулою )( qpqp  (табл. 5). Таблиця 5. Таблиця істинності для кон’юнкції  T F u e eu T T F u e eu F F F F F F u u F u eu eu e e F eu e eu eu eu F eu eu eu Зазначимо, що введена операція кон’юнкції імплікує інший частковий по- рядок на множині EU (рис. 2, б), відносно якого кон’юнкція буде операцією інфіні- мума, тобто у цьому випадку EU буде нижньою напівграткою. Перейдемо до вивчення семантич- них властивостей введених логічних зв’язок. 2.2 Алгебра істиннісних значень та її властивості Для диз’юнкції та кон’юнкції вико- нуються наступні властивості. 1. Ідемпотентність: ppp  ; ppp  . 2. Асоціативність: )()( rqprqp  ; )()( rqprqp  . 3. Комутативність: pqqp  ; pqqp  . Виконання цих властивостей ви- пливає з таблиць істинності відповідних зв’язок. Це означає наступне. Твердження 1. Множина з бінар- ними операціями  та  є квазіграткою [18]. Але EU не є граткою, бо аксіоми поглинання pqpp  )( та pqpp  )( не виконуються. Дійсно, при значеннях p та q , рівними відповідно e та u, маємо, що )( qpp  та )( qpp  отримують значення eu, яке не рівне значенню змінної p . Властивості дистрибутивності )()()( rqrprqp  , )()()( rqrprqp  також не виконуються. Це легко можна перевірити, обчислюючи значення першої властивості на значеннях пропозиційних змінних p , q , r, рівними відповідно e, T , u. Для другої властивості беремо відповід- но значення e, F , u. Розглянемо властивості зв’язки за- перечення та її взаємодію з іншими зв’язками. По-перше, заперечення є інволюці- єю, тобто pp  . По-друге, виконують- ся закони де Моргана: )()()( qpqp  ; )()()( qpqp  . Сформульовані властивості дозво- лять ввести наступне визначення: довільна множина B з операціями ,  та  , для яких виконуються властивості ідемпотент- ності, асоціативності, комутативності, ін- волютивності та закони де Моргана, нази- вається квазіграткою де Моргана. Отримуємо наступне твердження. Твердження 2. Множина EU з ра- ніше введеними бінарними операціями  Теоретичні та методологічні основи програмування 28 та  і унарною операцією заперечення  є квазіграткою де Моргана. Таким чином, семантичною осно- вою пропозиційної логіки EUPL , є алгебра ;EUAP   , ,  >. Зазначимо, що операції (зв’язки) ці- єї алгебри є С-розширюючими, тобто при звуженні на істиннісні значення T та F , отримуємо класичні операції [10]. 2.3 Мова пропозиційної EU- логіки Наступним питанням, яке слід роз- глянути для розбудови логіки EUPL , , є питання про мову цієї логіки. В даній статті як таку мову оберемо мову класич- ної пропозиційної логіки, яка задається множиною формул, побудованих з пропо- зиційних змінних (пропозиційних симво- лів) з множини Ps за допомогою зв’язок  ,  та  . Зазначимо, що для п’ятизначних логік тлумачення формул відрізняється від класичного, так, форму- ла  з похідною зв’язкою  зо- всім не говорить про традиційну еквіва- лентність формул  та  . 2.4 Відношення еквівалентності формул та логічного наслідку. Принцип дуальності Ввівши мову, можна перейти до ви- значення еквівалентності формул та логіч- ної істинності (тавтологічності) і логічного наслідку. Інтерпретацією (оцінкою, розподі- лом) пропозиційних змінних є тотальна функція I: Ps EU . Значення формули  в інтерпретації I позначається I . Еквівалентність вводиться звичай- ним чином: формули  та  еквівалент- ні, якщо для будь-якої інтерпретації про- позиційних змінних I значення  та  співпадають (тобто II  ). Рівності, які задають властивості алгебри AP, породжують еквівалентні фо- рмули, наприклад ідемпотентність визна- чає, що для довільної формули  , маємо  ~  . Сформулюємо тепер принцип дуа- льності для еквівалентних формул. Для заданої формули  її дуальною є формула, яка отримується з  заміною  на  , та навпаки,  на . Отриману фор- мулу позначаємо  . Запис )P,...,P( n1 означає, що  залежить від пропозиційних змінних n1 P,...,P . Твердження 3. Формули   ( ...,P1 nP,... ) та )P,...,P( n1  еквівалентні, тобто )P,...,P( n1  ~ )P,...,P( n1  . Доведення проводиться індукцією за структурою )P,...,P( n1 . Дійсно, твер- дження є очевидним, якщо )P,...,P( n1 – пропозиційна змінна. Якщо  )P,...,P()P,...,P( n11n1 ),P,...,P( n12 то за індуктивним припущенням )P,...,P( n11   ~ )P,...,P( n11  та )P,...,P( n12   ~ )P,...,P( n12  . Оскільки   )P,...,P()P,...,P( n11n1 )P,...,P( n12   , то отримуємо, що   )P,...,P()P,...,P( n11n1 )P,...,P( n12   . Звідси випливає, що )P,...,P( n1  ~ )P,...,P( n1  . Аналогічним чином твердження до- водиться, коли  )P,...,P()P,...,P( n11n1 )P,...,P( n12 . На основі твердження 3 доводиться наступний принцип дуальності. Теоретичні та методологічні основи програмування 29 Твердження 4. Для довільних фор- мул  та  маємо:  ~  тоді і тільки тоді, коли  ~  . В логіці EUPL , питання про понят- тя тавтології та логічного наслідку є більш складним. Класичне визначення та- втології полягає у тому, що формула  – тавтологія, якщо для будь-якої інтерпре- тації пропозиційних змінних, формула набуває значення T (позначаємо \|= ). Формула  – логічний наслідок формули  (позначаємо  \|=  ), якщо  – тавтологія. Має місце наступне твердження. Твердження 5. Логіка EUPL , не є тавтологічною, тобто множина тавтологій порожня; класичне відношення логічного наслідку також – порожнє. Дійсно, візьмемо довільні формули  і  та задамо значення усіх пропози- ційних змінних рівними e (або u чи eu ). Тоді значення формул  ,  та  буде e (або u чи eu ), тобто воно не дорі- внює T . Це означає, що жоден закон класи- чної пропозиційної логіки не виконується в EU -логіці. Звідси випливає, що EU -логіки, щоб бути застосовними, мають викорис- товувати інші відношення логічного нас- лідку. Серед різних відношень логічного наслідку виокремимо відношення логічного наслідку за істиною \|=T, за хибою \|=F та за істиною-хибою \|=TF [7], які мають практи- чне застосування у програмних логіках [19]. А саме, –  \|=T  , якщо для будь-якої ін- терпретації I, з того, що TI  , випливає, що TI  ; –  \|=F  , якщо для будь-якої ін- терпретації I, з того, що FI  , випливає, що FI  ; –  \|=TF  означає, що виконують- ся  \|=T  та  \|=F  . Приклад 5. Розглянемо, чи є фор- мула  логічним наслідком форму- ли  ? В класичній логіці  \|=  , тому що формула   – тавтоло- гія. В EU -логіці, як уже зазначалось,   не є тавтологією, тому  не буде логічним наслідком  . Проте ма- ємо, що  \|=T  ,  \|= F  ,  \|=TF  . Таким чином, введені відношення логічного наслідку – нетривіальні, та мо- жуть застосовуватись в EU -логіках, зок- рема, доведемо, що принцип дуальності виконується в логіці EUPL , для логічного наслідку \|=TF, який є слабкішим ніж прин- цип дуальності для еквівалентних формул. Твердження 6. Для довільних фор- мул  та  маємо:  \|=TF тоді і тільки тоді, коли  \|=TF . Нехай  та  залежать від пропо- зиційних змінних n1 P,...,P , тоді )P,...,P( n1 \|=TF )P,...,P( n1 . Спочатку доведемо, що )P,...,P( n1 \|=TF )P,...,P( n1 тоді і тільки тоді, коли )P,...,P( n1  \|=TF )P,...,P( n1  . Дійсно, припускаємо супротивне, тобто що є така інтерпретація I пропози- ційних змінних, що TI  )P,...,P( n1 , але TI  )P,...,P( n1 . Розглянемо дуа- льну інтерпретацію I (інтерпретація дуа- льна, коли в ній наявні значення пропози- ційних змінних замінюються на їх запере- чення). Тоді )P,...,P( n1 в I дорівнює T , але )P,...,P( n1 не дорівнює T, що супе- речить припущенню. Маючи )P,...,P( n1  \|=TF )P,...,P( n1  , Теоретичні та методологічні основи програмування 30 отримуємо (за твердженням 6), що )P,...,P( n1  \|=TF )P,...,P( n1  , а це означає, що )P,...,P( n1  \|=TF ),P,...,P( n1  тобто  \|=TF  . Аналогічним чином розглядаються інші випадки в доведенні. 3. EU-логіка п'ятизначних квазіарних предикатів Рівень пропозиційної логіки – екс- пресивно бідний, бо не дозволяє адекватно моделювати складні системи з нетривіаль- ними частинами. Така можливість виникає на рівні логіки предикатів, в якій з’являються предметні змінні. Якщо ар- ність предикатів не фіксована, то отриму- ємо логіку квазіарних предикатів [6–7]. Перейдемо до формальних визначень EU- логіки п’ятизначних квазіарних предикатів EUQL , (використовуємо визначення та по- значення [7]). 3.1. Алгебра п'ятизначних квазі- арних предикатів та її властивості Нехай V позначає множину пред- метних змінних (імен), A – множину пред- метних значень (атомів). Множина VA – це множина наборів іменованих значень (оцінок, розподілів предметних змінних). Елементи з VA називатимемо номінатив- ними множинами, або просто даними. Такі елементи (дані) подаємо у вигляді ],...,[ 11 nn avavd  . Зауважимо, що множину VA можна тлумачити як множину часткових функцій з V в A. Основними операціями на VA є па- раметрична операція перейменування n n vv xx r ,..., ...,, 1 1 та операція накладання . Інтуїти- вний смисл операції перейменування на- ступний: для d з VA значенням )( ,..., ...,, 1 1 dr n n vv xx є нове дане, в якому верхні змінні nvv ,… ,1 отримують відповідно значення нижніх змінних nxx ,… ,1 . Якщо якесь значення відсутнє, то компонента з таким іменем не включається в результат. Щодо накладан- ня, то тут розглядаємо його обмежений параметричний варіант: накладання за од- нією змінною. Інтуїтивний смисл цієї опе- рації накладання axd  наступний: з d будується нове дане, в якому значення змінної x буде рівним a. Множину всюди визначених п’ятизначних предикатів позначимо PrEU(V, A)= VAEU. Перейдемо до визначення логічних операцій (композицій) першого порядку на множині предикатів Pr ),( AVEU . Ці ви- значення отримуємо на підставі визначень зв’язок на EU . Будемо використовувати для композицій предикатів ті ж символи зв’язок, що і на пропозиційному рівні, але у разі потреби зв’язки на EU позначаємо символами EU та EU . Спочатку визначаємо композиції диз’юнкції  , заперечення  та реномі- нації n n vv xx R ,..., ...,, 1 1 наступними формулами (тут і далі qp, Pr EU (V, A), d VA): (pq) )(d = )(dp EU q(d); (p) )(d =  EU ( )(dp ); n n vv xx R ,..., ...,, 1 1 (p) = p( n n vv xx r ,..., ...,, 1 1 )(d ). Для композиції перейменування бу- демо також використовувати позначення v xR . Для визначення квантора існування попередньо введемо множину даних xd , яка використовується для обчислення значення композицій квантифікації за змінною x , та повний образ ][ xdp пре- диката p на множині xd наступними фо- рмулами: – xd = { axd  \| aA }; – ][ xdp = { p(d’) \| d’ xd }. Тоді композиція існування x зада- ється формулою (x (p))(d)= EU ][ xdp , Теоретичні та методологічні основи програмування 31 де EU ][ xdp – диз’юнкція всіх елементів з ][ xdp . Похідні композиції – кон’юнкцію предикатів та універсальну квантифікацію визначаємо у традиційний спосіб: )( qpqp  ; x p = x(p). Таким чином, семантичною осно- вою логіки EUQL , є алгебра п’ятизначних квазіарних предикатів APrEU(V,A)=<PrEU(V,A);,,, v xR ,x,x>. Основні властивості пропозиційних композицій цієї алгебри наступні:  композиції  та  ідемпотентні, асоціативні, комутативні;  композиція  є інволюцією;  виконуються закони де Моргана. Звідси отримуємо Твердження 7. Множина PrEU(V,A) з раніше введеними бінарними композиці- ями  та  і унарною композицією запе- речення  є квазіграткою де Моргана. Перейдемо до вивчення властивос- тей композиції реномінації: R) ( ) ( ) ( )v v v x x xR p q R p R q   . R) ( ) ( )v v x xR p R p  . RR) ( ( )) ( )v w v w x y x yR R p R p . R) ( )R p p . RI) , , ( ) ( )z v v z x xR p R p . RR) , , (u x v yR х p) = (u vR х p). Тут RR) задає згортку реномінацій [6]. Доведемо, наприклад, властивість R. За визначеннями композицій реномі- нації та диз’юнкції, отримуємо, що ( ( ))( ) ( )( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))( )) ( ( ))( )) ( ( ) ( ))( ). v v x x v v x EU x v v x EU x v v x x R p q d p q r d p r d q r d R p d R q d R p R q d             ( ( ))( ) ( )( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))( )) ( ( ))( )) ( ( ) ( ))( ). v v x x v v x EU x v v x EU x v v x x R p q d p q r d p r d q r d R p d R q d R p R q d             ( ( ))( ) ( )( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))( )) ( ( ))( )) ( ( ) ( ))( ). v v x x v v x EU x v v x EU x v v x x R p q d p q r d p r d q r d R p d R q d R p R q d             ( ( ))( ) ( )( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))( )) ( ( ))( )) ( ( ) ( ))( ). v v x x v v x EU x v v x EU x v v x x R p q d p q r d p r d q r d R p d R q d R p R q d             Оскільки рівність значень лівої та правої частин R доведено для довільного d , то це означає, що ( ) ( ) ( )v v v x x xR p q R p R q   . Для класу квазіарних предикатів ба- гато традиційних властивостей композицій квантифікації не виконуються. Щоб зроби- ти такі властивості виконуваними, потріб- но введення поняття неістотної змінної, а саме змінна x неістотна для предиката p , якщо для довільного даного d значення )(dp збігається із значенням p(d’), де d’ відрізняється від лише d лише значенням предметної змінної x або його відсутніс- тю. У цьому випадку додатково отримуємо такі властивості: RU) , , ( ) ( )z v v y x xR p R p , якщо z неіс- тотна для p. Ren) ( ),y zy p zR p   якщо z неіс- тотна для p . Доведемо, наприклад, властивість Ren. Спочатку обчислюємо ліву частину на довільному даному d : ( )( ) [ ]y EUy p d p d  . Далі обчислюємо праву частину: ( )( ) ( ( ))[ ] ( ( ))[{ \| }] [{ (( ) ) \| }] [{(( ) ) \| }] [{(( ) ) \| }] [{ \| }] [ ]. y y z z EU z y EU z y EU z EU EU y EU EU zR p d R p d R p d z a a A p r d z a y a a A p d z a y a a A p d y a z a a A p d y a a A p d                                  Оскільки ліва та права частини збі- гаються для довільного d , то рівність має місце. Зазначимо, що при наявності неісто- тних змінних можна виносити квантори на початок формули: Теоретичні та методологічні основи програмування 32 1) x p x p, x p x p; 2) x pq x(p q), x p qx(p q), якщо x неістотна для q; 3) px qx(p q), px qx(p q), якщо x неістотна для p . Доведемо тільки третю властивість, демонструючи збігання значень лівої та правої частини рівностей на довільному даному d . Для першої рівності отримуємо, що (px q )(d dpdEUx qd = pdEUEU ][ xdq ) = EU ][ xdp )EUEU q ][ xd ) = EU (p q) ][ xd =x(p q)d Тут заміна pdна EU ][ xdp коре- ктна, тому що x неістотна для p . Аналогічно доводиться друга рів- ність. Наведені властивості використову- ються для побудови пренексної форми фо- рмули. Таким чином, було досліджені вла- стивості алгебр виду APrEU(V, A), які слу- гують семантичною основою логіки EUQL , . 3.2. Мова п'ятизначних квазі- арних предикатів та її властивості Перейдемо до визначення мови ло- гіки EUQL , . Кортеж =( Ps ,V ,U ), де Ps – множина предикатних імен, V – множина предметних змінних (імен), U – множина неістотних змінних, називається сигнату- рою. Множина формул (мова логіки EUQL , ) сигнатури  визначається індукти- вно: атомарні формули мають вигляд P ( PsP ); якщо  та  – формули, то  ,  ,  , v xR (), x, x – складені формули. Для EUQL , поняття інтерпретації ускладнюється. А саме, інтерпретація I – це кортеж I = ( APrEU(V , A), PsI , d), де PsI : Ps  PrEU(V , A) – відображення ін- терпретації предикатних символів, d VA – інтерпретація предметних змінних. Формули інтерпретуються в алгеб- рах виду APrEU(V U , A) традиційним чином, треба тільки брати до уваги, що предметні змінні з U мають бути неісто- тними [9]. При таких позначеннях визначення еквівалентних формул та логічного наслід- ку залишаються такими же, як і для пропо- зиційного рівня. 3.3. Принцип дуальності та нор- мальні форми Для заданої формули  логіки EUQL , її дуальною є формула, яка отриму- ється з  заміною  на ∨, ∨ на , x на x, x на x. Отриману формулу познача- ємо  . Твердження 8. Для довільної фор- мули  логіки EUQL , з предикатними змінними n1 P,...,P маємо, )P,...,P( n1  ~ )P,...,P( n1  . Доведення проводиться індукцією за структурою  . На основі твердження 8 доводять наступні принципи дуальності. Твердження 9. Для довільних фор- мул  та  логіки EUQL , маємо:   ~  тоді і тільки тоді, коли  ~  ;   \|=TF  тоді і тільки тоді, коли  \|=TF  . Спираючись на доведені раніше ек- вівалентні перетворення, отримуємо на- ступне твердження. Твердження 10. За довільною фор- мулою  логіки EUQL , можна конструк- тивно побудувати її пренексну форму. Теоретичні та методологічні основи програмування 33 Різні нормальні форми для формул логіки квазіарних предикатів введено в [6, 20]. Формула  логіки EUQL , назива- ється реномінативно-атомарною, якщо всі реномінації у  застосовуються лише до атомарних формул, тобто до предикатних змінних. Твердження 11. За довільною фор- мулою  логіки EUQL , можна конструк- тивно побудувати її реномінативно- атомарну форму. Формула  логіки EUQL , назива- ється квазікласичною, якщо вона є реномі- нативно-атомарною, та всі її реномінації мають однаковий список верхніх змінних. Твердження 12. За довільною фор- мулою  логіки EUQL , можна конструк- тивно побудувати її квазікласичну форму. Мета введених форм полягає у тому, що вони дозволяють спростити перевірку виконуваності та спростовності формул логіки EUQL , , звівши спочатку проблему виконуваності та спростовності до логіки n-арних п’ятизначних предикатів, а далі – до класичної (бівалентної) логіки предика- тів. Доведення спирається на методи, роз- роблені в [6, 20]. Наведені твердження дозволяють будувати програмні системи для роботи з логікою квазіарних п’ятизначних предика- тів. Наостанок зазначимо, що описані нами п’ятизначні логіки відрізняються від п’ятизначних логік, введених в [17, 21]. Цей факт перевіряється при аналізі таб- лиць істинності пропозиційних зв’язок. Висновки В роботі запропоновано та дослі- джено новий клас програмно-орієнтованих логічних формалізмів – пропозиційні п’ятизначні логіки та логіки п’ятизначних квазіарних предикатів. Особливістю цих логік є використання спеціальних істинні- сних значень, які вказують на помилки чи невизначеності в різних системах, зокрема, програмних системах. В статті наведено онтологічне об- ґрунтування п’ятизначних логік та розгля- нуто їх приклади. Для пропозиційного рів- ня побудовано алгебру істиннісних зна- чень та вивчено її семантичні властивості. Для предикатного рівня побудовано п’ятизначну логіку квазіарних предикатів, вивчено її семантичні властивості, введено відношення еквівалентності формул та ві- дношення логічного наслідку, доведено принцип дуальності та розглянуто різні нормальні форми. Подальші дослідження орієнтовані на побудову алгоритмів перевірки викону- ваності/спростовності формул та форму- лювання різних типів числень для введе- них логік. Література 1. Hähnle R. Many-Valued Logic, Partiality, and Abstraction in Formal Specification Lan- guages. Logic Journal of the IGPL. 2006. N 13 (4). P. 415–433. 2. Jones C. Reasoning about partial functions in the formal development of programs. AV- oCS’05. Electronic Notes in Theoretical Computer Science, Elsevier. 2006. Vol. 145. P. 3–25. [online]. Available from: http://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2005.10.002 3. Gries D., Schneider F.B. Avoiding the unde- fined by underspecification. Springer Berlin Heidelberg. 1995. P. 366–373. [online]. Available from: https://doi.org/10.1007/BFb0015254 4. Nikitchenko N. A composition-nominative approach to program semantics. Technical re- port IT-TR: 1998-020. Technical University of Denmark. 1998. 103 p. 5. Nikitchenko M. Composition-nominative as- pects of address programming. Cybernetics and Systems Analysis, 45:864. 2009. [online]. Available from: https://doi.org/10.1007/s10559-009-9159-4 6. Нікітченко М.С., Шкільняк C.C. Матема- тична логіка та теорія алгоритмів. К.: ВПЦ Київський університет, 2008. 528 с. 7. Нікітченко М.С., Шкільняк C.C. Приклад- на логіка. K.: ВПЦ Київський університет, 2013. 278 с. 8. Nikitchenko М., Shkilniak S. Semantic Prop- erties of Logics of Quasiary Predicates. Workshop on Foundations of Informatics: https://doi.org/10.1007/BFb0015254 https://doi.org/10.1007/s10559-009-9159-4 Теоретичні та методологічні основи програмування 34 Proceedings FOI-2015. Chisinau, Moldova. P. 180–197. 9. Nikitchenko М., Shkilniak S. Algebras and logics of partial quasiary predicates. Algebra and Discrete Mathematics. 2017. Vol. 23, N 2. P. 263–278. 10. Карпенко А.С. Развития многозначной ло- гики. М.: Издательство ЛКИ, 2010. 448 с. 11. Jordan Z. The development of mathematical logic and logical positivism in Poland between the two wars. Oxford, 1946. C. 346–397. 12. Шрамко Я.В. Истина и ложь: что такое ис- тинностные значения и для чего они нуж- ны. Логос, 2009. 2(70). С. 96–121. 13. Avron A., Zamansky A. Non-deterministic semantics for logical systems. Handbook of Philosophical Logic, Springer Netherlands. 2011. Vol. 16. P. 227–304. 14. Кобзев А.И. Логика и диалектика в Китае // Духовная культура Китая. М.: Вост. лит., 2006. Т.1. 15. Кобзев А.И. Классификационная схема «пять элементов» – у-сын. ХП1НКОГК. М., 1982. Ч. 1. 16. Інструкція про порядок організації та здійснення валютно-обмінних операцій на території України. Режим доступу: http://zakon0.rada.gov.ua/laws/show/z0021- 03/ed20120612 17. Киносита К., Асада К., Карацу О. Логиче- ское проектирование СБИС. М.: Мир, 1988. 310 с. 18. Plonka J. On distributive quasi-lattices. Fun- damenta Mathemacae, 60. 1967. P. 191–200. 19. Kryvolap A., Nikitchenko M., Schreiner W. Extending Floyd-Hoare logic for partial pre- and postconditions. ICTERI 2013, CCIS, Springer, Heidelberg. 2013. Р. 355–378. 20. Nikitchenko M.S., Tymofieiev V.G. Satisfia- bility in composition-nominative logics. Cen- tral European Journal of Computer Science. 2012. Vol. 2, N 3. P. 194–213. 21. Нікітченко М.С., Шкільняк О.C., Шкільняк C.C. Алгебри загальних недетермінованих предикатів. Проблеми програмування. 2018. № 1. С. 3–19. References 1. Hähnle R. (2006). Many-Valued Logic, Par- tiality, and Abstraction in Formal Specifica- tion Languages. In Logic Journal of the IGPL. N.13 (4). P. 415–433. 2. Jones C. (2006) Reasoning about partial func- tions in the formal development of programs. In Electronic Notes in Theoretical Computer Science, AVoCS’05, Elsevier. Vol. 145. P. 3– 25. [online]. Available from: http://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2005.10.002 3. Gries D. and Schneider F. (1995). Avoiding the undefined by underspecification. In Springer Berlin Heidelberg. P. 366–373. [online]. Available from: https://doi.org/10.1007/BFb0015254 4. Nikitchenko N. (1998). A composition- nominative approach to program semantics. – Technical report IT-TR: 1998-020. Technical University of Denmark. 103 p. 5. Nikitchenko M. (2009). Composition- nominative aspects of address programming. In Cybernetics and Systems Analysis, 45:864. [online]. Available from: https://doi.org/10.1007/s10559-009-9159-4 6. Nikitchenko M. and Shkilniak S. (2008). Mathematical logic and theory of algorithms. Кyiv: VPC Кyivskyi Universytet (in ukr). 7. Nikitchenko M. and Shkilniak S. (2013). Ap- plied logic. Кyiv: VPC Кyivskyi Universytet (in ukr). 8. Nikitchenko M. and Shkilniak S. (2015). Se- mantic Properties of Logics of Quasiary Pred- icates. In Workshop on Foundations of Infor- matics: Proceedings FOI-2015. Chisinau, Moldova. P. 180–197. 9. Nikitchenko M. and Shkilniak S. (2017). Al- gebras and logics of partial quasiary predi- cates. In Algebra and Discrete Mathematics. Vol. 23, N 2. P. 263–278. 10. Karpenko A. (2010). The Development of Many-Valued Logics. M.: LKI (in rus). 11. Jordan Z. (1946) The development of mathe- matical logic and logical positivism in Poland between the two wars. Oxford. P. 346–397. 12. Shramko J. (2009). Truth and Falsity: What Are Truth Values and Why They Are Needed. In Logos. 2(70). P. 96–121 (in rus). 13. Avron A. and Zamansky A. (2011). Non- deterministic semantics for logical systems. In Handbook of Philosophical Logic, D.M. Gabbay, F. Guenthner (eds.), 2nd ed., vol. 16, Springer Netherlands. P. 227–304. 14. Kobzev A. (2006). The Logic and Dialectics in China. In The Spiritual Culture of China. Vol.1 (in rus). 15. Kobzev A. (1982). The classification scheme "Five Elements" is the U-son. М., P. 1 (in rus). 16. The Instruction on the procedure for the or- ganization and liquidation of currency- exchange operations in the territory of Ukraine. [online]. Available from: http://zakon0.rada.gov.ua/laws/show/z0021-03/ed20120612 http://zakon0.rada.gov.ua/laws/show/z0021-03/ed20120612 https://doi.org/10.1007/BFb0015254 https://doi.org/10.1007/s10559-009-9159-4 Теоретичні та методологічні основи програмування 35 http://zakon0.rada.gov.ua/laws/show/z0021- 03/ed20120612 (in ukr). 17. Kinosita K. and Asada K. and Karatsu O. (1988). The Logical design of SLIC. М.: Мyr (in rus). 18. Plonka J. (1967). On distributive quasi- lattices. In Fundamenta Mathemacae, 60. P. 191–200. 19. Kryvolap A. and Nikitchenko M. and Schreiner W. (2013). Extending Floyd-Hoare logic for partial pre- and postconditions. In ICTERI 2013, CCIS, Springer, Heidelberg. Р. 355–378. 20. Nikitchenko M. and Tymofieiev V. Satisfia- bility in composition-nominative logics. In Central European Journal of Computer Sci- ence. Vol. 2, N 3. P. 194–213. 21. Nikitchenko M., Shkilniak O. and Shkilni- ak S. (2018). Algebras of general non- deterministic predicates. In Problems in programming. N 1. – P. 3–19. Одержано 15.01.2018 Про авторів: Нікітченко Микола Степанович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри Теорії та технології програмування. Кількість наукових публікацій в українських виданнях – понад 250, у тому числі у фахових виданнях – понад 110. Кількість наукових публікацій в зарубіжних виданнях – понад 50. Scopus Author ID: 6602842336. H-індекс (Google Scholar): 10 (8 з 2012). http://orcid.org/0000-0002-4078-1062. Шишацька Олена Володимирівна, інженер-програміст І категорії НДС «Теоретичної кібернетики», Кількість наукових публікацій в українських виданнях – 28, у тому числі у фахових виданнях – 12. http://orcid.org/0000-0001-8791-8989. Місце роботи авторів: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 01601, Київ, вул. Володимирська, 60. Тел.: (044) 259 05 19 http://zakon0.rada.gov.ua/laws/show/z0021-03/ed20120612 http://zakon0.rada.gov.ua/laws/show/z0021-03/ed20120612

Semantic properties of five-valued logics

Репозитарії

Схожі ресурси