Deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 Software environment and tools

Deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 Software environment and tools

In this paper we study new classes of program-oriented logical formalisms – logics of general non-deter­ministic (GND) predicates. These logics reflect such properties of programs as nondeterminism, partiality, and non-fixed arity. GND-predicates can be modeled as 7-valued total deterministic (TD7...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2019
Автор: Shkilniak, O.S.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут програмних систем НАН України 2019
Теми:
logic
algebra
non-deterministic predicate
7-valued predicate
UDC 004.42:510.69
Онлайн доступ:https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/345
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Problems in programming
Завантажити файл: Pdf

Репозитарії

Problems in programming
id pp_isofts_kiev_ua-article-345
record_format ojs
resource_txt_mv ppisoftskievua/65/4d23e91fedfe3688654a8f2d98facd65.pdf
spelling pp_isofts_kiev_ua-article-3452024-04-28T11:00:17Z Deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 Software environment and tools Девиантные алгебры истинностных значений и девиантные классы общих недетерминованных предикатов Девіантні алгебри істиннісних значень та девіантні класи загальних недетермінованих предикатів Shkilniak, O.S. logic; algebra; non-deterministic predicate; 7-valued predicate UDC 004.42:510.69 логика; алгебра; недетерминированный предикат; 7-зна­чный предикат УДК 004.42:510.69 логіка; алгебра; недетермінований предикат; 7-значний предикат УДК 004.42:510.69 In this paper we study new classes of program-oriented logical formalisms – logics of general non-deter­ministic (GND) predicates. These logics reflect such properties of programs as nondeterminism, partiality, and non-fixed arity. GND-predicates can be modeled as 7-valued total deterministic (TD7) predicates. The main attention is paid to algebras of truth values (TV-algebras) of TD7-predicates. The set of truth values TV7 = {T, F, T#, F#, #,  TF, TF#} defines TV-algebrа ATV7 = (TV7,  {Ø*, Ú*}). There 20 subalgebras of ATV7 exist, and each of them induces a corresponding algebra of GND-predicates. At the same time there is a very large number of 7-valued logics so a lot of TV7 subsets are not closed under Ø* or Ú* and do not form subalgebras of ATV7. We call such subsets with the corresponding classes of GND-predicates deviant, they are not closed under logical connectives of GND-predicates. In order for deviant TV Í TV7 to form an algebra we need to modify Ø* or Ú*. Modifications can be made in a large number of ways. Modification of Ø* leads to specific non-classical logics and lies outside the scope of this paper. Modifications of Ú* sa­tisfying the TFC condition of predicate algebras logical connectives correctness are the most important, otherwise we obtain deviant TV-algebra which does not induce an algebra of GND-predicates. For all TV7 subsets we study the possibility of Ú* modification with TFC condition. Such modifica­tion induces corresponding classes of GND-predicates. We describe “natural” modifications of Ú* without TFC condition obtaining a number of deviant TV-algebras. There are no modifications with TFC condition for de­viant sets {#, TF, TF#}, {TF, #}, {TF#, #}, so for them we specify “relatively natural” deviant TV-algebras.Problems in programming 2019; 1: 14-26 Изучаются новые классы програм­мно-ориентиро­ванных логических формализмов – логики общих недетерминированных (GND) предикатов. GND-предикаты можно моделировать как 7-значные тотальные детерминированные (ТD7) предикаты. Основное внимание уделено исследованию алгебр истинностных значений (TV-алгебр) TD7-преди­катов. Существует 20 подалгебр TV-алгебры TD7-предикатов ATV7 = (TV7,  {Ø*, Ú*}). Каждая из них индуцирует соответствующую алгебру TD7-преди­катов. Существует очень много 7-значных логик, поэтому много подмножеств TV7 незамкнуты относительно Ø* или Ú*, они не образуют подалгебр ATV7. Эти подмножества и соответствующие классы GND-предикатов названы девиантными. Для того, чтобы девиантное TV Í TV7 образовало алгебру, нужно модифицировать Ø* или Ú*. Это можно сде­лать многими способами. Модификация Ø* ведет к специфическим неклас­сическим логикам и в этой работе не рассматривается. Особо важны такие модификации Ú*, для которых выполняется условие TFC корректности логических связок предикат­ных алгебр. При нарушении TFC TV-алгебра названа девиантной, она не индуцирует алгебру GND-пре­дикатов. Для всех подмножеств TV7 исследована возможность модификации Ú* с условием TFC, что определяет соответствующие классы GND-преди­катов. Описаны естественные модификации Ú* без TFC, что дает ряд девиантных TV-алгебр. Сущест­вуют 3 девиантных TV Í TV7, для которых нет моди­фикаций Ú* с условием TFC; для них указаны отно­сительно естественные девиантные TV-алгебры.Problems in programming 2019; 1: 14-26 Вивчаються програмно-орієнтовані логічні формалізми – логіки загальних недетермінованих (GND) предикатів. GND-предикати моделюються як 7-значні TD7-предикати. Досліджено девіантні алгебри істиннісних значень (TV-алгебри) TD7-предикатів та девіантні класи GND-предикатів. Девіантна TV-ал­гебра не індукує алгебру GND-предикатів. Для підмножин істиннісних значень досліджено можливість модифікації Ú* із умовою коректності TFC, що визначає відповідні класи GND-предикатів. Описано природні модифікації Ú* без TFC, що дає низку девіантних TV-алгебр.Problems in programming 2019; 1: 14-26 Інститут програмних систем НАН України 2019-03-26 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/345 10.15407/pp2019.01.014 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 1 (2019); 14-26 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 1 (2019); 14-26 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 1 (2019); 14-26 1727-4907 10.15407/pp2019.01 uk https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/345/342 Copyright (c) 2019 PROBLEMS IN PROGRAMMING
institution Problems in programming
baseUrl_str https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai
datestamp_date 2024-04-28T11:00:17Z
collection OJS
language Ukrainian
topic logic
algebra
non-deterministic predicate
7-valued predicate
UDC 004.42:510.69
spellingShingle logic
algebra
non-deterministic predicate
7-valued predicate
UDC 004.42:510.69
Shkilniak, O.S.
Deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 Software environment and tools
topic_facet logic
algebra
non-deterministic predicate
7-valued predicate
UDC 004.42:510.69
логика
алгебра
недетерминированный предикат
7-зна­чный предикат
УДК 004.42:510.69
логіка
алгебра
недетермінований предикат
7-значний предикат
УДК 004.42:510.69
format Article
author Shkilniak, O.S.
author_facet Shkilniak, O.S.
author_sort Shkilniak, O.S.
title Deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 Software environment and tools
title_short Deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 Software environment and tools
title_full Deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 Software environment and tools
title_fullStr Deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 Software environment and tools
title_full_unstemmed Deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 Software environment and tools
title_sort deviant truth-values algebras and deviant classes of general non-deterministic predicates 14 software environment and tools
title_alt Девиантные алгебры истинностных значений и девиантные классы общих недетерминованных предикатов
Девіантні алгебри істиннісних значень та девіантні класи загальних недетермінованих предикатів
description In this paper we study new classes of program-oriented logical formalisms – logics of general non-deter­ministic (GND) predicates. These logics reflect such properties of programs as nondeterminism, partiality, and non-fixed arity. GND-predicates can be modeled as 7-valued total deterministic (TD7) predicates. The main attention is paid to algebras of truth values (TV-algebras) of TD7-predicates. The set of truth values TV7 = {T, F, T#, F#, #,  TF, TF#} defines TV-algebrа ATV7 = (TV7,  {Ø*, Ú*}). There 20 subalgebras of ATV7 exist, and each of them induces a corresponding algebra of GND-predicates. At the same time there is a very large number of 7-valued logics so a lot of TV7 subsets are not closed under Ø* or Ú* and do not form subalgebras of ATV7. We call such subsets with the corresponding classes of GND-predicates deviant, they are not closed under logical connectives of GND-predicates. In order for deviant TV Í TV7 to form an algebra we need to modify Ø* or Ú*. Modifications can be made in a large number of ways. Modification of Ø* leads to specific non-classical logics and lies outside the scope of this paper. Modifications of Ú* sa­tisfying the TFC condition of predicate algebras logical connectives correctness are the most important, otherwise we obtain deviant TV-algebra which does not induce an algebra of GND-predicates. For all TV7 subsets we study the possibility of Ú* modification with TFC condition. Such modifica­tion induces corresponding classes of GND-predicates. We describe “natural” modifications of Ú* without TFC condition obtaining a number of deviant TV-algebras. There are no modifications with TFC condition for de­viant sets {#, TF, TF#}, {TF, #}, {TF#, #}, so for them we specify “relatively natural” deviant TV-algebras.Problems in programming 2019; 1: 14-26
publisher Інститут програмних систем НАН України
publishDate 2019
url https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/345
work_keys_str_mv AT shkilniakos devianttruthvaluesalgebrasanddeviantclassesofgeneralnondeterministicpredicates14softwareenvironmentandtools
AT shkilniakos deviantnyealgebryistinnostnyhznačenijideviantnyeklassyobŝihnedeterminovannyhpredikatov
AT shkilniakos devíantníalgebriístinnísnihznačenʹtadevíantníklasizagalʹnihnedetermínovanihpredikatív
first_indexed 2024-09-16T04:08:33Z
last_indexed 2024-09-16T04:08:33Z
_version_ 1818568454144262144
fulltext Теоретичні та методологічні основи програмування © О.С. Шкільняк, 2019 14 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2019. № 1 УДК 004.42:510.69 https://doi.org/10.15407/pp2019.01.014 О.С. Шкільняк ДЕВІАНТНІ АЛГЕБРИ ІСТИННІСНИХ ЗНАЧЕНЬ ТА ДЕВІАНТНІ КЛАСИ ЗАГАЛЬНИХ НЕДЕТЕРМІНОВАНИХ ПРЕДИКАТІВ Вивчаються програмно-орієнтовані логічні формалізми – логіки загальних недетермінованих (GND) предикатів. GND-предикати моделюються як 7-значні TD7-предикати. Досліджено девіантні алгебри істиннісних значень (TV-алгебри) TD7-предикатів та девіантні класи GND-предикатів. Девіантна TV-ал- гебра не індукує алгебру GND-предикатів. Для підмножин істиннісних значень досліджено можливість модифікації  із умовою коректності TFC, що визначає відповідні класи GND-предикатів. Описано природні модифікації  без TFC, що дає низку девіантних TV-алгебр. Ключові слова: логіка, алгебра, недетермінований предикат, 7-значний предикат. Вступ Основа сучасних інформаційних та програмних систем – це апарат математич- ної логіки. Різноманітні логічні формаліз- ми успішно використовуються для розв’я- зання широкого кола задач інформатики й програмування [1 – 4]. Водночас розвиток та розширення сфери застосування інформаційних технологій зумовлює необхідність розробки нових логік, які більше адаптовані до потреб програму- вання й моделювання. Найперше, ці логіки мають враховувати широке використання в в програмних системах та системах штучного інтелекту часткових недетермі- нованих відображень над неповними даними. До таких програмно-орієнтовних логічних формалізмів належать композиційно-номінативні логіки (КНЛ) квазіарних предикатів [5 – 7]. Важливим класом КНЛ є логіки загальних недетермінованих квазіарних предикатів, або GND-предикатів. Ці логі- ки запропоновано в [8], вони вивчались в [8, 9]. Зазначені логіки відображають такі властивості програм, як частковість, неде- термінізм, нефіксовану арність. В роботах [8, 9] виділено різновиди GND-предикатів, описано композиційні алгебри та мови логіки GND-предикатів. GND-предикати можна моделювати як 7-значні тотальні детерміновані (ТD7) предикати. Описано усі 20 підалгебр алгебри істиннісних значень (TV-алгебри) TD7-предикатів ATV7 = (TV7, {, }). Досліджено індуку- вання цими підалгебрами відповідних алгебр TD7-предикатів та GND-предикатів. Існує надзвичайно багато 7-значних логік, тому багато підмножин TV7 незамк- нені щодо  чи , вони не утворюють підалгебр ATV7. Такі підмножини та від- повідні їм класи GND-предикатів названо девіантними. Дослідженню девіантних TV-алгебр та девіантних класів GND- предикатів присвячена дана робота. Для того, щоб девіантна TV  TV7 утворила алгебру, необхідно модифікувати  чи . Модифікація  веде до специ- фічних некласичних логік, вона в роботі не розглядається. Найважливішими є модифі- кації , для яких виконується умова TFC коректності логічних зв’язок предикатних алгебр. При порушенні TFC TV-алгебра девіантна, вона не індукує алгебру GND- предикатів. Для всіх підмножин TV7 в роботі досліджено можливість модифікації  із умовою TFC, що визначає відповідні класи GND-предикатів. Описано природні модифікації  без TFC, що дає низку деві- антних TV-алгебр. Для деяких девіантних множин не існує модифікацій  із умовою TFC, для них вказано відносно природні девіантні TV-алгебри. Поняття, які в цій роботі не визна- чаються, тлумачимо в сенсі [6, 8, 9]. http://dx.doi.org/10.7124/bc.000027 Теоретичні та методологічні основи програмування 15 1. GND та TD7-предикати V-A-квазіарним предикатом назива- ють часткову неоднозначну, взагалі ка- жучи, функцію вигляду Р : V A {T, F}. Тут {T, F} – множина істиннісних значень, V A – множина всіх V-A-іменних множин. Часткові неоднозначні предикати на множині V A можна трактувати як відповід- ності (відношення) між V A та {T, F}. Такі предикати названо [5, 6] квазіарними пре- дикатами реляційного типу, або R-преди- катами. Для R-предикатів неможлива си- туація, коли при застосуванні предиката P до певного даного d виробляється резуль- тат (можливо, не один), водночас застосу- вання P до цього d може дати невизначе- ність (результат не виробляється). В загальному випадку поняття не- однозначного (недетермінованого) квазі- арного предиката адекватно уточнюється [8, 9] як поняття GND-предиката – загаль- ного недетермінованого предиката. Такий предикат P : V A {T, F} при застосуванні до даного d V А може приймати значення T, приймати значення F, а може і не прий- мати жодного значення (бути невизначе- ним). Множиною значень P[d], які GND- предикат P може прийняти на даному d V А, може бути одна з множин {}, {T}, {F}, {T, F}, {T, }, {F, }, {T, F, }. Скорочено позначимо ці множини як , T, F, TF, T, F, TF. Кожний GND-предикат P можна од- нозначно описати за допомогою 3-х мно- жин: областi істинності T(P), областi хиб- ності F(P) та областi невизначеності (P). Ці множини задаються наступним чином: – T(P) = {d | TP[d]}; – F(P) = {d | FP[d]}; – (P) = {d | P[d]} = = {d | P може бути невизначеним на d}. Такі множини пов’язує умова: F(P)  T(P)  (P) = V A . Кожний R-предикат P : V A {T, F} на даному d V А може приймати лише зна- чення T, лише значення F, обидва значення T та F, та може бути невизначеним. Тому для R-предиката P множина P[d] може бу- ти однією з {}, {T}, {F}, {T, F}. Кожний R-предикат P можна однозначно задати за допомогою 2-х множин: T(P) та F(P). Тоді (P) є доповненням до T(P)  F(P). Накладаючи ті чи інші обмеження на області істинності, хибності та невизна- ченості, виділено [8, 9] низку класів GND- предикатів. Зокрема, маємо 7 константних GND-предикатів: , T, F, , T  , F  ,   . GND-предикати можна моделювати [8] як 7-значні тотальні детерміновані пре- дикати, або TD7-предикати. Множиною істиннісних значень TD7-предикатів є TV7 = {T, F, T, F, , TF, TF}. Клaси V-А-квазіарних GND-преди- катів та TD7-предикатів позначають відпо- відно PrGV–A та PrTD7V–A. Базові пропозиційні композиції TD7-предикатів – це логічні зв’язки запе- речення  та диз’юнкція . Задаємо їх традиційним чином – за допомогою таб- лиць істинності (табл. 1, 2). Таблиця 1. Композиція  P T F T F  TF TF P F T F T  TF TF Таблиця 2. Композиція   T F T F  TF TF T T T T T T T T F T F T F  TF TF T T T T T T T T F T F T F  TF TF  T  T   T T TF T TF T TF T TF TF TF T TF T TF T TF TF Композиція кон’юнкції & – похідна: P & Q = (P  Q). Тому & можна подати так (табл. 3). Теоретичні та методологічні основи програмування 16 Таблиця 3. Композиція & & T F T F  TF TF T T F T F  TF TF F F F F F F F F T T F T F  TF TF F F F F F F F F   F  F  F F TF TF F TF F F TF TF TF TF F TF F F TF TF Множина істиннісних значень TV7 замкнена щодо ,  та . 2. Алгебра істиннісних значень TD7-предикатів та її підалгебри Алгебру ATV7 = (TV7, {, }) назве- мо алгеброю істиннісних значень, або TV-алгеброю TD7-предикатів. Розглядають також TV-алгебру TD7-предикатів розшире- ної сигнатури ATV7E = (TV7, {, , }). Для логічних зв’язок TD7-предика- тів маємо [8, 9] традиційні властивості: – комутативність  та &; – асоціативність  та &; – ідемпотентність  та &; – зняття подвійного заперечення; – закон контрапозиції; – закони де Моргана. Проте для TD7-предикатів неправи- льні закони дистрибутивності  щодо & та & щодо , також неправильні закони поглинання. Приклад 1. (  T)  TF = T  TF = TF, водночас (  TF)  (T  TF) = F  TF = TF; (  F)  TF = F  TF = TF, водночас (  TF)  (F  TF) = TF  TF = TF. Приклад 2. TF  (TF  ) = TF  F = TF  TF; TF (TF  ) = TF  T = TF  TF. Це цілком зрозуміло в світлі того, що GND-предикати моделюються TD7- предикатамии, а в логіці GND-предикатів не виконуються [8] закони дистрибутив- ності та закони поглинання. Для множини TV7 задаємо [8] при- родне впорядкування щодо  та щодо . Впорядкування TV7 щодо :   , якщо    = . Впорядкування TV7 щодо :   , якщо    = . Твердження 1. Впорядкування  та  транзитивні:    та       .    та       . Таку транзитивність гарантує асоці- ативність  та :    =   (  ) = = (  )   =    = ;    =   (  ) =(  )   = =    = . Наведемо діаграми Хассе для мно- жини TV7 щодо  та  [8]. Діаграма Хассе для TV7 щодо :    F T  T    F TF   TF Діаграма Хассе для TV7 щодо :    F  F T    TF T   TF Це означає, що TV7 не утворює ре- шітки істиннісних значень. Причиною цьо- го є те, що  та  невідмінні на множині {TF, TF}. Теоретичні та методологічні основи програмування 17 Для опису підалгебр ATV7 виділено [8] всі 20 підмножин множини TV7, які зам- кнені щодо ,  та . Ці підмножини TVm_n задають підалгебри ATVm_n алгебри ATV7. Далі ATVm_n індукують підалгебри алгебри AТD7V–A , які в свою чергу індуку- ють підалгебри алгебри GND-предикатів відповідного рівня: пропозиційної алгебри APGV–A, реномінативної ARGV–A, першопо- рядкової AQGV–A = (PrGV–A, {, , R ,v x x}). Зауважимо, що існує 30 підмножин TV7, які замкнені лише щодо . Зв'язок ATV7 та предикатних алгебр встановлюється так. Наявність істиннісно- го значення  в TV7 означає, що існують PPrGV–A та d V A такі: P[d]. Наведемо усі підмножини множини TV7, замкнені щодо ,  та , вказавши індуковані ними відповідні підалгебри ATVm_n алгебр ATV7 та підалгебри AQGV–A. TV6_1 = {T, F, T, F, , TF} індукує AQAUV–A; TV6_2 ={ T, F, T, F, TF, TF} індукує AQTGV–A; TV5_1 = {T, F, T, F, } індукує AQSGV–A; TV5_2 = {T, F, T, F, TF} індукує AQTAUV–A; TV5_3 = {T, F, , TF, TF} індукує AQImGV–A; TV4_1 = {T, F, T, F} індукує AQTSGV–A; TV4_2 = {T, F, TF, TF} індукує AQUAV–A; TV4_3 = {T, F, TF, TF} індукує AQTImGV–A; TV4_4 = {T, F, , TF} індукує AQTIGV–A; TV3_1 = {T, F, } індукує AQPV–A; TV3_2 = {T, F, TF} індукує AQTV–A; TV3_3 = {T, F, TF} індукує AQU=AV–A; TV3_4 = {T, F, TF} індукує AQTTIGV–A; TV3_5 = {, T, F} індукує AQSTIGV–A; TV2_1 = {T, F} індукує AQTSV–A; TV2_2 = {T, F} індукує AQTSTIGV–A; TV2_3 = {TF, TF} індукує AQTAmGV–A; TV1_1 = {} індукує AQV–A; TV1_2 = {TF} індукує AQV–A; TV1_3 = {TF} індукує AQV–A . Необхідною умовою коректності (“природності”) логічних зв'язок предика- тних алгебр можна вважати умову TFC (TF-correct). Для  та вона задається так (тут , PrGV–A): T() = T()T(), F() = F()F(); T() = F(), F() = T(). Виконання умови TFС має бути, зо- крема, для константних предикатів T, F, , T  , F  , ,   , індукованих істиннісними значеннями , T, F, TF, T, F, TF. Умова TFC виконується для алгебр APGV–A, ARGV–A, AQGV–A , тому вона має виконуватися для всіх її підалгебр, індуко- ваних відповідними підалгебрами ATV7 . 3. Девіантні підмножини TV7 та індуковані ними логіки GND-предикатів Задаючи ті чи інші умови для обла- стей істинності, хибності та невизначенос- ті, виділено низку різноманітних класів Теоретичні та методологічні основи програмування 18 GND-предикатів. Водночас не всі так опи- сані класи замкнені щодо композиції диз’юнкції GND-предикатів. Це, зокрема, клас R-предикатів та класи AnU-предика- тів, TAnU-предикатів, RAU-предикатів, UAU-предикатів, nU=A-предикатів, TnU=A- предикатів. Ці класи індуковано відповід- ними класами TD7-предикатів із такими множинами істиннісних значень: – ТVAnU = {T, F, T, F, , TF}; – ТVTAnU = {T, F, T, F, TF}; – TVRAU = TVD5 = {T, F, , TF, TF}; – TVR = {T, F, , TF}; – ТVUAU = {T, F, , TF}; – ТVnU=A = {T, F, , TF}; – ТVТnU=A = {T, F, TF}. Ці множини замкнені щодо , але незамкнені щодо , тому вони не утво- рюють підалгебр ATV7. Для того, щоб клас TD7-предикатів з такою множиною істин- нісних значень утворював алгебру, треба тим чи іншим способом модифікувати . Відповідно модифікується похідна &. Множини істиннісних значень, не- замкнені щодо  чи , назвемо девіант- ними. Класи TD7-предикатів із девіантни- ми множинами істиннісних значень та від- повідні класи GND-предикатів теж назвемо девіантними. Девіантні класи GND-преди- катів незамкнені щодо  чи . Ми не розглядатимемо можливість модифікації композиції , така мо- дифікація веде до цілком некласичних ло- гік, які вимагають окремого дослідження. З цієї ж причини розглядаємо такі модифі- кації , які можуть мати відмінні від  значення тільки для аргументів , TF, TF. Отримані при модифікації  TV-ал- гебри індукують алгебри TD7-предикатів, які далі індукують відповідні алгебри GND-предикатів на пропозиційному, рено- мінативному, першопорядковому рівнях. В цих алгебрах відповідним чином моди- фікується , тому вони не будуть підалге- брами алгебр APGV–A, ARGV–A, AQGV–A. В деяких випадках маємо ізоморфізм цих ал- гебр та певних підалгебр алгебр APGV–A, ARGV–A, AQGV–A , а тому маємо їх вкладен- ня в APGV–A, ARGV–A, AQGV–A . Нехай TV  TV7. Так як  не моди- фікуємо, то розглядаємо лише такі TV, які замкнені щодо . Нехай в обмеженні таб- лиці істинності  для TV маємо деяке іс- тиннісне значення TV. Модифікація  полягає у заміні значень  в таблиці  для TV на деяке TV. Зрозуміло, що існує дуже багато способів це зробити. В першу чергу розглядаємо такі модифіка- ції, для яких виконується умова TFC коректності логічних зв'язок предикатних алгебр. При порушенні TFC TV-алгебра не індукує для GND-предикатів композицій- ну алгебру із коректними пропозиційними композиціями. Таку TV-алгебру назвемо девіантною. Для множин ТVAnU, ТVTAnU, TVD5, TVR, ТVUAU, ТVТnU=A існують модифікації  та  із дотриманням умови TFC, тому й маємо такі класи GND-предикатів, як AnU, TAnU, RAU, R, UAU, nU=A, TnU=A. Ще залишається розглянути множи- ну істиннісних значень {, TF, TF}, яка незамкнена щодо  : TF   = T та TF   = T. Її підмножини {TF, } та {TF, } теж незамкнені щодо  . Далі покажемо, що для цих множин не існує модифікацій , які індукують виконання TFC. Тому не існує TV-алгебр з носіями {, TF, TF}, {TF, } чи {TF, }, які індукують для GND-предикатів композиційну алгебру із коректними  та . Інакше кажучи, усі та- кі TV-алгебри девіантні. Логіка AnU-предикатів. Множина ТVAnU = {T, F, T, F, , TF} незамкнена щодо  : TF  F = TF. Природна модифікація  як AnU така: TF AnU F = TF. Тоді TVAnU замкнена щодо визначе- них нижче AnU та AnU (табл. 4, 5). Теоретичні та методологічні основи програмування 19 Таблиця 4. Композиція AnU AnU T F T F  TF T T T T T T T F T F T F  TF T T T T T T T F T F T F  TF  T  T   T TF T TF T TF T TF Таблиця 5. Композиція &AnU AnU T F T F  TF T T F T F  TF F F F F F F F T T F T F  TF F F F F F F F   F  F  F TF TF F TF F F TF Діаграма Хассе для TVAnU щодо AnU та AnU така:    F  F T  T   TF Отримуємо TV-алгебру ATVAnU , яка індукує алгебру AnU-предикатів AQAnU V–A . Твердження 2. Модифікація  як AnU – єдина для ТVAnU, яка гарантує TFC. Маємо T(TFF) = T(TF)T(F) = V A = V A, F(TFF) = F(TF)F(F) = V A V A = V A, Отже, згідно TFC для TF AnU F можливі лише TF чи TF. Проте TFТVAnU, тому TF – єдина можливість: T(TFF) = T(TF), F(TFF) = F(TF). Таблицю істинності AnU для AТVAnU можна отримати із таблиці істинності  для ATV6_1 заміною TFна TF. Звідси Твердження 3. ATVAnU iz АTV6_1 . Наслідок 1. AQAnUV–A iz AQAUV–A . Логіка TAnU-предикатів. Множи- на ТVTAnU = {T, F, T, F, TF} незамкнена щодо  : TF  F = TF. Маємо ТVTAnU  ТVAnU. Множина ТVTAnU замкнена щодо AnU та AnU . Діаграма Хассе для ТVTAnU щодо AnU та AnU така: F  F  TF  T  T. Маємо TV-алгебру ATVAnU, яка інду- кує алгебру TAnU-предикатів AQTAnU V–A . Модифікація  як AnU – єдина для ТVAnU, яка гарантує умови TFC, тому така модифікація теж єдина, яка гарантує умови TFC, для її підмножини ТVTAnU  ТVAnU. Таблицю істинності AnU для AТVTAnU можна отримати із таблиці істин- ності  для ATV5_1 заміною на TF та із таблиці істинності  для ATV5_2 заміною TF на TF. Звідси Твердження 4. ATVTAnU iz АTV5_1 iz АTV5_2 . Наслідок 2. AQTAnUV–A iz AQSGV–A iz AQTAUV–A . Логіка RAU-предикатів. Множина TVD5 = {T, F, , TF, TF} незамкнена щодо  : TF   = T; TF   = T. Тому TVD5 не утворює підалгебри алгебри ATV7 . Розглянемо допустимі варіанти мо- дифікації  у випадку TVD5. Потрібно мо- дифікувати значення TF   та TF   так, щоб отримати елемент TVD5. Маємо T(TF) = T(TF)T() = T(TF) = V A та T(TF) = T(TF)T() = T(TF) = V A; F(TF) = F(TF)F() = F(TF) =  та F(TF) = F(TF)F() = . Отже, за умови TFC таким  може бути лише T. Отримуємо Твердження 5. Єдиною модифіка- цією  для TVD5 за умови TFC є така RAU : Теоретичні та методологічні основи програмування 20 TF RAU  = T та TF RAU  = T. Маємо TV-алгебру AТVRAU, задамо її логічні зв’язки RAU та RAU (табл. 6, 7). Таблиця 6. Композиція RAU RAU T F  TF TF T T T T T T F T F  TF TF  T   T T TF T TF T TF TF TF T TF T TF TF Таблиця 7. Композиція &RAU RAU T F  TF TF T T F  TF TF F F F F F F   F  F F TF TF F F TF TF TF TF F F TF TF Діаграма Хассе щодо RAU така:    F T   TF  TF Діаграма Хассе щодо RAU така:    F T   TF  TF Твердження 6. ATVRAU неізоморфна алгебрам ATV5_1, ATV5_2, ATV5_3, AТVAnU. Наслідок 3. Aлгебра AQRAUV–A неі- зоморфна алгебрам AQSGV–A, AQTAUV–A, AQImGV–A, AQAnUV–A. Логіка R-предикатів. Особливе мі- сце посідає множина істиннісних значень TVR = {T, F, , TF}, безпосередньо пов’я- зана з логікою R-предикатів. Множина TVR незамкнена щодо  : TF   = T. Отже, TVR не утворює підал- гебри алгебри ATV7 . Таким чином, алгебра R-предикатів AQRV–A не є підалгеброю алгебри AQGV–A . Маємо ТVR  ТVRAU. Множина ТVR замкнена щодо композицій RAU та RAU. Алгебра AТVR – це фактично алгеб- ра АTVB істиннісних значень відомої [10] 4-значної логіки Белнапа. Композиції В та В логіки Белнапа – це звуження компози- цій RAU та RAU на множину TVR. Це га- рантує виконання умови TFC. Діаграма Хассе для множини TVR щодо композицій В та В така:    F T   TF Твердження 7. АTV4_4 iz АTVB iz АTVR. Алгебра AQRV–A є вкладенням в ал- гебри AQImGV–A та AQAUV–A, тому й в AQGV–A. Алгебра AQRV–A не індукується підалгебрами алгебри ATV7. В AQRV–A ком- позиція  узгоджена із композицією В. Наслідок 4. AQRV–A iz AQTIGV–A. Логіка nU=A-предикатів. Множи- на ТVnU=A = {T, F, , TF}  ТVAnU не- замкнена щодо  : TF  F = TF. Така ТVnU=A замкнена щодо AnU та AnU . TV-ал- гебра AТVnU=A індукує алгебру nU=A-пре- дикатів AQnU=AV–A . Діаграма Хассе для ТVnU=A щодо AnU та AnU така:    F T   TF Логіка UAU-предикатів. Множина ТVUAU = {T, F, , TF} незамкнена щодо  :   TF = T. Маємо ТVUAU  ТVRAU, така ТVUAU замкнена щодо RAU та RAU. TV-алгебра AТVUAU індукує алгебру UAU-предикатів AQUAUV–A . Теоретичні та методологічні основи програмування 21 Діаграма Хассе для ТVUAU щодо RAU та RAU така:    F T   TF Порівнюючи таблиці істинності RAU для AТVUAU, AnU для AТVnU=A, RAU для ATVR та  для ATV4_4, отримуємо: Твердження 8. AТVUAU iz iz AТVnU=A iz AТVR iz АTV4_4. Наслідок 5. AQUAUV–A iz iz AQnU=AV–A iz AQRV–A iz AQTIGV–A. Логіка ТnU=A-предикатів. Мно- жина ТVТnU=A = {T, F, TF} незамкнена щодо  : TF  F = TF. Водночас ТVТnU=A замкнена щодо AnU та AnU . TV-алгебра AТVТnU=A індукує алгебру ТnU=A-предика- тів AQTnU=AV–A . Діаграма Хассе для ТVТnU=A щодо AnU та AnU така: F  TF  T Порівнюючи таблицю істинності AnU для AТVТnU=A із таблицями істинності  для АTV3_1, АTV3_2, АTV3_3, АTV3_4, АTV3_5, отримуємо: Твердження 9. AТVТnU=A iz АTV3_1 iz АTV3_2 iz АTV3_3 iz АTV3_4 iz АTV3_5. Наслідок 6. AQTnU=AV–A iz AQPV–A iz AQTV–A iz iz AQTU=AV–A iz AQTTIGV–A iz AQSTIGV–A . 4. Логіки, індуковані TVD5 Єдиним допустимим варіантом мо- дифікації  за умови TFC у випадку TVD5 є такий: TF RAU  = T та TF RAU  = T. Він веде до логіки RAU-предикатів. Інші варіанти модифікації для TVD5 шляхом корекції виділених значень T в таблиці  ведуть до істотно девіан- тних логік, для яких не виконується TFC. Через порушення умови TFC TV-ал- гебри девіантні, вони не індукують для GND-предикатів композиційні алгебри із коректними  та . Розглянемо для TVD5 варіант моди- фікації , який веде до специфічної логіки EU-предикатів, істотно відмінної від логі- ки GND-предикатів. 5-значна логіка EU. Оригінальна 5-значна логіка EU описана в [11]. Мно- жиною істиннісних значень такої логіки є TVEU = {T, F, u, e, eu}; при цьому u (неви- значеність) трактується як  у нас, проте трактування e (помилка) та eu дещо від- мінне від їх трактування як TF та TF в алгебрі ATV7. Проте для уніфікації позна- чень множиною істиннісних значень логі- ки EU вважаємо TVD5 = {T, F, , TF, TF}. Логічна зв’язка eu логіка EU іден- тична логічній зв’язці . Логічні зв’язки eu та eu логіки EU задаються так (табл. 8, 9). Таблиця 8. Композиція eu eu T F  TF TF T T T T T T F T F  TF TF  T   TF TF TF T TF TF TF TF TF T TF TF TF TF Таблиця 9. Композиція eu eu T F  TF TF T T F  TF TF F F F F F F   F  TF TF TF TF F TF TF TF TF TF F TF TF TF Отже, eu отримано такою модифі- кацією : TF eu  = TF та TF eu  = TF. Теоретичні та методологічні основи програмування 22 Для EU умова TFC не виконується: F(TF) = F(TF)F() = F(TF) =  та F(TF) = F(TF)F() = F(TF) = , водночас F(TF)  . Діаграма Хассе для TVD5 щодо eu :    F TF  T   TF Діаграма Хассе для TVD5 щодо eu :    F  TF T   TF Маємо TV-алгебру AEU. Через по- рушення TFC алгебра AEU девіантна, вона не індукує для GND-предикатів компози- ційну алгебру із коректними  та . Алгебра AEU неізоморфна алгебрам ATV5_1, ATV5_2, ATV5_3, AТVAnU, ATVRAU. Опишемо ще 3 варіанти модифікації  для TVD5. Всі інші варіанти такої моди- фікації видаються зовсім неприродними. Варіант_1. Модифікуємо  як  так: TF   = TF та TF   = TF. Єдина відмінність  від eu у тому, що TF eu  = TF. Умова TFC не виконується: F(TF) = F(TF)F() = F(TF) = , водночас F(TF)  . Діаграма Хассе для ТVD5 щодо : F    TF  TF  T Діаграма Хассе для ТVD5 щодо : F  TF  TF    T Маємо TV-алгебру, яку через подіб- ність до AEU назвемо AEU . AEU неізоморфна алгебрам ATV5_1, ATV5_2, ATV5_3, ATVRAU, AТVTAnU, AEU. Через порушення TFC девіантна ал- гебра AEU не індукує композиційну алге- бру GND-предикатів із коректними  та . Варіант_2. Модифікуємо  як D так: TF D  = TF та TF D  = TF. Отримуємо логічні зв’язки D та D, що задаються так (табл. 10, 11). Таблиця 10. Композиція D D T F  TF TF T T T T T T F T F  TF TF  T   TF TF TF T TF TF TF TF TF T TF TF TF TF Таблиця 11. Композиція D D T F  TF TF T T F  TF TF F F F F F F   F  TF TF TF TF F TF TF TF TF TF F TF TF TF Умова TFC не виконується: F(TF) = F(TF)F() = F(TF) = , водночас F(TF)  . D і D неасоціативні. Покажемо для D:  D (TFD TF) =  D TF = TF; ( D TF) D TF = TF D TF = TF. D і D не задають впорядкуван- ня TVD5 через порушення транзитивності. Показуємо це для D.    означає  D  = , тому   TF та TF  TF. За транзитивністю має бути   TF, тобто  D TF = TF. Проте  D TF = TF. Отже, отримана TV-алгебра AEUD цілком девіантна. Варіант_3. Маємо ТVR  ТVD5, тому розглянемо модифікацію T композиції , яка є розширенням В на TVD5. Модифікуємо  як T так: TF T  = T та TF T  = TF. Така T відмінна від RAU лише у тому, що TF RAU  = T. Отримуємо логічні зв’язки T та T, що задаються так (табл. 12, 13). Теоретичні та методологічні основи програмування 23 Таблиця 12. Композиція T T T F  TF TF T T T T T T F T F  TF TF  T   T TF TF T TF T TF TF TF T TF TF TF TF Таблиця 13. Композиція T T T F  TF TF T T F  TF TF F F F F F F   F  F TF TF TF F F TF TF TF TF F TF TF TF Діаграма Хассе для TVD5 щодо T :    F TF  T   TF Діаграма Хассе для TVD5 щодо T :    F  TF T   TF TFC не виконується: F(TF) = = F(TF)F() = F(TF) =   F(TF). T і T неасоціативні. Покажемо для T:  T (TFT TF) =  T TF = TF; ( T TF) T TF = T T TF = T. Отримали цілком девіантну TV-ал- гебру, яку назвемо AEUT. AEUT неізоморфна алгебрам ATV5_1, ATV5_2, ATV5_3, ATVRAU, AТVTAnU, AEU, AEU. TV-алгебри, індуковані підмножи- нами TVD5 . Маємо три 4-елементних під- множини TVD5, які замкнені щодо  . Це TV4_2, TVR та ТVUAU. Множина TV4_2 = {T, F, TF, TF} ге- нерує TV-алгебру ATV4_2, яка індукує алге- бри ТUA-предикатів. Множина TVR = {T, F, , TF} неза- мкнена щодо  : TF   = T. Модифікація  як RAU дає TV-ал- гебру АTVR, яка індукує алгебри R-преди- катів. Множина ТVUAU = {T, F, , TF} не- замкнена щодо  :   TF = T. Модифікація  як RAU дає TV-ал- гебру AТVUAU, яка індукує алгебри UAU- предикатів. Модифікація  як eu дає TV-ал- гебру АEU4_1 . Зауважимо, що на множині ТVUAU із eu та eu збігаються  та , T та T . Діаграма Хассе для EU4_1 щодо eu: F    TF  T. Діаграма Хассе для EU4_1 щодо eu: F  TF    T. Маємо TV-алгебру АEU4_1. Для АEU4_1 TFC не виконується: F(TF) = F(TF)F() = F(TF) = , водночас F(TF)  . Тому девіантна AEU4_1 не індукує композиційну алгебру GND-предикатів із коректними  та . АEU4_1 – це алгебра ATV4_2, в якій TF  . Тому АEU4_1 iz АTV4_2 . Водночас AEU4_1 неізоморфна алгебрам ATV4_1, ATV4_3, ATV4_4, AТVnU=A, AТVR, AТVUAU. Розглянемо ще одну модифікацію  на ТVUAU – це 42 така: TF 42  = . Така 42 та похідна 42 видаються неприродними (табл. 14, 15). Таблиця 14. Композиція 42 42 T F  TF T T T T T F T F  TF  T    TF T TF  TF Теоретичні та методологічні основи програмування 24 Таблиця 15. Композиція 42 42 T F  TF T T F  TF F F F F F   F   TF TF F  TF Модифікація  як 42 дає TV-ал- гебру АEU4_2 . Для АEU4_2 TFC не виконується: T(TF) = T(TF)T() = T(TF) = = T(TF)  , водночас T() = . Діаграма Хассе щодо 42 така: F  TF    T. Діаграма Хассе щодо 42 така: F    TF  T. АEU4_2 – це ATV4_2, в якій TF   та TF  TF. Тому АEU4_2 iz АTV4_2. Отже, AEU4_1 iz AEU4_2 iz АTV4_2. Через порушення TFC девіантна АEU4_2 не індукує композиційну алгебру GND-предикатів із коректними  та . Маємо чотири 3-елементних під- множини TVD5, які замкнені щодо  . Три з них замкнені щодо . Множина TV3_1 = {T, F, } генерує TV-алгебру ATV3_1, яка індукує алгебри P-предикатів. Множина TV3_2 = {T, F, TF} генерує TV-алгебру ATV3_2, яка індукує алгебри T-предикатів. Множина TV3_3 = {T, F, TF} гене- рує TV-алгебру ATV3_3, яка індукує алгебри TU=A-предикатів. Множина TV3_D = {, TF, TF} не- замкнена щодо  : TF   = TF   = T. Склад TV3_D засвідчує невідмінність істини й фальші, що злилися воєдино! Коректні модифікації  на TV3_D, для яких виконується TFC, неможливі. Справді маємо: T(TF) = T(TF)T() = V A; T(TF) = = T(TF)T() = V A; F(TF) = F(TF)F() = F(TF) = ; F(TF) = F(TF)F() = F(TF) = . Отже, єдиною модифікацією md композиції  за умови TFC є така: TF md  = T та TF md  = T. Проте T{, TF, TF}. Відносно “природними” модифіка- ціями  для TV3_D є eu та , до певної міри D. У випадку eu маємо TV-алгебру ATV3_eu , вона є підалгеброю AEU. eu та eu на TV3_D збігаються. Діаграма Хассе для TV3_D щодо eu :   TF  TF Діаграма Хассе для TV3_D щодо eu :   TF  TF У випадку  маємо TV-алгебру ATV3_ , вона є підалгеброю AEU .  та  на TV3_D збігаються. Діаграма Хассе для TV3_D щодо :   TF  TF. Діаграма Хассе для TV3_D щодо : TF  TF  . У випадку D маємо TV-алгебру ATV3_D , вона є підалгеброю AEUD. D та D на TV3_D збігаються. D та D на TV3_D неасоціативні, тому TV-алгебра ATV3_D цілком девіантна. Алгебри ATV3_eu , ATV3_ , ATV3_D попарно неізоморфні, вони також неізомо- рфні жодній з 3-елементних алгебр ATV3_1, ATV3_2, ATV3_3, ATV3_4, ATV3_5, AТVТnU=A. Через порушення умови TFC девіан- тні алгебри ATV3_eu , ATV3_ , ATV3_D не ін- дукують композиційні алгебри GND-пре- дикатів із коректними  та . Теоретичні та методологічні основи програмування 25 Маємо чотири 2-елементних під- множини TVD5, які замкнені щодо  . Множина TV2_1 = {T, F} генерує класичну булеву TV-алгебру ATV2_1, яка індукує алгебри TS-предикатів. Множина TV2_3 = {TF, TF} генерує TV-алгебру ATV2_3, яка індукує алгебри TAmG-предикатів. Клас TAmG-предикатів вироджений [8]. Множина TV2_D = {, TF} незамкне- на щодо  : TF   = T. Коректні моди- фікації  із TFC, неможливі, адже єдиною модифікацією md композиції  за умови TFC є така: TF md  = T та TF md  = T. Водночас T{, TF}. Природні модифікації  на TV2_D – це  і дуальна їй на TV2_D композиція d:  d  = TF d  =  d TF = TF, TF du TF = TF. У випадку  маємо TV-алгебру ATV2_D, вона ізоморфна алгебрі ATV2_3 (при перейменуванні  на TF та TF на TF). У випадку d маємо TV-алгебру ATV2_Dd, вона ізоморфна ATV2_3 (при пе- рейменуванні  на TF). Множина TV2_U = {, TF} незамк- нена щодо  : TF   = T. Коректні мо- дифікації , для яких виконується TFC, неможливі, адже єдиною модифікацією md композиції  за умови TFC є така: TF md  = T та TF md  = T. Проте T{, TF}. Природні модифікації  на TV2_U – це  і дуальна їй на TV2_U композиція du:  du  = TF du  =  du TF = TF, TF du TF = TF. У випадку  маємо TV-алгебру ATV2_U , вона ізоморфна ATV2_3 (при пе- рейменуванні  на TF). У випадку du маємо TV-алгебру ATV2_Ud , вона ізоморфна алгебрі ATV2_3 (при перейменуванні  на TF та TF на ). Через порушення TFC девіантні ал- гебри ATV2_D , ATV2_Dd , ATV2_U , ATV2_Ud не індукують композиційні алгебри GND- предикатів із коректними  та . Висновки Вивчаються програмно-орієнтовані логічні формалізми – логіки загальних не- детермінованих (GND) предикатів. GND- предикати моделюються як 7-значні TD7- предикати. Множина TV7 їх істиннісних значень задає алгебру істиннісних значень (TV-алгебру) ATV7 = (TV7, {, }). Багато підмножин TV7 незамкнені щодо  чи , тому не утворюють підалгебр ATV7. Такі підмножини та відповідні класи GND- предикатів названо девіантними. Девіантні TV-алгебри та девіантні класи GND-преди- катів досліджено в даній роботі. Для того, щоб девіантна TV  TV7 утворила алгебру, необхідно модифікувати  чи . В роботі не розглядається модифікація , яка веде до специфічних некласичних логік. Най- важливішими є такі модифікації , для яких виконується умова TFC коректності логічних зв'язок предикатних алгебр. При порушенні умова TFC TV-алгебра стає де- віантною, вона не індукує алгебру GND- предикатів. Для всіх підмножин TV7 дослі- джено можливість модифікації  із умо- вою TFC, що визначає відповідні класи GND-предикатів. Описано природні моди- фікації  без умови TFC, що дає низку де- віантних TV-алгебр. Для трьох девіантних множин не існує модифікацій  із TFC, для них вказано відносно природні девіан- тні TV-алгебри. Література 1. Handbook of Logic in Computer Science. Edited by S. Abramsky, Dov M. Gabbay and T. S. E. Maibaum. Oxford University Press, Vol. 1–5. 1993 – 2000. 2. Avron A., Zamansky A. Non-deterministic semantics for logical systems, in Handbook of Philosophical Logic, D.M. Gabbay, F. Guenthner (eds.), 2nd ed. 2011. Springer Netherlands. Vol. 16. P. 227–304. 3. Hähnle R. Many-valued logic, partiality, and abstraction in formal specification languages. Logic Journal of the IGPL, 2005. 13. P. 415–433. 4. Jones C. Reasoning about partial functions in the formal development of programs. In: Proceedings of AVoCS’05. Elsevier, Теоретичні та методологічні основи програмування 26 Electronic Notes in Theoretical Computer Science. 2006. Vol. 145. P. 3–25. 5. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Приклад- на логіка. К.: ВПЦ Київський університет, 2013. 278 с. 6. Нікітченко М.С., Шкільняк О.С.. Шкільняк С.С. Чисті першопорядкові логіки квазіар- них предикатів. Проблеми програмування. 2016. № 2–3. C. 73–86. 7. Мykola S. Nikitchenko and Stepan S. Shkilniak. Algebras and logics of partial quasiary predicates. Algebra and Discrete Mathematics. 2017. Vol. 23. N 2. P. 263–278. 8. Нікітченко М.С., Шкільняк О.С., Шкільняк С.С. Алгебри загальних недетермінованих предикатів. Проблеми програмування. 2018. № 1. C. 5–21. 9. Нікітченко М.С., Шкільняк О.С.. Шкільняк С.С. Логіки загальних недетермінованих предикатів: семантичні аспекти. Проблеми програмування. 2018. № 2–3. C. 31–45. 10. Belnap N., Steel T. The Logic of Questions and Answers. New Haven and London: Yale Univ. Press, 1976. 11. Нікітченко М.С., Шишацька О.В. Семан- тичні властивості п’ятизначних логік. Про- блеми програмування. 2018. № 1. C. 22–35. References 1. Abramsky S., Gabbay D. and Maibaum T. (editors). (1993–2000). Handbook of Logic in Computer Science Oxford University Press, Vol. 1–5. 2. Avron A. and Zamansky A. (2011). Non- deterministic semantics for logical systems. In Handbook of Philosophical Logic, D.M. Gabbay, F. Guenthner (eds.), 2nd ed., vol. 16, Springer Netherlands. P. 227–304. 3. Hähnle R. (2005). Many-valued logic, partiality, and abstraction in formal specification languages. In Logic Journal of the IGPL, 13. P. 415–433 4. Jones C. (2006). Reasoning about partial functions in the formal development of programs. In Proceedings of AVoCS’05. V. 145. Elsevier, Electronic Notes in Theoretical Computer Science. P. 3–25. 5. Nikitchenko M. and Shkilniak S. (2013). Applied logic. Кyiv: VPC Кyivskyi Universytet (in ukr). 6. Nikitchenko M., Shkilniak O. and Shkilniak S. (2016). Pure first-order logics of quasiary predicates. In Problems in Progamming. N 2–3. P. 73–86 (in ukr). 7. Nikitchenko M. and Shkilniak S. (2017). Algebras and logics of partial quasiary predicates. In Algebra and Discrete Mathematics. Vol. 23. N 2. P. 263–278. 8. Nikitchenko M., Shkilniak O. and Shkilniak S. (2018). Algebras of general non-deterministic predicates. In Problems in Progamming. N 1. P. 5–21 (in ukr). 9. Nikitchenko M., Shkilniak O. and Shkilniak S. (2018). Logics of general non-deterministic predicates: semantic aspects. In Problems in Progamming. N 2–3. P. 31–45 (in ukr). 10. Belnap N. and Steel T. (1976). The Logic of Questions and Answers. New Haven and London: Yale Univ. Press. 11. Nikitchenko M., and Shyshatska E. (2018). Algebras of general non-deterministic predicates. In Problems in Progamming. N 1. P. 22–35 (in ukr). Одержано 08.02.2019 Про авторів: Шкільняк Оксана Степанівна, кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент кафедри інформаційних систем. Кількість наукових публікацій в українських виданнях – понад 90, у тому числі у фахових виданнях – 35. Кількість наукових публікацій в зарубіжних виданнях – 12. Scopus Author ID: 57190873266 h-індекс (Google Scholar): 5 (4 з 2014) http://orcid.org/0000-0003-4139-2525. Місце роботи авторa: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 01601, Київ, вул. Володимирська, 60. Тел.: (044) 259 05 19. E-mail: me.oksana@gmail.com

Схожі ресурси