About an optimal control for a "predator-prey" system
We consider the system of Lotka-Volterra differential equations with two control variables and describe an optimal control, which provides a transition to a stationary point in a minimum time. We also found an optimal control for the limit case, on condition that the phase trajectories are located n...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
PROBLEMS IN PROGRAMMING
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/420 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Problems in programming |
| Download file: |  |
Institution
Problems in programming| _version_ | 1859502779793408000 |
|---|---|
| author | Pashko, S.V. |
| author_facet | Pashko, S.V. |
| author_sort | Pashko, S.V. |
| baseUrl_str | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-12-07T14:00:16Z |
| description | We consider the system of Lotka-Volterra differential equations with two control variables and describe an optimal control, which provides a transition to a stationary point in a minimum time. We also found an optimal control for the limit case, on condition that the phase trajectories are located near a stationary point. Optimal trajectories of motion in the phase space are constructed; they look like spirals.Problems in programming 2020; 2-3: 287-294 |
| first_indexed | 2025-07-17T09:40:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Методи та засоби комп′ютерного моделювання
© С.В. Пашко, 2020
ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2020. № 2–3. Спеціальний випуск 287
УДК 519.8 https://doi.org/10.15407/pp2020.02-03.287
ПРО ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ
В СИСТЕМІ “ХИЖАК-ЖЕРТВА”
С.В. Пашко
Розглядається система диференціальних рівнянь Лотки-Вольтерри з двома змінними керування. Описано оптимальне керування,
яке забезпечує перехід до стаціонарної точки за мінімальний час. Знайдено також оптимальне керування в граничному випадку, за
умови, що фазові траєкторії лежать поблизу стаціонарної точки. Побудовано оптимальні траєкторії руху у фазовому просторі, що
мають вигляд спіралей.
Ключові слова: оптимальне керування, мінімальний час, стаціонарна точка.
Рассматривается система дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерры с двумя переменными управления. Описано
оптимальное управление, обеспечивающее переход к стационарной точке за минимальное время. Найдено также оптимальное
управление в предельном случае, при условии, что фазовые траектории расположены вблизи стационарной точки. Построены
оптимальные траектории движения в фазовом пространстве, имеющие вид спиралей.
Ключевые слова: оптимальное управление, минимальное время, стационарная точка.
We consider the system of Lotka-Volterra differential equations with two control variables and describe an optimal control, which
provides a transition to a stationary point in a minimum time. We also found an optimal control for the limit case, on condition that the
phase trajectories are located near a stationary point. Optimal trajectories of motion in the phase space are constructed; they look like
spirals.
Key words: optimal control, minimum time, stationary point.
Вступ
Математики Альфред Джеймс Лотка та Віто Вольтерра запропонували модель взаємодії двох популяцій
типу “хижак-жертва”, що являє собою систему двох звичайних лінійних диференціальних рівнянь з двома
невідомими та має вигляд
,)(
,)(
212
121
xxx
xxx
(1)
де величини )(),( 2211 txxtxx означають кількості жертв і хижаків у момент часу t відповідно, а додатні
числа ,,, є параметрами моделі. Вважається, що 0t та початкові значення задовольняють
співвідношенням .0)0(,0)0( 21 xx За таких умов точка )),(),(( 21 txtx де функції )(1 tx та )(2 tx
задовольняють (1), рухається вздовж замкнутої кривої проти годинникової стрілки навколо стаціонарної точки
, і виконуються нерівності .0,0)(,0)( 21 ttxtx Подібні моделі застосовуються в біології,
медицині, економіці.
Керовані динамічні системи типу “хижак-жертва” вивчалися в ряді робіт. В роботі [1] система
Лотки-Вольтерри з двома змінними керування використовується для мінімізації витрат
сільськогосподарського підприємства, що пов’язані з внесенням пестицидів та з іншими способами впливу на
систему. В роботі [2] досліджується система “хижак-жертва” більш загального типу з двома змінними
керування. Розв’язується задача про оптимальну швидкодію, доведено теореми про керованість та про
існування оптимального керування, однак за умов, що не виконуються для моделі Лотки-Вольтерри. В [3]
побудовано оптимальне керування для системи Лотки-Вольтерри з однією змінною керування, яка визначає
степінь сепарації популяцій. В статтях [4–7] також розв’язуються задачі оптимального керування системами
“хижак-жертва” з однією змінною керування.
В даній роботі розглядається керована система Лотки-Вольтерри
,)( 1121 xuxx
,)( 2212 xuxx (2)
,0,2,1,0)( tituu ii
https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%84%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%94%D0%B6%D0%B5%D0%B9%D0%BC%D1%81_%D0%9B%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0
https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%96%D1%82%D0%BE_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%B0
Методи та засоби комп′ютерного моделювання
288
де )(),( 2211 tuutuu − змінні керування, ,0t 0,0 21 uu константи. Використовуючи принцип
максимуму Понтрягіна, розшукується керування, що за мінімальний час переводить задану фазову точку
0)0(,0)0( 21 xx в точку ,,
яка є стаціонарною для системи (1).
1. Оптимальне керування в граничному випадку
Позначимо ;, 21
xx тоді 21, xx стаціонарна точка системи (1). Нехай ),(~)( txxtx iii
.2,1i Із співвідношень (2) випливає
,~)~(~)~(~
1112111221 xxuxxxuxxx
,~)~(~)~(~
2221222112 xxuxxxuxxx
.0,2,1,0)( tituu ii
Якщо величини ix~ досить малі у порівнянні з величинами ,ix то з останньої системи випливає, що з високою
точністю виконуються співвідношення
,)~(~
1121 xuxx
;)~(~
2212 xuxx
приходимо до системи
,~~
121 uxx
,~~
212 uxx
.0,2,1,0)( tituu ii
Позначаючи ,~,~,~,~,, 22112211 uuuuuuuuba
отримуємо
,~~~
121 uxax
,~~~
212 uxbx
.0,2,1,0)(~~ tituu ii
Виконавши заміну змінних ,~,~
2211 ybxyax отримаємо систему рівнянь
,/~
121 aukyy
,/~
212 bukyy
де .abk Нехай ,/1 ktt ),/()( 11 ktytz ii ),/(~)( 11 ktutv ii .2,1i Маємо
,
)(
)(
)(~
)()(
1
)( 11
12
1
21
1
1
1
11
1 ba
tv
tz
ak
tu
tyty
dt
d
kk
t
y
dt
d
tz
dt
d
;
)(
)(
)(~
)()(
1
)( 12
11
2
12
1
2
1
12
1 ab
tv
tz
bk
tu
tyty
dt
d
kk
t
y
dt
d
tz
dt
d
Моделі та засоби систем баз даних і знань
289
отже, справедлива система
,121 wzz
,212 wzz
,0,0)(
~
,0)(
~
2
2
1
1 ttw
ab
u
tw
ba
u
де ., 2
2
1
1
ab
v
w
ba
v
w
Із сказаного випливає, що, не обмежуючи загальності, досить розглянути систему
,121 uxx
,212 uxx (3)
,0,2,1,0)( tituu ii
де 21 ,uu константи. В даному розділі розв’язується задача про оптимальну швидкодію для системи (3), тобто
будується керування ,)(),()( 21 tututU що за мінімальний час переводить задану фазову точку у початок
координат. Використовується принцип максимуму Понтрягіна, а також прийоми розв’язання подібних задач,
розвинуті в [8].
Для того, щоб використати принцип максимуму Понтрягіна, розглянемо функцію H
212121 uxuxH
та систему диференціальних рівнянь
,
,
12
21
розв’язок якої визначається формулами
,sin)(
,cos)(
2
1
tt
tt
(4)
де та – константи, .20,0 Згідно з принципом максимуму [8], оптимальне керування )(tU
задовольняє умові
,),(),(sup)(),(),( VtXtHtUtXtH
GV
де )),(),(()( 21 ttt )),(),(()( 21 txtxtX ),,( 21 vvV },0,0:),{( 221121 vuvuvvG звідки
виводимо
.0sin
,0sin0
,0cos
,0cos0
22
2
11
1
tякщоuu
tякщоu
tякщоuu
tякщоu
(5)
Отже, оптимальні керування )(),( 21 tutu є кусково-постійними функціями та можуть приймати значення
.,,0 21 uu
У випадку постійних 1u та 2u розв’язок системи рівнянь (3) визначається формулами
Методи та засоби комп′ютерного моделювання
290
,sin)(
,cos)(
1112
2111
uttx
uttx
(6)
де 1 та 1 – константи, .20,0 11 Формули (6) описують коло з центром у точці ).,( 12 uu З (6)
випливає, що частини фазових траєкторій, які відповідають відрізкам часу, на яких 1u та 2u приймають
постійні значення, являють собою дуги кіл з центрами в ).,( 12 uu За умови оптимальності вектор ),( 12 uu
може приймати одне з чотирьох значень ,0,0O ,,0 1uA ,, 12 uuB .0,2uC Точки CBAO ,,,
є центрами кіл, на яких лежать оптимальні фазові траєкторії ).(tX
Формули (4) та (6) показують, що рух точок )(),( tXt відбувається вздовж кіл проти годинникової
стрілки з постійною швидкістю, яка становить один оберт за час .2 З (5) випливає, що в моменти
,2/ kt де k ціле число, одна з керуючих величин 21 ,uu змінює своє значення. У кожний такий
момент відбувається зміна кола, вздовж якого рухається фазова точка ).(tX Між двома моментами зміни
керування фазова точка описує дугу кола з центральним кутом ;2/ перша та остання дуги фазової траєкторії
можуть мати менші центральні кути. Очевидно, центри кіл, тобто точки ,,,, CBAO з часом змінюються у
наступному порядку:
.,,,,,,,,,, OCBAOCBAO (7)
На рис. 1 показано частину оптимальних фазових траєкторій. Якщо керування оптимальні, перед
моментом потрапляння в початок координат O фазова точка )(tX рухається по одній з трьох дуг OD, OF або
OG з постійною швидкістю проти годинникової стрілки. Дуги OD, OF, OG мають центри відповідно С, B, A та
центральні кути ,2/ але фазова точка може описати менший кут, якщо рух по дузі починається не з крайньої
точки (наприклад, з точки H дуги OD, рис. 1). Якщо перед потраплянням у точку O рух відбувався по дузі OD,
то перед потраплянням на дугу OD рух відбувався по дузі з центром у точці B. Отже, у криволінійному
чотирикутнику ODEF рух відбувається по дугам з центром B. Дуга FE утворена поворотом дуги OD навколо
точки B на кут 2/ за годинниковою стрілкою.
Рис. 1. Побудова оптимальних траєкторій
Якщо фазова точка перетинає дугу FE, то перед моментом потрапляння на цю дугу вона рухається по
дузі з центром у точці A. Отже, можна збудувати нову частину оптимальної траєкторії, яка лежить на дузі з
центром в A та з центральним кутом .2/ Множина таких дуг утворює криволінійний чотирикутник, що
прилягає до криволінійного чотирикутника ODEF вздовж дуги FE. Продовжуючи, можна збудувати всі
оптимальні траєкторії, що приводять у початок координат, проходячи на останньому етапі через дугу OD.
Аналагічно можна побудувати всі оптимальні траєкторії, що приводять у початок координат, проходячи на
останньому етапі через дуги OF та OG. В результаті будуть побудовані всі оптимальні траєкторії, через кожну
точку площини буде проходити одна траєкторія.
На рис. 2 показані оптимальні траєкторії. Якщо фазова точка )(tX не належить кривим ...,21KOK
...,21LOL ...,21MOM ...,21NON оптимальні керування зберігають постійні значення. Нехай 1Q – частина
площини, що лежить справа від кривої ...21MOM та вище кривої ...,21NON 2Q – частина площини, що
лежить зліва від кривої ...21MOM та вище кривої ...,21LOL 3Q – частина площини, що лежить зліва від
x2
x1 0
C
B A
O
G
D
F
E
H
Моделі та засоби систем баз даних і знань
291
кривої ...21KOK та нижче кривої ...,21LOL 4Q – частина площини, що лежить справа від кривої ...21KOK та
нижче кривої ...21NON (рис. 2). Якщо фазова точка, рухаючись оптимально, перетинає одну із згаданих
кривих, переходячи з області iQ в область ,jQ оптимальні значення величин 21 ,uu змінюються. В областях
4321 ,,, QQQQ оптимальні значення змінних керування становлять відповідно ;, 2211 uuuu
;,0 221 uuu ;0,0 21 uu .0, 211 uuu Під час руху в областях 4321 ,,, QQQQ фазова точка описує
дуги кіл з центрами в точках AOCB ,,, відповідно.
Рис. 2. Оптимальні траєкторії в граничному випадку
Крива ...21KOK складається з конгруентних криволінійних відрізків ,1OK ,21KK ,32KK ....
Відрізок 21KK утворюється шляхом зсуву відрізка 1OK вниз на величину ,2 21 uu відрізок 32KK
утворюється шляхом зсуву відрізка 21KK вниз на величину 212 uu і т. д. Відрізок кривої 1OK складається
з трьох дуг, кожна з яких має центральний кут .2/ Перша дуга має центр 1,0 u та крайні точки 0,0 і
., 11 uu Центр другої дуги знаходиться в точці ,,0 21 uu ця дуга має крайні точки 11 ,uu та
.2, 212 uuu Центр третьої дуги знаходиться в точці ,2,0 21 uu ця дуга має крайні точки
212 2, uuu та .2,0 21 uu
Крива ...21LOL утворюється шляхом повороту кривої ...21KOK на кут .2/ Крива ...21MM
утворюється шляхом повороту кривої ...21LOL на кут ,2/ зсуву вгору на величину 2u та зсуву вправо на
величину .2u Дуга 1OM має центральний кут ,2/ радіус 2u та центр у точці .0,2u Крива ...21NN
утворюється шляхом повороту кривої ...21MM на кут ,2/ зсуву вниз на величину 2u та зсуву вправо на
величину .21 uu Криволінійний відрізок 1ON складається з двох дуг, кожна з яких має центральний кут
x2
x1
C
B A
O
K1
K2
L1 L2
M1
M2
M3
N1 N2 N3
Q1 Q2
Q3 Q4
Методи та засоби комп′ютерного моделювання
292
.2/ Перша дуга має центр 12 ,uu та крайні точки 0,0 і ., 221 uuu Центр другої дуги знаходиться в
точці ,, 121 uuu ця дуга має крайні точки 221 ,uuu та .2,2 221 uuu
Для лінійних керованих систем принцип максимуму є не тільки необхідною, але й достатньою умовою
оптимальності [8], тому побудоване керування оптимальне.
2. Оптимальне керування в загальному випадку
Розглянемо керовану систему Лотки-Вольтерри в загальному випадку. Виконуючи заміну змінних
,11 yx 22 yx в системі
),)(( 1121 xuxx
),)(( 2212 xuxx (8)
,0,2,1,0)( tituu ii
отримуємо систему (2), тому в даному розділі розв’язується задача про мінімальний час переходу до початку
координат для системи (8). Початкові значення повинні задовольняти умовам ;)0(,)0( 21 xx
вважаємо також, що виконується нерівність .01 u
Інтегруючи систему диференціальних рівнянь (8) за умови, що величини 1u та 2u приймають постійні
значення, отримуємо співвідношення
,)()( 1221
21 Cxexe
uxux
(9)
аналіз якого показує, що фазові криві системи (8) замкнуті [9]; тут 0C ˗ величина, що не залежить від часу.
За умови постійності 1u та 2u точка )),(),(( 21 txtx де функції )(1 tx та )(2 tx задовольняють (8), рухається
вздовж замкнутої кривої проти годинникової стрілки навколо стаціонарної точки ),( 12 uu і виконуються
нерівності .0,)(,)( 21 ttxtx
Для того, щоб використати принцип максимуму, розглянемо функцію H
))(())(( 22121121 xuxxuxH
та систему диференціальних рівнянь
.)()(
,)()(
221112
221121
uxx
xux
(10)
Як і в попередньому розділі, оптимальне керування )(tU повинно задовольняти умові
,),(),(sup)(),(),( VtXtHtUtXtH
GV
звідки виводимо
.0)(
,0)(0
,0)(
,0)(0
222
22
111
11
tякщоuu
tякщоu
tякщоuu
tякщоu
Оптимальні керування )(),( 21 tutu є кусково-постійними функціями та можуть приймати значення .,,0 21 uu
Частина фазової траєкторії, що відповідає відрізку часу, на якому величини 1u та 2u приймають
постійні значення, являє собою частину кривої (9) зі стаціонарною точкою ).,( 12 uu За умови оптимальності
Моделі та засоби систем баз даних і знань
293
вектор ),( 12 uu може приймати одне з чотирьох значень ,0,0O ,,0 1uA ,, 12 uuB .0,2uC
Легко довести, що нетривіальний розв’язок )(t системи (10) перетинає по черзі перший, другий, третій та
четвертий квадранти, тому точки CBAO ,,, з часом змінюються у порядку (7).
На рис. 3 зображено оптимальні траєкторії руху, побудова яких принципово не відрізняється від
побудови у граничному випадку. Тонкими лініями зображено оптимальні траєкторії, товстими – лінії
перемикання, пунктирними ˗ криволінійні відрізки, що одночасно є лініями перемикання та траєкторіями.
Фазова точка може потрапити у початок координат, рухаючись на останньому етапі вздовж одного з трьох
криволінійних пунктирних відрізків, кожний з яких описується рівнянням (9). Верхній пунктирний відрізок
відповідає керуванню ;,0 221 uuu середній – керуванню ;, 2211 uuuu нижній – керуванню
.0, 211 uuu Початкові точки цих відрізків легко знайти, використовуючи числовий метод розв’язання
системи рівнянь (8), (10). Згідно з (7), якщо перед потраплянням у початок координат рух відбувався вздовж
верхнього пунктирного відрізка, то перед потраплянням на цей відрізок фазова точка рухалася вздовж
частини кривої (9) за умов ;, 2211 uuuu початкову точку цієї частини можна знайти, використовуючи
числовий метод розв’язання системи (8), (10). Продовжуючи, збудуємо оптимальну траєкторію, що веде у
початок координат через фіксовану точку верхнього пунктирного відрізка. Виконуючи таку побудову для
всіх точок трьох пунктирних відрізків, отримуємо всі оптимальні траєкторії. Вони заповнюють всю множину
};,{ 21 xxQ через кожну точку цієї множини, відмінну від початку координат, проходить єдина
оптимальна траєкторія. Лінії перемикання розбивають множину Q на чотири області. Оптимальні значення
змінних керування 21 , uu становлять відповідно: у верхній правій області ;, 21 uu у верхній лівій області
;,0 2u у нижній лівій області ;0,0 у нижній правій області .0,1u Оптимальні траєкторії системи (8),
зображені на рис. 3, розраховані за умов ,10,8 .7.0,5.1 21 uu
Зауважимо, що принцип максимуму є необхідною умовою оптимальності, тобто його справедливість в
загальному випадку не гарантує оптимальності. Але можна довести, що для побудованих керувань та
траєкторій виконуються умови регулярного синтезу [10], звідки випливає їхня оптимальність. Також легко
довести, що оптимальні керування є кусково-постійними функціями від часу.
Рис. 3. Оптимальні траєкторії керованої системи Лотки-Вольтерри
Методи та засоби комп′ютерного моделювання
294
Висновки
В роботі розглянуто задачу про оптимальну швидкодію для керованої системи диференціальних рівнянь
Лотки-Вольтерри. Вимагається мінімізувати час переходу до стаціонарної точки, яка в результаті заміни
змінних перетворюється на початок координат. Для всіх допустимих початкових значень побудовано
оптимальне керування та оптимальну траєкторію руху у фазовому просторі. Оптимальні керування являють
собою кусково-постійні функції від часу, а оптимальні траєкторії мають вигляд спіралей, що ведуть до початку
координат.
Література
1. Vincent, Thomas L. Pest management programs via optimal control theory. Biometrics. 1975. 31. P. 1–10.
2. Albrecht, Felix, et al. On the control of certain interacting populations. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1976. 53.3.
P. 578–603.
3. Yosida, Setuzô. An optimal control problem of the prey-predator system. Funck. Ekvacioj. 1982. 25. P. 283–293.
4. Колмановский В.Б., Спивак А.К. Об управлении по быстродействию системой «хищник–жертва». Прикладная математика и
механика. 1990. 54.3. С. 502–506.
5. Михайлова Е.В. Оптимальное управление в системе Лотки–Вольтерры «хищник–жертва». Труды 3-й Всерос. науч. конф., 29–31 мая
2006 г. Математическое моделирование и краевые задачи. 2006. С. 123–126.
6. Apreutesei, Narcisa C. An optimal control problem for a prey–predator system with a general functional response. Applied mathematics
letters. 2009. 22.7. P. 1062–1065.
7. Sadiq, AL-Nassir. The Dynamics and Optimal Control of a Prey-Predator System. Global Journal of Pure and Applied Mathematics. 2017.
13.9. P. 5287–5298.
8. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1969.
384 с.
9. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. 367 с.
10. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука. 1969. 408 с.
References
1. Vincent, Thomas L. Pest management programs via optimal control theory. Biometrics. 1975. 31. P. 1–10.
2. Albrecht, Felix, et al. On the control of certain interacting populations. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1976. 53.3.
P. 578–603.
3. Yosida, Setuzô. An optimal control problem of the prey-predator system. Funck. Ekvacioj. 1982. 25. P. 283–293.
4. Kolmanovskii V.B., Spivak А.К. On the performance management of the predator – prey system. Applied mathematics and mechanics. 1990.
54.3. P. 502–506. (in Russian).
5. Mihailova E.V. Optimal control in the Lotka – Volterra system “predator – prey”. Mathematical modeling and boundary value problems. 2006.
P. 123–126. (in Russian).
6. Apreutesei, Narcisa C. An optimal control problem for a prey–predator system with a general functional response. Applied mathematics
letters. 2009. 22.7. P. 1062–1065.
7. Sadiq, AL-Nassir. The Dynamics and Optimal Control of a Prey-Predator System. Global Journal of Pure and Applied Mathematics. 2017. 13.9.
P. 5287–5298.
8. Pontryagin L.S, Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. The mathematical theory of optimal processes. Moscow: Nauka. 1969.
(in Russian).
9. Arnold V.I. Ordinary differential equations. Izhevsk: Izhevsk Republican Printing House. 2000. (in Russian).
10. Boltyanskii V.G. Mathematical methods of optimal control. Moscow: Nauka. 1969. (in Russian).
Одержано 28.02.2020
Про автора:
Пашко Сергій Володимирович,
доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник.
Кількість наукових публікацій в українських виданнях – понад 30.
Кількість наукових публікацій в зарубіжних виданнях – 2.
Індекс Гірша в SCOPUS – 3.
http://orcid.org/0000-0002-0453-4128.
Місце роботи автора:
Інститут програмних систем
НАН України,
03187, Київ-187,
проспект Академіка Глушкова, 40.
Факс: (38)(044) 526-62-63
Тел.: (38)(044) 526 60 25, 068-385-34-66(моб.)
E-mail: pashko55@yahoo.com
|
| id | pp_isofts_kiev_ua-article-420 |
| institution | Problems in programming |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T09:40:24Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | ppisoftskievua/da/a10f88ee13293916da2644cfbf713ada.pdf |
| spelling | pp_isofts_kiev_ua-article-4202020-12-07T14:00:16Z About an optimal control for a "predator-prey" system Об оптимальном управлении в системе "хищник-жертва" Про оптимальне керування в системі "хижак-жертва" Pashko, S.V. optimal control; minimum time; stationary point UDC519.8 оптимальное управление; минимальное время; стационарная точка УДК 519.8 оптимальне керування; мінімальний час; стаціонарна точка УДК 519.8 We consider the system of Lotka-Volterra differential equations with two control variables and describe an optimal control, which provides a transition to a stationary point in a minimum time. We also found an optimal control for the limit case, on condition that the phase trajectories are located near a stationary point. Optimal trajectories of motion in the phase space are constructed; they look like spirals.Problems in programming 2020; 2-3: 287-294 Рассматривается система дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерры с двумя переменными управления. Описано оптимальное управление, обеспечивающее переход к стационарной точке за минимальное время. Найдено также оптимальное управление в предельном случае, при условии, что фазовые траектории расположены вблизи стационарной точки. Построены оптимальные траектории движения в фазовом пространстве, имеющие вид спиралей.Problems in programming 2020; 2-3: 287-294 Розглядається система диференціальних рівнянь Лотки-Вольтерри з двома змінними керування. Описано оптимальне керування, яке забезпечує перехід до стаціонарної точки за мінімальний час. Знайдено також оптимальне керування в граничному випадку, за умови, що фазові траєкторії лежать поблизу стаціонарної точки. Побудовано оптимальні траєкторії руху у фазовому просторі, що мають вигляд спіралей.Problems in programming 2020; 2-3: 287-294 PROBLEMS IN PROGRAMMING ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ 2020-09-16 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/420 10.15407/pp2020.02-03.287 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 2-3 (2020); 287-294 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 2-3 (2020); 287-294 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 2-3 (2020); 287-294 1727-4907 10.15407/pp2020.02-03 uk https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/420/423 Copyright (c) 2020 PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| spellingShingle | optimal control minimum time stationary point UDC519.8 Pashko, S.V. About an optimal control for a "predator-prey" system |
| title | About an optimal control for a "predator-prey" system |
| title_alt | Об оптимальном управлении в системе "хищник-жертва" Про оптимальне керування в системі "хижак-жертва" |
| title_full | About an optimal control for a "predator-prey" system |
| title_fullStr | About an optimal control for a "predator-prey" system |
| title_full_unstemmed | About an optimal control for a "predator-prey" system |
| title_short | About an optimal control for a "predator-prey" system |
| title_sort | about an optimal control for a "predator-prey" system |
| topic | optimal control minimum time stationary point UDC519.8 |
| topic_facet | optimal control minimum time stationary point UDC519.8 оптимальное управление минимальное время стационарная точка УДК 519.8 оптимальне керування мінімальний час стаціонарна точка УДК 519.8 |
| url | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/420 |
| work_keys_str_mv | AT pashkosv aboutanoptimalcontrolforaquotpredatorpreyquotsystem AT pashkosv oboptimalʹnomupravleniivsistemequothiŝnikžertvaquot AT pashkosv prooptimalʹnekeruvannâvsistemíquothižakžertvaquot |