Hi-frequency cluster solution of problem of shear waves at a system of orifices in half-infinite isotropic environment with fastened boundary
The new algorithm of computational solution of stationary dynamic problem of elasticity theory about interaction SH-waves with a system of orifices with random normal cross-section that is located in a half-space with fastened boundary is offered. Boundary problem is minimized to a system of integra...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
PROBLEMS IN PROGRAMMING
2018
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/46 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Problems in programming |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Problems in programming| _version_ | 1859476412711305216 |
|---|---|
| author | Panchenko, B.E. |
| author_facet | Panchenko, B.E. |
| author_sort | Panchenko, B.E. |
| baseUrl_str | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-07-25T14:00:23Z |
| description | The new algorithm of computational solution of stationary dynamic problem of elasticity theory about interaction SH-waves with a system of orifices with random normal cross-section that is located in a half-space with fastened boundary is offered. Boundary problem is minimized to a system of integral equations that is solved computationally. Parallel calculation scheme allows analyzing situations with large number of reflecting orifices. New numerical results are shown. |
| first_indexed | 2025-07-17T09:35:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
УДК 004.652, 539.3
Б.Е. Панченко
ВЫСОКОТОЧНОЕ КЛАСТЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О
ДИФРАКЦИИ ВОЛН СДВИГА НА СИСТЕМЕ ОТВЕРСТИЙ В
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ С
ЗАЩЕМЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ
Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарной динамической задачи теории упругости
о взаимодействии SH-волн с системой отверстий произвольного поперечного сечения, находящейся в полупро-
странстве с защемленной границей. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений, которая реша-
ется численно. Схема параллельных вычислений позволила исследовать ситуации с большим числом отра-
жающих отверстий. Приведены новые численные результаты.
Введение
Анализ взаимодействия стацио-
нарных волн перемещений и напряжений
в упругой среде с системой отверстий [1]
позволяет оценить ресурсы конструкций,
содержащих большое число таких неод-
нородностей. Поэтому такие исследования
являются актуальными. Учитывая то, что
моделирование динамических взаимодей-
ствий упругих волн и систем неоднород-
ностей требует привлечения больших
объемов вычислений и значительных ре-
сурсов цифровой памяти, особое значение
приобретают эффективные параллельные
алгоритмы [2]. Тем более, что такие
задачи являются все еще малоисследован-
ными.
Среди аналитических методов ре-
шения плоских и антиплоских задач тео-
рии дифракции на отражающих неодно-
родностях произвольной формы особую
роль в разработке кластерных алгоритмов
играет метод интегральных уравнений [3,
4]. Важным преимуществом этого метода
является сокращение числа пространст-
венных переменных [3]. В настоящей ра-
боте исследуется алгоритм кластерного
решения интегрального уравнения Фред-
гольма второго рода, возникающего при
исследовании модельной задачи дифрак-
ции волн сдвига на системе цилиндриче-
ских полостей произвольного поперечно-
го сечения в полубесконечной среде с
защемленной границей.
1. Постановка задачи
Рассмотрим упругое полупростран-
ство у ≥ 0 с защемленной границей y = 0,
содержащее m туннельных вдоль оси Oz
полостей, поперечные сечения которых ог-
раничены замкнутыми (без общих точек)
контурами mjL j ,1, = типа Ляпунова. Пусть
L – совокупность указанных контуров и по-
ложительное направление выбрано так, что
при движении вдоль L область D остается
слева (рис. 1).
Рис. 1
Предположим, что источники
внешнего поля перемещений W0 разме-
щены в области D. В качестве такого ис-
точника может быть набегающая на ци-
линдры из бесконечности монохромати-
ческая SH-волна, нормаль к фронту кото-
рой составляет угол ψ с осью OX (τ =
const),
121
© Б.Е. Панченко, 2012
ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2012. № 1
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
,)sincos(
0
2 ψψγτ yxieW +−=
2
2 c
ωγ = (1)
или гармонический источник интенсив-
ности P, сосредоточенный в точке
M0(x0,y0) и порождающий поле переме-
щений:
),(
4
1
2
)1(
00 rH
i
PW γ
μ
−= 0zzr −= ,
,iyxz += (2) .000 iyxz +=
Здесь c2 – скорость волны сдвига, ω –
частота колебаний, μ – модуль сдвига, i –
мнимая единица ( = ), –
функция Ханкеля первого рода n-го по-
рядка, зависимость от времени выражает-
ся множителем .
2i 1− )()1( xHn
tωie−
В результате взаимодействия па-
дающей и отраженной от границы y = 0
волн с отверстиями возникает дифраги-
рованное волновое поле. Обозначим W1
амплитуду отраженной от защемленной
границы y = 0 волны сдвига. Тогда сум-
марное поле амплитуд перемещений
представимо в виде W=W0+W2–W1.
В случае набегающей из беско-
нечности волны сдвига (1) отраженная от
границы волна имеет вид [5]:
,)sincos(
1
2 ψψγτ yxieW −−=
2
2 c
ωγ = .
А в случае гармонического источника (2):
),(
4
1
12
)1(
01 rH
i
PW γ
μ
−= 0zzr1 −= ,
000 iyxz −= . (3)
Неизвестная функция W2 должна
удовлетворять однородному уравнению
Гельмгольца в области D с волновым
числом γ2:
,02
2
22 =+Δ WW γ ,2
2
2
2
yx ∂
∂
+
∂
∂
=Δ (4)
а также условием излучения на бесконеч-
ности типа Зоммерфельда [3].
На границе отверстий L нас будут
интересовать касательные напряжения
. В случае анти-
плоской деформации
,ti
ssz e ωτσ −= ti
nnz e ωτσ −=
,
s
W
s ∂
∂
= μτ ,
n
Wμτn ∂
∂
= (5)
где s – положительная касательная, n –
нормаль в точке Li ∈+= ηξζ (рис. 1).
Пусть 000 ηξζ i+= – точка L, в ко-
торой будем удовлетворять граничные
условия. Так как L – граница отверстий,
то, очевидно,
,0)( 210
0
=+−
∂
∂
LWWW
n (6)
где – нормаль к L в точке 0n L∈0ζ .
Таким образом, задача дифракции
волны сдвига (1) или (2) на системе от-
верстий в изотропном полупространстве
с защемленной границе сводится к реше-
нию краевой задачи (4), (6) при выполне-
нии дополнительных условий излучения
на бесконечности.
2. Метод решения
Следуя [5, 6], запишем функцию
W2(x,y), характеризующую рассеянную
отверстиями волну перемещений в об-
ласти D, следующим образом:
∫=
L
dsyxGsfyxW ),,,()(),(2 ηξ ,
( ))()(
4
1
12
)1(
02
)1(
0 rHrH
i
G γγ −= , ,ζ−= zr
,1 ζ−= zr ,iyxz += .ηξζ i−= (7)
Здесь L – совокупность контуров
mjL j ,1, = (рис. 1); f(s) – неизвестная
функция, удовлетворяющая на L условию
Гельдера.
Интегральное представление (7)
удовлетворяет уравнению Гельмгольца
(4) в области D и обеспечивает выполне-
ние условий излучения на бесконечности.
Остается выполнить граничное условие
(6). Для осуществления предельного пе-
рехода в (6) при Lz ∈→ 0ζ частные про-
изводные
0s
W
∂
∂ и
0n
W
∂
∂ будем понимать
следующим образом:
,
0→
0−0
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ζz
φiφi
L z
We
z
We
s
W
,0
0→
−
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
ζz
φiφi
L z
We
z
Wei
n
W
0
122
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
,
0
0=0
ds
ζde φi .000 Li ∈+= ηξζ (8)
Воспользуемся также известными
соотношениями [4, 5]:
),(
2
)( )1(
1
)1(
0 rHerH
z
i γγγ α−−=
∂
∂
),()( )()( rγHeγrγH
z
αi 1
1
1
0 2
−=
∂
∂
),()()( rγH
rπγi
rγH 1
1
1 +
2
= ,αζ irez =− (9)
где – непрерывная функция в точ-
ке x = 0.
)(1 xH
Привлечение формулы Сохоцкого
– Племеля [3] для вычисления предель-
ных значений интегралов типа Коши,
возникающих при удовлетворении гра-
ничного условия (6) с учетом соотноше-
ний (7) – (9), приводит к искомому инте-
гральному уравнению относительно не-
известной функции f(s):
),(),()()(
2
1
000 sKdsssEsfsf n
L
=+ ∫ 2,1=n
(
),)sin()(
)sin()(),(
010102
)1(
1
0002
)1(
120
ϕαγ
ϕαγγ
−−
−−=
rH
rHssE
,0
00
αζζ ier=− ,10
100
αζζ ier=−
(
),)sin()(
)sin()()(
001
000201
ϕψ
ϕψγ
+−
−−=
sW
sWisK
(
),)sin()(
)sin()()(
010102
)1(
1
0002
)1(
1202
ϕψργ
ϕψργγ
μ
−−
−−−=
H
HPsK
,0
000
ψρζ iez =− .10
1000
ψρζ iez =− (10)
Здесь функции и ) отвечают
случаям (1) и (2) соответственно.
)( 01 sK ( 02 sK
Представим ядро ) , учиты-
вая (9), в виде:
,( 0ssE
( −−+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
)sin()(
Im2),(
0002
*
12
0
0
0
ϕαγγ
ζζπ
ϕ
rH
e
i
ssE
i
))sin()( 010102
)1(
1 ϕαγ −− rH . (11)
Теперь нетрудно убедиться [3],
что функция ) непрерывна на L.
Следовательно, интегральное уравнение
(10) является уравнением Фредгольма
второго рода, которое, как известно, раз-
решимо и имеет единственное решение в
классе функций, непрерывных по Гель-
деру.
,( 0ssE
3. Дискретизация задачи
Представим неизвестную плот-
ность f(s) интегрального уравнения (9)
как совокупность функций fj(sj), опреде-
ленных на контурах mjL j ,1, = . Тогда
(10) превращается в систему интеграль-
ных уравнений Фредгольма 2-го рода
),(),()()(
2
1
0
1
00 kn
m
j L
jkjjjkk sKdsssEsfsf =+∑∫
=
,,1 mk = .2,1=n (12)
Здесь дуговые координаты и отно-
сятся к точкам
js 0ks
jjjj Li ∈+= ηξζ и
kkkk Lηiξζ ∈+= 000 соответственно.
Численная реализация интеграль-
ных уравнений (12) проводилась методом
механических квадратур [3]. Вводилась
параметризация контура Lj с помощью
соотношений:
),(βζζ jj = ),( 000 = βζζ jj ,2,0 0 πββ <≤ (13)
причем ).2()0( πζζ jj = Интегральное
уравнение, соответствующее контуру Lk,
удовлетворялось в узлах вида
kl nl /)12( −= πβ , ),1( knl = и сводилось к
системе линейных алгебраических урав-
нений относительно значений функции
fj(β) в узлах вида jp np /)12( −= πβ ,
),1( jnp = , где nj – число точек разбиения
контура Lj. Внеинтегральные значения
)( lkf β выражались с помощью интерпо-
ляционных полиномов Лагранжа через
искомые значения )( pkf β . Для нечетных
nk имеем следующие выражение [6]:
.
2
)()1(1)(
1
pl
pk
n
p
pn
k
lk ctgf
n
f
k
k
ββ
ββ
−
−= ∑
=
+ (14)
Таким образом, при численной
реализации системы интегральных урав-
нений (12) задача сводится к решению
системы линейных алгебраических урав-
нений с N = n1+n2+…+nm неизвестными.
123
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
4. Схема вычислений
Пусть система интегральных
уравнений сведена к системе линейных
алгебраических уравнений, все элементы
матрицы которой являются результатом
дискретизации контуров. Очевидно, что
размер матрицы пропорционален числу
отверстий. Для исследования описанного
метода при большом числе отверстий, а
также для получения высокоточных ре-
зультатов с погрешностью вычислений
до 10-10 и проверки сходимости решений
при большом числе точек коллокации по-
требуются существенные вычислитель-
ные ресурсы. Применим распараллелива-
ние алгоритма. Из системы уравнений
(12) следует, что каждый элемент матри-
цы определяется координатами узлов
дискретизации.
Как показано на рис. 2, данный
метод в вычислительном смысле сводит-
ся к обходу каждого контура по точкам
коллокации внеинтегральной переменной
и одновременному же обходу каждо-
го контура по аналогичным либо иным
узлам переменной интегрирования
0kζ
kζ .
Рис. 2
Важной особенностью алгоритма
такого обхода является то, что результи-
рующая матрица формально является ре-
зультатом Декартова произведения этих
множеств. Это означает, что все элемен-
ты матрицы независимы один от другого,
что не строго доказывает возможность
применения параллельного вычисления.
Таким образом, переменная
формирует строки матрицы СЛАУ, а пе-
ременная
0kζ
kζ – ее столбцы. Диагональ-
ные элементы матрицы соответствуют
коэффициентам системы, вычисленным в
узлах общих для и 0kζ kζ отверстий.
Иные коэффициенты вычисляются так,
что значения принадлежат множест-
ву точек коллокации с одних контуров, а
значения переменных интегрирования
0kζ
kζ
– с других.
Параллельно-конвейерная схема
вычислений показана на рис. 3. Тут при-
ведена пропорция интервалов времени
вычислений на: синтез массивов исход-
ных данных (время t0 при количестве
процессов P1), синтез матрицы СЛАУ
(время t1 при количестве процессов P1),
решение СЛАУ методом Гаусса (t2 – оп-
тимальное время вычислений при опти-
мальном числе процессов P0), синтез
массивов итоговых решений (время t3).
Первый, второй и четвертый этапы мак-
роконвейера не требуют пересылок дан-
ных, что означает независимость вычис-
лений. На третьем этапе для решения
СЛАУ существует оптимальное число
процессов, определяемое спецификой
матрицы. Это означает, что для 1, 2 и 4
этапов алгоритма оптимальным является
число процессов, соответствующих числу
коэффициентов СЛАУ. А для решения
СЛАУ число оптимальных процессов
значительно меньше. Такой несиммет-
ричный алгоритм поддерживает операци-
онная система MPI-2 посредством проце-
дуры spawn («икрометание»). Но в на-
стоящих исследованиях кластер такой
мощности не применялся.
Для алгоритма решения СЛАУ ис-
комого интегрального уравнения Фред-
гольма 2-го рода оптимальным числом
оказалось 200 – 250 процессов при задан-
ной точности 10-10.
Рис. 3
124
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
На рис. 4 показан график зависи-
мости общего времени кластерных вы-
числений массива контурных напряже-
ний на ромбическом отверстии от числа
процессов для одного варианта нагрузки.
По графику видно, что весь алгоритм хо-
рошо масштабируется и имеет условно-
оптимальное число процессов.
Рис. 4
Так как для данной методики ре-
шения краевой задачи основная операция
при вычислении каждого элемента мат-
рицы – это определение разностного ар-
гумента цилиндрических функций Хан-
келя, заданного на множестве значений
параметрических координат отверстий, а
также вычисление самих этих функций и
коэффициентов при них, то на следую-
щем шаге на каждом клоне хоста запус-
каются цикл процедур определения ука-
занных коэффициентов. При этом син-
хронизация каждого процесса не требу-
ется, так как итоговая матрица собирает-
ся по факту завершения последнего.
Вычислительный процесс решения
СЛАУ также распараллеливается соглас-
но [6]. Параллельное вычисление итого-
вых искомых характеристик осуществля-
ется путем подстановки массивов значе-
ний неизвестных функций в
представление (7) аналогично процеду-
рам формирования матрицы СЛАУ.
)( pk βf
5. Численные результаты
В исследовании достигалась точ-
ность вычислений порядка 10-10. Такая
точность обеспечена следующим: высо-
кая сходимость самого алгоритма, разре-
шающая способность компиляторов язы-
ков высокого уровня и разрешающая
способность операционных сред. Метод
интегральных уравнений обеспечивает
быструю сходимость решения, а также
функциональную зависимость стабили-
зации знаков результирующих данных от
увеличения числа точек коллокации. Для
описанных задач достаточно 2500–3000
точек коллокации каждого контура для
вычисления контурных напряжений с
указанной точностью – 10-10.
С целью исследования сходимости
построенного алгоритма рассмотрим слу-
чай нормального падения (ψ = π/2) волны
сдвига (1) на систему эллиптических или
ромбических отверстий, расположенных
вдоль одной линии на одинаковом рас-
стоянии d один от другого (рис. 5).
Рис. 5
Используем известные [7] пара-
метрические уравнения для задания ос-
новного контура L0:
,3sinsin)( βνββξ −= b
,3coscos)( βνββη += a πβ 20 ≤≤ , (15)
где при ν = 0.14036 контур имеет вид
ромба со скругленными точками возвра-
та. А в случае ν = 0 контур имеет эллип-
тическую форму. Остальные контура для
простоты будем располагать симметрич-
но относительно оси Y. В этом случае
рассматриваемая дифракционная задача
обладает свойством симметрии, что по-
зволяет осуществлять первичное само-
тестирование получаемых результатов.
В ходе численной реализации вы-
числялись безразмерные контурные на-
пряжения μτσ sβ /= . Точность вычисле-
ний проверялась путем сравнения резуль-
татов при различных значениях N. Про-
водилось также сравнение полученных
результатов с результатами, приведен-
ными в [5, 6] как для случая одиночного
125
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
эллиптического отверстия, так и для бес-
конечной среды.
Проведено параметрическое ис-
следование контурных напряжений на
системе эллиптических или ромбических
(со скруглениями) отверстий в полу-
бесконечной среде с защемленной
границей. Применение метода
параллельных вычислений, проведенного
на кластере «Инпарком–256», позволило
исследовать сходимость до 10-10 порядка.
Обнаружено, что сходимость решения
интегрального уравнения практически не
зависит от числа отражателей.
Численное исследование показало,
что в полубесконечном случае с защем-
ленной границей в системе отверстий на-
блюдается такой же эффект насыщения,
как и в [6, 8]. При линейном и симмет-
ричном относительно нагрузки располо-
жении отверстий вдоль границы для ис-
следования достаточно не более 9 отвер-
стий. Дальнейшее увеличение числа от-
верстий не приводит к изменению харак-
теристик стационарного волнового поля.
Для построенного алгоритма об-
наружена MIMD-пропорция, свидетель-
ствующая лишь об условно-оптимальном
числе процессов. Для системы из 3–9 от-
верстий условно оптимальным является
200-250 параллельных процессов, что
совпадает с результатом аналогичного
исследования СЛАУ [9] . Увеличение
числа процессов приводит лишь к незна-
чительному снижению суммарного вре-
мени вычислений за счет части алгоритма
без пересылок, а также и к приросту вы-
числительных расходов на балансировку
загрузки процессоров при решении
СЛАУ методом Гаусса.
Причем при фиксированной раз-
мерности матриц СЛАУ число отверстий
не влияет на оптимальное число процес-
сов, поскольку в интегральном уравнении
каждый контур отверстия является ча-
стью суммарного контура интегрирова-
ния. Поэтому при прочих равных услови-
ях свойства систем линейных уравнений,
полученных и для одного отверстия, и
для девяти, не изменяются. Как и в слу-
чае [6, 8], от числа отверстий не зависит
также сходимость алгоритма.
В работе проводились вычисления
контурных напряжений вдоль конту-
ров центрального L
βσ
0 и крайнего Lk отвер-
стий (рис. 2) в случае решетки, состоя-
щей из нечетного числа отверстий (p = k).
Отсчет угла β ведется от нуля (теневая
точка) до π (лобовая точка) для цен-
трального отверстия (учитывается сим-
метрия в случае нормального распреде-
ления волны сдвига) и от 0 до 2π − для
крайних отверстий (в силу симметрии
распределения напряжений на контурах
Lk и L-k зеркальны). Рассматривается слу-
чай ромбов, вытянутых вдоль набегаю-
щей волны. При этом b/a = 2.5.
На рис. 6 показаны распределения
вдоль контура центрального отверстия
L
βσ
0 в случае решетки, состоящей из трех
ромбов. Воздействие – волна из бесконеч-
ности. Значения безразмерного волнового
числа на рис. 6, а − γ2a = 1.7, и б − γ2a = 2.5.
Кривая 1 показывает распределение на-
пряжений для центрального отверстия в
случае решетки, где d = 0,5a. Кривая 2 –
для решетки с d = 2a. Результаты показы-
вают, что чем ближе отверстия друг к дру-
гу, тем выше контурные напряжения. Если
в теневой (β = 0) и лобовой (β = π) точках
= 0, то в зоне соскальзывания с увели-
чением γ
βσ
2a число локальных максимумов
также увеличивается, причем растет и
максимальное значение . Такой вывод
полностью совпадает с результатами работ
[5, 6].
βσ
βσ
а
126
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
б
Рис. 6
На рис. 7 показано аналогичное
распределение вдоль контура отвер-
стия, крайнего слева. Нумерация кривых
имеет тот же смысл. Здесь наблюдаются
локальные минимумы в теневой (β = 0) и
лобовой (β = π) точках. Число локальных
максимумов в зоне соскальзывания с
увеличением γ
βσ
2a также увеличивается.
Максимальное значение , как и на рис.
3, растет с уменьшением периода решет-
ки и с увеличением γ
βσ
2a. Причем наблюда-
ется две различных по интенсивности зо-
ны соскальзывания – внутренняя и внеш-
няя. Как следует из приведенных графи-
ков, при относительно близком располо-
жении объектов во внутренней зоне со-
скальзывания наблюдается значительный
рост контурных SH-напряжений по срав-
нению с внешней зоной.
а
б
Рис. 7
Рис. 8 иллюстрируют динамику
снижения амплитуды максимального
значения на контуре центрального
(рис. 8, а) и крайнего слева (рис. 8, б) от-
верстий в зависимости от увеличения па-
раметра решетки d (рис. 2) при b/a = 2.5,
γ
βσ
2a = 2.5 в случае симметричного нагру-
жения SH-волной (1). Как и в [6], растя-
гивание решетки приводит к уменьше-
нию значений . И стабилизации пуль-
саций этих значений при достаточно
больших d. Причём с увеличением вол-
нового числа γ
βσ
2a стабилизация пульсаций
достигается при бóльших значениях
параметра решётки d.
βσ
а − центральное отверстие
127
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
б − отверстие, крайнее слева
Рис. 8
На рис. 9 показаны распределения
вдоль контура центрального отверстия
L
βσ
0 в случае решетки, состоящей из трех
ромбов. Воздействие − точечный источник,
находящийся на оси Y на расстоянии a от
границы. Значения безразмерного волно-
вого числа: а − γ2a = 1.7 и б − γ2a = 2.5.
Кривая 1 показывает распределение на-
пряжений для центрального отверстия в
случае решетки, где d = 0,5a. Кривая 2 –
для решетки с d = 2a.
Результаты показывают, что харак-
тер зависимостей несколько меняется. На-
блюдаются явные пульсации зависимости
от d . То есть, для некоторых значений d
пик напряжения наблюдается на кривых 2 .
А для иных d − как и в случае воздействия
волны из бесконечности, для кривых 1: чем
ближе отверстия друг к другу, тем выше
контурные напряжения. При этом очевид-
но, что чем выше γ
βσ
2a , тем чаще чередуют-
ся такие отрезки d . Эта зависимость осо-
бенно наглядно будет видна на рис. 11.
а
б
Рис. 9
Однако общая тенденция наблюда-
ется − если в теневой (β = 0) и лобовой (β=
= π) точках = 0, то в зоне соскальзыва-
ния с увеличением γ
βσ
2a число локальных
максимумов также увеличивается, при-
чем растет и максимальное значение .
βσ
βσ
На рис. 10 показано аналогичное
распределение вдоль контура отвер-
стия, крайнего слева. Нумерация кривых
имеет тот же смысл. Здесь наблюдаются
локальные минимумы в теневой (β = 0) и
лобовой (β = π) точках. Число локальных
максимумов в зоне соскальзывания с
увеличением γ
βσ
2a также увеличивается. В
окрестности d = 2a максимальное значе-
ние (как и на рис. 11, б) растет с уве-
личением периода решетки и с увеличе-
нием γ
βσ
2a. Причем наблюдается две раз-
личных по интенсивности зоны соскаль-
зывания – внутренняя и внешняя.
а
128
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
б б − отверстие, крайнее слева
Рис. 10 Рис. 11
Как следует из приведенных гра-
фиков, при относительно близком распо-
ложении объектов во внутренней зоне
соскальзывания наблюдается значитель-
ный рост контурных SH-напряжений по
сравнению с внешней зоной.
Известно [6, 7], что для устано-
вившихся колебаний при сколь угодно
больших значениях расстояния между
объектами, вблизи объектов все же на-
блюдается незначительное влияние ре-
шетки. Графики, показанные на рис. 11,
иллюстрируют наличие слабых пульса-
ций значений вблизи константы –
значения максимума напряжения на
контуре соответствующего одиночного
отверстия. Этим также подтверждается
достоверность используемого алгоритма.
βσ
βσ
Рис. 11 так же, как и в случае воз-
действия волны из бесконечности, иллю-
стрируют динамику снижение амплитуды
максимального значения на контуре
центрального (рис. 11, а) и крайнего сле-
ва (рис. 11, б) отверстий. Увеличивается
параметр решетки d (рис. 2) при b/a = 2.5,
γ
βσ
2a = 2.5 в случае симметричного нагру-
жения. Как и в [6], растягивание решетки
приводит к уменьшению значений и
стабилизации пульсаций этих значений
при достаточно больших d. Причём с
увеличением волнового числа γ
βσ
2a стаби-
лизация пульсаций достигается при
бóльших значениях параметра решётки d.
βσ
Разработанная схема численного
эксперимента позволила сформировать
уникальную таблицу высокоточных зна-
чений (до 10-10) максимумов касательных
напряжений и соответствующих угловых
координат на контуре эллиптического
или ромбического центрального или
крайних отверстий (в системе от 3 до 9
объектов). Воздействие − волна из беско-
нечности или расположенный вблизи то-
чечный источник гармонических SH-волн
для фиксированных геометрических со-
отношений отверстий и большинства
волновых чисел. По мнению автора, та-
кая таблица сформирована впервые.
В таблице приводится фрагмент
этого результата в случае распростра-
няющейся SH-волны (из бесконечности
или от точечного источника), воздейст-
вующей на систему из трех эллиптиче-
ских или ромбических отверстий с соот-
ношением осей b/a = 2.5, параметром
решетки d = 2a и волновыми числами γ2a
равными 1,7 и 2.5 соответственно.
а − центральное отверстие
129
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
130
Таблица. Высокоточные значения максимумов касательных напряжений
Источник Тип кон-
тура
γ2a Расположение
отверстия
Угол β в радиа-
нах
Максимум βσ
Волна из/б Эллипс 1,7 Центральное 0,5686600035 5,0464229428
Волна из/б Эллипс 1,7 Крайнее справа 0,5797843285 4,5949148212
Волна из/б Ромбик 1,7 Центральное 4,8685519838 5,1334723570
Волна из/б Ромбик 1,7 Крайнее справа 1,4244175805 5,2176856614
Точ. источ. Эллипс 1,7 Центральное 5,8846155724 1,0479724809
Точ. источ. Эллипс 1,7 Крайнее справа 4,2344860978 0,6106355182
Точ. источ. Ромбик 1,7 Центральное 0,1037147043 1,5277278346
Точ. источ. Ромбик 1,7 Крайнее справа 4,6676274005 0,5141003888
Волна из/б Эллипс 2,5 Центральное 5,2962455795 6,4732441454
Волна из/б Эллипс 2,5 Крайнее справа 5,3087099723 6,6419534735
Волна из/б Ромбик 2,5 Центральное 5,9680209910 7.6035515628
Волна из/б Ромбик 2,5 Крайнее справа 1,4345722234 8.0431884160
Точ. источ. Эллипс 2,5 Центральное 0,2345264692 0,5365214007
Точ. источ. Эллипс 2,5 Крайнее справа 6,1775312385 0,3499206999
Точ. источ. Ромбик 2,5 Центральное 0,1014049544 1,4957191164
Точ. источ. Ромбик 2,5 Крайнее справа 3,1592925412 0,8071252579
Заключение
Таким образом, для задачи ди-
фракции сдвиговых волн на системе от-
верстий некруговой формы в полубеско-
нечной упругой среде параллельные ал-
горитмы позволяют значительно сокра-
тить время вычислений и более детально
проанализировать характеристики волно-
вого поля. Это очень важно, так как по-
лучение точных величин резонансных
максимумов контурных напряжений
вплоть до 10-го знака, а также точных
координат их дислокации позволяет из-
бежать разрушений конструкций, рабо-
тающих в условиях динамических нагру-
зок.
Сочетание метода интегральных
уравнений, позволяющего на единицу
снизить размерность задачи, и процедур
распараллеливания, приводящих к значи-
тельной экономии времени вычислений,
существенно увеличивает эффективность
предложенного алгоритма.
1. Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л.,
Сизова Н.Д. Исследование дифракции
упругих волн на пластинах, ослабленных
двумя отверстиями произвольной формы
// ДАН. Математическая физика. – 1996. –
349, № 2. – С. 175 – 179.
2. Вертгайм И.И., Терпигуров В.Н. Парал-
лельные технологии вычислений в меха-
нике сплошных сред и МДТТ.: Учебное
пособие. – Пермь, 2007. – 84 с.
3. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т.
Метод сингулярных интегральных урав-
нений в двумерных задачах дифракции. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 344 с.
4. Фильштинский Л.А. Дифракция упругих
волн на трещинах, отверстиях, включе-
ниях в изотропной среде // Изв. АН СССР.
Механика твердого тела. – 1991. – № 4. –
С. 119 –127.
5. Назаренко А.М. Дифракция волн сдвига
на цилиндрических включениях и полос-
тях в упругом полупространстве // Про-
блемы прочности. – 1990. – № 11. –
С. 90 – 94.
6. Назаренко А.М., Панченко Б.Е. Схема
параллельных вычислений в задачах ди-
фракции волн сдвига на системе отвер-
стий в бесконечной упругой среде // Про-
блемы программирования. – 2010. –
№ 2-3. – С. 604 – 610.
7. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмуще-
ния формы границы в механике сплош-
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
131
ных сред. – Киев, 1989. – 352 с.
8. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение
трехмерной задачи дифракции волн на
группе объектов // Акустический журнал.
– 2007. – 53, № 1. – С. 5 – 14.
9. Химич А.Н., Молчанов И.Н., Попов А.В.
Численное программное обеспечение ин-
теллектуального MIMD-компьютера «Ин-
парком». – Киев, 2007. − 220 с.
Получено 11.08.2011
Об авторе:
Панченко Борис Евгеньевич,
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник.
Место работы автора:
Институт кибернетики имени
В.М. Глушкова НАН Украины,
проспект Академика Глушкова, 40.
(044) 526 3603, pr-bob@ukr.net
mailto:pr-bob@ukr.net
|
| id | pp_isofts_kiev_ua-article-46 |
| institution | Problems in programming |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T09:35:22Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | ppisoftskievua/01/fc106b361487b001085ca842d54ea801.pdf |
| spelling | pp_isofts_kiev_ua-article-462018-07-25T14:00:23Z Hi-frequency cluster solution of problem of shear waves at a system of orifices in half-infinite isotropic environment with fastened boundary Высокоточное кластерное решение задачи дифракции волн сдвига на системе отверстий в полубесконечной изотропной среде с защемленной границей Високоточне кластерне рішення задачі дифракції хвиль зсуву на системі отворів в напівнескінченному ізотропному середовищі с защемленою границею Panchenko, B.E. Parallel calculation UDC 004.652, 539.3 параллельные вычисления УДК 004.652, 539.3 паралельні обчислення УДК 004.652, 539.3 The new algorithm of computational solution of stationary dynamic problem of elasticity theory about interaction SH-waves with a system of orifices with random normal cross-section that is located in a half-space with fastened boundary is offered. Boundary problem is minimized to a system of integral equations that is solved computationally. Parallel calculation scheme allows analyzing situations with large number of reflecting orifices. New numerical results are shown. Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарной динамической задачи теории упругости о взаимодействии SH-волн с системой отверстий произвольного поперечного сечения, находящейся в полупространстве с защемленной границей. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений, которая решается численно. Схема параллельных вычислений позволила исследовать ситуации с большим числом отражающих отверстий. Приведены новые численные результаты. Запропоновано паралельний алгоритм чисельного рішення стаціонарної динамічної задачі теорії пружності про взаємодію SH-хвиль з системою отворів довільного поперечного перетину, що перебувають у півпросторі з защемленою границею. Крайову задачу зведено до системи інтегральних рівнянь, яка вирішуються чисельно. Схема паралельних обчислень дозволила дослідити ситуації із значною кількістю відбиваючих отворів. Приведено нові численні результати. PROBLEMS IN PROGRAMMING ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ 2018-07-23 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/46 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 1 (2012) ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 1 (2012) ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 1 (2012) 1727-4907 ru https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/46/47 Copyright (c) 2015 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ |
| spellingShingle | Parallel calculation UDC 004.652 539.3 Panchenko, B.E. Hi-frequency cluster solution of problem of shear waves at a system of orifices in half-infinite isotropic environment with fastened boundary |
| title | Hi-frequency cluster solution of problem of shear waves at a system of orifices in half-infinite isotropic environment with fastened boundary |
| title_alt | Высокоточное кластерное решение задачи дифракции волн сдвига на системе отверстий в полубесконечной изотропной среде с защемленной границей Високоточне кластерне рішення задачі дифракції хвиль зсуву на системі отворів в напівнескінченному ізотропному середовищі с защемленою границею |
| title_full | Hi-frequency cluster solution of problem of shear waves at a system of orifices in half-infinite isotropic environment with fastened boundary |
| title_fullStr | Hi-frequency cluster solution of problem of shear waves at a system of orifices in half-infinite isotropic environment with fastened boundary |
| title_full_unstemmed | Hi-frequency cluster solution of problem of shear waves at a system of orifices in half-infinite isotropic environment with fastened boundary |
| title_short | Hi-frequency cluster solution of problem of shear waves at a system of orifices in half-infinite isotropic environment with fastened boundary |
| title_sort | hi-frequency cluster solution of problem of shear waves at a system of orifices in half-infinite isotropic environment with fastened boundary |
| topic | Parallel calculation UDC 004.652 539.3 |
| topic_facet | Parallel calculation UDC 004.652 539.3 параллельные вычисления УДК 004.652 539.3 паралельні обчислення УДК 004.652 539.3 |
| url | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/46 |
| work_keys_str_mv | AT panchenkobe hifrequencyclustersolutionofproblemofshearwavesatasystemoforificesinhalfinfiniteisotropicenvironmentwithfastenedboundary AT panchenkobe vysokotočnoeklasternoerešeniezadačidifrakciivolnsdviganasistemeotverstijvpolubeskonečnojizotropnojsredeszaŝemlennojgranicej AT panchenkobe visokotočneklasterneríšennâzadačídifrakcííhvilʹzsuvunasistemíotvorívvnapívneskínčennomuízotropnomuseredoviŝíszaŝemlenoûgraniceû |