Maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach

Prombles in programming 2014; 4: 78-93

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автори:	Pashko, S.V., Yalovets, A.L.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	PROBLEMS IN PROGRAMMING 2019
Теми:	UDC 518.9
Онлайн доступ:	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/686
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Problems in programming
Завантажити файл:

Репозитарії

Problems in programming

id	pp_isofts_kiev_ua-article-686
record_format	ojs
resource_txt_mv	ppisoftskievua/72/dccb1f306ec0dc72847e0818dba82172.pdf
spelling	pp_isofts_kiev_ua-article-6862025-02-17T15:15:22Z Maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach Максимальное время преследования для стратегии параллельного сближения Максимальное время преследования для стратегии параллельного сближения Pashko, S.V. Yalovets, A.L. UDC 518.9 УДК 518.9 Prombles in programming 2014; 4: 78-93 Рассмотрены дифференциальные игры преследования, в которых несколько игроков догоняют одного, применяя стратегию параллельного сближения. Построена стратегия уклонения и доказана ее оптимальность. Исследованы свойства оптимальных стратегий уклонения. Сформулированы задачи линейного программирования, позволяющие строить стратегии, близкие к оптимальным, и доказана теорема о величине погрешностей.Prombles in programming 2014; 4: 78-93 Рассмотрены дифференциальные игры преследования, в которых несколько игроков догоняют одного, применяя стратегию параллельного сближения. Построена стратегия уклонения и доказана ее оптимальность. Исследованы свойства оптимальных стратегий уклонения. Сформулированы задачи линейного программирования, позволяющие строить стратегии, близкие к оптимальным, и доказана теорема о величине погрешностей. PROBLEMS IN PROGRAMMING ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ 2019-03-27 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/686 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 4 (2014); 78-93 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 4 (2014); 78-93 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 4 (2014); 78-93 1727-4907 ru https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/686/738 Copyright (c) 2025 PROBLEMS IN PROGRAMMING
institution	Problems in programming
baseUrl_str	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai
datestamp_date	2025-02-17T15:15:22Z
collection	OJS
language	Russian
topic	UDC 518.9
spellingShingle	UDC 518.9 Pashko, S.V. Yalovets, A.L. Maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach
topic_facet	UDC 518.9 УДК 518.9
format	Article
author	Pashko, S.V. Yalovets, A.L.
author_facet	Pashko, S.V. Yalovets, A.L.
author_sort	Pashko, S.V.
title	Maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach
title_short	Maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach
title_full	Maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach
title_fullStr	Maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach
title_full_unstemmed	Maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach
title_sort	maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach
title_alt	Максимальное время преследования для стратегии параллельного сближения Максимальное время преследования для стратегии параллельного сближения
description	Prombles in programming 2014; 4: 78-93
publisher	PROBLEMS IN PROGRAMMING
publishDate	2019
url	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/686
work_keys_str_mv	AT pashkosv maximaltimeofpursuitforthestrategyofparallelapproach AT yalovetsal maximaltimeofpursuitforthestrategyofparallelapproach AT pashkosv maksimalʹnoevremâpresledovaniâdlâstrategiiparallelʹnogosbliženiâ AT yalovetsal maksimalʹnoevremâpresledovaniâdlâstrategiiparallelʹnogosbliženiâ
first_indexed	2025-07-17T09:53:12Z
last_indexed	2025-07-17T09:53:12Z
_version_	1850410113758658560
fulltext	Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення © С.В. Пашко, А.Л. Яловец, 2014 78 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2014. № 4 УДК 518.9 С.В. Пашко, А.Л. Яловец МАКСИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ДЛЯ СТРАТЕГИИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ Рассмотрены дифференциальные игры преследования, в которых несколько игроков догоняют одного, применяя стратегию параллельного сближения. Построена стратегия уклонения и доказана ее опти- мальность. Исследованы свойства оптимальных стратегий уклонения. Сформулированы задачи линей- ного программирования, позволяющие строить стратегии, близкие к оптимальным, и доказана теорема о величине погрешностей. Введение Задачи преследования – уклонения занимают одно из центральных мест в тео- рии динамических игр. В данной работе рассматривается задача оптимального уклонения одного убегающего от несколь- ких преследователей. Предполагается, что каждый преследователь использует страте- гию параллельного сближения [1]. В каче- стве критерия выступает время захвата це- ли, которое убегающий игрок стремится максимизировать. В последнее время проявляется ин- терес к созданию многоагентных роботи- зированных систем преследователей [2], поэтому рассматриваемая тема является актуальной. Движение игроков считается про- стым. Это значит, что в каждый момент времени игрок может выбрать произволь- ный вектор скорости движения, норма ко- торого не превосходит заданной величины. Скорости считаются кусочно-непрерыв- ными функциями от времени. Стратегия параллельного сближе- ния состоит в следующем. Каждый пре- следователь, зная скорость преследуемого в данный момент времени, считает эту скорость постоянной и вычисляет на ли- нии движения убегающего игрока точку захвата, в которой он может догнать его, двигаясь с постоянной максимальной ско- ростью. В текущий момент времени вектор скорости преследователя направлен на точку захвата, а величина скорости макси- мальна. Если максимальные скорости пре- следователя и убегающего равны, а точка захвата отсутствует, преследователь дви- гается параллельно убегающему игроку. В данной работе построены страте- гии уклонения, каждая из которых опре- деляется пределом последовательности оптимальных решений задач линейного программирования. Приведена теорема об оптимальности таких стратегий. Постро- енные оптимальные стратегии являются кусочно-постоянными функциями от вре- мени, причем число промежутков посто- янства не превосходит числа преследова- телей. Описаны задачи линейного про- граммирования, решения которых позво- ляют строить стратегии уклонения, близ- кие к оптимальным стратегиям. Приведена теорема о величине погрешности получае- мых таким образом стратегий. 1. Стратегии уклонения и максимальное время преследования Пусть в точке )(00 tXX  действи- тельного n-мерного евклидового простран- ства nE расположен преследуемый игрок E, а в точках )(tXX ii  находятся пресле- дователи iP , mi ,...,2,1 . Векторы iV )(tVi размерности n, mi ,...,1,0 , обозна- чают скорости игроков (нулевое значение индекса i относится к игроку E). Пространство nE состоит из n- мерных векторов ),...,,( 21 nxxxX  c веще- ственными компонентами,  n2 . Нор- ма вектора X задается формулой 2/1 , XXX  , где    n i ii yxYX 1 , – Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 79 скалярное произведение векторов ),...,,( 21 nxxxX  и ),...,,( 21 nyyyY  . Игра начинается в момент времени 0t . Уравнения движения игроков имеют вид ii VX  , mi ,...,1,0 . Считаем, что выполняются ограничения ii wtV  )(0 , 0t , mi ,...,1,0 , где  iw0 – максимальная величина ско- рости. Пусть выполняются неравенства iww 0 , mi ...,,2,1 . Скорость )(0 tV предполагается ку- сочно-непрерывной функцией от времени. Это значит, что в каждом ограниченном временном интервале существует не больше конечного числа точек разрыва первого рода. Поскольку каждый пресле- дователь применяет стратегию параллель- ного сближения, то функции )(tVi , mi ,...,2,1 , также являются кусочно- непрерывными. Игрок E управляет своими коорди- натами, выбирая в каждый момент време- ни вектор скорости 0V , являющийся функ- цией от времени и от точек )(...,),(),( 10 tXtXtX m . Функцию ),(0 tV 0t , будем называть стратегией уклоне- ния и обозначать S. Пусть 0il – заданные числа, )()()( 0 tXtXtd ii  , 0t , mi ,...,2,1 . Определим функцию )(td следующим об- разом: 0)( td , если для некоторого зна- чения }...,,2,1{ mi справедливо равенство 0)( tdi или выполняется неравенство ii ltd )( ; 1)( td в противном случае. Временем окончания игры назовем вели- чину }0)(:{inf)(  tdtST . Игрок E стре- мится максимизировать величину )(ST . Максимальным временем преследования назовем число )(sup STT S  . Стратегию S, для которой справедливо равенство  TST )( , назовем оптимальной стратеги- ей уклонения. Считаем, что выполняются неравенства ii ld )0( , mi ,...,2,1 . (1) Для таких значений i, что 0wwi  , дополнительно потребуем выполнения не- равенства 0il . Это условие обеспечивает существование оптимальных стратегий уклонения. 2. Оптимальные стратегии уклонения Построим кусочно-непрерывную стратегию уклонения и докажем теорему об оптимальности этой стратегии. Обозначим conv },...,,{ 21 mXXX выпуклую оболочку точек mXXX ,...,, 21 . Пусть int X – внутренность множества X . Рассмотрим случай, когда точка расположения убегающего )0(0X принад- лежит внутренности выпуклой оболочки точек )0(),...,0(),0( 21 mXXX , т. е. выпол- няется условие )0(0X int conv )}0(),...,0({ 1 mXX . (2) Согласно лемме 1 (см. Приложе- ние), величины скоростей сближения )(tuu ii  объектов E и iP вычисляются по формулам .,...,2,1 ,,, 2 0 2 0 2 0 mi NVvwNVu iiii   (3) Здесь )()( 000 tVtvv  ,  )0(( ii XN )0()0(/))0( 00 XXX i  , значение квад- ратного корня считается неотрицательным. Задачу поиска оптимальной страте- гии уклонения запишем в виде maxT , (4)   T iii lddttu 0 )( , mi ,...,2,1 . (5) Здесь и далее )0(ii dd  – расстояние меж- ду игроками E и iP в момент 0t . Важно заметить следующее. Углы между векторами  iXX0 и  jXX0 на про- тяжении игры остаются постоянными, по- Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 80 скольку прямые )()(0 tXtX q и )0()0(0 qXX параллельны при каждом 0t ; mq ,...,2,1 [3]. Скорости сближения )(tui неотрицательны. Поскольку используется стратегия параллельного сближения, то из условия (2) вытекает соотношение )(0 tX intconv )}(),...,(),({ 21 tXtXtX m , ))(,0[ STt . (6) Стратегия уклонения )(0 tV обладает следующим свойством. Поменяем местами скорости на отрезках ],[ 21 tt и ],[ 43 tt , где )(0 04321 VTtttt  ,  12 tt 34 tt  . Образуем новую стратегию уклонения )(1 0 tV , где )()( 0 1 0 tVtV  , если ],[ 21 ttt и ],[ 43 ttt ; )()( 130 1 0 tttVtV  , если ],[ 21 ttt ; )()( 310 1 0 tttVtV  , если ],[ 43 ttt . В момент времени 4t координа- ты игроков не зависят от того, которая из двух стратегий применяется. Сформулируем задачу линейного программирования, являющуюся прибли- жением задачи (4), (5). Пусть компоненты вектора ),...,,( 121  n удовлетворяют нера- венствам   j0 , 2,...,2,1  nj , (7)  20 1  n . (8) Вектор ),...,,()( 21 nzzzZZ  , удовле- творяющий соотношению 1Z , можно представить в виде 11 cosz , 212 cossin  z , ………………………… (9) 12211 cossin...sinsin   nnnz  , 1221 sinsin...sinsin   nnnz  . Выберем величину угла  по фор- муле )2/( k  , (10) где k – натуральное число. Обозначим ),...,,( 121  nrrrR целочисленный вектор, компоненты которого удовлетворяют не- равенствам 120  krj , 2,...,2,1  nj , (11) 140 1   krn . (12) Компоненты вектора R удовлетво- ряют соотношениям (7), (8), длина вектора )( RZ  равна единице. Предположим, в каждый момент времени найдется такой целочисленный вектор )(tRR  , удовлетворяющий усло- виям (11), (12), что векторы 0V и )( RZ  коллинеарны и 00 wV  . В этом случае в соответствии с соотношениями (3) скоро- сти сближения iRu объектов E и iP вычис- ляются по формулам  iiR NRZwu ),(0  )),(1( 22 0 2 ii NRZww  , (13) mi ,...,2,1 , }{RR ; здесь }{R – множество целочисленных векторов, удовлетворяющих условиям (11), (12). Обозначим Rt время, в течение которого вектор 0V коллинеарен вектору )( RZ  . Рассмотрим задачу линейного про- граммирования max }{   RR Rt , (14) iiRR RiR ldtu   }{ , mi ,...,2,1 , (15) 0Rt , }{RR . (16) Согласно лемме 4 (см. приложе- ние), для любой стратегии уклонения вре- мя окончания игры не превосходит вели- чину T , где uldT m i ii ~/)( 1   . (17) Здесь i miwVV uu ,...,1: maxmin~ 000   , величина )( 0Vuu ii  вычисляется по формуле (3). Из Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 81 этого следует, что целевая функция (14) на множестве (15), (16) ограничена сверху константой T . Поэтому оптимальное ре- шение задачи (14)–(16) существует, при- чем одно из оптимальных решений нахо- дится в угловой точке [4]. Но решение, со- ответствующее угловой точке, содержит не больше, чем m положительных компо- нент. Значит, оптимальное решение ),...,,( )()( 2 )( 1 k R kk k tttS  задачи (14)–(16) можно представить в виде ),...,,,,...,,( )()( 2 )( 1 )()()( )()( 2 )( 1 k m kkk j k j k j k jjjtttS k m kk , где },...,2,1{)( Rj k q  , mq ,...,2,1 , и  )(k jt 0 , если },...,,{\},...,2,1{ )()( 2 )( 1 k m kk jjjRj ; здесь R – количество элементов множе- ства }{R . Очевидно, вместо последнего пред- ставления kS можно использовать следу- ющее: ),...,,,,...,,( )()( 2 )( 1 )()( 2 )( 1 * k m kkk m kk k ZZZtttS  , где )()( )( k j k q k q tt  – время, в течение которого вектор 0V коллинеарен вектору )(k qZ , при- чем 1)( k qZ , mq ,...,2,1 . Поскольку ],0[)( Tt k q  , 1)( k qZ , mq ,...,2,1 , то точ- ки kS принадлежат замкнутому ограни- ченному множеству Q, которое является подмножеством )1( nm -мерного евкли- дового пространства. Множество Q компактно, поэтому последовательность * kS , ,...3,2,1k , имеет предельную точку ),...,,,,...,,( ** 2 * 1 ** 2 * 1 * mm ZZZtttS  , причем QS * [5]. Точка S определяет стратегию уклонения (которая также обо- значается S ), состоящую в том, что на непрерывном промежутке времени дли- ной * qt вектор скорости  0V коллинеарен вектору * qZ , причем 00 wV  . Теорема 1. Стратегия S является оптимальной стратегией уклонения. Доказательства этой и последую- щих теорем находятся в Приложении. Тео- рема 1 справедлива для класса всех кусоч- но-непрерывных стратегий уклонения, т. е. время окончания игры 1 i m i t  стратегии S не меньше, чем время окончания игры для любой другой кусочно-непрерывной стратегии. Количество промежутков по- стоянства построенной оптимальной стра- тегии S не превосходит числа преследо- вателей m. 3. Вычисление оптимальных стратегий и максимального времени преследования Пусть )(* 0 tV , 0t – некоторая оп- тимальная стратегия уклонения, T – со- ответствующее время окончания игры. Считаем, что выполняется условие (2). Теорема 2. В каждый момент вре- мени ),0( Tt такой, что оптимальная стратегия )(* 0 tV непрерывна, справедливо равенство 0 * 0 )( wtV  . Из теоремы 2 следует, что поиск оптимальных стратегий следует вести сре- ди тех, у которых скорость движения мак- симальна. Приведем оценку погрешности стратегии, соответствующей оптимально- му решению задачи (14)–(16). Обозначим )(min ,...,1 ii mi ldg   , )/1/( 0 knTwgghk   . Из условий (1) следует неравенство 0g , поэтому 1kh , если k . Пусть * kT – оптимальное значение целевой функции задачи (14)–(16), соответствующее опти- мальному решению * kS . Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 82 Теорема 3. Оптимальное значение целевой функции * kT задачи (14)–(16) удо- влетворяет неравенствам *** TTTh kk  , ,...2,1k . Пример. Предположим, три игрока преследуют одного на плоскости. Исход- ные данные заданы равенствами 3m , 2n , )0,0(0 X , )200,300(1 X , 2X )150,300( , )400,0(3 X ,  321 lll 30 , 0.50 w , 5.51 w , 0.62 w , 3w 5.6 . Для получения близкой к оптималь- ной стратегии уклонения решена задача линейного программирования (14)–(16) при условиях 90k , 6.36011  Xd , 4.33522  Xd , 40033  Xd . Оптимальное решение этой задачи: 8.15 )( 65  k t , 7.23 )( 117  k t , 6.33 )( 315  k t . Время окончания игры )( 315 )( 117 )( 65 kkk ttt  равно 1.73 . На рисунке изображены траектории игроков 321 ,,, PPPE от момента начала иг- ры до момента ее окончания. Рисунок. Траектории преследования и уклонения 4. Случай, когда убегающий не окружен преследователями Пусть точка расположения убега- ющего игрока 0X не принадлежит внут- ренности выпуклой оболочки точек mXXX ,...,, 21 , т. е. выполняется условие 0X int conv },...,,{ 21 mXXX . (18) В случае (18) считаем 0wwi  , 0il , mi ,...,2,1 . Обозначим iA сферу Аполлония, относящуюся к паре игроков E, iP . Она представляет собой геометрическое место точек, в которых могут встретиться игроки E и iP , если они двигаются равномерно и прямолинейно с максимальными скоро- стями. Пусть iC – замкнутый шар Апол- лония, соответствующий сфере iA . Тогда i m i CC 1  – множество таких точек про- странства nE , до которых игрок E успева- ет дойти не позже каждого преследовате- ля. Внутренность множества C представ- ляет собой множество точек, до которых игрок E успевает дойти раньше любого преследователя. Пусть CX  – наиболее удаленная точка от точки 0X из множе- ства C, т. е. для каждого CX  справед- ливо неравенство 00 XXXX  . Из леммы 4.11 работы [3] легко вы- вести следующее. Существует такой набор индексов },...,,{ 21 qiii , где nq  , что точка X принадлежит множеству ji q j CC 1  и является наиболее удаленной точкой из множества C от точки 0X . В работе [6] доказано, что при условии применения преследователями стратегии параллельного сближения вре- мя окончания игры не превосходит вели- чину 00 / wXX  . В указанной работе это утверждение доказано в случае 2n , однако его нетрудно доказать для про- извольного значения n. Если игрок E движется прямолинейно с максимальной скоростью по направлению к точке X , то захват не может произойти раньше, чем в момент 00 / wXX  . Т. о., стратегия уклонения игрока E, заключающаяся в прямолинейном движе- нии с максимальной скоростью по направ- лению к точке X , оптимальна. Макси- Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 83 мальное время преследования равно 00 / wXX  . Заключение В работе рассмотрена задача опти- мального уклонения одного убегающего от нескольких преследователей в случае, когда каждый преследователь независимо от других использует стратегию парал- лельного сближения, а убегающий игрок стремится максимизировать время захвата. Изучена задача, в которой убегаю- щий игрок находится внутри выпуклой оболочки точек расположения преследова- телей. Доказана теорема об оптимальности стратегии уклонения, построенной на ос- нове решений последовательности задач линейного программирования. Оказывает- ся, среди оптимальных стратегий уклоне- ния имеется такая, что траектория убега- ющего представляет собой ломаную ли- нию, количество звеньев которой не пре- восходит числа преследователей. Доказана теорема о том, что вели- чина оптимальной скорости уклонения должна быть максимальной в каждый мо- мент времени такой, что вектор скорости непрерывен. Описаны задачи линейного программирования, решения которых поз- воляют строить стратегии уклонения, близкие к оптимальным. Доказана теорема о величине погрешности получаемых та- ким образом стратегий. Приложение Докажем сформулированные утвер- ждения. Лемма 1. Пусть t – точка непре- рывности функции )(0 tV . Справедливы соотношения .,...,2,1 ,,, 2 0 2 0 2 0 mi NVvwNVu iiii   (19) Доказательство. В момент времени t рассмотрим двумерное подпространство n i EE 2 , содержащее точки 0X и iX , а также векторы скоростей 0V и iV объектов E и iP . В плоскости 2 iE выберем декартову систему координат таким образом, чтобы точка 0X находилась в ее начале, а точка iX лежала на положительной полуоси абсцисс. Пусть в выбранной системе коор- динат абсцисса и ордината вектора 0V равны соответственно yx vv 00 , , абсцисса и ордината вектора iV равны соответственно iyix vv , . Имеем iyy vv 0 , ix NVv ,00  ,  2 0 222 yiiyiix vwvwv .,)( 2 0 2 0 22 0 2 0 2 iixi NVvwvvw  Поэтому  iixxi NVvvu ,00 2 0 2 0 2 , ii NVvw  . Лемма доказана. Обозначим 000 / VVN  . В случае 00 V вектор 0N выберем из условия 10 N . Формулу (19) перепишем в виде ),1(, 2 0 2 0 2 00 iiii NNvwNNvu  , mi ,...,2,1 . (20) Лемма 2. Для каждого },...,2,1{ mi функция )( 0vuu ii  от переменной 0v , определяемая формулой (20), вогнута при условии ),0(0 iwv  . Доказательство. Очевидно, 1,0 iNN . Вторая производная от функ- ции )( 0vui по переменной 0v равна 2/32 0 2 0 2 2 0 2 )),1(( ),1( ii ii NNvw NNw    . Последнее выражение не больше нуля, поэтому функция вогнута. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть 2 0 1 0 , NN – единич- ные векторы, т. е. 12 0 1 0  NN . Функции Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 84 )( 0Nuu ii  от вектора 0N , определяемые формулами (20), удовлетворяют условиям 2 0 1 00 2 0 1 0 2)()( NNvNuNu ii  , mi ,...,2,1 . Доказательство. Если 00 v , то 0)()( 2 0 1 0  iiii wwNuNu ; в случае 00 v лемма доказана. Пусть 00 v . Обозначим iNNx ,0 , 2 0 2 0 2 /)( vvwa i  . Имеем )()( 2 0 xaxvxui  . Если 0a , то 0 2 0 2)/1())(( vxaxvxu xi  . Поэтому справедливо соотношение  )()( 21 xuxu ii 2102 xxv  . (21) Если 0a , то )()( 0 xxvxui  . Очевидно, в этом случае неравенство (21) также справедливо. Из неравенства (21) следуют соот- ношения  )()( 2 0 1 0 NuNu ii  ii NNNNv ,,2 2 0 1 00  iNNNv ,2 2 0 1 00  iNNNv 2 0 1 002 2 0 1 002 NNv  . Лемма доказана. Лемма 4. Если выполняется усло- вие (2), то для произвольной стратегии уклонения время окончания игры не пре- восходит величины T , которая вычис- ляется по формуле (17). Доказательство. Рассмотрим стра- тегию S. Пусть вектор скорости уклонения равен )(0 tV , ))(,0( STt . Условие (2) вле- чет соотношение (6), из которого вытекает существование такого числа  )(00 tii },...,2,1{ m , что справедливо неравенство 0, 00 iNV . (22) Здесь )(00 tVV  , 00 wV  . Из соотношений (19) и (22) следу- ет неравенство 0)( 00 Vui . Рассмотрим функцию )( 0 Wui при условии 0VW  , 10  . Из леммы 2 следуют соотно- шения  )}()),0,...,0((min{)( 0000 VWuWuWu iii 0)}(,min{ 00 0  Vuw i . Это означает, что при условии принадлеж- ности точки W отрезку ]),0,...0,0[( 0V спра- ведливо неравенство 0)( 0 Wui . (23) Обозначим )(max)( ,...,1 WuWu i mi  . Из неравенства (23) вытекает 0)( Wu . По- скольку 0V – произвольный вектор, удо- влетворяющий условию 00 wV  , то нера- венство 0)( Wu выполняется для всех W, удовлетворяющих условию 0wW  . Так как функция )(Wu непрерывна, а множе- ство 0wW  ограничено и замкнуто, то по теореме Вейерштрасса )(Wu достигает минимального значения u~ на множестве 0wW  в некоторой точке 0W . Очевидно, )(maxmin~ ,...,1: 0 Wuu i miwWW   0)( 0  Wu . Из этого следует, что в каждый мо- мент времени ))(,0[ STt для каждого вектора скорости уклонения W такого, что 0wW  , существует номер 1i такой, что скорость сближения точек 0X и 1i X не меньше, чем 0)(~ 0  Wuu . Поэтому мо- мент окончания игры )(ST не превосходит величины uldT m i ii ~/)( 1   . Лемма доказана. Пусть векторы ),...,,( 121  n и ),...,,( 121  n удовлетворяют не- равенствам Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 85 .2,...,2,1 ,0,0   nj jj  (24)  20 1  n ,  20 1  n ; (25) векторы )(Z и )(Z вычисляются по формулам (9) при условиях  и  соответственно. Лемма 5. Если векторы  ),...,,( 121  n и ),...,,( 121  n удовлетворяют условиям (24), (25) и вы- полняются соотношения   jj , 1,...,2,1  nj , (26) причем 2/  , то справедливо неравен- ство 1)()(  nZZ  . Доказательство. Используя фор- мулы (9), получаем  2 11 2 )cos(cos)()( ZZ  ...)cossincos(sin 2 2121          23 1 2 3 1 2 )cossincossin( n j nj n j nj          22 1 1 2 1 1 )cossincossin( n j nj n j nj        2)sinsin( 21 1 1 1 n j j n j j   212111 cossincossincos{cos2      22 3 1 coscos)sin(sin... nn n j jj      11 2 1 coscos)sin(sin nn n j jj  })sin(sin 1 1    n j jj  . Выражение в фигурных скобках из по- следнего соотношения обозначим na . Имеем )1(2)()( 2 naZZ  . (27) Преобразуем сумму последних двух слагаемых, входящих в na :    11 2 1 coscos)sin(sin nn n j jj     1 1 )sin(sin n j jj     2 1 )sin(sin n j jj    )sinsincos(cos 1111 nnnn      )cos()sin(sin 11 2 1 nn n j jj     2 1 )sin(sin n j jj  )1)(cos()sin(sin 11 2 1     nn n j jj  . Из последнего выражения и определения na выводим  1nn aa     )1)(cos()sin(sin 11 2 1 nn n j jj    ))cos(1( 111 nnna    )cos1(1 na 2/2 1 na , т. е. 2/2 1  nn aa . (28) Здесь использовано условие (26) и нера- венство 2/cos1 2  . Итерируя (28), приходим к неравен- ству 2/)2( 2 2  naan . (29) Но  11112 sinsincoscos a 2/1cos)cos( 2 11   . Из этих соотношений и (29) вытекает не- равенство 2/)1(1 2 nan . Используя эту оценку величины na и равенство (27), получаем 1)()(  nZZ  . Лемма доказана. Лемма 6. Пусть t – точка непре- рывности функции )(0 tV стратегии 0S , Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 86 )(0 0STt  . Если 0)(0 tV , то найдет- ся такая стратегия уклонения 1S , что спра- ведливо неравенство )()( 01 STST  . Доказательство. Из условия не- прерывности функции )(0 tV в точке t и условий 0)(0 tV , )( 0STt  следуют не- равенства ii ltXtX  )()( 0 , mi ,...,2,1 . Для произвольного числа 0 найдется число 0 такое, что )(0 tV при условии ],[   ttt . Можно считать, что ))(,0(],[ 0STtt   . Обозначим 0 is величину уменьше- ния расстояния между точками 0X и iX на временном отрезке ],[   tt . Ис- пользуя (19), при условии i mi w ,...,1 min   по- лучаем           t t i t t ii NtVdttus ),(()( 0 0  dtNtVvw ii )),( 2 0 2 0 2        t t i dtw )( 22 )2(2)(2 22   ii ww , (30) mi ,...,2,1 . Рассмотрим стратегию уклонения 1S . Выберем в пространстве nE два векто- ра 1H и 2H таких, что 0, 21 HH , 121  HH . Пусть вектор скорости 1 0V , соответствующий стратегии 1S , удовле- творяет соотношению          ];,[ ),)(sin)((cos ],,[),( )( 210 0 1 0    ttt HtHtw ttttV tV здесь )(0 tV – вектор скорости, соответ- ствующий стратегии 0S ;  /)()( ttt  . Обозначим 1 is величину уменьше- ния расстояния между точками 0X и iX на временном отрезке ],[   tt в слу- чае использования стратегии 1S . Из соот- ношений 0 1 0 )( wtV  , ],[   ttt и (19) следует       t t ii dtNtVs ),(1 0 1       t t ii dtNtVww 2 1 0 2 0 2 ),( , mi ,...,2,1 . (31) Из определения )(1 0 tV вытекает      t t i dtNtV ),(1 0        t t i dtNHtHtw ,)(sin)(cos 210        t ti dttNHw )(cos,10 0)(sin,20        t ti dttNHw , mi ,...,2,1 . Из этих равенств и (31) получаем       t t iii dtNtVwws 2 1 0 2 0 21 ),( , mi ,...,2,1 . (32) Обозначим 2E двумерное подпро- странство пространства nE , содержащее векторы 1H и 2H . Если вектор iN орто- гонален подпространству 2E , то из (32) следует 2 0 21 2 wws ii   . (33) Пусть вектор iN не ортогонален подпространству 2E . Обозначим 0 iN про- екцию iN на подпространство 2E . Имеет место разложение  11 00 , HHNN ii 22 0 , HHNi , причем выполняются нера- венства 10  ih , где Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 87 2 0 2 2 0 1 ,, iii NHNHh  . При условии ],[   ttt имеем  01 0 1 0 ),(),( ii NtVNtV  ))(sin,)(cos,( 0 2 0 10 tNHtNHw ii   ))(sinsin)(cos(cos0 tthw iii  ))(cos(0 ii thw   ; (34) здесь iii hNH /,cos 0 1 , iii hNH /,sin 0 2 , ].,[  i Из (32) и (34) следует       t t iii dtNtVwws 2 1 0 2 0 21 ),(        t t iii dtthwww ))((cos222 0 2 0 2 )2/( 2 0 2 www ii  . (35) Из соотношений (33) и (35) выте- кают неравенства )2/( 2 0 21 wwws iii   , mi ,...,2,1 . (36) Выберем величину  из условия 4/)2/(min 2 0 2 ,...,1 www ii mi    . Из соотно- шений (30), (36) выводим  )2/)2/((2 2 0 20 wwwws iiii  12 0 2 )2/( iii swww  . Это означает, что в случае использования стратегии 1S в момент времени )( 0ST вы- полняются неравенства ii lXX  0 , mi ,...,2,1 . Отсюда вытекает утверждение леммы. Лемма доказана. Далее считаем, что выполняется условие (2). Теорема 1. Стратегия S является оптимальной стратегией уклонения. Доказательство. Вместо задачи (14)–(16) рассмотрим следующую задачу линейного программирования max }{1   RR Rtt , (37) .,...,2,1 , }{1 mi ldtutw iiRR RiRi    (38) 01 t , 0Rt , }{RR . (39) Здесь 1t обозначает время, в тече- ние которого выполняется равенство )0,...,0,0(0 V , а другие величины имеют тот же смысл, что и в задаче (14)–(16). В отличие от задачи (14)–(16), считаем, что в каждый момент времени выполняется од- но из двух условий. Справедливо равен- ство )0,...,0,0(0 V , или имеется такой це- лочисленный вектор R , удовлетворяющий условиям (11), (12), что векторы 0V и )( RZ  коллинеарны и 00 wV  . Вектор )( RZ  вычисляется по формулам (9) при условии R . Справедливо равенство 1)( RZ  . Оптимальное решение  kS задачи (37)–(39) можно представить в виде ),...,,,,...,,( )()( 2 )( 1 )()( 2 )( 1 k m kkk m kk k ZZZtttS  . Здесь )(k qt – время, в течение которого со- ответствующий вектор скорости )( 0 k V кол- линеарен вектору )(k qZ (в этом случае 0 )( 0 wV k  , 1)( k qZ ) или равен нулевому вектору (в этом случае )0,...,0,0()( k qZ ). Как и в разделе 2, легко убедиться в том, что последовательность  kS , k ...,3,2,1 , имеет предельную точку S ),...,,,,...,,( 2121  mm ZZZttt . Точка S определяет стратегию уклонения (которая также обозначается S ), состоящую в том, Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 88 что на непрерывном промежутке времени длиной  kt соответствующий вектор ско- рости  0V коллинеарен вектору  kZ , при- чем 00 wV  , или же 00 V . Пусть S – произвольная стратегия уклонения, )(0 tV и )(STT  – соответ- ствующие скорость уклонения и время окончания игры,    m i itSTT 1 )(  – время окончания игры для стратегии S . Докажем неравенство TT  . (40) Обозначим RK конус, состоящий из векторов Z , где 0 – вещественное число, а вектор Z удовлетворяет соотно- шениям (9) при условиях  )1(  jjj rr , 1,...,2,1  nj . Здесь число  вычисляется по формуле (10), а целочисленный вектор R ),...,,( 121  nrrr удовлетворяет условиям (11), (12). Обозначим RT множество моментов времени t, удовлетворяющих условиям Tt 0 , 0)(0 tV , RKtV )(0 . Пусть 1T – множество моментов времени t , удовлетворяющих условиям Tt 0 , 0)(0 tV . Поскольку функция )(0 tV ку- сочно-непрерывна, то множества RT , 1T борелевские [5]. Пусть  – лебегова мера на от- резке ],0[ T . Справедливо соотношение TTT RR R   }{1 )()(  . Из этого равен- ства получаем .,...,2,1 ,)()( }{1 mi lddtuTw iiRR T ii R     (41) Поскольку функции )(tui кусочно- непрерывны, а множества RT борелевские, то интегралы в (41) существуют [5]. Оценим интегралы в соотношениях (41). Пусть RTt , 0)(0 tV , RKtV )(0 . Обозначим )(0 tV R вектор, коллинеарный вектору )( RZ  и такой, что )()( 00 tVtV R  . Пусть )(0 tu Ri означает скорость сближения точек 0X и iX , соот- ветствующую вектору )(0 tV R . Согласно лемме 1, величины )(0 tu Ri вычисляются по формулам  iRRi NNvu ,000 ;...,,2,1 ),,1( 2 0 2 0 2 mi NNvw iRi   (42) здесь RRR VVRZN 000 /)(   . Используя леммы 3 и 5 и формулу (10), получаем   RR T RiRiiT i dtututudtu  ))()()(()( 00   RR T RiiT Ri dtutudtu  )()()( 00   RR T RT Ri dNtNtvdtu  0000 )()(2)(   )(12)( 00 RT Ri Tnwdtu R  kTnwdtu RT Ri R /)(1)( 00    ; (43) здесь )(/)()( 000 tVtVtN  . Оценим величину  RT Ri dtu )(0 из соотношений (43). Согласно лемме 2, функция )( 000 vuu RiRi  вогнута по 0v , по- этому справедливы соотношения  ))/(0)/1(()( 00000000 wwvwvuvu RiRi  )0()/1( 0000 vuwv Ri )()/( 00000 wvuwv Ri  . (44) Согласно формулам (13) и (42), имеем  )0( 00 vu Ri iw , iRRi uwvu  )( 000 . Из этих соотношений и (44) выводим  ))(()( 000 tvutu RiRi iRi uwtvwwtv )/)(()/)(1( 0000  . Из последнего соотношения следует Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 89   RR TiT Ri dwtvwdtu  )/)(1()( 000  RTiR dwtvu 00 /)( . Обозначим   RTR dwtv  )/)(1( 00 , Rt  RT dwtv 00 /)( . Получаем неравенство RiRRiT Ri tuwdtu R  )(0 . (45) Из (43) и (45) выводим  RT i dtu )( kTnwtuw RRiRRi /)(10   . Используя это неравенство, соотношения (41) и неравенство TT RR R   }{ )( , получаем knTwldtutw iiRR RiRi /10}{1    , mi ,...,2,1 . (46) Здесь    }{11 )( RR RTt  . Очевидно, )( RRR Tt   , поэтому Ttt RR R   }{1 . (47) Согласно лемме 4, справедливо соотноше- ние TT  , поэтому из (46) следуют нера- венства ,/10}{1 knTwldtutw iiRR RiRi    mi ,...,2,1 . (48) Обозначим knTwld ld g ii ii ik /1)0( 0     , mi ,...,2,1 , ,...2,1k . Из соотношений (1) следуют неравенства 0ikg , поэтому величины ik mi k gg ,...,1 min   положительны. Пусть 11 ~   tgt k , Rt ~ Rktg , }{RR . Из неравенств (48) следуют неравенства iiRR RiRi ldtutw   }{1 ~~ , mi ,...,2,1 . (49) Из соотношения (47) вытекает равенство TgT kk  ~ , (50) где    }{1 ~~~ RR Rk ttT . Соотношения (49) означают, что множество чисел }){, ~ , ~ ( 1 RRtt R  является допустимым решением задачи (37)–(39), при этом число kT ~ – соответствующее значение целевой функции. Пусть  kT – оптимальное значение целевой функции задачи (37)–(39). Из равенства (50) следует TgT kk  , ,...2,1k . (51) Пусть ,...,...,, 21 jppp – последова- тельность натуральных чисел такая, что  SS jp j   lim . Справедливы равенства 1lim   k k g и  TT jp j   lim , где    m i itT 1  . Из соотношений (51) вытекает TgT jj pp  , ,...2,1j . Переходя к пределу в последнем неравенстве, получаем TT  . Соотношение (40) доказано. Не- трудно видеть, что для каждой предель- ной точки последовательности  kS соот- ветствующее время окончания игры равно одному и тому же числу T . Рассмотрим оптимальные решения  kS и  kS задач (14)–(16) и (37)–(39) соот- ветственно. Поскольку S – предельная точка последовательности  kS , ,...2,1k , то существует такая последовательность натуральных чисел ,...,...,, 21 jppp , что    SS jp j lim . Абсолютные величины ком- понент векторов  kS , ,...2,1k , не превос- ходят некоторой константы, поэтому по- следовательность  jpS , ,...2,1j , имеет предельную точку S . Это означает, что найдется такая подпоследовательность Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 90 ,...,...,, 21 jqqq последовательности ,..., 21 pp ,......, jp , что  SS jq j   lim . (52) Очевидно, справедливо равенство    SS jq j lim . (53) Обозначим )( 1 k t ,  1t время, на про- тяжении которого скорость объекта E рав- на нулю в решениях  kS и S соответ- ственно. Из леммы 6 и соотношения (40) следует равенство 01  t . Из этого равен- ства и (52) получаем 0lim )( 1   jq j t . (54) Пусть  TTTT kk ,,,  – времена окончания игры для стратегий  SSSS kk ,,,  соответственно. Из равенств (52), (53) получаем  TT jq j   lim ,    TT jq j lim . (55) Очевидно, справедливы неравенства  jj j j qq q q TTtT    )( 1 , ,...2,1j . (56) Переходя в (56) к пределу по j и учитывая соотношения (54), (55), получаем TT  . Из последнего равенства следует утверждение теоремы. Теорема доказана. Теорема 2. Если в момент времени ),0( Tt оптимальная стратегия )(* 0 tV непрерывна, то справедливо равенство 0 * 0 )( wtV  . Доказательство. Предположим, в момент времени ),0( Tt  , где t – точка непрерывности функции )( 0 tV , справед- ливо равенство 0)(* 0 tV . Из леммы 6 следует, что существует стратегия уклоне- ния, время окончания игры для которой больше T . Это противоречит условию оптимальности стратегии )(* 0 tV , из чего следует утверждение теоремы. Пусть в момент времени ),0( Tt  функция )( 0 tV непрерывна и справедливы неравенства 0 * 0 )(0 wtV  . (57) Докажем, что соотношения (57) противо- речат оптимальности стратегии )(* 0 tV . Пусть 2/))(( 00 tVw   . По- скольку кусочно-непрерывная функция )()( 00 tVtv   непрерывна в точке t и ),0( Tt  , то существует число 0 та- кое, что при условии t , где ),0(],[ Ttt   , выполняется не- равенство   )()( 00 tvtv , (58) а функция )(0 tv непрерывна и положи- тельна на отрезке  . По теореме Вейерштрасса, функция )(0 tv на отрезке  достигает своего мак- симального значения, которое обозначим  0v ; очевидно, 00 v . Из соотношения (58) следует    000 )( wtvv . Рассмотрим функцию )( ~ 0 tV , совпа- дающую с функцией )(* 0 tV при условии  \),0( Tt и равную )( 0 0 0 tV v w  при усло- вии t . Справедливо соотношение )()(~ * 0 0 0 0 tv v w tv   , t , (59) где )( ~ )(~ 00 tVtv  . Обозначим )(/)()( 000 tVtVtN   , )( ~ /)( ~ )( ~ 000 tVtVtN  . Очевидно,  )(0 tN Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 91 )( ~ 0 tN . Пусть )(tui  и )(~ tui – скорости сближения точек 0X и iX для стратегий * 0V и 0 ~ V соответственно. Согласно форму- ле (20) справедливы равенства ))(),(()( 00 tNtvutu ii   , ))( ~ ),(~()(~ 00 tNtvutu ii  . Согласно лемме 2, скорость сбли- жения iu точек 0X и iX как функция от переменной 0v вогнута. Поэтому, учиты- вая (59), при условии t получаем   ))(),(()( 00 tNtvutu ii   )]( ~ ),(~0)1[( 00 0 0 0 0 tNtv w v w v ui   ))( ~ ),(~()1( 00 0 0 0 0 tNtvu w v w w v ii )(~)1( 0 0 0 0 tu w v w w v ii   , mi ,...,2,1 . Пусть  is – величина уменьшения расстояния между точками 0X и iX на временном отрезке  при условии исполь- зования функции )(* 0 tV . Имеем       dttu w v w w v dttus iiii )](~)1[()( 0 0 0 0    dttu w v w v w ii )(~)1(2 0 0 0 0 , (60) mi ,...,2,1 . Определим стратегию )(ˆ 0 tV следу- ющим образом: )(ˆ 0 tV               ];,[)),(( ),,[),0,...,0,0( ,\),0(),( 0 0 0 0   tatttV v w attt TttV (61) здесь )/1(2 00 wva   , tvwtvwt )/())(/1()( 0000    . Обозначим )(ˆ tui скорости сближения то- чек 0X и iX для стратегии 0V̂ . Очевидно, при условии ],[   tatt справед- ливо равенство ))(( ~ )(ˆ 00 tVtV  , из которо- го следует ))((~)(ˆ tutu ii  , ],[   tatt . (62) Пусть iŝ – величина уменьшения расстояния между точками 0X и iX на временном отрезке  при условии приме- нения функции )(ˆ 0 tV . Используя соотно- шения (61), (62) и замену переменных tvwtvwt )/())(/1()( 0000    , получаем           t at i at t iii dttudtwdttus )(ˆ)(ˆˆ     du w v w v w ii )(~)1(2 0 0 0 0 , (63) mi ,...,2,1 . Из соотношений (60) и (63) выте- кают неравенства  ii sŝ , mi ,...,2,1 , от- куда вытекает справедливость соотноше- ния TT̂ , (64) где T̂ – время окончания игры для страте- гии )(ˆ 0 tV . Величина скорости стратегии )(ˆ 0 tV на промежутке положительной дли- ны )/1(2 00 wva   равна нулю, поэтому из леммы 6 вытекает существование стра- тегии, время окончания игры которой T удовлетворяет неравенству TT ˆ . Из это- го неравенства и (64) следует соотношение TT  , которое противоречит условию оптимальности стратегии )(* 0 tV . Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 92 Теорема доказана. Теорема 3. Оптимальное значение целевой функции * kT удовлетворяет нера- венствам *** TTTh kk  . (65) Доказательство. Пусть * kS ),...,,,,...,,( )()( 2 )( 1 )()( 2 )( 1 k m kkk m kk ZZZttt – оп- тимальное решение задачи (14)–(16), * kT – соответствующее оптимальное значение целевой функции,    m q k qk tT 1 )(* . Из тео- ремы 1 следует существование такой оп- тимальной стратегии уклонения ),...,,,,...,,( ** 2 * 1 ** 2 * 1 * mm ZZZtttS  , что на не- прерывном промежутке времени длиной * qt вектор скорости  0V коллинеарен векто- ру * qZ , причем 00 wV  , 1 qZ и T    m i qt1 . Поскольку * kS является стратегией уклонения, а S является оптимальной стратегией, то второе неравенство (65) справедливо. Докажем первое неравенство (65). Можно считать, что оптимальная стратегия уклонения S имеет следующий вид. Представим временной промежуток ),0[ T в виде объединения m непрерывных непересекающихся промежутков, ),[),0[ )2()1( 1 qq m qT    . Длина промежутка ),[ )2()1( qq  равна * qt , а вектор скорости оп- тимальной стратегии уклонения на проме- жутке ),[ )2()1( qq  равен * 0 qZw . Обозначим RK конус, состоящий из векторов Z , где 0 – вещественное число, а вектор Z удовлетворяет соотно- шениям (9) при условиях  )1(  jjj rr , 1,...,2,1  nj . Здесь число  вычисляется по формуле (10), а целочисленный вектор ),...,,( 121  nrrrR удовлетворяет условиям (11), (12). Пусть )(qR – такой вектор из мно- жества }{R , что конус )(qRK содержит вектор * qZ . Обозначим  iqu скорость уменьшения расстояния между точками 0X и iX на промежутке ),[ )2()1( qq  при условии применения оптимальной скоро- сти * 0 qZw . Пусть )(qiRu – скорость умень- шения расстояния между точками 0X и iX при условии, что векторы 0V и ))(( qRZ  коллинеарны и 00 wV  . Здесь вектор ))(( qRZ  вычисляется по форму- лам (9) при условии )(qR . С помо- щью лемм 3 и 5 получаем  ))((2 * 0)( qRZZwuu qqiRiq  12 0  nw  , mqi ,...,2,1,  . (66) Справедливы неравенства ii m q qiq ldtu    1 , mi ,...,2,1 . (67) Используя соотношения (66), получаем      m q qqiRqiRiq m q qiq tuuutu 1 )()(1 )( 12 01 )(      nTwtu m q qqiR  , mi ,...,2,1 . Из этих неравенств и (67) вытекают нера- венства 12 01 )(      nTwldtu ii m q qqiR  , mi ,...,2,1 . (68) Согласно лемме 4, справедливо соотноше- ние TT  . Используя эту оценку и фор- мулу (10), из (68) выводим knTwldtu ii m q qqiR /101 )(     , mi ,...,2,1 . (69) Из определения величин kh и (69) вытекают неравенства ii m q qkqiR ldthu    1 )( , mi ,...,2,1 . Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 93 Эти соотношения означают, что вектор ),...,,( ** 2 * 1 mk ttth определяет допустимое ре- шение задачи (14)–(16), значение целевой функции которого равно     Thth k m i qk 1 . Это значение не превышает оптимального значения целевой функции * kT , откуда сле- дует первое неравенство (65). Теорема доказана. 1. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. – Новосибирск: Наука, 1983. – 140 с. 2. Marcos A.M. Vieira and Ramesh Govindan and Gaurav S. Sukhatme. "Scalable and Practical Pursuit-Evasion with Networked Robots" // Journal of Intelligent Service Robotics. Special Issue on Networked Robots. – 2009. – N 2. – P. 247–263. 3. Рихсиев Б.Б. Дифференциальные игры с простыми движениями. – Ташкент: ФАН, 1989. – 232 с. 4. Карманов В.Г. Математическое про- грамммирование. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 264 с. 5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972. – 496 с. 6. Пашко С.В. Квазиоптимальные стратегии в дифференциальных играх преследования на плоскости // Проблемы управления и информатики. – 2012. – № 6. – С. 30–43. Получено 02.12.2013 Об авторах: Пашко Сергей Владимирович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Яловец Андрей Леонидович, доктор технических наук, заместитель директора института. Место работы авторов: Институт программных систем НАН Украины, 03187, Киев-187, проспект Академика Глушкова, 40. Тел.: (044) 526 60 25. E-mail: pashko55@yahoo.com Тел.: (044) 526 15 38. E-mail: yal@isofts.kiev.ua mailto:pashko55@yahoo.com mailto:yal@isofts.kiev.ua

Maximal time of pursuit for the strategy of parallel approach

Репозитарії

Схожі ресурси