Scheme of a parallel solution of the problem of difraction of SH-waves on a system of non-circular cracks in an infinite elastic medium
A parallel algorithm of a numerical solution of a stationary problem of the elasticity theory about the interaction of harmonic SH-waves with a system of non-circular cracks-cuts in an infinite elastic medium, is offered. The boundary-value problem is reduced to a system of singular integro-differen...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
PROBLEMS IN PROGRAMMING
2025
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/697 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Problems in programming |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Problems in programming| id |
pp_isofts_kiev_ua-article-697 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| resource_txt_mv |
ppisoftskievua/51/e7de774b7f36c1843c53c493cac93c51.pdf |
| spelling |
pp_isofts_kiev_ua-article-6972025-04-09T22:22:32Z Scheme of a parallel solution of the problem of difraction of SH-waves on a system of non-circular cracks in an infinite elastic medium Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде Nazarenko, A.M. Panchenko, B.E. Pilipenko, S.A. UDC 004.652, 539.3 УДК 004.652, 539.3 A parallel algorithm of a numerical solution of a stationary problem of the elasticity theory about the interaction of harmonic SH-waves with a system of non-circular cracks-cuts in an infinite elastic medium, is offered. The boundary-value problem is reduced to a system of singular integro-differential equations.Prombles in programming 2014; 2-3: 82-87 Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарной задачи теории упругости о взаимодействии гармонических SH-волн с системой некруговых трещин-разрезов в бесконечной упругой среде. Краевая задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений.Prombles in programming 2014; 2-3: 82-87 PROBLEMS IN PROGRAMMING ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ 2025-04-09 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/697 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 2-3 (2014); 82-87 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 2-3 (2014); 82-87 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 2-3 (2014); 82-87 1727-4907 ru https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/697/749 Copyright (c) 2025 PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| institution |
Problems in programming |
| baseUrl_str |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai |
| datestamp_date |
2025-04-09T22:22:32Z |
| collection |
OJS |
| language |
Russian |
| topic |
UDC 004.652 539.3 |
| spellingShingle |
UDC 004.652 539.3 Nazarenko, A.M. Panchenko, B.E. Pilipenko, S.A. Scheme of a parallel solution of the problem of difraction of SH-waves on a system of non-circular cracks in an infinite elastic medium |
| topic_facet |
UDC 004.652 539.3 УДК 004.652 539.3 |
| format |
Article |
| author |
Nazarenko, A.M. Panchenko, B.E. Pilipenko, S.A. |
| author_facet |
Nazarenko, A.M. Panchenko, B.E. Pilipenko, S.A. |
| author_sort |
Nazarenko, A.M. |
| title |
Scheme of a parallel solution of the problem of difraction of SH-waves on a system of non-circular cracks in an infinite elastic medium |
| title_short |
Scheme of a parallel solution of the problem of difraction of SH-waves on a system of non-circular cracks in an infinite elastic medium |
| title_full |
Scheme of a parallel solution of the problem of difraction of SH-waves on a system of non-circular cracks in an infinite elastic medium |
| title_fullStr |
Scheme of a parallel solution of the problem of difraction of SH-waves on a system of non-circular cracks in an infinite elastic medium |
| title_full_unstemmed |
Scheme of a parallel solution of the problem of difraction of SH-waves on a system of non-circular cracks in an infinite elastic medium |
| title_sort |
scheme of a parallel solution of the problem of difraction of sh-waves on a system of non-circular cracks in an infinite elastic medium |
| title_alt |
Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде |
| description |
A parallel algorithm of a numerical solution of a stationary problem of the elasticity theory about the interaction of harmonic SH-waves with a system of non-circular cracks-cuts in an infinite elastic medium, is offered. The boundary-value problem is reduced to a system of singular integro-differential equations.Prombles in programming 2014; 2-3: 82-87 |
| publisher |
PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| publishDate |
2025 |
| url |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/697 |
| work_keys_str_mv |
AT nazarenkoam schemeofaparallelsolutionoftheproblemofdifractionofshwavesonasystemofnoncircularcracksinaninfiniteelasticmedium AT panchenkobe schemeofaparallelsolutionoftheproblemofdifractionofshwavesonasystemofnoncircularcracksinaninfiniteelasticmedium AT pilipenkosa schemeofaparallelsolutionoftheproblemofdifractionofshwavesonasystemofnoncircularcracksinaninfiniteelasticmedium AT nazarenkoam shemaparallelʹnogorešeniâzadačidifrakciishvolnnasistemenekrugovyhtreŝinvbeskonečnojuprugojsrede AT panchenkobe shemaparallelʹnogorešeniâzadačidifrakciishvolnnasistemenekrugovyhtreŝinvbeskonečnojuprugojsrede AT pilipenkosa shemaparallelʹnogorešeniâzadačidifrakciishvolnnasistemenekrugovyhtreŝinvbeskonečnojuprugojsrede |
| first_indexed |
2025-07-17T10:08:32Z |
| last_indexed |
2025-07-17T10:08:32Z |
| _version_ |
1850411360999964672 |
| fulltext |
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
© А.М. Назаренко, Б.Е. Панченко, С.А. Пилипенко, 2014
82 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2014. № 2–3. Спеціальний випуск
УДК 004.652, 539.3
СХЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
SH-ВОЛН НА СИСТЕМЕ НЕКРУГОВЫХ ТРЕЩИН
В БЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
А.М. Назаренко, Б.Е. Панченко, С.А. Пилипенко
Сумский государственный университет, Сумы, ул. Р. Корсакова, 2.
Тел.: 0542 68 7710, e-mail: svetlana.morgylka@gmail.com
Институт кибернетики имени В.М. Глушкова, Киев, проспект Академика Глушкова, 40.
Тел.: (044) 526 3630, e-mail: pr-bpb@ukr.net
Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарной задачи теории упругости о взаимодействии гармонических
SH-волн с системой некруговых трещин-разрезов в бесконечной упругой среде. Краевая задача сведена к системе сингулярных ин-
тегро-дифференциальных уравнений.
A parallel algorithm of a numerical solution of a stationary problem of the elasticity theory about the interaction of harmonic SH-waves with
a system of non-circular cracks-cuts in an infinite elastic medium, is offered. The boundary-value problem is reduced to a system of singular
integro-differential equations.
Введение
Проблемы взаимодействия волн напряжений с различного рода дефектами в упругих средах имеют
большое значение в теории разрушения, дефектоскопии и в вопросах прогнозирования ресурса конструкций.
Поэтому необходимо учитывать инерционный эффект при расчете конструкций и сооружений с трещинами,
уметь определять зависимость коэффициента интенсивности напряжений от частоты колебаний на системах
стационарных трещин под действием гармонических нагрузок.
Из решений задач динамической механики разрушения в случае трещин продольного и поперечного
сдвигов, нормального отрыва можно сделать важнейшие качественные выводы о процессах, предшествующих
хрупкому разрушению при динамическом нагружении. Большинство имеющихся в литературе исследований
относятся к рассмотрению волновых полей в окрестности прямых и круговых трещин. Однако, как показали
исследования, динамический коэффициент интенсивности напряжений существенно зависит от кривизны де-
фекта. Поэтому актуальной является разработка методов решения динамических задач для бесконечных изо-
тропных сред с системами криволинейных трещин.
Напряженно-деформированное состояние сред с усложненными свойствами может быть высокоэффек-
тивно моделировано вычислительными комплексами в сочетании с программными системами. Хотя практиче-
ски не изучен вопрос автоматизированного синтеза приложений, которые могут быть перенастроенными в за-
висимости от изменения конфигурации механических систем. Большинство исследований посвящено развитию
метода конечных элементов [1]. Существуют и другие подходы, которые существенно экономят вычислитель-
ные ресурсы и повышают точность вычислений. Программные средства (CASE-средства) [2] позволяют синте-
зировать и сопровождать приложения, которые моделируют динамическое поведение сложных механических
систем. В данной работе будут анализироваться именно эти методики решения задач механики сплошных сред.
Анализ конструкций, которые содержат значительное число неоднородностей и работающих под воздей-
ствием динамических нагрузок, происходит с исследованием взаимодействия волн перемещений и напряжений
в упругой среде с трещинами-разрезами. Очень важным вопросом является изучение дифракции упругих волн
на системах произвольных неоднородностей. Эффективные параллельные алгоритмы, в основе которых лежат
обоснованные аналитические методы [3], имеют особое значение. Для решения антиплоских задач теории ди-
фракции [4, 5] большой эффективностью обладает метод интегральных уравнений [6–9]. Преимущество метода
заключаются в сокращении числа пространственных переменных, достаточно высокой скорости сходимости и
возможности применения различных эффективных численных методов решения [6]. Также метод обладает воз-
можностями при построении параллельных вычислительных схем [8, 9].
1. Постановка задачи
Рассмотрим упругое изотропное пространство, ослабленное системой туннельных вдоль оси OZ криво-
линейных разрезов ),1( KjL j (рис. 1), где jL – простая разомкнутая дуга Ляпунова с началом в точке ja и
концом в точке jb (предполагаем, что 0 jL ).
Считаем, что берега разрезов свободны от сил, а перемещения при переходе через jLL
терпят раз-
рыв.
mailto:svetlana.morgylka@gmail.com%3E
mailto:pr-bpb@ukr.net
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
83
Рис. 1
Пусть из бесконечности излучается монохроматическая волна сдвига, нормаль к фронту которой состав-
ляет угол с осью OX (зависимость от времени выражается множителем tie ).
)sincos(
0
2 yxi
eW
, const ,
2
2
c
. (1)
Здесь – частота колебаний, 2c – скорость распространения поперечной волны.
В результате взаимодействия падающей 0W волны с разрезами возникает рассеянная волна перемеще-
ний 1W , которая удовлетворяет уравнению антиплоской деформации [10].
,01
2
21 WW
2
2
2
2
yx
. (2)
Для механики разрушения определяющее значение имеет асимптотическое распределение напряжений в
окрестности вершин дефектов [4]. Ненулевые компоненты тензора напряжений 3231,
представляют собой
касательные напряжений в плоскости поперечного сечения цилиндров. Они связаны с перемещением
10 WWW формулами ( – модуль сдвига)
x
W
31 ,
y
W
32 ,
z
W
i
23231 , iyxz . (3)
Касательное напряжение n , действующее на L в точке Li со стороны положительной нормали,
равно
32313231 Imcossin iei
n , (4)
где – угол между положительной касательной к L в точке
и осью OX .
Решение антиплоской задачи динамической теории упругости сводится к определению функции
),(1 yxW – решения уравнения Гельмгольца (2) в плоскости с системой трещин-разрезов при выполнении до-
полнительных условий типа Зоммерфельда излучения на бесконечности [6].
2. Метод решения
Следуя [10], запишем функцию ),(1 yxW , характеризующую рассеянную разрезами волну перемещений
в области D , следующим образом:
drH
z
drH
z
sfyxW
L
)()()(
4
1
),( 2
)1(
02
)1(
01 , zr . (5)
Здесь )()1( xHn – функция Ханкеля первого рода n -го порядка; )(sf – неизвестная функция, удовлетворяющая
на L условию Гельдера.
Интегральное – представление (5) автоматически удовлетворяет уравнению Гельмгольца (2) в области
D и условиям излучения на бесконечности. При переходе через L оно обеспечивает скачок перемещений
( )(111 sfWWW
) и непрерывность напряжений ( 0
nnn ). Остается выполнить граничное
условие на L :
010
0
0
WW
n
n , (6)
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
84
которое перепишем в виде [9]
000
z
W
e
z
W
e
ii
. (7)
Будем предполагать также, что скачки перемещений на концах разрезов jL равны нулю, т. е.
0 jj bfaf , kj ,1 . (8)
В интегральной форме (8) можно записать в виде
0)( dssfsdf
LL
. (9)
Воспользуемся известными соотношениями [10]:
)(
4
)( )1(
2
2
2
)1(
02
2
rHerH
z
i
, )(
4
)( )1(
2
2
2
)1(
02
2
rHerH
z
i
, (10)
)(
4
)( )1(
2
2
)1(
0
2
rHrH
zz
,
irez .
Поведение в нуле (x→0) функций Ханкеля нулевого и второго порядков характеризуется асимптотиче-
скими формулами:
)(ln
2
)( 0
)1(
0 xHx
i
xH
, )(
4
)( 22
)1(
2 xH
xi
xH
, (11)
где )(0 xH и )(2 xH – непрерывны в точке 0x .
Подстановка интегрального представления (5) в выражение, которое стоит в левой части граничного
условия (7), с учетом (10), (11) дает:
L
LL
i
L
iii
dsrHrHsf
rdssf
iz
df
i
e
z
df
i
e
z
W
e
z
W
e
.))()cos()()2)(cos((
8
ln)cos()(
44
1
4
1
200220
2
2
0
2
211 0000
(12)
Здесь использованы формулы интегрирования по частям для гиперсингулярных интегралов [12] при дополни-
тельных условиях (8).
Привлечение формул Сохоцкого–Племеля [11] для вычисления предельных интегралов типа Коши, воз-
никающих при удовлетворении граничного условия (7) с учетом соотношений (1), (12), сводит рассматривае-
мую краевую задачу к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению относительно неизвестной функ-
ции )(sf :
dsrsf
i
df
e
i
LL
i
00
2
2
0
lncos)(
4
Re
2
1 0
(13)
,0
00
i
er
)sincos(
020
002)sin()(
i
esT .
Для однозначной разрешимости интегро-дифференциального уравнения (13) к нему следует присовоку-
пить дополнительное условие (3).
Представим контур L в параметрической форме. Для этого на каждом из контуров ),1( KjL j выбира-
ем локальную систему координат, учитывая параллельный перенос и поворот осей координат. Учитывая это, на
контуре jL
будем считать
.)1(,)1(,1,1),(),( 000 jj ba (14)
).()(cos2cos)(
8
002000220
2
2 sTdsrHrHsf
L
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
85
Умножим уравнение (13) на )( 0s и выделим в нем ядро типа Коши и логарифмическое ядро следую-
щим образом:
,
1'1'
00
0
00
0
(15)
Здесь, используя правило Лопиталя, находим
,
)('2
)(''1'
lim
0
0
00
0
0
(16)
.lnlnlnlim 00000
0
sss
Теперь интеграл с логарифмическим ядром интегрируем по частям с учетом дополнительного условия (8):
).(1lnln)( 0
1
1
00
1
1
dfdf
(17)
Параметрическая форма интегрального уравнения приобретает вид:
.)(lnRe
2
Re
)(
4
Re
8
1lnRe
4
)(
2
1
0000002
)1(
00
1
1
2
0
2
2
02
)1(
2
2
0
2
2
0
1
1
000
1
1
2
2
0
0
sTdf
i
rH
i
rHe
df
i
d
f
i
i
(18)
Предложенная процедура регуляризации интеграла с логарифмическим ядром позволяет свести задачу к
сингулярному интегральному уравнению относительно функции )(f . Ядра интегралов, соответствующих
функции )(f , непрерывны. Единственное решение полученного сингулярного интегро-дифференциального
уравнения (18) при наличии дополнительного условия (8) следует искать в классе функций, имеющих корневую
особенность на концах разрезов [11]. Таким образом, полагаем
cos,)()(,
1 1
2
dfff . (19)
3. Дискретизация задачи
Представим неизвестную плотность )( интегрального уравнения (18) как совокупность функций
)( j
j , определенных на контурах .,1, KjL j Численная реализация интегрального уравнения (18) прово-
дится методом конечных квадратур [6]. Уравнение, соответствующее контуру pL , удовлетворяется в узлах Че-
бышева второго рода )1,1( p
p
m nm
n
m
и сводится к системе алгебраических уравнений относительно
значений функции )(j в узлах Чебышева первого рода ),1(
12
j
j
k nk
n
k
, где jn – число точек разби-
ения контура jL .
Для интеграла типа Коши используем квадратурную формулу
.cos,cos,
)(
)(1
)(
1
1
1
2
kkmm
mk
kj
n
kj
m
j
j
n
d
(19)
).lnln(lnln 000000 ssss
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
86
К интегралу, содержащему регулярное ядро ),( 0 D и имеющему корневую особенность, применяем
квадратурную формулу Гаусса
jn
k
kjkm
j
m
j
D
n
dD
1
1
1
2
)(),(),(
1
)(
. (20)
Применительно к дополнительному условию (9) имеем
.0)(
1
jn
k
kj (21)
Интерполяционный многочлен Лагранжа для функции )(jf имеет вид [6]:
1
1`11
.
sincos
)(
2
)()(
jj n
l
k
n
k
kj
j
j
l
ll
n
dff
(22)
Система линейных алгебраических уравнений относительно функций Kjj ,1, приобретает вид:
,0)(,)(
11
jj n
k
kj
j
m
n
k
kj
j
mk NA (23)
,
sincos2
sin
8
1lnRe
4
1
2
1
1
11
2
2
2
2
jl
n
j
vk
j
n
v
vmv
mkmkmm
mkj
j
mk
l
ll
n
B
iin
A
.)sin(,lnRe
2
Re
4
Re
)sincos(
2
2
)1(
022
2
2
)1(
2
2
mmi
mmm
j
mmm
mm
m
m
m
m
vmmv
esN
i
H
i
HB
Таким образом, при численной реализации системы интегральных уравнений (13), (9) задача сводится к
решению системы линейных алгебраических уравнений (23) с KnnnN ...21 неизвестными.
4. Схема вычислений
Проведена начальная фаза параметрического исследования описанной задачи. Для исследования сходи-
мости построенного алгоритма рассмотрен случай нормального падения волны сдвига [8] на систему, состоя-
щую из эллиптических или ромбических трещин, поочередно расположенных в упругом пространстве на оди-
наковом расстоянии один от другого и симметрично ориентированных вдоль оси X (рис. 2). Однако число тре-
щин справа и слева не является обязательно равным ( KT LL )
Рис. 2
Таким образом, задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений (СИУ),
которые решаются численно. Элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), к ко-
торой, в конечном итоге, сводятся система СИУ, являются результатом дискретизации контуров. Очевидно, что
размер матрицы пропорционален числу трещин. Применим распараллеливание алгоритма, в котором каждый
элемент матрицы определяется координатами узлов дискретизации.
Как показано в [8, 9], данный метод в вычислительном смысле сводится к обходу каждого контура по
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
87
точкам коллокации внеинтегральной переменной 0k и одновременному же обходу каждого контура по анало-
гичным либо иным узлам переменной интегрирования k .
Параллельно-конвейерная схема вычислений построена аналогично [9]. Тут также вычисления имеют
следующие этапы: синтез массивов исходных данных, синтез матрицы СЛАУ, решение СЛАУ методом Гаусса,
синтез массивов итоговых решений. Первый, второй и четвертый этапы макроконвейера не требуют пересылок
данных, что означает независимость вычислений. На третьем этапе для решения СЛАУ существует оптималь-
ное число процессов, определяемое спецификой матрицы. Это означает, что для 1, 2 и 4 этапов алгоритма оп-
тимальным является число процессов, соответствующее числу коэффициентов СЛАУ.
В данной методике решения краевой задачи основной операцией является определение текущего рассто-
яния между точками коллокации и интегрирования, заданного на множестве значений параметрических коор-
динат неоднородностей. Указанное расстояние является аргументом функции Грина. И поскольку комбинации
самих функций Грина и коэффициентов при них являются элементами матрицы СЛАУ, указанная процедура
может быть базовой при разработке приложения. Как показано в [8, 9], алгоритм хорошо масштабируется по
вычислительным узлам.
Вычислительный процесс решения СЛАУ распараллеливается согласно [9, 13]. Параллельное вычисле-
ние итоговых искомых характеристик осуществляется путем подстановки массивов значений неизвестных
функций )( pkf в интегральные представления решений аналогично процедурам формирования матрицы
СЛАУ. Для решения СЛАУ эффективнее использовать построчное распараллеливание, когда пересылки и вы-
числения находятся в балансе.
В ходе начальной фазы численной реализации вычислялись безразмерные коэффициенты интенсивности
на продолжении трещин. Точность вычислений проверялась путем сравнения результатов при различных зна-
чениях N. Проводилось также сравнение полученных результатов с результатами, приведенными в [10] для
случая одиночной трещины. Совпадение результатов показало хорошую достоверность алгоритма.
Численное исследование показало, что алгоритм имеет высокую скорость сходимости. Точность вычис-
лений до 10
-10
достигается уже при 200 точках коллокации каждого контура. Сходимость алгоритма также не
зависит от числа трещин. Обусловленность матриц при этом проверялась на основании алгоритма, описанного
в [13].
Выводы
В задаче дифракции SH-волн на системе криволинейных трещин-разрезов параллельные алгоритмы поз-
воляют значительно сократить время вычислений и более детально проанализировать характеристики волново-
го поля. Сочетание метода интегральных уравнений, который снижает на единицу размерность задачи, и значи-
тельная экономия времени вычислений за счет распараллеливания вычислительных процедур приводит к суще-
ственному увеличению эффективности предложенного алгоритма расчета неизвестных плотностей интеграль-
ных уравнений. Волновые характеристики ближнего и дальнего полей выражаются через указанными плотнос-
тями.
1. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных кон-
струкций. – М: Изд. АСВ (Ассоциации строительных ВУЗов), 2000, – 152 с.
2. Колянов Г.Н. CASE. Структурный системный анализ (автоматизация и применение). – М: «Лори», 1996. – 360 c.
3. Вертгейм И.И., Терпугов В.Н. Параллельные технологии вычислений в механике сплошных сред и МДТТ: Учебное пособие. – Пермь:
ПГУ, 2007. – 84 с.
4. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. – 307 с.
5. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г., Яковлев В.В. Рассеяние волн локальными неоднородностями в сплошных средах. – Киев: Наук. думка,
1985. – 136 с.
6. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. – Киев:
Наук. думка, 1984. – 344 с.
7. Фильштинский Л.А. Дифракция упругих волн на трещинах, отверстиях, включениях в изотропной среде // Изв. АН СССР. Механика
твердого тела. – 1991. – № 4. – С. 119–127.
8. Назаренко А.М., Панченко Б.Е. Схема параллельных вычислений в задачах дифракции волн сдвига на системе отверстий в бесконеч-
ной упругой среде // Проблеми програмування. – 2010. – № 2–3. – С. 604–610.
9. Панченко Б.Е., Назаренко А.М., Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для
изотропных сред с произвольными неоднородностями // Кибернетика и системный анализ. – 2013. – № 1. – C. 172–187.
10. Фильштинский Л.А. Динамическая задача теории упругости для области с криволинейными разрезами (деформация продольного
сдвига). – Докл. АН СССР, 1977. – № 6. – C. 1327–1330.
11. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 512 с.
12. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. – М: Наука, 1985. – 256 с.
13. Химич А.М., Полянко В.В. Эффективность двумерных блочно-цикличных параллельных алгоритмов // Проблеми програмування. –
2008. – № 3. – С. 145–149.
|