To the problem of pursuit on the plane

We propose a formulation of the problem of pursuit on a plane from the point of view of a multi-agent approach. The differences that distinguish the proposed formulation of the problem from the formulation of such a problem from the point of view of the theory of differential games are shown. A list...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2025
Автор:	Yalovets, A.L.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	PROBLEMS IN PROGRAMMING 2025
Теми:	UDC 004.942+623.465
Онлайн доступ:	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/782
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Problems in programming
Завантажити файл:

Репозитарії

Problems in programming

id	pp_isofts_kiev_ua-article-782
record_format	ojs
resource_txt_mv	ppisoftskievua/57/b6a3da82f17cb11c2a623632920f7c57.pdf
spelling	pp_isofts_kiev_ua-article-7822025-08-27T13:11:22Z To the problem of pursuit on the plane До постановки задачі переслідування на площині Yalovets, A.L. UDC 004.942+623.465 УДК 004.942+623.465 We propose a formulation of the problem of pursuit on a plane from the point of view of a multi-agent approach. The differences that distinguish the proposed formulation of the problem from the formulation of such a problem from the point of view of the theory of differential games are shown. A list of methods to be developed is given.Prombles in programming 2013; 2: 95-100 Пропонується постановка задачі переслідування на площині з точки зору мультиагентного підходу. Показуються розбіжності, які відрізняють пропоновану постановку задачі від постановки такої задачі з точки зору теорії диференційних ігор. Наводиться перелік методів, які необхідно розробити.Prombles in programming 2013; 2: 95-100 PROBLEMS IN PROGRAMMING ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ 2025-08-27 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/782 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 2 (2013); 95-100 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 2 (2013); 95-100 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 2 (2013); 95-100 1727-4907 uk https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/782/834 Copyright (c) 2025 PROBLEMS IN PROGRAMMING
institution	Problems in programming
baseUrl_str	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai
datestamp_date	2025-08-27T13:11:22Z
collection	OJS
language	Ukrainian
topic	UDC 004.942+623.465
spellingShingle	UDC 004.942+623.465 Yalovets, A.L. To the problem of pursuit on the plane
topic_facet	UDC 004.942+623.465 УДК 004.942+623.465
format	Article
author	Yalovets, A.L.
author_facet	Yalovets, A.L.
author_sort	Yalovets, A.L.
title	To the problem of pursuit on the plane
title_short	To the problem of pursuit on the plane
title_full	To the problem of pursuit on the plane
title_fullStr	To the problem of pursuit on the plane
title_full_unstemmed	To the problem of pursuit on the plane
title_sort	to the problem of pursuit on the plane
title_alt	До постановки задачі переслідування на площині
description	We propose a formulation of the problem of pursuit on a plane from the point of view of a multi-agent approach. The differences that distinguish the proposed formulation of the problem from the formulation of such a problem from the point of view of the theory of differential games are shown. A list of methods to be developed is given.Prombles in programming 2013; 2: 95-100
publisher	PROBLEMS IN PROGRAMMING
publishDate	2025
url	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/782
work_keys_str_mv	AT yalovetsal totheproblemofpursuitontheplane AT yalovetsal dopostanovkizadačípereslíduvannânaploŝiní
first_indexed	2025-09-17T09:22:24Z
last_indexed	2025-09-17T09:22:24Z
_version_	1850410147237593088
fulltext	Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення © А.Л. Яловець, 2013 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2013. № 2 95 УДК 004.942+623.465 А.Л. Яловець ДО ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧІ ПЕРЕСЛІДУВАННЯ НА ПЛОЩИНІ Пропонується постановка задачі переслідування на площині з точки зору мультиагентного підходу. Показуються розбіжності, які відрізняють пропоновану постановку задачі від постановки такої задачі з точки зору теорії диференційних ігор. Наводиться перелік методів, які необхідно розробити. Вступ Задача переслідування на площині – відома задача, досить глибоко вивчена та досліджена (див., наприклад, [1, 2]). Здебі- льшого її дослідження виконується в рамках теорії диференційних ігор [3, 4]. Разом з тим, за своєю сутністю ця задача може успішно вирішуватись за допомогою методів та моделей мультиагентних сис- тем. При цьому, оточуюче середовище ро- зглядається як динамічна система, а утікачі та переслідувачі – як агенти, які діють у такій системі. Мета даної роботи – постановка задачі переслідування на пло- щині з точки зору мультиагентного підхо- ду. Для того, щоб відокремити таку поста- новку від загальновідомої, ми наводимо короткий огляд традиційної постановки задачі. 1. Традиційна постановка задачі переслідування на площині Коротко опишемо традиційне тлу- мачення сутності задачі переслідування на площині у відповідності до [2]. Нехай точ- ка Р починає рух на площині з деякого по- чаткового стану 0x . Якщо фіксувати всі її поточні положення, то ми отримаємо на площині деяку неперервну криву, яка на- зивається траєкторією руху. Шлях, який буде пройдено вздовж траєкторії, будемо обраховувати, починаючи з точки 0x . В продовж будь-якого руху довжина шляху s , пройденого точкою Р, залежить від ча- су. Як наслідок, шлях s можна розглядати як функцію часу: )(tss  . Якщо відомий спосіб переміщення точки Р по траєкторії руху, то можна задати формулу, яка визна- чає положення точки на траєкторії у будь-який момент часу, тобто закон руху точки. Траєкторія руху точки Р на площині може представляти собою як пряму, так і криву лінію. Відповідно до цього рухи ро- зподіляються на криволінійні та прямолі- нійні. Простим рухом називається рух, при якому відстань, пройдена точкою Р з поча- ткового стану 0x задається виразом: tts )( , де t – час, на протязі якого від- бувався рух, )(ts – шлях, пройдений точ- кою Р з початкового стану 0x за час t ,  – шлях, пройдений точкою Р за одиницю часу, який називається лінійною швидкіс- тю точки. Простий рух характеризується тим, що величина  є постійною та не за- лежить від часу. Таким чином, простий рух точки Р з початкового стану 0x на площині є рух по будь-якій криволінійній траєкторії, що ви- ходить з цієї точки, з постійною лінійною швидкістю  . Простий рух точки Р може розгля- датися у випуклій множині S на площині, якщо в процесі руху точка Р не покидає множину S . Нагадаємо, що множина на- зивається випуклою, якщо відрізок, який з’єднує будь-які дві його точки, повністю належить до цієї множини. Як правило, в дослідженнях перес- лідування на площині розглядається підк- лас простих рухів, а саме рухи по ломаним з кінцевим числом вершин. Тобто передба- чається, що точка Р, рухаючись з постій- ною лінійною швидкістю  з початкового стану 0x , може змінювати напрям свого руху лише кінцеве число разів. Зазначимо, Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 96 що будь-який простий рух може бути з до- статнім ступенем точності апроксимова- ним простим рухом по ломаним з кінцевим числом вершин. Виходячи з викладених положень коротко розглянемо сутність гри переслі- дування з простим рухом з точки зору тео- рії диференційних ігор [2]. Нехай на площині задано випуклу множину S . Точки mPPP ,,, 21  та E пе- реміщуються в S , перебуваючи у стані простого руху з постійними лінійними швидкостями m ,,, 21  та  відпові- дно (розглядаються тільки прості рухи по ломаних з кінцевим числом вершин). В те- орії ігор сукупність точок mPPP ,,, 21  на- зивають гравцями-переслідувачами або на- рядом, а E – гравцем-утікачем. Рух наря- ду P та утікача E починається в момент часу 0t з початкових положень )0(),0(,),0(),0( 21 EPPP m . Положення гра- вців EPPP m ,,,, 21  у момент часу 0t позначаються відповідно ),(),( 21 tPtP )(),(, tEtPm . Вважається, що наряд здійснив зустріч з E , якщо хоча б один з переслі- дувачів iP наряду P здійснив зустріч з E , тобто коли вперше положення E збіжить- ся з положенням хоча б одного пересліду- вача iP наряду P . Переслідування наря- дом P утікача E починається в момент часу 0t і завершується, коли наряд P здійснює зустріч з E . При цьому вимага- ється, щоб у процесі руху всі переслідувачі з наряду P та утікач E не покидали мно- жини S . Мета наряду P – зустріч з утіка- чем E за мінімальний час, а мета утікача E – відтягнути момент зустрічі або уник- нути її, якщо це можливо. В теорії диференційних ігор вважа- ється, що в кожний момент часу 0t гра- вцю E відомо своє положення та поло- ження всіх переслідувачів в цей же момент часу. Кожний переслідувач iP з наряду P в момент часу 0t знає положення всіх членів наряду, включаючи себе, положен- ня гравця E та напрям його руху в цей же момент часу t , однак йому невідомі май- бутні маневри E , тобто iP не знає, коли і як гравець E буде змінювати напрям свого руху в майбутньому. Така гра переслідування назива- ється грою переслідування з простим рухом і позначається як  Sm ;1, , де m підкреслює залежність від числа пе- реслідувачів, а S – залежність від виду множини S . У випадку, коли S співпадає з площиною, таку гру також позначають як )1,(m . Кінцеве число  називається оп- тимальним часом переслідування у грі );1,( Sm відносно початкових положень )0(,),0(),0( 21 mPPP  і )0(E , якщо вико- нані наступні умови: а) для будь-яких рухів гравця E іс- нує спосіб поведінки наряду P такий, що гарантує йому зустріч з E не пізніше, ніж за час  ; б) існує такий спосіб поведінки гра- вця E , що наряд P не може здійснити зу- стріч з E до моменту часу  . Якщо для кінцевого числа  вико- нано тільки умову а), то число  назива- ють гарантованим часом переслідування щодо початкових положень ),0(),0( 21 PP )0(, mP і )0(E , а якщо для кінцевого чис- ла  виконано тільки умову б), то число  називають гарантованим часом уник- нення зустрічі відносно початкових поло- жень )0(,),0(),0( 21 mPPP  і )0(E . Нехай  – оптимальний час пере- слідування щодо початкових положень )0(,),0(),0( 21 mPPP  і )0(E . Тоді будь- який спосіб поведінки гравця E , при якому наряд P не може здійснити з ним зустріч до моменту  (умова б)), нази- вають оптимальною стратегією гравця E . Спосіб поведінки наряду P , при якому гарантується зустріч з E за час не більше, ніж за час  (умова а)), називають оптимальною стратегією наряду P . Під рішенням гри );1,( Sm розумі- ється знаходження оптимальної стратегії наряду P , оптимальної стратегії гравця E та оптимального часу переслідування. Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 97 2. Пропонована постановка задачі переслідування на площині Наведемо окремі уточнення до ви- щевикладеної загальновідомої постановки задачі, які дозволять з одного боку, сфор- мулювати її у термінах мультиагентного підходу, з іншого – визначити перелік но- вих математичних методів, які необхідно розробити. Перш за все треба відзначити, що виходячи з положень теорії диференційних ігор необхідно знати закон руху точки. На практиці не представляється можливим напевно знати закон руху точки Е (і, як наслідок, точок iP ), оскільки (як буде по- казано далі) на зміни характеру руху то- чки впливає дуже багато чинників, дію яких заздалегідь точно описати та форма- лізувати не вдається. Нехай на площині задано випуклу множину S , яка відповідає динамічно- му середовищу, в межах якого діють аген- ти. Змістовно множину S можна інтерп- ретувати як морську ділянку кордону України, в межах якої діють кораблі різ- ного призначення (що інтерпретуються як агенти). В загальному випадку можна виді- лити три категорії агентів: 1) агенти- утікачі, що формують множину },,,{ 21 nEEEE  ; 2) агенти-переслідувачі, що формують множину },,,{ 21 mPPPP  ; 3) інші агенти, що формують множину A , які не є ані утікачами, ані переслі- дувачами, але також знаходяться (руха- ються або ні) в S . Надалі нас будуть цікавити тільки агенти перших двох категорій, хоча в де- яких компонентах задачі переслідування вплив агентів множини A буде врахову- ватись (наприклад, в задачах маневруван- ня). Зазначимо, що вплив агентів множини A змістовно означає врахування приро- ди, геометрії та поведінки об’єктів, яким такі агенти відповідають. Зокрема, такі об’єкти можуть бути як рухомими, так і нерухомими, як точковими (напри- клад, кораблі), так і просторовими (напри- клад, острови). На відміну від постановки задачі, викладеної в п. 1 даної роботи, в нашо- му випадку розглядається не один утікач, а множина утікачів E , де 1)( Ecard . Це зумовлює необхідність розгляду різ- них угрупувань kGr переслідувачів )( PPP ii  , кожне з яких є прототипом наряду з вищевикладеної постановки та переслідує цілком визначеного утікача )( EEE jj  . Введемо множину угрупу- вань },,,{ 21 wGrGrGrGr  , де кожна kGr містить деяку кількість )( PPP ii  та одно- го )( EEE jj  , тобто для будь-якої гру- пи kGr виконується умова, що 2)( kGrcard . Для будь-яких двох груп справедливо, що }{1  kk GrGr . Оче- видно, що EPGrGrGr w  21 , де )(Grcardw  . Кожний агент ji EP , починає рух у момент часу 0t , має поточні координати в ортогональній системі координат і пере- міщується в S , перебуваючи у стані прос- того руху з постійною швидкістю у будь- який момент часу 0t , який передує його можливій зупинці (внаслідок захоплення або інших причин). Параметри, що харак- теризують стан будь-якого агента множин EP, у момент часу 0t однозначно опи- суються кортежем  iiii vyx ,),,( , де ),( ii yx – поточні координати і-того аген- та; iv – швидкість руху і-го агента; i - кут руху і-го агента в ортогональній си- стемі координат. Таким чином, у якості параметрів руху і-того агента розглядаєть- ся не лінійна швидкість, а швидкість iv та кут руху i , оскільки в будь-який момент часу 0t будь-яка траєкторія руху може бути апроксимована ломаною з кінцевим числом вершин, де будь-який фрагмент цієї ломаної, що є прямою, може бути од- нозначно описаний за допомогою саме цих двох параметрів, значення яких у даний момент часу є постійними. Будемо говорити, що переслідувачі, що належать окремій групі kGr , наздогна- ли утікача jE ( kj GrE  ), якщо хоча б один з переслідувачів ki GrP  опинився в Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 98 зоні захоплення утікача jE , а сам утікач при цьому вважається захопленим. Підкре- слимо, що ми не вживаємо словосполу- чення «здійснив зустріч», використане в п. 1 даної роботи, оскільки під ним розу- міється збіг положень iP та jE , а вживає- мо поняття «наздогнав». Розглядаючи аге- нтів iP та jE , ми враховуємо фізичні вла- стивості об’єктів, що відповідають таким агентам. Очевидно, що ситуація збігу по- ложень фактично відповідає зіткненню об’єктів, у якості яких виступають агенти. Як наслідок, розглядаємо зону захоплення, під якою розуміємо квадрат, сторона яко- го залежить від геометричних розмірів об’єкта, що відповідає jE , а центр квадра- та задається поточними координатами ),( jj yx агента jE , що в цілому забезпечує запобігання зіткненню об’єктів, що відпо- відають агентам iP та jE . Виходячи з цього, стає очевидним, що для моделювання поведінки агентів множин P та E необхідно враховувати додаткові (крім введених раніше) власти- вості об’єктів, що таким агентам відпові- дають. Додатково введемо наступні пара- метри опису агентів: геометричний розмір Gm об’єкта (домен допустимих значень: «великий», «середній», «малий»), клас Cl об’єкта («військовий», «цивільний»), нале- жність Bn об’єкту («свій», «чужий», «не- розпізнаний», «берегова охорона»). Напри- клад, агент iP у загальному випадку має наступні додаткові властивості: iPprop = ={«середній», «військовий», «берегова охо- рона»}. В свою чергу, множина можливих додаткових властивостей агента jE визначається з декартового добутку:  .}»«{\ охоронабереговаBnClGmprop jE  Будемо говорити, що в кожний мо- мент часу 0t утікачу kj GrE  відомо своє положення, але він знає положення тільки тих переслідувачів PPi  та інших утікачів, що належать множині E , які зна- ходяться в його зоні спостереження. Під зоною спостереження утікача jE розумі- ється квадрат, сторона якого дорівнює деякому додатному числу, що змістовно інтерпретується як подвійне значення простору видимості в один бік, а центр квадрата задається поточними координа- тами ),( jj yx утікача jE . За допомогою зони спостереження моделюються погодні умови, загальна видимість тощо. У свою чергу, в утікача kj GrE  можуть бути два можливих стани щодо обізнаності про його переслідувачів: 1) коли він знає, хто саме його переслідує; 2) коли він не знає своїх переслідувачів. В першому випадку утікач kj GrE  реа- гує (тобто запобігає захопленню) тільки на переслідувачів ki GrP  , а з іншими агентами тільки уникає зіткнення. В дру- гому випадку утікач kj GrE  аналізує всіх можливих переслідувачів PPi  , які зна- ходяться в його зоні спостереження, але реагує тільки на тих, хто гіпотетично мо- же виступати як його переслідувачі, тоб- то може входити до складу групи kGr , а з іншими агентами, як і в першому випад- ку, тільки уникає зіткнення. Для виявлен- ня, хто саме є його переслідувачами, агент- утікач динамічно формує припущення, які в кожний момент часу 0t уточнюються в залежності від поведінки можливих пе- реслідувачів. Кожний агент PPi  та EE j  уникає зіткнення з іншими агентами, які потрапили в його зону зіткнення, за ви- нятком ситуації, коли iP та jE належать одній і тій же групі kGr . Зона зіткнення геометрично збігається з зоною захоплення (див. вище). Для уникнення зіткнення агенти використовують спеціальні методи маневрування. У випадку, коли iP та jE належать одній і тій же групі kGr , зона зіткнення розглядається як зона захоп- лення, що відповідає ситуації, коли iP на- здогнав jE . Також, як і в постановці, наведеній в п. 1 даної роботи, кожний агент-пере- слідувач ki GrP  у момент часу 0t знає положення всіх переслідувачів, що нале- жать множині P , включаючи себе, поло- Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 99 ження kj GrE  , швидкість та напрям його руху, а також положення, швидкість та напрям руху інших утікачів, що належать множині E , у цей же момент часу t , однак йому невідомі майбутні маневри таких агентів-утікачів. Кожний агент-переслідувач iP kGr у момент часу 0t аналізує стан утікачів }){\( kn GrGRE  . Будемо позна- чати розрахунковий час захоплення пе- реслідувачем iP утікача jE як j i E P t . Тоді будемо говорити, що відбувся взаємний перехід агентів-переслідувачів в інші гру- пи, якщо для двох агентів ki GrP  та sm GrP  , які відповідно переслідують агентів-утікачів kj GrE  та sr GrE  , одночасно виконуються співвідношення r i j i E P E P tt  та j m r m E P E P tt  . При цьому агент iP переходить з групи kGr до групи sGr , а агент mP – з групи sGr до групи kGr . Очевидно, що обмеженням можливих пе- реходів є те, що constGrcard k )( та constGrcard s )( . Для виконання таких взаємних переходів агенти-переслідувачі вступають у перемовини, в ході яких з боку агентів-ініціаторів надаються відпо- відні пропозиції, які можуть бути прий- няті, або відхилені агентами-реципієнтами. Під агентом-ініціатором розуміється агент-переслідувач, який першим розпі- знав можливість більш скорішого захоп- лення агента-утікача, що належить іншій групі, ніж агента-утікача, що належить поточній групі агента-переслідувача, та опублікував відповідну пропозицію. Під агентом-реципієнтом розуміється агент- переслідувач, що належить групі, якій адресовано пропозицію агента-ініціатора, який проаналізував стан агента-утікача, що належить групі агенту-ініціатору, та за результатами аналізу прийняв або відхи- лив цю пропозицію. За аналогією з п. 1 даної роботи, пе- реслідувачі ki GrP  мають за мету наздог- нати утікача kj GrE  за мінімальний час, а утікач jE – відтягнути момент захоп- лення або уникнути його, якщо це можли- во. Узагальнюючи вищевикладене, мо- жна зробити декілька висновків. По-перше, можна стверджувати, що в пропонованій постановці напевно знати закон руху будь-якої точки kj GrE  (і, як наслідок, точок ki GrP  ) практично немо- жливо, оскільки на зміни її руху впливає досить багато чинників. Зокрема, на харак- тер руху агента-утікача впливають: − статичні та рухомі об’єкти, що на- лежать множині A та знаходяться в межах множини S , для уникнення від зіткнення з якими агенту-утікачу необхідно маневру- вати; − рухомі об’єкти, що належать мно- жи-нам P і E та знаходяться в межах множини S , для уникнення від зіткнення з якими агенту-утікачу необхідно маневру- вати; − обмеження на дії агента-утікача, що накладаються зоною спостереження; − невизначеність складу групи його агентів-переслідувачів; − можливість динамічної зміни скла- ду групи, до якої належать його агенти- переслідувачі. З цього випливає, що заздалегідь визначити час переслідування (як оптима- льний час переслідування) практично не- можливо. Будемо говорити, що кожний агент-переслідувач ki GrP  у процесі пе- реслідування агента-утікача kj GrE  на- магається мінімізувати свій шлях, тобто метою агента-переслідувача ki GrP  є ви- бір найкоротшого шляху для захоплення агента-утікача. В свою чергу, метою аген- та-утікача kj GrE  є як найбільше зрос- тання шляху, пройденого агентами- переслідувачами ki GrP  до моменту його захоплення (або взагалі, уникнення такого моменту). Як наслідок, виникає задача вибору стратегій поведінки як для агентів- переслідувачів, так і для агентів-утікачів, які б забезпечували досягнення поставле- ної мети. По-друге, можна уточнити сутність агентів, що розглядаються. Очевидно, що Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення 100 агенти-утікачі належать до класу когнітив- них агентів. У свою чергу, агенти- переслідувачі належать до класу реактив- них агентів з дещо розширеними функція- ми (зокрема, вони можуть вступати у пе- ремовини). По-третє, можна визначити перелік методів, які необхідно розробити. До таких методів належать: − методи формування стратегії пове- дінки агента-переслідувача та агента- утікача; − метод генерації оптимальних угру- пувань агентів-переслідувачів; − метод формування оптимального розташування агентів-переслідувачів; − методи перегрупування агентів- переслідувачів; − методи розпізнавання сукупності агентів, що переслідують окремого агента- утікача; − методи маневрування агентів з метою уникнення зіткнень з іншими агентами. Висновки Пропонована постановка задачі пе- реслідування на площині (на відміну від постановки цієї задачі з точки зору теорії диференційних ігор) ґрунтується на конс- татації факту, що в реальній дійсності за- здалегідь знати закон руху довільного уті- кача (переслідувача) неможливо. Такий погляд на проблему унеможливлює вико- ристання методів диференційних ігор для вирішення досліджуваної задачі і вимагає пошуку нових підходів. Одним з можли- вих підходів до вирішення задачі є мульти- агентний підхід, який і покладено в основу запропонованої постановки задачі. Пропонована постановка задачі від- зеркалює поточний погляд на проблему моделювання поведінки агентів у рамках задачі переслідування на площині. В пода- льшому плануємо уточнювати та удоско- налювати цю постановку. 1. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. – Новосибирск: Наука, 1983. – 140 с. 2. Петросян Л.А., Рисхиев Б.Б. Преследова- ние на плоскости. – М.: Наука, 1991. – 91 с. 3. Айзекс Р. Дифференциальные игры. – М.: Мир, 1967. – 479 с. 4. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиции- онные дифференциальные игры. – М.: Наука, 1974. – 456 с. Одержано 10.08.2012 Про автора: Яловець Андрій Леонідович, доктор технічних наук, заступник директора інституту. Місце роботи автора: Інститут програмних систем НАН України. 03187, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40. Тел.: (044) 526 1538, E-mail: yal@isofts.kiev.ua mailto:yal@isofts.kiev.ua

To the problem of pursuit on the plane

Репозитарії

Схожі ресурси