High-precision parallel solution of a problem about diffraction of shear waves on a system of elastic inclusions in a half-space with a restrained boundary
We offer a parallel algorithm of numerical solution of stationary dynamic problems of the elasticity theorem about interaction of SH-waves with a system of elastic inclusions of an arbitrary cross-section located in a half-space with a restrained boundary. The boundary value problem is reduced to...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
PROBLEMS IN PROGRAMMING
2025
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/792 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Problems in programming |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Problems in programming| id |
pp_isofts_kiev_ua-article-792 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| resource_txt_mv |
ppisoftskievua/bb/1915a5add282592a30341913e552debb.pdf |
| spelling |
pp_isofts_kiev_ua-article-7922025-08-27T13:30:47Z High-precision parallel solution of a problem about diffraction of shear waves on a system of elastic inclusions in a half-space with a restrained boundary Високоточне паралельне розв’язання задачі про дифракцію хвиль зсуву на системі пружних включень у півпросторі із защемленою межею Panchenko, B.E. UDC 004.652, 539.3 УДК 004.652, 539.3 We offer a parallel algorithm of numerical solution of stationary dynamic problems of the elasticity theorem about interaction of SH-waves with a system of elastic inclusions of an arbitrary cross-section located in a half-space with a restrained boundary. The boundary value problem is reduced to a system of singular integral equations that can be solved numerically. A scheme of parallel calculations has allowed to investigate situations with a big number of reflective discontinuities. New numerical results are given.Prombles in programming 2013; 1: 116-124 Запропоновано паралельний алгоритм чисельного розв’язання стаціонарних динамічних задач теорії пружності про взаємодію SH-хвиль з системою пружних включень довільного поперечного перетину, що розміщені у півпросторі з защемленою межею. Крайову задачу зведено до системи сингулярних інтегральних рівнянь, яка розв’язується чисельно. Схема паралельних обчислень дозволила дослідити ситуації зі збільшеною кількістю відбиваючих неоднорідностей. Наведено нові числові результати. Prombles in programming 2013; 1: 116-124 PROBLEMS IN PROGRAMMING ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ 2025-08-27 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/792 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 1 (2013); 116-124 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 1 (2013); 116-124 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 1 (2013); 116-124 1727-4907 ru https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/792/844 Copyright (c) 2025 PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| institution |
Problems in programming |
| baseUrl_str |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai |
| datestamp_date |
2025-08-27T13:30:47Z |
| collection |
OJS |
| language |
Russian |
| topic |
UDC 004.652 539.3 |
| spellingShingle |
UDC 004.652 539.3 Panchenko, B.E. High-precision parallel solution of a problem about diffraction of shear waves on a system of elastic inclusions in a half-space with a restrained boundary |
| topic_facet |
UDC 004.652 539.3 УДК 004.652 539.3 |
| format |
Article |
| author |
Panchenko, B.E. |
| author_facet |
Panchenko, B.E. |
| author_sort |
Panchenko, B.E. |
| title |
High-precision parallel solution of a problem about diffraction of shear waves on a system of elastic inclusions in a half-space with a restrained boundary |
| title_short |
High-precision parallel solution of a problem about diffraction of shear waves on a system of elastic inclusions in a half-space with a restrained boundary |
| title_full |
High-precision parallel solution of a problem about diffraction of shear waves on a system of elastic inclusions in a half-space with a restrained boundary |
| title_fullStr |
High-precision parallel solution of a problem about diffraction of shear waves on a system of elastic inclusions in a half-space with a restrained boundary |
| title_full_unstemmed |
High-precision parallel solution of a problem about diffraction of shear waves on a system of elastic inclusions in a half-space with a restrained boundary |
| title_sort |
high-precision parallel solution of a problem about diffraction of shear waves on a system of elastic inclusions in a half-space with a restrained boundary |
| title_alt |
Високоточне паралельне розв’язання задачі про дифракцію хвиль зсуву на системі пружних включень у півпросторі із защемленою межею |
| description |
We offer a parallel algorithm of numerical solution of stationary dynamic problems of the elasticity theorem about interaction of SH-waves with a system of elastic inclusions of an arbitrary cross-section located in a half-space with a restrained boundary. The boundary value problem is reduced to a system of singular integral equations that can be solved numerically. A scheme of parallel calculations has allowed to investigate situations with a big number of reflective discontinuities. New numerical results are given.Prombles in programming 2013; 1: 116-124 |
| publisher |
PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| publishDate |
2025 |
| url |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/792 |
| work_keys_str_mv |
AT panchenkobe highprecisionparallelsolutionofaproblemaboutdiffractionofshearwavesonasystemofelasticinclusionsinahalfspacewitharestrainedboundary AT panchenkobe visokotočneparalelʹnerozvâzannâzadačíprodifrakcíûhvilʹzsuvunasistemípružnihvklûčenʹupívprostoríízzaŝemlenoûmežeû |
| first_indexed |
2025-09-17T09:22:55Z |
| last_indexed |
2025-09-17T09:22:55Z |
| _version_ |
1850410914177613824 |
| fulltext |
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
© Б.Е. Панченко, 2013
116 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2013. № 1
УДК 004.652, 539.3
Б.Е. Панченко
ВЫСОКОТОЧНОЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
О ДИФРАКЦИИ ВОЛН СДВИГА НА СИСТЕМЕ УПРУГИХ
ВКЛЮЧЕНИЙ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
С ЗАЩЕМЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ
Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарных динамических задач теории
упругости о взаимодействии SH-волн с системой упругих включений произвольного поперечного сече-
ния, находящихся в полупространстве с защемленной границей. Краевая задача сведена к системе син-
гулярных интегральных уравнений, которая решается численно. Схема параллельных вычислений поз-
волила исследовать ситуации с большим числом отражающих неоднородностей. Приведены новые
численные результаты.
Введение
Для оценки ресурсов конструкций,
работающих в условиях динамического
нагружения и содержащих значительное
число неоднородностей, важен анализ вза-
имодействия стационарных волн переме-
щений и напряжений с системой упругих
включений [1]. Поэтому такие исследова-
ния являются актуальными. Однако для
численного решения таких задач требуются
большие объемы вычислительных ресур-
сов. Учитывая это особое значение приоб-
ретают эффективные параллельные алго-
ритмы [2].
Для разработки кластерных алго-
ритмов решения задач дифракции плос-
ких и антиплоских упругих волн на си-
стемах неоднородностей произвольной
формы особую роль играет метод сингу-
лярных интегральных уравнений [3, 4].
Высокая скорость сходимости решения
[3, 4] и сокращение числа пространствен-
ных переменных [4, 5] обеспечивают
данному методу хорошие конкурентные
преимущества.
В настоящей работе исследуется
алгоритм параллельного решения систе-
мы сингулярных интегральных уравне-
ний (СИУ), моделирующей дифракцию
SH-волн на системе упругих волокон не-
круговой цилиндрической формы, нахо-
дящихся в упругом полупространстве с
защемленной границей.
1. Постановка задачи
Рассмотрим упругое полупро-
странство у ≥ 0 с защемленной границей y
= 0, содержащее m туннельных вдоль оси
Oz упругих волокон, поперечные сечения
которых ограничены замкнутыми (без
общих точек) контурами mjL j ,1, типа
Ляпунова. Предполагается, что упругое
полупростанство имеет плотность 2ρ и
модуль сдвига 2μ . Пусть L – совокуп-
ность указанных контуров. Положитель-
ное направление выбрано так, что при
движении вдоль L область 2D остается
слева (рис. 1).
Рис. 1
Предположим, что источники
внешнего поля перемещений 0W размеще-
ны в области 2D . В качестве такого источ-
ника может быть набегающая на вклю-
чения из бесконечности монохроматиче-
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
117
ская SH-волна, нормаль к фронту которой
составляет угол с осью OX ( = const),
,
)sincos(
0
2 yxi
eW
2
2
c
(1)
или гармонический источник интенсив-
ности P, сосредоточенный в точке
0 0 0,M x y и порождающий поле пере-
мещений:
),(
4
1
2
)1(
0
2
0 rH
i
P
W (2)
0zzr , ,iyxz .000 iyxz
Здесь 2c – скорость волны сдвига, – ча-
стота колебаний, 2 – модуль сдвига, i –
мнимая единица (
2i = 1), )()1( xHn –
функция Ханкеля первого рода n-го по-
рядка, зависимость от времени выражает-
ся множителем
tie .
В результате взаимодействия с
включениями каждой из волн (падающей
и отраженной от границы y = 0), возни-
кает дифрагированное волновое поле.
Обозначим 3W амплитуду отраженной
от защемленной границы 0y волны
сдвига. Тогда суммарное поле амплитуд
перемещений представимо в виде
0 2 3W W W W .
В случае набегающей из бесконеч-
ности волны сдвига (1) отраженная от
границы волна имеет вид [4]:
2( cos sin )
3
i x y
W e ,
2
2
c
.
А в случае гармонического источника (2):
)(
4
1
12
)1(
0
2
3 RH
i
P
W , (3)
01 zzR , 000
iyxz .
Неизвестная функция 2W должна
удовлетворять однородному уравнению
Гельмгольца в области 2D с волновым
числом 2 :
,02
2
22 WW ,
2
2
2
2
yx
(4)
а также условиям излучения на бесконеч-
ности типа Зоммерфельда [3].
Поскольку области 1
m
D представ-
ляют собой упругие включения, для них
1
m
W W , где функции 1
m
W являются ре-
шением однородного уравнения Гельм-
гольца с волновыми числами m,1
( mmm ,1
2
,1
2
,1 / , где m,1 – плот-
ность, а m,1 – модуль сдвига каждого
m-го включения).
На совокупности всех контуров
L будем требовать выполнения условий
сопряжения, вытекающих из непрерыв-
ности перемещений и с двиговых напря-
жений на границе раздела двух сред.
Граничные условия на каждом включе-
нии таковы (для упрощения записи ин-
декс номера неоднородности опускаем):
1 0 2 3–W W W W , (5)
),( 302
0
2
0
1
1 WWW
nn
W
где 0n – нормаль к L в точке L0 .
Таким образом, задача дифракции
волны сдвига (1) или (2) на системе упру-
гих включений в изотропном полупро-
странстве с защемленной границе сводит-
ся к решению краевой задачи (4), (5) при
выполнении дополнительных условий из-
лучения на бесконечности.
2. Метод решения
Следуя [4, 5], запишем функцию
( , )kW x y , характеризующую неизвестные
волны перемещений в областях 1D и 2D
следующим образом (k=1, 2):
L
kkk dsyxGsfyxW ),,,()(),( , (6)
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
118
)(
4
1
1
)1(
01 rH
i
G ,
(1) (1)
2 2 2 10 0
1
( ( ) ( ))
4
G H r H r
i
,
,zr ,1 zr ,iyxz
.i Здесь L – совокупность контуров
mjL j ,1, (рис. 1); kf s – неизвестные
функции, удовлетворяющие на L условию
Гельдера.
Интегральные представления (6)
удовлетворяют уравнению Гельмгольца
(4) в областях kD и обеспечивают выпол-
нение условий излучения на бесконеч-
ности. Остается выполнить граничные
условия (5). Однако непосредственное
выполнение первого из условий (5) при-
водит к уравнению с логарифмическим
ядром. Для получения СИУ, схема чис-
ленной реализации которого более эф-
фективна [3], продифференцируем равен-
ство по дуговой координате 0s .
Для осуществления предельного
перехода в (6) при Lz 0 частные
производные
0s
W
и
0n
W
будем понимать
следующим образом:
,
0
00
0 z
ii
L
z
W
e
z
W
e
s
W
,
0
00
0 z
ii
L
z
W
e
z
W
ei
n
W
,
0
00
ds
d
e
i
.000 Li (7)
Воспользуемся также известными
соотношениями [3–5]:
),(
2
)(
)1(
1
)1(
0 rHerH
z
i
),(
2
)(
)1(
1
)1(
0 rHerH
z
i
),(
2
)( 1
)1(
1 rH
ri
rH ,irez (8)
где )(1 xH – непрерывная функция в точке
x = 0.
Привлечение формулы Сохоцкого –
Племеля [3] для вычисления предельных
значений интегралов типа Коши, возника-
ющих при удовлетворении граничных
условий (5) с учетом соотношений (6) –
(8), приводит к системе СИУ относительно
неизвестных функции ( )kf s :
1 0 1 0( )[ ( , ) ( , )]
L
f s g s s B s s ds
1 0 1 0( )[ ( , ) ( , )]
L
f s g s s B s s ds
0( )kN s . (9)
1 1 0 2 2 0
1
[ ( ) ( )]
2
f s f s
1 1 0 2 2 0( , ) ( , )
L
f s E s s f s E s s ds
0( ),kK s
0
0
1
Re
2
i
e
g , 0
00
i
er ,
10
100
i
er ,
(1)
1 1 1 1 0 0 01 ( )sin ( ) / 4E H r i ,
(1)
2 2 2 2 0 0 01 [ ( )sin ( )E H r
(1)
2 10 0 101 ( )sin ( )] / 4 ,H r i
1 1 1 1 0 0 0( ) cos( ) / 4B H r i ,
2 2 1 2 0 0 0[ ( ) cos ( )B H r
(1)
2 10 0 101 ( )cos( )] / 4 ,H r i
1 2 0 0 0 1 0
0
[ ( )cos ( ) ( )
cos ( )],
N i W s W s
1 2 2 0 0 0 1 0
0
[ ( )sin( ) ( )
sin( )],
K i W s W s
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
119
(1)
2 2 2 0 0 01[ ( )cos( )N P H R
(1)
2 10 0 10 21 ( )cos( )] / 4 ,H R
(1)
2 2 2 0 0 01[ ( )sin( )K P H R
(1)
2 10 0 101 ( )sin( )] / 4 ,H R i
10
1000
i
eRz , 0
000
i
eRz .
Здесь функции )( 0sNk и )( 0sKk отвечают
случаям (1) и (2) соответственно, ядра
0,g s s – сингулярны, ядра 0,kB s s и
0( , )kE s s – непрерывны (k=1, 2). В первой
группе (9) интегральные уравнения яв-
ляются сингулярными, а во второй – урав-
нениями Фредгольма 2-го рода.
Для выделения единственного ре-
шения СИУ присовокупим к ней дополни-
тельные условия:
1 0 2 0 3 0( )
j jL L
W ds W W W ds , (10)
выполнение которых обеспечивает непрерыв-
ность перемещений на каждом из контуров
jL .
3. Дискретизация задачи
Численная реализация системы
СИУ (9) проводилась методом механиче-
ских квадратур [3]. Вводилась параметри-
зация контура jL с помощью соотноше-
ний:
),(jj
),( 000 jj (11)
,2,0 0
причем ).2()0( jj Интегральное урав-
нение, соответствующее контуру kL , удо-
влетворялось в узлах вида
kl nl /)1(2 , ),1( knl и сводилось к
системе линейных алгебраических уравне-
ний относительно значений функции
( )jf в узлах вида jp np /)12( ,
),1( jnp , где jn – число точек разбиения
контура jL . Внеинтегральные значения
)( lkf выражались с помощью интерпо-
ляционных полиномов Лагранжа через
искомые значения )( pkf . Для нечетных
kn имеем следующие выражение [4, 5]:
.
2
)()1(
1
)(
1
pl
pk
n
p
pn
k
lk
ctg
f
n
f
k
k
(12)
Таким образом, при численной реа-
лизации системы интегральных уравне-
ний (9) задача сводится к решению си-
стемы линейных алгебраических уравне-
ний с 1 2 mN n n n неизвестными.
4. Схема вычислений
Как и в [4, 5], система СИУ сведе-
на к системе линейных алгебраических
уравнений, все элементы матрицы кото-
рой являются результатом дискретиза-
ции контуров. Очевидно, что размер мат-
рицы пропорционален числу неоднород-
ностей. Для исследования описанного
метода при большом числе включений,
а также для получения высокоточных
результатов и проверки сходимости реше-
ний при большом числе точек коллока-
ции потребуются существенные вычис-
лительные ресурсы. Применим распарал-
леливание алгоритма. Из системы уравне-
ний (9) следует, что каждый элемент мат-
рицы определяется координатами узлов
дискретизации.
Важной особенностью алгоритма
является то, что все элементы матрицы
формируются независимо один от другого,
что доказывает возможность применения
параллельного вычисления.
Таким образом, переменная 0k
формирует строки матрицы СЛАУ, а пе-
ременная k – ее столбцы. Диагональные
элементы матрицы соответствуют коэф-
фициентам системы, вычисленным в уз-
лах общих для 0k и k включений. Иные
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
120
коэффициенты вычисляются так, что зна-
чения 0k принадлежат множеству точек
коллокации с одних контуров, а значения
переменных интегрирования k – с дру-
гих.
Параллельно-конвейерная схема
вычислений представлена в [5]. Первый,
второй и четвертый этапы макроконвейера
не требуют пересылок данных, что означа-
ет независимость вычислений. На третьем
этапе для решения СЛАУ существует оп-
тимальное число процессов, определяемое
спецификой матрицы.
Для алгоритма решения СЛАУ ис-
комых СИУ оптимальным числом оказа-
лось 200 – 250 процессов при заданной
точности 10
-8
. Увеличение числа про-
цессов приводит к незначительному сни-
жению суммарного времени вычислений
за счет части алгоритма без пересылок,
но также и к приросту вычислительных
расходов на балансировку загрузки про-
цессоров.
На рис. 2 показан график зависи-
мости времени кластерных вычислений
массива контурных напряжений на ромби-
ческом упругом включении от числа про-
цессов для одного варианта нагрузки. С
графика видно, что как и в [5], весь алго-
ритм хорошо масштабируется.
Рис. 2
Так как для данной методики ре-
шения краевой задачи основная опера-
ция при вычислении каждого элемента
матрицы – это определение расстояния
между точками контуров, которое явля-
ется аргументом цилиндрических функ-
ций Ханкеля, а также вычисление самых
этих функций и коэффициентов при них,
на каждом клоне хоста запускаются цикл
процедур определения указанных коэф-
фициентов. Итоговая матрица собирается
по факту завершения последнего.
Вычислительный процесс решения
СЛАУ также распараллеливается согласно
[6]. Параллельное вычисление итоговых
искомых характеристик осуществляется
путем подстановки массивов значений не-
известных функций )( pkf в представле-
ние (7) аналогично процедурам формиро-
вания матрицы СЛАУ.
5. Численные результаты
В исследовании достигалась точ-
ность вычислений порядка 10
-8
. Такая
точность обеспечена следующим: высо-
кая сходимость самого алгоритма, раз-
решающая способность компиляторов
языков высокого уровня и разрешаю-
щая способность операционных сред.
Метод СИУ обеспечивает быструю схо-
димость решения, а также функцио-
нальную зависимость стабилизации зна-
ков результирующих данных от увели-
чения числа точек коллокации. Для ука-
занной точности в описанной задаче до-
статочно 1500 – 1700 точек коллокации
каждого контура.
Для исследования сходимости по-
строенного алгоритма рассмотрим случай
нормального падения (ψ = π/2) волны
сдвига (1) на систему эллиптических или
ромбических включений, расположенных
вдоль одной линии на одинаковом рас-
стоянии d один от другого (рис. 3).
Рис. 3
Используем известные [7] парамет-
рические уравнения для задания основного
контура L0:
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
121
,3sinsin)( b
,3coscos)( a 20 , (13)
где при ν = 0.14036 контур имеет вид
ромба с округленными точками возврата.
А в случае ν = 0 контур имеет эллиптиче-
скую форму. Остальные контуры для про-
стоты будем располагать симметрично
относительно оси Y. При условии, что фи-
зические характеристики всех включений
одинаковы, рассматриваемая дифра-
кционная задача обладает свойством сим-
метрии, что позволяет осуществлять пер-
вичное самотестирование получаемых ре-
зультатов.
В ходе численной реализации вы-
числялись безразмерные контурные нап-
ряжения 2/s и 2/nn . Точ-
ность вычислений проверялась путем
сравнения результатов при различных
значениях N. Проводилось также сравне-
ние полученных результатов с результа-
тами, приведенными в [4, 5] как для слу-
чая системы эллиптических или ромбиче-
ских отверстий (как частного случая
упругого включения), так и для одиноч-
ного упругого включения.
Применение метода параллельных
вычислений, проведенного на кластере
«Инпарком–256», позволило подтвердить
вывод о том, что сходимость решения
СИУ практически не зависит от числа
отражателей.
Численное исследование показало,
что в случае защемленной границы при
воздействии из бесконечности SH-волны
в описанной системе эффект насыщения
[5, 8] наблюдается не строго (как и в
[9]). И хотя при линейном и симмет-
ричном относительно нагрузки располо-
жении вдоль границы физически одина-
ковых включений для усредненного ис-
следования достаточно не более 11 неод-
нородностей, все же при дальнейшем
наращивании числа включений наблю-
даются незначительные пульсации в
распределении напряжений. Обуслов-
ленность матриц при этом проверялась на
основании алгоритма, описанного в [10].
При фиксированной размерности
матриц СЛАУ число включений не влия-
ет на оптимальное число процессов, по-
скольку в СИУ каждый контур неодно-
родности является частью суммарного
контура интегрирования. Поэтому при
прочих равных условиях свойства СЛАУ,
полученных как для одного включения,
так и для нескольких, не изменяются. Как
и в случае [5, 8, 9], от числа включений не
зависит и сходимость алгоритма.
В работе проводились вычисле-
ния контурных напряжений и n
вдоль контуров центрального L0 и край-
него kL включений (рис. 3) в случае ре-
шетки, состоящей из нечетного числа
неоднородностей (p = k). Отсчет угла
ведется от нуля (теневая точка) до
(лобовая точка) для центрального
включения (учитывается симметрия в
случае нормального распределения вол-
ны сдвига) и от 0 до 2 для крайних во-
локон (в силу симметрии и равенства
упругих постоянных распределения
напряжений на контурах kL и kL зер-
кальны). Рассматривается случай ромбов,
вытянутых вдоль набегающей волны.
Для всех рисунков значения безраз-
мерного волнового числа 2a для кривой
1 составляет 0.3, для кривой 2 – 1.1, для
кривой 3 – 2.5. При этом для всех вариан-
тов 0.5/ 21 , 0.2/ 21 , 5.2/ ab , а
расстояние от границы до центрального
волокна h=4 (на рис. 3 не показано).
На рис. 4 а, б показаны распреде-
ления напряжения вдоль контура
крайнего слева и центрального волокон
соответственно в случае решетки, состо-
ящей из трех ромбов. На рис. 5 а, б пока-
заны распределения напряжений n
вдоль тех же контуров. Воздействие –
волна из бесконечности.
Результаты показывают, что, чем
выше частота колебаний, тем больший
вклад в напряженно-деформированное
состояние контура волокна вносит нап-
ряжение n . Если в теневой ( = 0) и ло-
бовой ( = ) точках 0 , то в зоне
соскальзывания с увеличением 2a число
локальных максимумов также увели-
чивается, причем растет и максимальное
значение . Напряжение же n имеет
обратный характер. Такой вывод полно-
стью совпадает с результатами работы [4].
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
122
а
б
Рис. 4
а
б
Рис. 5
На рис. 6, 7 показаны зависимо-
сти для аналогичной решетки, состоящей
из трех эллиптических упругих воло-
кон, при воздействии волны сдвига от
сосредоточенного точечного источника,
находящегося на оси симметрии. Здесь
Yz=1 (рис. 3). Кривые на рис. 6 а, б по-
казывают распределения напряжения
вдоль контура крайнего слева и цент-
рального волокон в случае решетки,
состоящей из трех эллипсов. Кривые
на рис. 7 а, б показывают распределе-
ния напряжений n вдоль тех же конту-
ров. Нумерация кривых имеет тот же
смысл.
Здесь у также наблюдаются
локальные минимумы в теневой ( = 0)
и лобовой ( = ) точках. Число ло-
кальных максимумов в зоне соскальзы-
вания с увеличением 2a также увели-
чивается. Максимальное значение ,
как и на рис. 4, растет с увеличением
2a . Аналогично SH-волне из бесконеч-
ности, для случая нагрузки от точечно-
го источника с повышением частоты
колебаний прирост амплитуды n выше,
чем у . Причем напряжения и
n также имеет взаимно-обратный ха-
рактер.
а
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
123
б
Рис. 6
а
б
Рис. 7
Заключение
Анализ алгоритма показывает, что
для широкого класса задач, решаемых ме-
тодом СИУ, большинство вычислительных
процедур типизируемы. Поэтому для про-
ектирования CASE-средств [11], позволя-
ющих разрабатывать и сопровождать при-
ложения для исследования динамического
поведения сложных механических систем,
достаточно изучить несколько базовых ал-
горитмов [5, 9].
В работах [2, 5, 9] показано, что для
решения задач теории упругости парал-
лельные алгоритмы позволяют существен-
но повысить эффективность вычислений и
более детально проанализировать характе-
ристики исследуемых полей. Это важно,
так как получение точных величин вплоть
до 8-го – 10-го знака позволяет избежать
разрушений конструкций. Таким образом,
сочетание метода интегральных уравне-
ний, хорошо типизируемых и имеющих
высокую скорость сходимости, а также
процедур распараллеливания, приводящих
к значительной экономии времени вычис-
лений, существенно увеличивает эффек-
тивность разрабатываемых систем.
1. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г., Яковлев В.В.
Рассеяние волн локальными неоднородно-
стями в сплошных средах. – К.: Наук. дум-
ка, 1985. – 136 с.
2. Вертгейм И.И., Терпугов В.Н. Параллель-
ные технологии вычислений в механике
сплошных сред и МДТТ.: Учебное посо-
бие. – Пермь, 2007. – 84 с.
3. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т.
Метод сингулярных интегральных уравне-
ний в двумерных задачах дифракции. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 344 с.
4. Назаренко А.М. Дифракция волн сдвига на
цилиндрических включениях и полостях в
упругом полупространстве // Проблемы
прочности. – 1990. – № 11. – С. 90–94.
5. Панченко Б.Е. Высокоточное кластерное
решение задачи о дифракции волн сдвига
на системе отверстий в полубесконечной
изотропной среде с защемленной границей
// Проблеми програмування. – 2012. – № 1.
– С. 121–131.
6. Химич А.Н., Молчанов И.Н., Попов А.В.
Численное программное обеспечение ин-
теллектуального MIMD-компьютера «Ин-
парком». – Киев, 2007. 220 с.
7. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения
Прикладні засоби програмування та програмне забезпечення
124
формы границы в механике сплошных
сред. – Киев, 1989. – 352 с.
8. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение
трехмерной задачи дифракции волн на
группе объектов // Акустический журнал. –
2007. – 53, № 1. – С. 5–14.
9. Панченко Б.Е. Поведение системы некруг-
овых отверстий в полупространстве со
свободной границей от воздействия стаци-
онарных SH-волн // Проблемы управления
и информатики. – 2012. – № 4. – C. 84–93.
10. Химич А.М., Полянко В.В. Эффективность
двумерных блочно-цикличных параллель-
ных алгоритмов // Проблеми програмуван-
ня. – 2008. – № 3. – С. 145 – 149.
11. Колянов Г.Н. CASE. Структурный систем-
ный анализ (автоматизация и применение).
– М.: "Лори", 1996. – 360 c.
Получено 11.08.2012
Об авторе:
Панченко Борис Евгеньевич,
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник.
Место работы автора:
Институт кибернетики имени
В.М. Глушкова НАН Украины,
Проспект Академика Глушкова, 40.
Тел.: (044) 526 3603, e-mail: pr-bob@ukr.net
mailto:pr-bob@ukr.net
|