Determination of the optimal set of methods for iterative improvement of the reference route
The article solves the problem of a traveling salesman for planning a flight of an unmanned aerial vehicle in the conditions of eliminating the consequences of an emergency. An approach is considered that uses a combination of the nearest point method to create a reference solution and a number of m...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
PROBLEMS IN PROGRAMMING
2025
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/855 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Problems in programming |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Problems in programming| id |
pp_isofts_kiev_ua-article-855 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| resource_txt_mv |
ppisoftskievua/87/1557ca9074967ca8c6afdce3bcffdd87.pdf |
| spelling |
pp_isofts_kiev_ua-article-8552025-11-14T22:05:14Z Determination of the optimal set of methods for iterative improvement of the reference route Визначення оптимального набору методів ітераційного покращення опорного маршруту Derevianko, E.M. Shevchenko, V.L. traveling salesman problem; route; route cost; reference solution; computational procedure; model; optimization; iterative method UDC 004.4:004.942 задача комівояжера; маршрут; вартість маршруту; опорне рішення; обчислювальна про цедура; модель; оптимізація; ітераційний метод УДК004.4:004.942 The article solves the problem of a traveling salesman for planning a flight of an unmanned aerial vehicle in the conditions of eliminating the consequences of an emergency. An approach is considered that uses a combination of the nearest point method to create a reference solution and a number of methods of local variations of route points to improve the reference solution. The following methods are included in the reference solution improvement scenario: 1. 1PM - moving 1 point, 2. 2PE - exchanging places of 2 points and 3. DC - eliminating intersections of route segments. When improving the reference solution, the best result is obtained by combining several methods. The quality of route improvement depends on the type of route and the scenario (the set and sequence of methods included in the scenario). The results of the analysis of different scenarios of using reference solution improvement methods are summarized in the form of ordinary graphs and heat diagrams. Route maps are constructed for different scenarios of improving the reference solution. The most effective combinations of methods in the scenarios were 1-3, 3-1, 1-1. The worst combinations: 2-2 and complete repetitions of other methods 1-1-1, 2-2-2, 3-3-3. The magnitude of the gain in improving the quality of the route varied in the range from 1 to 28%, in most cases from 6 to 19%. This required from 2 to 24 iterations, in most cases from 20 to 24 iterations. The Euclidean distance, the hazard coefficient and the Euclidean distance with a multiplier in the form of a logistic function of the hazard coefficient were considered as the cost of the route. The method is designed for the limited computational capabilities of conventional business computers. When iteratively refining the solution, the methodological approach allows you to control the computational procedure in real time and complete it either upon reaching the specified accuracy or when time runs out. The model is created in the algorithmic language Matlab.Prombles in programming 2025; 3: 19-28 В статті розв’язується задача комівояжера для планування польоту безпілотного літального апарату в умовах усунення наслідків надзвичайної ситуації. Розглянутий підхід використовує комбінацію методу найближчої точки для створення опорного рішення і низки методів локальних варіацій точок маршруту для покращення опорного рішення. В сценарій покращення опорного рішення включені методи: 1. 1PM- переміщення 1 точки, 2. 2PE- обміну місцями 2 точок і 3. DC-усунення перехрещення відрізків марш руту. У разі поліпшення опорного рішення кращий результат дає комбінація декількох методів. Якість покращення маршруту залежить від виду маршруту та від сценарію (набору і послідовності методів, включених у сценарій). Результати аналізу різних сценаріїв використання методів покращення опорного рішення узагальнені у вигляді звичайних графіків і теплових діаграм. Побудовані карти маршрутів для різних сценаріїв покращення опорного рішення. Найбільш результативними комбінаціями методів у складі сценаріїв виявилися 1-3, 3-1, 1-1. Найгірші комбінації: 2-2 та повні повтори інших методів 1-1-1, 2-2-2, 3-3-3. Величина виграшу щодо покращення якості маршруту змінювалась у діапазоні від 1 до 28%, в більшості випадків від 6 до 19%. Це потребувало від 2 до 24 ітерацій, в більшості випадків від 20 до 24 ітерацій. Як вартість маршруту були розглянуті Евклідова відстань, коефіцієнт небезпеки та Евклідова відстань з мультиплікатором у вигляді логістичної функції від коефіцієнту небезпеки. Метод розрахова ний на обмежені обчислювальні можливості звичайних бізнес-комп’ютерів. За умови ітераційного уточ нення рішення методичний підхід дозволяє в реальному масштабі часу контролювати обчислювальну процедуру і завершувати її або по досягненні заданої точності, або у разі вичерпання часу. Модель ство рена алгоритмічною мовою Матлаб.Prombles in programming 2025; 3: 19-28 PROBLEMS IN PROGRAMMING ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ 2025-11-14 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/855 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 3 (2025); 19-28 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 3 (2025); 19-28 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 3 (2025); 19-28 1727-4907 uk https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/855/906 Copyright (c) 2025 PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| institution |
Problems in programming |
| baseUrl_str |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai |
| datestamp_date |
2025-11-14T22:05:14Z |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| topic |
traveling salesman problem route route cost reference solution computational procedure model optimization iterative method UDC 004.4:004.942 |
| spellingShingle |
traveling salesman problem route route cost reference solution computational procedure model optimization iterative method UDC 004.4:004.942 Derevianko, E.M. Shevchenko, V.L. Determination of the optimal set of methods for iterative improvement of the reference route |
| topic_facet |
traveling salesman problem route route cost reference solution computational procedure model optimization iterative method UDC 004.4:004.942 задача комівояжера маршрут вартість маршруту опорне рішення обчислювальна про цедура модель оптимізація ітераційний метод УДК004.4:004.942 |
| format |
Article |
| author |
Derevianko, E.M. Shevchenko, V.L. |
| author_facet |
Derevianko, E.M. Shevchenko, V.L. |
| author_sort |
Derevianko, E.M. |
| title |
Determination of the optimal set of methods for iterative improvement of the reference route |
| title_short |
Determination of the optimal set of methods for iterative improvement of the reference route |
| title_full |
Determination of the optimal set of methods for iterative improvement of the reference route |
| title_fullStr |
Determination of the optimal set of methods for iterative improvement of the reference route |
| title_full_unstemmed |
Determination of the optimal set of methods for iterative improvement of the reference route |
| title_sort |
determination of the optimal set of methods for iterative improvement of the reference route |
| title_alt |
Визначення оптимального набору методів ітераційного покращення опорного маршруту |
| description |
The article solves the problem of a traveling salesman for planning a flight of an unmanned aerial vehicle in the conditions of eliminating the consequences of an emergency. An approach is considered that uses a combination of the nearest point method to create a reference solution and a number of methods of local variations of route points to improve the reference solution. The following methods are included in the reference solution improvement scenario: 1. 1PM - moving 1 point, 2. 2PE - exchanging places of 2 points and 3. DC - eliminating intersections of route segments. When improving the reference solution, the best result is obtained by combining several methods. The quality of route improvement depends on the type of route and the scenario (the set and sequence of methods included in the scenario). The results of the analysis of different scenarios of using reference solution improvement methods are summarized in the form of ordinary graphs and heat diagrams. Route maps are constructed for different scenarios of improving the reference solution. The most effective combinations of methods in the scenarios were 1-3, 3-1, 1-1. The worst combinations: 2-2 and complete repetitions of other methods 1-1-1, 2-2-2, 3-3-3. The magnitude of the gain in improving the quality of the route varied in the range from 1 to 28%, in most cases from 6 to 19%. This required from 2 to 24 iterations, in most cases from 20 to 24 iterations. The Euclidean distance, the hazard coefficient and the Euclidean distance with a multiplier in the form of a logistic function of the hazard coefficient were considered as the cost of the route. The method is designed for the limited computational capabilities of conventional business computers. When iteratively refining the solution, the methodological approach allows you to control the computational procedure in real time and complete it either upon reaching the specified accuracy or when time runs out. The model is created in the algorithmic language Matlab.Prombles in programming 2025; 3: 19-28 |
| publisher |
PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| publishDate |
2025 |
| url |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/855 |
| work_keys_str_mv |
AT dereviankoem determinationoftheoptimalsetofmethodsforiterativeimprovementofthereferenceroute AT shevchenkovl determinationoftheoptimalsetofmethodsforiterativeimprovementofthereferenceroute AT dereviankoem viznačennâoptimalʹnogonaborumetodívíteracíjnogopokraŝennâopornogomaršrutu AT shevchenkovl viznačennâoptimalʹnogonaborumetodívíteracíjnogopokraŝennâopornogomaršrutu |
| first_indexed |
2025-11-15T02:08:50Z |
| last_indexed |
2025-11-15T02:08:50Z |
| _version_ |
1848911116747407360 |
| fulltext |
Комп’ютерне моделювання
19
УДК 004.4:004.942 https://doi.org/10.15407/pp2025.03.019
Є.М. Дерев’янко, В.Л. Шевченко
ВИЗНАЧЕННЯ ОПТИМАЛЬНОГО НАБОРУ
МЕТОДІВ ІТЕРАЦІЙНОГО ПОКРАЩЕННЯ ОПОРНОГО
МАРШРУТУ
В статті розв’язується задача комівояжера для планування польоту безпілотного літального апарату в
умовах усунення наслідків надзвичайної ситуації. Розглянутий підхід використовує комбінацію методу
найближчої точки для створення опорного рішення і низки методів локальних варіацій точок маршруту
для покращення опорного рішення. В сценарій покращення опорного рішення включені методи: 1. 1PM
- переміщення 1 точки, 2. 2PE - обміну місцями 2 точок і 3. DC -усунення перехрещення відрізків марш-
руту. У разі поліпшення опорного рішення кращий результат дає комбінація декількох методів. Якість
покращення маршруту залежить від виду маршруту та від сценарію (набору і послідовності методів,
включених у сценарій). Результати аналізу різних сценаріїв використання методів покращення опорного
рішення узагальнені у вигляді звичайних графіків і теплових діаграм. Побудовані карти маршрутів для
різних сценаріїв покращення опорного рішення. Найбільш результативними комбінаціями методів у
складі сценаріїв виявилися 1-3, 3-1, 1-1. Найгірші комбінації: 2-2 та повні повтори інших методів 1-1-1,
2-2-2, 3-3-3. Величина виграшу щодо покращення якості маршруту змінювалась у діапазоні від 1 до 28%,
в більшості випадків від 6 до 19%. Це потребувало від 2 до 24 ітерацій, в більшості випадків від 20 до 24
ітерацій. Як вартість маршруту були розглянуті Евклідова відстань, коефіцієнт небезпеки та Евклідова
відстань з мультиплікатором у вигляді логістичної функції від коефіцієнту небезпеки. Метод розрахова-
ний на обмежені обчислювальні можливості звичайних бізнес-комп’ютерів. За умови ітераційного уточ-
нення рішення методичний підхід дозволяє в реальному масштабі часу контролювати обчислювальну
процедуру і завершувати її або по досягненні заданої точності, або у разі вичерпання часу. Модель ство-
рена алгоритмічною мовою Матлаб.
Ключові слова: задача комівояжера, маршрут, вартість маршруту, опорне рішення, обчислювальна про-
цедура, модель, оптимізація, ітераційний метод.
Ye. Derevianko, V. Shevchenko
DETERMINATION OF THE OPTIMAL SET
OF METHODS FOR ITERATIVE IMPROVEMENT
OF THE REFERENCE ROUTE
The article solves the problem of a traveling salesman for planning a flight of an unmanned aerial vehicle in the
conditions of eliminating the consequences of an emergency. An approach is considered that uses a combination
of the nearest point method to create a reference solution and a number of methods of local variations of route
points to improve the reference solution. The following methods are included in the reference solution
improvement scenario: 1. 1PM - moving 1 point, 2. 2PE - exchanging places of 2 points and 3. DC - eliminating
intersections of route segments. When improving the reference solution, the best result is obtained by combining
several methods. The quality of route improvement depends on the type of route and the scenario (the set and
sequence of methods included in the scenario). The results of the analysis of different scenarios of using reference
solution improvement methods are summarized in the form of ordinary graphs and heat diagrams. Route maps
are constructed for different scenarios of improving the reference solution. The most effective combinations of
methods in the scenarios were 1-3, 3-1, 1-1. The worst combinations: 2-2 and complete repetitions of other
methods 1-1-1, 2-2-2, 3-3-3. The magnitude of the gain in improving the quality of the route varied in the range
from 1 to 28%, in most cases from 6 to 19%. This required from 2 to 24 iterations, in most cases from 20 to 24
iterations. The Euclidean distance, the hazard coefficient and the Euclidean distance with a multiplier in the form
of a logistic function of the hazard coefficient were considered as the cost of the route. The method is designed
for the limited computational capabilities of conventional business computers. When iteratively refining the
solution, the methodological approach allows you to control the computational procedure in real time and
complete it either upon reaching the specified accuracy or when time runs out. The model is created in the
algorithmic language Matlab.
Keywords: traveling salesman problem, route, route cost, reference solution, computational procedure, model,
optimization, iterative method.
© Є.М.Дерев’янко, В.Л. Шевченко, 2025
ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2025. №3
Комп’ютерне моделювання
20
Вступ
В умовах надзвичайних ситуацій
для збереження життя людей широко за-
стосовують безпілотні літальні апарати
(БПЛА). БПЛА доставляють у небезпечні
зони рятувальні засоби, воду, їжу тощо.
БПЛА під час польоту може відвідувати
декілька точок маршруту з метою моніто-
рингу та доставки вантажів. Ресурс польо-
тного часу є обмеженим. Виникає задача
прокладання найкращого маршруту з ура-
хуванням дальності, перешкод, небезпек
та інших факторів. Задача побудови най-
кращого маршруту з урахуванням характе-
ристик (вартості) окремих ділянок марш-
руту є загальновідомою задачею комівоя-
жера SMP (Sales Man Problem). В цій задачі
комівояжер повинен побувати у всіх зада-
них точках і повернутися в точку старту.
Маршрут має бути прокладений так, щоб
його вартість була найменшою. Під час
надзвичайних ситуацій умови міняються
динамічно. Прорахувати наперед усі мар-
шрути неможливо. Потрібно мати змогу
оперативного розрахунку маршрутів на
звичайних бізнес-комп’ютерах на місці по-
дії. Таким чином, актуальною є задача опе-
ративного розрахунку оптимального мар-
шруту безпілотного літального апарату за
допомогою звичайних обчислювальних
засобів.
1. Аналіз існуючих
досліджень
Загальна проблематика викорис-
тання БПЛА розглянута в [1]. Але ця ро-
бота присвячена загальному аналізу стану
та перспектив розвитку БПЛА. Питання
побудови моделей оптимальних маршру-
тів розглянуті не були. Вперше задача ко-
мівояжера була розв’язана досить давно.
Для невеликих розмірностей задачі попу-
лярним є метод повного прямого перебору
або, як його ще називають, метод грубої
сили (Brute Force) [2, 3]. На жаль, метод
споживає багато обчислювальних ресур-
сів, має обчислювальну складність (n-1)! і
ефективно працює лише у випадку, якщо
кількості точок маршруту не більше 10.
Розвитком методів повного прямого пере-
бору є методи впорядкованого перебору,
наприклад, метод дискретного динаміч-
ного програмування (алгоритм Хелд-Ка-
рпа) [4, 5], з обчислювальною складністю
n^2 * 2^n. Недолік – високе споживання
пам’яті і обмеження кількості точок у мар-
шруті – до 25. Методи цілочисельного лі-
нійного програмування мають гарну мате-
матичну формалізацію. Але вимагають сті-
льки ж або ще більше обчислювальних ре-
сурсів. Ефективність методів зростає за об-
межень, які ведуть до зниження порядку
моделі (branch-and-bound метод) [6].
Як вже було сказано вище, рішення
має бути отримане оперативно. В такій си-
туації компромісною поступкою може
бути точність рішення. Дуже добре для
практичної справи, якщо максимально
швидко отримати якесь опорне (набли-
жене) рішення, яке потім можна покращу-
вати в рамках доступних обчислювальних
та часових ресурсів. Швидкими є жадібні
алгоритми [6-8]. Недолік - низька точність.
Похибка може сягати до 25-45%. Пода-
льше покращення опорного рішення мо-
жна виконувати за допомогою генетичних,
мурашиних алгоритмів, алгоритмів від-
палу [7, 8]. Недолік - складність отримання
готових рішень на кожній ітерації. Потріб-
ний час на налаштування процесу еволю-
ції. Найбільш сучасним вважається вико-
ристання нейронних мереж [8-10]. Недолік
–ненаочність процесу оптимізації.
В [11] маршрут будували за допо-
могою жадібного алгоритму (Nearest Point
Method - Метод найближчої точки). Ни-
зька якість результату стала розплатою за
оперативність. В [12, 13] так само знахо-
диться спочатку опорне рішення. Але по-
тім це рішення уточняється за допомогою
локальних варіацій маршруту різними ме-
тодами (1PM - переміщення 1 точки, 2PE -
обмін місцями 1 точок, DC - усунення пе-
рехрещень відрізків). Із цих методів лока-
льних варіацій формувався стек послідов-
них методів (сценарій), який повторювався
декілька разів доти, поки покращення рі-
шень припинялося. Недолік – евристич-
ність сценарію без обґрунтування.
Комп’ютерне моделювання
21
Недоліки розглянутих методів:
1. Висока обчислювальна складність
обмежує кількість точок маршруту.
2. Складність використання в польо-
вих умовах надзвичайної ситуації на зви-
чайних комп’ютерах.
3. Ненаочність проміжних результа-
тів пошуку рішення і неможливість штат-
ного припинення ітераційної процедури по-
кращення рішення за умови вичерпання
часу.
4. Евристичність сценаріїв покра-
щення опорних рішень.
Раціональним шляхом подолання
даних недоліків є створення опорного рі-
шення (перевага - швидкість) та подальше
його уточнення за допомогою набору мето-
дів локальних варіацій (перевага - наоч-
ність та можливість зупинки ітерації без
втрати проміжного рішення).
Метою статті є покращення якості
маршрутів БПЛА за допомогою ітерацій-
ного покращення опорного рішення набо-
ром методів локальних варіацій, зміст якого
буде обґрунтовуватися на основі статис-
тики успішності рішень.
2. Побудова опорного маршруту
Опорний маршрут створюємо за до-
помогою жадібного алгоритму методу най-
ближчої точки. Далі опорний маршрут уто-
чнюється за допомогою методів локальних
варіацій. За критерій якості рішення вико-
ристовується вартість маршруту, яка дорів-
нює сумі вартостей всіх ділянок маршруту
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∑ Cost(𝑖𝑖, 𝑖𝑖 − 1),
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅,
𝑖𝑖=2,𝑁𝑁
де 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶𝐶 – множина номерів точок мар-
шруту, які упорядковані за послідовністю
проходженням маршруту, 𝑁𝑁 – загальна кіль-
кість точок маршруту, 𝑖𝑖 – номер точки мар-
шруту.
Найчастіше як вартість проходження діля-
нки маршруту використовують Евклідову
відстань
Cost(𝑖𝑖, j) =
= 𝐷𝐷𝑅𝑅(𝑖𝑖, j) = √(𝑥𝑥i − 𝑥𝑥𝑗𝑗)2 + (𝑦𝑦i − 𝑦𝑦𝑗𝑗)2,
де 𝑖𝑖, j - номери точок, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 - координати
точок.
У загальному випадку крім відстані
для обрахунку вартості ділянки маршруту
можна використати показники у вигляді
втрат або витрат певних ресурсів: заряд ба-
тареї, паливо, амортизація БПЛА. Також
не включається ймовірність певних подій:
пошкодження або втрати БПЛА, невико-
нання завдання, втрати вантажу, інциден-
тів льотного та іншого характеру. Більшу
кількість факторів, що були перелічені,
можна узагальнити під єдиним показни-
ком – коефіцієнт небезпеки 𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻. Для
ділянки маршруту між кожною парою то-
чок 𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻(𝑖𝑖, j) має своє значення, яке для
зручності оцінюємо числами в діапазоні
від 0 до 100. На основі величини рівня не-
безпеки формується мультиплікатор відс-
тані, який знаходимо за допомогою логіс-
тичної функції [14] (рис.1)
𝑅𝑅𝑆𝑆(𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻(𝑖𝑖, j)) =
= 𝑑𝑑 + 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑
1 + 𝐶𝐶−2
𝑇𝑇(𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻(𝑖𝑖,j)−𝑠𝑠)
,
де 𝑎𝑎, 𝑑𝑑 – асимптоти, 𝑇𝑇 – постійна аргументу
логістичної залежності, 𝐶𝐶 – точка симетрії,
[d a T s] = [ 1 5 12 70 ].
Залежність вартості ділянки марш-
руту з урахуванням небезпеки має вигляд
Cost𝐻𝐻(𝑖𝑖, j) = 𝑅𝑅𝑆𝑆(𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻(𝑖𝑖, j)) 𝐷𝐷𝑅𝑅(𝑖𝑖, j).
Для пришвидшення моделювання
матриці Cost, 𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻, Cost𝐻𝐻 для всіх мож-
ливих пар точок маршруту (рис.2, 3) були
розраховані до початку моделювання.
Рис. 1. Логістична залежність муль-
типлікатора вартості залежно від коефіціє-
нта небезпеки 𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻
Комп’ютерне моделювання
22
Рис. 2. Теплова карта масиву відста-
ней Cost
Рис. 3. Теплова карта масиву відста-
ней Cost𝐻𝐻 з урахуванням коефіцієнту небе-
зпеки 𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝑧𝑧𝐻𝐻𝑧𝑧𝑧𝑧
3. Локальні варіації маршруту
1PM (1 Point Moving) метод перемі-
щення 1 точки полягає в тому, що кожну то-
чку по черзі пробуємо перемістити на всі
можливі нові позиції. Якщо вартість нового
маршруту менша, то таке переміщення за-
кріплюється. Якщо ні, то відкидається. Де-
які покращення маршруту вимагають пере-
міщення декількох точок або переміщення
однієї точки декілька разів у комбінації з ін-
шими точками. Тому процедура 1PM по-
вторюється декілька разів. Але і в цьому ви-
падку можуть бути такі розташування то-
чок, що із них немає переходу до оптималь-
ного рішення лише за допомогою методу
1PM. Для виходу із такого тупика потрібно
додатково використати якийсь інший ме-
тод. Комбінація методів мінімізує тупикові
ситуації і підвищує якість рішень.
2PE (2 Point Exchange Method) ме-
тод обміну місцями двох точок маршруту.
Аналогічно до попереднього методу аналі-
зуються всі можливі варіанти пар обмінів.
Недоліком є те, що оптимальність рішення
залежить від порядку розгляду пар обмінів.
Тому цей метод також повторюється декі-
лька разів у циклі і комбінується з іншими
методами. Метод 2PE, як і 1PM, поряд з по-
кращеннями може утворювати перехре-
щення ділянок маршрутів, що є ознакою не-
достатньої якості маршруту. Для усунення
перехрещень використовується окремий
метод.
DC (Delete Crossing) метод усуває
перехрещення ділянок маршруту від пер-
винного стану (рис.4) до нового стану
(рис.5). І перевага, і недолік методу в тому,
що він шукає виключно перехрещення. Пе-
ревага в тому, що він це робить ефективно.
Недолік в тому, що усунення одного перех-
рещення може утворювати інше. Крім того,
метод не контролює інші негаразди марш-
руту. Тому цей метод повторюється у влас-
ному циклі, а також комбінується з іншими
методами. Аналітичні викладки щодо вияв-
лення та усунення перехрещень детально
розглянуті в [12, 13].
Рис. 4. Ділянки маршруту i1-i2 та i3-
i4 до усунення перехрещення
Рис. 5. Ділянки маршруту i1-i3 та i2-
i4 після усунення перехрещення
Доведемо, що таке перетворення
веде до зменшення довжини маршруту.
Довжини катетів менше довжини гі-
потенузи (рис.6)
1
N=end
i1
i4
i3
i2
p5
1
N=end
i1
i4
i3
i2
1
Комп’ютерне моделювання
23
𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐵𝐵 < 𝐴𝐴𝐵𝐵 .
Додаємо праві і ліві частини нерів-
ностей
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐵𝐵 < 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐵𝐵,
𝐴𝐴𝐵𝐵 < 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐵𝐵.
Це підтверджує, що довжина сто-
рони трикутника менша за суму інших сто-
рін.
Рис. 6. Співвідношення сторін три-
кутника
Із цього випливає (рис.7), що
𝑖𝑖1𝑖𝑖3 < 𝑖𝑖1𝑝𝑝5 + 𝑝𝑝5𝑖𝑖3,
𝑖𝑖4𝑖𝑖2 < 𝑖𝑖4𝑝𝑝5 + 𝑝𝑝5𝑖𝑖2.
Додаємо праві та ліві частини нерів-
ностей
𝑖𝑖1𝑖𝑖3 + 𝑖𝑖4𝑖𝑖2 < (𝑖𝑖1𝑝𝑝5 + 𝑝𝑝5𝑖𝑖2) + (𝑖𝑖4𝑝𝑝5 + 𝑝𝑝5𝑖𝑖3),
𝑖𝑖1𝑖𝑖3 + 𝑖𝑖4𝑖𝑖2 < 𝑖𝑖1𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖4𝑖𝑖3.
Сума неперехрещених ділянок
𝑖𝑖1𝑖𝑖3 + 𝑖𝑖4𝑖𝑖2 менша за суму перехрещених ді-
лянок 𝑖𝑖1𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖4𝑖𝑖3 .
Рис. 7. Доведення виграшу від усу-
нення перехрещення ділянок маршруту
Як і в попередніх методах, метод DC
треба повторювати декілька разів і викори-
стовувати сумісно з іншими методами.
Загальний алгоритм ітераційного
уточнення опорного маршруту.
1. Побудова опорного маршруту ме-
тодом найближчого сусіда (NPM,Nearest
Point Method).
2. Уточнення опорного маршруту.
2.1. Завантаження сценарію – комбі-
нації методів локальних варіацій точок ма-
ршруту.
2.2. Цикл сценарію: повтор сценарію
локальних варіацій у циклі.
2.2.1. Вибір наступного методу зі
сценарію.
2.2.2. Цикл методу: повтор застосу-
вання поточного методу із сценарію.
2.2.3. Перевірка умови зупинки іте-
раційної процедури застосування методу
(відсутність змін на 2 останніх ітераціях).
Якщо умова виконана, то перехід на п.2.2.1.
2.2.4. Перевірка виконання заданої
кількості ітерацій методу. Якщо умова не
виконана, то повернення на етап 2.2.2.
2.2.5. Вихід із циклу методів.
2.3. Перевірка умови зупинки ітера-
ційної процедури застосування сценарію
(відсутність змін на 6 останніх ітераціях).
Якщо умова не виконана, то повернення на
етап 2.2.
2.4. Перевірка виконання заданої кі-
лькості ітерацій сценарію. Якщо умова не
виконана, то повернення на етап 2.2.
2.5. Вихід із циклу сценарію.
3. Уточнення опорного маршруту за-
вершене.
4. Пошук найкращої комбінації
методів локальних варіацій
у складі сценарію
Закодуємо методи локальних варіа-
цій числами 1. 1PM, 2. 2PE, 3. DC. Сфор-
муємо сценарії довжиною 3 методи із всіх
можливих комбінацій трьох методів, розг-
лянутих вище. Всього буде 3*3*3 = 27 варі-
анти. Сценарії були апробовані на вибірці
на 30 різних наборах із 50 точок маршрутів,
сформованих випадковим чином. Максима-
льне число повторів сценаріїв дорівнювало
4, максимальне число повторів методів у
межах сценаріїв – 7. Окремі приклади ре-
зультатів удосконалення опорних рішень
представлені на рис. 8-10.
DA
C
B
1 i1
i4
i3
i2
p5
Комп’ютерне моделювання
24
Рис. 8. Результати покращення маршруту
для сценарію 14 (найгірша якість)
Рис. 9. Результати покращення маршруту
для сценарію 6 (середня якість)
Тут подвійне червоне коло позначає
точку старту (вона ж точка фінішу) марш-
руту. Опорний маршрут, створений за допо-
могою методу найближчого сусіда показа-
ний синьою лінією. Покращений маршрут –
червоною лінією. Сценарій 14 (методи [2 2
2]) надав одне із найгірших рішень (рис.8).
Сценарій 6 (методи [1 2 3]) забезпечив сере-
дню якість (рис. 9). Сценарій 19 (методи [3 1
1]) надав найкращий результат (рис. 10).
Рис. 10. Результати покращення маршруту
для сценарію 19 (найкращій результат)
Величина виграшу оцінювалась у
відсотках відносно опорного рішення
𝐶𝐶𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 =
= (𝐶𝐶𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 − 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆
𝐶𝐶𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁
)100%,
де 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 вартість опорного маршруту,
𝐶𝐶𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 вартість маршруту, що був по-
кращений за допомогою поточного сцена-
рію. На рис.11 по вертикалі наведені но-
мери (ліворуч) та зміст методів сценаріїв
(праворуч). По горизонталі – виграш кож-
ного сценарію. Одна лінія відповідає од-
ному варіанту набору точок маршруту.
Рис.11 показує, що сценарії мають свої осо-
бливості щодо спроможності покращувати
опорне рішення незалежно від варіанту ма-
ршруту. Різні маршрути мають різний поте-
нціал удосконалення. Рис.12 доповнений
даними щодо кількості потрібних ітерацій.
Найбільша кількість пар сценарій-
маршрут потребувала від 20 до 24 ітерацій.
Усі пари - від 2 до 24. Величина виграшу в
більшості випадків змінюється від 6 до
19%. Повний діапазон зміни величини ви-
грашу від 1 до 28%. Лінійна регресія пока-
зує залежність виграшу від кількості ітера-
цій. Більш детально розподіл величини ви-
грашу за конкретними номерами сценарію
(ScenarioNumber) та номерами маршруту
(TestNumber) показує теплова карта на
рис.13.
Рис. 11. Результативність покра-
щення рішень для сценаріїв та маршрутів
Комп’ютерне моделювання
25
Рис. 12. Результативність покра-
щення опорних рішень залежно від кілько-
сті ітерацій
Рис. 13. Теплова карта виграшу зале-
жно від номера сценарію (ScenarioNumber)
та варіанта маршруту (TestNumber)
Аналіз отриманих даних виявив, що
найкращі результати показували сценарії, в
яких 1 (метод 1) перебуває на першій пози-
ції. Трохи гірші, але теж непогані резуль-
тати давали сценарії, в яких 1 перебуває на
останній позиції. У будь-яких позиціях сце-
нарію метод 1 працює найкраще, а метод 2
– найгірше. Водночас треба враховувати і
зв’язки методів. Наприклад, метод 3 сут-
тєво покращує свою ефективність у зв’язці
з методом 1. Рейтинг пар методів на пер-
шій-другій позиції або на другій-третій по-
зиції: найкращі в порядку рейтингу 1-3, 3-1,
1-1, найгірша пара 2-2. Повтор будь-яких
методів 1-1-1, 2-2-2, 3-3-3 зменшує різнома-
ніття, що суттєво погіршує результат.
В цілому метод 1 є домінуючим – пі-
двищує ефективність сценарію. Дуже силь-
ними є зв’язки 1-3, 3-1. Метод 2 майже зав-
жди послаблює сценарій. Але він потрібний
для швидкого усунення конкретної про-
блеми – перехрещення ділянок. І він може
бути покращений через розташування по-
ряд методу 1 або 3.
Висновки
В роботі розглядається розв’язання
задачі комівояжера для планування по-
льоту безпілотного літального апарату в
умовах усунення наслідків надзвичайної
ситуації.
Розглянутий підхід, що використо-
вує комбінацію методу найближчої точки
для створення опорного рішення і низки
методів локальних варіацій точок марш-
руту для покращення опорного рішення. В
сценарій покращення опорного рішення
включені такі методи: 1. 1PM - перемі-
щення 1 точки, 2. 2PE - обміну місцями 2
точок і 3. DC -усунення перехрещення від-
різків маршруту.
Для поліпшення опорного рішення
кращий результат дає комбінація декількох
методів. Покращення якості маршруту за-
лежить від виду маршруту та від сценарію,
тобто від набору і послідовності методів,
включених до сценарію.
Результати аналізу різних сценаріїв
використання методів покращення опор-
ного рішення були узагальнені у вигляді
звичайних графіків і теплових діаграм.
Були побудовані карти маршрутів для різ-
них сценаріїв покращення опорного рі-
шення.
Найбільш результативними комбі-
націями методів у складі сценаріїв вияви-
лися 1-3, 3-1, 1-1. Найгірші комбінації: 2-2
та повні повтори інших методів 1-1-1, 2-2-
2, 3-3-3.
Величина виграшу щодо покра-
щення якості маршруту змінювалась у діа-
пазоні від 1 до 28%, в більшості випадків
від 6 до 19%. Це потребувало від 2 до 24 іте-
рацій, в більшості випадків від 20 до 24 іте-
рацій.
Як вартість маршруту були розгля-
нуті Евклідова відстань, коефіцієнт небез-
пеки та Евклідова відстань з мультипліка-
тором у вигляді логістичної функції від ко-
ефіцієнту небезпеки.
Метод розрахований на обмежені
обчислювальні можливості звичайних біз-
Комп’ютерне моделювання
26
нес-комп’ютерів. За умови ітераційного
уточнення рішення методичний підхід до-
зволяє в реальному масштабі часу контро-
лювати обчислювальну процедуру і завер-
шувати її або після досягнення заданої точ-
ності, або у разі вичерпання часу.
Напрямами подальших досліджень є
розширення методів уточнення і їх спряму-
вання на конкретні вади маршрутів, які мо-
жуть бути діагностовані перед запуском ме-
тодів.
Література
1. Мосов С.П. (2024) Роїння дронів військо-
вого призначення: реалії та перспективи.
Збірник наукових праць Центру воєнно-
стратегічних досліджень Національного
університету оброни України, 2024, №1
(80), с.77-86. DOI:
https://doi.org/10.33099/2304-2745/2024-1-
80/77-86.
2. Dika Setyo Nugroho, Ahmad Ilham. Brute
force algorithm application for solving travel-
ing salesman problem (tsp) in semarang city
tourist destinations. Jurnal Komputer dan
Teknologi Informasi. Vol. 1, No. 2, Bulan
2023, pp. 79-86x. E-ISSN: 2986-7592, DOI:
10.26714/jkti.v3i1.13957. https://jurnal.uni-
mus.ac.id/index.php/JKTI/arti-
cle/view/16196/pdf
3. Gohil, A., Tayal, M., Sahu, T., and Sawalpur-
kar, V., “Travelling Salesman Problem: Paral-
lel Implementations & Analysis”, arXiv e-
prints, Art. no. arXiv:2205.14352, 2022.
doi:10.48550/arXiv.2205.14352.
https://arxiv.org/abs/2205.14352
4. Parjadis, A., Bessiere, C., & Hebrard, E.
(2024). Learning Lagrangian multipliers for
the Travelling Salesman Problem. Proceedings
of the 30th International Conference on
Principles and Practice of Constraint
Programming (CP 2024), 22.
https://drops.dagstuhl.de/stor-
age/00lipics/lipics-vol307-
cp2024/LIPIcs.CP.2024.22/LIPIcs.CP.2024.2
2.pdf?utm_source=chatgpt.com
5. Alanzi, E., Borchate, A., & co-authors. (2025).
Solving the traveling salesman problem with
machine learning: A review of recent advances
and challenges. Artificial Intelligence Review.
Advance online publication.
https://doi.org/10.1007/s10462-025-11267-x
https://www.researchgate.net/publica-
tion/392404863_Solving_the_traveling_sales-
man_problem_with_machine_learning_a_re-
view_of_recent_advances_and_chal-
lenges?utm_source=chatgpt.com
6. Nataliya Boyko. An Overview of Existing
Methods for Solving the Travelling Salesman
Problem in Order to Find the Optimal Solution
for Economic Problems. European scientific
journal of Economic and Financial innovation.
№1(7) (2021). DOI:
http://doi.org/10.32750/2021-0108.
https://www.google.com/url?sa=t&source=we
b&rct=j&opi=89978449&url=https://journal.e
ae.com.ua/index.php/journal/article/download
/129/115/&ved=2ahUKEwjMnq-
k0ZuNAxWyExAIHZqeG8QQFnoECB8QA
Q&usg=AOvVaw0OzPk2F2kE3LoWlAP23r
NG
7. Skakalina, O., & Kapiton, A. (2024).
Comparative Analysis of Heuristic Algorithms
for Solving the TSP. Системи управління, на-
вігації та зв’язку. DOI:
10.26906/SUNZ.2024.2.144.
https://www.researchgate.net/publication/380
870329_COMPARATIVE_ANALYSIS_OF_
THE_APPLICATION_OF_HEURISTIC_AL
GORITHMS_FOR_SOLVING_THE_TSP_P
ROBLEM
8. Ivashchenko, H., Onyshchenko, O.,
Bondarenko, M., & Zdoryk, N. (2024).
Methods for Solving the Traveling Salesman
Problem Based on Computational Intelligence.
Systems of Control and Navigation. DOI:
10.26906/SUNZ.2024.2.099
9. Yimeng Min, Yiwei Bai, Carla P Gomes.
Unsupervised Learning for Solving the
Travelling Salesman Problem. 37th
Conference on Neural Information Processing
Systems (NeurIPS 2023). 21 Sept 2023.
https://openreview.net/forum?id=lAEc7aIW2
0¬eId=nfxOn45gNM
10. Шевченко В.Л. Імітаційне моделювання.
Математичне моделювання процесів:
Навч.посібник. / [В.І. Мірненко, В.Л.Шев-
ченко, Д.С.Берестов, Р.М.Федоренко,
А.В.Шевченко]; за ред. В.Л.Шевченка. – К.:
КНУ ім.Т.Шевченка, 2020.– 164 с.
11. Igor Sіnitsyn, Yevhen Derevianko, Stanislav
Denysyuk, Volodymyr Shevchenko,
Optimizing Reference Routes through
Waypoint Sequence Variation in Emergency
Events of Natural and Technological Origin,
in: Proceedings of the Cybersecurity Providing
in Information and Telecommunication
Systems II (CPITS-II 2024), Kyiv, Ukraine,
October 26, 2024 (online), CEUR Workshop
Proceedings, ISSN 1613-0073, 2024, Vol-
Комп’ютерне моделювання
27
3826, pp. 505-512, https://ceur-ws.org/Vol-
3826/short20.pdf
12. Yevhen Derevianko, Nikita Krupa, Volodymyr
Shevchenko, Viktor Shevchenko.Statistical
Characteristics of the Reference Route
Improvement Procedure Using a Stack of
Iterative Methods // Proceedings of the
Workshop on Intelligent Information
Technologies (UkrPROG-IIT 2025), 15-th
International Scientific and Practical
Programming Conference, Kyiv, Ukraine,
May 13-14, 2025, ISSN 1613-0073, 2025, Vol-
4049, pp. 68-78, https://ceur-ws.org/Vol-
4049/paper6.pdf
13. Volodymyr Shevchenko, Yevhen Derevianko,
Oleksii Korniienko, Viktor Shevchenko.
Improving the Reference Route Using a Stack
of Iterative Local Optimization Methods //
Proceedings of the 1st Workshop Software
Engineering and Semantic Technologies
(SEST 2025), Kyiv, Ukraine, May 13-14,
2025, ISSN 1613-0073, 2025, Vol-4053, pp.
218-226, https://ceur-ws.org/Vol-
4053/paper13.pdf
14. Шевченко В.Л. Оптимізаційне моделю-
вання в стратегічному плануванні.– К.:
ЦВСД НУОУ, 2011. -283с.
References
1. Mosov S.P. (2024) Swarming of military
drones: realities and prospects. Collection of
scientific papers of the Center for Military and
Strategic Studies of the National Defense Uni-
versity of Ukraine, 2024, №1 (80), с.77-86.
DOI: https://doi.org/10.33099/2304-
2745/2024-1-80/77-86.
2. Dika Setyo Nugroho, Ahmad Ilham. Brute
force algorithm application for solving travel-
ing salesman problem (tsp) in semarang city
tourist destinations. Jurnal Komputer dan
Teknologi Informasi. Vol. 1, No. 2, Bulan
2023, pp. 79-86x. E-ISSN: 2986-7592, DOI:
10.26714/jkti.v3i1.13957. https://jurnal.uni-
mus.ac.id/index.php/JKTI/arti-
cle/view/16196/pdf
3. Gohil, A., Tayal, M., Sahu, T., and Sawalpur-
kar, V., “Travelling Salesman Problem: Paral-
lel Implementations & Analysis”, arXiv e-
prints, Art. no. arXiv:2205.14352, 2022.
doi:10.48550/arXiv.2205.14352.
https://arxiv.org/abs/2205.14352
4. Parjadis, A., Bessiere, C., & Hebrard, E.
(2024). Learning Lagrangian multipliers for
the Travelling Salesman Problem. Proceedings
of the 30th International Conference on Princi-
ples and Practice of Constraint Programming
(CP 2024), 22. https://drops.dagstuhl.de/stor-
age/00lipics/lipics-vol307-
cp2024/LIPIcs.CP.2024.22/LIPIcs.CP.2024.2
2.pdf?utm_source=chatgpt.com
5. Alanzi, E., Borchate, A., & co-authors. (2025).
Solving the traveling salesman problem with
machine learning: A review of recent advances
and challenges. Artificial Intelligence Review.
Advance online publication.
https://doi.org/10.1007/s10462-025-11267-x
https://www.researchgate.net/publica-
tion/392404863_Solving_the_traveling_sales-
man_problem_with_machine_learning_a_re-
view_of_recent_advances_and_chal-
lenges?utm_source=chatgpt.com
6. Nataliya Boyko. An Overview of Existing
Methods for Solving the Travelling Salesman
Problem in Order to Find the Optimal Solution
for Economic Problems. European scientific
journal of Economic and Financial innovation.
№1(7) (2021). DOI:
http://doi.org/10.32750/2021-0108.
https://www.google.com/url?sa=t&source=we
b&rct=j&opi=89978449&url=https://jour-
nal.eae.com.ua/index.php/journal/arti-
cle/down-
load/129/115/&ved=2ahUKEwjMnq-
k0ZuNAxWyEx-
AIHZqeG8QQFnoECB8QAQ&usg=AOv-
Vaw0OzPk2F2kE3LoWlAP23rNG
7. Skakalina, O., & Kapiton, A. (2024). Compar-
ative Analysis of Heuristic Algorithms for
Solving the TSP. Системи управління,
навігації та зв’язку. DOI:
10.26906/SUNZ.2024.2.144. https://www.re-
searchgate.net/publication/380870329_COM-
PARATIVE_ANALYSIS_OF_THE_APPLI-
CATION_OF_HEURISTIC_ALGO-
RITHMS_FOR_SOLV-
ING_THE_TSP_PROBLEM
8. Ivashchenko, H., Onyshchenko, O.,
Bondarenko, M., & Zdoryk, N. (2024). Meth-
ods for Solving the Traveling Salesman Prob-
lem Based on Computational Intelligence. Sys-
tems of Control and Navigation. DOI:
10.26906/SUNZ.2024.2.099
9. Yimeng Min, Yiwei Bai, Carla P Gomes. Un-
supervised Learning for Solving the Travelling
Salesman Problem. 37th Conference on Neural
Information Processing Systems (NeurIPS
2023). 21 Sept 2023. https://open-
review.net/fo-
rum?id=lAEc7aIW20¬eId=nfxOn45gNM
10. Shevchenko V.L. Imitation modeling. Mathe-
matical modeling of processes: Study guide. /
[V.I. Mirnenko, V.L. Shevchenko, D.S.
Комп’ютерне моделювання
28
Berestov, R.M. Fedorenko, A.V. Shevchenko];
under the editorship V.L. Shevchenko. – K.:
KNU named after T. Shevchenko, 2020. –
164 p.
11. Igor Sіnitsyn, Yevhen Derevianko, Stanislav
Denysyuk, Volodymyr Shevchenko, Optimiz-
ing Reference Routes through Waypoint Se-
quence Variation in Emergency Events of Nat-
ural and Technological Origin, in: Proceedings
of the Cybersecurity Providing in Information
and Telecommunication Systems II (CPITS-II
2024), Kyiv, Ukraine, October 26, 2024
(online), CEUR Workshop Proceedings, ISSN
1613-0073, 2024, Vol-3826, pp. 505-512,
https://ceur-ws.org/Vol-3826/short20.pdf
12. Yevhen Derevianko, Nikita Krupa, Volodymyr
Shevchenko, Viktor Shevchenko.Statistical
Characteristics of the Reference Route Im-
provement Procedure Using a Stack of Itera-
tive Methods // Proceedings of the Workshop
on Intelligent Information Technologies
(UkrPROG-IIT 2025), 15-th International Sci-
entific and Practical Programming Conference,
Kyiv, Ukraine, May 13-14, 2025, ISSN 1613-
0073, 2025, Vol-4049, pp. 68-78, https://ceur-
ws.org/Vol-4049/paper6.pdf
13. Volodymyr Shevchenko, Yevhen Derevianko,
Oleksii Korniienko, Viktor Shevchenko. Im-
proving the Reference Route Using a Stack of
Iterative Local Optimization Methods // Pro-
ceedings of the 1st Workshop Software Engi-
neering and Semantic Technologies (SEST
2025), Kyiv, Ukraine, May 13-14, 2025, ISSN
1613-0073, 2025, Vol-4053, pp. 218-226,
https://ceur-ws.org/Vol-4053/paper13.pdf
14. Shevchenko V.L. Optimization modeling in
strategic planning.– K.: TsVSD NUOU, 2011.
-283p.
Одержано: 03.10.2025
Внутрішня рецензія отримана: 07.10.2025
Зовнішня рецензія отримана: 07.10.2025
Про авторів:
1Дерев’янко Євген Миколайович,
аспірант.
http://orcid.org/0000-0003-2949-8896
1Шевченко Віктор Леонідович,
д.т.н., професор.
http://orcid.org/0000-0002-9457-7454.
Місце роботи авторів:
1Інститут програмних систем
НАН України,
тел. +38-044-522-62-42
E-mail: gii2014@ukr.net
Сайт: www.iss.nas.gov.ua
|