Some aspects of formalization of the data and decomposition of D-operators of algebra of algorithms
Within the framework of the expanded algebra of algorithms the approach to formalization of the data is offered. Properties of the formalized data and some aspects of decomposition of D-operators are considered.Problems in programming 2009; 4: 3-10
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
PROBLEMS IN PROGRAMMING
2026
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/976 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Problems in programming |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Problems in programming| _version_ | 1867660247326261248 |
|---|---|
| author | Akulovskiy, V.G. |
| author_facet | Akulovskiy, V.G. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V.G. Akulovskiy",
"institution": "Academy of Customs Service of Ukraine"
}
] |
| author_sort | Akulovskiy, V.G. |
| baseUrl_str | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-10T11:10:03Z |
| description | Within the framework of the expanded algebra of algorithms the approach to formalization of the data is offered. Properties of the formalized data and some aspects of decomposition of D-operators are considered.Problems in programming 2009; 4: 3-10 |
| first_indexed | 2026-06-11T01:00:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теоретичні та методологічні основи програмування
3
УДК 519.683
В.Г. Акуловский
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ ДАННЫХ И ДЕ-
КОМПОЗИЦИЯ Д-ОПЕРАТОРОВ
В рамках расширенной алгебры алгоритмов предложен подход к формализации данных. Рассмотрены
свойства формализованных данных и некоторые аспекты декомпозиции Д-операторов.
Введение
Принципиально важная роль дан-
ных в программировании давно осознана
программистским сообществом (см. на-
пример, [1]), что нашло своё выражение в
формализации данных как для компиляции
программ, так и для разработки алгорит-
мов. Учитывая, что возможности формали-
зации данных в алгоритмике реализованы
далеко не полностью. В то же время реше-
ние этой задачи позволяет рассчитывать на
формализацию некоторых аспектов де-
композиции операторов, преобразование
алгоритмов, контроль их корректности и
т.д. на достаточно ранних стадиях разра-
ботки алгоритмов.
Предпосылкой и основой для вы-
полнения данной работы послужила
мысль, высказанная в [2], о том, что в из-
вестной модели ЭВМ В.М. Глушкова [3, 4]
в качестве множества состояний операци-
онного автомата могут рассматриваться
обрабатываемые алгоритмом данные.
Некоторым аспектам формализации
данных в рамках расширенной алгебры
алгоритмов [5], в которую введено поня-
тие взаимосвязи операторов и данных [6],
рассмотрены автором в [7, 8] и ранее по-
лученные результаты в данном случае бу-
дут уточняться и развиваться.
Цель данной работы – разработка
подхода к формализации данных на этапе
декомпозиции операторов, из которых
строится алгоритм в рамках алгебры алго-
ритмов.
Формализация данных
и Д-операторов
Исходя из предпосылки, сформули-
рованной во введении, будем полагать, что
информационное множество (множества
состояний операционного автомата) пред-
ставляет собой множество данных ∆ .
Для того чтобы определить понятие
данные, будем рассматривать их с той
точки зрения, что это совокупности ячеек
памяти iD , представляющие собой мно-
жество U
k
i
iD
1=
=∆ , которые могут прини-
мать некоторые множества значения I
jD
из конечного множества значений
U
k
i
D I
i
1=
=Ψ . Исходя из этого, определим
данные таким образом.
Определение 1. Данными будем
называть такое множество ячеек памяти,
для которых выполняется соотношение
ID
jDj ~ ( ∆⊆jD , Ψ⊆I
jD ), т. е. такое мно-
жество ячеек памяти jD , которому в одно-
значное соответствие поставлено множе-
ство значений I
jD . При этом одновремен-
но любому jD во взаимно однозначное
соответствие может быть поставлено одно
и только одно множество lD I
j
. При
∅=jD , будем считать, что ∅=I
jD .
Теперь, исходя из определения 1,
введем понятие Д-оператора, который из-
меняет состояние операционного автомата.
Определение 2. Д-оператор )()( DAD ′
преобразует множество входных данных
∆⊆D , которому в однозначное соответ-
ствие было поставлено множество значе-
ний II DlD ⊆ ( lDID~ ), в множество выход-
ных данных ∆⊆′D , которому во взаимно
однозначное соответствие ставится мно-
жество значений II DpD ′′ ⊆ ( pD ID ′′~ ). Мно-
© В.Г. Акуловский, 2009
ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2009. № 4
Теоретичні та методологічні основи програмування
4
жества входных D и выходных D′ дан-
ных могут быть пустыми.
Учитывая, что множества входных
и выходных данных могут быть пустыми,
Д-оператор вида )()( DA ′∅ будем называть
генерирующим, вида )()( ∅AD – неопреде-
ленным, а вида )()( ∅∅ A – тождественным.
Для дальнейшей формализации оп-
ределим структуру входных и выходных
данных Д-операторов.
Определение 3. Представим вход-
ные и выходные данные Д – оператора
)()( DAD ′ в виде следующих подмножеств:
- DDD
)
∪= ˆ , таких, что ∅=∩ DD
)ˆ
и ∅=′∩ DD
)
;
- DDD ′∪′=′ ~ˆ , таких, что
∅=′∩′ DD
~ˆ и ∅=∩′ DD
~
,
которые назовем: D
)
– исходные, D̂ , D ′ˆ –
проходные, D
~
– производные. При этом,
DDDD ′==′∩ ˆˆ . Любое из подмножеств,
образующих множества D и D′ (как и са-
ми эти множества) может быть пустым.
Из определения следуют приве-
денные далее свойства Д-операторов.
Исходные данные не появляются на
выходе Д-оператора и, таким образом, не
изменяются, производные данные не яв-
ляются входными, а продуцируются Д-
оператором и входят в состав выходных, а
множества проходных данных DD ⊆ˆ и
DD ′⊆′ˆ представляют собой одно мно-
жество ячеек памяти, по-разному обозна-
ченное на входе и выходе Д-оператора. То
есть, эти данные, присутствующие на вхо-
де, изменяются, после чего входят в состав
выходных. Для множеств D и D′ допус-
тимо любое из следующих соотношений:
DD ′⊂ , DD ⊂′ , DD ′= ,
∅=′∩ DD , ∅≠′∩ DD .
Исходя из того, что множества
входных и выходных данных могут быть
пустыми и могут пересекаться, приведем
следующие возможные варианты Д-
оператора:
)
~
()( DADDD ′→∅=′∩
)
; (1)
);
~
()(, DADDD ′∅→∅=∅=′∩
)
(2)
)ˆ()ˆ( DADDD ′→′= ; (3)
)ˆ()ˆ,( DADDDD ′→′⊃
)
; (4)
)ˆ,
~
()ˆ( DDADDD ′′→′⊂ ; (5)
)ˆ,
~
()ˆ,( DDADDDD ′′→∅≠′∩
)
. (6)
Для того чтобы определить общий
случай тождественного Д-оператора, вве-
дем понятие неидентичных и идентичных
данных.
Определение 4. Множества данных
iD и jD неидентичны ( ji DD >< ), если
ID
iDi ~ и ID
jDj ~ такие, что ji DD ≠ или/и
II
ji DD ≠ . И множества данных iD и jD
идентичны ( ji DD <> ), если ID
iDi ~ и
ID
jDj ~ такие, что ji DD = и II
ji DD = . В ча-
стном случае, когда ∅== ji DD , они также
идентичны.
То есть, множества данных неиден-
тичны, если это различные множества яче-
ек памяти или, если одно и то же множест-
во ячеек принимает различные значения.
Данные идентичны, если одно и то же
множество ячеек принимает одинаковые
значения.
Исходя из определения 2 – 4, вве-
дем понятие тождественного Д-оператора,
обозначив D
~
– множество производных
данных до выполнения оператора )()( DAD ′ ,
а D′~
– то же множество данных после его
выполнения.
Определение 5. Тождественным
назовем Д-оператор )()( DAD ′ , если для мно-
жеств, образующих выходные данные
D ′ этого оператора, выполняется одно из
следующих пар соотношений:
DD ˆˆ <>′ и DD
~~ <>′ ;
DD ˆˆ <>′ и ∅=′D
~
;
∅==′ DD ˆˆ и DD
~~ <>′ ;
∅==′ DD ˆˆ и ∅=′D
~
.
То есть, множество проходных
данных на входе Д-оператора идентично
множеству проходных данных на его вы-
ходе, а множество производных данных
пусто или не изменяется в результате вы-
Теоретичні та методологічні основи програмування
5
полнения Д-оператора. Проще говоря, Д-
оператор тождественный, если он не изме-
няет обрабатываемых данных. В соответ-
ствии с определением 5, тождественным
является и Д-оператор )()( ∅∅ A , что согла-
суется с определением 2.
Докажем, что в рамках предлагае-
мого подхода Д-оператор и обрабатывае-
мые им данные обладают некоторыми
важными свойствами.
Теорема 1. Д-оператор )()( DAD ′ ,
если он нетождественный, либо преобра-
зует (изменяет) проходные данные, то есть
DD ′>< ˆˆ , либо продуцирует на своем выхо-
де производные данные, т. е. DD
~~ ><′ , либо
выполняет оба действия одновременно.
Доказательство построим от про-
тивного и рассмотрим три возможных слу-
чая, вытекающие из приведенных вариан-
тов Д-оператора (1) – (6).
Первый случай, когда Д-оператор
продуцирует производные данные, а про-
ходные данные отсутствуют ∅=′= DD ˆˆ ,
имеет место, когда выполняются соотно-
шения (1) и (2). Предположив, что Д-
оператор не генерирует производных дан-
ных, т. е. DD
~~ <>′ , то, в соответствии с оп-
ределением 5, получим тождественный Д-
оператор, что противоречит условиям тео-
ремы. Таким образом, Д-оператор в дан-
ном случае продуцирует производные
данные, т. е. DD
~~ ><′ .
Второй случай, когда Д-оператор
не продуцирует производных данных
∅=′D
~
, а обрабатывает только проходные
данные, имеет место, когда выполняются
соотношения (3) и (4). Предположив, что
проходные данные не изменяются, т. е.
DD ′<> ˆˆ , в соответствии с определением 5,
получим тождественный Д-оператор, что
противоречит условиям теоремы. Таким
образом, Д-оператор в данном случае из-
меняет проходные данные, т. е. DD ′>< ˆˆ .
Третий случай, когда Д-оператором
продуцируются производные, а на входе и
выходе присутствуют проходные данные,
имеет место, когда выполняются соотно-
шения (5) и (6).
Предположим, что не изменяются
ни проходные, ни производные данные,
т. е., предположим, что выполняются со-
отношения DD ˆˆ ′<> и DD
~~ <>′ . В этом
случае, в соответствии с определением 5,
получим тождественный Д-оператор, что
противоречит условиям теоремы. Д-
оператор не будет тождественным в слу-
чае, когда выполняется DD ˆˆ ′>< и/или
DD
~~ ><′ , т. е., изменяются проходные
или/и производные данные.
Теорема доказана.
Исходя из доказанной теоремы,
уместно сделать следующее существенное
замечание.
Различия в обозначении множества
проходных данных D̂ на входе и D′ˆ на
выходе Д-оператора, использованное в оп-
ределении 3, обуславливается тем, что они
неидентичны, если Д-оператор нетождест-
венный.
Определив данные, Д-операторы и
некоторые их свойства, перейдем к рас-
смотрению декомпозиции Д-операторов.
Декомпозиция Д-операторов
Начнем с определения операции
композиции, входящей в сигнатуру опера-
ций алгебры алгоритмов.
Определение 6. Композиция Д-
операторов )()(*)()( CCBB DCDDBD ′′ озна-
чает последовательное выполнение сна-
чала Д-оператора )()( BB DBD ′ , а затем Д-
оператора )()( CC DCD ′ . То есть
).())()((
)()(*)()(
BCCBB
CCBB
DDCDDBD
DCDDBD
′∪′∪′=
=′′
Поскольку основным подходом к
разработке алгоритмов является декомпо-
зиция образующих его операторов, введем,
основываясь на определении 6, следую-
щую аксиому.
Аксиома. Любой Д-оператор, за
исключением элементарных, может быть
представлен в виде композиции двух дру-
гих Д-операторов
)()(*)()( )()( CCBBAA DCDDBDDAD ′′=′ ,
Теоретичні та методологічні основи програмування
6
которые в общем случае обладают сле-
дующими свойствами:
AB DD ⊆ , AC DD ′⊆′ ,
∅≠∩ AC DD , ∅≠′∩′ AB DD .
Д-оператор )()( AA DAD ′ будем назы-
вать исходным, а )()( BB DBD ′ и )()( CC DCD ′ –
производными.
Трактовка декомпозиции Д-
операторов, данная в этой аксиоме, допус-
тимая на некотором (достаточно высоком)
уровне абстракции, не позволяет детали-
зовать рассмотрение этой принципиально
важной операции, так как не учитывается
то факт, что производные Д-операторы
совместно решают одну общую для них
задачу, адекватную задаче, решаемой ис-
ходным Д-оператором.
Перечислим те аспекты декомпо-
зиции, которые необходимо реализовать
для того, чтобы учесть упомянутый факт:
1) производные Д-операторы ис-
пользуют (могут использовать) общие
входные данные AD ;
2) выходные данные исходного
Д-оператора AD′ – результат последова-
тельного выполнения результирующих Д-
операторов, т. е. они оба продуцируют
(могут продуцировать) эти данные;
3) второй Д-оператор продолжает
обработку данных (или некоторого их
подмножества), начатую первым Д-
оператором;
4) для обработки данных в подав-
ляющем большинстве алгоритмов исполь-
зуются вспомогательные данные, кото-
рые, не являясь ни входными, ни выход-
ными, служат для преобразования первых
во вторые.
Для того чтобы учесть приведенные
аспекты декомпозиции Д-операторов, за-
пишем выражение из аксиомы в соответ-
ствии со структурой данных, предложен-
ной в определении 3, и определим свойст-
ва обрабатываемых данных, исходя из их
свойств, сформулированных в упомяну-
тых определении и аксиоме.
Определение 7. Данные в выраже-
нии вида
)
~
,ˆ()ˆ,(*)
~
,ˆ()ˆ,(
)
~ˆ()ˆ,(
CCCCBBBB
AAAA
DDCDDDDBDD
DDADD
′′′′=
=′′
))
)
обладают следующими свойствами:
CBA DDD
)))
∪= , AB DD ˆˆ ⊆ , ∅≠∩ AC DD ˆˆ ,
∅≠′∩′ AB DD ˆˆ , AC DD ˆˆ ′⊆′ , ∅≠′∩′ AB DD
~~
,
AC DD ′⊆′ ~~
.
Теперь рассмотрим последовательно
перечисленные аспекты декомпозиции Д-
операторов и определим состав и свойства
данных, которые позволят реализовать
операцию декомпозиции с учетом пере-
численных аспектов.
Для того чтобы учесть первый ас-
пект декомпозиции, определим (детализу-
ем) состав и свойства входных данных Д-
операторов с учетом состава и свойств
данных, введенных в определении 7.
Определение 8. Входные данные
Д-оператора )
~ˆ()ˆ,( AAAA DDADD ′′
)
представ-
ляют собой объединение следующих под-
множеств:
CACBABAA DDDD
))))
∪∪= , ,
CACBABAA DDDD ˆˆˆˆ
, ∪∪= ,
где
BBA DD
))
⊆ , BBA DD ˆˆ ⊆ , CCA DD
))
⊆ ,
CCA DD ˆˆ ⊆ , CCBAB DDD
)))
⊆⊇ , ,
CCBAB DDD ˆˆˆ
, ⊆⊇ .
Из определения следует, что
CBABAB DDD ,
)))
∪= , CBABAB DDD ,
ˆˆˆ ∪= ,
CACBAC DDD
)))
∪= , , CACBAC DDD ˆˆˆ
, ∪= , (7)
а данные CA D
)
и CA D̂ поступают на вход
Д-оператора )()( CC DCD ′ , минуя Д-
оператор )()( BB DBD ′ . Принадлежность
данных к некоторому множеству вход-
ных данных в определении отражена со-
ответствующими индексами.
Таким образом, в общем случае
входные данные исходного Д-оператора
как распределяются между производными
Д-операторами, так и присутствуют на
входе обоих Д-операторов. Поскольку
Теоретичні та методологічні основи програмування
7
любое из подмножеств, образующих
множество входных данных, может быть
пустым, то очевидно, что входные данные
исходного Д-оператора, как исходные AD
)
,
так и проходные AD̂ , могут использовать-
ся как двумя производными Д-
операторами, так и любым одним из них.
Заметим, что множества проход-
ных данных CACBABA DDD ˆ,ˆ,ˆ
, , на входе Д-
операторов, в соответствии с определени-
ем 3, присутствуют и на их выходе. Учи-
тывая это, проходные данные BA D̂ на вы-
ходе Д-оператора )()( BB DBD ′ обозначим
AB D′ˆ , а проходные CA D̂ данные на выходе
Д-оператора )()( CC DCD ′ – AC D′ˆ . Обозначе-
ние для проходных данных CBAD ,
ˆ будет
введено далее.
Для того чтобы учесть второй ас-
пект декомпозиции, определим состав и
свойства данных на выходе Д-оператора
)()( BB DBD ′ .
Определение 9. На выходе Д-
оператора )()( BB DBD ′ из множества про-
изводных данных выделит подмножество
BAB DD ′⊇′ ~~
такое, что AAB DD
~~ ′⊆′ и
∅=∩′ CAB DD
~
. Множество проходных
данных AB D′ˆ , такое, что AAB DD ′⊆′ ˆˆ и
∅=∩′ CAB DD̂ .
То есть, определенные данные по-
ступают с выхода Д-оператора )()( BB DBD ′
на выход исходного Д-оператора, минуя
Д-оператор )()( CC DCD ′ .
Поскольку ∅≠′CD , так как в про-
тивном случае Д-оператор )()( CC DCD ′ бу-
дет неопределенным (см. определение 2),
то из определения 9 следует, что выход-
ные данные Д-оператора )()( AA DAD ′ со-
стоят из выходных данных CD′ Д-
оператора )()( CC DCD ′ , которые дополня-
ются некоторыми подмножествами вы-
ходных данных Д-оператора )()( BB DBD ′ ,
т. е.
ABABCA DDDD ′∪′∪′=′ ~ˆ . (8)
Для того чтобы учесть третий ас-
пект декомпозиции введем понятие ин-
формационной связи (в дальнейшем связи)
между Д-операторами.
Определение 10. Д-операторы
)()(*)()( CCBB DCDDBD ′′ связаны, если для них
выполняется соотношение: ∅≠∩′ CB DD .
Таким образом, в организации свя-
зи участвует некоторое подмножество
выходных данных Д-оператора
)()( BB DBD ′ , которое поступает на вход Д-
оператора )()( CC DCD ′ , что позволяет ему
продолжить их обработку.
При этом будем говорить, что дан-
ные передаются с выхода предшествую-
щего Д-оператора на вход следующего. И
будем полагать, что данные изменяются
только в результате выполнения Д-
операторов, а в процессе передачи остают-
ся неизменными. То есть, данные на вы-
ходе Д-оператора идентичны одноимен-
ным данным на входе следующего Д-
оператора.
Теперь определим, в соответствии
с определениями 10 состав и свойства
данных, связывающих Д-операторы
)()( BB DBD ′ и )()( CC DCD ′ . При этом будем
учитывать, что в качестве таких данных
могут выступать как проходные, так и
производные данные.
Определение 11. Множество про-
ходных данных CBA D ,
ˆ , которое на выходе
и входе Д-операторов )()( BB DBD ′ и
)()( CC DCD ′ обозначим CBA D ,
ˆ ′ , а на выходе
последнего CBA D ,
ˆ ′′ такое, что для него вы-
полняется соотношение
),ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ(
,,
,,
CCBACCBA
BCBABCBA
DDDD
DDDD
′⊆′′=⊆=
=′⊆′=⊆
т. е., данные, образующие это множество,
играют роль связывающих, а множества
CBACBACBA DDD ,,,
ˆ,ˆ,ˆ ′′′ , являются одним мно-
жеством, по-разному обозначенным на
входах и выходах Д-операторов. В общем
случае эти множества неидентичны, т. е.
CBACBACBA DDD ,,,
ˆˆˆ ′′><′>< . На выходе
Теоретичні та методологічні основи програмування
8
Д-оператора )()( BB DBD ′ выделим под-
множество производных данных CB D̂
~
та-
кое, что CCBCBB DDDD ˆ~̂~̂~ ⊆=⊇′ , которое на
выходе Д-оператора )()( CC DCD ′ обозна-
чим CB D′~̂
, и которое обладает следующи-
ми свойствами:
∅=′∩ ABCB DD
~~̂
, ∅=′∩ CBACB DD ,
ˆ~̂
,
∅=′∩ CACB DD ˆ~̂
.
Таким образом, данные, получен-
ные на выходе Д-оператора )()( BB DBD ′ ,
могут быть подвержены дальнейшей об-
работке, т. е., обработка данных множест-
ва CBA D ,
ˆ начатая Д-оператором
)()( BB DBD ′ и множества данных CB D̂
~
,
продуцируемого этим Д-оператором, про-
должается Д-оператором )()( CC DCD ′ .
Исходя из определений 9 и 11, за-
пишем состав выходных данных Д-
оператора )()( CC DCD ′ в виде
CCBACBCAC DDDDD ′∪′′∪′∪′=′ ~ˆ~̂ˆ
, , (9)
а исходя из соотношений (8) и (9) – состав
выходных данных Д-оператора )()( AA DAD ′
в виде
CCBACBACABABA DDDDDDD ′∪′′∪′∪′∪′∪′=′ ~ˆ~̂ˆ~ˆ
, . (10)
Для реализации четвертого аспекта
декомпозиции, нам необходимы связы-
вающие данные CB D
(
такие, которые не
являлись бы входными и выходными дан-
ными исходного Д-оператора )()( AA DAD ′ .
Однако, будем утверждать, что такие дан-
ные не могут быть построены.
Утверждение. Связывающие дан-
ные BCB DD ′⊆ ~(
такие, что ∅≠∩ CCB DD
(
и ∅=∩ ACB DD
(
, ∅=′∩ ACB DD
(
, не могут
быть введены в рамках предлагаемых
формализмов, так как требуемое сочета-
ние свойств нереализуемо.
Доказательство. Множество вход-
ных данных Д-оператора )()( CC DCD ′ , в
соответствии с определениями 3, пред-
ставляет собой объединение подмножеств
CCC DDD ˆ∪=
)
, обладающих, в соответст-
вии с определением 7, следующими свой-
ствами AC DD
))
⊆ , ACC DDD ′⊆′= ˆˆˆ . Таким
образом, если ∅≠∩ CCB DD
)(
, то не вы-
полняется соотношение ∅=∩ ACB DD
(
, а
если ∅≠∩ CCB DD ˆ(
, то не выполняется
соотношение ∅=′∩ ACB DD
(
.
Возникшее противоречие вызвано
тем, что необходимые нам данные лока-
лизованы в исходном Д-операторе
)()( AA DAD ′ и не специфицированы в каче-
стве его входных и выходных данных. Та-
кой тип данных в предшествующих рас-
суждениях не рассматривался.
Следствие. Для того чтобы разре-
шить возникшее противоречие, необхо-
димо набор используемых данных допол-
нить данными нового типа - промежу-
точными.
Введем новый тип данных сле-
дующим образом.
Определение 12. Множество вход-
ных данных Д-оператора )()( CC DCD ′ за-
пишем в виде CBCCC DDDD
()
∪∪= ˆ , т. е.
дополним его множеством CB D
(
, а из мно-
жества производных данных на выходе Д-
оператора )()( BB DBD ′ выделим подмно-
жество связывающих данных CB D
(
такое,
что CCBCBB DDDD ⊆=⊇′
((~
. Множество дан-
ных CB D
(
, которые назовем промежуточ-
ными, обладает следующими свойствами:
∅=∩ CCB DD ˆ(
, ∅=∩ CCB DD
)(
,
∅=′∩ CCB DD
(
, ∅=′∩ ABCB DD
~(
,
∅=∩ CBCB DD
~̂(
.
Теперь, исходя из определения 12,
докажем, что построенные данные обла-
дают свойствами необходимыми для про-
межуточных данных.
Теорема 2. Для промежуточных
данных CD
(
выполняются соотношения
∅=∩ ACB DD
(
и ∅=′∩ ACB DD
(
, то есть
они не являются входными и выходными
данными исходного Д-оператора.
Доказательство.
Теоретичні та методологічні основи програмування
9
Чтобы доказать, что промежуточ-
ные данные CB D
(
не пересекаются с вы-
ходными данными AD′ Д-оператора
)()( AA DAD ′ рассмотрим состав выходных
данных ABABCA DDDD ′∪′∪′=′ ~ˆ , приведенный
в (8). Из определения 12 следует, что
∅=′∩ CCB DD
(
и ∅=′∩ ABCB DD
~(
, а из опреде-
ления 9, что ∅=∩′ CAB DD̂ . Но CCB DD ⊆
(
и,
таким образом, ∅=′∩ ABCB DD ˆ(
. Поскольку
множество CB D
(
не пересекается, ни с од-
ним подмножеством, образующим множе-
ство AD′ , то соотношение ∅=′∩ ACB DD
(
выполняется.
Чтобы доказать, что промежуточ-
ные данные CB D
(
не пересекаются с вход-
ными данными AD′ Д-оператора
)()( AA DAD ′ рассмотрим состав этих дан-
ных, приведенный в определении 8,
CACBABAA DDDD
))))
∪∪= , ,
CACBABAA DDDD ˆˆˆˆ
, ∪∪= .
Из определения 12 известно, что
∅=∩ CCB DD
)(
откуда, с учетом (7) следу-
ет, что ∅=∩ CACB DD
)(
и ∅=∩ CBACB DD ,
)(
.
Известно также, что BCB DD ′⊆ ~(
, но
∅=∩′ BB DD
~
(см. определение 3) откуда, с
учетом (7) следует, что ∅=∩ BACB DD
)(
и,
таким образом, ∅=∩ ACB DD
)(
.
Из соотношения ∅=∩′ BB DD
~
также
следует, что ∅=∩′ BB DD ˆ~
и, таким обра-
зом, учитывая (7) ∅=∩ BACB DD ˆ(
и
∅=∩ CBACB DD ,
ˆ(
. Так как ∅=∩ CCB DD ˆ(
(см.
определение 12), то ∅=∩ CACB DD ˆ(
и, та-
ким образом, ∅=∩ ACB DD ˆ(
. Из соотноше-
ния AAA DDD ˆ∪=
)
(см. определение 3) сле-
дует, что соотношение ∅=∩ ACB DD
(
вы-
полняется.
Теорема доказана.
В результате выполненных по-
строений, можем записать выражение из
определения 7 в виде
),
~
,
~̂
,ˆ,ˆ(),
~̂
,ˆ,ˆ
,,*()ˆ,
~̂
,,ˆ
,
~
()ˆ,ˆ,,(
)
~
,
~̂
,ˆ,ˆ,ˆ
,
~
()ˆ,ˆ,ˆ,,,(
,,
,,
,,
,
,,
CCBCBAACCBCBCBACA
CBACACBACBCBAB
ABCBABACBABA
CCBCBAACAB
ABCBACABACBACABA
DDDDCDDDD
DDDDDD
DBDDDD
DDDDD
DADDDDDD
′′′′′′
′′
′=
=′′′′′′
′
(
))(
))
)))
т. е. в виде, когда в декомпозиции Д-
операторов специфицированы все типы
данных, необходимые для реализации
этой операции.
Заключение
В данной работе предложен подход
к формализации данных и построена такая
структура данных, которая позволяет
учесть все перечисленные аспекты деком-
позиции операторов. При этом получены
и доказаны некоторые свойства формали-
зованных данных, которые могут быть ис-
пользованы для контроля корректности
операции декомпозиции.
Полученные результаты позволяют
обратиться к решению следующих задач:
доказательство необходимых условий кор-
ректности реализации операции декомпо-
зиции; согласование процессов декомпо-
зиции Д-операторов и детализации дан-
ных; исследование возможностей преобра-
зования алгоритмов.
Решение этих задач в рамках пред-
лагаемого формального аппарата и являет-
ся направлением дальнейших исследова-
ний.
1. Турский В. Методология программирова-
ния. – М.: Мир, 1981. – 264 с.
2. Ющенко Е.Л., Цейтлин Г.Е., Грицай В.П.,
Терзян Т.К. Многоуровневое структурное
проектирование программ: Теоретические
основы, инструментарий. – М.: Финансы и
статистика, 1989. – 208 с.
3. Глушков В.М. Теория автоматов и фор-
мальные преобразования микропрограмм //
Кибернетика, 1965. – № 5. – С. 1 – 10.
4. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л.
Алгебра. Языки. Программирование. – К.:
Наук. думка, 1978. – 319 с.
Теоретичні та методологічні основи програмування
10
5. Акуловский В.Г. Расширенная алгебра ал-
горитмов // Проблеми програмування. –
2007. – № 3. – С. 3 – 15.
6. Акуловский В.Г. Формализация взаимосвя-
зей операторов и данных в рамках расши-
ренной алгебры алгоритмов // Кибернетика
и системный анализ. – 2008. – № 6. –
С. 170 – 182.
7. Акуловский В.Г. Некоторые подходы к кон-
тролю и преобразованию алгоритмов на
основе анализа специфицируемых данных
// Проблеми програмування. – 2008. – № 4.
– С. 84 – 93.
8. Акуловский В.Г. Некоторые аспекты фор-
мализации архитектурного этапа разработ-
ки алгоритмов // Проблеми програмування.
– 2009. – № 2. – С. 3 – 11.
Получено 12.10.2009
Об авторе:
Акуловский Валерий Григорьевич,
кандидат технических наук,
доцент кафедры информационных систем
и технологий.
e-mail: valeryakulovskiy@rambler.ru
Место работы автора:
Академия таможенной службы Украины.
49000, Днепропетровск, ул. Дзержинского
2\4. Тел/факс. канцелярия – (0562) 45 5596
e-mail :academy@amsu.dp.ua
|
| id | pp_isofts_kiev_ua-article-976 |
| institution | Problems in programming |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-06-11T01:00:09Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | ppisoftskievua/9a/2860cd9604973535ba026ad24605db9a.pdf |
| spelling | pp_isofts_kiev_ua-article-9762026-06-10T11:10:03Z Some aspects of formalization of the data and decomposition of D-operators of algebra of algorithms Некоторые аспекты формализации данных и декомпозиция Д-операторов Деякі аспекти формалізації даних і декомпозиція Д-операторів алгебри алгоритмів Akulovskiy, V.G. UDC 519.683 УДК 519.683 УДК 519.683 Within the framework of the expanded algebra of algorithms the approach to formalization of the data is offered. Properties of the formalized data and some aspects of decomposition of D-operators are considered.Problems in programming 2009; 4: 3-10 В рамках расширенной алгебры алгоритмов предложен подход к формализации данных. Рассмотрены свойства формализованных данных и некоторые аспекты декомпозиции Д-операторов.Problems in programming 2009; 4: 3-10 У рамках розширеної алгебри алгоритмів запропоновано підхід до формалізації даних. Розглянуто властивості формалізованих даних і деякі аспекти декомпозиції Д-операторів.Problems in programming 2009; 4: 3-10 PROBLEMS IN PROGRAMMING ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ 2026-06-10 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/976 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 4 (2009); 3-10 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 4 (2009); 3-10 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 4 (2009); 3-10 1727-4907 ru https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/976/1044 Copyright (c) 2026 PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| spellingShingle | UDC 519.683 Akulovskiy, V.G. Some aspects of formalization of the data and decomposition of D-operators of algebra of algorithms |
| title | Some aspects of formalization of the data and decomposition of D-operators of algebra of algorithms |
| title_alt | Некоторые аспекты формализации данных и декомпозиция Д-операторов Деякі аспекти формалізації даних і декомпозиція Д-операторів алгебри алгоритмів |
| title_full | Some aspects of formalization of the data and decomposition of D-operators of algebra of algorithms |
| title_fullStr | Some aspects of formalization of the data and decomposition of D-operators of algebra of algorithms |
| title_full_unstemmed | Some aspects of formalization of the data and decomposition of D-operators of algebra of algorithms |
| title_short | Some aspects of formalization of the data and decomposition of D-operators of algebra of algorithms |
| title_sort | some aspects of formalization of the data and decomposition of d-operators of algebra of algorithms |
| topic | UDC 519.683 |
| topic_facet | UDC 519.683 УДК 519.683 УДК 519.683 |
| url | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/976 |
| work_keys_str_mv | AT akulovskiyvg someaspectsofformalizationofthedataanddecompositionofdoperatorsofalgebraofalgorithms AT akulovskiyvg nekotoryeaspektyformalizaciidannyhidekompoziciâdoperatorov AT akulovskiyvg deâkíaspektiformalízacíídanihídekompozicíâdoperatorívalgebrialgoritmív |