Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the National Nuclear Power Sector
A mathematical optimization model of the development of the national nuclear power industry is proposed, which is able to take into account the growing variety of available nuclear power generation technologies, as well as the growing uncertainty of the future conditions of its operation, in particu...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://systemre.org/index.php/journal/article/view/48 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System Research in Energy |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System Research in Energy| _version_ | 1871103099006877696 |
|---|---|
| author | Shulzhenko S.V. |
| author_facet | Shulzhenko S.V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Shulzhenko S.V.",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Shulzhenko S.V. |
| baseUrl_str | https://systemre.org/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T12:57:30Z |
| description | A mathematical optimization model of the development of the national nuclear power industry is proposed, which is able to take into account the growing variety of available nuclear power generation technologies, as well as the growing uncertainty of the future conditions of its operation, in particular, the term of continued operation of existing NPP power units, which is modeled by a corresponding stochastic variable. In contrast to mathematical models built using simulation methods, which is typical for conducting research on the development of nuclear power as the most conservative branch of electric power, and capable of modeling disturbances of external factors to a very limited extent, which makes it possible to calculate a limited number of development trajectories, the proposed mathematical model and the algorithm for its implementation is capable of simulating an almost unlimited number of external disturbances, in particular, using stochastic variables. |
| doi_str_mv | 10.15407/pge2015.01.005 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:00:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
5ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2015, issue 1 (40)
MATHEMATICAL MODELING OF ENERGY FACILITIES
AND SYSTEMS
The nuclear power is the most complicated and
resource-intensive among the existing commercial-
ly-available power generation technologies. This
results in essentially higher demands to the quality
of designing the NPP construction projects, in par-
ticular, regarding the provision of a high level of
safety indicators of facilities during their full life-
time (designing – construction – operation –
decommissioning). An enhanced level of demands
to the NPP reliability and safety as compared to
other power generation technologies involves the
need of longer periods of their design and construc-
tion and also much higher specific capital cost (at
least several-fold) of the NPP unit. All the above
circumstances are the prerequisites for a high level
of conservatism that is inherent to nuclear power
sector as a whole resulting in a very careful and slow
pace of technological progress and available tech-
nological solutions in this branch of power sector;
as a result, an opinion was formed that the available
NPP types, their capacity, and fuel production
technologies for these NPP are unalterable, and
they can be only refined.
The situation has started to change gradually
after the introduction of electricity market deregu-
lation at the end of the XX-th century. In spite of
the ambiguity of advantages in introducing the mar-
ket philosophy of power sector regulation as a whole
and, in particular, the regulation of generating
capacities, this process is still underway in all coun-
tries of the Organization for economic cooperation
and development; hence, there is a high probability
that this process will be preserved in future. As a
result of the deregulation introduced to the power
sector, the following two interconnected tendencies
occur in nuclear power sector: 1) implementation
of projects aimed at construction of NPP with
capacity of 1 GWel and more has been practically
stopped (this tendency is not observed in countries
UDC 621.311.001.57 S.V. Shulzhenko, Ph.D. in Engineering Science
Institute of General Energy of the National Academy of Sciences of Ukraine;
172 Antonovych str., 03680 Kyiv, Ukraine
DYNAMIC MATHEMATICAL PROGRAMMING MODEL WITH STOCHASTIC VARIABLE
FOR THE DEVELOPMENT OF THE NATIONAL NUCLEAR POWER SECTOR
Abstract. The paper proposes a mathematical optimization model of the development of
national nuclear power sector that is capable to take into account the growing variety of
available nuclear technologies for power generation and also the increasing uncertainty
of future conditions of the power sector operation, in particular, the possible lifetime
extension of existing nuclear power plant units that is simulated by using an appropriate
stochastic variable. Unlike mathematical models built on using simulation methods that
are inherent to studies of the development of nuclear power sector as the most conser-
vative sector and that are capable of simulating the disturbances of external factors to a
very limited extent resulting in a possible calculation of a limited number of the scenarios
of development, the proposed mathematical model and its implementation algorithm are
capable of simulating actually unlimited number of external disturbances, in particular, by
using stochastic variables.
K e y w o r d s: Mathematical model, mathematical programming, stochastic variable,
nuclear power plant (NPP), national power sector.
© S.V. SHULZHENKO, 2015
6 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2015, issue 1 (40)
S.V. SHULZHENKO
with monopoly principles of electricity market
organization, for example, China and India); 2) the
supply of nuclear reactors of middle (hundreds of
MWel) and small (several MWel) capacities is on the
rise; these reactors are built in accordance with var-
ious technological principles using all kinds of
coolants that require less time for their construction
and feature simpler design. Thus, the possibilities of
introducing NPP-based generating capacities
become more diversified that objectively determines
the expediency of using dynamic mathematical
programming models due to the growing complexi-
ty of the search for balanced and effective solutions
and the unified optimal solution in the ideal case, as
regards formation of the strategy for the develop-
ment of national nuclear power sector.
In contrast to the stage of formation of national
unified power systems that occurred in the middle
of the XX-th century via the construction of verti-
cally integrated power companies in accordance
with the developed centralized plans, nowadays the
uncertainty of the current and future conditions of
operation of the national power sector essentially
increases in conditions of the introduction of elec-
tricity market deregulation and globalization of
economic relations, in particular, peculiarities of
the operation of markets of fuel and energy
resources. This adds complexity to the use of deter-
ministic optimization models and necessitates at
least their updating. One of the most serious chal-
lenges to the investigation methods of the develop-
ment of power sector systems, including the nuclear
power as its integral part, is the need for to provid-
ing the robustness of mathematical models, i.e., the
minimization of sensitivity of model solutions to
possible inaccuracies of input data employed in
such investigations. One of the approaches aimed at
enhancing the solution durability to variability of
input data implies the development of mathemati-
cal models with stochastic variables [1–3] that have
been commonly used at financial markets of market
economy countries since the end of the XX-th cen-
tury, for example in problems of formation of
investment portfolio with the specified profitability
or the specified level of investment risks and in
other problems. Nowadays these approaches aimed
at investigating the processes of power sector devel-
opment are intensely developed at the leading world
research centers, for example, at the International
Institute for Applied Systems Analysis (IIASA)
within the framework of the Advanced System
Analysis research topic [1, 3].
This paper presents a proposed dynamic mathe-
matical programming model with stochastic vari-
able for the development of generating capacities of
the national nuclear power sector; this model makes
it possible to take into account the problem of
uncertainty of the time for the possible lifetime
extension of nuclear power plant units after the
expiration of their design lifetime specifying the
period of their commercial use; the above problem
is topical for many countries with advanced nuclear
power sector. As of today such problems are mostly
solved using simulation models that imply direct
calculations, in particular, using the ENPEP model
developed by the International Atomic Energy
Agency (IAEA) [4]. The expediency of develop-
ment and use of mathematical programming mod-
els in such investigations is determined by the grow-
ing variety of available technologies of power gener-
ation, in particular, in nuclear power sector, and
also by the increasing uncertainty of the power sec-
tor operating conditions that complicates the con-
struction and rational substantiation of a specific
scenario of its development, but at the same time
provides for the possible implementation of any
scenario, even irrational one from the viewpoint of
present-day ideas and knowledge.
Mathematical model is built on the use of two
main sets, which the corresponding variables are
associated with: set E (e
ting nuclear power plant units available for use at
the first stage of simulation; and set N (n
set that includes all new nuclear power plant (NPP)
units, i.e. those to be built at the future stages of
simulation. Target function of the optimization
model is the minimization of the total cost for pro-
duction of electricity both by the existing and new
nuclear power plant units for all simulation stages
(for example, NPV, hryvnas):
where T is the set of simulation periods (t
is the operating time of NPP unit from set E during
the simulation period t (hours), Xte
E is the available
capacity of NPP unit from set E during the simula-
tion period t (MWel), ce is the electricity generation
E) including all the exis-
N) is the
(1)
7ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2015, issue 1 (40)
Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the national nuclear power sector
cost at the existing NPP unit from set E
(hrn/MWel), htn
N is the operating time of NPP unit
from set N during the simulation period t (hours),
atn
N is the variable belonging to the set of integers
(this variable is actually sought in the mathematical
model); atn
N corresponds to the number of NPP
units from set N that are available during the simu-
lation period t, Xtn
N is the unit capacity of NPP unit
from set N (MWel), cn is the weighted-average elec-
tricity generation cost of the NPP unit from set N
that was determined by using the life-cycle models
[5-7] (hrn/MWel), ctn is the artificial penalty vari-
able (analogue of cn) making it possible to limit the
upper bound of variable atn
N by using formula (5).
The main constraint of optimization mathemat-
ical model is the requirement of electricity genera-
tion by all available NPP units at each modeling
period in the amounts of Wt that are specified
exogenously:
(2)
(3)
The optimization mathematical model (1) – (3)
formulated in this paper does not “restrain” the
introduction of any amounts of variables atn
N even
such that lead to essential excess of the required vol-
ume of output Wt. In order to limit the upper bound
of variables atn
N for each simulation stage the cost of
electricity generation by NPP units from set N will
be determined as follows:
where XTotal is the total capacity of all NPP
units that is capable of ensuring the electricity
generation in volumes Wt while using the mini-
mum value of the operating hours of NPP units
this total capacity is determined by formula
Hence, the essence of formula (4) lies in the fact
that the larger number of new NPP units will be
used in excess of the required volume Xt
Total during
a certain period, the larger increase of penalty vari-
able ctn will be evaluated and used in target function
(1) that rationalizes the search for optimal solution
of problem (1)–(3).
The composition of set E for a specific simula-
tion stage depends on the time of extension of each
NPP unit operation, moreover the value of exten-
sion time may vary for different NPP units and
depends on many factors, primarily, on the techni-
cal condition of NPP unit at the instant time of
making a decision about the possibility and expedi-
ency of its further use during the beyond-design
operation period. Thus, for each existing NPP unit
and for each simulation stage it is necessary to
determine the NPP unit availability that depends
on a priori indeterminate value of the extension
time of its operation.
At present experts have agreed that the mini-
mum technically-permissible safe time of extension
of existing NPP units operation after the expiration
of their design service life amounts to 10 years; such
situation in the mathematical model is described by
constant teD specifying the value of the “guaran-
teed” extension period of the operating time of each
NPP unit belonging to set E. Moreover, in the gen-
eral case it is not obligatory that the operating peri-
od of each NPP unit is extended by 10 years. It
should be also taken into account that as a result of
execution of works for extending the operating peri-
od, the capacity of NPP unit can be changed that is
simulated by constant Xte
E+10(MWel). After a 10-
year beyond-design operation of the NPP unit its
condition will be evaluated for determining the pos-
sibility of its further safe use. It is proposed to sim-
ulate the result of this evaluation by using stochastic
variable ξe with uniform division; hence, this vari-
able can assume values 0, 5 or 10 implying that an
additional “nonguaranteed” term of NPP unit
(4)
operation extension may be either 0 years (the NPP
unit is removed from service) or 5 years or 10 years.
Thus, using the introduced constants and stochastic
variable the available capacity of the existing NPP
unit during its beyond-design operation for each
simulation period will be determined by the follow-
ing formula:
(5)
The implementation algorithm of problem (1) –
(4) using formula (5) includes the following steps:
1) availability scenario is generated for existing
NPP units at all simulation periods; in other words,
the values of variables Xte
E representing constants
for problem (1) – (4) are determined by using for-
mula (5);
2) values of variable Xt
Total representing con-
stants for problem (1) – (4) are determined for each
simulation stage;
3) problem (1) – (4) is implemented for the
search of optimal number of new NPP units to be
put into operation, i.e., variable atn
N;
4) the evaluated variables ξe, Xte
E, Xt
Total and
atn
N are written into a file for the subsequent statis-
tical and analytical processing;
5) go to step 1) or to the end of the algorithm.
A software application has been developed for
implementing calculations by this algorithm in the
environment of MS Excel 2003 using VBA for
Applications. The routine add-in Search for solu-
tion was used as a subroutine of mathematical pro-
gramming methods. Input data for calculations
were formed in accordance with the available infor-
mation regarding the condition and prospects for
the operating period extension of existing nuclear
power plant units (Table 1) and also the key per-
formance indicators of nuclear power plant units
(Table 2) that form the basis for advanced projects
of NPP with water-moderated water-cooled reac-
8 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2015, issue 1 (40)
Table 1 – Characteristics of existing NPP units in Ukraine
S.V. SHULZHENKO
tors, in particular, AES-2006, upgraded VVER-
1000 and the project of lumped nuclear power plant
VBER-300 developed by JSC Afrikantov OKBM.
Problem (1) – (4) anticipates the search for a set of
optimal values of integer variables atn
N; however, since
the methods of integer optimization require sub-
stantial computational resources and can take several
hours for finding a solution, the type of unknown vari-
able was changed to real that allowed us to implement
the search methods of optimal real values that can
take only several minutes. The conversion of obtained
optimal real values of variables was performed by
using MS Excel standard function of rounding to the
nearest integer, namely, function FLOOR() or
INTEGER() in the case of MS Excel version local-
ized for the countries of the former USSR.
The calculations in the amount of 1100 were
carried out by using the above specified input data;
the obtained results were subjected to processing by
using statistical methods of investigations. For each
of experimental parameters the minimum and max-
imum values were determined, and then the entire
range of obtained data was divided into 10 intervals
making it possible to construct bar graphs (Table 3,
Figs. 1–4).
The calculations performed in accordance with
presented assumptions and input data indicate that
9ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2015, issue 1 (40)
Table 2 – Key performance indicators of advanced NPP
Table 3 – Statistical processing of data obtained from the results of implementing the algorithm
in the MS Excel environment (I is the average extension time of operation, years;
II is AES-2006, the number of NPP units; III is VBER-300, the number of NPP units;
IV is VVER-1000, the number of NPP units; V is the production costs, US dollars/MW•h;
VI is the total capacity for the last period of optimization, GWel)
Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the national nuclear power sector
the most probable extension time of operation of
existing NPP units amounts to 14 – 16 years (Fig.
4) that necessitates the beginning of practical
implementation of construction projects for
replacement capacities of NPP after year 2020,
because the extension time of operation of RAES-1
and RAES-2 NPP units (Rivne town, Ukraine)
expires just at this period, and the most probable
next extension time of their operation will be 5
years, during which it is necessary to put into oper-
ation new capacities of NPP. In accordance with
the implementation of the presented algorithm the
most probable quantity of new NPP units that
should be put into operation during the simulation
period are as follows: NPP units of project 2006 –
5, NPP units of type VBER-300 – from 4 to 6, and
VVER type NPP units – from 5 to 8. To this end,
it is necessary to make investments in the amount of
$45 – $65 billion US dollars (Fig. 3) that involves
the need of developing a series of measures at the
national level, for example, as a component of the
energy strategy of Ukraine directed on guaranteed
satisfying of requirements of the nuclear power sec-
tor in funds available for investment.
CONCLUSIONS
1. Economic globalization stipulating the limit-
ed capabilities of the State to influence the national
markets of fuel and energy resources that conse-
quently leads to the volatility of markets and the
introduction of market philosophy into power sec-
tor regulation result in significant rise of uncertain-
ty of future conditions of the power sector operation
and objectively necessitate the updating of existing
and development of new mathematical models and
forecasting methods that should take into account
the above specified factors.
2. Nuclear power, as the most conservative
10 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2015, issue 1 (40)
S.V. SHULZHENKO
Fig. 3. Bar graph of the total expenditures by the
end of simulation period
Fig. 4. Bar graph of the average extension time
of NPP operation
Fig. 1. Bar graph of the average value
of electricity production costs of all NPP
Fig. 2. Bar graph of the total capacity of NPP by the
end of simulation period
branch of power sector practically stops its develop-
ment in the market economy conditions leading to
increasing indeterminacy of external impact factors
that potentially brings risks for the stable and safe
operation of the nuclear power sector. This necessi-
tates the introduction of tools for simulation of the
nuclear power development that employ the meth-
ods capable of simulating actually unlimited num-
ber of external disturbances, in particular, the
mathematical programming methods with stochas-
tic variables rather than simulation methods capa-
ble of simulating disturbances of external factors to
a very limited extent resulting in a possible calcula-
tion of only a limited number of the development
trajectories.
3. This paper presents a mathematical optimiza-
tion model of the development of national nuclear
power sector that is capable of taking into account
the growing variety of available nuclear technolo-
gies for power generation and also the increasing
uncertainty of future conditions of the power sector
operation, for example, the possible lifetime exten-
sion of existing nuclear power plant units that is
simulated by an appropriate stochastic variable.
4. The calculations performed in accordance
with this model using the input data and assump-
tions presented in this paper indicate that the need
for the beginning of practical implementation of
construction projects of new NPP replacement
capacities comes after the year 2020 because the 10-
year extension time of operation of RAES-1 and
RAES-2 NPP units (Rivne town, Ukraine) expires
just at that period and the next most probable
extension time of their operation will be 5 years,
during which it will be necessary to put into opera-
tion new capacities of NPP. In accordance with cal-
culations, the construction of NPP replacement
capacities will require to attract the funds available
for investment in the amount of $45 – $65 billion
US dollars that makes urgent the task of developing
a series of measures at the national level, for exam-
ple, as a component of the energy strategy of
Ukraine, directed on meeting the requirements of
the nuclear power sector in funds available for
investment.
5. The dynamic mathematical programming
model with stochastic variable proposed in this
paper can be used as a basis for building more
sophisticated models with several stochastic vari-
ables that are capable of covering both the nuclear
power sector and power sector as a whole.
REFERENCES
1. Yu. Ermoliev, T. Ermolieva, & I. Norkin
(2006). Economic Growth under Shocks: Path
Dependencies and Stabilization. Laxenburg:
International Institute for Applied System
Analysis.
2. Ermol'ev, Ju.M., Ljashko, I.I., Mihalevich,
V.S., & Tjuptja, V.I. (1979).
Matematicheskie metody issledovanija operacij
[Mathematical Methods of Operation
Research]. Kiev: Vyscha shkola [in Russian].
3. T. Yu. Ermolieva, Yu. M. Ermoliev, P. Havlik,
A. Mosnier, D. Leclere, F. Kraxner, N. Khabarov,
& M. Obersteiner. (2015). Systems Analysis of
Robust Strategic Decisions to Plan Secure Food,
Energy, and Water Provision Based on the
Stochastic GLOBIOM Model. Cybernetics and
Systems Analysis, 51(1), 125-133.
4. D. Connolly, et al., A Review of Computer Tools for
Analyzing the Integration of Renewable Energy into
Various Energy Systems, Appl. Energy (2009),
doi:10.1016/j.apenergy.2009.09.026.
5. Shulzhenko, S. V. (2008). Osoblyvosti
rozrakhunku vartisnykh pokaznykiv u
zadachakh prohnozuvannia rozvytku elektroen-
erhetychnykh system za rynkovykh umov ikh
funktsionuvannia [Estimation of Cost Indicators
for the Task of Electrical Power System
Development Forecast under the Market
Liberalization Conditions]. Problemy zahal`noi
enerhetyky - The Problems of General Energy,
18, 16-20 [in Ukrainian].
6. Shulzhenko, S. V. (2009). Pokaznyky efek-
tyvnosti funktsionuvannia ta rozvytku elektrych-
nykh stantsij v umovakh rynku [Efficiency
Indicators of Power Plants Operations and
Development under Market Conditions].
Problemy zahal`noi enerhetyky - The Problems
of General Energy, 20, 16-19 [in Ukrainian].
7. Shulzhenko, S. V., & Denisov, V. A (2014).
Konkurentospromozhnist' palyvnykh elementiv
vidnosno tradytsijnykh tekhnolohij vyrobnytstva
elektrychnoi ta teplovoi enerhii
[Competitiveness of Fuel Cells with Traditional
Electric and Thermal Power Generation
Technologies]. Problemy zahal`noi enerhetyky -
The Problems of General Energy, 3(38), 29-35
[in Ukrainian].
Received by editorial office 12.05.2015
11ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2015, issue 1 (40)
Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the national nuclear power sector
12 ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2015, вип. 1 (40)
УДК 621.311.001.57 С.В. ШУЛЬЖЕНКО, канд. техн. наук
Інститут загальної енергетики НАН України,
вул. Антоновича, 172, м. Київ, 03680, Україна
ДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ РОЗВИТКУ ГЕНЕРУЮЧИХ
ПОТУЖНОСТЕЙ НАЦІОНАЛЬНОЇ АТОМНОЇ ЕНЕРГЕТИКИ ЗІ СТОХАСТИЧНОЮ ЗМІННОЮ
Запропоновано математичну оптимізаційну модель розвитку національної атомної
енергетики, яка здатна враховувати зростаюче різноманіття доступних атомних техно-
логій генерації електроенергії, а також зростаючу невизначеність майбутніх умов її
функціонування, зокрема терміну продовження експлуатації існуючих енергоблоків
АЕС, що моделюється відповідною стохастичною змінною. На відміну від математичних
моделей, побудованих з використанням імітаційних методів, що властиво для виконан-
ня досліджень розвитку ядерної енергетики як найбільш консервативної галузі електро-
енергетики, і здатних дуже обмежено моделювати збурення зовнішніх факторів, що
зумовлює можливість розрахунку обмеженої кількості траєкторій розвитку, запропоно-
вана математична модель і алгоритм її реалізації здатні моделювати практично необме-
жену кількість зовнішніх збурень, зокрема, із використанням стохастичних змінних.
К л ю ч о в і с л о в а: математична модель, математичне програмування, стохастична
змінна, атомна електростанція, національна електроенергетика.
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕНЕРГЕТИЧНИХ ОБ'ЄКТІВ
І СИСТЕМ
Серед наявних комерційно доступних тех-
нологій генерації електроенергії найбільш
складною і ресурсоємною є атомна енергетика,
що зумовлює значно вищі вимоги до якості
розробки проектів спорудження АЕС, зокрема,
щодо забезпечення високого рівня широкого
кола показників безпеки об’єктів протягом їх
повного життєвого циклу (проектування –
будівництва – експлуатації – зняття з експлуа-
тації). Підвищений рівень вимог до надійності
та безпечності АЕС, порівняно із іншими тех-
нологіями електроенергетики, спричиняє три-
валіші терміни їх проектування та будівництва,
а також значно більшу, щонайменше в рази,
вартість одиничної генеруючої потужності. Всі
ці обставини є підґрунтям до високого рівня
консерватизму, властивому ядерній енергетиці
загалом, що зумовило дуже обережний, упо-
вільнений темп науково-технічного прогресу та
доступних технологічних рішень в цій галузі
електроенергетики, внаслідок чого склалася
думка, що наявні типи АЕС, їх потужність, тех-
нології виготовлення для них палива є незмін-
ними і можливе лише вдосконалення цих тех-
нологій.
Ситуація почала поступово змінюватись із
запровадженням дерегуляції на ринку електро-
енергії в кінці ХХ сторіччя. Незважаючи на
неоднозначність переваг запровадження рин-
кових принципів регулювання електроенерге-
тикою в цілому генеруючими потужностями,
зокрема, цей процес триває в усіх країнах
Організації економічного співробітництва і
розвитку. Отже з високою ймовірністю можна
© С.В. ШУЛЬЖЕНКО, 2015
13
Динамічна модель математичного програмування розвитку генеруючих потужностей національної
атомної енергетики зі стохастичною змінною
ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2015, вип. 1 (40)
прогнозувати його збереження і в майбутньому.
Внаслідок запровадження дерегуляції елек-
троенергетики в ядерній енергетиці відбу-
ваються такі дві головні пов’язані між собою
тенденції: 1) практично зупинена реалізація
проектів будівництва потужних, близько 1 ГВте
і більше, АЕС (це не відбувається в країнах з
монопольними принципами організації ринку
електроенергії, наприклад, у Китаї або Індії); 2)
збільшується пропозиція атомних реакторів
середньої, сотні МВте, і малої, декілька МВте,
потужності, які побудовані за різноманітними
технологічними принципами, з використанням
різноманітних теплоносіїв, потребують мен-
ших терміну і складності будівництва. Таким
чином, можливості запровадження генеруючих
потужностей на базі АЕС стають більш різно-
манітними, що об’єктивно, внаслідок зростан-
ня складності пошуку зважених та ефективних,
в ідеальному випадку єдиного оптимального
рішення щодо формування стратегії розвитку
національної атомної енергетики, зумовлює
доцільність використання динамічних моделей
математичного програмування.
На відміну від етапу формування національ-
них об’єднаних систем електроенергетики, що
відбувся в середині ХХ сторіччя шляхом побу-
дови вертикально інтегрованих електроенерге-
тичних компаній відповідно до централізовано
розроблених планів, нині, в умовах запровад-
ження дерегуляції ринку електроенергії, а
також глобалізації економічних відносин,
зокрема особливостей функціонування ринків
паливно-енергетичних ресурсів, суттєво зро-
стає невизначеність сучасних і майбутніх умов
функціонування національної електроенерге-
тики, що ускладнює використання детерміно-
ваних оптимізаційних моделей і вимагає
щонайменше їх удосконалення. Одним з най-
більших викликів до методів дослідження роз-
витку систем енергетики, в тому числі і ядерної
енергетики як її складової, є забезпечення
робастності математичних моделей, тобто міні-
мізації чутливості рішення моделей до можли-
вих похибок вхідних даних, які використо-
вуються в таких дослідженнях. Одним з підхо-
дів щодо підвищення стійкості рішення до
варіабельності вхідних даних є розробка мате-
матичних моделей зі стохастичними змінними
[1–3], які з кінця ХХ сторіччя широко застосо-
вуються на фінансових ринках країн з ринко-
вою економікою, наприклад, у задачах форму-
вання портфеля інвестицій із заданою прибут-
ковістю або із заданим рівнем ризикованості
здійснення інвестицій і в інших задачах. Нині
ці підходи для цілей дослідження процесів роз-
витку енергетики активно розвиваються в
передових світових наукових центрах, наприк-
лад, у Міжнародному інституті прикладного
системного аналізу (IIASA) в межах теми нау-
кових досліджень Advanced System Analysis
[1,3].
У статті запропоновано динамічну модель
математичного програмування розвитку гене-
руючих потужностей національної атомної
енергетики зі стохастичною змінною, яка доз-
воляє враховувати актуальну для багатьох дер-
жав з розвиненою атомною енергетикою про-
блему невизначеності часу, на який можливо
продовжити експлуатацію ядерних енергобло-
ків після завершення проектного терміну їх
комерційного використання. На сьогодні
подібні задачі в переважній більшості вирі-
шуються з використанням імітаційних моде-
лей, які передбачають прямі розрахунки,
наприклад, з використанням моделі ENPEP,
розробленої МАГАТЕ [4]. Доцільність розроб-
ки і використання в подібних дослідженнях
моделей математичного програмування зумов-
лена зростаючим різноманіттям доступних тех-
нологій генерації електроенергії, зокрема і в
ядерній енергетиці, а також зростаючою неви-
значеністю умов функціонування енергетики,
що ускладнює побудову та раціональне обґрун-
тування певного сценарію її розвитку, але
передбачає можливість реалізації будь-якого
сценарію, навіть ірраціонального з точки зору
поточних уявлень та знань.
Математична модель побудована з викори-
станням двох основних множин, з якими
пов’язані відповідні змінні: множина
до якої входять всі доступні для використання
на першому етапі моделювання існуючі ядерні
енергоблоки;
всі нові, тобто побудовані на майбутніх етапах
моделювання, атомні енергоблоки. Цільовою
функцією оптимізаційної моделі є мінімізація
сумарних витрат на виробництво електроенергії
як існуючими, так і новими енергоблоками на
всіх етапах моделювання (наприклад, гривень,
приведених до першого етапу моделювання):
множина, яка містить
де T – множина періодів моделювання
hte
E – тривалість роботи енергоблока з множи-
ни E протягом періоду моделювання t (годин),
Xte
E – доступна потужність енергоблока з мно-
жини E протягом періоду моделювання t
(МВте), ce – собівартість виробництва електро-
енергії існуючим енергоблоком з множини E
(грн/МВте), htn
N – тривалість роботи енерго-
блока з множини N протягом періоду моделю-
вання t (годин), atn
N – змінна з множини цілих
чисел (власне пошук якої і здійснюється в
математичній моделі), що відповідає кількості
енергоблоків з множини N, доступних протя-
гом періоду моделювання t, Xtn
N – одинична
потужність енергоблока з множини N (МВте),
cn – середньозважена собівартість виробництва
електроенергії енергоблоком з множини N, яка
визначена з використанням моделей життєвого
циклу [5–7] (грн/МВте), ctn – штучна штрафна
змінна (аналог cn), завдяки якій з використан-
ням формули (5) обмежується зверху значення
змінної atn
N.
Обмеженням оптимізаційної математичної
моделі є обов’язковість на кожному етапі
виробництва електроенергії всіма доступними
енергоблоками АЕС в обсягах Wt, які задаються
екзогенно:
Сформульована оптимізаційна математична
модель (1)–(3) “не стримує” запровадження
будь-яких обсягів змінних atn
N, навіть таких,
що призведуть до суттєвого перевищення
необхідного обсягу виробництва Wt. Щоб обме-
жити змінні atn
N зверху для кожного етапу
моделювання собівартість виробництва елек-
троенергії енергоблоками з множини N будемо
визначати так:
де XTotal – сумарна потужність всіх енергобло-
ків, яка з використанням мінімального зна-
чення числа годин роботи енергоблоків ht
здатна забезпечити виробництво електроенер-
гії в обсягах Wt. Отже, суть формули (4) полягає
в тому, що чим більшу кількість нових енерго-
блоків буде застосовано в період понад необхід-
ного обсягу Xt
Total, тим більше зростання
штрафної змінної ctn буде розраховано і засто-
совано в цільовій функції (1), що раціоналізує
пошук оптимального рішення задачі (1)–(3).
Склад множини E для певного етапу моде-
лювання залежить від тривалості продовження
експлуатації кожного з енергоблоків, причому
значення термін продовження може відрізня-
тися для кожного з енергоблоків і залежить від
багатьох чинників, насамперед від технічного
стану енергоблока, в момент прийняття рішен-
ня про можливість та доцільність подальшого
його використання в запроектний експлуата-
ційний період. Таким чином, для кожного з
існуючих енергоблоків на кожному етапі моде-
лювання необхідно визначити його доступ-
ність, яка залежить від заздалегідь не детермі-
нованого значення продовження терміну його
експлуатації.
На сьогодні фахівці дійшли згоди, що міні-
мальний технічно припустимий безпечний
термін продовження використання існуючих
енергоблоків після вичерпання ними про-
ектного терміну експлуатації становить 10
років. Таке становище описано в математич-
ній моделі константою teD – значення періоду,
14 ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2015, вип. 1 (40)
С.В. ШУЛЬЖЕНКО
(1)
(2)
(3)
(4)
15ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2015, вип. 1 (40)
Динамічна модель математичного програмування розвитку генеруючих потужностей національної
атомної енергетики зі стохастичною змінною
до якого “гарантовано” продовжено термін
експлуатації кожного енергоблока з множини
E, при цьому в загальному випадку не
обов’язково, щоб термін експлуатації кожно-
го енергоблока був продовжений на 10 років.
Також необхідно враховувати, що в результаті
виконання робіт з продовження терміну екс-
плуатації можлива зміна потужності енерго-
блока, яка моделюється константою Xte
E+10
(МВте). Після десятирічної запроектної екс-
плуатації енергоблока буде зроблена оцінка
його стану і можливості подальшого безпеч-
ного використання. Результат цієї оцінки
пропонується моделювати, використовуючи
стохастичну змінну ξe з рівномірним розподі-
лом, яка може набувати значення 0, 5 або 10.
Це означає, що додатковий “негарантований”
термін продовження експлуатації енергобло-
ка становить або 0 років (енергоблок зніма-
ється з експлуатації), або 5 років, або 10 років.
Таким чином, з використанням введених
констант та стохастичної змінної доступна
потужність існуючого енергоблока в запроект-
ний період його використання для кожного
періоду моделювання визначається такою фор-
мулою:
(5)
Алгоритм реалізації задачі (1)–(4) із застосу-
ванням формули (5) є таким:
1) виконується генерація сценарію доступ-
ності існуючих енергоблоків на всіх етапах
моделювання, тобто застосуванням формули
(5) визначаються значення змінних Xte
E, які є
константами для задачі (1)–(4);
2) для кожного етапу моделювання визнача-
ється значення змінної Xt
Total, які є константа-
ми для задачі (1)–(4);
3) виконується реалізація задачі (1)–(4)
пошуку оптимальної кількості введення в екс-
плуатацію нових енергоблоків, тобто змінної
atn
N;
4) розраховані змінні ξe, Xte
E, Xt
Total та atn
N
записуються у файл для подальшої статистич-
ної та аналітичної обробки;
5) здійснюється перехід на крок 1), або –
закінчення роботи алгоритму.
Для здійснення розрахунків за цим алго-
ритмом в середовищі MS Excel 2003 з викори-
станням VBA for Applications була розроблена
програмно-інформаційна система. В ролі
підпрограми методів математичного програ-
мування використовувалась стандартна над-
будова “Поиск решения”. Вхідні дані для
розрахунків були сформовані відповідно до
наявної інформації про стан та перспективи
продовження терміну експлуатації існуючих
ядерних енергоблоків (табл. 1), а також техні-
ко-економічних показників ядерних енерго-
блоків (табл. 2), які є основою для перспек-
тивних проектів АЕС з водо-водяними реак-
торами, зокрема АЕС-2006, модернізований
ВВЕР-1000 та проекту блочного енергетично-
го реактора ВБЕР-300 розробки ОКБМ
Афрікантова.
Задача (1)–(4) передбачає пошук набору
оптимальних значень цілочислових змінних
atn
N, але оскільки методи цілочислової опти-
мізації вимагають значних обчислювальних
ресурсів і можуть тривати декілька годин, то
як тип шуканої змінної було використано
дійсний. Це дозволило реалізувати методи
пошуку оптимальних дійсних значень, які
тривають лише декілька хвилин.
Перетворення знайдених оптимальних дій-
сних значень змінних здійснювалось застосу-
ванням стандартної функції MS Excel округ-
лення до найближчого цілого – власне функ-
ції FLOOR() або ЦЕЛОЕ() у випадку версії
MS Excel, локалізованої для країн колишнього
СРСР.
З використанням наведених вхідних даних
було здійснено 1100 розрахунків, оброблених
з використанням статистичних методів
досліджень. Для кожного з досліджуваних
параметрів було визначено мінімальне та мак-
симальне значення, а потім весь діапазон
отриманих даних був розділений на 10 інтер-
валів, що дало змогу побудувати гістограми
(див. табл. 3, рис. 1–4).
16 ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2015, вип. 1 (40)
С.В. ШУЛЬЖЕНКО
Таблиця 1 – Характеристики існуючих енергоблоків АЕС України
Таблиця 2 – Основні техніко-економічні показники перспективних АЕС
17ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2015, вип. 1 (40)
Динамічна модель математичного програмування розвитку генеруючих потужностей національної
атомної енергетики зі стохастичною змінною
Таблиця 3 – Статистична обробка даних, отриманих у результаті реалізації алгоритму
в середовищі MS Excel (І – Середній термін продовження експлуатації, років;
ІІ – АЕС-2006, кількість блоків; ІІІ – ВБЕР-300, кількість блоків;
ІV – ВВЕР-1000, кількість блоків; V – собівартість, дол. США/МВт•год;
VІ – Сумарна потужність для останнього періоду оптимізації, ГВте)
Рис. 1. Гістограма середнього значення
собівартості виробництва електроенергії всіма
АЕС
Рис. 2. Гістограма сумарної потужності АЕС
на кінець періоду моделювання
Рис. 3. Гістограма сумарних інвестицій на кінець
періоду моделювання
Рис. 4. Гістограма середнього терміну
продовження експлуатації АЕС
Як свідчать розрахунки, виконані відповідно
до наведених припущень та вхідних даних, най-
більш ймовірний термін продовження експлуа-
тації існуючих енергоблоків становить від 14 до
16 років (рис. 4). Це зумовлює необхідність
початку практичної реалізації проектів будів-
ництва нових заміщуючих потужностей АЕС
після 2020 року, оскільки саме в цей період
вичерпується десятирічний термін продовжен-
ня терміну експлуатації енергоблоків РАЕС-1
та РАЕС-2, і найбільш ймовірним наступним
терміном їх експлуатації буде 5 років, протягом
якого необхідно ввести в дію нові потужності
АЕС. Відповідно до реалізації наведеного алго-
ритму найбільш ймовірною кількістю нових
енергоблоків АЕС проекту 2006, які необхідно
ввести в експлуатацію протягом періоду моде-
лювання, є 5 енергоблоків типу ВБЕР-300 –
4–6, енергоблоків ВВЕР-1000 – 5–8, для чого
необхідно здійснити інвестиції в обсязі 45 –
65 млрд дол. США (рис. 3). Це зумовлює акту-
альність розробки низки заходів національного
рівня, наприклад, як складової енергетичної
стратегії України, спрямованих на гарантоване
забезпечення потреб атомної енергетики в
інвестиційних ресурсах.
ВИСНОВКИ
1. Глобалізація економіки зумовлює обме-
жені можливості впливу на національні ринки
паливно-енергетичних ресурсів з боку держави
і, як наслідок, веде до їх волатильності.
Впровадження ринкових принципів регулю-
вання електроенергетикою суттєво підвищує
невизначеність майбутніх умов її функціону-
вання і об’єктивно вимагає удосконалення
існуючих та розробки нових математичних
моделей і методів прогнозування, які мають
враховувати означені чинники.
2. Ядерна енергетика є найбільш консерва-
тивною галуззю електроенергетики, в умовах
ринку, це зумовлює зростання невизначеності
зовнішніх факторів впливу, вона практично
припиняє свій розвиток, що створює потенцій-
ну загрозу її сталому та безпечному функціону-
ванню. Це зумовлює необхідність запровад-
ження засобів моделювання її розвитку, побу-
дованих не тільки з використанням імітаційних
методів, здатних дуже обмежено моделювати
збурення зовнішніх факторів, що дозволяє роз-
раховувати обмежену кількість траєкторій роз-
витку, а і застосовувати методи, здатні моделю-
вати практично необмежену кількість зовніш-
ніх збурень, зокрема методів математичного
програмування із використанням стохастичних
змінних.
3. У статті запропонована математична
оптимізаційна модель розвитку національної
атомної енергетики, здатна враховувати зро-
стаюче різноманіття доступних атомних техно-
логій генерації електроенергії, а також зро-
стаючу невизначеність майбутніх умов її функ-
ціонування, зокрема терміну продовження екс-
плуатації існуючих енергоблоків АЕС, що
моделюється відповідною стохастичною змін-
ною.
4. Виконані за цією моделлю розрахунки,
відповідно до наведених у статті вхідних даних
та припущень, свідчать, що необхідність почат-
ку практичної реалізації проектів будівництва
нових заміщуючих потужностей АЕС настає
після 2020 року, оскільки саме в цей період
вичерпується десятирічний термін продовжен-
ня терміну експлуатації енергоблоків РАЕС-1
та РАЕС-2, і найбільш ймовірним наступним
терміном їх експлуатації буде 5 років, протягом
якого необхідно ввести в дію нові потужності
АЕС. Відповідно до розрахунків для будівницт-
ва заміщуючих потужностей АЕС необхідно
залучити інвестиційних ресурсів в обсязі 45 –
65 млрд дол. США, що зумовлює актуальність
розробки низки заходів національного рівня,
наприклад, як складової енергетичної стратегії
України, спрямованих на гарантоване забезпе-
чення потреб атомної енергетики в інвестицій-
них ресурсах.
5. Запропонована динамічна модель матема-
тичного програмування зі стохастичною змін-
ною може використовуватись як основа для
побудови складніших моделей з декількома
стохастичними змінними, здатних охоплювати
не лише ядерну енергетику, а і електроенерге-
тику в цілому.
1. Ermoliev Y. Economic Growth Under
Shocks: Path Dependencies and Stabilization /
Ermoliev. Y, Ermolieva T., Norkin I. — IIASA,
2006. — 17 c. — (Preprint / International
Institute for Applied System Analysis; March
2006).
2. Ермольев Ю.М., Ляшко И.И.,
18 ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2015, вип. 1 (40)
С.В. ШУЛЬЖЕНКО
Михалевич В.С., Тюптя В.И. Математи-
ческие методы исследования операций:
Учеб. пособие для вузов. – Киев: Вища
школа, 1979. – 312 с.
3. Ermolieva T.Y., Ermoliev Y.M., Havlik P.,
Mosnier A., Leclere D., Kraxner F., Khabarov
N., Obersteiner M. Systems analysis of robust
strategic decisions to plan secure food, energy,
and water provision based on the stochastic
GLOBIOM model // Cybernetics and Systems
Analysis. – 2015. – 51(1). – P.125–133.
4. Connolly D et al. A review of computer tools
for analysing the integration of renewable energy
into various energy systems. Appl Energy
(2009), doi:10.1016/j.apenergy.2009.09.026.
5. Шульженко С.В. Особливості розрахунку
вартісних показників у задачах прогнозуван-
ня розвитку електроенергетичних систем за
ринкових умов їх функціонування /
С.В. Шульженко // Проблеми загальної
енергетики. – 2008. – № 18. – С. 16–20.
6. Шульженко С.В. Показники ефективно-
сті функціонування та розвитку електрич-
них станцій в умовах ринку /
С.В. Шульженко // Проблеми загальної
енергетики. – 2009. – № 20. – С. 7–13.
7. Шульженко С.В., Денисов В.А.
Конкурентоспроможність паливних еле-
ментів відносно традиційних технологій
виробництва електричної та теплової енергії
/ С.В. Шульженко, В.А. Денисов //
Проблеми загальної енергетики, – 2014. –
Вип. 3 (38). – С. 29–35.
Надійшла до редколегії 12.05.2015
19ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2015, вип. 1 (40)
Динамічна модель математичного програмування розвитку генеруючих потужностей національної
атомної енергетики зі стохастичною змінною
|
| id | systemreorg-article-48 |
| institution | System Research in Energy |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:02:48Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | systemreorg/bf/8511319e4ceeb1112830605ba4fc6abf.pdf |
| spelling | systemreorg-article-482026-07-18T12:57:30Z Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the National Nuclear Power Sector Динамічна модель математичного програмування розвитку генеруючих потужностей національної атомної енергетики зі стохастичною змінною Shulzhenko S.V. Mathematical model, mathematical programming, stochastic variable, nuclear power plant, national power sector. математична модель, математичне програмування, стохастична змінна, атомна електростанція, національна електроенергетика. A mathematical optimization model of the development of the national nuclear power industry is proposed, which is able to take into account the growing variety of available nuclear power generation technologies, as well as the growing uncertainty of the future conditions of its operation, in particular, the term of continued operation of existing NPP power units, which is modeled by a corresponding stochastic variable. In contrast to mathematical models built using simulation methods, which is typical for conducting research on the development of nuclear power as the most conservative branch of electric power, and capable of modeling disturbances of external factors to a very limited extent, which makes it possible to calculate a limited number of development trajectories, the proposed mathematical model and the algorithm for its implementation is capable of simulating an almost unlimited number of external disturbances, in particular, using stochastic variables. Запропоновано математичну оптимізаційну модель розвитку національної атомної енергетики, яка здатна враховувати зростаюче різноманіття доступних атомних технологій генерації електроенергії, а також зростаючу невизначеність майбутніх умов її функціонування, зокрема терміну продовження експлуатації існуючих енергоблоків АЕС, що моделюється відповідною стохастичною змінною. На відміну від математичних моделей, побудованих з використанням імітаційних методів, що властиво для виконання досліджень розвитку ядерної енергетики як найбільш консервативної галузі електро-енергетики, і здатних дуже обмежено моделювати збурення зовнішніх факторів, що зумовлює можливість розрахунку обмеженої кількості траєкторій розвитку, запропонована математична модель і алгоритм її реалізації здатні моделювати практично необмежену кількість зовнішніх збурень, зокрема, із використанням стохастичних змінних. General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine 2015-05-12 Article Article application/pdf https://systemre.org/index.php/journal/article/view/48 10.15407/pge2015.01.005 System Research in Energy; No. 1 (40) (2015): The problems of general energy; 5-19 Системні дослідження в енергетиці; № 1 (40) (2015): Проблеми загальної енергетики; 5-19 2786-7102 2786-7633 uk https://systemre.org/index.php/journal/article/view/48/39 Copyright (c) 2015 Shulzhenko S.V. https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0 |
| spellingShingle | Mathematical model mathematical programming stochastic variable nuclear power plant national power sector. Shulzhenko S.V. Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the National Nuclear Power Sector |
| title | Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the National Nuclear Power Sector |
| title_alt | Динамічна модель математичного програмування розвитку генеруючих потужностей національної атомної енергетики зі стохастичною змінною |
| title_full | Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the National Nuclear Power Sector |
| title_fullStr | Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the National Nuclear Power Sector |
| title_full_unstemmed | Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the National Nuclear Power Sector |
| title_short | Dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the National Nuclear Power Sector |
| title_sort | dynamic mathematical programming model with stochastic variable for the development of the national nuclear power sector |
| topic | Mathematical model mathematical programming stochastic variable nuclear power plant national power sector. |
| topic_facet | Mathematical model mathematical programming stochastic variable nuclear power plant national power sector. математична модель математичне програмування стохастична змінна атомна електростанція національна електроенергетика. |
| url | https://systemre.org/index.php/journal/article/view/48 |
| work_keys_str_mv | AT shulzhenkosv dynamicmathematicalprogrammingmodelwithstochasticvariableforthedevelopmentofthenationalnuclearpowersector AT shulzhenkosv dinamíčnamodelʹmatematičnogoprogramuvannârozvitkugeneruûčihpotužnostejnacíonalʹnoíatomnoíenergetikizístohastičnoûzmínnoû |