Mathematical Modeling and Parametrical Identification of Heat Processes Considering Antecedent Information About Heat Generation Sources

The inverse tasks of thermal conductivity are considered, in connection with heat sources identification, applicable both for heat processes optimization at the stage of the different heat-loaded technical objects scheduling, including power industry, and for their diagnostics based on the thermomet...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автор:	Kostikov A.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine 2014
Теми:	inverse task of thermal conductivity heat source identification antecedent information geometry features.
Онлайн доступ:	https://systemre.org/index.php/journal/article/view/525
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	System Research in Energy
Завантажити файл:

Репозитарії

System Research in Energy

_version_	1871103979322081280
author	Kostikov A.
author_facet	Kostikov A.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Kostikov A.", "institution": null } ]
author_sort	Kostikov A.
baseUrl_str	https://systemre.org/index.php/journal/oai
collection	OJS
datestamp_date	2026-07-18T12:57:41Z
description	The inverse tasks of thermal conductivity are considered, in connection with heat sources identification, applicable both for heat processes optimization at the stage of the different heat-loaded technical objects scheduling, including power industry, and for their diagnostics based on the thermometering data.It is demonstrated that if antecedent information about heat source is missing, this task is inner. As a result of its solution, only the source power distribution through all considered area domain could be found. Herewith, it is impossible to identify subarea of the source itself.Possession of an antecedent information about heat source transfers the task into the class of combined, when it is possible to determine simultaneously both the subarea of heat source in space, and its heat generation power distribution through this subarea. Herewith, antecedent information can be of both geometry and energetic type.As a numerical example, a model inverse task of thermal conductivity is considered, for heat source identification in a stationary one-dimensional case. As antecedent information, the information about simple connected source subarea is used. This fact permits to include the geometry features determining source subarea position into identifiable parameters.
first_indexed	2026-03-24T02:02:06Z
format	Article
fulltext	15ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2014, вип. 3 (38) УДК 536.24 А.О. КОСТИКОВ, д-р техн. наук, доцент Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, ул. Дм.Пожарского, 2/10, г. Харьков, 61046, Украина Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, площадь Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ С УЧЁТОМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ИСТОЧНИКАХ ГЕНЕРАЦИИ ТЕПЛОТЫ Рассмотрена обратная некорректная задача математической физики по идентифика- ции параметров источника теплоты. Показано, что отсутствие или наличие априорной информации об идентифицируемом источнике существенно влияет на постановку задачи. В первом случае обратная задача относится к классу внутренних, во втором – геометрических. Рассмотрен модельный пример, в котором наличие априорной информации энергетического характера позволило определить область местораспо- ложения источника генерации теплоты. К л ю ч е в ы е с л о в а: обратная задача теплопроводности, идентификация источника теплоты, априорная информация, геометрические характеристики. Введение Помимо прямых задач математической физи- ки, которые применяются для математического моделирования различных физических про- цессов, при разработке, модернизации или реконструкции энергетического оборудования, последнее время довольно часто прибегают к использованию инструментария обратных задач. Обратные задачи теплопроводности (ОЗТ), связанные с идентификацией источни- ков теплоты, известны и востребованы уже не один десяток лет. Прежде всего это задачи оптимального проектирования, в которых за счет правильного выбора или размещения источников теплоты в исследуемом объекте обеспечивается выполнение некоторого крите- рия, накладываемого на температурное поле. В такой постановке рассматриваются, например, задачи проектирования разных теплонагру- женных объектов, прежде всего электронных устройств в системах управления энергетиче- ским объектом [1–4]. К данной группе отно- сятся и задачи, встречающиеся при разработке систем термостабилизации, когда за счёт изме- нения размеров и выделяемой тепловой мощ- ности необходимо обеспечить приближение получаемого температурного поля к заданному. Задачи компоновки устройств, в которых в качестве источников теплоты выступают их тепловыделяющие элементы известной кон- струкции, связаны с размещением тепловых источников известной тепловой мощности. В качестве критерия оптимальности здесь, как правило, выступает требование минимизации температуры объекта. На сегодняшний день задачи оптимального размещения источников успешно решаются как в двухмерной, так и трехмерной постановке. В качестве примеров можно упомянуть работы [5–9]. При размеще- нии источников в произвольных местах приме- няются, как правило, традиционные методы минимизации целевого функционала ОЗТ. Задачи назначения источников на фиксиро- ванные места сводятся к задачам дискретной оптимизации. Поскольку сами тепловые источники рассматриваются либо точечными, либо вполне определенной геометрической формы (как правило, прямоугольной), реше- ние этих задач не требует применения таких сложных математических инструментариев для © A.O.КОСТИКОВ, 2014 A.O.КОСТИКОВ ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2014, вип. 3 (38)16 описания геометрии, как, например, в случае задач идентификации границы объекта. В последние годы получили развитие и методы идентификации положения источни- ков теплоты на основании результатов термо- метрирования, что, помимо прочего, позволяет производить диагностику различного теплона- груженного оборудования, в том числе и энер- гетического. При этом следует отметить, что если источник занимает всю рассматриваемую расчётную область, то такая ОЗТ относится к так называемым внутренним (согласно класси- фикации [10]) или коэффициентным (согласно классификации [11]). Если же источник заве- домо меньше рассматриваемого объекта, то помимо идентификации удельной мощности необходимо вести речь и об определении его геометрических характеристик, то есть рас- сматривать комбинированную ОЗТ. Поскольку тепловой источник в задаче теп- лопроводности однозначно описывается сво- бодным членом уравнения теплопроводности, то задача по его идентификации заключается в определении функциональной зависимости этого свободного члена от пространственных и временной координат. Методы решения внут- ренних (коэффициентных) ОЗТ по идентифи- кации теплового источника хорошо проработа- ны и достаточно полно освещены в соответ- ствующей литературе (см., например, моногра- фии [10, 12, 13]). Поэтому подробно останавли- ваться на таких задачах мы не будем. Среди комбинированных ОЗТ по идентифи- кации внутреннего источника теплоты можно выделить следующие. В работах [14, 15] по результатам измерений температуры на грани- це двухмерной области определяются две коор- динаты и мощность точечного источника, положение которого изменяется с течением времени. Нестационарная задача идентифика- ции движущегося линейного источника тепло- ты рассматривается в [16, 17]. В работах [18, 19] решаются одномерные, двухмерные и трехмер- ные комбинированные ОЗТ в стационарной постановке для идентификации очагов само- возгорания растительного сырья. Здесь авторы заранее задаются формой источника (прямо- угольный, цилиндрический) и определяют несколько скалярных параметров, характери- зующих его положение и размеры. Довольно много ОЗТ по идентификации местоположе- ния источников теплоты связаны с исследова- ниями процессов сварки. При этом в матема- тической модели тепловой источник представ- ляет собой небольшое круглое пятно, соответ- ствующее области расплава, а идентифици- руются его положение и размер [20–23]. Таким образом, комбинированные задачи по идентификации источника теплоты рас- сматриваются преимущественно в постановке, когда его форма известна и определяется одна или несколько геометрических скалярных величин. Вместе с тем во многих прикладных задачах идентифицируемый источник может иметь произвольную, заранее неизвестную форму. Таким образом, исследования, направ- ленные на дальнейшее развитие методологии решения рассматриваемых комбинированных задач, являются актуальными. Целью данной статьи является изучение влияния априорной информации об источнике на постановку и решение задачи его идентификации. Постановка задачи идентификации источника теплоты Явление теплопереноса в объекте с источни- ками теплоты описывается уравнением теплопроводности : начальным T\|τ=0 = T0 (2) и граничными условиями BT\|Г = μ. (3) Здесь T = T(τ, x, y, z) ((x, y, z) температурное поле рассматриваемого объекта; c, ρ, λ – его теплоемкость, плотность и теплопроводность; qV = qV(τ, x, y, z) ((x, y, z) τ > 0) – удельная мощность тепловыделения внутренних источников теплоты; T0 = T0(x, y, z) ((x, y, z) ратуры; B – оператор граничных условий; μ = = μ(τ, x, y, z) ((x, y, z) член в граничных условиях; Ω – простран- ственная область, занимаемая рассматривае- мым объектом; Г – её граница. В рассматриваемой ОЗТ искомой является функциональная зависимость qV(τ, x, y, z). В качестве дополнительных исходных данных (1) , τ > 0) – , ) – начальное распределение темпе- , τ > 0) – свободный Математическое моделирование и параметрическая идентификация тепловых процессов с учётом априорной информации об источниках генерации теплоты ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2014, вип. 3 (38) 17 выступают результаты измерений Tik * в конеч- ном числе точек измерения (xi, yi, zi) = 1, 2, …, N, в конечное число моментов времени τk, k = 1, 2, …, M. Отметим, что все наши дальнейшие рас- суждения справедливы и в стационарном слу- чае, когда нестационарный член уравнения (1) и начальное условие (2) отсутствуют, с той лишь разницей, что во всех функциональных зависимостях исключается переменная време- ни t. Если данную ОЗТ рассматривать в экстре- мальной постановке, то она сводится к мини- мизации целевого функционала, в качестве которого можно рассматривать невязку между измеренными и рассчитанными согласно модели (1)–(3) температурами: В случае, если тепловой источник занимает весь рассматриваемый объект, то функция qV отлична от 0 во всех точках области Ω. Если же размеры источника меньше объекта, то он занимает некоторую подобласть Ωи, вне кото- рой qV = 0, то есть Ωи – носитель функции qV. Отметим, что в общем случае носитель Ωи может не являться односвязной областью (например, источник может иметь форму кольца или иной фигуры, содержащей под- область без тепловыделения). Он также может состоять из нескольких обособленных под- областей, что соответствует наличию двух или более источников теплоты, разнесённых в объекте. Помимо источника теплоты в рас- сматриваемом объекте могут быть и стоки теп- лоты, то есть функция qV может принимать отрицательные значения в пределах своего носителя. Будем считать, что идентифицируется непо- движный источник. Иными словами, даже если рассматривается нестационарная задача, то носитель Ωи функции qV остаётся неизмен- ным во времени. Влияние априорной информации на постановку задачи идентификации источника теплоты В подавляющем большинстве случаев реше- ние ОЗТ является приближенным, в силу того, что используются приближенные методы минимизации целевого функционала. Кроме того, в случае некорректной постановки ОЗТ стремление получить как можно более точное решение приводит к его неустойчивости, и приходится применять регуляризирующие процедуры, которые являются причиной воз- никновения дополнительных погрешностей. Погрешности измерений исходных данных и погрешности вычислений на компьютере также являются факторами, снижающими точ- ность получаемого решения. К возникновению методической погрешности в решении, как правило, приводит параметризация искомой функциональной зависимости qV, поскольку она сужает класс функций, на котором отыски- вается решение. Из всего сказанного выше можно сделать вывод о том, что при идентификации удельной мощности тепловыделения она находится с некоторой погрешностью. Введём следующие обозначения: qV т – точное решение рассматри- ваемой ОЗТ, qV п – приближённое решение, найденное в результате идентификации источ- ника. Очевидно, что а для функции qV п аналогичные соотношения выполняются для другой области Отметим также, что на практике Ωп, как пра- вило, совпадает со всей расчётной областью Ω. Если идентификация удельной мощности источника проведена с достаточно высокой точ- ностью, то отклонение между ее точным и при- ближенным значением невелико, а следовательно , i = 18 ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2014, вип. 3 (38) A.O.КОСТИКОВ или, по крайней мере, соотношение qV п(τ, x, y, z) ≈ 0 будет выполняться на некотором удале- нии от Ωи. Тем не менее, для того, чтобы в конечном итоге можно было вести речь об определении подобласти Ωи, необходимо задаться какой-то положительной величиной qmin, что позволит приближенно найти Ωи сле- дующим образом: Ωи п = {(x, y, z) : \|qV п(τ, x, y, z)\| > qmin}. При этом qmin должно быть заведомо больше погрешности определения qV п, так как в про- тивном случае части подобласти, где qV п(τ, x, y, z) ≈ 0, войдут в Ωи п. Фактически величина qmin является допол- нительным исходным данным, а неравенство \|qV(τ, x, y, z)\| > qmin (4) – дополнительным условием задачи. Таким образом, можно сделать вывод о том, что при отсутствии априорной информации об искомом источнике теплоты идентифициро- вать область Ωи не представляется возможным, и рассматриваемую задачу можно решать толь- ко как внутреннюю (коэффициентную). Помимо соотношения (4) в качестве априорной информации об источнике можно рассмотреть и другие условия. Например, если известно, что область Ωи является односвязной, то можно параметризи- ровать уравнение её границы и одновременно с параметрами, определяющими функцию qV, искать и параметры границы области Ωи. Изначальное задание формы идентифицируе- мой подобласти, занимаемой источником, как уже отмечалось во введении, также использу- ется при решении подобных задач. В качестве априорной информации могут выступать не только информация о геометрии области Ωи, а и некоторые данные о мощности тепловыделения. Фактически, условие (4) является энергетической, а не геометрической априорной информацией. Можно также изна- чально задаться суммарной мощностью тепло- выделения (например, рассчитать её по резуль- татам измерения теплоотдачи на поверхности всего рассматриваемого тела) или предполо- жить, что мощность тепловыделения источни- ка равномерно распределена в его пределах (в этом случае и т. п. Численный пример В качестве иллюстрации изложенных выше рассуждений рассмотрим модельную одномер- ную стационарную задачу теплопроводности на отрезке 0 < x < 1. Источниковый член qV(x) идентифициро- вался в виде линейной комбинации известных базисных функций ϕk(x) с неизвестными коэф- фициентами ak: В качестве базисных функций использова- лись кубические B-сплайны, а температурные «измерения», задаваемые как исходные данные ОЗТ, получались путём решения прямой задачи теплопроводности с источником, равномерно распределённым на отрезке 0,3 < x < 0,7. На рис. 1 представлены результаты иденти- фикации удельной мощности тепловыделения с использованием 10 базисных функций в слу- чае отсутствия априорной информации об идентифицируемом источнике. На рис. 2 изоб- ражены результаты идентификации при усло- вии, что носитель функции qV(x) является свя- занной областью, то есть представляет собой отрезок a < x < b, координаты начала и конца которого необходимо идентифицировать как и коэффициенты зависимости (5). Как видно из рисунков, в первом случае отсутствие априорной информации привело к тому, что область расположения источника определить не представляется возможным. Во втором случае, при наличии априорной инфор- мации, идентификация месторасположения источника проведена с приемлемой точностью. Заключение Рассмотрена ОЗТ идентификации источни- ка теплоты на основании результатов термо- метрирования. Показано, что в случае отсут- ствия априорной информации об идентифи- цируемом источнике ОЗТ является внутрен- (5) 19ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2014, вип. 3 (38) Математическое моделирование и параметрическая идентификация тепловых процессов с учётом априорной информации об источниках генерации теплоты Рис. 1. Идентификация источника при отсутствии априорной информации: 1 – истинные значения qV(x); 2 – значения qV(x), найденные в результате идентификации Рис. 2. Идентификация источника при наличии априорной информации: 1 – истинные значения qV(x); 2 – значения qV(x), найденные в результате идентификации ней (коэффициентной). При наличии априор- ной информации об источнике (причём неважно, какого характера эта информация – геометрическая или энергетическая) можно вести речь об одновременной идентификации его местоположения и мощности тепловыде- ления. 1. Дульнев Г.Н. Тепловые режимы радио- электронной аппаратуры / Г. Н. Дульнев, Н. Н. Тарновский. – Л.: Энерегия, 1971. – 248 с. 2. Автоматизация теплового проектирова- ния микроэлектронных устройств средства- ми САПР / В. А. Коваль, Д. Ф. Федасюк, В. В. Маслов, В. Ф. Тарновский. – Львов: Вища школа, 1988. – 256 с. 3. Роткоп Л.Л. Обчеспечение тепловых режимов при конструировании радиоэлектронной аппаратуры / Л.Л. Роткоп, Ю.Е. Спокойный. – М.: Советское радио, 1976. – 232 с. 4. Федасюк Д.В. Методи та засоби теплово- го проектування мікроелектронних при- строїв. – Львів: Видавництво Державного університету «Львівська політехніка», 1999. – 228 с. 5. Бартман А.Б. Решение обратной задачи по расположению тепловых источников и сто- ков на плоскости / А.Б. Бартман // Инж.- физ. журн. – 1985. – 49, № 6. – С. 940–943. 6. Стоян Ю.Г. Оптимизация технических систем с источниками физических полей / Ю.Г. Стоян, В.П. Путятин. – Киев: Наук. думка, 1988. – 192 с. 7. Cahlon B. Optimal placement of heat sources on a rectangular grid / B. Cahlon, I.E. Schochetman, M. Shillor // Mathematics and Computers in Simulation. – 1992. – № 34. – P. 351–364. 8. Da Silva A.K. Optimal distribution of discrete heat sources on a plate with laminar forced con- vection / A.K. da Silva, S. Lorente, A. Bejan. // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2004. – № 47. – P. 2139–2148. 9. Мацевитый Ю.М. Геометрические обрат- ные задачи теплопроводности: последова- тельное размещение тепловых источников / Ю.М. Мацевитый, Ю.Г. Стоян, В.П. Путятин, А.О. Костиков // Электронное моделирование. – 2002. – 24, № 2. – С. 99–105. 10. Matsevity Yu.M. Inverse Heat Conduction Problems in 2 volumes. / Yu.M. Matsevity. – Kyiv: Naukova Dumka, 2008. – Vol. 1. Methodology. – 428 p. 11. Основы идентификации и проектирова- ния тепловых процессов и систем / О.М. Алифанов, П.Н. Вабищевич, В.В. Ми- хайлов и др. – М.: Логос, 2001. – 400 с. 12. Alifanov O.M. Extreme Methods for Solving Ill-posed Problems with Applications to Inverse Heat Transfer Problems / O.M. Alifanov, E.A. Artyukhin, S.V. Rumyantsev. – New York: Begell House, 1995. – p. 13. Beck J.V. Inverse Heat Conduction: Ill- Posed Problems / J.V. Beck, B. Blackwell, C.R. St. Clair Jr. – New York: John Wiley & Sons. – 308 p. 14. Abou Khachfe R. Determination of heat sources and heat transfer coefficient for two dimensional heat flow – numerical and experi- mental study / R. Abou Khachfe, Y. Jarny // Int. J. Heat Mass Transfer. – 2001. – 44. P. 1309–1322. 15. Abou Khachfe R. Estimation of heat Sources within two dimensional shaped bodies / R. Abou Khachfe, Y. Jarny // Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice, Port Ludlow, Washington, June 13-18, 1999, (Ed. Keith Woodbury). – P. 309–316. 16. Le Nilliot C. A method for multiple point heat sources identification in a diffusive system: application to a 2D experiment / C.Le Nilliot, F. Lefevre // 34th Nat. Heat Transfer Conf., Pittsburgh, Pennsylvania, August 20–22, 2000. – Paper NHTC2000-12025. 17. Lefevre F. Multiple transient point heat sources identification in heat diffusion: Application to experimental 2D problems / F. Lefevre, C.Le Nilliot // Int. J. Heat Mass Transfer. – 2002. – 45. – P. 1951–1964. 18. Криса И.А. Идентификация параметров очагов самонагревания растительного сырья в стационарном режиме / И.А. Криса, В.П. Ольшанский. – К.: Пожинформтех- ника, 2002. – 152 с. 19. Ольшанский В.П. Определение парамет- ров стержневого очага кругового и квадрат- ного сечений при стационарном самонагре- вании растительного сырья / В.П. Ольшанский // Вестник науки и техни- 20 ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2014, вип. 3 (38) A.O.КОСТИКОВ ки. – 2002. – № 2–3. – С. 11– 16. 20. Estimation of a source term in a two-dimen- sional heat transfer problem: application to an electron beam welding / J. Guo, P.Le Masson, E. Artioukhine et al. // Inverse Problems in Sci. and Eng. – 2006. – 14, № 1. – P. 21–38. 21. Estimation of heat source and thermal effi- ciency in GTAW process by using inverse tech- niques / C.V. Gonзalves, L.O. Vilarinho, A. Scotti, G. Guimarгes // J. Materials Proc. Techn. – 2006. 172. – P. 42–51. 22. Hsu Y.F. An inverse finite element method for the analysis of stationary arc welding processes / Y.F. Hsu, B. Rubinsky, K. Mahin // J. Heat Transfer. – 1986. – 108. – P. 734–741. 23. Kharkin V. Solution of inverse heat conduc- tion problem for determining heat input, weld shape, and grain structure during laser welding / V. Kharkin, V.V. Plochikhine, H.W. Bergmann // Sci. and Techn. Welding and Joining. – 2002. – 7. – P. 224–231. Надійшла до редколегії 14.11.2014 21ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2014, вип. 3 (38) Математическое моделирование и параметрическая идентификация тепловых процессов с учётом априорной информации об источниках генерации теплоты
id	systemreorg-article-525
institution	System Research in Energy
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-07-19T01:16:48Z
publishDate	2014
publisher	General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	systemreorg/44/77a1fdf70c091a8bbf6c1730eacbd344.pdf
spelling	systemreorg-article-5252026-07-18T12:57:41Z Mathematical Modeling and Parametrical Identification of Heat Processes Considering Antecedent Information About Heat Generation Sources Математичне моделювання та параметрична ідентифікація теплових процесів з урахуванням апріорної інформації про джерела генерації теплоти Kostikov A. inverse task of thermal conductivity, heat source identification, antecedent information, geometry features. обернена задача теплопровідності, ідентифікація джерела теплоти, апріорна інформація, геометричні характеристики. The inverse tasks of thermal conductivity are considered, in connection with heat sources identification, applicable both for heat processes optimization at the stage of the different heat-loaded technical objects scheduling, including power industry, and for their diagnostics based on the thermometering data.It is demonstrated that if antecedent information about heat source is missing, this task is inner. As a result of its solution, only the source power distribution through all considered area domain could be found. Herewith, it is impossible to identify subarea of the source itself.Possession of an antecedent information about heat source transfers the task into the class of combined, when it is possible to determine simultaneously both the subarea of heat source in space, and its heat generation power distribution through this subarea. Herewith, antecedent information can be of both geometry and energetic type.As a numerical example, a model inverse task of thermal conductivity is considered, for heat source identification in a stationary one-dimensional case. As antecedent information, the information about simple connected source subarea is used. This fact permits to include the geometry features determining source subarea position into identifiable parameters. Розглянуто обернені задачі теплопровідності (ОЗТ), що пов’язані з ідентифікацією джерел теплоти, які застосовуються як для оптимізації теплових процесів на етапі проектування різних теплонавантажених технічних об’єктів, у тому числі і в галузі енергетики, так і для їх діагностики на основі даних термометрування.Показано, що за відсутності апріорної інформації про джерело теплоти дана ОЗТ є внутрішньою. В результаті її розв’язання можна знайти тільки розподіл потужності тепловиділення джерела по всій просторовій області, що розглядається. При цьому ідентифікувати підобласть, яку займає джерело, неможливо.Наявність апріорної інформації про джерело теплоти переводить задачу в клас комбінованих, коли можна одночасно визначати і підобласть, яку займає джерело теплоти в просторі, і розподіл потужності його тепловиділення по цій підобласті. При цьому апріорна інформація може бути як геометричного, так і енергетичного типу.Як чисельний приклад розглянуто модельну ОЗТ ідентифікації джерела теплоти в стаціонарному одновимірному випадку. У ній у ролі апріорної інформації використано інформацію про однозв’язність підобласті, яку займає джерело. Цей факт дозволив до параметрів, що ідентифікуються, ввести геометричні, які визначають положення підобласті, яку займає джерело. General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine 2014-11-03 Article Article application/pdf https://systemre.org/index.php/journal/article/view/525 System Research in Energy; No. 3 (38) (2014): The Problems of General Energy; 15-21 Системні дослідження в енергетиці; № 3 (38) (2014): Проблеми загальної енергетики; 15-21 2786-7102 2786-7633 uk https://systemre.org/index.php/journal/article/view/525/461 Copyright (c) 2014 Kostikov A. https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0
spellingShingle	inverse task of thermal conductivity heat source identification antecedent information geometry features. Kostikov A. Mathematical Modeling and Parametrical Identification of Heat Processes Considering Antecedent Information About Heat Generation Sources
title	Mathematical Modeling and Parametrical Identification of Heat Processes Considering Antecedent Information About Heat Generation Sources
title_alt	Математичне моделювання та параметрична ідентифікація теплових процесів з урахуванням апріорної інформації про джерела генерації теплоти
title_full	Mathematical Modeling and Parametrical Identification of Heat Processes Considering Antecedent Information About Heat Generation Sources
title_fullStr	Mathematical Modeling and Parametrical Identification of Heat Processes Considering Antecedent Information About Heat Generation Sources
title_full_unstemmed	Mathematical Modeling and Parametrical Identification of Heat Processes Considering Antecedent Information About Heat Generation Sources
title_short	Mathematical Modeling and Parametrical Identification of Heat Processes Considering Antecedent Information About Heat Generation Sources
title_sort	mathematical modeling and parametrical identification of heat processes considering antecedent information about heat generation sources
topic	inverse task of thermal conductivity heat source identification antecedent information geometry features.
topic_facet	inverse task of thermal conductivity heat source identification antecedent information geometry features. обернена задача теплопровідності ідентифікація джерела теплоти апріорна інформація геометричні характеристики.
url	https://systemre.org/index.php/journal/article/view/525
work_keys_str_mv	AT kostikova mathematicalmodelingandparametricalidentificationofheatprocessesconsideringantecedentinformationaboutheatgenerationsources AT kostikova matematičnemodelûvannâtaparametričnaídentifíkacíâteplovihprocesívzurahuvannâmapríornoíínformacííprodžerelageneracííteploti

Mathematical Modeling and Parametrical Identification of Heat Processes Considering Antecedent Information About Heat Generation Sources

Репозитарії

Схожі ресурси