Modeling of competitive equilibrium at the electricity market with regard for energy losses in electric networks
We have proposed a mathematical description of a network of power transmission lines, which represents adequately the physical properties of the network in model of the equilibrium state of electricity market. Such a description of the electric network, based on the theory of energy circuits, establ...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://systemre.org/index.php/journal/article/view/547 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System Research in Energy |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System Research in Energy| _version_ | 1871104038534119424 |
|---|---|
| author | Saukh S.Ye. Borisenko A.V. |
| author_facet | Saukh S.Ye. Borisenko A.V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Saukh S.Ye.",
"institution": null
},
{
"author": "Borisenko A.V.",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Saukh S.Ye. |
| baseUrl_str | https://systemre.org/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T12:57:41Z |
| description | We have proposed a mathematical description of a network of power transmission lines, which represents adequately the physical properties of the network in model of the equilibrium state of electricity market. Such a description of the electric network, based on the theory of energy circuits, establishes a relationship between the flows of electricity in power transmission lines and potentials at the nodes of network in strict accordance with Kirchhoff's laws and the Hamilton's principle of least action. Furthermore, this description includes the physical parameters of power transmission lines, which provides its applicability to the practical problems of modeling of the equilibrium states of the electricity market. |
| doi_str_mv | 10.15407/pge2016.03.005 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:02:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
5ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2016, вип. 3 (46)
ПОБУДОВА, ОРГАНІЗАЦІЯ ТА ФУНКЦІОНУВАННЯ РИНКІВ
ЕНЕРГОНОСІЇВ
Введение. Сложность современных рыноч-
ных механизмов управления предприятиями
электроэнергетики требует создания адекват-
ных инструментов анализа текущего состояния
рынков электроэнергии и перспектив их разви-
тия. Существующие модельные инструменты
анализа рынков с совершенной и несовершен-
ной (олигополистической) конкуренцией [1–
5] адекватно отображают поведение генери-
рующих компаний и потребителей. Однако, в
таких моделях поведение сетевого оператора
представляется в упрощенном виде: цель его
деятельности ограничивается задачей баланси-
рования потоков электроэнергии в энерго-
узлах; потери электроэнергии, передаваемой
по электрической сети, не учитываются; пото-
ки электроэнергии в линиях электропередачи
определяются на основе упрощенной модели
сети – цепи постоянного тока – и используют-
ся в балансовых уравнениях потоков электро-
энергии в энергоузлах сети, а также в неравен-
ствах, отражающих ограничения на потоки
электроэнергии в линиях.
Вместе с тем, цены на передачу электро-
энергии и ограниченная пропускная способ-
ность линий могут дезинтегрировать рынки и
увеличивать давление рыночной власти на
генерирующие компании, значительно удален-
ные от потребителей. Для адекватного отобра-
жения подобных явлений в работе [6] предло-
жена модель электрической сети в виде цепи
постоянного тока с нелинейными потерями.
Анализ приведенных в [6] описания модели и
результатов вычислительных экспериментов
показал наличие двух методических ошибок,
влияющих на адекватность моделирования
УДК 621.311.001.57 С.Е. САУХ1, д-р техн. наук, профессор, А.В. БОРИСЕНКО2, д-р техн. наук, ст. науч. сотр.
1Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины,
ул. Генерала Наумова, 15, г. Киев, 03164, Украина,
2ООО«Укрэнергоконсалтинг», ул. Спасская, 5, г. Киев, 04071, Украина
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНКУРЕНТНОГО РАВНОВЕСИЯ НА ЭНЕРГОРЫНКЕ С УЧЕТОМ
ПОТЕРЬ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЯХ
Предложено математическое описание сети линий электропередачи, которое
адекватно отображает физические свойства сети в модели равновесного состоя-
ния рынка электроэнергии. Основанное на теории энергетических цепей, такое
описание электрической сети устанавливает связь между потоками электроэнер-
гии в линиях электропередачи и потенциалами в узлах сети в строгом соответствии
с законами Кирхгофа и принципом найменьшего действия Гамильтона. Кроме того,
в описании используются физические параметры линий электропередачи, что
обеспечивает возможность его применения для решения практических задачах
моделирования равновесных состояний рынка электроэнергии.
К л ю ч е в ы е с л о в а: линия электропередачи, электрическая сеть, рынок, конку-
ренция, равновесие, модель.
© С.Е. САУХ, А.В. БОРИСЕНКО, 2016
6 ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2016, вип. 3 (46)
С.Е. САУХ, А.В. БОРИСЕНКО
равновесного состояния энергорынка: во-пер-
вых, алгебраическая сумма потоков электро-
энергии из энергоузлов в сеть и из сети в энер-
гоузлы установлена равной нулю, а не сумме
потерь во всех линиях электрической сети; во-
вторых, первый закон Кирхгофа для энерго-
узлов представлен в виде неравенств в целях
«...обеспечения видимости области сходимо-
сти...» применяемого вычислительного алго-
ритма решения задачи дополнительности и,
несмотря на то, что получаемые при этом
результаты при определенных условиях могут
строго соответствовать выполнению этого зако-
на, такое его представление является некоррект-
ным. Кроме того, если выражения для предавае-
мых по линиям потоков электроэнергии имеют
вид линейных функций с коэффициентами,
определяемыми реактивными и активными
сопротивлениями линий, то потери в линиях
представлены квадратичными функциями с
коэффициентами, никак не связанными с харак-
теристиками существующих линий электропе-
редачи, что порождает сложности использова-
ния такой модели в задачах практического толка.
Ниже представлена модель электрической
сети, лишенная отмеченных недостатков. Она
является частью общей модели конкурентного
равновесия на рынке электроэнергии.
Модель электрической сети в виде цепи
постоянного тока с потерями. Пусть электри-
ческая сеть образована из M линий электропе-
редачи, соединяющих I энергоузлов. Следуя [7],
подсоединенной к энерго-
имеющей активное со-
противление Rm и реактивное сопротивление
Xm, находящейся под напряжением Vm, запи-
шем выражения для граничных потоков элек-
троэнергии мощностями flowi→m и flowm→j,
направленных из энергоузла i в линию m и из
линии m в энергоузел j, соответственно:
(1)
(2)
Очевидно, потери мощности в линии m
составят величину:
(3)
В соотношениях (1) – (3) величины δi и δj
являются мгновенными фазовыми углами
переменного напряжения в энергоузлах i и j.
В каждом энергоузле
энергии подчинены первому закону Кирхгофа,
т.е.
где yi – алгебраическая сумма потоков электро-
энергии, производимой и потребляемой в этом
энергоузле, а множества M–(i) и M+(i) пред-
ставляют две группы линий, по которым пото-
ки электроэнергии покидают энергоузел i и
поступают в него, соответственно.
Учитывая (1) – (2), множество соотношений
(1) удобно рассматривать в векторно-матрич-
ной форме
(5)
Здесь векторы y и δ представляют множества
элементов {yi, i = 1,I} и {δi, i = 1,I}, диагональ-
ные матрицы
содержат эле-
менты, вычисляемые по заданным физическим
параметрам линий, матрицы D и D являются
матрицами инцидентности ориентированного
и неориентированного графов сети, матрица
DТ образована транспонированием матрицы D,
а символ ○ обозначает произведение Адамара,
т.е. поэлементное произведение векторов:
(6)
для линии
потоки электро-
узлам и
(4)
Моделирование конкурентного равновесия на энергорынке с учетом потерь электроэнергии в электрических сетях
Обратимся к основным положениям теории
энергетических цепей [8], в частности, вос-
пользуемся классификацией переменных в
таких цепях, в соответствии с которой векторы
y и δ отнесем к обобщенным последователь-
ным и параллельным переменным действия.
Тогда, поиск минимума обобщенной потенци-
альной энергии в электрической сети по пара-
метру δ0 приводит нас к необходимости реше-
ния задачи поиска экстремума вида
(7)
или решения уравнения вида
1Т(δ + δ01) = 0, (8)
где 1 – единичный вектор. Очевидно, для каж-
дого фиксированного значения параметра δ0
система уравнений (5) вместе с уравнением (8)
устанавливают взаимно однозначное соответ-
ствие между векторами y и δ + δ01. При усло-
вии δ0 = 0 уравнение
1Тδ = 0 (9)
дополняет систему уравнений (5) и образует с
ней модель электрической сети.
Модель равновесного состояния энерго-
рынка. Воспользуемся представленным выше
описанием потоков электроэнергии в электри-
ческой сети вида (1) – (2), (5), (9) для уточне-
ния равновесной модели энергорынка, приве-
денным в [6].
Неизменной частью модели является описа-
ние поведения на рынке F конкурирующих
между собой генерирующих компаний, макси-
мизирующих каждая свою прибыль, т.е.
имеем критериальное выражение
уравнение баланса объемов продаж sfi и про-
изводства gfih электроэнергии
(11)
а также множество неравенств вида
(12)
отражающих ограничения сверху и снизу на
объемы производства электроэнергии sfih для
каждой из имеющихся у компании f генери-
рующих мощностей, установленных в энерго-
и образующих множество H(f,i).
Верхние границы таких ограничений обозна-
чены величинами
В выражении (10) параметр может прини-
мать одно из двух значений, а именно, 0 или 1,
что соответствует условиям совершенной и
несовершенной конкуренции между генери-
рующими компаниями на энергорынке.
Обратная функция спроса pi вида
(13)
определяет цену электроэнергии в энергоузле
в зависимости от объемов
продаж генерирующими компаниями и
арбитражным торговцем, соответственно.
Коэффициенты αi > 0, βi > 0 обратной функции
спроса pi определяются заранее на основе ста-
тистических данных по объемам и ценам
потребления электроэнергии в энергоузлах.
Особая форма записи аргумента этой функции в
выражении (10) выбрана с целью выделить в нем
варьируемую sfi и неварьируемую
части слагаемых. Функция Cfih (gfih) отражает
себестоимость производства электроэнергии
объемом gfih, причем ∂Cfih / ∂gfih ≥ 0. Обычно эта
функция представляется в упрощенном виде
Cfih (gfih) = CM
fih gfih, что позволяет воспользо-
ваться коэффициентом удельных маржиналь-
ных затрат CM
fih для определения себестоимости
производства электроэнергии на каждом блоке
принадлежащем компании
Измененная часть модели отражает деятель-
ность системного оператора по максимизации
ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2016, вип. 3 (46) 7
(10)
узле
и аi ее
установленном в энергоузле ,
своей прибыли
(14)
которая формируется в результате решения
задач как диспетчерского управления по балан-
сирования потоков электроэнергии в элек-
трической сети, что дает прибыль
так и арбитражной торговли, что дает прибыль
Используемые в выражениях (10) и (14)
цены поставок электроэнергии в энергоузлы
являются лагранжевыми множителями,
используемыми для учета ограничений в виде
балансовых уравнений вида
(15)
Критериальное выражение деятельности
системного оператора (14), с учетом (15),
дополняется уравнениями (5), (9) вида
(16)
(17)
а также неравенствами, отражающими
ограничения на потоки электроэнергии в
линиях электропередачи вида
(18)
(19)
где вектор Y состоит из значений предельных
нагрузок линий электропередачи, а левые
части выражений (18) – (19) представляют
собой векторно-матричные формы записей
выражений (1) – (2) для потоков электроэнер-
гии на концах линий.
Кроме того, объемы арбитражных сделок
системного оператора и алгебраическая сумма
объемов электроэнергии, поставляемой им в
энергоузлы, будут равны объему потерь элек-
троэнергии в сети, т.е.
1Ta – 1Ty (δ) = 0, (20)
L = 1Ty (δ). (21)
Компьютерное моделирование равновесных
состояний энергорынка. Модель (10) – (21)
была имплементирована в программное прило-
жение с применением известных и оригиналь-
ных методов и алгоритмов формирования и
решения нелинейных смешанных задач допол-
нительности [9, 10]. Канонизация записи пред-
ложенной модели равновесных состояний
энергорынков осуществлялась на основе мат-
рично-векторной формы записи соответствую-
щей ей системы комплементарных соотноше-
ний и алгебраических уравнений в соответ-
ствии с подходом, детально изложенным в [9].
В качестве вычислительной основы реше-
ния сформированной смешанной задачи
дополнительности использовалось оригиналь-
ное приложение ICRS [10]. В результате было
создано программное обеспечение, предназна-
ченное для компьютерного моделирования
равновесных состояний энергорынков с раз-
ным количеством компаний-производителей
электроэнергии, генерирующих блоков, кото-
рыми они владеют, энергоузлов генерации-
потребления электроэнергии, а также с разны-
ми электрическими сетями.
Результаты вычислительных эксперимен-
тов. Задача математического моделирования
равновесного состояния энергорынка реша-
лась применительно к энергосистеме, пред-
ставленной на рисунке. Здесь все линии
электропередачи находятся под напряжением
35 кВ и имеют одинаковые реактивные и
активные сопротивления, равные, соответ-
ственно, 2,0 Ом и 0,256 Ом. Предельные
нагрузки линий – 300 МВт. В энергоузлах 1, 2 и
6 находятся три генератора одинаковой мощ-
ности 1000 МВт, характеризующиеся удельны-
ми маржинальными затратами, соответствен-
но, 50, 60 и 20 дол. США/МВт⋅ч. Генератором
в энергоузле 1 владеет одна компания, двумя
другими – другая компания. Потребители
С.Е. САУХ, А.В. БОРИСЕНКО
8 ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2016, вип. 3 (46)
9ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2016, вип. 3 (46)
Моделирование конкурентного равновесия на энергорынке с учетом потерь электроэнергии в электрических сетях
Пример энергосистемы (шесть энергоузлов, восемь линий, три генератора)
электроэнергии расположены во всех шести
энергоузлах и меют одинаковые характеристи-
ки в виде обратных функций спроса с коэффи-
циентами {αi = 200}, {βi = 0,4}.
Все приведенные выше значения парамет-
ров энергосистемы, кроме двух типов парамет-
ров линий электропередачи, взяты из [6].
Неиспользуемые и, поэтому, отсутствующие в
[6] значения параметров доопределялись нами
– это напряжение и значения активных сопро-
тивлений линий электропередачи. Последние
были оценены по объемам потерь электроэнер-
гии, приведенным в [6].
В таблице представлены результаты реше-
ний двух задач моделирования энергорынков,
функционирующих в условиях совершенной и
несовершенной конкуренции. Эти решения
обозначены соответственно, «Решения по
Бертрану» и «Решения по Курно». Для сравне-
ния здесь же представлены результаты моде-
лирования этих рынков, полученные в [6]
(столбцы «А»), и результаты, полученные с
помощью представленной модели (10) – (21)
(столбцы «Б»).
Сопоставительный анализ представленных
решений показывает их близость. Однако, сле-
дует отметить, что взятые из [6] значения пото-
ков в линиях электропередачи не дают деталь-
ного представления о потерях электроэнергии
в них, поскольку такие потоки отнесены лишь
к энергоузлам слева, к которым подключены
линии, и, в ряде случаев, неверно позициони-
руются, на что указывают различия в знаках
потоков в соответствующих столбцах «А» и «Б».
Очевидно, результаты, полученные с помощью
предложенной модели, отличаются коррект-
ностью и полнотой представления потоков
электроэнергии в линиях электропередачи.
Заключение. Представленное математиче-
ское описание электрических сетей разработа-
но на основе теории энергетических цепей.
Такое описание является методически строгим
10 ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2016, вип. 3 (46)
С.Е. САУХ, А.В. БОРИСЕНКО
Таблица – Результаты решения задач моделирования энергорынков
и адекватно отражает процессы передачи элек-
троэнергии в электрических сетях.
В отличие от известных описаний, в предло-
женном описании сетей потоки электроэнер-
гии являются сбалансированными, т.е. такими,
которые соответствуют законам Кирхгофа.
Кроме того, здесь нет трудно идентифицируе-
мых коэффициентов, а те, что используются,
непосредственно определяются по существую-
щим параметрам линий электропередачи, что
обеспечивает возможность применения такого
описания электрической сети для решения
практических задачах моделирования энерго-
рынков.
Результаты проведенных вычислительных
экспериментов демонстрируют возможность
детализации потерь в электрических сетях с
последующим соотнесением таких потерь с
производственной деятельностью генерирую-
щих компаний по выполнению обязательств
перед своими потребителями электроэнергии.
На этой основе в дальнейшем могут быть раз-
работаны алгоритмы оценок финансовых обя-
зательств каждой генерирующей компании
перед системным оператором по компенсации
ему стоимости потерь электроэнергии в элек-
трических сетях.
1. Wei J.-Y., Smeers Y. Spatial Oligopolistic
Electricity Models with Cournot Generators and
Regulated Transmission Prices // Operations
Research. − 1999. − Vol. 47 (N 1). – P. 102–112.
2. Hobbs B.F. Linear Complementarity Models of
Nash-Cournot Competition in Bilateral and POOL-
CO Power Markets // IEEE Transactions on Power
Systems. – 2001. – Vol. 16 (N 2). – P. 194 – 202.
3. Day C.J., Hobbs B.F., Pang, J.-S. Oligopolistic
Competition in Power Networks: A Conjectured
Supply Function Approach // IEEE Transactions on
Power Systems. – 2002. – Vol. 17 (N 3). –
P. 597−607.
4. Murphy F., Smeers Y. Generation capacity
expansion in imperfectly competitive restructured
electricity markets // Operations Research. – 2005.
– Vol. 53 (N 4). – P. 646 –661.
5. Борисенко А.В., Саух С.Е. Модели-рова-
ние равновесного состояния электроэнерге-
тических систем в рыночных условиях //
Моделирование–2008. Сборник трудов кон-
ференции. – Киев: Ин-т проблем моделиро-
вания в энергетике им. Г.Е. Пухова, 2008. –
C. 172 – 177.
6. Hobbs B.F., Drayton G., Fisher E.B., Lise W.
Improved Transmission Representations in
Oligopolistic Market Models: Quadratic Losses,
Phase Shifters, and DC Lines // IEEE Transactions
on Power Systems. – 2008. – Vol. 23 (N 3). –
P. 1018 – 1029.
7. Schweppe F.C., Caramanis M.C., Tabors R.E.,
Bohn R. E. Spot Pricing of Electricity // Kluwer
Academic Publishers. Boston, MA. – 1988. – 355 p.
8. Саух С.Е. Математическое моделирование
энергетических цепей // Электронное моделиро-
вание. – 2011. – № 3. – С. 3 – 12.
9. Саух С.Е. Методы компьютерного модели-
рования конкурентного равновесия на рынках
электроэнергии // Электронное моделирование.
– 2013. – № 5. – С. 11 – 26.
10. Саух С.Е. Метод смещения малых элемен-
тов в обобщенных якобинах Кларка для обес-
печения численной устойчивости квазиньюто-
новских методов решения вариационных нера-
венств // Электронное моделирование. – 2015. –
№ 4. – С. 3 – 18.
Надійшла до редколегії 15.09.2016 року
11ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2016, вип. 3 (46)
Моделирование конкурентного равновесия на энергорынке с учетом потерь электроэнергии в электрических сетях
|
| id | systemreorg-article-547 |
| institution | System Research in Energy |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:17:44Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | systemreorg/45/2f9229b30c6241e85af5bfc400d32545.pdf |
| spelling | systemreorg-article-5472026-07-18T12:57:41Z Modeling of competitive equilibrium at the electricity market with regard for energy losses in electric networks Моделювання конкурентної рівноваги на енергоринку з урахуванням втрат електроенергії в електричних мережах Saukh S.Ye. Borisenko A.V. power transmission line, electric network, market, competition, equilibrium, model. лінія електропередачі, електрична мережа, ринок, конкуренція, рівновага, модель. We have proposed a mathematical description of a network of power transmission lines, which represents adequately the physical properties of the network in model of the equilibrium state of electricity market. Such a description of the electric network, based on the theory of energy circuits, establishes a relationship between the flows of electricity in power transmission lines and potentials at the nodes of network in strict accordance with Kirchhoff's laws and the Hamilton's principle of least action. Furthermore, this description includes the physical parameters of power transmission lines, which provides its applicability to the practical problems of modeling of the equilibrium states of the electricity market. Запропоновано математичний опис мережі ліній електропередачі, який адекватно відображає фізичні властивості мережі в моделі рівноважного стану ринку електроенергії. Заснований на теорії енергетичних кіл, такий опис електричної мережі встановлює зв’язок між потоками електроенергії в лініях електропередачі і потенціалами у вузлах мережі в строгій відповідності із законами Кірхгофа і принципом найменшої дії Гамільтона. Крім того, в описі використовуються фізичні параметри ліній електропередачі, що забезпечує можливість його застосування для вирішення практичних задачах моделювання рівноважних станів ринку електроенергії. General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine 2016-09-28 Article Article application/pdf https://systemre.org/index.php/journal/article/view/547 10.15407/pge2016.03.005 System Research in Energy; No. 3 (46) (2016): The Problems of General Energy; 5-11 Системні дослідження в енергетиці; № 3 (46) (2016): Проблеми загальної енергетики; 5-11 2786-7102 2786-7633 uk https://systemre.org/index.php/journal/article/view/547/483 Copyright (c) 2016 Saukh S.Ye., Borisenko A.V. https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0 |
| spellingShingle | power transmission line electric network market competition equilibrium model. Saukh S.Ye. Borisenko A.V. Modeling of competitive equilibrium at the electricity market with regard for energy losses in electric networks |
| title | Modeling of competitive equilibrium at the electricity market with regard for energy losses in electric networks |
| title_alt | Моделювання конкурентної рівноваги на енергоринку з урахуванням втрат електроенергії в електричних мережах |
| title_full | Modeling of competitive equilibrium at the electricity market with regard for energy losses in electric networks |
| title_fullStr | Modeling of competitive equilibrium at the electricity market with regard for energy losses in electric networks |
| title_full_unstemmed | Modeling of competitive equilibrium at the electricity market with regard for energy losses in electric networks |
| title_short | Modeling of competitive equilibrium at the electricity market with regard for energy losses in electric networks |
| title_sort | modeling of competitive equilibrium at the electricity market with regard for energy losses in electric networks |
| topic | power transmission line electric network market competition equilibrium model. |
| topic_facet | power transmission line electric network market competition equilibrium model. лінія електропередачі електрична мережа ринок конкуренція рівновага модель. |
| url | https://systemre.org/index.php/journal/article/view/547 |
| work_keys_str_mv | AT saukhsye modelingofcompetitiveequilibriumattheelectricitymarketwithregardforenergylossesinelectricnetworks AT borisenkoav modelingofcompetitiveequilibriumattheelectricitymarketwithregardforenergylossesinelectricnetworks AT saukhsye modelûvannâkonkurentnoírívnovaginaenergorinkuzurahuvannâmvtratelektroenergíívelektričnihmerežah AT borisenkoav modelûvannâkonkurentnoírívnovaginaenergorinkuzurahuvannâmvtratelektroenergíívelektričnihmerežah |