Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance
We have investigated the fundamental properties of the matrices of three systems of algebraic equations describing the key problems of intersectoral balance: determination of output by the data of final demand, determination of output by the data of added value, and establishing the interrelation be...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://systemre.org/index.php/journal/article/view/599 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System Research in Energy |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System Research in Energy| _version_ | 1871104132287299584 |
|---|---|
| author | Kulyk М.M. |
| author_facet | Kulyk М.M. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Kulyk М.M.",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Kulyk М.M. |
| baseUrl_str | https://systemre.org/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T12:57:43Z |
| description | We have investigated the fundamental properties of the matrices of three systems of algebraic equations describing the key problems of intersectoral balance: determination of output by the data of final demand, determination of output by the data of added value, and establishing the interrelation between equilibrium prices and output. All these problems have been solved with using the same method proposed here and called the method of extrapolation to zero determinant. We have shown that the system of equations recommended by numerous authors for establishing the interrelation between equilibrium prices and output volumes in output units is homogeneous. We have proved that, in this matrix, there exist at least n positive minors with a dimension r = n - 1 , where n is the dimension of matrix. This important feature envisions the fact that, in the continual set of solutions of the corresponding system, it is impossible to find even if a single vector that would correspond to the meaning content of tables “input-output”. Therefore, this system cannot be used not only for determining equilibrium prices and output in output units, but also for the solution of other problems of intersectoral balance.We have proved that the matrix of the system of equations for finding output by the data of final demand has a rank r = n, and its determinant is always positive for any dimension of this matrix and non-negativeness of the elements of final demand, and the last condition not always is necessary.We have established that the system of equations for finding output by the data of added value has a matrix whose rank is  r = n, and its determinant is positive for all values of variables satisfying the condition of input balance. The property of positiveness of the determinant of this matrix was already proved by R. Bellman, and this proof was based on the Gram determinants. It is more compact than the method of extrapolation to zero determinant, but the latter can be applied to all problems considered here and, which is quite important, enables one to obtain not only the sign, but also the values of determinants under study.We should especially emphasize the unique property of matrices of the systems of equations for determining output by the data of final demand and added value. The determinants of these matrices depend on the values of right-hand sides of the corresponding systems, namely, on the values of elements of the vectors of final demand and added value, respectively. The initial cause of such property is the fact that these systems were constructed on the basis of output and input balances. |
| doi_str_mv | 10.15407/pge2017.02.014 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:02:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
14
На протяжении почти 100-летнего раз-
вития теория межотраслевого баланса
(input-output) получила широкое распро-
странение и разнообразные применения
практически во всех странах мира и меж-
дународных экономических, финансовых,
бизнесовых, научных и прочих структу-
рах и организациях. Информационной
базой, используемой при формировании
соответствующих многочисленных мате-
матических моделей, применяемых при
решении широкого комплекса задач меж-
отраслевого баланса, являются статисти-
ческие таблицы «затраты-выпуск», совре-
менная конфигурация которых приведена
ниже:
УДК 622.324 М.Н. КУЛИК, академик НАН Украины, доктор техн. наук, профессор,
Институт общей энергетики НАН Украины,
ул. Антоновича, 172, г. Киев, 03150, Украина
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ МАТРИЧНЫХ ФОРМ
В СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
© М.Н. КУЛИК, 2017
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕНЕРГЕТИЧНИХ
ОБ’ЄКТІВ І СИСТЕМ
Исследованы фундаментальные свойства матриц трех систем алгебраических урав-
нений, которыми формализуются ключевые задачи межотраслевого баланса: опре-
деление выпуска по данным конечного спроса, определение выпуска по данным
добавленной стоимости, установление взаимосвязи между равновесными ценами и
выпуском. Все эти задачи решены с использованием одного и того же предложенного
здесь метода, названного методом экстраполяции к нулевому детерминанту.
Показано, что система уравнений, рекомендуемая многими авторами для установле-
ния взаимосвязи равновесных цен и объемов выпуска в единицах выпуска, является
однородной. Доказано, что в этой матрице существует, как минимум, n положитель-
ных миноров с размерностью r = n – 1, где n – размерность матрицы. Эта важная осо-
бенность обусловливает то, что в континуальном множестве решений соответствую-
щей системы невозможно найти хотя бы один вектор, который соответствовал бы
смысловому содержанию таблиц «затраты-выпуск». Поэтому эту систему нельзя
использовать не только для определения равновесных цен и выпусков в единицах
выпуска, но и для решения других задач межотраслевого баланса.
Доказано, что матрица системы уравнений для определения выпуска по данным
конечного спроса имеет ранг r = n, а детерминант является всегда положительным
при любой размерности этой матрицы и неотрицательности элементов конечного
спроса, причем последнее условие не всегда является необходимым.
Установлено, что система уравнений для определения выпуска по данным добавлен-
ной стоимости имеет матрицу, ранг которой r = n, а детерминант положителен при
всех значениях переменных, удовлетворяющих условию баланса затрат.
К л ю ч е в ы е с л о в а: матрица, детерминант, ранг, вектор, выпуск, затраты, баланс,
цена.
ISSN 2522-4344 (Online), ISSN 1562-8965 (Print).
The problems of general energy. 2017, 2(49): 14-39
doi: https://doi.org/10.15407/pge2017.02.0014
15ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Фундаментальные свойства основных матричных форм в системах уравнений межотраслевого баланса
здесь i, j = 1,n – нумерация секторов, xij –
элементы матрицы промежуточного
потребления L; с, х, d, z – векторы конеч-
ного потребления, выпуска, добавленной
стоимости и суммарных затрат соответ-
ственно.
В.В. Леонтьевым и его последователя-
ми на базе таблиц «затраты-выпуск» были
разработаны три основные системы урав-
нений для двух ключевых задач межотрас-
левого баланса, а именно: определение
выпуска по данным конечного спроса
либо по данным добавленной стоимости и
установление взаимосвязи между равно-
весными ценами и объемами выпуска в
единицах выпуска [1 – 3]. В теоретиче-
ских и прикладных исследованиях в обла-
сти межотраслевого баланса эти модели
играют ключевую роль.
В данной работе исследованы и уста-
новлены основные свойства и взаимосвя-
зи матриц, фигурирующих в упомянутых
системах уравнений.
1. Система уравнений для взаимосвя-
зи равновесных цен и объемов выпуска.
Данная модель базируется на балансе
затрат
(2)
Используя (1), (2) и преобразования,
аналогичные описанным в [1, 2], а также
зависимость
(3)
где Pj, Mj – равновесные цены и выпуск в
единицах выпуска j-го сектора соответ-
ственно, в [1, 2] получают векторно-мат-
ричное уравнение равновесных цен
QP + dн = Р, (4)
в котором матрица
(1)
(5)
16 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
М.Н. КУЛИК
а dн – вектор с элементами
(6)
Поскольку в выражении (6) фигурирует
неизвестная величина Mj, уравнение (4) с
использованием (6) преобразуется к виду
КР = 0, (7)
где матрица
К = Е – Q – G, (8)
а G – диагональная матрица с элементами
(9)
Система (7) является однородной и
имеет ненулевые решения, поскольку, как
показано в [4], детерминант матрицы (8)
равен нулю. На характер этих решений кар-
динальным образом влияет ранг матрицы
(8). В [4] показано, что ранг этой матрицы
r = n – 1, где n – число секторов в системе.
Этот вывод сделан на основании оценки
миноров n – 1-го порядка матрицы (8). В
[4] эта оценка определена как оценка снизу.
Ниже приводится полное доказательство
того, что ранг матрицы (8) равен n – 1.
Определитель Δs матрицы (8) с исполь-
зованием (1), (6) и (9) может быть пред-
ставлен в виде
(10)
где
С учетом (2), (5), (6) можем записать
после чего определитель (11) получит вид
(13)
Определение ранга матрицы (8) целесо-
образно производить путем анализа её
миноров размерности n – 1, получаемых
путем вычеркивания i-й строки и столбца
в определителе (13).
Анализ произведем сначала для систе-
мы с размерностью п = 4 с дальнейшим
обобщением для произвольного п. Для
случая п = 4 определитель (13) имеет вид
(14)
После вычеркивания в (14) первых
строки и столбца получаем минор третье-
го порядка
(15)
С использованием (2) определитель
(15) можно представить в виде
(16)(11)
(12)
17ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Фундаментальные свойства основных матричных форм в системах уравнений межотраслевого баланса
(19)
где
при этом, как показано в [4], получаем
свойство
(18)
Определитель (16) может быть вычис-
лен с использованием зависимости [5]
(17)
Последовательно применяя равенство
(19) для всех строк детерминанта (16),
получаем вычислительную процедуру для
определения его значения в общем виде,
представленную в табл. 1.
На первом шаге этой процедуры из
первой строки определителя Δх(4)m уда-
ляется элемент х12, на втором – из второй
строки элемент х13 и на третьем – из
третьей строки удаляется элемент х13.
В результате получаем равенство
(20)
В этом равенстве определитель Δ1 = 0,
поскольку он имеет структуру определи-
теля (18); детерминант Δ2 является поло-
жительным, ибо xS0
22· xS0
33 > x23·x32; по
аналогичным причинам определители Δ3
и Δ5 также положительны; детерминанты
Δ4, Δ6, Δ7, Δ8 равны произведению их
диагональных элементов и положитель-
ны в силу положительности элементов
xij, i, j = 1,n в структуре (1).
Таким образом, определитель Δх(4)m
является положительным при произволь-
ных значениях элементов структуры (1), и
ранг матрицы (8) при её размерности п = 4
равняется r = n – 1 = 3.
Важно отметить следующие особен-
ности детерминанта Δх(4)m. Все матрицы,
представленные во втором и третьем
ярусе табл. 1, также имеют положитель-
ные детерминанты. Это видно из её
структуры. Для положительности Δх(4)m
необходимо и достаточно, чтобы хотя бы
один из его элементов x1i, i = 2,4 был
положительным.
Докажем далее, что этим свойством
(r = n – 1) обладают матрицы (8) при
произвольном значении их размерно-
стей. Для этого воспользуемся методом
полной индукции, а именно, предпола-
гая, что ранг матрицы (8) при n ≤ m рав-
няется
r = m – 1, (21)
докажем, что при размерности матрицы
(8) n = m + 1 её ранг будет равняться
r = m. (22)
В случае, когда матрица К имеет раз-
мерность n = m, детерминант (13) пре-
образуется к виду
18 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
М.Н. КУЛИК
Та
бл
иц
а
1
‒
В
ы
ч
и
сл
и
т
ел
ь
н
а
я
п
р
о
ц
ед
у
р
а
п
о
о
п
р
ед
ел
ен
и
ю
з
н
а
ч
ен
и
я
д
ет
ер
м
и
н
а
н
т
а
Δ
x(
4
)m
19ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Фундаментальные свойства основных матричных форм в системах уравнений межотраслевого баланса
(23)
он равен нулю, а соответствующий минор
m – 1-го порядка, полученный, как в пре-
дыдущем случае, имеет вид
(24)
После преобразований детерминанта
Δх(m)м, аналогичных (16), получаем его в
виде, пригодном для применения зависи-
мости (19) с целью оценки его свойств
(табл. 2). В этой и последующей таблицах
все табличные формы для упрощения и
большей наглядности чертежа следует
воспринимать как детерминанты.
В соответствии с предположениями,
сделанными согласно методу полной
индукции, все детерминанты этой таблицы
(кроме Δ5, равного нулю) являются поло-
жительными и имеют свойства, присущие
детерминантам табл. 1, оговоренные выше.
В случае, когда матрица (8) имеет раз-
мерность n = m + 1, детерминант (13) при-
водится к виду
он также равен нулю и имеет минор m-го
порядка
После преобразований детерминанта
(26), аналогичных тем, которые проводи-
лись в предыдущих случаях, проведем
вычислительный процесс, представлен-
ный в табл. 3.
Здесь, как и ранее, определитель (26)
равен сумме определителей
(27)
в которой Δ6 = 0.
Все определители Δi, i = 1,5, табл. 3
имеют размерность n = m. Они имеют
идентичную структуру, поскольку обра-
зуются умножением положительного эле-
мента x1i, i = 3,m + 1 на определитель
m – 1-го порядка, получаемый вычерки-
ванием из определителя Δx(m + 1)м i-x
строки и столбца с последующими приве-
денными преобразованиями. Такие опре-
делители (порядка m – 1) по условию
метода полной индукции являются поло-
жительными. Поэтому детерминант (27)
является положительным, ранг матрицы
(8) при её размерности n = m + 1 соответ-
ствует (22), а при произвольном значении
n её ранг
r = n – 1. (28)
Пример. Для проверки адекватности
преобразований (19) – (27) применим их
для таблиц «затраты-выпуск» в Украине
за 2012 г. Используем с этой целью табли-
цы, приведенные в [4], предварительно
агрегировав их до четырех секторов
(табл. 4).
(25)
(26)
20 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
М.Н. КУЛИК
Таблица 2 ‒ Вычислительная схема по анализу свойств детерминанта Δх(m)м
21ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Фундаментальные свойства основных матричных форм в системах уравнений межотраслевого баланса
Таблица 3 ‒ Вычислительный алгоритм по определению свойств детерминанта Δх(m+1)м
22 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
М.Н. КУЛИК
Таблица 4 ‒ Агрегированная таблица «затраты-выпуск» в Украине в 2012 г.,
млн грн, цены 2012 г.
Согласно данным табл. 4 детерминант
∆x(4) (14) имеет вид
а детерминант (15)
Применение равенства (19) к детерми-
нанту Δx(y)м приводит к процессу, пред-
ставленному в табл. 5.
Здесь, как и ранее, с использованием
(19) проводится поэтапное удаление вто-
рого слагаемого в диагональных элемен-
тах исходного и вновь получаемых детер-
минантов. В результате приходим к равен-
ству
(31)
В табл. 6 приведены значения 8-ми
детерминантов-слагаемых суммы (31) и
детерминанта Δx(y)м, вычисленного по
формуле (31), а также (для проверки)
классическим методом. Имеет место прак-
тически полное совпадение значений
этого детерминанта, определенного раз-
личными методами, что подтверждает
справедливость процедуры (19) – (27).
2. Система уравнений для определе-
ния выпуска по данным конечного
спроса. Эта система уравнений базиру-
ется на балансе выпусков
(32)
В.В. Леонтьев преобразовал систему
(32) в матрично-векторную форму
(E – A) x = c,
(33)
где
(34)
(29)
(30)
23ISSN 1562-8965. Проблеми загальної енергетики, 2017, вип. 2 (49)
Фундаментальные свойства основных матричных форм в системах уравнений межотраслевого баланса
Та
бл
иц
а
5
‒
В
ы
ч
и
сл
и
т
ел
ь
н
ы
й
п
р
о
ц
е
сс
о
п
р
ед
ел
ен
и
я
д
ет
ер
м
и
н
а
н
т
а
Δ
х(
у)
м
М.Н. КУЛИК
Детерминант матрицы Е ‒ А из (33)
целесообразно представить в виде
(35)
где
(36)
Вычитая и добавляя в диагональные
элементы (36) величины ci, i = 1,n, после
преобразований, аналогичных тем, кото-
рые были использованы при формирова-
нии (16), получаем детерминант, анало-
гичный по величине (36)
где
(38)
Детерминанты (37) и (16) имеют оди-
наковую структуру, и поэтому при неотри-
цательности элементов вектора конечного
спроса ci, i = 1,n, детерминант (37) являет-
ся ненулевым и положительным при про-
извольных значениях размерности n
системы (33), элементов матрицы А и век-
тора конечного спроса с.
3. Система уравнений для определе-
ния выпуска по данным добавленной
стоимости. Эта система сформирована на
основе баланса затрат (2), которая в мат-
рично-векторной форме имеет вид
(E – Q)x = d, (39)
где элементы матрицы Q
(40)
Определитель матрицы E – Q, как и
выше, представим произведением
(41)
Далее, как и при формировании (37),
преобразуем (42), используя, однако, вме-
сто вектора с, элементы вектора d, в
результате чего получим форму
(43)
(42)
Таблица 6 ‒ Значения детерминантов из табл. 5, (×1015)
24 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
где
(37)
25ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Фундаментальные свойства основных матричных форм в системах уравнений межотраслевого баланса
в которой
(44)
Детерминант (43) так же, как и детер-
минант (37) имеет структуру детерминан-
та (16), к нему применимо поэтому разло-
жение табл. 1. Это дает основание для
утверждения, что он ненулевой и положи-
тельный при произвольных значениях раз-
мерности n матрицы E – Q, элементов xij и
di, i, j = 1,n, удовлетворяющих, естествен-
но, условию (2).
4. Анализ и комментарии. Все три
задачи, рассмотренные выше, решены с
использованием одного и того же метода,
который целесообразно назвать методом
экстраполяции к нулевому детерминанту.
Показано, что система уравнений (4),
рекомендуемая в [1, 2] и многими другими
авторами для установления взаимосвязи
равновесных цен и объемов выпуска в
единицах выпуска, является однородной с
особенной матрицей (8). Доказано, что эта
матрица имеет, как минимум, n положи-
тельных миноров с размерностью r = n – 1,
где n – размерность матрицы (8). Эта важ-
ная особенность обусловливает то, что из
континуального множества решений
системы (7) невозможно выделить хотя бы
один вектор, который соответствовал бы
смысловому содержанию таблиц «затра-
ты-выпуск». Из теории однородных
систем [в частности, 5] известно, что в
случае, когда ранг матрицы системы вида
(7) на единицу меньше её размерности,
отношения k-го и l-го элементов любого
вектора её решений определены жестко и
однозначно. Применительно к системе (7),
как показано в [4], эти отношения имеют
вид
(45)
где Pk, xk, Pl, xl – равновесные цены и
выпуски в единицах выпуска секторов k и
l соответственно. Очевидно совершенно,
что отношение равновесных цен двух про-
извольных секторов не может равняться
отношению объемов их выпуска в «физи-
ческом» исчислении. Это означает, что
система уравнений (7) дает неверные либо
вырожденные решения. Поэтому системы
(4) и (7) нельзя использовать не только для
определения равновесных цен и выпусков
в единицах выпуска, но и для решения
других задач межотраслевого баланса.
Матрица E – A системы уравнений (33)
для определения выпуска по данным
конечного спроса имеет ранг r = n, где n –
её размерность, а детерминант является
всегда положительным при любой размер-
ности матрицы и неотрицательности эле-
ментов конечного спроса, причем послед-
нее условие, как можно видеть даже из
табл. 1 – 5, не всегда является необходи-
мым.
Система уравнений (39) для определе-
ния выпуска по данным добавленной
стоимости имеет матрицу E – Q, её ранг
r = n, а детерминант положителен при
всех значениях xi, xij, dj, удовлетворяющих
условию баланса затрат (2). Следует отме-
тить, что свойство положительности
детерминанта матрицы E – Q доказано
Р. Беллманом в [6]. При этом было исполь-
зовано доказательство, основывающееся
на определителях Грама. Оно компактнее
метода экстраполяции к нулевому детер-
минанту, однако последний применим
сразу ко всем рассмотренным здесь зада-
чам и, что немаловажно, дает возмож-
ность определить не только знак, но и
значения изучаемых детерминантов.
Следует особо подчеркнуть уникальное
свойство систем уравнений (33) и (39), в
которых матрицы E – A и E – Q имеют
определители, значения которых зависят
от значений правых частей этих систем, а
именно, от значений элементов векторов
конечного спроса ci и добавленной стои-
мости dj, i, j = 1,n, соответственно. В этом
легко убедиться сравнивая определитель
∆x(m + 1)м из табл. 3 с определителями (37)
и (43). Первопричиной такого свойства
является то, что системы (33) и (39)
построены на основании балансов затрат
(2) и выпуска (32). Балансы (2) и (32) не
учтены в доказательстве положительности
детерминанта матрицы E – Q, приведен-
ном Р. Беллманом в [6], которое поэтому
является, по меньшей мере, нестрогим.
1. Кубонива М. и др. Математическая экономи-
ка на персональном компьютере. Финансы и
статистика. Москва. 1991. С. 179–188.
2. Картер А. Структурные изменения в эко-
номике США. Статистика. Москва. 1974.
С. 150–191.
3. Леонтьев В. и др. Исследование структуры
американской экономики. Москва: Государст-
венное статистическое издательство, 1958.
С. 27–63.
4. Кулик М.Н. Пересмотр возможностей
моделей равновесных цен и выпусков в тео-
рии межотраслевого баланса. Проблеми
загальної енергетики. 2016. № 47. С. 5–22.
https://doi.org/10.15407/pge2016.04.005.
5. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике.
Москва: Наука, 1973. С. 46–47.
6. Беллман Р. Введение в теорию матриц.
Москва: Наука,1976. С. 319–320.
Надійшла до редколегії: 05.06.2017
26 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
М.Н. КУЛИК
27
The theory of intersectoral balance
(«input-output») during its almost 100-
year development became widespread and
was used for various applications practi-
cally in all countries of the world as well
as in different international economical,
financial, business, scientific, and other
structures and formations. As the infor-
mation basis used in the development of
the corresponding numerous mathematical
models, which are applied in the solution
of a wide complex of the problems of
intersectoral balance, it is customary to
use statistical tables («input-output»),
whose present-day configuration can be
written as follows:
UDC 622.324 M.M. КULYK, Academician of the National Academy of Sciences of Ukraine, Dr. Sci. (Eng.),
Professor, Institute of General Energy of the NASU,
Antonovicha str., 172, Kiev, 03150, Ukraine
FUNDAMENTAL PROPERTIES OF THE MAIN MATRIX FORMS
IN THE SYSTEMS OF EQUATIONS OF INTERSECTORAL BALANCE
© M.M. КULYK, 2017
MATHEMATICAL MODELING OF ENERGY FACILITIES
AND SYSTEMS
We have investigated the fundamental properties of the matrices of three systems of alge-
braic equations describing the key problems of intersectoral balance: determination of out-
put by the data of final demand, determination of output by the data of added value, and
establishing the interrelation between equilibrium prices and output. All these problems
have been solved with using the same method proposed here and called the method of
extrapolation to zero determinant. We have shown that the system of equations recom-
mended by numerous authors for establishing the interrelation between equilibrium prices
and output volumes in output units is homogeneous. We have proved that, in this matrix,
there exist at least n positive minors with a dimension r = n – 1, where n is the dimension of
matrix. This important feature envisions the fact that, in the continual set of solutions of the
corresponding system, it is impossible to find even if a single vector that would correspond
to the meaning content of tables “input-output”. Therefore, this system cannot be used not
only for determining equilibrium prices and output in output units, but also for the solution of
other problems of intersectoral balance.
We have proved that the matrix of the system of equations for finding output by the data of
final demand has a rank r = n, and its determinant is always positive for any dimension of this
matrix and non-negativeness of the elements of final demand, and the last condition not
always is necessary.
We have established that the system of equations for finding output by the data of added
value has a matrix whose rank is r = n, and its determinant is positive for all values of vari-
ables satisfying the condition of input balance.
K e y w o r d s: matrix, determinant, rank, vector, output, input, balance, price.
ISSN 2522-4344 (Online), ISSN 1562-8965 (Print).
The problems of general energy. 2017, 2(49): 14-39
doi: https://doi.org/10.15407/pge2017.02.014
28
Here, i, j = 1,n are the numbers of sectors,
xij are the elements of the matrix of interme-
diate consumption L; с, х, d, and z are the
vectors of final consumption, output, added
value, and total input, respectively.
V.V. Leontief and his followers on the
basis of tables «input-output» developed
three main systems of equations for two key
problems of intersectoral balance, namely:
determination of output by the data of final
demand or data of added value and establish-
ing the interdependence between equilibri-
um prices and output volumes in output units
[1 – 3]. In the theoretical and applied investi-
gations in the field of intersectoral balance,
these models play the key part.
In the present work, we investigate and
establish the main properties and interrela-
tions of matrices, appearing in the mentioned
systems of equations.
1. System of equations for the interrela-
tion of equilibrium prices and output vol-
umes. This model is based on the input bal-
ance
(2)
With the use of (1), (2), transformations
similar to those described in [1, 2], and also
the relation
(3)
where Pj, Mj are the equilibrium prices and
output in output units, respectively, of the j-th
sector, the following vector-matrix equation
of equilibrium prices was obtained in [1, 2]:
QP + dн = Р, (4)
where the matrix
(5)
and dн is the vector with elements
(6)
(1)
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
M.M. КULYK
29ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance
Since the unknown quantity Mj figures in
expression (6), Eq. (4) with using (6) is trans-
formed to
KP = 0, (7)
where the matrix
К = Е – Q – G, (8)
and G is the diagonal matrix with elements
(9)
System (7) is homogeneous and has
nonzero solutions because, as shown in [4],
the determinant of matrix (8) is equal to zero.
The character of these solutions depends car-
dinally on the rank of matrix (8). As shown in
[4], the rank of this matrix is r = n – 1, where
п is the number of sectors in the system under
consideration. This conclusion was drawn on
the basis of estimation of the (n – 1)-order
minors of matrix (8). In [4], this estimate was
defined as a lower estimate. In what follows,
we present the complete proof that the rank
of matrix (8) is equal to n – 1.
The determinant Δs of matrix (8) with
using (1), (6), and (9) can be written as
(10)
where
(11)
With regard for (2), (5), and (6), we may
write
(12)
and, as a result, determinant (11) will take the
form
(13)
It is reasonable to find the rank of
matrix (8) by means of the analysis of its
minors of dimension n – 1, obtained by
cancellation of the i-th row and column in
determinant (13).
We first perform this analysis for a system
of dimension n = 4 with subsequent generaliza-
tion for arbitrary n. Determinant (13) for the
case n = 4 has the form
(14)
After cancellation of the first row and col-
umn in (14), we arrive at the third-order
minor
(15)
With the use of (2), we may represent
determinant (15) as follows:
(16)
30 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
(19)
M.M. КULYK
where
(17)
and here, as shown in [4], we obtain the prop-
erty
(18)
Determinant (16) can be calculated with
the use of relation given in [5]:
Applying successively equality (19) to all
rows of determinant (16), we arrive at the
calculating procedure for finding its value in
the general case, presented in Table 1.
In the first step of this procedure, we
remove element х12 from the first row of
determinant Δх(4)m, in the second, element
х13 is removed from the second row, and, in
the third, element х13 from the third row.
As a result, we obtain the equality
(20)
In this equality, the determinant Δ1 = 0
because it has the structure of determinant
(18); further, the determinant Δ2 is positive
since xS0
22· xS0
33 > x23·x32; by similar causes,
the determinants Δ3 and Δ5 are also positive;
the determinants Δ4, Δ6, Δ7, and Δ8 are equal
to the products of their diagonal elements and
are positive by virtue of the positiveness of
elements xij, i, j = 1,n in structure (1).
Hence, the determinant Δх(4)m is positive
for arbitrary values of the elements of struc-
ture (1), and the rank of matrix (8) at its
dimension п = 4 is equal to r = n – 1 = 3.
It is important to note the following specif-
ic features of determinant Δх(4)m. All matrices
presented in the second and third tiers of
Table 1 also have positive determinants,
which can be seen from its structure. For the
positiveness of Δх(4)m, it is necessary and
sufficient that even if one of its elements x1i,
i = 2, 4 should be positive.
Further, we prove that matrices (8) possess
this property r = n – 1 for arbitrary values of
their dimensions. For this purpose, we use the
method of complete induction, namely,
assuming that the rank of matrix (8) at n ≤ m
is equal to
r = m – 1, (21)
we prove that, if the dimension of matrix
(8) is n = m + 1, its rank will be equal to
r = m. (22)
In the case where the matrix К has a
dimension n = m, determinant (13) can be
transformed to the form
(23)
31ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance
Ta
bl
e
1
‒
C
a
lc
u
la
ti
n
g
p
ro
ce
d
u
re
f
o
r
fi
n
d
in
g
t
h
e
v
a
lu
e
o
f
d
et
er
m
in
a
n
t
Δ
x(
4
)m
32 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
M.M. КULYK
it is equal to zero, and the corresponding
(m–1)-order minor, obtained by analogy with
the previous case, has the form
(24)
After transformation of the determinant
Δх(m)м, similar to (16), we reduce it to the
form suitable for applying relation (19) in
order to estimate its properties (Table 2). In
this and subsequent tables, all tabular forms
for the simplification and better visualization
of the drawing should be perceived as deter-
minants.
According to the assumptions made by the
method of complete induction, all determi-
nants of this table (except Δ5, which is equal
to zero) are positive and possess properties
inherent in the determinants of Table 1, dis-
cussed above.
In the case where the dimension of matrix
(8) is n = m + 1, determinant (13) can be
reduced to the form
it also is equal to zero and has a minor of the
m-th order:
After transformations of determinant (26),
similar to those performed in the previous
cases, we carry out the calculating process
presented in Table 3.
Here, as before, determinant (26) is equal
to a sum of determinants
(27)
in which Δ6 = 0.
The dimension of all determinants Δi,
i = 1, 5, in Table 3 is equal to n = m. They
have identical structure because are formed
by the multiplication of positive element x1i,
i = 3,m + 1 by the determinant of (m–1)-th
order, obtained by the cancellation of i-th row
and column from the determinant Δх(m+1)м
with subsequent transformations similar to
those described above. Such determinants (of
order m–1) are positive by the condition of
the method of complete induction. Therefore,
determinant (27) is positive, the rank of
matrix (8) for its dimension n = m + 1 corre-
sponds to (22), and, at an arbitrary value of n,
its rank is
r = n – 1. (28)
Example. To verify the adequacy of trans-
formations (19) – (27), we apply them for the
tables «input-output» in Ukraine for 2012.
For this purpose, we use tables given in [4],
preliminarily aggregating them to four sec-
tors (Table 4).
According to data from Table 4, the deter-
minant Δx(4) (14) has the form
and determinant (15) is
. (26)
(25)
, (29)
33ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance
Table 2 ‒ Calculating scheme of the analysis of properties of the determinant Δх(m)м
34 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
M.M. КULYK
Table 3 ‒ Calculating algorithm of finding the properties of determinant Δх(m + 1)м
35ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance
Application of equality (19) to the deter-
minant Δx(у)м leads to the process illustrated
in Table 5.
Here, as earlier, we perform with the use
of (19) step-by-step cancellation of the sec-
ond term in diagonal elements of the initial
and newly formed determinants. As a result,
we arrive at the equality
(31)
In Table 6, we present the values of 8
determinants-terms of sum (31) and the
determinant Δx(у)м, calculated according to
formula (31) as well as (for verification) by
the classical method. We observe here a prac-
tically complete coincidence between the
values of this determinant, calculated by dif-
ferent methods, which confirms the validity
of procedure (19) – (27).
2. System of equations for determining
output by the data of final demand. This
system of equations is based on the output
balance
(32)
V.V. Leontief transformed system (32) to
matrix-vector form
(Е – А) x = c, (33)
where
(34)
It is reasonable to represent the determi-
nant of matrix Е – А from (33) in the follow-
ing way:
(35)
where
(36)
Table 4 ‒ Aggregated table «input-output» in Ukraine for 2012, millions of hryvnas, prices of 2012
(30)
36 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
M.M. КULYK
Ta
bl
e
5
‒
C
a
lc
u
la
ti
n
g
p
ro
ce
ss
o
f
fi
n
d
in
g
t
h
e
d
et
er
m
in
a
n
t
Δ
х(
у)
м
37ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance
Subtracting and adding the quantities ci,
i = 1,n, to the diagonal elements of (36), after
transformations similar to those used in con-
structing (16), we obtain a determinant anal-
ogous by its value to (36):
where
The structures of determinants (37) and
(16) are identical, and, therefore, if the ele-
ments of the vector of final demand ci, i = 1,n
are nonnegative, then determinant (37) is
nonzero and positive for arbitrary values of
the dimension n of system (33), elements of
the matrix А, and vector of final demand с.
3. System of equations for determining
output by the data of added value. This
system is based on the input balance (2),
which can be rewritten in matrix-vector form
as follows:
(E – Q) x = d, (39)
where the elements of matrix Q are
(40)
As earlier, we represent the determinant of
matrix E – Q by the product
where
Further, as in the derivation of (37), we
transform relation (42), using, however,
instead of the vector с, elements of the vector
d. As a result, we obtain
where
(44)
Determinant (43), by analogy with deter-
minant (37), has the structure of determinant
(16). Therefore, the decomposition of Table 1
can be applied to (43). This fact gives us all
reasons to assert that determinant (43) is
nonzero and positive for arbitrary values of
the dimension n of matrix E – Q and ele-
ments xij and di, i, j = 1,n, satisfying, natural-
ly, condition (2).
Table 6 ‒ Values of determinants from Table 5, (×1015)
(37)
(41)
(38)
(42)
(43)
38 ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
M.M. КULYK
4. Analysis and comments. All three prob-
lems considered above were solved with using
the same method, which can be called the
method of extrapolation to zero determinant.
We showed that the system of equations (4),
recommended in [1, 2] and by numerous other
authors for establishing the interrelation
between equilibrium prices and output vol-
umes in output units, is homogeneous and has
a spesific matrix (8). We proved that this
matrix has, as a minimum, n positive minors
with a dimension r = n – 1, where n is the
dimension of matrix (8). This important fea-
ture envisions the fact that, from the continual
set of the solutions of system (7), it is impos-
sible to isolate even if a single vector that
would correspond to the meaning content of
tables «input-output». It is known from the
theory of homogeneous systems (see, e.g., [5])
that, in the case where the rank of matrix of the
system similar to (7) is less by one than its
dimension, the ratios between k-th and l-th ele-
ments of any vector of its solutions is deter-
mined rigidly and unambiguously. As shown
in [4], these ratios as applied to system (7)
have the form
(45)
where Pk, xk, Pl and xl are the equilibrium
prices and outputs in output units of the sec-
tors k and l, respectively. Obviously, the ratio
of equilibrium prices of two arbitrary sectors
cannot be equal to the ratio of their output vol-
umes in «physical» units. This means that the
system of equations (7) gives erroneous or
degenerate solutions. Therefore, it is impossi-
ble to use systems (4) and (7) not only for find-
ing equilibrium prices and outputs in output
units, but also for the solution of other prob-
lems of intersectoral balance.
The matrix E – A of system (33) for find-
ing output by the data of final demand has a
rank r = n, where n is its dimension, and its
determinant is always positive for any
dimension of the matrix and the non-nega-
tiveness of elements of the final demand.
Note that the last condition, as can be seen
even from Tables 1 – 5, is necessary not
always.
The system of equations (39) for finding
output by the data of added value has the
matrix E – Q, its rank is r = n, and its deter-
minant is positive for all values of xi, xij, di,
satisfying the condition of input balance (2).
Note that the property of positiveness of the
determinant of matrix E – Q was proved by
R. Bellman in [6] with the use of Gram deter-
minants. This proof is more compact than the
method of extrapolation to zero determinant,
but the latter can be applied to all problems
considered here and, which is quite important,
enables one to obtain not only the sign, but
also the values of determinants under study.
We should especially emphasize the
unique property of systems (33) and (39),
where the matrices E – A and E – Q have
determinants whose values depend on the
right-hand sides of these systems, namely, on
the values of elements of the vectors of final
demand ci and added value di, i, j = 1,n,
respectively. It is easy to make certain of this
by comparing the determinant Δх(m + 1)м from
Table 3 with determinants (37) and (43). The
initial cause of such property lies in the fact
that systems (33) and (39) are based on the
input (2) and output (32) balances. Balances
(2) and (32) are not taken into account in
proof of positivity of matrix E – Q determi-
nant, given by R. Bellman in [6], which is
therefore at least non-rigorous.
1. Kuboniva, M. et al. (1991). Mathematical
economics on a personal computer. Moskow:
Finansy i Statistika [in Russian].
39ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2017, issue 2 (49)
Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance
2. Carter, А. (1974). Structural change in the
American economy. Moscow: Statistika [in
Russian].
3. Leontief, W. et al. (1958). Studies in the
structure of the American economy. Moskow:
Gosudarstvennoe statisticheskoe izdatelstvo [in
Russian].
4. Kulyk, М.M. (2016). Revision of the possi-
bilities of the models of equilibrium prices and
outputs in the theory of intersectoral balance.
Problemy Zahal’noi Enerhetyky - The Problems
of General Energy, 4 (47), 5–22 [in Russian, in
English]. https://doi.org/10.15407/pge2016.04.005.
5. Korn, G.A., & Korn, T.M. (1961).
Mathematical handbook for scientists and engi-
neers. New York: McGraw-Hill.
6. Bellman, R. (1960). Introduction to matrix
analysis. New York: McGraw-Hill.
Resived to the Editorial Board:05.06.2017
|
| id | systemreorg-article-599 |
| institution | System Research in Energy |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:19:14Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | systemreorg/0c/cd81a88508492f2a2f7c9501a8d6490c.pdf |
| spelling | systemreorg-article-5992026-07-18T12:57:43Z Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу Kulyk М.M. matrix, determinant, rank, vector, output, input, balance, price. матриця, детермінант, ранг, вектор, випуск, витрати, баланс, ціна. We have investigated the fundamental properties of the matrices of three systems of algebraic equations describing the key problems of intersectoral balance: determination of output by the data of final demand, determination of output by the data of added value, and establishing the interrelation between equilibrium prices and output. All these problems have been solved with using the same method proposed here and called the method of extrapolation to zero determinant. We have shown that the system of equations recommended by numerous authors for establishing the interrelation between equilibrium prices and output volumes in output units is homogeneous. We have proved that, in this matrix, there exist at least n positive minors with a dimension r = n - 1 , where n is the dimension of matrix. This important feature envisions the fact that, in the continual set of solutions of the corresponding system, it is impossible to find even if a single vector that would correspond to the meaning content of tables “input-output”. Therefore, this system cannot be used not only for determining equilibrium prices and output in output units, but also for the solution of other problems of intersectoral balance.We have proved that the matrix of the system of equations for finding output by the data of final demand has a rank r = n, and its determinant is always positive for any dimension of this matrix and non-negativeness of the elements of final demand, and the last condition not always is necessary.We have established that the system of equations for finding output by the data of added value has a matrix whose rank is  r = n, and its determinant is positive for all values of variables satisfying the condition of input balance. The property of positiveness of the determinant of this matrix was already proved by R. Bellman, and this proof was based on the Gram determinants. It is more compact than the method of extrapolation to zero determinant, but the latter can be applied to all problems considered here and, which is quite important, enables one to obtain not only the sign, but also the values of determinants under study.We should especially emphasize the unique property of matrices of the systems of equations for determining output by the data of final demand and added value. The determinants of these matrices depend on the values of right-hand sides of the corresponding systems, namely, on the values of elements of the vectors of final demand and added value, respectively. The initial cause of such property is the fact that these systems were constructed on the basis of output and input balances. Досліджено фундаментальні властивості матриць трьох систем алгебраїчних рівнянь, якими формалізуються ключові задачі міжгалузевого балансу: визначення випуску за даними кінцевого попиту, визначення випуску за даними доданої вартості, встановлення взаємозв'язку між рівноважними цінами і випуском. Всі ці задачі вирішено з використанням одного і того самого запропонованого тут методу, названого методом екстраполяції до нульового детермінанту. Показано, що система рівнянь, рекомендована багатьма авторами для встановлення взаємозв'язку рівноважних цін та обсягів випуску в одиницях випуску, є однорідною. Доведено, що в цій матриці існує, як мінімум, n позитивних мінорів з розмірністю r = n - 1, де n - розмірність матриці. Ця важлива особливість зумовлює те, що в континуальній множині розв’язків відповідної системи неможливо знайти хоча б один вектор, який відповідав би смисловому змісту таблиць «витрати-випуск». Тому цю систему не можна використовувати не тільки для визначення рівноважних цін і випусків в одиницях випуску, а й для розв'язання інших задач міжгалузевого балансу.Доведено, що матриця системи рівнянь для визначення випуску за даними кінцевого попиту має ранг r = n. Детермінант цієї матриці є завжди позитивним при будь-якій її розмірності і невід'ємності елементів кінцевого попиту, причому остання умова не завжди є необхідною.Встановлено, що система рівнянь для визначення випуску за даними доданої вартості має матрицю, ранг якої r = n, а детермінант позитивний при всіх значеннях змінних, які відповідають умові балансу витрат. Властивість позитивності детермінанта цієї матриці вже було доведено Р. Беллманом. При цьому використовувалося доказ, заснований на визначниках Грама. Він компактніший за метод екстраполяції до нульового детермінанта, проте останній використовується відразу до всіх розглянутих тут задач і, що важливо, дає можливість визначити не тільки знак, а й значення досліджуваних детермінантів.Слід особливо підкреслити унікальну властивість матриць систем рівнянь для визначення випусків за даними кінцевого попиту і доданої вартості. Визначники цих матриць залежать від значень правих частин відповідних систем, а саме, від значень елементів векторів кінцевого попиту і доданої вартості відповідно. Першопричиною такої властивості є те, що ці системи побудовані на підставі балансів випуску і витрат. General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine 2017-07-14 Article Article application/pdf https://systemre.org/index.php/journal/article/view/599 10.15407/pge2017.02.014 System Research in Energy; No. 2 (49) (2017): The Problems of General Energy; 14-39 Системні дослідження в енергетиці; № 2 (49) (2017): Проблеми загальної енергетики; 14-39 2786-7102 2786-7633 uk https://systemre.org/index.php/journal/article/view/599/525 Copyright (c) 2017 Kulyk М.M. https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0 |
| spellingShingle | matrix determinant rank vector output input balance price. Kulyk М.M. Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance |
| title | Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance |
| title_alt | Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу |
| title_full | Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance |
| title_fullStr | Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance |
| title_full_unstemmed | Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance |
| title_short | Fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance |
| title_sort | fundamental properties of the main matrix forms in the systems of equations of intersectoral balance |
| topic | matrix determinant rank vector output input balance price. |
| topic_facet | matrix determinant rank vector output input balance price. матриця детермінант ранг вектор випуск витрати баланс ціна. |
| url | https://systemre.org/index.php/journal/article/view/599 |
| work_keys_str_mv | AT kulykmm fundamentalpropertiesofthemainmatrixformsinthesystemsofequationsofintersectoralbalance AT kulykmm fundamentalʹnívlastivostíosnovnihmatričnihformvsistemahrívnânʹmížgaluzevogobalansu |