New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance
We have performed a detailed investigation of the properties of the model that is used in numerous present-day publications on the theory of intersectoral balance and is called the model of equilibrium prices. We have proved that the procedure of obtaining the model of equilibrium prices presented i...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://systemre.org/index.php/journal/article/view/647 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System Research in Energy |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System Research in Energy| _version_ | 1871104165115068416 |
|---|---|
| author | Kulyk М.M. |
| author_facet | Kulyk М.M. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Kulyk М.M.",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Kulyk М.M. |
| baseUrl_str | https://systemre.org/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T12:57:44Z |
| description | We have performed a detailed investigation of the properties of the model that is used in numerous present-day publications on the theory of intersectoral balance and is called the model of equilibrium prices. We have proved that the procedure of obtaining the model of equilibrium prices presented in [2] is groundless, and the model itself does not correspond to input balance in the system of matrix forms «input-output» and, hence, is not a model of equilibrium prices in the system of models of intersectoral balance.We have obtained four new models that represent systems of equations of the interrelations between equilibrium prices and output volumes in output units. Two of them are constructed on the basis of input balance in the structure of tables «input-output», and two other on output balance. All these models are underdetermined, and, therefore, in calculations of equilibrium prices and outputs, it is necessary to assign additional information, which is absent in the tables «input-output», as is made in [2], [3], and numerous other publications on this range of problems. |
| doi_str_mv | 10.15407/pge2018.01.012 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:02:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
12
М.Н. КУЛИК
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
В [1] показано, что модель равновесных
цен, разработанная, описанная в [2] и ис-
пользуемая в других многочисленных ис-
точниках, не может быть применена как
для теоретических исследований, так и для
практических расчетов, поскольку она дает
результаты, несовместимые со смысловым
содержанием задачи. Причиной такого по-
ложения является то, что в процессе постро-
ения модели равновесных цен, представлен-
ной в [2], были применены некорректные,
по нашему мнению, операции.
Исходными данными, использованными в
[2] для построения модели равновесных цен,
являются таблицы «затраты-выпуск» (1).
Здесь iix – элементы матрицы проме-
жуточного потребления L в стоимостной
форме; с, х, d, z – векторы конечного потре-
бления, выпуска, добавленной стоимости и
суммарных затрат соответственно, тоже в
стоимостной форме.
L
с х
Сектор 1 i j n Конечное
потреблениее Выпуск
1 x11 x1i x1j x1n c1 х1
і xi1 xii xij xin ; ci ; хi ;
j xj1 xji xjj xjn cj хj
n xn1 xni xnj xnn cn хn
d
Добавленная
стоимость d1 di dj dn ;
z = x
Затраты,
всего z1 zi zj zn ,
(1)
В [2] для получения уравнения равновес-
ных цен было использовано также уравнение
баланса затрат
ISSN 2522-4344 (Online), ISSN 1562-8965 (Print). The problems of general energy, 2018, 1(52): 12–23
doi: https://doi.org/10.15407/pge2018.01.012
УДК 622.324 М.Н. КУЛИК, академик НАН Украины, доктор техн. наук,
профессор, Институт общей энергетики НАН Украины,
ул. Антоновича, 172, г. Киев, 03150, Украина
НОВЫЕ МОДЕЛИ РАВНОВЕСНЫХ ЦЕН В ТЕОРИИ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Детально исследованы свойства модели, которая массово применяется во многих
современных публикациях по теории межотраслевого баланса и называется мо-
делью равновесных цен. Доказано, что методика получения модели равновесных
цен, приведенная в [2], является несостоятельной, а сама модель не соответству-
ет балансу затрат в системе матричных форм «затраты-выпуск» (input-output) и по-
тому не является моделью равновесных цен в системе моделей межотраслевого
баланса. Получены четыре новые модели, которые представляют собой системы
уравнений взаимосвязей между равновесными ценами и объемами выпуска в
единицах выпуска. Две из них построены на основе баланса затрат в структуре
таблиц «затраты-выпуск», две другие – на балансе выпусков. Все эти модели яв-
ляются недоопределенными, и потому при расчетах равновесных цен и выпусков
необходимо задать дополнительную информацию, не содержащуюся в таблицах
«затраты-выпуск», как это делается в [2], [3] и множестве других публикаций по
этой проблематике.
К л ю ч е в ы е с л о в а : равновесные цены, выпуск, межотраслевой баланс, ма-
трица, вектор, добавленная стоимость, конечное потребление.
© М.Н. КУЛИК, 2018
c х
.
d
z = x
13
Новые модели равновесных цен в теории межотраслевого баланса
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
1
, 1, .j j j
n
ij
i
x d z x j n
(2)
Далее с целью дальнейшего анализа про-
цитируем вывод и окончательный вид мо-
дели равновесных цен, приведенные в [2]
(С. 171–172).
«Столбец j межотраслевого баланса может
быть представлен в следующем виде:
1 2 ,i i ni iiX X X V X
откуда, используя выражения
,ji i ii ijiX a X V v X получаем
1 21 1 1 1,ii i nia a a v
1,2, , .i n
Здесь v–i – величина добавленной сто-
имости, приходящаяся на единицу про-
дукции отрасли и называемая долей до-
бавленной стоимости. Если для базового
периода цены всех продуктов 1 2, , nP P P
принять за единицу, то при замене v–i на iv
цены 1 2, , nP P P будут определяться по
формуле
1
, 1,2, , .
n
i ji j i
j
P a P v i n
(4.14)
В матричном представлении систему (4.14)
можно переписать как
, P A P v (4.15)
где
11 21 11 1
12 2 2 22 2
1 2
, , .
n
n
n nn n n n
a a aP v
a a aP v
P va a a
P A' v
..............................................................................
Уравнения (4.14) и (4.15) называют моделью
равновесных цен» (конец цитаты).
К приведенному в цитате алгоритму по-
лучения модели (4.15) и к самой этой мо-
дели имеется несколько серьёзных претен-
зий. Величину
v–i
авторы называют долей
добавленной стоимости, приходящейся на
единицу продукции отрасли. Поскольку до-
бавленная стоимость iV исчисляется в де-
нежных единицах, а выпускаемая отраслью
продукция – в физических единицах (тон-
ны, метры, кВт∙часы и т. д.), то величина
v–i должна иметь размерность (например,
доллар США/тонну угля). Однако в при-
веденной цитате все величины v–i являются
безразмерными. А поскольку все элементы
матрицы А′ также не имеют размерности, то
и все элементы вектора цен Р, получаемые
применением модели (4.15), тоже будут без-
размерными, что противоречит определе-
нию цены. Следовательно, модель (4.15) не
является моделью цен вообще и равновес-
ных цен — в частности.
В процессе получения модели (4.15) авто-
ры заменяют вектор v– иным вектором v, ут-
верждая, что он обеспечит получение равно-
весных цен , 1, ,iP i n однако не показывают,
каким образом его вычислить и почему он
обеспечит получение именно равновесных
цен. Кроме того, на С. 172, через абзац после
приведенной цитаты утверждается, что век-
тор v является вектором долей добавленной
стоимости. Однако в тексте цитаты вектором
долей добавленной стоимости объявлен век-
тор v–, т. е. v– = v. Тогда модель (4.15) согласно
приведенной цитате даст решение Р = 1, где 1
является единичным безразмерным вектором
размерности n.
Все это в совокупности доказывает, что
система уравнений (4.15) не является мо-
делью равновесных цен в системе моделей
межотраслевого баланса, она получена в ре-
зультате совокупности ошибок и необосно-
ванных допущений.
В данной статье описаны новые модели
равновесных цен, полученные путем адекват-
ных математических преобразований таблиц
«затраты-выпуск».
Для разработки первой из них воспользу-
емся таблицей L и векторами d, x из структу-
ры таблиц (1) «затраты-выпуск», а также ба-
лансом затрат (2). Кроме того, введем новое
очевидное уравнение
, 1, ,i i ix P M i n
(3)
14
М.Н. КУЛИК
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
где iM – выпуск продукции і-го сектора,
исчисляемый в единицах выпуска, iP – цена
продукции і-го сектора.
Далее, разделяя все столбцы таблиц (1) на
jM и воспользовавшись уравнением баланса
затрат (2), получим схему для построения мо-
дели равновесных цен (4):
(4)
1 i j n
11 111
1
1
1
1
1
1
1
1
ji n
i j n
iji ii in
i j n
j ji jj jn
i j n
njn ni nn
i j n
xx xx
M M M M
xx x x
i M M M M
x x x x
j
M M M M
xx x xn
M M M M
+
1
1
ji n
i j n
dd dd
M M M M
1
1
.ji n
i j n
xx xx
M M M M
=
Проведя суммирование по столбцам, как
показано на схеме (4), получаем систему
уравнений (5)
(5)
11 111 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
,
,
,
.
ji n
jii ii ni i
i i i i i i
j ij jj nj j j
j j j j j j
jnn in nn n n
n n n n n n
xx xx d x
M M M M M M
xx x x d xi
M M M M M M
x x x x d x
M M M M M M
xx x x d x
M M M M M M
Система уравнений (5) с применением за-
висимости (3) преобразуется в систему (6),
которая в развернутом виде является моделью
равновесных цен:
(6)
11 111 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
1
1
,
,
,
.
ji n
jii ii ni i
i i i i i
i i i i i
j ij jj nj j
j j j j j
j j j j j
jnn in nn n
n n n n n
n n n n n
xx xx dP P P P P
x x x x M
xx x x dP P P P P
x x x x M
x x x x d
P P P P P
x x x x M
xx x x dP P P P P
x x x x M
В матричной форме система (6) представи-
ма в виде
( ) , E S P (7)
где Е – единичная матрица, S – диагональная
матрица с элементами
(8)1 , 1, ,
n
ij
i
jj
j
x
S j n
x
P – искомый вектор цен, – вектор с элемен-
тами
, 1, ,j
j
j
d
j n
M
(9)
каждый из которых является долей добавлен-
ной стоимости j-й отрасли jd на единицу
выпускаемой ею продукции jM .
Используя уравнение баланса выпуска
(10)
1
, 1,
n
ij i i
j
x c x i n
и разделив каждую из строк таблиц (1) на iM ,
1,i n , получим схему для формирова-
ния второй модели равновесных цен, а
именно:
15
Новые модели равновесных цен в теории межотраслевого баланса
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
(11)
11 111 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
.
ji n
ij i ii ii in
i ii i i i
j jj ji jj jn
j jj j j j
n nnjn ni nn
n nn n n n
xx xx c x
M M M M M M
x c xx x x
M MM M M M
c xx x x x
M MM M M M
c xxx x x
M MM M M M
Следуя этой схеме и используя урав-
нение (3), получаем в развернутом виде
систему уравнений второй модели равно-
весных цен
(12)
11 111 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
1
1
,
,
,
,
ji n
iji ii in i
i i i i i
i i i i i
j ji jj jn j
j j j j j
j j j j j
njn ni nn n
n n n n n
n n n n n
xx xx cP P P P P
x x x x M
xx x x cP P P P P
x x x x M
x x x x c
P P P P P
x x x x M
xx x x cP P P P P
x x x x M
которая преобразуется в матричную форму
этой модели
( ) , E R P
(13)
в которой R – диагональная матрица с элемен-
тами
(14)1 , 1, ,
n
ij
j
ii
i
x
r i n
x
а вектор имеет элементы
(15), 1, .i
i
i
c i n
M
Величины i (15) по аналогии с величи-
нами j (10) являются долей конечного по-
требления продукции і-й отрасли на единицу
выпускаемой ею продукции.
Используя преобразования, аналогичные
тем, которые применялись нами при полу-
чении зависимостей (7) и (13) (но производя
деление соответствующих строк и столбцов
системы таблиц (1) на , 1,iP i n ), получаем
третье векторно-матричное уравнение, связы-
вающее равновесные цены и выпуски в еди-
ницах выпуска:
( ) , E S M
(16)
где вектор α имеет элементы
(17), 1, .j
j
j
d
i n
P
Аналогично сформируем четвертое урав-
нение равновесных цен и выпусков
( ) , E R M
(18)
в котором элементы вектора имеют вид
, 1, .i
i
i
c i n
P
(19)
Анализ и комментарии. Выше пу-
тем анализа размерности и схемы выво-
да уравнений (4.14), (4.15) показано, что
эти уравнения являются несостоятельны-
ми. Далее подтвердим это утверждение,
используя механизмы математического
анализа. Как видно из приведенной цита-
ты, построение системы уравнений (4.14),
(4.15) базируется на балансе затрат. Сле-
довательно, преобразуя уравнения (4.14),
(4.15) в обратном порядке, мы должны
получить уравнения (2). Попробуем это
сделать.
Матрица А́ в уравнении (4.15) согласно
тексту цитаты имеет вид
16
М.Н. КУЛИК
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
(20)
11 111
1 1 1 1
1
1
1
.
ji n
jii ii ni
i i i i
j ij jj nj
j j j j
jnn in nn
n n n n
xx xx
x x x x
xx x x
x x x x
A
x x x x
x x x x
xx x x
x x x x
Подставляя (20) в (4.15), получаем систе-
му (21)
11 111 1
1
1 1 1 1 1
(1 ) ,ji n
i j n
xx xx dP P P P
x x x x M
1
1 (1 ) ,jii ii ni i
i j n
i i i i i
xx x x dP P P P
x x x x M
1
1 (1 ) ,j ij jj nj j
i j n
j j j j j
x x x x d
P P P P
x x x x M
1
1 (1 ) .jnn in nn n
i j n
n n n n n
xx x x dP P P P
x x x x M
(21)
Умножая каждую из строк 1,i n системы
(21) на iM и используя уравнение (3), полу-
чим систему уравнений (22)
(22)
11 1 1 1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
,
,
,
,
ji n
i j n
j n
i ii ji ni i i
i i i
i n
j ij jj nj j j
j j j
ji
n in jn nn n n
n n n
PP Px x x x d x
P P P
P PPx x x x d x
P P P
P PPx x x x d x
P P P
PPPx x x x d x
P P P
которая представима в виде
(23)
1
, 1, .
n
i
ij j j
ji
Px d x j n
P
Система уравнений (23) будет адекватной
системе баланса затрат (2) в единственном
случае, а именно, когда цены всех секторов
будут одинаковыми
, , 1, .i jP P i j n
(24)
Ясно, что случай (24) является вырож-
денным. Равенство (24) никоим образом
не согласуется со смысловым содержани-
ем задачи. Никогда не бывает, чтобы цены
во всех секторах экономики и сфере услуг
были одинаковыми. В общем же случае
система уравнений (23) отличается от си-
стемы баланса затрат (2). Поэтому система
уравнений (4.14), (4.15) не является моде-
лью равновесных цен в системе моделей
межотраслевого баланса.
Далее таким же способом проведем про-
верку системы уравнений (7). Эта система
имеет диагональную матрицу, j-я строка си-
стемы представляет собой уравнение первого
порядка
(1 ) .j
jj j
j
d
S P
M
(25)
Умножая обе части (25) на jM , после про-
стых преобразований получаем уравнение
1
.
n
ij j j
i
x d x
(26)
Полагая 1,j n , получаем систему уравне-
ний, которая полностью совпадает с систе-
мой уравнений (2), описывающей баланс
затрат в системе таблиц «затраты-выпуск».
Это дает основание утверждать, что система
уравнений (7) является моделью равновес-
ных цен в структуре моделей межотраслево-
го баланса.
По аналогичной схеме (с некоторыми не-
существенными изменениями) доказывается,
что модели (13), (16) и (18) также являются
моделями равновесных цен.
Матрицы моделей (7), (13), (16), (18) име-
ют диагональную форму, связь между показа-
17
Новые модели равновесных цен в теории межотраслевого баланса
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
телями различных секторов осуществляется
в них через диагональные элементы, которые
рассчитываются с использованием данных
промежуточного потребления, затрат и выпу-
сков всех секторов.
Следует особо отметить, что ни одна из по-
лученных моделей не в состоянии определить
значения равновесных цен iP и выпусков iM ,
используя лишь данные таблиц «затраты-вы-
пуск». Как видно из структуры моделей (7),
(13), (16), (18), они содержат n уравнений и 2n
неизвестных, это недоопределенные системы.
Однако они ценны тем, что устанавливают вза-
имосвязь между равновесными ценами и вы-
пуском в единицах выпуска. Их используют
для анализа при исследовании различных ситу-
аций и задач типа: «Что будет, если…». В этом
случае исследователь доопределяет систему,
частично либо полностью задавая изменения
в правых частях или матрицах названных мо-
делей, как это сделано, в частности, в [2], [3] и
многочисленных других публикациях.
Представленные новые модели дают со-
впадающие результаты. Использование каж-
дой из них обусловливается наличием исход-
ных данных либо другими условиями.
1. Кулик М. Н. Пересмотр возможностей мо-
делей равновесных цен и выпусков в теории
межотраслевого баланса. Проблемы общей
энергетики. 2016. № 47. С. 5—22. https://doi.
org/10.15407/pge2016.04.005.
2. Кубонива М. и др. Математическая эко-
номика на персональном компьютере.
М.: Финансы и статистика, 1991. С. 179—188.
3. Картер А. Структурные изменения в
экономике США. М: Статистика, 1974.
С. 150—191.
Над ійшла до редколегії 02.03.2018
18
М.M. KULYK
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
As shown in [1], the model of equilib-
rium prices developed and described in [2]
and used in other numerous works cannot
be applied for both theoretical investiga-
tions and practical calculations because it
leads to results incompatible with the mean-
ing content of problem under consideration.
This situation can be explained by the fact
that, in the course of constructing the mod-
el of equilibrium prices presented in [2],
incorrect, to our opinion, operations were
applied.
As the initial data used in [2] for construct-
ing the model of equilibrium prices, the fol-
lowing tables «input-output» (1).
Where iix are the elements of the matrix of
intermediate consumption L in cost-estimation
form; с, х, d, and z are the vectors of fi nal con-
sumption, output, added value and total input,
respectively, also in cost-estimation form.
с х
Sector 1 i j n Final
consumption Output
1 x11 x1i x1j x1n c1 х1
і xi1 xii xij xin ; ci ; хi ;
j xj1 xji xjj xjn cj хj
n xn1 xni xnj xnn cn хn
L
d
Added
value d1 di dj dn ;
Total
input z1 zi zj zn ,
z = x
(1)
ISSN 2522-4344 (Online), ISSN 1562-8965 (Print). The problems of general energy, 2018, 1(52): 12–23
doi: https://doi.org/10.15407/pge2018.01.012
UDC 622.324 М.M. KULYK, Academician of the National Academy of Sciences of Ukraine,
Dr. Sci. (Eng.), Professor, Institute of General Energy of the National Academy
of Sciences of Ukraine, 172, Antonovicha str., Kiev, 03150, Ukraine
NEW MODELS OF EQUILIBRIUM PRICES IN THE THEORY OF INTERSECTORAL BALANCE
We have performed a detailed investigation of the properties of the model that is
used in numerous present-day publications on the theory of intersectoral balance
and is called the model of equilibrium prices. We have proved that the procedure
of obtaining the model of equilibrium prices presented in [2] is groundless, and the
model itself does not correspond to input balance in the system of matrix forms «in-
put-output» and, hence, is not a model of equilibrium prices in the system of models
of intersectoral balance.
We have obtained four new models that represent systems of equations of the in-
terrelations between equilibrium prices and output volumes in output units. Two of
them are constructed on the basis of input balance in the structure of tables «input-
output», and two other on output balance. All these models are underdetermined,
and, therefore, in calculations of equilibrium prices and outputs, it is necessary to
assign additional information, which is absent in the tables «input-output», as is
made in [2], [3], and numerous other publications on this range of problems.
K e y w o r d s : equilibrium prices, output, intersectoral balance, matrix, vector, added
value, final consumption.
© М.M. KULYK, 2018
MATHEMATICAL MODELING
OF ENERDGY FACILITIES AND SYSTEMS
.
L
c х
d
z = xz = x
19
New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
For obtaining the model of equilibrium
prices, the system of equations of input bal-
ance was also used in [2].
1
, 1, .j j j
n
ij
i
x d z x j n
(2)
Further, for subsequent analysis, we quote
the derivation and fi nal form of the model of
equilibrium prices presented in [2, P. 171–172]:
«The column j of intersectoral balance
can be represented as follows:
1 2 ,i i ni iiX X X V X
whence, with regard for expressions
,ji i ii ijiX a X V v X , we obtain
1 21 1 1 1,ii i nia a a v
1,2, , .i n
Here, v–i is the added value per unit of
production of the sector under consideration,
which is called the share of added value. If
the prices of all products 1 2, , nP P P for the
reference period are taken as a unit, then, in the
replacement of v–i by iv , the prices 1 2, , nP P P
will be determined by the formula
1
, 1,2, , .
n
i ji j i
j
P a P v i n
(4.14)
In matrix representation, we may rewrite
system (4.14) as follows:
, P A P v (4.15)
where
11 21 11 1
12 2 2 22 2
1 2
, , .
n
n
n nn n n n
a a aP v
a a aP v
P va a a
P A' v
..............................................................................
Equations (4.14) and (4.15) are called the mod-
el of equilibrium prices» (end of the quote).
The algorithm of constructing model (4.15),
given in the quote, and model itself have sever-
al substantial shortcomings. The quantity v–i is
called in [2] the share of added value per unit
of production of the sector. Since the added
value iV is calculated in monetary units, and
production turned out by the sector in physical
units (tons, meters, kW-h, etc.), we see that the
quantity v–i must have a dimension (e.g., USD
per coal ton). However, all quantities v–i in the
quote are dimensionless. Since all elements
of the matrix А′ also have no dimension, all
elements of the price vector Р, obtained from
model (4.15), will also be dimensionless, but
this contradicts the defi nition of a price. Hence,
model (4.15) is not a model of prices in gen-
eral and not a model of equilibrium prices in
particular.
In the course of the derivation of model
(4.15), the authors replace vector v– by another
vector v, asserting that it will provide obtaining
equilibrium prices , 1, ,iP i n but do not show
how one can calculate it, and why this operation
will provide obtaining just equilibrium prices. In
addition, on P. 172 below the presented quote,
it is said that vector v is the vector of shares
of added value. However, in the text of quote,
vector v– is announced to be the vector of shares
of added value, i.e., v– = v. Then model (4.15)
according to the presented quote gives the solu-
tion Р = 1, where 1 is the unit dimensionless
vector of length n.
All these considerations prove that the system
of equations (4.15) is not a model of equilibrium
prices in the system of models of intersectoral
balance because it was constructed as a result of
the assemblage of errors and unreasonable as-
sumptions.
In the present work, we describe new models
of equilibrium prices, obtained by means of ad-
equate mathematical transformations of tables
«input-output».
For development of the fi rst of them, we use
the table L and vectors d and x from the struc-
ture of Tables (1) «input-output» as well as in-
put balance (2). Furthermore, we introduce a
new obvious equation
, 1, ,i i ix P M i n
(3)
20
М.M. KULYK
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
where
iM is the production output of іth sector
calculated in output units, and iP is the price of
the production of іth sector.
Further, dividing all columns of Tables (1) by
jM and using the system of equations of input
balance (2), we obtain the following scheme for
constructing a model of equilibrium prices:
(4)
1 i j n
11 111
1
1
1
1
1
1
1
1
ji n
i j n
iji ii in
i j n
j ji jj jn
i j n
njn ni nn
i j n
xx xx
M M M M
xx x x
i M M M M
x x x x
j
M M M M
xx x xn
M M M M
+
1
1
ji n
i j n
dd dd
M M M M
1
1
.ji n
i j n
xx xx
M M M M
=
Performing summation over columns as
shown in scheme (4), we arrive at a system of
equations
(5)
11 111 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
,
,
,
.
ji n
jii ii ni i
i i i i i i
j ij jj nj j j
j j j j j j
jnn in nn n n
n n n n n n
xx xx d x
M M M M M M
xx x x d xi
M M M M M M
x x x x d x
M M M M M M
xx x x d x
M M M M M M
System (5) with applying (3) can be reduced
to the form
(6)
11 111 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
1
1
,
,
,
.
ji n
jii ii ni i
i i i i i
i i i i i
j ij jj nj j
j j j j j
j j j j j
jnn in nn n
n n n n n
n n n n n
xx xx dP P P P P
x x x x M
xx x x dP P P P P
x x x x M
x x x x d
P P P P P
x x x x M
xx x x dP P P P P
x x x x M
This system in detailed form represents a
model of equilibrium prices.
In matrix form, system (6) can be rewritten
as follows:
( ) , E S P (7)
where Е is the unit matrix, S is a diagonal ma-
trix with elements
(8)1 , 1, ,
n
ij
i
jj
j
x
S j n
x
P is the required price vector, and is a vector
with elements
, 1, ,j
j
j
d
j n
M
(9)
each of which is the share of added value of the
jth sector jd per unit of its production jM .
Using the equation of input balance
(10)
1
, 1,
n
ij i i
j
x c x i n
and dividing each row of Tables (1) by iM ,
1,i n , we find the scheme for formulat-
ing the second model of equilibrium prices,
namely,
21
New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
(11)
11 111 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
.
ji n
ij i ii ii in
i ii i i i
j jj ji jj jn
j jj j j j
n nnjn ni nn
n nn n n n
xx xx c x
M M M M M M
x c xx x x
M MM M M M
c xx x x x
M MM M M M
c xxx x x
M MM M M M
Following this scheme and using Eq. (3), we
obtain the detailed form of equations of the sec-
ond model of equilibrium prices:
(12)
11 111 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
1
1
,
,
,
,
ji n
iji ii in i
i i i i i
i i i i i
j ji jj jn j
j j j j j
j j j j j
njn ni nn n
n n n n n
n n n n n
xx xx cP P P P P
x x x x M
xx x x cP P P P P
x x x x M
x x x x c
P P P P P
x x x x M
xx x x cP P P P P
x x x x M
which can be transformed into the matrix form
of this model
( ) , E R P
(13)
where R is a diagonal matrix with ele-
ments
(14)1 , 1, ,
n
ij
j
ii
i
x
r i n
x
and the vector has elements
(15), 1, .i
i
i
c i n
M
The quantities i (15) by analogy with j
(10) are the share of final consumption of the
production of ith sector per unit of this pro-
duction.
Using transformations similar to those ap-
plied in obtaining relations (7) and (13) (but
carrying out division of the corresponding
rows and columns of Tables (1) by , 1,iP i n ),
we arrive at the third vector-matrix equation
connecting equilibrium prices and output vol-
umes in output units:
( ) , E S M
(16)
where the vector α has elements
(17), 1, .j
j
j
d
i n
P
By analogy, we formulate the fourth equation
of equilibrium prices and output volumes:
( ) , E R M
(18)
where elements of the vector have the
form
, 1, .i
i
i
c i n
P
(19)
Analysis and Comments. Our analysis of
dimensions and the scheme of the derivation
of equations (4.14) and (4.15) has shown that
these equations are groundless. In what fol-
lows, we confirm this assertion by using the
technique of mathematical analysis. As fol-
lows from the quote given above, construction
of the system of equations (4.14) and (4.15)
is based on the input balance. Hence, trans-
forming equations (4.14) and (4.15) in reverse
order, we must obtain system (2). We now try
to perform this.
According to the text of quote presented
above, the matrix А′ in Eq. (4.15) has the form
22
М.M. KULYK
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
(20)
11 111
1 1 1 1
1
1
1
.
ji n
jii ii ni
i i i i
j ij jj nj
j j j j
jnn in nn
n n n n
xx xx
x x x x
xx x x
x x x x
A
x x x x
x x x x
xx x x
x x x x
Substituting (20) in (4.15), we arrive at
a system
11 111 1
1
1 1 1 1 1
(1 ) ,ji n
i j n
xx xx dP P P P
x x x x M
1
1 (1 ) ,jii ii ni i
i j n
i i i i i
xx x x dP P P P
x x x x M
1
1 (1 ) ,j ij jj nj j
i j n
j j j j j
x x x x d
P P P P
x x x x M
1
1 (1 ) .jnn in nn n
i j n
n n n n n
xx x x dP P P P
x x x x M
(21)
Multiplying each of the rows 1,i n of sys-
tem (21) by iM and using equation (3), we ob-
tain the following system of equations:
(22)
11 1 1 1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
,
,
,
,
ji n
i j n
j n
i ii ji ni i i
i i i
i n
j ij jj nj j j
j j j
ji
n in jn nn n n
n n n
PP Px x x x d x
P P P
P PPx x x x d x
P P P
P PPx x x x d x
P P P
PPPx x x x d x
P P P
which can be represented in the form
(23)
1
, 1, .
n
i
ij j j
ji
Px d x j n
P
The system of equations (23) will be equiva-
lent to the system of input balance (2) in the
unique case, namely, when the prices of all sec-
tors are identical:
, , 1, .i jP P i j n
(24)
It is clear that case (24) is degenerate. Equal-
ity (24) in no way agrees with the meaning con-
tent of our problem. The equality of prices in
all sectors of economy and service industries is
absolutely impossible. Hence, we see that, in
the general case, the system of equations (23)
diff ers from the system of input balance (2), and
system (4.14), (4.15) is not a model of equilib-
rium prices in the system of models of intersec-
toral balance.
Further, in the same way, we check the sys-
tem of equations (7). This system has a diagonal
matrix, and its jth row represents a fi rst-order
equation
(1 ) .j
jj j
j
d
S P
M
(25)
Multiplying both parts of (25) by jM , we ob-
tain after simple transformations
1
.
n
ij j j
i
x d x
(26)
Taking 1,j n , we arrive at a system of equa-
tions that coincides completely with system (2),
describing input balance in the system of tables
«input-output». This fact enables us to assert
that the system of equations (7) is a model of
equilibrium prices in the structure of models of
intersectoral balance.
Using a similar scheme (with some slight
changes), one can prove that models (13), (16),
and (18) also represent models of equilibrium
prices.
The matrices of models (7), (13), (16), and
(18) have a diagonal form, and the connection
between parameters of diff erent sectors is real-
ized in them via diagonal elements, which are
calculated with the use of data of intermediate
23
New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance
ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2018, issue1(52)
consumption as well as the inputs and outputs
of all sectors.
It should be emphasized that not a single
from the obtained models can determine the
values of equilibrium prices iP and outputs iM
with using only data of the tables «input-out-
put». As is seen from the structure of models
(7), (13), (16), and (18), they contain n equa-
tions and 2n unknowns, and, hence, these sys-
tems are underdetermined. However, they are
important because establish interrelations be-
tween equilibrium prices and output in output
units. They are applied for analysis in the inves-
tigation of diff erent situations and problems of
the type «What will be if…». In this case, the
researcher redefi nes his system, assigning par-
tially or completely changes on the right-hand
sides or in the matrices of these models, as is
made, in particular, in [2], [3], and numerous
diff erent publications.
The presented new models give coinciding
results. The use of each from them is envi-
sioned by the presence of initial data or other
conditions.
1. Kulyk, M.M. (2016). Revision of the
possibilities of the models of equilibrium
prices and outputs in the theory of intersectoral
balance. Problemy Zahal’noi Enerhetyky –
The Problems of General Energy. 4(47). 27—39
[in Russian, English]. https://doi.org/10.15407/
pge2016.04.005.
2. Kuboniva, М. et al. (1991). Mathematical
Economics on a Personal Computer. Moscow:
Finansy i Statistika [in Russian].
3. Carter, A. (1974).
. Moscow: Statistika [in
Russian]
Received to the Editorial Board 02.03.2018
|
| id | systemreorg-article-647 |
| institution | System Research in Energy |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:19:45Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | systemreorg/99/ce060b2bb1ed56c5eb46c8b03368d599.pdf |
| spelling | systemreorg-article-6472026-07-18T12:57:44Z New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance Нові моделі рівноважних цін в теорії міжгалузевого балансу Kulyk М.M. equilibrium prices, output, intersectoral balance, matrix, vector, added value, final consumption. рівноважні ціни, випуск, міжгалузевий баланс, матриця, вектор, додана вартість, кінцеве споживання. We have performed a detailed investigation of the properties of the model that is used in numerous present-day publications on the theory of intersectoral balance and is called the model of equilibrium prices. We have proved that the procedure of obtaining the model of equilibrium prices presented in [2] is groundless, and the model itself does not correspond to input balance in the system of matrix forms «input-output» and, hence, is not a model of equilibrium prices in the system of models of intersectoral balance.We have obtained four new models that represent systems of equations of the interrelations between equilibrium prices and output volumes in output units. Two of them are constructed on the basis of input balance in the structure of tables «input-output», and two other on output balance. All these models are underdetermined, and, therefore, in calculations of equilibrium prices and outputs, it is necessary to assign additional information, which is absent in the tables «input-output», as is made in [2], [3], and numerous other publications on this range of problems. Детально досліджено властивості моделі, яка масово застосовується у багатьох сучасних публікаціях з теорії міжгалузевого балансу і називається моделлю рівноважних цін. Доведено, що методика отримання моделі рівноважних цін, наведена в [2], є неспроможною. Побудова цієї моделі базується на балансі витрат системи таблиць «витрати-випуск» (input-output), проте сама модель, як доведено в цій статті, в загальному випадку не задовольняє цій умові і дає неправильні результати. Тому модель, наведена в [2], [3] і безлічі інших публікацій, не є моделлю рівноважних цін у системі моделей міжгалузевого балансу, її не можна використовувати в практичних додатках.Отримано чотири нові моделі, які є системами рівнянь взаємозв’язків між рівноважними цінами і обсягами випуску в одиницях випуску. Дві з них побудовано на основі балансу витрат у структурі таблиць «витрати-випуск», дві інші – на балансі випусків. Матриці моделей мають діагональну форму, зв’язок між показниками різних секторів здійснюється через діагональні елементи, які розраховуються з використанням даних проміжного споживання, витрат і випусків усіх секторів. Усі ці моделі є недовизначеними, і тому при розрахунках рівноважних цін і випусків необхідно задати додаткову інформацію, що не міститься в таблицях «витрати-випуск», як це робиться в [2], [3] і багатьох інших публікацій з цієї проблематики. Представлені нові моделі дають співпадаючі результати, використання кожної з них зумовлюється наявністю вихідних даних або іншими чинниками. General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine 2018-03-30 Article Article application/pdf https://systemre.org/index.php/journal/article/view/647 10.15407/pge2018.01.012 System Research in Energy; No. 1 (52) (2018): The Problems of General Energy; 12-23 Системні дослідження в енергетиці; № 1 (52) (2018): Проблеми загальної енергетики; 12-23 2786-7102 2786-7633 uk https://systemre.org/index.php/journal/article/view/647/562 Copyright (c) 2018 Kulyk М.M. https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0 |
| spellingShingle | equilibrium prices output intersectoral balance matrix vector added value final consumption. Kulyk М.M. New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance |
| title | New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance |
| title_alt | Нові моделі рівноважних цін в теорії міжгалузевого балансу |
| title_full | New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance |
| title_fullStr | New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance |
| title_full_unstemmed | New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance |
| title_short | New models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance |
| title_sort | new models of equilibrium prices in the theory of intersectoral balance |
| topic | equilibrium prices output intersectoral balance matrix vector added value final consumption. |
| topic_facet | equilibrium prices output intersectoral balance matrix vector added value final consumption. рівноважні ціни випуск міжгалузевий баланс матриця вектор додана вартість кінцеве споживання. |
| url | https://systemre.org/index.php/journal/article/view/647 |
| work_keys_str_mv | AT kulykmm newmodelsofequilibriumpricesinthetheoryofintersectoralbalance AT kulykmm novímodelírívnovažnihcínvteoríímížgaluzevogobalansu |