Modification of the Ghosh model structure in inter-sectoral analysis

The current Ghosh model is based on the use of value-added forecast data. The forecasts of gross domestic product and value added have long and regularly been developed by different national and international economic and financial structures, including governmental ones. The level of methods and ac...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автор:	Kulyk М.M.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine 2020
Теми:	modified Ghosh model input-output Leontief model value added final demand
Онлайн доступ:	https://systemre.org/index.php/journal/article/view/756
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	System Research in Energy
Завантажити файл:

Репозитарії

System Research in Energy

_version_	1871104266657071104
author	Kulyk М.M.
author_facet	Kulyk М.M.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Kulyk М.M.", "institution": null } ]
author_sort	Kulyk М.M.
baseUrl_str	https://systemre.org/index.php/journal/oai
collection	OJS
datestamp_date	2026-07-18T12:57:46Z
description	The current Ghosh model is based on the use of value-added forecast data. The forecasts of gross domestic product and value added have long and regularly been developed by different national and international economic and financial structures, including governmental ones. The level of methods and accuracy of such forecasts is quite high as compared with the final demand forecasts on which the Leontief model is based. Therefore, from the econometric point of view, the accuracy of predictions of output made by using the Ghosh model should be at least not worse than that provided by the classical Leontief model. &nbsp; The modified Ghosh model formally differs from its current model by the presence of a new matrix. However, this difference is only a structural feature, and in mathematical terms these models are identical. &nbsp; At the same time, the modified Ghosh model is more attractive and promising than the current one due to the following factors. It uses one matrix instead of two matrices that appear in the current model. The modified model has a structure (unlike the current one) similar to the structure of the classical Leontief model. Due to this, the modified model is more understandable and easy to use. However, the most important feature lies in the fact that the use of a new matrix significantly expands the possibilities of theoretical research within the input-output structures. &nbsp; Due to constructing a new matrix in the modified Ghosh model, new relations between the vectors of final demand and value added were discovered, which can be efficiently used in balancing the system of input-output matrices. It was also established that the corresponding matrices of the classical Leontief model and the modified Ghosh model have identical diagonal elements in pairs, and this is useful in various analytical studies.
doi_str_mv	10.15407/pge2020.03.006
first_indexed	2026-03-24T02:02:56Z
format	Article
fulltext	6 М.М. КУЛИК ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) Метод міжгалузевого балансу займає осо- бливе місце в економічній науці. При певному поєднанні із засобами макро- та мікроеконо- мічного аналізу цей апарат формує цілісну ме- тодологію та забезпечує комплексний інстру- ментарій наукових та прикладних досліджень в економічній сфері, що вже сьогодні призвело до виняткових результатів. Використовуючи метод міжгалузевого балансу, досліджуються і вирішуються проблеми функціонування та роз- витку різнорідних, складних об’єктів, систем та явищ у регіональному та планетарному аспек- тах: економіка в цілому, енергетика, соціальна сфера, екологія, зміна клімату, стихійні лиха, техногенні катастрофи та ін. У нинішньому стані метод input-output отри- мав найширше застосування у наукових сферах усіх промислово розвинених країн. У таких кра- їнах урядові статистичні відомства зобов’язані формувати таблиці input-output за звітні періо- ди, що вказує на особливе значення, яке націо- нальні уряди надають цьому підходу. Крім того, методи input-output активно використовуються для виконання проектів різних міжнародних та національних економічних, фінансових, бізнес- структур та організацій. Метод міжгалузевого балансу базується на сучасному математичному апараті. Показовим у цьому відношенні є, зокрема те, що матриця (I-А) із моделі випуску input-output у складі під- класу матриць із спеціальними властивостями увійшла до загальної теорії матриць під назвою «матриця Леонтьєва». Хоча основи теорії міжгалузевого балансу були започатковані та розроблені майже століття тому, її актуальність та популярність посилюються че- рез високу ефективність цього інструментарію. Протягом усього часу від початку свого розви- тку до сих пір математичним підґрунтям апарату input-output були і залишаються дві надійні систе- ми рівнянь: модель Леонтьєва визначення випус- ку за заданим кінцевим споживанням та модель Гоша визначення випуску через додану вартість. Маючи у розпорядженні модель випуску на базі кінцевого споживання Леонтьєва [1], А. Гош [2] розробив у системі моделей input-output мо- дель випуску, що ґрунтується на використанні доданої вартості. З тих пір дискусії навколо цієї моделі не припиняються. За цей час за моделлю Гоша напрацьована величезна література. Обговорення та пропо- зиції вже не обмежуються моделлю випуску на базі доданої вартості. De March та ін. [3] ствер- джують, що моделі Гоша можуть використову- СИСТЕМНІ ДОСЛІДЖЕННЯ ТА КОМПЛЕКСНІ ПРОБЛЕМИ ЕНЕРГЕТИКИ ISSN 2522-4344 (Online), ISSN 1562-8965 (Print). The problems of general energy, 2020, 3(62): 6–21 doi: https://doi.org/10.15407/pge2020.03.006 УДК 622.324 М.М. КУЛИК, академік НАН України, д-р техн. наук, професор, ORCID: 0000-0002-5582-7027 Інститут загальної енергетики НАН України, вул. Антоновича, 172, м. Київ, 03150, Україна МОДИФІКАЦІЯ СТРУКТУРИ МОДЕЛІ ГОША В МІЖГАЛУЗЕВОМУ АНАЛІЗІ Запропоновано і досліджено модифіковану модель випуску у системі input- output на основі даних доданої вартості (модифікована модель Гоша). Доведені її збалансованість та відсутність методичних похибок. Завдяки тому, що моди- фікована модель Гоша ґрунтується на доданій вартості, точність її прогнозів по- винна бути не гіршою за точність класичної моделі Леонтьєва визначення ви- пуску на базі кінцевого споживання. З використанням нової матриці в модифікованій моделі Гоша встановлені нові математичні залежності, які зв’язують показники кінцевого споживання та до- даної вартості в моделі Леонтьєва та в модифікованій моделі Гоша. Встановле- но також, що відповідні діагональні коефіцієнти матриць, включаючи оберне- ні, що використовуються в моделі Леонтьєва та модифікованій моделі Гоша, є ідентичними. К л ю ч о в і с л о в а: модифікована модель Гоша, input-output, модель Леонтьє- ва, додана вартість, кінцеве споживання. © М.М. КУЛИК, 2020 7 Модифікація структури моделі Гоша в міжгалузевому аналізі ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) ватись для вивчення цінових і вартісних ефек- тів або форвардних зв’язків галузей. Надаються досить жорсткі якісні оцінки цій моделі. Зо- крема, Oosterhaven J. [4] підкреслює її неправ- доподібність. Відповідно до думки de Mesnarda [5], модель Гоша взагалі не викликає інтер- есу. Dietzenbacher [6] робив спроби встановити зв’язки між моделлю Гоша та ціновою моделлю Леонтьєва. Davar [7] заперечує таку можливість і стверджує, що модель Гоша не може бути рівно- значною моделі input-output Леонтьєва. Деякі із наведених критичних оцінок виклика- ють навіть подив своїм радикалізмом. Можливо, частина з них була зумовлена надмірними наді- ями їх авторів на використання цієї моделі для ін- ших задач (наприклад, цінових), що потім не ви- правдились. Але в економетричному плані модель Гоша є двійником і конкурентом моделі випуску Леонтьєва, і використовувати її можна і доцільно лише для визначення випуску. Для врівноважених структур input-output (ІО) ці моделі дають адек- ватні (співпадаючі) результати (див. далі). У врів- новаженій ІО структурі забезпечені два баланси: баланс випуску і баланс витрат. В. Леонтьєв ви- користав баланс випуску для побудови своєї кла- сичної насьогодні моделі на базі показників кін- цевого споживання. Цілком логічним і навіть при- родним з точки зору економетрії було побудувати ще одну модель визначення випуску продукції в ІО системі, яка грунтувалась би не на кінцевому споживанні, а на доданій вартості, що і зробив А. Гош. Якби це не було реалізовано ним, цю мо- дель побудував би хтось інший. Такий метод визначення обсягів випуску про- дукції має низку переваг порівняно із класичним. Показники прогнозу доданої вартості, на відмі- ну від кінцевого споживання, систематично роз- робляються для державних цілей статистичними службами і можуть використовуватись у структу- рах input-output без змін або з незначною адапта- цією. Таким чином, у разі їх застосування у моделі Гоша немає необхідності в додаткових досліджен- нях для формування вхідних даних. У той же час статистичні служби навіть у розвинених країнах не розробляють прогнози щодо кінцевого спожи- вання. Більш того, інформаційна база статистич- них служб деяких із цих країн не завжди надає навіть фактичні дані, необхідні для формування кінцевого споживання існуючої моделі випуску. Цю проблему доводиться вирішувати фахівцям, які використовують інструменти міжгалузевого балансу для визначення випуску продукції через кінцеве споживання. Це призводить до значного збільшення трудомісткості та часу на досліджен- ня. Але ще важливішим є той факт, що значно бід- ніша статистична база, застосована до класичної моделі Леонтьєва, повинна призводити до біль- ших похибок у прогнозах кінцевого споживання порівняно з прогнозами доданої вартості. Це, у свою чергу, призводить до того, що точність про- гнозування випуску для моделі Гоша очікується помітно вищою, ніж точність моделі Леонтьєва. Таким чином, є підстави стверджувати, що ма- тематична модель випуску, побудована на базі до- даної вартості, щонайменше нічим не повинна по- ступатися моделі на основі кінцевого споживання. 1. Діюча структура моделі Гоша і постанов- ка задачі Модель Гоша, як і модель Леонтьєва, була по- будована на структурі матриць input-output, яка надана на схемі (1) (1); ; . 1 11 1 1 1 1 1 1 1 111 1 i j n i ii ii ij in j ji jj jn j j n ni nj nn n n i j n i j n i Z j n f x i j n f xz z z z f xz z z z z z z z f x z z z z f x v v v v v z z z z z x Тут 1= ,ni, j – нумерація секторів, zij – елемен- ти матриці проміжних продажів Z; f, x, v, z – век- тори кінцевого споживання, обсягу випуску, до- даної вартості та загальних витрат відповідно. У врівноважених таблицях (1) завжди забезпечені, як відомо, залежності: ,= iiz x (2) ,v = =1 =1 n n i i i i f (3) а також баланс випуску  = =1 + n ij i i j z f x (4) і баланс витрат . = =1 + n ij j j i z v x (5) Привертаємо увагу на принципову необхід- ність забезпечення залежностей (2)–(5) при побу- дові коректних моделей input-output. Модель Гоша у сучасній формі та транскрипції Miller, Blair [8] має вигляд ,( - ) =I B x v (6) де матриця Гоша , ,     / = 1 ,= =ij i ijb i jz xB n (7) або в розгорнутому стані 8 М.М. КУЛИК ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62)                          11 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = . ji n iji ii i i i i j ji jj jn j j j j njn ni nn n n n n in z zz z x x x x z zz zi x x x x B z z z z j x x x x zz z zn x x x x i j n (8) Для подальшого необхідно нагадати, що мо- дель Леонтьєва визначення обсягів випуску про- дукції у монетарній формі має структуру ( - ) = ,I A x f (9) де      = , , 1, .ij /ij j= a i j = nA z x (10) Порівняння моделей (6), (7) та (9), (10) викли- кає запитання, чому їх структура різко відрізня- ється через використання транспонованої матри- ці B′. Для чого потрібно формувати матрицю В, якщо вона не використовується в структурі моде- лі Гоша (6), (7). Відповіддю міг би слугувати той факт, що інакше не можна побудувати модель ви- пуску на базі доданої вартості. Але це не так, бо симетричність балансів випуску (4) та витрат (5) таку можливість надає. Тому метою даної статті є формування модифі- кованої моделі Гоша у вигляді, аналогічному мо- делі Леонтьєва (9), (10), а саме, у вигляді ( )- =Q xІ γ. (11) Використання моделі Гоша зі структурою (11) виключає можливу плутанину з форму- ванням і використанням матриці Гоша (8) і (що більш важливо) надає спрощення і певні пер- спективи в теоретичних дослідженнях, про де- які з них буде далі. 2. Модифікована структура моделі Гоша Модифікована модель Гоша побудована з вико- ристанням рівняння (2) та балансу витрат (5). У розгорнутій формі баланс витрат має вигляд , , , . 11 1 1 1 1 1 1 1 1 i i j n i ii ji n i i j ij jj nj j j n in jn nn n n z + z + z + z + v = x z + z + z + z + v = x z + z + z + z + v = x z + z + z + z + v = x (12) Для переведення системи (12) до векторно-ма- тричної форми кожну із сум проміжних продажів zij; 1i, j = ,n надамо у тотожному вигляді (13) , , , .  1 11 111 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ji n i j n i j n i j n jii ii ni i ii ji ni i j n i j n j ij jj nj j ij jj nj i j n i j n jnn in nn n in jn nn i j n i j n zz zzz z + z + z = x + x + x + x x x x x zz z zz + z + z + z = x + x + x + x x x x x z z z z z + z + z + z = x + x + x + x x x x x zz z zz + z + z + z = x + x + x + x x x x x Після цього система рівнянь (12) набуває форму                                                                                               11 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ji n i j n jii ii i i i i j n j ij jj nj j j j i j n jnn in nn n n n i j n ni z zz z x v xx x x x z zz z x v x x x x x z z z z x v x x x x x zz z z x v x x x x x .              (14 ) Структура рівнянь (14) дозволяє представити систему залежностей (12) у векторно-матричному вигляді (11), що є метою статті, де матриця Q має елементи , ./ , 1,ij ji jq = z i j = nx (15) Якщо виділити j-те рівняння із системи (14), ми відразу отримуємо баланс витрат (5). Тобто, модифікована модель випуску Гоша є збалансо- ваною і тому не повинна мати методичних по- хибок. Система рівнянь (11), (15) – це модифікована модель випуску Гоша в системі моделей input- output, яка грунтується не на кінцевому спожи- ванні, а на доданій вартості. Приклад. Можливості модифікованої моделі визначення випуску Гоша були досліджені з ви- користанням (табл. 1) системи звітних таблиць input-output (Німеччина, 1995), яка наведена у De March та ін. [3, С. 483, 490 (версія А)]. Досліджено два варіанти розрахунків об- сягів випуску. Відповідно до першого з них показники проміжних продажів Z, кінцеве споживання f і загальні витрати z вважались відомими. Були визначені показники випуску x, тобто, обсяги випуску визначались за допо- могою моделі Леонтьєва (9), (10). Показники вектора x мали збігатися поелементно з показ- никами загальних витрат z (табл. 1). Попере- дньо обчислені матриці A і (I-A) мали вигляд, наданий в табл. 2. 9 Модифікація структури моделі Гоша в міжгалузевому аналізі ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) Таблиця 1. Звітна система input-output Millions of Euro Agricul- ture Manufac- turing Construc- tion Trade Business services Other services Final demand Output 1 2 3 4 5 6 7 8 Intermediate sales Z f x 1 Agriculture 1131 25480 1 607 710 762 15219 43910 2 Manufacturing 7930 304584 64167 41082 11981 30360 619342 1079446 3 Construction 426 7334 3875 5296 23457 9155 196063 245606 4 Trade 3559 72717 14190 74399 10835 21008 343355 540063 5 Business services 3637 96115 31027 65755 193176 34223 268554 692487 6 Other services 1552 14986 1747 11225 15058 22070 442280 508918 Value added 25675 558230 130599 341699 437270 391340 v’ Input, total 43910 1079446 245606 540063 692487 508918 z’ = x’ Таблиця 2. Матриці А і (І-А) 1 2 3 4 5 6 Matrix А 1 0,025757231 0,023604701 4,07156E-06 0,001123943 0,00102529 0,001497294 2 0,180596675 0,282166963 0,261259904 0,076068903 0,017301408 0,059655976 3 0,009701662 0,006794226 0,015777302 0,009806263 0,03387356 0,017989146 4 0,081052152 0,067365111 0,057775462 0,137759854 0,015646503 0,041279735 5 0,082828513 0,089041045 0,126328347 0,121754314 0,278959749 0,06724659 6 0,035345024 0,013883047 0,007113018 0,020784612 0,021744813 0,043366515 Matrix (I-А) 1 0,974242769 –0,023604701 –4,07156E-06 –0,001123943 –0,00102529 –0,001497294 2 –0,180596675 0,717833037 –0,261259904 –0,076068903 –0,017301408 –0,059655976 3 –0,009701662 –0,006794226 0,984222698 –0,009806263 -0,03387356 –0,017989146 4 –0,081052152 –0,067365111 –0,057775462 0,862240146 –0,015646503 –0,041279735 5 –0,082828513 –0,089041045 –0,126328347 –0,121754314 0,721040251 –0,06724659 6 –0,035345024 –0,013883047 –0,007113018 –0,020784612 –0,021744813 0,956633485 У табл. 3 наведена схема визначення та обсяги випуску відповідно до моделі Леонтьєва [3]. Згідно другого варіанту показники проміж- них продажів Z, доданої вартості v та загальних витрат z вважалися відомими. Вихідний вектор x визначався за допомогою матриці (І-Q)-1 і век- тора v, тобто за схемою модифікованої моделі Гоша. Матриці Q і (I-Q) були розраховані та на- ведені в табл. 4. У табл. 5 представлені вихідні дані для ви- значення випуску x на основі матриці (I-Q)-1 і вектора v, тобто, була використана модифікова- на модель Гоша. Розрахунки показують, що випуски x, отри- мані з використанням моделі Леонтьєва та мо- дифікованої моделі Гоша, є тотожними. Вони також повністю збігаються з фактичними дани- ми виробництва, які наведені в табл. 1. Подібно до моделі Леонтьєва модифікована модель Гоша не має методичних похибок. Це демонструє її адекватність та конкурентність. Той факт, що різні за своєю природою мо- дель Леонтьєва та модифікована модель Гоша описують спільний набір засобів input-output, говорить про потенційну можливість існування певних зв’язків між ними. 10 М.М. КУЛИК ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) 3. Векторно-матричний зв’язок між дода- ною вартістю та кінцевим споживанням Наявність моделей (11), (15) та (9), (10) з використанням залежності (2) дає можливість встановити взаємозв’язки між векторами f і v в системі input-output (1). Дійсно, використову- ючи спочатку (9), (10), а потім (11), отримаємо залежність для f:      .-1= - - -f I A x = I A I Q v (16) Залежність для v отримується аналогічно    .-1= - -I Q I A fv (17) Зауважимо, що вирази (16), (17) задовольня- ють залежності (2), (3). Вони пов’язують важливі показники кінцевого споживання та доданої вартості у векторно-ма- тричній формі, які є вихідною інформацією для моделі Леонтьєва та модифікованої моделі Гоша, і це визначає взаємозв’язок між ними. Ці залеж- ності неможливо було отримати раніше через від- сутність матриці Q. Таблиця 4. Матриці Q і (І-Q) 1 2 3 4 5 6 Matrix Q 1 0,025757231 0,007346361 0,001734485 0,006589972 0,005252084 0,003049607 2 0,580277841 0,282166963 0,029860834 0,134645402 0,138796829 0,029446787 3 2,27739E-05 0,059444382 0,015777302 0,026274712 0,044805173 0,003432773 4 0,01382373 0,038058411 0,021562991 0,137759854 0,094954851 0,022056599 5 0,016169437 0,011099212 0,095506624 0,020062474 0,278959749 0,029588264 6 0,017353678 0,028125538 0,037275148 0,038899165 0,049420422 0,043366515 Matrix (I-Q) 1 0,974242769 –0,007346361 –0,001734485 –0,006589972 –0,005252084 –0,003049607 2 –0,580277841 0,717833037 –0,029860834 –0,134645402 –0,138796829 –0,029446787 3 –2,27739E-05 –0,059444382 0,984222698 –0,026274712 –0,044805173 –0,003432773 4 –0,01382373 –0,038058411 –0,021562991 0,862240146 –0,094954851 –0,022056599 5 –0,016169437 –0,011099212 –0,095506624 –0,020062474 0,721040251 –0,029588264 6 –0,017353678 –0,028125538 –0,037275148 –0,038899165 –0,049420422 0,956633485 Таблиця 5. Визначення випуску x згідно модифікованої моделі Гоша (І-Q)-1 v х 1,033872366 0,011782227 0,003700712 0,010318845 0,011680387 0,004270975 25675 43910 0,861148918 1,42915186 0,083892291 0,242647726 0,322837119 0,062617767 558230 1079446 0,056055609 0,090131447 1,028937758 0,048397544 0,088789725 0,010507428 х 130599 = 245606 0,062552972 0,071031715 0,046355579 1,178399633 0,174601906 0,035122334 341699 540063 0,047709843 0,038255286 0,141079514 0,045606122 1,412561607 0,046577344 437270 692487 0,051265554 0,05060816 0,051799302 0,059479759 0,093236936 1,051494704 391340 508918 Таблиця 3. Визначення випуску x за моделлю Леонтьєва (І-А)-1 f х 1,033872366 0,035030051 0,010021749 0,00508589 0,00302524 0,004423248 15219 43910 0,289644215 1,429151859 0,396130509 0,141973993 0,059632189 0,107342982 619342 1079446 0,020699544 0,019087986 1,028937758 0,02108126 0,050037004 0,024998564 х 196063 = 245606 0,126914744 0,121400291 0,106421353 1,178399633 0,035567713 0,063119829 343355 540063 0,1842067 0,207106708 0,250342948 0,223880455 1,412561607 0,126867916 268554 692487 0,049500711 0,029521911 0,021772349 0,033096857 0,034230316 1,051494704 442280 508918 11 Модифікація структури моделі Гоша в міжгалузевому аналізі ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) 4. Тотожність діагональних елементів ма- триць моделі Леонтьєва та модифікованої мо- делі Гоша Порівняння матриць A і Q, (І-А) і (І-Q), (І-А)-1 і (І-Q)-1, які надані у наведеному вище прикладі, демонструє повне співпадіння їх від- повідних діагональних коефіцієнтів. Ми пока- жемо, що ця властивість притаманна не тільки матрицям, наведеним у прикладі, а й усім, що відповідають умовам (2)–(5) системи input- output (1). Для матриць A і Q при i = j рівність = iiiia q (18) автоматично випливає із залежностей (10), (15). Рівність відповідних діагональних елементів у матрицях (I-A) та (I-Q) випливає з (18). Доведення тотожності діагональних елемен- тів матриць (І-А)-1 та (І-Q)-1 набагато складні- ше, вимагає багато місця, і тому воно винесено у додаток. ВИСНОВКИ Діюча модель Гоша (6), (7) базується на вико- ристанні прогнозних даних доданої вартості. Про- гнози валового внутрішнього продукту та доданої вартості давно, глибоко і регулярно (як правило, щорічно) розробляються різними національни- ми та міжнародними економічними і фінансови- ми структурами, включаючи державні. Методи та точність таких прогнозів є вищого рівня по- рівняно з прогнозами кінцевого споживання, на яких базується модель Леонтьєва (9), (10). Тому з економетричної точки зору точність прогнозів випусків, зроблених за допомогою моделі Гоша, повинна бути щонайменше не гіршою, ніж та, що забезпечується класичною моделлю Леонтьєва. Модифікована модель Гоша (11), (15) фор- мально відрізняється від його діючої моделі (6), (7) наявністю нової матриці Q. Однак ця від- мінність є лише структурною особливістю, а в математичному плані зазначені моделі є тотож- ними. Дійсно, згідно (7) матриця В (8) має еле- мент bji = zji/xj. З іншого боку, елемент qij матри- ці Q згідно (15) має таке саме значення, а саме, qij = zji/xj. Тобто, має місце залежність Q = B′, що підтверджує математичну тотжність діючої і модифікованої моделі Гоша. Разом з тим, на наш погляд, модифікована модель Гоша є більш привабливою і перспек- тивною у порівнянні з діючою через наступні чинники. У ній фігурує (використовується) одна матриця (Q) замість двох (В і B′), які фігуру- ють у діючій моделі. Модифікована модель має структуру (на відміну від діючої), аналогічну структурі класичної моделі Леонтьєва. Ця осо- бливість є логічною і навіть природною з огляду на те, що ці дві моделі грунтуються на дзеркаль- них властивостях структури input-output, якими є баланси випуску та витрат. Завдяки цьому мо- дифікована модель є більш зрозумілою і зруч- ною в користуванні. Але найбільш важливим є те, що використання матриці Q суттєво роз- ширює можливості теоретичних досліджень в межах структур input-output. Уже в межах даної статті завдяки побудові но- вої матриці Q у модифікованій моделі Гоша були виявлені нові залежності між векторами кінцевого споживання та доданої вартості, які можуть бути ефективно використані при балансуванні систе- ми матриць input-output. Встановлено також, що відповідні матриці класичної моделі Леонтьєва та модифікованої моделі Гоша попарно мають іден- тичні діагональні елементи, що є корисним при різноманітних аналітичних дослідженнях. ДОДАТОК Доведення тотожності діагональних елемен- тів матриць (І-А)-1 та (І-Q)-1 Щоб довести цю тотожність, визначимо спо- чатку діагональні елементи  -1 iia , 1i, j = ,n матриці (І-А)-1, відповідні елементи  -1 iiq матриця (І-Q)-1 і порівняємо їх між собою. Матрицю (I - A) вико- ристаємо у вигляді                          11 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - -- - - - = , , = 1, - - - - -- - - ji n i j n iji i ii in i j n j ji j jj jn i j n njn ni n nn i j n i j n i j n zz zz - z z z z z zz z z z z z z z I i j n z z z z z z z z z zz z z z z z z z A (A1) і матрицю (І-Q) – в аналогічній формі .                          11 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - -- - - - = , , = 1,- - - - -- - - ji n i j n jii i ii ni i j n j ij j jj nj i j n jnn in n nn i j n i j n i j n zz zz - z z z z z zz z z z z z z z I Q i j nz z z z z z z z z zz z z z z z z z (A2) 12 М.М. КУЛИК ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) Спочатку доведемо, що матриці (A1) та (A2) мають однакові детермінанти. Дійсно, детермі- нант матриці (І-А) ,1- = Δ =a i I A B D z (A3) де ,            1 11 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - , , 1- - - - - - - - i j n i i ii ij in j ji j jj jn n ni nj n nn z z z z z z z z z z B i j = ,nz z z z z z z z z z (A4)   .       1 2 1-D z = z z z z zi i n n (A5) Для матриці (I-Q) справедлива залежність ,1- = Δ =q i I Q C D z (A6) в якій матриця С має вигляд .             1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - = , , = 1,- - - - - - - - i j n i i ii ji ni j ij j jj nj n in jn n nn i j n i j n z z z z z z z z z z C i j nz z z z z z z z z z (A7) Порівняння матриць (A4) та (A7) показує, що .C B (A8) Тому детермінанти матриць B і C збігаються ,=C B (A9) і згідно (A3) та (A6) детермінанти матриць (І-А) і (І-Q) рівні: . a q (A10) Аналіз дає змогу визначити загалом і порів- няти діагональні коефіцієнти матриць (І-А)-1 і (І-Q)-1. Оскільки ми говоримо про діагональні кое- фіцієнти обернених матриць, то в подальшому аналізі алгебраїчні доповнення до цих елемен- тів будуть збігатися з відповідними мінора- ми. Залежність для елемента ii матриці (І-А)-1 сформуємо, використовуючи класичний вираз для довільного елемента оберненої матри- ці, а саме   ,-1 1 ii a a F  (A11) де матриця F має вигляд .                   1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 - - - = - - , , = 1, -- - j n j n j j jj jn j n jnn n nn j n j n j n z zz - z z z z z z z z F i j n z z z zz z z z z z (A12) Для мінора \|F\| справедлива залежність   ,  1 11 1 1 1 1 1 - - - 1 - - - , , = 1, - - - j n j j jj jn i n j n nn z z z z F z z z z i j n P z z z z z (A13) тут     / .      1 -1 +1= =i i i n i iz z z z z D z zP (A14) Для визначення елемента ii оберненої матриці (І-Q)-1 використаємо залежність, аналогічну (A11)  -1 1= , Äii q Kq (A15) в якій матриця K має вигляд .                    1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 - - - = - - , , = 1, -- - j n j n j j jj nj j n jnn n nn j n j n j n z zz - z z z z z z z z K i j n z z z zz z z z z z (A16) Мінор \|К\| визначається аналогічно (A11), а саме   .  1 11 1 1 1 1 - - - 1 - - - , , = 1, - - - j n j j jj nj i n jn n nn z z z z K z z z z i j n P z z z z z (A17) Оскільки у правих частинах виразів (A13) та (A17) є детермінанти матриць, одна з яких є тран- спонованою до іншої, виконується рівність .F K (A18) Використовуючи (A5), (A10), (A14), (A18), встановлюємо кінцеві залежності для діагональ- них елементів матриць (І-А)-1 та (І-Q)-1       ,   -1 -1 2 1 11 1 1 1 1 1 - - - - - - , , = 1, - - - ii ii j n i j j jj jn i n j n nn z z z z za q z z z z i j n D z z z z z (A19) ∆q 13 Модифікація структури моделі Гоша в міжгалузевому аналізі ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) або          -1 -1 2 1 11 1 1 1 1 1 - - - - - - , , = 1, . - - - ii ii jn j n i j j jj nj i n n nn j n z z z z za q z z z z i j n D z z z z z (A20) тут . a q     Таким чином, відповідні діагональні еле- менти матриць (І-А)-1 і (І-Q)-1 є тотожними для довільних розмірів цих матриць, якщо матриці A і Q задовольняють умовам (2)–(5) системи input-output (1). 1. Leontief W. Studies in the Structure of the Ameri- can Economy: Theoretical and Empirical Explorations in Input-Output Analysis. Oxford, 1953, ISBN-10: 0195006186 2. Ghosh A. Input-Output Approach in an Allocation System. Economica. 1958. Vol. 25. P. 58—64. https:// www.jstor.org/stable/2550694 3. De March M. et al. Eurostat Manual of Supple, Use and Input-Output Tables. Eurostat, European Commission, 2008. ISSN 1977-0375 4. Oosterhaven J. Adding supply-driven consumption makes the Ghosh model even more implausible. Econ. Sys. Res. 2012. Vol. 24(1). P. 101—111. https://doi.org/10.1080 /09535314.2011.635137 5. De Mesnard L. Is the Ghosh model interest- ing. J. Reg. Sci. 2009. Vol. 49. P. 361—372. https://doi. org/10.1111/j.1467-9787.2008.00593.x 6. Dietzenbacher E. In vindication of the Ghosh model: a reinterpretation as a price model. J. Reg. Sci. 1997. Vol. 37. P. 629—651. https://doi.org/10.1111/0022-4146.00073 7. Davar E. Input-Output System Models: Leontief versus Ghosh. 15th International Input-output Conference Beijing,China, 2005. https://www.iioa.org/conferences/15th/pdf/ezra_davar.pdf 8. Miller R.E., Blair P.D. Input-Output Analisys, Foun- dations and Extensions. Second Edition. Cambridge Univer- sity Press, 2009. https://www.cambridge.org/9780521517133 Надійшла до редколегії: 07.09.2020 14 М.М. KULYK ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) ISSN 2522-4344 (Online), ISSN 1562-8965 (Print). The problems of general energy, 2020, 3(62): 6–21 doi: https://doi.org/10.15407/pge2020.03.006 The method of intersectoral balance occupies a special place in economics. With a certain combina- tion with the means of macro- and microeconomic analysis, this apparatus forms a holistic methodol- ogy and provides a comprehensive toolkit of scien- tifi c and applied research in the economic sphere, what has already led to exceptional results. Using the method of intersectoral balance, the problems of functioning and development of heterogeneous, complex objects, systems and phenomena in re- gional and planetary aspects are investigated and solved, namely economics as a whole, energetics, social sphere, ecology, climate change, natural di- sasters, man-made catastrophes, etc. In the current state the input-output method has been widely used in the scientific fields of all industrialized countries. In such countries, gov- ernment statistical offices are obliged to compile input-output tables for reporting periods, indicat- ing the particular importance that national gov- ernments distinguish to this approach. In addi- tion, input-output methods are actively used to implement projects of various international and national economic, financial, business structures and organizations. The method of intersectoral balance is based on a modern mathematical apparatus. Indicative in this respect is, in particular, that the matrix (I-A) from the output model of input-output as a part of the subclass of matrices with special properties entered the general theory of matrices entitled the “Leontief matrix”. Although the foundations of the theory of in- tersectoral balance were initiated and developed almost a century ago, its relevance and popularity are enhanced permanently by the high efficiency of this toolkit. During all the time from the beginning of the input-output apparatus development until now, only two reliable systems of equations have been and remain mathematical basis of this apparatus: the Leontief model for determining output at a given final demand and the Ghosh model for de- termining output through value added. Having at his disposal a model of output based on Leontief’s final demand [1], A. Ghosh [2] de- veloped own output model in the input-output system which is based on the use of value add- ed. Since then the debate over this model has not stopped. During this time, many publications have been devoted to the Ghosh model. Discussions and sug- gestions are no longer limited of the value-added model. De March et al. [3] state that Ghosh model can be used to study the price and cost effects or forward links between industries. Quite harsh qualitative assessments of this model are pro- vided. In particular, Oosterhaven [4] emphasizes UDK 622.324 М.М. KULYK, Academician of the National Academy of Sciences of Ukraine, Dr. Sci. (Engin.), Professor, ORCID: 0000-0002-5582-7027 Institute of General Energy of the National Academy of Sciences of Ukraine, 172 Antonovycha str., Kyiv, 03150, Ukraine MODIFICATION OF THE GHOSH MODEL STRUCTURE IN INTER-SECTORAL ANALYSIS A modified output model in the input-output system based on value added data (modified Ghosh model) is proposed and investigated. Its balance and absence of methodological errors are proved. Due to the fact that the modified Ghosh model is based on value added, the accuracy of its output forecasts should not be worse than the accuracy of output determination which based on final demand according of the classical Leontief model. Using a new matrix in the modified Ghosh model, new mathematical dependences, that relate final demand in the Leontief model and value added in the modified Ghosh model, have been established. It was also found that the corresponding diagonal coefficients of the matrices, including the inverse ones, used in the Le- ontief model and the modified Ghosh model, are identical. K e y w o r d s: modified Ghosh model, input-output, Leontief model, value added, final demand. © М.М. KULYK, 2020 15 Modification of the ghosh model structure in inter-sectoral analysis ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) its implausibility. According to de Mesnard [5], the Ghosh model is of no interest at all. Dietzen- bacher [6] attempted to establish links between the Ghosh model and the Leontief price model. Davar [7] contradictes this possibility and insists that the Ghosh model cannot be equivalent to Le- ontief’s input-output model. Some of these critical assessments are even surprising in their radicalism. It is possible that some of them were caused by the excessive hopes of their authors for using Ghosh model for other tasks (for example, determining prices), which later did not come true. But from an economet- ric point of view, the Ghosh model is a twin and competitor to the Leontief model, and it can and should be used only to determine the output. For balanced input-output (IO) structures, these models give adequate (matching) results (see be- low). In a balanced IO structure two balances are ensured: an output balance and a input balance. V. Leontiev used the balance of output to build his currently classic model based on indicators of final demand. It was quite logical and even naturally from the point of view of economet- rics to build another model for determining out- put in the input-output system, which would be based not on final demand, but on added value, as A. Ghosh did. If it had not been implemented by Ghosh, this model would have been built by someone else. This method of determining the volume of output has several advantages over the classical method. Value added forecast indicators, in contrast to final demand, are systematically developed for government purposes by statistical services and can be used in input-output structures with- out changes or with little adaptation. Thus, in the case of their application in the Ghosh mod- el, there is no need for additional research to generate input data. At the same time statistical services, even in developed countries, do not develop forecasts for final demand. Moreover, the information base of the statistical services of some of these countries does not always pro- vide even the actual data necessary for forma- tion of final demand used in the existing out- put model. This problem has to be solved by specialists who use intersectoral balance tools to determine output through final demand. This leads to a significant increase of laboriousness and time for research. But even more impor- tant is the fact that the much poorer statistical base, applied to the classical Leontief model, should lead to greater errors in final demand forecasts than in value added forecasts. This, in turn, leads to the fact that the accuracy of out- put forecasting for the Ghosh model is expected to be significantly higher than the accuracy of those for the Leontief model. Thus, there is reason to believe that the math- ematical model of output, built on the basis of value added, at least should not be inferior to the model based on final demand. 1. The present structure of the Ghosh model and problem formulation The Ghosh model, like the Leontief model, was built on the structure of input-output matri- ces, which is provided in Scheme (1) (1) ; ; . 1 11 1 1 1 1 1 1 1 111 1 i j n i ii ii ij in j ji jj jn j j n ni nj nn n n i j n i j n i Z j n f x i j n f xz z z z f xz z z z z z z z f x z z z z f x v v v v v z z z z z x Here 1= ,ni, j – sector numbering, zij – elements of the matrix of intermediate sales Z; f, x, v, z – vectors of fi nal demand, output, value added and total input, respectively. In balanced tables (1), dependencies are always provided, as is known: ,= iiz x (2) ,v = =1 =1 n n i i i i f (3) as well as the balance of output  = =1 + n ij i i j z f x (4) and input balance . = =1 + n ij j j i z v x (5) We draw attention to the fundamental need to en- sure the dependences (2)–(5) in the construction of correct input-output models. The Ghosh model in its modern form and its tran- scription by Miller, Blair [8] has the form ,( - ) =I B x v (6) where the Ghosh matrix , ,     / = 1 ,= =ij i ijb i jz xB n (7) or in the expanded form 16 М.М. KULYK ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62)                          11 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = . ji n iji ii i i i i j ji jj jn j j j j njn ni nn n n n n in z zz z x x x x z zz zi x x x x B z z z z j x x x x zz z zn x x x x i j n (8) To further recall that the Leontief model of de- termining the output volume in monetary form has a structure ( - ) = ,I A x f (9) where      = , , 1, .ij /ij j= a i j = nA z x (10) A comparison of models (6), (7) and (9), (10) raises the question why their structure is so drasti- cally diff erent (due to the use of the transposed ma- trix B′). Why is it necessary to form a matrix B, if it is not used in the structure of the Ghosh model (6), (7). The answer would be the fact that otherwise it would be impossible to build the output model based on the value added data. But this is not so, because the symmetry of the balances of output (4) and input (5) makes it possible. Therefore, the purpose of this article is to form a modifi ed Ghosh model in a form similar to the Leon- tief model (9), (10), namely, in the form ( )- =Q xІ γ. (11) The use of the Ghosh model in form (11) eliminates possible confusion with the formation and use of the Ghosh matrix (8) and (more importantly) provides simplifi cation and certain perspectives in theoretical research, some of which will be discussed below. 2. Modifi ed structure of the Ghosh model The modifi ed Ghosh model is constructed using equation (2) and input balance (5). In expanded form, the input balance has the form , , , . 11 1 1 1 1 1 1 1 1 i i j n i ii ji n i i j ij jj nj j j n in jn nn n n z + z + z + z + v = x z + z + z + z + v = x z + z + z + z + v = x z + z + z + z + v = x (12) To convert system (12) to vector-matrix form, each of the amounts of intermediate sales zij; 1i, j = ,n provide in identical form (13) , , , .  1 11 111 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ji n i j n i j n i j n jii ii ni i ii ji ni i j n i j n j ij jj nj j ij jj nj i j n i j n jnn in nn n in jn nn i j n i j n zz zzz z + z + z = x + x + x + x x x x x zz z zz + z + z + z = x + x + x + x x x x x z z z z z + z + z + z = x + x + x + x x x x x zz z zz + z + z + z = x + x + x + x x x x x After that, the system of equations (12) takes form                                                                                               11 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ji n i j n jii ii i i i i j n j ij jj nj j j j i j n jnn in nn n n n i j n ni z zz z x v xx x x x z zz z x v x x x x x z z z z x v x x x x x zz z z x v x x x x x .              (14) The structure of equations (14) allows us to repre- sent the system of dependences (12) in vector-matrix form (11), which is the purpose of the article, where the matrix Q has elements , ./ , 1,ij ji jq = z i j = nx (15) If we select the j-th equation from the system (14), we immediately obtain the input balance (5). That is, the modifi ed Ghosh output model is bal- anced and therefore should not have methodologi- cal errors. The system of equations (11), (15) is a modifi ed Ghosh output model in the system of input-output models, which is based not on fi nal demand but on value added. Example. The possibilities of a modifi ed Ghosh model for determining the output were investigated using (table 1) a system of input-output reporting ta- bles (Germany, 1995), which is given in De March et al. [3, P. 483, 490 (version A)]. Two variants of calculations of output volumes are investigated. According to the fi rst of these, interme- diate sales Z, fi nal demand f and total inputs z were considered known. Output indices x were determined, i.e., output volumes were determined using the Leon- tief model (9), (10). The indicators of the vector x had to coincide element by element with the indicators of total inputs z (table 1). Pre-calculated matrices A and (I-A) had the form given in Table. 2. 17 Modification of the ghosh model structure in inter-sectoral analysis ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) Table 2. Matrices A and (I-A) 1 2 3 4 5 6 Matrix А 1 0,025757231 0,023604701 4,07156E-06 0,001123943 0,00102529 0,001497294 2 0,180596675 0,282166963 0,261259904 0,076068903 0,017301408 0,059655976 3 0,009701662 0,006794226 0,015777302 0,009806263 0,03387356 0,017989146 4 0,081052152 0,067365111 0,057775462 0,137759854 0,015646503 0,041279735 5 0,082828513 0,089041045 0,126328347 0,121754314 0,278959749 0,06724659 6 0,035345024 0,013883047 0,007113018 0,020784612 0,021744813 0,043366515 Matrix (I-А) 1 0,974242769 -0,023604701 -4,07156E-06 -0,001123943 -0,00102529 -0,001497294 2 -0,180596675 0,717833037 -0,261259904 -0,076068903 -0,017301408 -0,059655976 3 -0,009701662 -0,006794226 0,984222698 -0,009806263 -0,03387356 -0,017989146 4 -0,081052152 -0,067365111 -0,057775462 0,862240146 -0,015646503 -0,041279735 5 -0,082828513 -0,089041045 -0,126328347 -0,121754314 0,721040251 -0,06724659 6 -0,035345024 -0,013883047 -0,007113018 -0,020784612 -0,021744813 0,956633485 Table 1. Reporting system input-output Millions of Euro Agricul- ture Manufac- turing Construc- tion Trade Business services Other services Final demand Output 1 2 3 4 5 6 7 8 Intermediate sales Z f x 1 Agriculture 1131 25480 1 607 710 762 15219 43910 2 Manufacturing 7930 304584 64167 41082 11981 30360 619342 1079446 3 Construction 426 7334 3875 5296 23457 9155 196063 245606 4 Trade 3559 72717 14190 74399 10835 21008 343355 540063 5 Business services 3637 96115 31027 65755 193176 34223 268554 692487 6 Other services 1552 14986 1747 11225 15058 22070 442280 508918 Value added 25675 558230 130599 341699 437270 391340 v’ Input, total 43910 1079446 245606 540063 692487 508918 z’ = x’ The scheme of determination and output volumes calculated according to the Leontief model is shown in the Table 3 [3]. According to the second option, the indicators of in- termediate sales Z, value added v and total inputs z were considered known. The output vector x was determined using a matrix (І-Q)-1 and vector v, that is, according to the scheme of the modifi ed Ghosh model. Matrices Q and (I-Q) were calculated and listed in Table. 4. In the table. 5 presents the source data for deter- mining the output x based on the matrix (I-Q)-1 and vector v, i.e., a modifi ed Ghosh model was used here. Calculations show that the output x obtained using the Leontief model and the modified Ghosh model are identical. They also completely coincide with the actual production data, which are given in table. 1. Similar to Leontief model, the modi- fied Ghosh model has no methodological errors. It demonstrates its adequacy and competitiveness. The fact that the Leontief model and the modi- fied Ghosh model are different in nature but de- scribe a common set of input-output tools indicates the potential possibility of certain connections be- tween them. 18 М.М. KULYK ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) Table 4. Matrices Q and (І-Q) 1 2 3 4 5 6 Matrix Q 1 0,025757231 0,007346361 0,001734485 0,006589972 0,005252084 0,003049607 2 0,580277841 0,282166963 0,029860834 0,134645402 0,138796829 0,029446787 3 2,27739E-05 0,059444382 0,015777302 0,026274712 0,044805173 0,003432773 4 0,01382373 0,038058411 0,021562991 0,137759854 0,094954851 0,022056599 5 0,016169437 0,011099212 0,095506624 0,020062474 0,278959749 0,029588264 6 0,017353678 0,028125538 0,037275148 0,038899165 0,049420422 0,043366515 Matrix (I-Q) 1 0,974242769 -0,007346361 -0,001734485 -0,006589972 -0,005252084 -0,003049607 2 -0,580277841 0,717833037 -0,029860834 -0,134645402 -0,138796829 -0,029446787 3 -2,27739E-05 -0,059444382 0,984222698 -0,026274712 -0,044805173 -0,003432773 4 -0,01382373 -0,038058411 -0,021562991 0,862240146 -0,094954851 -0,022056599 5 -0,016169437 -0,011099212 -0,095506624 -0,020062474 0,721040251 -0,029588264 6 -0,017353678 -0,028125538 -0,037275148 -0,038899165 -0,049420422 0,956633485 Table 5. Determination of the output x according to the modifi ed Ghosh model (І-Q)-1 v х 1,033872366 0,011782227 0,003700712 0,010318845 0,011680387 0,004270975 25675 43910 0,861148918 1,42915186 0,083892291 0,242647726 0,322837119 0,062617767 558230 1079446 0,056055609 0,090131447 1,028937758 0,048397544 0,088789725 0,010507428 х 130599 = 245606 0,062552972 0,071031715 0,046355579 1,178399633 0,174601906 0,035122334 341699 540063 0,047709843 0,038255286 0,141079514 0,045606122 1,412561607 0,046577344 437270 692487 0,051265554 0,05060816 0,051799302 0,059479759 0,093236936 1,051494704 391340 508918 Table 3. Determination of the output x according to the Leontief model (І-А)-1 f х 1,033872366 0,035030051 0,010021749 0,00508589 0,00302524 0,004423248 15219 43910 0,289644215 1,429151859 0,396130509 0,141973993 0,059632189 0,107342982 619342 1079446 0,020699544 0,019087986 1,028937758 0,02108126 0,050037004 0,024998564 х 196063 = 245606 0,126914744 0,121400291 0,106421353 1,178399633 0,035567713 0,063119829 343355 540063 0,1842067 0,207106708 0,250342948 0,223880455 1,412561607 0,126867916 268554 692487 0,049500711 0,029521911 0,021772349 0,033096857 0,034230316 1,051494704 442280 508918 3. Vector-matrix relationship between value added and fi nal demand The existence of models (11), (15) and (9), (10) together with use of the dependence (2) makes it possible to establish relationships between the vec- tors f and v in the input-output system (1). Indeed, using fi rst (9), (10) and then (11), we obtain the dependence for f:      .-1= - - -f I A x = I A I Q v (16) Dependence for v is obtained similarly    .-1= - -I Q I A fv (17) Note that expressions (16), (17) satisfy the depen- dences (2), (3). They link the important indicators of fi nal demand and value added, which are the source information for the Leontief model and the modifi ed Ghosh model, respectively, in vector-matrix form, and this deter- mines the relationship between them. These depen- dences could not be obtained earlier due to the ab- sence of the matrix Q. 19 Modification of the ghosh model structure in inter-sectoral analysis ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) 4. The identity of the diagonal elements of the Leontief model matrix and of the modifi ed Ghosh model matrix Comparison of matrices A and Q, (І-А) and (І-Q), (І-А)-1 and (І-Q)-1, which are given in the above ex- ample, demonstrates the complete coincidence of their respective diagonal coeffi cients. We will show that this property is inherent not only for the matri- ces given in the example, but also for all matrices that correspond the conditions (2)–(5) input-output systems (1). For matrices A and Q at i = j equality = iiiia q (18) automatically follows from dependencies (10), (15). The equality of corresponding diagonal elements in the matrices (I-A) and (I-Q) follows from (18). Proving the identity of diagonal elements of ma- trices (І-А)-1 and (І-Q)-1 much more complicated, requires a lot of space, and therefore it is made in the Appendix. CONCLUSIONS The current Ghosh model (6), (7) is based on the use of forecast value added data. Forecasts of gross domestic product and value added have long, deeply and regularly (usually annually) been developed by various national and international economic and fi - nancial structures, including government. The meth- ods and accuracy of such forecasts are of a higher level compared to the forecasts of fi nal demand, on which the Leontief model (9), (10) is based. There- fore, from an econometric point of view, the accuracy of predictions of output made using the Ghosh model should be at least not worse than that provided by the classical Leontief model. The modifi ed Ghosh model (11), (15) formally diff ers from current Ghosh model (6), (7) by the presence of a new matrix Q. However, this diff er- ence is only a structural feature, and in mathematical terms these models are identical. Indeed, according to (7), the matrix B (8) has an element bji = zji/xj. On the other hand, the element qji the matrix Q accord- ing to (15) has the same value, namely, qji = zji/xj. That is, there is a dependence Q = B′, which con- fi rms the mathematical identity of the current and modifi ed Ghosh models. However, in our opinion, the modifi ed Ghosh mod- el is more attractive and promising than the current one due to the following factors. It contains (uses) one ma- trix (Q) instead of two (В і B′), which appear in the current model. The modifi ed model has a structure (un- like the current one), similar to the structure of the clas- sical Leontief model. This feature is logical and even natural considering that these two models are based on the mirror properties of the input-output structure, which are the balances of output and input. Due to this, the modifi ed model is more understandable and easy to use. But the most important is that the use of the matrix Q signifi cantly expands the possibilities of theoretical research within the input-output structures. Already in this article, thanks to the construction of a new matrix Q in the modifi ed Ghosh model, new dependencies between the vectors of fi nal de- mand and value added have been identifi ed, which can be eff ectively used in balancing the system of input-output matrices. It is also established that the corresponding matrices of the classical Leontief model and the modifi ed Ghosh model have identical diagonal elements in pairs, which is useful in vari- ous analytical studies. ANNEX Proof of identity of diagonal elements of matri- ces (І-А)-1 and (І-Q)-1 To prove this identity, we defi ne in general the de- pendence for diagonal elements  -1 iia , 1i, j = ,n ma- trix (І-А)-1, relevant elements  -1 iiq matrix (І-Q)-1 and compare them with each other. The matrix (I - A) is used as                          11 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - -- - - - = , , = 1, - - - - -- - - ji n i j n iji i ii in i j n j ji j jj jn i j n njn ni n nn i j n i j n i j n zz zz - z z z z z zz z z z z z z z I i j n z z z z z z z z z zz z z z z z z z A (A1) and matrix (І-Q) - in a similar form .                          11 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - -- - - - = , , = 1,- - - - -- - - ji n i j n jii i ii ni i j n j ij j jj nj i j n jnn in n nn i j n i j n i j n zz zz - z z z z z zz z z z z z z z I Q i j nz z z z z z z z z zz z z z z z z z (A2) 20 М.М. KULYK ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62) We fi rst prove that the matrices (A1) and (A2) have the same determinants. Indeed, the determinant of the matrix (І-А) ,1- = Δ =a i I A B D z (A3) where ,            1 11 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - , , 1- - - - - - - - i j n i i ii ij in j ji j jj jn n ni nj n nn z z z z z z z z z z B i j = ,nz z z z z z z z z z (A4)   .       1 2 1-D z = z z z z zi i n n (A5) For the matrix (I-Q) the dependence is valid ,1- = Δ =q i I Q C D z (A6) in which the matrix C has the form .             1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - = , , = 1,- - - - - - - - i j n i i ii ji ni j ij j jj nj n in jn n nn i j n i j n z z z z z z z z z z C i j nz z z z z z z z z z (A7) A comparison of matrices (A4) and (A7) shows that .C B (A8) Therefore, the determinants of matrices B and C coincide ,=C B (A9) and according to (A3) and (A6) are equal determi- nants of matrices (І-А) and (І-Q) . a q (A10) The analysis makes it possible to determine in general and compare the diagonal coeffi cients of the matrices (І-А)-1 and (І-Q)-1. Since we are talking about diagonal coeffi- cients of inverse matrices, in the further analysis the algebraic additions to these elements will coin- cide with the corresponding minors. Dependence for element ii of the matrix (І-А)-1 form using a classical expression for an arbitrary element of the inverse matrix, namely   ,-1 1 ii a a F  (A11) where the matrix F has the form .                   1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 - - - = - - , , = 1, -- - j n j n j j jj jn j n jnn n nn j n j n j n z zz - z z z z z z z z F i j n z z z zz z z z z z (A12) For minor \|F\| is a fair dependency   ,  1 11 1 1 1 1 1 - - - 1 - - - , , = 1, - - - j n j j jj jn i n j n nn z z z z F z z z z i j n P z z z z z (A13) here     / .      1 -1 +1= =i i i n i iz z z z z D z zP (A14) To determine the element ii of the inverse matrix (І-Q)-1 use a dependence similar to (A11)  -1 1= , Äii q Kq (A15) in which the matrix K has the form .                    1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 - - - = - - , , = 1, -- - j n j n j j jj nj j n jnn n nn j n j n j n z zz - z z z z z z z z K i j n z z z zz z z z z z (A16) Minor \|K\| is determined similarly (A11), namely   .  1 11 1 1 1 1 - - - 1 - - - , , = 1, - - - j n j j jj nj i n jn n nn z z z z K z z z z i j n P z z z z z (A17) Since in the right parts of expressions (A13) and (A17) there are determinants which are determinants of matrices, one of which is transposed to another, equality takes place. .F K (A18) Using (A5), (A10), (A14), (A19) we establish fi - nal dependences for diagonal elements of matrices (І-А)-1 and (І-Q)-1 ∆q 21 Modification of the ghosh model structure in inter-sectoral analysis ISSN 1562-8965. The Problems of General Energy, 2020, issue 3(62)       ,   -1 -1 2 1 11 1 1 1 1 1 - - - - - - , , = 1, - - - ii ii j n i j j jj jn i n j n nn z z z z za q z z z z i j n D z z z z z (A19) or          -1 -1 2 1 11 1 1 1 1 1 - - - - - - , , = 1, . - - - ii ii jn j n i j j jj nj i n n nn j n z z z z za q z z z z i j n D z z z z z (A20) where . a q     Thus, the corresponding diagonal elements of the matrices (І-А)-1 and (І-Q)-1 are identical for their arbitrary dimension, if the matrices A and Q satisfy the conditions (2) – (5) of the input-output system (1). 1. Leontief, W. (1953). Studies in the Structure of the American Economy: Theoretical and Empirical Ex- plorations in Input-Output Analysis. Oxford. ISBN-10: 0195006186 2. Ghosh, A. (1958). Input-Output Approach in an Allocation System. Economica. Vol. 25, 58—64. https:// www.jstor.org/stable/2550694 3. De March M. et al. {2008). Eurostat Manual of Supple, Use and Input-Output Tables. Eurostat, European Commission. ISSN 1977-0375. 4. Oosterhaven, J. (2012). Adding supply-driven con- sumption makes the Ghosh model even more implausible. Econ. Sys. Res., Vol. 24(1), 101—111. https://doi.org/10. 1080/09535314.2011.635137 5. De Mesnard L. (2009). Is the Ghosh model interest- ing. J. Reg. Sci.,Vol. 49, 361—372. https://doi.org/10.1111/ j.1467-9787.2008.00593.x 6. Dietzenbacher, E. (1997). In vindication of the Ghosh model: a reinterpretation as a price model. J. Reg. Sci., Vol. 37, 629—651. https://doi.org/10.1111/0022-4146.00073 7. Davar, E. (2005). Input-Output System Mod- els: Leontief versus Ghosh. 15th International Input- output Conference Beijing, China. https://www.iioa.org/ conferences/15th/pdf/ezra_davar.pdf 8. Miller, R.E., & Blair, P.D. (2009). Input-Output Anali- sys, Foundations and Extensions. Second Edition. Cambridge University Press. https://www.cambridge.org/9780521517133 Resived to the Editorial Board: 07.09.2020
id	systemreorg-article-756
institution	System Research in Energy
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-07-19T01:21:22Z
publishDate	2020
publisher	General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	systemreorg/6a/bbd94e4e638eb9e00af854a5530f796a.pdf
spelling	systemreorg-article-7562026-07-18T12:57:46Z Modification of the Ghosh model structure in inter-sectoral analysis Модифікація структури моделі Гоша в міжгалузевому аналізі Kulyk М.M. modified Ghosh model, input-output, Leontief model, value added, final demand модифікована модель Гоша, input-output, модель Леонтьєва, додана вартість, кінцеве споживання The current Ghosh model is based on the use of value-added forecast data. The forecasts of gross domestic product and value added have long and regularly been developed by different national and international economic and financial structures, including governmental ones. The level of methods and accuracy of such forecasts is quite high as compared with the final demand forecasts on which the Leontief model is based. Therefore, from the econometric point of view, the accuracy of predictions of output made by using the Ghosh model should be at least not worse than that provided by the classical Leontief model. &nbsp; The modified Ghosh model formally differs from its current model by the presence of a new matrix. However, this difference is only a structural feature, and in mathematical terms these models are identical. &nbsp; At the same time, the modified Ghosh model is more attractive and promising than the current one due to the following factors. It uses one matrix instead of two matrices that appear in the current model. The modified model has a structure (unlike the current one) similar to the structure of the classical Leontief model. Due to this, the modified model is more understandable and easy to use. However, the most important feature lies in the fact that the use of a new matrix significantly expands the possibilities of theoretical research within the input-output structures. &nbsp; Due to constructing a new matrix in the modified Ghosh model, new relations between the vectors of final demand and value added were discovered, which can be efficiently used in balancing the system of input-output matrices. It was also established that the corresponding matrices of the classical Leontief model and the modified Ghosh model have identical diagonal elements in pairs, and this is useful in various analytical studies. Діюча модель Гоша базується на використанні прогнозних даних доданої вартості. Прогнози валового внутрішнього продукту та доданої вартості давно і регулярно розробляються різними національними та міжнародними економічними та фінансовими структурами, включаючи державні. Методи та точність таких прогнозів є вищого рівня порівняно з прогнозами кінцевого споживання, на яких базується модель Леонтьєва. Тому з економетричної точки зору точність прогнозів випусків, зроблених за допомогою моделі Гоша, повинна бути щонайменше не гіршою, ніж та, що забезпечується класичною моделлю Леонтьєва. &nbsp; Модифікована модель Гоша формально відрізняється від його діючої моделі наявністю нової матриці. Однак ця відмінність є лише структурною особливістю, а в математичному плані зазначені моделі є тотожними. &nbsp; Разом з тим модифікована модель Гоша є більш привабливою і перспективною порівняно з діючою через наступні чинники. У ній використовується одна матриця замість двох, які фігурують у діючій моделі. Модифікована модель має структуру (на відміну від діючої), аналогічну структурі класичної моделі Леонтьєва. Завдяки цьому модифікована модель є більш зрозумілою і зручною в користуванні. Але найбільш важливим є те, що використання нової матриці суттєво розширює можливості теоретичних досліджень в межах структур input-output. &nbsp; Завдяки побудові нової матриці у модифікованій моделі Гоша були виявлені нові залежності між векторами кінцевого споживання та доданої вартості, які можуть бути ефективно використані при балансуванні системи матриць input-output. Встановлено також, що відповідні матриці класичної моделі Леонтьєва та модифікованої моделі Гоша попарно мають ідентичні діагональні елементи, що є корисним при різноманітних аналітичних дослідженнях General Energy Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine 2020-09-29 Article Article application/pdf https://systemre.org/index.php/journal/article/view/756 10.15407/pge2020.03.006 System Research in Energy; No. 3 (62) (2020): The Problems of General Energy; 6-21 Системні дослідження в енергетиці; № 3 (62) (2020): Проблеми загальної енергетики; 6-21 2786-7102 2786-7633 uk https://systemre.org/index.php/journal/article/view/756/652 Copyright (c) 2020 Kulyk М.M. https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0
spellingShingle	modified Ghosh model input-output Leontief model value added final demand Kulyk М.M. Modification of the Ghosh model structure in inter-sectoral analysis
title	Modification of the Ghosh model structure in inter-sectoral analysis
title_alt	Модифікація структури моделі Гоша в міжгалузевому аналізі
title_full	Modification of the Ghosh model structure in inter-sectoral analysis
title_fullStr	Modification of the Ghosh model structure in inter-sectoral analysis
title_full_unstemmed	Modification of the Ghosh model structure in inter-sectoral analysis
title_short	Modification of the Ghosh model structure in inter-sectoral analysis
title_sort	modification of the ghosh model structure in inter-sectoral analysis
topic	modified Ghosh model input-output Leontief model value added final demand
topic_facet	modified Ghosh model input-output Leontief model value added final demand модифікована модель Гоша input-output модель Леонтьєва додана вартість кінцеве споживання
url	https://systemre.org/index.php/journal/article/view/756
work_keys_str_mv	AT kulykmm modificationoftheghoshmodelstructureinintersectoralanalysis AT kulykmm modifíkacíâstrukturimodelígošavmížgaluzevomuanalízí

Modification of the Ghosh model structure in inter-sectoral analysis

Репозитарії

Схожі ресурси