ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРА МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Expedience double Fourier series using for modulating signals calculating are validated. Restriction for filtering signals are describing. Method Fourier series one and two variable collective using, which based on superposition method and give spectrum response in convolute form are proposed. Refer...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України, Київ
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1105 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Technical Electrodynamics |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Technical Electrodynamics| _version_ | 1870203761480171520 |
|---|---|
| author | Вербицкий , Е.В. |
| author_facet | Вербицкий , Е.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": " Е.В. Вербицкий ",
"institution": "Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», пр. Победы, 37, Киев, 03056, Украина"
}
] |
| author_sort | Вербицкий , Е.В. |
| baseUrl_str | https://techned.org.ua/index.php/techned/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-10T12:06:36Z |
| description | Expedience double Fourier series using for modulating signals calculating are validated. Restriction for filtering signals are describing. Method Fourier series one and two variable collective using, which based on superposition method and give spectrum response in convolute form are proposed. References 2, figures 2.
  |
| first_indexed | 2026-06-16T01:18:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
96 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 4
УДК 621.314
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ФУРЬЕ
ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРА МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Е.В.Вербицкий, канд.техн.наук
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»,
пр. Победы, 37, Киев, 03056, Украина,
e-mail: verbitskiy@bigmir.net
Обоснована целесообразность использования двойного ряда Фурье для расчета спектра модулированных сиг-
налов. Описаны ограничения его применения для отфильтрованных сигналов. Предложена методика совмест-
ного применения рядов Фурье одной и двух переменных, основанная на методе наложения, которая позволяет
получить спектральную характеристику сигнала в свернутой форме. Библ. 2, рис. 2.
Ключевые слова: импульсная модуляция, двойной ряд Фурье, спектральная характеристика.
Импульсная модуляция находит широкое применение в устройствах силовой электроники, что обуслов-
лено простотой реализации и возможностью достижения высокого КПД. При формировании выходного синусо-
идального сигнала период Т несущего сигнала, как правило, значительно меньше периода Θ выходного синусо-
идального сигнала (Т<<Θ), что при использовании ряда Фурье одной переменной обуславливает громоздкость
расчетов в связи с необходимостью суммирования спектра каждого периода несущего сигнала. Применение ряда
Фурье двух переменных [2] позволяет представить частотную характеристику модулированного выходного на-
пряжения в свернутой, то есть более удобной форме. После прохождения выходного модулированного напря-
жения через выходной фильтр преобразователя его частотная характеристика изменяется, но именно она и пред-
ставляет интерес, так как определяет параметры выходного напряжения и качество работы фильтра. Непо-
средственное определение реакции фильтра по составляющим двойного ряда Фурье является трудоемкой про-
цедурой. В статье рассмотрена методика совместного применения рядов Фурье одной и двух переменных для рас-
чета спектральных характеристик, что значительно уменьшает количество математических вычислений.
Методика основывается на методе наложения, что позволяет представить суммарную реакцию хМ(t)
фильтра при воздействии на него широтно-модулированных сигналов как суперпозицию реакции на каждый
импульс модуляции xi(t) с несущей частотой ω
1
( ) ( 2 / )
N
M i
i
x t x t i
=
= +∑ π ω , (1)
где N – количество импульсов широтно-импульсной модуляции (ШИМ).
Реакция на каждый импульс состоит из двух частей (рис. 1). На интервале длительности i-го импульса
(Тi, Ti + ti) реакция цепи xi(t) находится с помощью интеграла Дюамеля [1]
( )
0
( ) ( )
t
A t
ix t e V dτ τ τ−= ∫ , (2)
где еА – матричная экспонента электрической цепи, V(t) –
внешнее воздействие.
На интервале, начинающемся после окончания импульса и
длящемся до конца периода модулированного сигнала (Ti +ti; Θ),
в цепи протекает свободный процесс xBi(t), который описывается
выражением
( )
0( ) −= A t
Bi ix t x e τ , (3)
где х0і – значение переменной в момент окончания импульса
Рис. 1 х0і = хі(Ti +ti). (4)
Рассмотрим случай модуляции с помощью прямоугольных
импульсов амплитудой Um, что упрощает выражение (2)
( ) 1
0 0
( ) ( ) ( )
t t
A t At A At At At
i m m m Вx t e U d U e e d U e e I A I e Xτ ττ τ− − − −= ⋅ = = − − ⋅ = − ⋅∫ ∫ , (5)
где І – единичная матрица, ХВ – вынужденное значение сигнала.
При использовании формул (3) и (5) реакция цепи на каждый импульс рассчитывается независимо. При
этом реакции на импульсы модуляции соответствуют временным интервалам импульсов модуляции, что объясняет
удобство использования двойного ряда Фурье, а для составляющих свободного процесса на каждый импульс – ряд
Фурье одной переменной.
© Вербицкий Е.В., 2014
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 4 97
Рассмотрим методику расчета спектра однополярной широтно-импульсной модуляции (ШИМ) II рода
с модуляцией заднего фронта [2] при включении на выходе модулятора L-фильтра, нагрузки с сопротивлением
R и источника напряжения ЕИ. Пусть на интервале накопления энергии и на интервале передачи энергии в
нагрузку параметры схемы замещения одинаковые, а ее постоянная времени равна τ = L/R. На рис. 2, а показана
примерная форма напряжения на выходе модулятора UМ и ток нагрузки ІR(t) для случая k = ω/Ω = 20.
Рис. 2
На первом этапе ток IR(t) представляется как сумма токов, вызванных начальными условиями в начале
полупериода сигнала модуляции І0П и каждым импульсом ШИМ ІШІМ(і) длительностью γі·Т, где γі – коэффициент
заполнения импульсов на i-м периоде ШИМ
/
0
1
( ) ( ) ( )
N
t
R П ШІМi
i
I t I e t I t−
=
= + ∑τ . (6)
Временные диаграммы составляющих тока нагрузки показаны на рис. 2, б. После этого составляющая
тока, вызванная i-м импульсом ШИМ, рассматривается отдельно на двух временных интервалах: 1) (і−1)Т ...
((і−1)+γі)Т − источник напряжения подключается к нагрузке; 2) ((і−1)+γі)Т…Θ/2 – свободная составляющая на i-й
импульс ШИМ. Результат разделения во временной области составляющих тока показан на рис. 2, в – переходные
составляющие реакций на каждый импульс, которые рассчитываются с помощью двойного ряда Фурье, и рис. 2, г –
свободные составляющие на каждый импульс ШИМ, которые рассчитываются с помощью ряда Фурье одной
переменной. Очередность расчета спектра составляющих рис. 2, в и г не влияет на конечный результат.
Вначале рассмотрим последовательность расчета спектра составляющих тока с помощью двойного ря-
да Фурье. Ток i-го импульса ШИМ ІШІМі(1) описывается следующим выражением:
/
(1) ( ) (1 )t
ШІМі ВI t I e−= − τ , (7)
где ІВ = ЕИ/R – вынужденная составляющая тока нагрузки.
Для расчета спектра введем переменные х=ωt, y=Ωt. Подставляя аналитическое выражение импульсов
тока, которые описываются выражением (7), в формулу для расчета спектра модулированного сигнала [2],
получим
( ) ( )2
/ ( ) / ( )
2
0 0 0
(1 ) (1 )
2
Ef y Ef y
x j mx ny x j mx nyВ
mn mn
IA jB e e dxdy e e dxdy
π π
τω τω
ππ
−
− + − +⎛ ⎞
+ = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ , (8)
где Е = 2π/С, С – амплитуда пилообразного напряжения.
Разделим интеграл (8) на две части
( ) ( ) ( ) ( )2 2
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0 0 0 0 02
Ef y Ef y Ef y Ef yx x
j mx ny j mx ny j mx ny j mx nyВ
mn mn
I
A jB e dxdy e dxdy e e dxdy e e dxdy
π π π π
τω τω
π ππ
− −− −
+ + + +
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ = − − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . (9)
Обозначим первую часть выражения (9) в квадратных скобках Аmn(1) + jBmn(1). Она описывает спектр
напряжения (тока) для случая активной нагрузки и рассчитана в [2]
( ( ) (2 1) )
(2 1)(1) (2 1)(1) 2 2
0
2
(2 1)
j Emf y n y
m n m n
H HA jB e dy
jm n m
π
π π
+ −
− −+ = +
− ∫ . (10)
Для упрощения второй части выражения (9) проинтегрируем его по переменной х
2( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) )
(2) (2) 2
02 ( 1/ )
Ef y Ef y
j mEf y ny jny j mEf y ny jnyВ
mn mn
I
A jB e e e dy e e e dy
jm
π π
τω τω
ππ τω
− + − +⎛ ⎞⎛ ⎞−
+ = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫ . (11)
При условии симметрии функции модуляции f(y) относительно начала координат выражение (11)
упрощается. Для парных n оно равно нулю, а для непарных
( )
( ( ) (2 1) )
(2 1)(2) (2 1)(2) 2
0
2
(2 1)( 1/ )
Ef y
j mEf y n yВ
m n m n
IA jB e e dy
j njm
π
τω
π τω
−+ −
− −
⎛ ⎞⎛ ⎞−
+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ . (12)
Сумма выражений (10) и (12) позволяет получить в свернутой форме часть спектра реакции цепи с
частотой модуляции ω, что уменьшает объем вычислений. Спектр составляющих тока с периодом модули-
рующего сигнала Θ, изображенных на рис. 2, г, рассчитывается с помощью ряда Фурье одной переменной по
формуле
а б
в г
98 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 4
0 (2) (2)
0
2 ( ) ( ) jny
n n В iВ
i
A jB I y І y e dy
π
π
⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑∫ , (13)
где І0В(2)(y) – начальные условия в начале полупериода модулированного сигнала, ІіВ(2)(y) – составляющие тока,
вызванные i-м импульсом ШИМ, на интервале ((і−1) + γі)Т … Θ/2.
Составляющая І0В(2)(t) рассчитывается по формуле
/ /
0 (2) 0 0 (2) 0( ) ( )t y
B П B ПI t I e I y I eτ τ− − Ω= ⇒ = . (14)
Составляющие ІіВ(2)(t) равны нулю, в случае t ≤ (i – 1 + γі)TШІМ. В другие интервалы времени они равны
/( ( 1 ) )/ ( ( 1 ) )/
0 (2) (1)( ) ( ) (1 )іТt i і T t i і T
Bi ШІМі і ВI t I Т e I e eγ τγ τ γ τγ −− − − + − − − += = − в случае (i–1+γі)T < t ≤ Θ/2 или с учетом замены y =
= Ωt / ( / ( 1 ) )/
0 (2) ( ) (1 )іТ y i і T
Bi ВI y I e eγ τ γ τ− − Ω− − += − , в случае 2π(i–1+γі)T/ Θ < y ≤π, (15)
где значения тока IШІМі(1)(γіТ) рассчитываются по формуле (7). Подстановка выражений (14) и (15) в формулу
(13) дает следующий результат:
1
2
// ( / ( 1 ) )/
0
00 2 (i– 1 )T /
2 2 (1 )і
і
Тy jny y i і T jny
n n П В
i
A jB I e e dy I e e e dy
ω
π π
γ ττ γ τ
π γπ π
−
Ω
−− Ω − Ω− − +
=+ Θ
+ = + −∑∫ ∫ . (16)
Первое слагаемое в формуле (16) рассчитывается непосредственно, в другом слагаемом – меняется
очередность операций интегрирования и суммирования
( )/
02 ( 1) 1 / ( 1/ )n
n n ПA jB I e jn− Ω+ = − − − Ω +π τ π τ
( )
1
2
/ (i– 1 )T / 2 (i– 1 )T// ( ) / /
0
2 / ( 1/ ) (1 ) ( 1)і і іТ jnT i і T n
В
i
I e jn e e e e
−
Ω
− − + + + Θ− + − Ω
=
+ − Ω − − −∑
ω
γ τ γ τ π γτ γ τ π τπ τ . (17)
Расчет коэффициентов ряда Фурье модулированного сигнала состоит в суммировании коэффициентов
каждой составляющей, рассчитанных по формулам (10), (16), (17). В целом разработанная методика значительно
уменьшает объем расчетов и дает возможность описать спектральную характеристику в компактном виде.
Выводы. 1. Использование метода наложения дает возможность представить суммарный переходной
процесс в цепи как сумму переходных процессов, вызванных каждым импульсом модулированного напряжения, что
позволяет разделить составляющие, спектр которых целесообразно рассчитывать с помощью рядов Фурье одной или
двух переменных.
2. Совместное использование рядов Фурье одной и двух переменных позволяет уменьшить объем вы-
числений и получить спектральную характеристику сигнала в свернутой форме.
1. Демирчян К.С. Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. – М.: Высш. шк., 1988. – 335 с.
2. D. Grahame Holmes, Thomas A. Lipo. Pulse width modulation for power converters. Theory and practice / IEEE Press Series on
Power Engineering, 2003. − 724 p.
УДК 621.314
ВИКОРИСТАННЯ ПОДВІЙНОГО РЯДУ ФУР’Є ДЛЯ РОЗРАХУНКУ СПЕКТРУ МОДУЛЬОВАНИХ СИГНАЛІВ
Вербицький Є.В., канд.техн.наук
Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»,
пр. Перемоги, 37, Київ, 03056, Україна,
e-mail: verbitskiy@bigmir.net
Обґрунтовано доцільність використання подвійного ряду Фур’є для розрахунку спектру модульованих сигналів.
Описано обмеження його застосування для відфільтрованих сигналів. Запропоновано методику спільного за-
стосування рядів Фур’є однієї і двох змінних, яка базується на методі накладання, що дозволяє отримати
спектральну характеристику в згорнутій формі. Бібл. 2, рис. 2.
Ключові слова: імпульсна модуляція, подвійний ряд Фур’є, спектральна характеристика.
DOUBLE FOURIER SERIES USING FOR CALCULATING MODULATING SIGNALS SPECTRUM
Verbytskyi Ye.V.
National Technical University of Ukraine “Kyiv Polytechnic Institute”,
pr. Peremohy, 37, Кyiv, 03056, Ukraine,
e-mail: verbitskiy@bigmir.net
Expedience double Fourier series using for modulating signals calculating are validated. Restriction for filtering
signals are describing. Method Fourier series one and two variable collective using, which based on superposition
method and give spectrum response in convolute form are proposed. References 2, figures 2.
Key words: pulse modulation, double Fourier series, spectrum response.
1. Demirchian K.S. Butyrin P.A. Electric circuits simulation and machine calculation – Moskva: Vysshaia Shkola, 1988.
– 335 p. (Rus)
2. D. Grahame Holmes, Thomas A. Lipo. Pulse width modulation for power converters. Theory and practice // IEEE
Press Series on Power Engineering, 2003. − 724 p.
Надійшла 30.01.2014
|
| id | techned_org_ua-article-1105 |
| institution | Technical Electrodynamics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-16T01:18:38Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України, Київ |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | technedorgua/07/fb0a1d5c4b2ab373cb40f313b48d1007.pdf |
| spelling | techned_org_ua-article-11052023-01-10T12:06:36Z DOUBLE FOURIER SERIES USING FOR CALCULATING MODULATING SIGNALS SPECTRUM ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРА МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Вербицкий , Е.В. pulse modulation double Fourier series spectrum response импульсная модуляция двойной ряд Фурье спектральная характеристика Expedience double Fourier series using for modulating signals calculating are validated. Restriction for filtering signals are describing. Method Fourier series one and two variable collective using, which based on superposition method and give spectrum response in convolute form are proposed. References 2, figures 2. &nbsp; Обоснована целесообразность использования двойного ряда Фурье для расчета спектра модулированных сигналов. Описаны ограничения его применения для отфильтрованных сигналов. Предложена методика совместного применения рядов Фурье одной и двух переменных, основанная на методе наложения, которая позволяет получить спектральную характеристику сигнала в свернутой форме. Библ. 2, рис. 2. Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2014-06-25 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1105 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 4 (2014): TEKHNICHNA ELEKTRODYNAMIKA; 096 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 4 (2014): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 096 2218-1903 1607-7970 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1105/980 Авторське право (c) 2023 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | импульсная модуляция двойной ряд Фурье спектральная характеристика Вербицкий , Е.В. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРА МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ |
| title | ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРА МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ |
| title_alt | DOUBLE FOURIER SERIES USING FOR CALCULATING MODULATING SIGNALS SPECTRUM |
| title_full | ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРА МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ |
| title_fullStr | ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРА МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ |
| title_full_unstemmed | ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРА МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ |
| title_short | ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРА МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ |
| title_sort | использование двойного ряда фурье для расчета спектра модулированных сигналов |
| topic | импульсная модуляция двойной ряд Фурье спектральная характеристика |
| topic_facet | pulse modulation double Fourier series spectrum response импульсная модуляция двойной ряд Фурье спектральная характеристика |
| url | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1105 |
| work_keys_str_mv | AT verbickijev doublefourierseriesusingforcalculatingmodulatingsignalsspectrum AT verbickijev ispolʹzovaniedvojnogorâdafurʹedlârasčetaspektramodulirovannyhsignalov |