ДВУХРОТОРНАЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ЕЕ МАТАМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
We propose a method for reducing vibration exposure to the operator's hand drive reciprocating rotary motion. We consider a system of two diametrically magnetized driven rotors that perform reciprocating rotary motion in different directions. The mathematical model of a system of two magnetized...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України, Київ
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1111 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Technical Electrodynamics |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Technical Electrodynamics| _version_ | 1870203777200422912 |
|---|---|
| author | Филоменко , А.А. |
| author_facet | Филоменко , А.А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А.А. Филоменко ",
"institution": "Институт электродинамики НАН Украины, пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина"
}
] |
| author_sort | Филоменко , А.А. |
| baseUrl_str | https://techned.org.ua/index.php/techned/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-10T12:06:36Z |
| description | We propose a method for reducing vibration exposure to the operator's hand drive reciprocating rotary motion. We consider a system of two diametrically magnetized driven rotors that perform reciprocating rotary motion in different directions. The mathematical model of a system of two magnetized rotors based on the fundamental principle of integral Hamilton. References 4. |
| first_indexed | 2026-06-16T01:19:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
114 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 4
УДК 621.313.8
ДВУХРОТОРНАЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ И ЕЕ МАТАМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Филоменко А.А.
Институт электродинамики НАН Украины,
пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина.
e-mail: filomenko86@mail.ru
Рассмотрены способ снижения вибровоздействия на руку оператора привода возвратно-вращательного дви-
жения и система двух управляемых диаметрально намагниченных роторов, которые осуществляют возврат-
но-вращательное движение в разных направлениях. Получена математическая модель системы двух намагни-
ченных роторов на основе фундаментального интегрального принципа Гамильтона. Библ. 4.
Ключевые слова: постоянный магнит, бесконтактный двигатель магнитоэлектрического типа, математическая
модель.
Постановка задачи. Существует класс приборов, для которых необходимо реализовывать возвратно-вра-
щательное движения рабочего органа. Это, например, специальный шлифовальный и полировочный инструмент,
медицинские приборы и средства аппаратной косметологии. Принцип работы привода возвратно-вращательного
движения описан в [1]. Особенность работы таких приборов состоит в негативном вибровоздействии на руку опе-
ратора при работе с ними. Это вибровоздействие возникает в результате действия реактивного знакопеременного
момента, приложенного к статору привода. Уменьшить вибровоздействие можно разными способами, например,
путем нанесения вибропоглощающего покрытия на корпус, однако, такая мера решает проблему лишь частично, и
не всегда приводит к желаемому результату. В статье рассматривается иной способ устранения негативного дей-
ствия вибрации, суть которого состоит в активном подавлении колебаний путем введения в магнитоэлектричес-
кую систему второго ротора, который колеблется синхронно, но противофазно с первым. Такая мера позволяет
улучшить не только эргономические характеристики ручного инструмента, но и функциональные возможности
прибора благодаря размещению на валу второго ротора (дополнительного рабочего органа).
Целью статьи является создание математической модели системы, которая учитывает ее конструктивные
особенности и описывает электромеханические процессы в системе.
Математическая модель. Для построения математической модели динамического состояния такой двух-
роторной системы воспользуемся фундаментальным интегральным принципом Гамильтона [3]. Расположим в
неподвижной прямоугольной системе координат X0Y0Z0 (рис. 1) обмотку управления (ОУ) и обмотки, обеспе-
чивающие упругое взаимодействие с первым (ОП1) и вторым (ОП2) роторами, т.е.эффект магнитной пружины.
Обмотки возбуждения первого ротора (ОР1) и второго ротора (ОР2)
свяжем с подвижными системами координат X1Y1Z1 и X2Y2Z2, которые
развернуты в некоторый момент времени относительно неподвижной
системы координат вокруг осей OY1 и ОY2 в противоположные сторо-
ны на углы γ1 и γ2.
В качестве обобщенных независимых координат системы выберем
углы поворота роторов γ1 и γ2 и электрические заряды в обмотках, а
обобщенными скоростями − угловые скорости роторов ω1 и ω2, а также
токи в обмотках, представляющие собой скорости изменения зарядов во
времени: іХ − ток обмотки управления; іР1, іР2 − токи обмоток первого и
второго роторов; іZ1, іZ2 − токи в обмотках электромагнитных пружин.
Моменты инерции роторов относительно трех взаимно ортого-
нальных осей обозначим JX1, JY1, JZ1, JX2, JY2, JZ2. Очевидно, что запаса-
ние механической кинетической энергии происходит только во вра-
щающихся роторах, причем оси вращения первого и второго роторов всегда остаются нормальными плоскости
X0OZ0 благодаря одноосной системе установки роторов в подшипниковых опорах. Это означает, что проекции
угловых скоростей роторов на все другие оси координат будут равны нулю: ωX1=ωX2=0, ωY1=ω1, ωY2=ω2,
ωZ1=ωZ2=0. Выражение для кинетической энергии системы примет вид
Т = 1/2(JY1·ω1
2 -JY2·ω2
2).
Для записи выражения энергии электромагнитного поля необходимо определить взаимные индуктивности
обмоток [4], которые изменяются при изменении положения роторов. В соответствии с рис. 1 запишем
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2
sin ; cos ;
sin ; cos ;
cos( ),
P X XP X P Z Z P Z
P X XP X P Z Z P Z
P P P P p
M M M M M M
M M M M M M
M M M
γ γ
γ γ
γ γ
= = ⋅ = = ⋅
= = − ⋅ = = ⋅
= = ⋅ +
© Филоменко А.А., 2014
Рис. 1
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 4 115
где MX1, MX2, MZ1, MZ2, − взаимные индуктивности роторных обмоток с соответствующими обмотками статора
при соосном их расположении, MР – взаимная индуктивность обмоток первого и второго ротора.
С учетом изложенного выражение для энергии электромагнитного поля примет вид
( 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
1 2 sin 2 sin
2
2 cos 2 cos cos( ) ).
X X Z Z Z Z P P P P X X P X X P
Z Z P Z Z P P P P
W L i L i L i L i L i M i i M i i
M i i M i i M i i
γ γ
γ γ γ γ
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
Тогда полное выражение для силовой функции Лагранжа будет таким
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1
2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
1 ( 2 sin
2
2 sin 2 cos 2 cos cos( ) ).
X X Z Z Z Z P P P P X X P
X X P Z Z P Z Z P P P P
L T W J J L i L i L i L i L i M i i
M i i M i i M i i M i i
= + = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −
− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
& &γ γγ γ γ
γ γ γ γ γ
(1)
Для учета сил рассеяния в двигателе воспользуемся диссипативной функцией Релея, которая представ-
ляет собой сумму рассеяния энергии, подводимой к механической FM=1/2Σ( i Yiγ ν⋅& ), где Yiν − коэффициент
вязкого трения, возникающий при движении ротора вокруг оси ОYi, и рассеяния в электрической FE части сис-
темы, которое происходит на активных сопротивлениях обмоток
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1( ) ( ).
2 2M E Y Y ОУ Z ОП Z ОП P P P PXF F F i R i R i R i R i R= + = + + + + + +& &γ ν γ ν (2)
Для построения модели динамического состояния электромеханической системы необходимо выпол-
нить операции дифференцирования силовой функции Лагранжа (1) и диссипативной функции Релея (2) по вы-
бранным обобщенным координатам (γ1, γ2), скоростям ( 1γ& , 2γ& , 1 2 1 2, , , ,X Z Z P Pi i i i i ) и времени, и подставить ре-
зультаты в уравнение Эйлера-Лагранжа второго рода
.k
k k k
d L L F Q
dt q q q
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟
⎝ ⎠& &
(3)
Подставляя результаты дифференцирования в (3), записав в правых частях уравнений внешние обоб-
щенные силы, которые соответствуют обобщенным координатам и скоростям каждого из уравнений, получаем
систему нелинейных дифференциальных уравнений динамического состояния беспазовой электромеханичес-
кой системы с двумя магнитными роторами возвратно-вращательного движения.
Для перехода к модели состояния двигателя с магнитным возбуждением потока представим постоян-
ные магниты ротора в виде токовых слоев с поверхностными токами IР1 и IР2 [2], выразив взаимную энергию
магнитов ротора и обмотки управления через их взаимную проводимость. Введем следующие обозначения:
1 1 10 1 1 1 2 2 20 2 2 2
1 10 2 1 1 2 1 2 2 20 1 2 1 2 2
1 1 10 1 1 1 1 2 2 20 2 2 2 2
; ;
; ;
; .
P X P ОУ Р ХР X P X P ОУ Р ХР X
P Р P Р Р Р Р Р P Р P Р Р Р Р Р
P Z P P ОП ZР Z P Z P ОП Р ZР Z
i M I w w G i M I w w G
i M I w w G i M I w w G
i M I w w G i M I w w G
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = Ψ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = Ψ
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = Ψ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = Ψ
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = Ψ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = Ψ
Здесь GXP1, GXP2, GP1Р2, GZP1, GZP1 − взаимные проводимости магнитов ротора и обмоток, wОУ, wР1, wР2,
wОП1, wОП1 − число витков обмоток, в частности wР1=wР2=1, IP10, IP20 − поверхностные токи магнитов роторов
при обесточенной обмотке управления.
Для записи уравнений динамического состояния рассматриваемой системы учтем следующие обстоя-
тельства: постоянный магнит ротора для поддержания своего состояния не потребляет электроэнергию, т.е
UP=0; поверхностный ток магнита ротора постоянен во времени, поэтому все члены при diP/dt обращаются в 0;
поле обмоток не оказывает влияния на состояние постоянного магнита и не может возбудить в нем никаких
ЭДС, поэтому уравнения электрического равновесия для роторов не имеют физического смысла; учитывая
малые величины углов отклонения роторов, можем считать, что sinγ=γ; cosγ=1.
В результате уравнения динамического состояния системы получаем в виде
1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1( ) ;Y X X P P Z Z Y YJ i i i mγ γ γ γ γ ν⋅ − Ψ ⋅ + Ψ ⋅ ⋅ + + Ψ ⋅ ⋅ + ⋅ =&& & (4)
2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2( ) ;Y X X P P Z Z Y YJ i i i mγ γ γ γ γ ν− ⋅ + Ψ ⋅ − Ψ ⋅ ⋅ + − Ψ ⋅ ⋅ + ⋅ =&& & (5)
1 1 2 2 ;X
X X X X X X
di
L i R U
dt
γ γ⋅ + Ψ ⋅ − Ψ ⋅ + ⋅ =& & (6)
1 1 1 1 1 1;Z Z Z Zi R Uγ γ−Ψ ⋅ ⋅ + ⋅ =& 2 2 2 2 2 2.Z Z Z Zi R Uγ γ−Ψ ⋅ ⋅ + ⋅ =& (7,8)
Для реализации возвратно-вращательного движения роторов в противоположных направлениях в об-
мотке управления должен быть возбужден переменный ток, изменяющийся по периодическому закону [1]. В
полученной математической модели учтены силы упругих связей между роторами и обмотками, создающими
постоянные по направлению и величине магнитные потоки (четвертые члены в первых двух уравнениях), а
также между двумя роторами (третьи члены в тех же уравнениях). Сила упругой связи между роторами имеет
место из-за сцепляющихся друг с другом потоков рассеяния в их торцевых частях. Условием компенсации ре-
активного момента привода, действующего на статор и руку оператора во время его работы, является равенство
нулю суммы моментов, действующих на первый и второй роторы со стороны статора
116 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 4
1 1 1 1 2 2 2 2 0X X Z Z X X Z Zi i i iγ γ−Ψ ⋅ + Ψ ⋅ ⋅ + Ψ ⋅ − Ψ ⋅ ⋅ = . (9)
Если предположить полную идентичность постоянных магнитов роторов и магнитных пружин, а также
равенство потокосцеплений обмотки управления с обоими роторами, то и компенсация реактивных моментов
будет абсолютной.
Рассмотрим некоторые структуры двухроторной системы с возможностью компенсации вибровоздействия:
1) система содержит два намагниченных ротора и две обмотки управления, а также две обмотки стато-
ра, создающие упругие связи, то возможно независимо изменять и силы упругих связей, и моменты, откло-
няющие роторы путем регулирования токов во всех четырех обмотках;
2) построение системы предполагает раздельное управление роторами, а создание упругих связей с по-
мощью постоянных магнитов статора предполагает регулирование лишь токов в обмотках управления;
3) использование единственной обмотки для отклонения обоих роторов − компоновка системы больше
всего отвечает требованиям минимизации габаритов и электропотребления системы, однако минимизация реак-
тивного момента будет возможна только за счет изменения взаимных потокосцеплений между роторами и об-
моткой путем изменения их взаимного положения вдоль оси вращения роторов.
При значительном различии параметров магнитов роторов и магнитов пружин полная компенсация ре-
активного момента может вообще не быть достигнута, поэтому третий вариант построения привода зависит от
отбора магнитных комплектующих по принципу равенства создаваемых ими магнитных потоков.
Выводы. Разработана математическая модель магнитоэлектрического двигателя возвратно-вращательного
движения с двумя магнитными роторами. Из полученной модели динамического состояния системы определено
условие полной компенсации реактивного момента и показаны принципы его регулирования для некоторых случаев
компоновки системы. Рассмотренная двухроторная магнитоэлектрическая система принципиально позволяет ком-
пенсировать знакопеременные моменты реакции статора.
1. Антонов А.Е., Петухов И.С., Филоменко А.А. Магнитоэлектрический двигатель возвратно-вращательного дви-
жения с упругой связью ротора // Технічна електродинаміка. – 2013. – №1. – С. 49 – 55.
2. Барабанов В.А. Основные модели постоянного магнита в электромеханических системах / Препринт АН УССР.
Ин-т электродинамики, № 222. – Киев, 1980. – 50 с.
3. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч.2. Динамика системы материальных точек. – М.−Л.:
Главная редакция технико-теоретической литературы, 1937. – С. 41–60.
4. Seely S. Electromechanical energy conversion. – : MCGRAW-HILL BOOK COMPANY, INC., 1962.
УДК 621.313.8
ДВОРОТОРНА МАГНІТОЕЛЕКТРИЧНА СИСТЕМА ЗВОРОТНО-ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ ТА ЇЇ
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ
Філоменко А.А.
Інститут електродинаміки НАН України,
пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна. e-mail: filomenko86@mail.ru
Запропоновано спосіб зниження дії вібрації на руку оператора приводу зворотно-обертального руху. Розгляну-
то систему двох керованих діаметрально намагнічених роторів, які здійснюють зворотно-обертальний рух у
різних напрямках. Отримано математичну модель системи двох намагнічених роторів на основі фундамента-
льного інтегрального принципу Гамільтона. Бібл. 4.
Ключові слова: постійний магніт, безконтактний двигун магнітоелектричного типу, математична модель.
MATHEMATICAL MODEL OF DOUBLE-ROTOR MAGNETOELECTRIC SYSTEM SWINGING MOVEMENT
Filomenko A.A.
Іnstitute of Elektrodynamіcs National Academy of Sciences of Ukraine,
pr. Peremohy, 56, Kyiv-57, 03680, Ukraina. e-mail: filomenko86@mail.ru
We propose a method for reducing vibration exposure to the operator's hand drive reciprocating rotary motion. We
consider a system of two diametrically magnetized driven rotors that perform reciprocating rotary motion in different
directions. The mathematical model of a system of two magnetized rotors based on the fundamental principle of integral
Hamilton. References 4.
Key words: permanent magnet, magneto magnetoelectric motor type, the mathematical model.
1. Antonov A.Ye., Petukhov I.S., Filomenko A.A. Magnetoelectric motor reciprocating rotary motion with elastic coupling rotor //
Tekhnichna Elektrodynamika. – 2013. – № 1. – Pp. 49 – 55. (Rus)
2. Barabanov V.А. The basic model of the permanent magnet electro-mechanical systems / Preprint Akademii Nauk USSR. Institute
of Electrodynamics, № 222. – Kyiv, 1980. – 50 p. (Rus)
3. Bukhgolz N.N. The main course of theoretical mechanics. Part 2. The dynamics of the system of material points. – Moskva–
Leningrad: Glavnaia redaktsiia tekhniko-teoreticheskoi literatury, 1937. – Pp. 41−60 (Rus)
4. Seely S. Electromechanical energy conversion. – : MCGRAW-HILL BOOK COMPANY, INC., 1962.
Надійшла 30.01.2014
|
| id | techned_org_ua-article-1111 |
| institution | Technical Electrodynamics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-16T01:19:41Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України, Київ |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | technedorgua/e6/da47629adaf1b1bee0ee06892e04cfe6.pdf |
| spelling | techned_org_ua-article-11112023-01-10T12:06:36Z MATHEMATICAL MODEL OF DOUBLE-ROTOR MAGNETOELECTRIC SYSTEM SWINGING MOVEMENT ДВУХРОТОРНАЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ЕЕ МАТАМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Филоменко , А.А. permanent magnet magneto magnetoelectric motor type the mathematical model постоянный магнит бесконтактный двигатель магнитоэлектрического типа математическая модель We propose a method for reducing vibration exposure to the operator's hand drive reciprocating rotary motion. We consider a system of two diametrically magnetized driven rotors that perform reciprocating rotary motion in different directions. The mathematical model of a system of two magnetized rotors based on the fundamental principle of integral Hamilton. References 4. Рассмотрены способ снижения вибровоздействия на руку оператора привода возвратно-вращательного движения и система двух управляемых диаметрально намагниченных роторов, которые осуществляют возвратно-вращательное движение в разных направлениях. Получена математическая модель системы двух намагниченных роторов на основе фундаментального интегрального принципа Гамильтона. Библ. 4 Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2014-06-25 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1111 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 4 (2014): TEKHNICHNA ELEKTRODYNAMIKA; 114 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 4 (2014): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 114 2218-1903 1607-7970 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1111/986 Авторське право (c) 2023 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | постоянный магнит бесконтактный двигатель магнитоэлектрического типа математическая модель Филоменко , А.А. ДВУХРОТОРНАЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ЕЕ МАТАМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ |
| title | ДВУХРОТОРНАЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ЕЕ МАТАМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ |
| title_alt | MATHEMATICAL MODEL OF DOUBLE-ROTOR MAGNETOELECTRIC SYSTEM SWINGING MOVEMENT |
| title_full | ДВУХРОТОРНАЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ЕЕ МАТАМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ |
| title_fullStr | ДВУХРОТОРНАЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ЕЕ МАТАМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ |
| title_full_unstemmed | ДВУХРОТОРНАЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ЕЕ МАТАМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ |
| title_short | ДВУХРОТОРНАЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ЕЕ МАТАМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ |
| title_sort | двухроторная магнитоэлектрическая система возвратно-вращательного движения и ее матаматическая модель |
| topic | постоянный магнит бесконтактный двигатель магнитоэлектрического типа математическая модель |
| topic_facet | permanent magnet magneto magnetoelectric motor type the mathematical model постоянный магнит бесконтактный двигатель магнитоэлектрического типа математическая модель |
| url | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1111 |
| work_keys_str_mv | AT filomenkoaa mathematicalmodelofdoublerotormagnetoelectricsystemswingingmovement AT filomenkoaa dvuhrotornaâmagnitoélektričeskaâsistemavozvratnovraŝatelʹnogodviženiâieematamatičeskaâmodelʹ |