НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ ТОКОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ДЛЯ ШИРОКОГО ДИАПАЗОНА ИЗМЕНЕНИЙ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ
In this paper the adequacy of nonlinear and nonlinear-parametric models of equivalent electrical resistance of the current-carrying granulated mediums is considered in a wide range of applied voltage amplitude of the discharge pulses. The methods for calculating the resistance of the working liquid...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут електродинаміки НАН України, Київ
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1120 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Technical Electrodynamics |
| Завантажити файл: |
|
Institution
Technical Electrodynamics| _version_ | 1870203798514827264 |
|---|---|
| author | Шидловская, Н.А. Захарченко, С.Н. Черкасский, А.П. |
| author_facet | Шидловская, Н.А. Захарченко, С.Н. Черкасский, А.П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н.А. Шидловская",
"institution": "Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна"
},
{
"author": "С.Н. Захарченко",
"institution": "Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна"
},
{
"author": "А.П. Черкасский",
"institution": "Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна"
}
] |
| author_sort | Шидловская, Н.А. |
| baseUrl_str | https://techned.org.ua/index.php/techned/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-10T15:18:07Z |
| description | In this paper the adequacy of nonlinear and nonlinear-parametric models of equivalent electrical resistance of the current-carrying granulated mediums is considered in a wide range of applied voltage amplitude of the discharge pulses. The methods for calculating the resistance of the working liquid as a component of granulated current-carrying mediums, and searching the optimal values of the coefficients of functions which approximates the dependence of the resistance of such mediums from the voltage and current is proposed. The dependence of the parameters of the equivalent electrical ER-circuit of current-carrying granulated mediums from the applied voltage amplitude of the discharge pulses is investigated and given their approximations by analytic functions. References 18, figures 6, tables 3. |
| first_indexed | 2026-06-16T01:21:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 3
ТЕОРЕТИЧНА ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОФІЗИКА
УДК 621.3.011.72
НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ГРАНУЛИРОВАННЫХ ТОКОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ДЛЯ ШИРОКОГО ДИАПАЗОНА
ИЗМЕНЕНИЙ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Н.А.Шидловская, член-корреспондент НАН Украины, С.Н.Захарченко, канд.техн.наук, А.П.Черкасский
Институт электродинамики НАН Украины,
пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина.
E-mail: shydlovska@mail.ua, snzakhar@bk.ru, Cherksa@bk.ru
Рассмотрена адекватность нелинейной и нелинейно-параметрической моделей эквивалентного электрическо-
го сопротивления гранулированных токопроводящих сред в широком диапазоне изменения амплитуды напря-
жения разрядных импульсов. Предложены методики расчета сопротивления рабочей жидкости как состав-
ляющей гранулированных токопроводящих сред, а также поиска оптимальных значений коэффициентов функ-
ций, аппроксимирующих зависимости сопротивления таких сред от напряжения и тока. Исследованы зависи-
мости параметров эквивалентной электрической E-R-схемы замещения гранулированных токопроводящих
сред от амплитуды напряжения разрядных импульсов и приведены их аппроксимации аналитическими функ-
циями. Библ. 18, рис. 6, табл. 3.
Ключевые слова: нелинейно-параметрическое сопротивление, гранулированные токопроводящие среды,
аппроксимация, параметры невязки.
Введение. Гранулированные токопроводящие среды (ГТПС) представляют собой слой кон-
тактирующих друг с другом металлических гранул, погруженных в технологическую жидкость с низ-
кой электропроводностью. Протекание электрических токов в них вследствие подвода энергии от ге-
нератора импульсов и возникновение плазменных каналов между гранулами являются физической
основой технологических процессов получения дисперсных порошков металлов и сплавов, гидрозо-
лей биологически активных металлов, а также обеззараживания и очистки водных потоков с помо-
щью плазмоэрозионной коагуляции [1, 2, 8, 9, 16-18].
С точки зрения электротехники данные среды являются сложными нелинейно-параметриче-
скими нагрузками, сопротивление которых подвержено стохастическим изменениям в широких пре-
делах, как на протяжении импульса тока, так и от импульса к импульсу [3]. В таких условиях апе-
риодический разряд может переходить в колебательный и наоборот в течение одного импульса. Со-
здание адекватных электротехнических моделей таких сред в общем случае сложная и трудно раз-
решимая задача. Кроме того, использование модели с учетом всех особенностей нагрузки в оптими-
зационных задачах существенно усложняет их решение. В работах [3-5, 10, 13] показано, что в ряде
случаев можно использовать упрощенные модели таких сред, учитывающие только одну из их осо-
бенностей, а именно нелинейную, параметрическую или стохастическую.
В рамках разработки нелинейной модели в работе [4] было показано, что одним из наилучших
приближений зависимости эквивалентного электрического сопротивления ГТПС от протекающего в
них тока является функция на основе гиперболы первой степени. В [4, 6] были приведены эквива-
лентные электрические схемы замещения данной среды, построенные на основе описанного выше
приближения и объяснен физический смысл его коэффициентов. В [4] был проведен поиск
оптимальных значений коэффициентов функции, аппроксимирующей зависимость электрического
сопротивления слоя алюминиевых гранул в водопроводной воде от протекающего в нем тока, для
апериодического разряда конденсатора на такую нагрузку с амплитудой напряжения на ней Um=155 В.
© Шидловская Н.А., Захарченко С.Н., Черкасский А.П., 2014
4 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
Такой режим был близок к оптимальному для очистки сточных вод методом плазмоэрозионной
коагуляции с помощью Al(OH)3 [4, 15]. Открытым остался вопрос о поведении коэффициентов данного
приближения в широком диапазоне изменений приложенного к нагрузке напряжения.
Целью настоящей работы является дальнейшее развитие нелинейной модели сопротивления
гранулированной токопроводящей среды в направлении повышения ее адекватности в широком диа-
пазоне приложенного напряжения.
1. Анализ эволюции форм напряжения и тока разрядных импульсов в ГТПС при регу-
лировании их амплитуд в широком диапазоне. В соответствии с методикой, описанной в [4, 15],
на той же лабораторной установке в тех же технологических режимах и с теми же параметрами
разрядного контура были сняты 11 типичных синхронных осциллограмм напряжения на слое погру-
женных в водопроводную воду гранул алюминия и тока в нем при разряде конденсатора C емкостью
50 мкФ для различных значений начального напряжения на нем. Амплитуда напряжения на нагрузке
Um регулировалась в диапазоне от 36 до 390 В, а индуктивность разрядного контура L составляла
1,8 мкГн. Алюминиевые гранулы имели квазисферическую форму радиусом r=0,002 м. Их слой имел
форму прямоугольного параллелепипеда длиной lL=0,056 м, шириной bL=0,022 м и высотой
hL=0,05 м.
На графиках рис. 1 сплошными линиями обозначены полученные в ходе экспериментов зави-
симости напряжения на нагрузке от времени u(t), а точками – тока i(t). Пунктирной линией обозна-
чены зависимости мгновенного значения эквивалентного электрического сопротивления среды от
времени, полученные как частное значений первой и второй зависимостей в каждый дискретный мо-
мент времени: ( ) ( ) ( )jjj titutR = .
t, мкс
0 10 20 30 40 50 60 70 80
R, Ом
0
1
2
3
4
5
6
u, В; i, А
0
20
40
60
80
100
120
u(t)
i(t)
R(t)
t, мкс
0 10 20 30 40 50 60 70 80
R, Ом
0
1
2
3
4
5
6
u, В; i, А
0
60
120
180
240
300
360
u(t)
i(t)
R(t)
t, мкс
0 10 20 30 40 50 60 70 80
R, Ом
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
u, В; i, А
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
u(t)
i(t)
R(t)
а б в
Рис. 1
Из-за нелинейно-параметрического характера сопротивления нагрузки формы зависимостей
от времени напряжения и тока в ней претерпевали изменения при увеличении начального напря-
жения на конденсаторе. При относительно низких значениях амплитуды напряжения на нагрузке Um
от 36 до 155 В данные зависимости были похожи на соответствующие зависимости, наблюдаемые
при апериодическом разряде конденсатора на активную линейную нагрузку (рис. 1, а Um=110 В). В
первом приближении их формы были похожи на треугольные.
При увеличении значений амплитуды напряжения на нагрузке (рис. 1, б Um=330 В) скорость
его спада после прохождения своего максимума уменьшалась по сравнению с предыдущим случаем,
а скорость спада тока, напротив, увеличивалась. Это объясняется существенным увеличением сопро-
тивления ГТПС к концу импульса, которое вызвано уменьшением числа плазменных каналов между
гранулами и степени их ионизации вследствие уменьшения приложенного напряжения как ко всему
слою, так и к одиночным плазменным каналам между гранулами. Таким образом, в диапазоне изме-
нения амплитуды напряжения Um от 155 до 350 В форма его импульса эволюционировала от квази-
треугольной к квазитрапецеидальной, а форма импульса тока – от квазитреугольной к квазипа-
раболической с неравносторонними идущими вниз ветвями (рис. 1, б Um=330 В).
Дальнейшее увеличение амплитуды напряжения на нагрузке в диапазоне от 350 до 390 В еще
более усиливало описанные выше тенденции (рис. 1, в Um=390 В). В квазитрапецеидальной форме
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 5
импульса напряжения вершина становилась более плоской и протяженность ее увеличивалась. При
значениях напряжения, близких к значениям, соответствующим квазиплоской вершине импульса
(свыше 300 В), в подавляющем большинстве последовательно соединенных контактов между грану-
лами уже сформировались плазменные каналы, на каждом из которых падает напряжение, большее,
чем пороговое, минимально необходимое для ионизации газа в таких условиях. Увеличение прило-
женного ко всему слою гранул напряжения свыше суммы минимально необходимых напряжений
ионизации газа во всех последовательно соединенных контактах компенсируется его падением на ли-
нейной составляющей сопротивления ГТПС, которая в рассмотренных условиях, как правило, не пре-
вышает 1 Ом [4, 15]. Поэтому в таких условиях ток в ГТПС увеличивался значительно, а падение на-
пряжения на них – незначительно. Форма импульса тока становилась более симметричной относи-
тельно вертикальной оси, проходящей через его максимум, все сильнее приближаясь к равносторон-
ней параболе (рис. 1, в Um=390 В). Таким образом, различия форм импульсов напряжения и тока уве-
личиваются с ростом их значений, что свидетельствует о возрастании роли нелинейности сопротив-
ления ГТПС в таких условиях.
Зависимость мгновенных значений сопротивления ГТПС от времени R(t) (рис. 1) в общем
случае содержит несколько локальных экстремумов и инфинумов. Это связано со случайным харак-
тером возникновения, эволюции и исчезновения плазменных каналов между металлическими грану-
лами, что не может быть адекватно отражено в рамках одной лишь нелинейной модели сопротивле-
ния ГТПС. Поэтому для повышения точности нелинейной модели, которая создается на основе
экспериментальных данных, следует по возможности выбирать осциллограммы с одной модой тока,
что, как правило, обеспечивает одну моду зависимости сопротивления от времени.
Значения сопротивления ГТПС в конце разрядного импульса всегда больше, чем в его начале
при одинаковых значениях тока. Это связано с эрозией приконтактных зон гранул, а также измене-
нием концентрации эрозионных частиц и продуктов плазмохимического разложения технологиче-
ской жидкости в зонах, непосредственно соприкасающихся с плазменными каналами в течение им-
пульса тока, т.е. с изменением условий образования и эволюции каналов проводимости между гра-
нулами. Данные явления могут быть учтены только в параметрических моделях сопротивления ГТПС
[3], поэтому для повышения точности нелинейных моделей одним из приемов может быть раздель-
ный анализ синхронных осциллограмм напряжения и тока на участках их возрастания и спада. Не-
смотря на все рассмотренные выше особенности сопротивления ГТПС, его нелинейные модели обла-
дают достаточной для инженерных расчетов точностью [4].
2. Определение оптимальных значений коэффициентов функции, аппроксимирующей за-
висимость электрического сопротивления ГТПС от протекающего в ней тока. Для поиска опти-
мальных значений коэффициентов аппроксимирующих функций использовались следующие критерии:
1) минимального значения относительного стандартного отклонения оценки эксперименталь-
ных и приближенных значений [12]
[ ][ ] [ ] [ ][ ] ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⋅== ∑∑
==
N
j
j
N
j
AjAA xxxNxMxxxx
j
11
2min,min,min συ , (1)
где xj – полученные экспериментально значения величины x;
jAx – полученные в результате аппрок-
симации значения величины x; [ ], Ax xσ – среднеквадратичное отклонение экспериментальных и при-
ближенных значений величины x; [ ]M x – математическое ожидание экспериментальных значений
величины x во всем массиве данных; N – количество значений величины x в рассматриваемом
массиве.
2) минимального значения средней в рассматриваемом массиве суммы модулей относитель-
ных погрешностей экспериментального и приближенного значений величины x
[ ][ ] ( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −= ∑
=
N
j
jAjA xxx
N
xx
j
1
1min,min δ ; (2)
3) минимального значения интегрального критерия качества аппроксимации 2β
[ ][ ] [ ] [ ]( )[ ]2,,min,min 2 AAA xxxxxx δυβ += ; (3)
4) минимального значения интегрального критерия качества аппроксимации 3β [4]
6 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
[ ][ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]3,,,min,min 3 AAAA xxxxxxxx δδυβ ++= , (4)
где [ ] ( )( )
1
1,
j
N
A j A j
j
x x x x x
N =
δ = −∑ – средняя сумма относительных погрешностей экспериментального
и приближенного значений величины x для N значений массива.
Использование каждого из перечисленных выше критериев поиска оптимальных значений
коэффициентов аппроксимирующих функций (1) – (4) имеет как преимущества, так и недостатки. Так
использование критерия (1) обеспечивает малую среднюю абсолютную разницу экспериментальных
и приближенных значений. Однако, если разница между данными, полученными в ходе эксперимента
и в результате их аппроксимации, хотя бы в одной точке, имеющей большое значение функции, вели-
ка, это существенным образом влияет на определение величины коэффициентов аппроксимирующей
функции, приводя к большим погрешностям аппроксимации на других участках. Данный критерий
обеспечивает хорошее совпадение истинных и приближенных результатов на участках с большими
значениями функции и посредственное − на участках с малыми.
Применение критерия (2) позволяет добиться значительно лучшего совпадения данных экспе-
риментов и их аппроксимации на участках функции с малыми значениями, однако ухудшает его
вблизи локальных экстремумов. Использование интегральных критериев [ ][ ]Axx,min 2β (3) и
[ ][ ]Axx,min 3β (4) позволяет добиться компромисса между результатами, полученными с применени-
ем критериев (1) и (2) и обеспечивает наилучшее совпадение данных, полученных в ходе экспери-
мента и в результате их аппроксимации во всем диапазоне изменения аргумента. Входящая в кри-
терий (4) средняя сумма относительных погрешностей экспериментального и приближенного значе-
ний, характеризует наличие, величину и знак аддитивной погрешности аппроксимации. Если аппрок-
симация выполнена корректно, данное слагаемое критерия [ ][ ]Axx,min 3β (4) стремится к нулю и
критерий [ ][ ]Axx,min 3β (4) вырождается в критерий [ ][ ]Axx,min 2β (3), который является его част-
ным случаем.
Для нахождения оптимальных значений коэффициентов аппроксимирующих функций по
каждому из критериев (1)–(4) использовался модуль Solver программного пакета Excel. При этом ко-
личество экспериментальных точек, определяющее количество уравнений системы для поиска зна-
чений коэффициентов аппроксимирующей функции, составляло несколько десятков, что значительно
превышает количество коэффициентов аппроксимирующих функций. Иными словами, при таком
подходе возможно бесконечное количество комбинаций значений коэффициентов аппроксимирую-
щей функции, которые обеспечивают хорошее совпадение данных эксперимента и их математиче-
ского приближения в исследуемом диапазоне. В таком случае сложно анализировать поведение ко-
эффициентов аппроксимирующей функции при изменении аргумента в широких пределах.
Для выхода из данной ситуации использовался следующий подход. Во-первых, были найдены
нулевые приближения значений коэффициентов функции в результате решения системы уравнений,
составленных для характерных точек исследуемых зависимостей (границы диапазона, локальные экс-
тремумы и инфинумы), число которых было равно числу искомых коэффициентов. Во-вторых, в со-
ответствии с физическим смыслом искомых коэффициентов были наложены ограничения на диапа-
зон изменения их значений, а значения некоторых из них были рассчитаны на основании данных, по-
лученных экспериментально, и анализа литературных источников.
Для аппроксимации зависимости эквивалентного электрического сопротивления ГТПС от проте-
кающего в них тока использовалась предложенная в [4] функция на основе гиперболы первой степени
( ) ( ) ( )FF RiERiERRiR +++= −− 1
11
1
11 , (5)
где 1E – коэффициент аппроксимирующей функции, имеющий физический смысл напряжения ис-
точника противо-ЭДС в эквивалентной электрической E-R-схеме замещения слоя металлических гра-
нул с плазменными каналами между ними [4], В; 1R – коэффициент аппроксимирующей функции,
имеющий физический смысл линейной составляющей сопротивления слоя гранул, включенной по-
следовательно с источником 1E в эквивалентной E-R-схеме замещения, Ом; FR – коэффициент ап-
проксимирующей функции, имеющий физический смысл сопротивления технологической жидкости,
окружающей гранулы как составляющей сопротивления ГТПС, которое соединено параллельно с
цепочкой E1-R1 в эквивалентной схеме замещения, Ом.
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 7
В соответствии с изложенным выше подходом, для определения оптимальных значений коэф-
фициентов аппроксимирующей функции (5) использовались следующие гипотезы.
Гипотеза №1. Значения коэффициента E1 формулы (5) ограничивались в диапазоне от мини-
мального теоретически возможного значения напряжения возникновения плазменного канала в сис-
теме алюминиевый анод – вода – пузырек водорода – катод E1min=15,24 В, определяемого как сумма
потенциала ионизации атома водорода 13,54 В и электродного потенциала Al|Al3+, равного 1,7 В [11],
до амплитудного значения напряжения импульса Um. Дополнительно накладывалось условие, что
значение E1 для более высокой амплитуды напряжения не может быть меньше, чем значение E1 для
более низкой амплитуды. Значения коэффициента R1 формулы (5), исходя из анализа данных [15],
ограничивались в диапазоне от 0,1 до 45 Ом.
Сопротивление RF в формуле (5) рассчитывалось со следующими упрощениями. Во-первых,
полагалось, что в течение одного импульса удельное электрическое сопротивление воды Fρ остава-
лось постоянным и рассчитывалось для каждого значения Um по данным [7]. Во-вторых, при опреде-
лении сопротивления воды в рамках данной гипотезы №1 RFГ1 вместо сложной формы пространства
между гранулами, заполненного водой [6], упрощенно считалось, что она заполняет объем прямо-
угольного параллелепипеда с расстоянием между плоскими электродами lE=lL=0,056 м, их шириной
bE=bL=0,022 м и высотой hE=0,078 м. При таких упрощениях имеем: ( ) ( )1FГ m F m E E ER U U l b h≈ ρ ⋅ ⋅ .
Гипотеза №2. Нижняя граница E1, как и в гипотезе №1, устанавливалась на уровне E1min=
=15,24 В. Верхняя граница E1 изменялась ступенчато на 15,24 В при каждом увеличении амплитуды
напряжения импульсов на 50 В от опыта к опыту, начиная с минимальной, при которой возникали
плазменные каналы между гранулами (40 В) [15]. Иными словами, на основании данных [15] счи-
талось, что каждое увеличение амплитуды напряжения на 50 В гарантированно приводит к возникно-
вению в цепи последовательно соединенных гранул еще одного плазменного канала, на котором па-
дает напряжение 15,24 В, и такой механизм работает, пока между всеми последовательно соединен-
ными гранулами в их слое не возникнут плазменные каналы. На параметр R1 накладывались те же ог-
раничения, и RF вычислялось так же, как и в гипотезе №1.
Гипотеза №3. На параметр R1 и нижнюю границу E1 накладывались те же ограничения, и RF
вычислялось так же, как и в гипотезе №1. Верхняя граница E1 изменялась ступенчато на 15,24 В при
каждом последующем увеличении амплитуды напряжения, если оно составляло более 15,24 В.
Гипотеза №4. На параметры R1 и E1 накладывались те же ограничения, что и в гипотезе №3.
При расчете RF, во-первых, учитывалась зависимость Fρ от мгновенных значений напряжения на
электродах u , полученная как аппроксимация данных [7] функцией
( ) Fa
FFF uu 10 ρρρ += , (6)
где 0Fρ – коэффициент аппроксимирующей функции, имеющий физический смысл удельного сопротив-
ления при больших значениях приложенного напряжения, но не приводящих к пробою или испарению
жидкости, Ом·м; 1Fρ – коэффициент аппроксимирующей функции, имеющий физический смысл прирос-
та удельного электрического сопротивления при напряжении 1 В по сравнению с его значением при
высоких напряжениях, Ом м Fa В⋅ ⋅ ; Fα – коэффициент аппроксимирующей функции.
Значения коэффициентов данной функции, найденные по критерию 2β (3), составили:
0Fρ =25,32 Ом·м; 1Fρ =14,79 Ом м Fa В⋅ ⋅ ; Fα =0,7189. При этом средняя сумма модулей относитель-
ных погрешностей экспериментального и приближенного значений (2) не превысила 1,1%.
Во-вторых, учитывалась форма заполненного водой пространства между электродами и меж-
ду гранулами [6]. Для этого все пространство, заполненное водой, было разбито на две части. Первая
часть пространства между электродами поверх слоя гранул представляла собой прямоугольный па-
раллелепипед, и сопротивление заполняющей его воды вычислялось аналогично, как в гипотезе №1
( ) ( ) ( )LEEEFFL hhbluuR −⋅⋅= ρ1 . (7)
Вторая часть пространства состояла из [ ]S Lm Int l r= соединенных последовательно вдоль
направления тока и [ ] [ ]2 2P L Ln Int b r Int h r= ⋅ соединенных параллельно элементарных объемов во-
ды, окружающей полусферу металлической гранулы, каждый из которых, согласно допущениям, при-
нятым в [6], был ограничен боковыми поверхностями коаксиальных цилиндров, с одного торца – по-
8 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
верхностью полусферы с отсутствующим эрозионным сегментом с радиусом основания r1 и высотой
h, а с другого – плоскостью [6]. Радиус внешнего цилиндра равен радиусу гранулы r, а радиус внут-
реннего – радиусу основания эрозионного сегмента r1. Сопротивление элементарного объема жидкос-
ти такой формы, согласно [6], может быть рассчитано по формуле
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+= 1ln22 r
h
h
rruR FSFL πρ .
(8)
На практике высоту эрозионного сегмента измерить сложно. Для этого необходимо сделать
шлиф гранулы в плоскости, перпендикулярной основному направлению тока в эрозионной лунке, одна-
ко высоту эрозионного сегмента легко рассчитать, зная радиус его основания и радиус гранулы [6]
2
1
2 rrrh −−= . (9)
Для каждого из девяти исследованных режимов плазмоэрозионной обработки поверхности
алюминиевых гранул, которые отличались амплитудой напряжения импульсов, в описанных выше
условиях [4, 15] под оптическим микроскопом были определены диаметры пяти эрозионных лунок.
По этим данным на рис. 2 точками представлена экспериментальная зависимость среднего по пяти
значениям размера радиуса основания эрозионных сегментов от амплитуды напряжения разрядных
импульсов. В первом приближении данная зависимость может быть аппроксимирована линейной
функцией mr Ukr ⋅≈1 (сплошная линия на рис. 2). При этом диапазон амплитуд напряжений им-
пульсов, при которых не возникают плазменные каналы (в нашем случае до 40 В), лежит вне области
допустимых значений аргумента указанной функции. Значение эмпирического коэффициента rk ,
найденное по критерию [ ]2 1 1min , Ar r⎡ ⎤⎣ ⎦β (3), в данном конкретном случае составило 62,051 10−⋅ м/В.
Штриховой линией на рис. 2 показана рассчитанная на основании данной аппроксимации с учетом
(9) зависимость высоты эрозионного сегмента от амплитуды напряжения импульсов.
С учетом (6), (8), (9) и сказанного выше, сопротивление воды, находящейся в пространстве
между гранулами RFL2, определяется по формуле
( )
[ ] ( )
[ ] [ ] ( )( ) ( )
0 1
2
2 2
,
2 2 2 ln 1 1 1
Fa
L F F
FL m
L L r m r m
Int l r u
R u U
Int b r Int h r r k U r k U r
− ⋅ ρ + ρ
=
⎡ ⎤⋅ ⋅ π − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
.
(10)
Данная зависимость при описанных выше значениях параметров на рис. 3 показана точками.
В общем случае она является нелинейно-параметрической, поскольку размер h зависит не только от
величины приложенного напряжения, но и от времени его действия, т.е. от энергии, выделенной в
приконтактной зоне гранулы, которая приводит к образованию на ее поверхности эрозионной лунки.
Однако в случае одинаковой длительности импульсов напряжения и тока при их неизменной форме с
некоторыми допущениями можно полагать, что размеры эрозионной лунки, определяющие размер
эквивалентного эрозионного сегмента, зависят только от приложенного напряжения. Тогда зави-
симость (10) можно свести к нелинейной.
Штриховой линией на рис. 3 пред-
ставлена зависимость от мгновен-
ного значения напряжения сопро-
тивления воды, находящейся над
слоем гранул RFL1, рассчитанная по
(7) с учетом (6), а сплошной линией
– зависимость от приложенного на-
пряжения эквивалентного сопро-
тивления обеих соединенных парал-
лельно частей пространства, запол-
ненного водой: ( )4FГR u =
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2FL FL FL FLR u R u R u R u= + .
Заметим, что данное выражение
справедливо для импульсов с амплитудой напряжения от 40 В, при которых возникают сквозные ка-
налы проводимости между гранулами от электрода к электроду. В противном случае общее сопро-
h, мкм
Um, В
0 50 100 150 200 250 300 350 400
r1, мм
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
h
r1
u, В
0 50 100 150 200 250 300 350 400
RFL1, Ом
2300
2325
2350
2375
2400
2425
2450
RFГ4, Ом; RFL2, Ом
100
150
200
250
300
350
RFL2(u,Um)
RFL1(u)
RFГ4(u,Um)
Рис. 2 Рис. 3
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 9
тивление всей жидкости определяется из (7). Рассчитанные по (10) значения сопротивления всей жид-
кости при амплитуде напряжения импульсов до 40 В на порядок меньше значений, рассчитанных по
(7). При этом, по сравнению с использованием (7) для данного диапазона амплитуд напряжений зна-
чение средней для всего импульса суммы модулей относительных погрешностей экспериментального и
приближенного значений эквивалентного сопротивления ГТПС , AR R⎡ ⎤⎣ ⎦δ (2) возрастает на 2%.
Как видно из рис. 3, сопротивление RFL2 увеличивается с ростом напряжения, кроме того, оно
на порядок меньше, чем RFL1, поэтому является определяющим при их параллельном соединении. Вот
почему сопротивление всего слоя воды увеличивается с ростом напряжения, в то время как ее удель-
ное сопротивление падает. Учет формы заполненного водой пространства между гранулами RFL2 в
данной гипотезе определяет значения общего сопротивления жидкости RFГ4, которые в 2–3 раза ниже,
рассчитанных в рамках предыдущих гипотез, что очень существенно при расчете электрохимиче-
ского действия тока импульсов.
Гипотеза №5. При определении параметров E1, R1 и RF применялись те же методики, огра-
ничения и допущения, что и в гипотезе №4, но в качестве исходных данных использовались только те
значения напряжения на нагрузке и тока в ней, которые соответствовали заднему фронту тока им-
пульса рис. 1.
Зависимости мгновенных значений сопротивления ГТПС от мгновенных значений протекаю-
щего в них тока R(i), построенные по результатам эксперимента рис. 1 для трех импульсов с ампли-
тудами напряжения Um=110 В (рис. 4, а), 330 В (рис. 4, б) и 390 В (рис. 4, в), показаны полыми
треугольниками. Заметим, что зависимости мгновенных значений сопротивления ГТПС от мгновен-
ных значений приложенного к ним напряжения R(u) имеют вид, подобный рис. 4, поэтому здесь не
приводятся. Аппроксимации зависимостей R(i) функцией (5), значения коэффициентов которой най-
дены по критерию 2β (3) для гипотезы №1, показаны на рис. 4 точками, а для гипотезы №5 –
сплошными линиями.
Как показала практика, использование критериев [ ]2min , AR R⎡ ⎤⎣ ⎦β (3) и [ ]3min , AR R⎡ ⎤⎣ ⎦β (4) для
поиска оптимальных значений коэффициентов аппроксимирующей функции (5) обеспечивало наи-
лучшее качество аппроксимации во всем исследованном диапазоне изменения аргумента. Кроме того,
значения коэффициентов, найденные по этим критериям, отличались между собой только на не-
сколько процентов. Поскольку применение критерия [ ]2min , Ax x⎡ ⎤⎣ ⎦β (3) требует меньшего объема
вычислений, чем [ ]3min , Ax x⎡ ⎤⎣ ⎦β (4) и позволяет сократить число итераций при использовании моду-
ля Solver, данный критерий был принят основным во всех вычислениях.
0 25 50 75 100
R, Ом
0
1
2
3
4
5
6
i, А
0 50 100 150 200 250 300 350
R, Ом
0
1
2
3
4
5
6
i, А
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
R, Ом
0
1
2
3
4
5
6
i, А
а б в
Рис. 4
При построении графиков рис. 5 а, б, в использовались соответственно гипотезы №1, №3 и
№5 поиска оптимальных значений коэффициентов аппроксимирующей зависимость мгновенного со-
противления ГТПС от протекающего в них тока функции (5). Штрих-пунктирной линией на рис. 5, а
10 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
показана зависимость от амплитуды напряжения значений средних для каждого импульса сумм мо-
дулей относительных погрешностей экспериментального и приближенного значений мгновенного
сопротивления ГТПС, найденных согласно (2), для случая, когда коэффициенты (5) не подбирались
отдельно для каждого импульса, а были оптимальными для импульса с амплитудой напряжения
155 В [ ]
BARR
155
,δ . Значения коэффициентов (5) были рассчитаны в [4] по критерию (2).
Очевидно, что минимальное значение средней суммы модулей относительных погрешностей
экспериментального и приближенного значений сопротивления ГТПС этой зависимости будет на-
блюдаться при значении амплитуды напряжения 155 В, для которого и были рассчитаны оптималь-
ные значения коэффициентов (5). С увеличением отклонения амплитуды напряжения от значения
155 В как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, данная погрешность растет, что осо-
бенно заметно при напряжениях менее 100 В (65% от 155 В) и более 320 В (206% от 155 В), где она
превышает допустимое для оценочных расчетов значение. Данный факт обуславливает необходи-
мость исследования зависимости оптимальных значений коэффициентов аппроксимирующей функ-
ции (5) от амплитуды напряжения импульсов, что существенно повышает адекватность нелинейной
модели таких сред.
Исключением является точка, соответствующая амплитуде напряжения импульсов 36 В, при
которой не возникает плазменных каналов между гранулами. В этом случае напряжение импульса
уравновешивается напряжением источника противо-ЭДС в эквивалентной E-R-схеме замещения [4].
При данных параметрах импульса значение амплитуды его напряжения оказалось близким к значе-
нию коэффициента E1 функции (5), оптимальному для амплитуды напряжения импульсов 155 В. Это
обусловило низкую погрешность при рассматриваемой амплитуде напряжения.
Сплошными линиями на рис. 5 показаны зависимости от амплитуды напряжения средних для
каждого импульса сумм модулей относительных погрешностей экспериментального и приближен-
ного (5) значений сопротивления ГТПС [ ]ARR,δ , найденных согласно (2). В данном случае для каж-
дого из исследованных n=11 импульсов были найдены свои оптимальные значения коэффициентов
аппроксимирующей функции (5) по критерию (2).
Точками на рис. 5 показаны зависимости от амплитуды напряжения для каждого импульса
параметра невязки [ ]2 , AR Rβ (3) аппроксимаций функцией (5) значений мгновенного сопротивления
ГТПС. В данном случае для каждого из исследованных n=11 импульсов были найдены свои опти-
мальные значения коэффициентов аппроксимирующей функции (5) по критерию (3). Как следует из
рис. 5, с увеличением точности расчета коэффициентов аппроксимирующей функции (5), что в данном
конкретном случае соответствует увеличению номера предложенных гипотез, значения параметров
невязки аппроксимации зависимости сопротивления ГТПС от протекающего в них тока уменьшаются.
Um, В
0 100 200 300 400
0
50
100
150
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
[ ],%, ARRδ
[ ]
BARR
155
,δ
[ ]ARR,δ
β2 [R, RA]
β2 [R, RA]
Um, В
0 100 200 300 400
0
5
10
15
20
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
[ ],%, ARRδ
[ ]ARR,δ
β2 [R, RA]
β2 [R, RA]
Um, В
0 100 200 300 400
0
5
10
15
20
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
[ ],%, ARRδ β2 [R, RA]
β2 [R, RA]
[ ]ARR,δ
а б в
Рис. 5
С целью сравнительного анализа эффективности гипотез и критериев поиска оптимальных
значений коэффициентов аппроксимирующей зависимость R(i) функции (5) были рассчитаны сред-
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 11
ние арифметические значения параметров невязки аппроксимации всех n=11 исследованных им-
пульсов с различными значениями амплитуды напряжения Um: [ ] [ ] nRRRR
n
j
UmjAA ∑
=
=
1
,, υυ ,
[ ] [ ] nRRRR
n
j
UmjAA ∑
=
=
1
,, δδ и [ ] [ ] nRRRR
n
j
UmjAA ∑
=
=
1
22 ,, ββ , (табл. 1).
Таблица 1
Критерии поиска оптимальных значений коэффициентов аппроксимирующих функций
[ ][ ]ARR,min υ [ ][ ]ARR,min δ [ ][ ]ARR,min 2β
Средние арифметические значения параметров невязки аппроксимации
Гипотеза
[ ]ARR,υ [ ]ARR,δ , % 2β [ ]ARR,υ [ ]ARR,δ , %
2β [ ]ARR,υ [ ]ARR,δ , %
2β
№1 0,684 9,009 1,060 0,891 8,034 1,099 0,813 8,711 0,923
№2 0,637 18,974 2,539 0,670 13,288 1,033 0,645 13,428 1,028
№3 0,383 12,983 1,234 0,576 8,835 1,116 0,412 8,763 0,995
№4 0,361 11,983 1,264 0,414 7,898 1,112 0,364 8,265 1,023
№5 0,304 11,594 1,304 0,355 6,852 1,124 0,326 7,069 1,047
Как следует из данных рис. 4, рис. 5 и табл. 1, по мере перехода от гипотезы №1 с наименее
строгими ограничениями диапазона изменения коэффициентов (5) к другим, в которых данный диа-
пазон сужается и повышается точность расчета коэффициентов (5) с увеличением порядкового номе-
ра гипотезы, значения всех трех показателей невязки аппроксимации, как правило, уменьшаются. Это
особенно заметно при использовании соответствующих параметрам невязки критериев нахождения
оптимальных значений коэффициентов аппроксимирующей функции (5).
Исключением является гипотеза №2. Установленный в гипотезе №2 порог напряжения воз-
никновения очередного плазменного канала в цепи последовательно соединенных гранул величиной
50 В, исходя из условия его гарантированного возникновения, оказался явно завышен. Этот недоста-
ток был устранен в последующих гипотезах, что повысило качество аппроксимации. Использование
гипотезы №5 по сравнению с гипотезами №1 и №3 (рис. 5) позволяет существенно уменьшить сред-
нюю для всего импульса сумму модулей относительных погрешностей экспериментального и при-
ближенного значений эквивалентного сопротивления ГТПС при амплитудах напряжения до 300 В.
При более высоких значениях амплитуд напряжения импульсов сильнее проявляется параметриче-
ский характер нагрузки, и уточнение ее нелинейной модели не приводит к существенному умень-
шению погрешностей аппроксимации. Кроме того, в рассматриваемом конкретном случае импульсы
тока, соответствующие импульсам напряжения с амплитудой от 300 до 350 В, содержали ярко выра-
женную вторую моду, вызванную стохастическими переключениями каналов проводимости между
гранулами.
Как показали расчеты, в рамках каждого отдельно взятого импульса наибольшая чувстви-
тельность параметров невязки аппроксимации наблюдалась к изменениям коэффициента E1 функции
(5), а наименьшая – к изменениям RF. Поэтому основное внимание при аппроксимации зависимости
R(i) формулой (5) следует уделять поиску оптимальных значений коэффициента E1, а коэффициент
RF может быть вообще предварительно рассчитан по формуле (10) для каждого значения напряжения.
Как следует из рис. 4, в рамках каждого отдельно взятого импульса влияние гипотезы определения
оптимальных значений коэффициентов аппроксимирующей функции на качество аппроксимации не-
значительно: кривые, построенные с использованием гипотезы №1 (обозначены точками), практиче-
ски совпадают с кривыми, построенными с использованием гипотезы №5 (обозначены сплошными
линиями). Кривые, построенные с использованием гипотез №2–№4, практически совпадали с опи-
санными выше кривыми, поэтому на рис. 4 не приводятся.
3. Влияние амплитуды напряжения импульсов на величину коэффициентов функции,
аппроксимирующей сопротивление ГТПС от протекающего в них тока. На рис. 6, а, б, в, с ис-
пользованием гипотез №1, №3 и №5 соответственно полыми кружками показаны зависимости
импульсов оптимальных значений коэффициента E1 от амплитуды напряжения, а полыми треуголь-
никами – коэффициента R1 формулы (5), которые найдены для каждого импульса по критерию
12 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
[ ]2min , AR R⎡ ⎤⎣ ⎦β (3). Из анализа данных зависимостей следует, что описанные выше гипотезы имеют
существенное влияние на удобство и точность аппроксимации данных зависимостей аналитическими
функциями.
Во-первых, с увеличением номера гипотезы уменьшаются отклонения значений коэффициен-
тов функции (5) в соседних точках от их среднего арифметического значения (рис. 6), что снижает
сложность аппроксимирующих зависимости E1(Um) и R1(Um) функций и значения параметров невязки
такой аппроксимации. Из рис. 6 видно, что с увеличением номера гипотезы зависимость E1(Um) в ис-
следованном диапазоне приобретает все более выраженный линейный характер. Электрофизические
явления, возникающие в слое металлических гранул при протекании в нем импульсного электриче-
ского тока, определяющие такой характер данной зависимости в исследованном диапазоне изменения
аргумента, описаны выше. Во-вторых, с увеличением номера гипотезы уменьшаются средние значе-
ния параметров невязки аппроксимации зависимости R(i) во всем диапазоне изменения напряжения
импульсов (табл. 1).
Как следует из рис. 6, зависимость R1(Um) имеет вид, подобный зависимости среднего за вре-
мя импульса эквивалентного сопротивления слоя алюминиевых гранул от амплитуды его напряже-
ния, подробно описанной в [15] с ярко выраженным супренумом при значении аргумента 250 В. Оче-
видно, что рассматриваемая зависимость, также как и зависимость, описанная в [15], имеет три харак-
терных участка. На первом участке (40 В <Um< 250 В) она монотонно возрастает, что объясняется
преобладанием тенденций возникновения последовательно включенных плазменных каналов между
металлическими гранулами, а также увеличения их длины над тенденциями увеличения числа парал-
лельно соединенных плазменных каналов, их расширения и повышения степени ионизации.
На втором участке (250 В <Um< 350 В) исследуемая зависимость монотонно убывает. На нем
преобладают тенденции увеличения числа параллельно соединенных плазменных каналов, их расши-
рения и повышения степени ионизации над тенденциями возникновения последовательно включен-
ных плазменных каналов между металлическими гранулами, а также увеличения их длины.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
R1, Ом
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0
50
100
150
200
250
Um, В
E1, В
E1A1
E1A2
R1A1
R1A2
Um, В
E1, В
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
R1, Ом
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0
50
100
150
200
250
E1A1
E1A2
R1A1
R1A2
Um, В
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0
50
100
150
200
250
E1A1
E1A2
R1A1
R1A2
R1, Ом E1, В
а б в
Рис. 6
На третьем участке (350 В <Um< 390 В) скорость убывания исследуемой зависимости умень-
шается. К сожалению, аппаратные ограничения диапазона исследований не позволили в полной мере
изучить ее поведение на третьем участке. Однако тот факт что R1 не может принимать отрицатель-
ные значения (ГТПС является потребителем, а не генератором электрической энергии), а также ис-
следованный в [15] вид зависимости среднего за время импульса сопротивления ГТПС от ампли-
туды напряжения импульсов позволяют предположить, что на данном участке наблюдается насыще-
ние функции R1(Um) при дальнейшем увеличении аргумента. На данном участке описанные выше
противоборствующие тенденции компенсируют друг друга, и значения функции слабо зависят от
значений аргумента.
На рис. 6 сплошными линиями показаны аппроксимации зависимостей E1(Um) линейной
функцией
( ) mEmA UaUE ⋅= 1111 , (11)
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 13
штрих-пунктирными линиями − аппроксимации зависимостей E1(Um) комбинацией линейной и экс-
поненциальной функций:
( ) [ ]mEEmEmA UaaUaUE ⋅⋅+⋅= 23222121 exp . (12)
Здесь 11Ea , 21Ea , 22Ea , 23Ea – коэффициенты аппроксимирующих функций.
В табл. 2 и табл. 3 приведены значения коэффициентов аппроксимации зависимостей E1(Um)
формулами (11), (12) и R1(Um) формулами (13) и (14) соответственно, а также средние арифме-
тические значения сумм модулей относительных погрешностей их приближения 1 1, AE E⎡ ⎤⎣ ⎦δ и
1 1, AR R⎡ ⎤⎣ ⎦δ для гипотез №1, №3 и №5 по трем критериям. Как видно из рис. 6 и табл. 2, при больших
значениях аргумента функция (12) обеспечивает лучшее совпадение экспериментальных и аппрок-
симированных значений по сравнению с функцией (11). Это особенно заметно при использовании
гипотез №1 (рис. 6, а) и №3 (рис. 6, б), где наблюдается резкое возрастание исследуемой функции
вблизи верхней границы изменения аргумента. В остальном диапазоне изменения аргумента, а также
при использовании гипотезы №5 обе функции (11) и (12) обеспечивают достаточную для инже-
нерных расчетов точность аппроксимации, поэтому может быть использована менее сложная функ-
ция (11).
Штриховыми линиями на рис. 6 показаны аппроксимации зависимостей R1(Um) суммой экспо-
ненциальных функций
( ) [ ] [ ]1 1 11 12 13 14 15exp exp ,A m R R R m R m RR U a a a U a U a= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − (13)
а точками − аппроксимации зависимостей R1(Um) суммой экспоненциальных и линейной функций
( ) ( ) [ ] [ ]2726252423222121 expexp RmRRmRRmRRmA aUaaUaaUaaUR −⋅+−⋅⋅−⋅−= , (14)
где 11Ra – 16Ra , 21Ra – 27Ra – коэффициенты аппроксимирующих функций.
Таблица 2
Как следует из данных табл. 2 и
табл. 3, использование критериев
1 1min , AE E⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦δ и 1 1min , AR R⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦δ (2)
поиска оптимальных значений коэффици-
ентов приближений E1(Um) и R1(Um) соот-
ветственно обеспечивает наименьшее
среднее арифметическое сумм модулей
относительных погрешностей их аппрок-
симаций. Применение критериев
[ ]2 1 1min , AE E⎡ ⎤⎣ ⎦β и [ ]2 1 1min , AR R⎡ ⎤⎣ ⎦β (3)
позволяет получить результаты, которые
незначительно отличаются от результатов,
полученных с использованием критериев
(2). Использование критериев
[ ][ ]AEE 11,min υ и [ ][ ]ARR 11,min υ (1)
приводит к самым большим значениям
ука-занных погрешностей.
Использование более точной фор-
мулы (12) аппроксимации зависимости
E1(Um) вместо (11) позволяет уменьшить
указанную выше погрешность при использовании гипотезы №5 до 1,7 раз, и до 1,2 раза − при
21Ea 22Ea 23Ea Гипо-
теза Критерий
11Ea – –
[ ]AEE 11,δ ,
%
0,404 1,22E-75 0,451 23,848 [ ][ ]AEE 11,min υ
0,423 – – 25,417
0,425 1,22E-35 0,216 21,761 [ ][ ]AEE 11,min δ
0,437 – – 23,333
0,410 3,91E-45 0,272 21,022
№1
[ ][ ]AEE 112 ,min β
0,414 – – 22,565
0,354 7,68E-27 0,163 15,424 [ ][ ]AEE 11,min υ
0,374 14,296
0,401 1,22E-35 0,214 9,669 [ ][ ]AEE 11,min δ
0,400 – – 10,519
0,396 1,30E-35 0,214 10,285
№3
[ ][ ]AEE 112 ,min β
0,395 – – 11,242
0,126 16,212 0,005 11,094 [ ][ ]AEE 11,min υ
0,396 – – 13,228
0,251 11,032 0,004 5,890 [ ][ ]AEE 11,min δ
0,406 – – 9,593
0,237 10,853 0,005 5,833
№5
[ ][ ]AEE 112 ,min β
0,406 – – 9,125
14 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
использовании гипотезы №3, кроме случая с применением критерия [ ][ ]AEE 11,min υ . Использование
более точной формулы (14) аппроксимации зависимости R1(Um) вместо (13) позволяет уменьшить
данную погрешность до 1,3 раза для гипотезы №3 с критерием [ ][ ]ARR 11,min υ и увели-чивает до 1,3
раза − для гипотезы №5 с критерием [ ][ ]ARR 112 ,min β .
Как видно из рис. 6 и табл. 3, функция (13) обеспечивает наилучшее совпадение экспери-
ментальных и аппроксимированных значений при малых и средних значениях аргумента в иссле-
дованном диапазоне. При больших значениях аргумента лучшее совпадение экспериментальных и
аппроксимированных значений обеспечивает функция (14). Точность аппроксимации обеими функ-
циями (13) и (14) возрастает с увеличением номера гипотезы.
Таблица 3
21Ra 22Ra 23Ra 24Ra 25Ra 26Ra 27Ra Гипо-
теза Критерий
11Ra 12Ra 13Ra 14Ra 15Ra – –
[ ]ARR 11,δ ,
%
0,259 0,032 8,246 0,017 4,342 0,026 6,424 41,258 [ ][ ]ARR 11,min υ
12,537 12,393 0,001 0,008 1,791 – – 48,141
6,31E-12 0,038 12,776 0,011 3,548 0,032 10,902 41,251 [ ][ ]ARR 11,min δ
2,649 2,754 0,010 0,004 0,708 – – 33,236
6,31E-12 0,041 14,395 0,011 3,721 0,043 15,698 35,240
№1
[ ][ ]ARR 112 ,min β
5,968 5,959 0,002 0,008 1,877 – – 36,192
1,45E-08 0,032 9,112 0,011 3,027 0,019 5,116 15,552 [ ][ ]ARR 11,min υ
12,272 11,800 0,001 0,007 1,261 – – 20,863
6,31E-12 0,038 12,779 0,011 3,549 0,032 10,9 12,776 [ ][ ]ARR 11,min δ
8,807 8,460 0,001 0,007 1,556 – – 14,035
6,31E-12 0,028 9,980 0,009 3,214 0,031 11,796 16,071
№3
[ ][ ]ARR 112 ,min β
4,552 4,268 0,003 0,006 1,507 – – 15,227
1,45E-08 0,038 10,193 0,013 3,448 0,021 5,308 37,343 [ ][ ]ARR 11,min υ
4,540 4,748 0,004 0,007 1,677 – – 37,819
6,31E-12 0,038 12,779 0,011 3,549 0,032 10,9 19,776 [ ][ ]ARR 11,min δ
3,573 3,242 0,008 0,004 0,217 – – 14,269
6,31E-12 0,038 12,779 0,011 3,549 0,032 10,9 28,450
№5
[ ][ ]ARR 112 ,min β
3,573 3,242 0,008 0,004 0,217 – – 19,899
Таким образом, гипотеза №5 по сравнению с гипотезой №3 позволяет значительно уменьшить
погрешность аппроксимации E1(Um) линейной функцией (11) и функцией (12), линейная составля-
ющая которой значительно превосходит экспоненциальную, однако при этом возрастает погрешность
аппроксимации R1(Um) функциями (13) и (14). Иными словами, уменьшение погрешности линеари-
зации E1(Um) в рамках гипотезы №5 увеличивает погрешность аппроксимации R1(Um) аналити-
ческими функциями.
Выводы.
1. Впервые создана нелинейно-параметрическая модель сопротивления ГТПС, адек-ватная в
широком диапазоне изменения напряжения разрядных импульсов (от 23% до 250% номи-нального
значения), как при низких значениях, не приводящих к возникновению плазменных каналов между
гранулами (до 36 В), так и при высоких, обеспечивающих развитые искровые каналы между всеми
гранулами слоя (свыше 390 В).
2. Несмотря на сложный нелинейно-параметрический характер сопротивления ГТПС, которое
к тому же подвержено стохастическим изменениям, его нелинейная модель без учета параметри-
ческих и стохастических изменений обеспечивает достаточную для оценочных расчетов точность в
диапазоне изменения амплитуды напряжения импульсов от 65% до 206% номинального значения в
рассмотренных случаях. С повышением амплитуды напряжения (в нашем случае выше 320 В) ярче
проявляется параметрический характер сопротивления ГТПС, о чем свидетельствуют увеличение
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 15
значений его параметров невязки, а также увеличение разности сопротивлений при одних и тех же
значениях тока, соответствующих переднему и заднему фронтам его импульса.
3. Увеличение амплитуды импульсов напряжения на ГТПС из-за электрофизических свойств
данных сред приводит к снижению скорости его спада после прохождения своего максимума и уве-
личению скорости спада тока на его заднем фронте. Как следствие, формы импульсов напряжения и
тока эволюционируют от квазитреугольных при низких значениях их амплитуд до квазитрапецеи-
дальной для напряжения, и квазипараболической для тока при высоких значениях их амплитуд.
4. Ограничение диапазонов изменения значений коэффициентов функций, аппроксимирую-
щих зависимости сопротивления ГТПС, основанное на особенностях электрофизических процессов, а
также предварительный аналитический расчет некоторых из них позволяют снизить значения пара-
метров невязки аппроксимаций.
5. Зависимость напряжения источника противо-ЭДС E1 в эквивалентной E-R-схеме замещения
сопротивления ГТПС от амплитуды напряжения импульсов с достаточной точностью описывается
линейной функцией до тех пор, пока во всех последовательно включенных контактах между грану-
лами не возникают развитые искрения.
6. Зависимость сопротивления R1 в эквивалентной E-R-схеме замещения сопротивления ГТПС
от амплитуды напряжения импульсов подобна зависимости от того же аргумента среднего за время
импульса эквивалентного сопротивления ГТПС. Обе зависимости имеют ярко выраженный супренум
при средних значениях аргумента и участок с малыми значениями функции и ее производной − при
больших значениях аргумента.
1. Гончарук В.В., Щерба А.А., Захарченко С.Н., Савлук О.С., Потапченко Н.Г., Косинова В.Н. Дезинфи-
цирующее действие объёмного электроискрового разряда в воде // Химия и технология воды. – 1999. – №3. – Т.
21. – С. 328 – 336.
2. Даниленко Н.Б., Галанов А.И., Корнев Я.И., Балухтин П.В., Шиян Л.Н., Юрмазова Т.А., Яворов-
ский Н.А., Савельев Г.Г. Применение импульсных электрических разрядов в водных растворах для получения
наноматериалов и их использование для очистки воды // Нанотехника. – 2006. – № 4(8). – С. 81–90.
3. Захарченко С.Н., Шидловская Н.А. Моделирование сопротивления гранулированных токопроводя-
щих сред параметрическими зависимостями // Электронное моделирование. – 2012. – 34, №5. – С. 91–102.
4. Захарченко С.Н. Моделирование зависимости электрического сопротивления гранулированных токо-
проводящих сред от протекающего в них импульсного тока // Техн. електродинаміка. – 2012. – №5. – С. 17–27.
5. Захарченко С.М. Статистичні дослідження еквівалентного електричного опору гетерогенного струмо-
провідного середовища при його електроерозійній обробці на прикладі гранул алюмінію у воді // Науковий
вісник Національного гірничого університету. – 2013. – №1 (133). – С. 62–67.
6. Захарченко С.Н. Физическая модель гранулированной токопроводящей среды // Технічна електроди-
наміка. – 2012. – №6. – С. 19–26.
7. Захарченко С.Н. Влияние напряженности внешнего электрического поля и температуры на сопротив-
ление искроэрозионных гидрозолей металлов // Праці Ін-ту електродинаміки НАН України. – 2012. – № 33. –
С. 113–120.
8. Левченко В.Ф., Глупак А.Н. Электроимпульсная очистка сточных вод машиностроительных предпри-
ятий // Проблемы машиностроения. – 1998. – Т.1. – №3–4. – С. 138–140.
9. Лопатько К.Г., Мельничук М.Д. Фізика, синтез та біологічна функціональність нанорозмірних об’єк-
тів. – К.: Видавничий центр НУБіП України, 2013. – 297 с.
10. Подольцев А.Д., Супруновская Н.И. Моделирование и анализ электроразрядных процессов в нели-
нейной RLC цепи // Техн. електродинаміка. Тематичний випуск "Проблеми сучасної електротехніки". – 2006. –
Ч.4. – С. 3–8.
11. Стромберг А.Г., Семченко Д.П. Физическая химия. – М.: Высшая школа, 2009. – 528 с.
12. Ціделко В.Д., Яремчук Н.А. Невизначеність вимірювання. Обробка даних і подання результату вимі-
рювання. – К.: Політехніка, 2002. – 176 с.
13. Шидловский А.К., Щерба А.А., Супруновская Н.И. Энергетические процессы в электроимпульсных
установках с емкостными накопителями энергии. – К.: Интерконтиненталь-Украина, 2009. – 208 с.
14. Щерба А.А., Супруновская Н.И. Синтез электрических цепей с емкостными накопителями энергии в
полупроводниковых формирователях мощных разрядных импульсов // Техн. електродинаміка. – 2014. – №1.–
С. 3–11.
15. Щерба А.А., Подольцев А.Д., Захарченко С.Н. Регулирование динамических параметров технологи-
ческих систем объёмной электроискровой обработки гетерогенных токопроводящих сред // Праці Ін-ту елек-
тродинаміки НАН України. Електротехніка’ 2001. – 2001. – С. 3–16.
16 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
16. Berkowitz A.E., Hansen M.F., Parker F.T., Vecchio K.S., Spada F.E., Lavernia E.J., Rodriguez R.
Amorphous soft magnetic particles produced by spark erosion // J. Magn. Magn. Mater. – 2003. – № 1. – Pр. 254–255.
17. Carrey J., Radousky H.B., Berkowitz A.E. Spark-eroded particles: influence of processing parameters // J.
Appl. Phys. – 2004. – Vol. 95. – № 3. – Pp. 823–829.
18. Nguyen P.K, Jin S., Berkowitz A.E. Mn-Bi particles with high energy density made by spark erosion // J.
Appl. Phys. – 2014. – Vol. 115, 17A756.
УДК 621.3.011.72
НЕЛІНІЙНО-ПАРАМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ГРАНУЛЬОВАНИХ
СТРУМОПРОВІДНИХ СЕРЕДОВИЩ ДЛЯ ШИРОКОГО ДІАПАЗОНУ ЗМІН ПРИКЛАДЕНОЇ
НАПРУГИ
Н.А. Шидловська, чл.-кор. НАН України, С.М. Захарченко, канд.техн.наук, О.П. Черкаський
Інститут електродинаміки НАН України,
пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна.
E-mail: shydlovska@mail.ua, snzakhar@bk.ru, Cherksa@bk.ru
Розглянуто адекватність нелінійної та нелінійно-параметричної моделей еквівалентного електричного опору
гранульованих струмопровідних середовищ у широкому діапазоні змін амплітуди напруги розрядних імпульсів.
Запропоновано методики розрахунку опору робочої рідини як складової гранульованих струмопровідних се-
редовищ, а також пошуку оптимальних значень коефіцієнтів функцій, апроксимуючих залежності опору та-
ких середовищ від напруги та струму. Досліджено залежності параметрів еквівалентної E-R схеми заміщення
гранульованих струмопровідних середовищ від амплітуди напруги розрядних імпульсів та наведено їхні апрок-
симації аналітичними функціями. Бібл. 18, табл. 3, рис. 8.
Ключові слова: нелінійно-параметричний опір, гранульовані струмопровідні середовища, апроксимація, пара-
метри нев’язки.
NONLINEAR-PARAMETRICAL MODEL OF ELECTRICAL RESISTANCE OF CURRENT- CARRYING
GRANULATED MEDIUMS FOR A WIDE RANGE OF APPLIED VOLTAGE
N.A. Shydlovska, S.M. Zakharchenko, O.P. Cherkasskyi
Institute of Electrodynamics National Academy of Science of Ukraine,
pr. Peremohy, 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine.
E-mail: shydlovska@mail.ua, snzakhar@bk.ru, Cherksa@bk.ru
In this paper the adequacy of nonlinear and nonlinear-parametric models of equivalent electrical resistance of the
current-carrying granulated mediums is considered in a wide range of applied voltage amplitude of the discharge
pulses. The methods for calculating the resistance of the working liquid as a component of granulated current-carrying
mediums, and searching the optimal values of the coefficients of functions which approximates the dependence of the
resistance of such mediums from the voltage and current is proposed. The dependence of the parameters of the
equivalent electrical ER-circuit of current-carrying granulated mediums from the applied voltage amplitude of the
discharge pulses is investigated and given their approximations by analytic functions. References 18, figures 6, tables 3.
Key words: nonlinear-parametrical resistance, granular current-carrying mediums, approximation, parameters of
residual.
1. Goncharuk V.V., Shcherba A.A., Zakharchenko S.N., Savluk O.S., Potapchenko N.G., Kosinova V.N.
Disinfectant action of the volume electrospark discharges in water // Khimiia i tekhnologiia vody. – 1999. – №3. –
Vol. 21. – Pp. 328 – 336. (Rus)
2. Danilenko N.B., Galanov А.I., Kornev Ya.I., Balukhtin P.V., Shiian L.N., Yurmazova T.А., Yavorovskii N.А.,
Savelev G.G. Application of pulsing electric discharges in aqueous solutions for production of nano-size materials and
their use for water purification // Nanotekhnika. – 2006. – № 4(8). – Pp. 81–90. (Rus)
3. Zakharchenko S.N., Shidlovskaia N.А. Modeling of resistance of granulated current carrying medium by
parametrical dependences // Elektronnoe modelirovanie. – 2012. – 34, №5. – Pp. 91–102. (Rus)
4. Zakharchenko S.N. Modelling of dependence of electrical resistance of granulated current-carrying mediums
from a pulse current proceeding in them // Tekhnichna Еlektrodynamika. – 2012. – №5. – Pp. 17–27. (Rus)
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 17
5. Zakharchenko S.N. Statistical studies of equivalent electrical resistance of the current-carrying
heterogeneous medium at its electriс-erosive processing on the example of aluminum pellets in water // Naukovyi
Visnyk Natsionalnoho Hirnychoho Universytetu. – 2013. – №1 (133). – Pp. 62–67. (Ukr)
6. Zakharchenko S.N. Physical model of the granulated current-carrying medium // Tekhnichna
Еlektrodynamika. – 2012. – №6. – Pp. 19–26. (Rus)
7. Zakharchenko S.N. The Influence of intensity of an external electric field and temperature on resistance of
hydrosols metals produced by spark erosion // Pratsi Instytutu Elektrodynamiky Natsionalnoi Akademii Nauk
Ukrainy: – 2012. – № 33. – Pp. 113–120. (Rus)
8. Levchenko V.F., Glupak A.N. Electric-pulse purification of wastewater of machine-building factories //
Problemy Mashinostroeniia. – 1998. – Vol. 1. – №3-4. – Pp. 138–140. (Rus)
9. Lopatko K.G., Melnichuk M.D. Physics, synthesis and biological functionality of nanosize objects. – Kyiv:
Vydavnychyi tsentr Natsionalnoho Universytetu Bioresursiv i Pryrodokorystuvannia Ukrainy, 2013. – 297 p. (Ukr)
10. Podoltsev A.D., Suprunovskaia N.I. Modelling and analysis of electric discharge processes in nonlinear
RLC-circuits // Tekhnichna Еlektrodynamika. Tematychnyi vypusk “Problemy Suchasnoi Elektrotekhniky”. – 2006. –
Chapter 4. – Pp. 3–8. (Rus)
11. Stromberg А.G., Semchenko D.P. Physical chemistry: a textbook for high schools. – Moskva: Vysshaia
shkola, 2009. – 528 p. (Rus)
12. Tsidelko V.D., Yaremchuk N.A. Measurement uncertainty. Data processing and presentation of the
measurement result. – Kyiv: Polіtekhnіka, 2002. – 176 p. (Ukr)
13. Shidlovskii A.K., Shcherba A.A., Suprunovskaia N.I. Power processes in electrical pulse devices with
capacitive energy storages. – Kyiv: Interkontinental-Ukraina, 2009. – 208 p. (Rus)
14. Shcherba A.A., Suprunovskaia N.I. Synthesis of circuits with capacitive energy storages in semiconducting
shapers of powerful discharge pulses // Tekhnichna Еlektrodynamika. – 2014. – №1. – Pp. 3–11. (Rus)
15. Shcherba A.A., Podoltsev A.D., Zakharchenko S.N. Regulation of dynamic parameters of technological
systems of volume electrospark treatment heterogeneous current-carrying mediums // Pratsi Instytutu Elektrodynamiky
Natsionalnoi Akademii Nauk Ukrainy. Elektrotekhnika' 2001. – 2001. – Pp. 3–16. (Rus)
16. Berkowitz A.E., Hansen M.F., Parker F.T., Vecchio K.S., Spada F.E., Lavernia E.J., Rodriguez R.
Amorphous soft magnetic particles produced by spark erosion // J. Magn. Magn. Mater. – 2003. – №1. – Pp. 254–255.
17. Carrey J., Radousky H.B., Berkowitz A.E. Spark-eroded particles: influence of processing parameters // J.
Appl. Phys. – 2004. – Vol. 95. – №3. – Pp. 823–829.
18. Nguyen P.K, Jin S., Berkowitz A.E. Mn-Bi particles with high energy density made by spark erosion // J.
Appl. Phys. – 2014. – Vol. 115, 17A756.
Надійшла 16.05.2014
|
| id | techned_org_ua-article-1120 |
| institution | Technical Electrodynamics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-16T01:21:05Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України, Київ |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | technedorgua/c7/d4146b012d35a566dce78b4456055fc7.pdf |
| spelling | techned_org_ua-article-11202023-01-10T15:18:07Z NONLINEAR-PARAMETRICAL MODEL OF ELECTRICAL RESISTANCE OF CURRENT- CARRYING GRANULATED MEDIUMS FOR A WIDE RANGE OF APPLIED VOLTAGE НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ ТОКОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ДЛЯ ШИРОКОГО ДИАПАЗОНА ИЗМЕНЕНИЙ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ Шидловская, Н.А. Захарченко, С.Н. Черкасский, А.П. nonlinear-parametrical resistance granular current-carrying mediums approximation parameters of residual нелинейно-параметрическое сопротивление гранулированные токопроводящие среды аппроксимация параметры невязки In this paper the adequacy of nonlinear and nonlinear-parametric models of equivalent electrical resistance of the current-carrying granulated mediums is considered in a wide range of applied voltage amplitude of the discharge pulses. The methods for calculating the resistance of the working liquid as a component of granulated current-carrying mediums, and searching the optimal values of the coefficients of functions which approximates the dependence of the resistance of such mediums from the voltage and current is proposed. The dependence of the parameters of the equivalent electrical ER-circuit of current-carrying granulated mediums from the applied voltage amplitude of the discharge pulses is investigated and given their approximations by analytic functions. References 18, figures 6, tables 3. Рассмотрена адекватность нелинейной и нелинейно-параметрической моделей эквивалентного электрическо-о сопротивления гранулированных токопроводящих сред в широком диапазоне изменения амплитуды напряжения разрядных импульсов. Предложены методики расчета сопротивления рабочей жидкости как составляющей гранулированных токопроводящих сред, а также поиска оптимальных значений коэффициентов функций, аппроксимирующих зависимости сопротивления таких сред от напряжения и тока. Исследованы зависимости параметров эквивалентной электрической E-R-схемы замещения гранулированных токопроводящих сред от амплитуды напряжения разрядных импульсов и приведены их аппроксимации аналитическими функциями. Библ. 18, рис. 6, табл. 3. Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2014-11-06 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1120 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 6 (2014): TEKHNICHNA ELEKTRODYNAMIKA; 003 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 6 (2014): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 003 2218-1903 1607-7970 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1120/995 Авторське право (c) 2023 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | нелинейно-параметрическое сопротивление гранулированные токопроводящие среды аппроксимация параметры невязки Шидловская, Н.А. Захарченко, С.Н. Черкасский, А.П. НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ ТОКОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ДЛЯ ШИРОКОГО ДИАПАЗОНА ИЗМЕНЕНИЙ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ |
| title | НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ ТОКОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ДЛЯ ШИРОКОГО ДИАПАЗОНА ИЗМЕНЕНИЙ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ |
| title_alt | NONLINEAR-PARAMETRICAL MODEL OF ELECTRICAL RESISTANCE OF CURRENT- CARRYING GRANULATED MEDIUMS FOR A WIDE RANGE OF APPLIED VOLTAGE |
| title_full | НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ ТОКОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ДЛЯ ШИРОКОГО ДИАПАЗОНА ИЗМЕНЕНИЙ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ |
| title_fullStr | НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ ТОКОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ДЛЯ ШИРОКОГО ДИАПАЗОНА ИЗМЕНЕНИЙ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ |
| title_full_unstemmed | НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ ТОКОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ДЛЯ ШИРОКОГО ДИАПАЗОНА ИЗМЕНЕНИЙ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ |
| title_short | НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ ТОКОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ДЛЯ ШИРОКОГО ДИАПАЗОНА ИЗМЕНЕНИЙ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ |
| title_sort | нелинейно-параметрическая модель электрического сопротивления гранулированных токопроводящих сред для широкого диапазона изменений приложенного напряжения |
| topic | нелинейно-параметрическое сопротивление гранулированные токопроводящие среды аппроксимация параметры невязки |
| topic_facet | nonlinear-parametrical resistance granular current-carrying mediums approximation parameters of residual нелинейно-параметрическое сопротивление гранулированные токопроводящие среды аппроксимация параметры невязки |
| url | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1120 |
| work_keys_str_mv | AT šidlovskaâna nonlinearparametricalmodelofelectricalresistanceofcurrentcarryinggranulatedmediumsforawiderangeofappliedvoltage AT zaharčenkosn nonlinearparametricalmodelofelectricalresistanceofcurrentcarryinggranulatedmediumsforawiderangeofappliedvoltage AT čerkasskijap nonlinearparametricalmodelofelectricalresistanceofcurrentcarryinggranulatedmediumsforawiderangeofappliedvoltage AT šidlovskaâna nelinejnoparametričeskaâmodelʹélektričeskogosoprotivleniâgranulirovannyhtokoprovodâŝihsreddlâširokogodiapazonaizmenenijpriložennogonaprâženiâ AT zaharčenkosn nelinejnoparametričeskaâmodelʹélektričeskogosoprotivleniâgranulirovannyhtokoprovodâŝihsreddlâširokogodiapazonaizmenenijpriložennogonaprâženiâ AT čerkasskijap nelinejnoparametričeskaâmodelʹélektričeskogosoprotivleniâgranulirovannyhtokoprovodâŝihsreddlâširokogodiapazonaizmenenijpriložennogonaprâženiâ |