МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ
The methods of magnetic field (MF) distribution calculation in the vicinity of a single magnetic rod as well as a few nearby standing ones have been proposed. For finding of magnetic field distribution near a single magnetic rod, information about MF decrease in the vicinity of an elongate magnetic...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України, Київ
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1123 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Technical Electrodynamics |
| Завантажити файл: |
|
Репозитарії
Technical Electrodynamics| _version_ | 1870203805090447360 |
|---|---|
| author | Резинкина, М.М. Резинкин, О.Л. Сосина, Е.В. |
| author_facet | Резинкина, М.М. Резинкин, О.Л. Сосина, Е.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М.М. Резинкина",
"institution": "Институт технических проблем магнетизма НАН Украины, ул. Индустриальная, 19, Харьков, 61106, Украина"
},
{
"author": "О.Л. Резинкин",
"institution": "Національний технічний університет \"Харківський політехнічний інститут\", вул. Кирпичова, 2, Харків, 61002, Україна"
},
{
"author": "Е.В. Сосина",
"institution": "Національний технічний університет \"Харківський політехнічний інститут\", вул. Кирпичова, 2, Харків, 61002, Україна"
}
] |
| author_sort | Резинкина, М.М. |
| baseUrl_str | https://techned.org.ua/index.php/techned/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-11T08:00:28Z |
| description | The methods of magnetic field (MF) distribution calculation in the vicinity of a single magnetic rod as well as a few nearby standing ones have been proposed. For finding of magnetic field distribution near a single magnetic rod, information about MF decrease in the vicinity of an elongate magnetic ellipsoid has been used. It is suggested to use a conformal scheme for the case of a few nearby standing magnetic rods; it allows replacing them by one equivalent rod, presence of which causes the same changes of MF intensity levels as the real construction does. The method of final volumes was used for numerical calculations. Examples of magnetic field distribution calculation have been performed at different parameters of the rods. References 10, figures 4. |
| first_indexed | 2026-06-16T01:21:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
30 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
УДК 621.3.013.22
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В
ОКРЕСТНОСТИ МАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ
М.М.Резинкина1, докт.техн.наук, О.Л.Резинкин2, докт.техн.наук, Е.В.Сосина2
1 − Институт технических проблем магнетизма НАН Украины,
ул. Индустриальная, 19, Харьков, 61106, Украина,
e-mail: marinar2@mail.ru
2 − Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт»,
ул. Фрунзе, 21, Харьков, 61002, Украина.
Предложены методики расчета распределения магнитного поля (МП) в окрестности одиночных, а также не-
скольких рядом стоящих магнитных стержней. Для нахождения распределения магнитного поля вблизи оди-
ночного магнитного стержня использована информация о спадании МП в окрестности вытянутого магнит-
ного эллипсоида. В случае нескольких рядом стоящих стержней предложено использовать конформальную
схему, что позволяет заменить их одним эквивалентным стержнем, наличие которого вызывает те же изме-
нения уровней напряженности МП, что и реальная конструкция. При расчетах использован метод конечных
объемов. Выполнены примеры расчета распределений магнитного поля при различных параметрах стержней.
Библ. 10, рис. 4.
Ключевые слова: магнитное поле, магнитные стержни, конформальная схема, метод конечных объемов.
Введение. При решении ряда практически важных задач возникает необходимость расчета
магнитного поля (МП) в окрестности магнитных стержней, находящихся во внешнем электромагнит-
ном поле. В последнее время интерес вызывает использование магнитных наностержней примени-
тельно к различным приложениям [10] и, в частности, при создании метаматериалов [8]. При этом
расстояния между стержнями обычно соизмеримы с их длиной или превышают ее.
Расчет МП в системах с магнитными стержнями требуется также при определении степени
снижения уровней напряженности геомагнитного поля (ГМП) в окрестности стальных конструкций
зданий [5]. При этом эффективным подходом к расчету МП представляется замена нескольких рядом
стоящих магнитных стержней, например, армирующих проволок железобетонных конструкций, од-
ним эквивалентным магнитным стержнем, вызывающем те же изменения уровней напряженности
МП, что и реальная конструкция. Таким образом, имеет место два основных типа задач расчета МП
при наличии магнитных стержней, решению которых посвящена данная статья.
Принципы эквивалентной замены при расчете МП нескольких параллельных близко
расположенных магнитных стержней одним эквивалентным. При нахождении распределения
электромагнитного поля в случае наличия неоднородных сред с несколькими границами раздела мо-
жет быть использована так называемая конформальная схема [9]. Применим этот подход для эквива-
лентной замены нескольких параллельных тонких вытянутых магнитных стержней длиной LR и ра-
диусом поперечного сечения rR, имеющих относительную магнитную проницаемость μm, одним экви-
валентным стержнем длиной Lef и радиусом поперечного сечения ref, имеющим относительную маг-
нитную проницаемость μef.
Рассмотрим случай, когда в объеме VΣ расположено несколько тонких магнитных стержней,
причем, расстояния между осями стержней намного больше радиусов их поперечных сечений, но
существенно меньше их длины. Для замены таких стержней эквивалентным, используем так назы-
ваемую эффективную относительную магнитную проницаемость μef [9]
1( )ef m m mV V V V −
∑ Σμ = ⋅μ + −⎡ ⎤⎣ ⎦ , (1)
где Vm – объем магнитных стержней в рассматриваемой зоне.
Для того чтобы определить величину погрешности при использовании описанного подхода в
зависимости от конфигурации стержней, а также найти оптимальный радиус поперечного сечения
эквивалентного стержня, необходимо провести расчеты магнитного поля в исследуемых системах.
Формулировка задачи расчета магнитного поля в системах, содержащих магнитные
стержни. Рассмотрим задачу численного расчета квазистатического МП при наличии магнитных
стержней. Запишем уравнение Максвелла, описывающее распределение МП в этом случае
© Резинкина М.М., Резинкин О.Л., Сосина Е.В., 2014
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 31
0div =B
r
, (2)
где B
r
– магнитная индукция.
Рассмотрим систему, состоящую из нескольких тонких магнитных стержней, радиус попереч-
ного сечения которых гораздо меньше их длины (rR << LR), расположенных в зоне действия однород-
ного МП, направленного вдоль их осей. Разобьем рассматриваемую область на ячейки-паралле-
лепипеды. Данное разбиение произведено так, что узлы расчетной сетки (i,j,k) лежат на границах раз-
дела сред (рис. 1). Под (i,j,k)-ой ячейкой подразумевается параллелепипед, вершинами которого яв-
ляются следующие узлы: (i,j,k), (i+1,j,k), (i,j+1,k), (i,j,k+1), (i,j+1,k+1), (i+1,j,k+1), (i+1,j+1,k),
(i+1,j+1,k+1). Выберем направление осей так, чтобы ось ОY была параллельна осям стержней, а оси
ОX и ОZ – перпендикулярны ей. Для получения решения использо-
вался метод конечных объемов [1], заключающийся в интегрирова-
нии уравнений Максвелла по объемам элементарных ячеек, на кото-
рые разбита расчетная область. Возьмем интеграл по объему V каж-
дой такой ячейки от уравнения (2) и, используя теорему Гаусса, за-
меним интегрирование дивергенции искомой функции по объему ин-
тегрированием нормальной компоненты данной функции по поверх-
ности S, охватывающей объем
0div =⋅=⋅∫ ∫
V S
n dsBdvB
r
.
Выразим магнитную индукцию через напряженность МП H
r
( HB
rr
⋅μ⋅μ= 0 , где 7
0 104 −⋅π=μ Гн/м). Тогда для каждого узла расчетной сетки запишем решаемое
уравнение, перейдя от H
r
к скалярному магнитному потенциалу ϕ ( H
r
=-gradϕ)
, , ( ) 0i j k
S
ds=
n
∂ϕ
μ ⋅ − ⋅
∂∫ , (3)
где i,j,kμ – относительная магнитная проницаемость (i,j,k)-й ячейки.
При численной реализации данной задачи уравнения вида (3) записывались для каждого узла
расчетной сетки в результате замены производных их разностными аналогами (подробнее см. [4]).
Рассматривается случай, когда магнитные стержни находятся во внешнем однородном вертикальном
магнитном поле напряженностью 0H
r
. Тогда магнитный потенциал на границах расчетной области
может быть задан из условия равенства напряженности магнитного поля величине 0H
r
при достаточ-
ном удалении от магнитных объектов: xHx 0/ −=∂ϕ∂ , yHy 0/ −=∂ϕ∂ , zHz 0/ −=∂ϕ∂ (где
0xH , 0 yH , 0zH – x, y, z компоненты вектора напряженности 0H
r
соответственно). Для решения полу-
ченной системы уравнений был использован итерационный метод переменных направлений [6], мо-
дифицированный применительно к решению системы трехмерных эллиптических уравнений [2]. Для
уменьшения габаритов расчетной области при расчете использованы так называемые поглощающие
граничные условия [9] (подробнее см. [4]).
Результаты численного расчета магнитного поля при эквивалентной замене нескольких
параллельных магнитных стержней одним эквивалентным. С помощью описанного подхода бы-
ли рассчитаны распределения МП для ряда систем, состоящих из четырех или пяти магнитных
стержней, а также одного эквивалентного им стержня. Расчетным путем проанализирована степень
влияния геометрии стержней на максимальные уровни снижения напряженности МП, которые на-
блюдаются в проходящем через середину стержней сечении, перпендикулярном их осям, при замене
нескольких стержней одним эквивалентным. При расчете исследовались величины относительной
напряженности МП: 0
* / HHH = (где H0 - модуль напряженности ГМП).
На рис. 2 показаны результаты численного расчета линий равной напряженности МП H* в се-
чении, перпендикулярном осям стержней, проходящем через их середины. Данные распределения
получены для стержней с относительной длиной b=0,5·LR/rR=10, максимальные расстояния между
осями стержней в горизонтальном направлении - DR = 20·rR. Распределения построены для сечения,
проходящего через ось симметрии центрального стержня, совпадающей с осью симметрии конструк-
ции. Распределения, показанные сплошными линиями, соответствуют случаю наличия в зоне прило-
Рис. 1
32 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
женного МП пяти магнитных стержней с μm=100; сплош-
ными жирными линиями - четырех магнитных стержней с
μm=125 (соответствует предыдущей геометрии, но при отсут-
ствии центрального стержня); пунктирными линиями – од-
ного эквивалентного магнитного стержня с μef=5. Причем,
длина эквивалентного стержня та же, что и реальных стерж-
ней: Lef=LR, а его радиус равен половине максимального рас-
стояния между осями одиночных стержней в горизонталь-
ном направлении: ref=0,5·DR =10·rR, а его ось совпадает с
осью симметрии исходной системы стержней.
Как показали проведенные расчеты для рассматрива-
емого сечения, распределения, рассчитанные с помощью чис-
ленного метода и с использованием аналитического выраже-
ния для вытянутого эллипсоида [7], совпадают в пределах по-
грешности расчетов (относительные отличия не превышают
3 %). Практически совпадают также в области вне железобе-
тонной конструкции распределения напряженности МП для
четырех (μm=125) и пяти (μm=100) стержней (сравни сплошные тонкие и жирные кривые на рис. 2).
Для случаев, когда в МП находятся магнитные стержни, диаметр поперечного сечения кото-
рых существенно (в 30 раз и более) меньше, чем их длина, а расстояния между ними в горизонталь-
ном направлении в 10 и более раз больше их диаметра, может быть использовано допущение о том,
что влиянием слабой неоднородности внешнего МП на напряженность МП внутри стержней можно
пренебречь, по крайней мере, в их средней части. Тогда для исследования влияния относительной
длины стержней b на уровни максимального снижения МП в сечении, проходящем перпендикулярно
осям стержней через их середины, может быть использовано аналитическое решение для магнитного
вытянутого эллипсоида, расположенного во внешнем МП, напряженность которого параллельна его
оси (см. например, [7]). Такая возможность подтверждается также совпадением распределений, полу-
ченных в результате численного решения и с помощью
аналитических зависимостей.
На рис. 3 показаны рассчитанные таким образом
распределения максимальных уровней относительных от-
личий напряженности МП в системе из четырех стержней
(Н4) и одного эквивалентного стержня (Н1): F=(Н1−Н4)/Н4
в зависимости от расстояния до оси системы в радиальном
направлении (x) в сечении, которое проходит через сере-
дины стрежней перпендикулярно их осям (где d=2rR – диа-
метр исходных стержней). Распределения получены для
четырех значений длины стрежней. Величина F характери-
зует отличия уровней наибольшего снижения напряженно-
сти МП при замене четырех стрежней одним эквивалент-
ным. Исходные данные при расчете были следующими: четыре стрежня с μm=125, диаметром d=2·rR,
фиксированной в каждом из 4-х вариантов длиной LR, максимальным расстоянием между осями стер-
жней в горизонтальном направлении DR=20·rR; один стрежень с μef=5, радиусом ref=0,5·DR=10·rR, дли-
ной Lef=LR. Как видно из рис. 3, погрешность при определении максимальных уровней снижения
внешнего МП в случае замены при расчете четырех стрежней одним эквивалентным не превышает
5 %, если их относительная длина b больше 100.
Численный расчет МП в окрестности одиночных магнитных стержней. Если расстояния
между стержнями больше их длины, а их диаметры на несколько порядков меньше их длины, метод,
основанный на описанной выше конформальной схеме, использован быть не может. Для решения
таких задач предлагается применять подход, являющийся развитием описанного в [3,9].
Учитывая, что отношение длины к диаметру для рассматриваемых проводников может пре-
вышать 103, использование для расчета МП в данном случае метода интегральных уравнений или ко-
нечных элементов приводит к существенному усложнению задачи. Для решения подобных задач час-
то применяются конечно-разностные методы. Однако при этом возникает проблема выбора шага рас-
четной сетки ∆. Поскольку длина стержня на несколько порядков превышает его радиус (LR >> rR),
-30 -20 -10 0 10 20 30
-30
-20
-10
0
10
20
30
м Z
м
X
стержни
Рис. 2
Рис. 3
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 33
выбор шага сетки ∆ из условия ∆<rR привел бы к резкому увеличению количества неизвестных в ре-
шаемой при расчете поля системы уравнений. Поэтому шаг по пространству приходится выбирать
гораздо большим, чем rR. В [9] описан подход, позволяющий с помощью конечно-разностных мето-
дов рассчитать распределение электромагнитного поля в системах, содержащих идеально проводя-
щие бесконечные проволоки - цилиндры с круглым поперечным сечением, диаметр которых намного
меньше поперечных размеров ячейки расчетной сетки. При этом полагается, что в направлениях,
перпендикулярных оси цилиндра, напряженность электрического поля убывает по логарифмическо-
му закону. Используем подход, подобный этому, а также описанному в [3], для расчета МП в окрест-
ности магнитных стержней, находящихся в зоне внешнего МП. Разобьем рассматриваемую область
на ячейки-параллелепипеды так, что узлы расчетной сетки (i,j,k) лежат на границах раздела сред и на
оси стержня (рис. 1). Будем полагать, что свойства среды однородны в пределах каждой из ячеек за
исключением тех, что примыкают к стержню. Тогда в решаемом уравнении (3) относительная маг-
нитная проницаемость может быть условно представлена в виде тензора
0 0
ˆ 0 0
0 0
x
i,j,k y
z
k
k
k
⎡ ⎤μ
μ = μ⎢ ⎥
μ⎢ ⎥⎣ ⎦
. (4)
Такое представление магнитной проницаемости позволяет учесть особенности распределения
МП в окрестности магнитных стержней, задавая коэффициенты kx, ky, kz отличными от 1 для узлов,
окружающих стержень или расположенных на нем, и kx=ky=kz=1 − для остальных узлов.
Для нахождения распределения МП с помощью конечно-разностных методов решаемые
уравнения записываются для каждой ячейки расчетной сетки, на которую разбита расчетная область,
в разностном виде. В нашем случае это происходит в результате замены производных от скалярного
потенциала отношением разности значений потенциалов в соседних узлах к шагу сетки ∆. При этом
полагается, что распределение потенциалов между узлами вдоль осей является кусочно-линейным.
Однако такая замена для узлов, расположенных вдоль осей стержней и на расстоянии от них шага ∆,
такого, что ∆>>rR, связана с большой погрешностью. Для решения этой проблемы без существенного
уменьшения шага расчетной сетки, будем полагать, как и в [3,9], что МП в непосредственной близо-
сти от оси стержня изменяется в соответствии с аналитической формулой для одиночного стержня. В
нашем случае, в отличие от [3,9], представим потенциал вблизи оси стержня в виде известного анали-
тического решения для диэлектрического эллипсоида, находящегося во внешнем параллельном элек-
трическом поле (см. например [7, с. 191] и далее), переписанного с учетом аналогии выражений для
электростатических и магнитостатических явлений в виде
1
2
21 0,5
( )
m e
0 R R
e R ss
ds=H y L r
s L R
−∞⎡ ⎤μ − μ
ϕ +⎢ ⎥μ +⎣ ⎦
∫ , (5)
где Н0 – напряженность внешнего вертикального МП (Н0 || OY, где ось OY направлена вдоль оси
стержня – рис. 1); μm - относительная магнитная проницаемость материала стержня; μe - относитель-
ная магнитная проницаемость окружающей его среды; )()( 22
RRs LsrsR +⋅+= − функция, связанная
с использованием эллипсоидальных координат; s − переменная интегрирования.
Для того чтобы найти напряженности МП в непосредственной близости от стержня, выразим
потенциал φ и модуль напряженности МП || H
r
в виде зависимости от Нy0 – параллельной оси стерж-
ня составляющей напряженности МП в непосредственной близости от его поверхности, следующим
образом:
ϕ⋅=ϕ fH y0 , Hy fHH ⋅= 0||
r
. (6,7)
Используя (6), запишем Δφ(rR,y)/Δx – x-й градиент потенциала в точке c координатой y в окре-
стности оси эллипсоида через разность потенциалов в точке на оси – φ(rR) и в точке, отстоящей от нее
на расстоянии шага расчетной сетки – φ(rR+Δx) в виде
xx,yrf,yrfyHxx,yr,yrx,yr RRyRRR ΔΔ+−⋅=ΔΔ+ϕ−ϕ=ΔϕΔ ϕϕ /)]()([)(/)]()([/)( 0 . (8)
Выразим Нy0 из (8)
),(),(
),()(0 yxrfyrf
x
x
yryH
RR
R
y Δ+−
Δ
⋅
Δ
ϕΔ
=
ϕϕ
. (9)
34 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
Выражения для fφ(rR,y) и fφ(rR+Δx,y) получим из аналитического решения (5), преобразованно-
го для случая, когда центр эллипсоида имеет координаты x0, y0, z0 и длина его большой полуоси (a)
существенно превосходит b=c - длину его малых полуосей (LR = a>>b=c=rR)
0=H fϕϕ ⋅ , (10)
где 1 10[(1 ) ]
zn zn
a ayf =y
K y K
μ μ
ϕ ⋅ − + ⋅ ; 11 aka ⋅= μμ ; 22 aka ⋅= μμ ; 20,5 m e
R R
e
k L rμ
μ − μ
= ⋅ ⋅ ⋅
μ
; μ+= 21 aK zn ;
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R LsrLrLLs
rLLs
rL
a
+⋅−
+
−−+
−++
⋅
−
−=
)(
2ln
)(
1
2/31 ;
R
2
R
2
R
2
R
2
RR
2
R
2
RR
2
R
2
R LrLrLL
rLL
rL
a
⋅−
+
−−
−+
⋅
−
−=
)(
2ln
)(
1
2/32 ;
2 2 2
0 0 0
1
) [( ) ( ) ( ) ]
2
2 2
R R(L r x x y y z zf + − − + − + −
= − ;
2 2 2
2 0 0 0[( ) ( ) ] ( )2 2 2 2
R R R Rf =L r r x x z z L y y⋅ − ⋅ − + − − ⋅ − ; 2
1 1 2s= f f f− ± − [7, с. 61].
С учетом того, что на поверхности эллипсоида a1μ=a2μ (s=0, s > - 2
Rr [7, с. 61]), получим из (10)
выражение для потенциала на поверхности стержня
R 0 R=H fϕ ⋅ , (11)
где ( )( ) 1
2 0 21 / 1Rf =y a y y a
−
μ μ+ ⋅ + .
Из (9) и (10) запишем выражение для Hy0(y) в виде
yfyfy
x
x
yH
R
y //
1)(0
ϕ−
⋅
Δ
⋅
Δ
ϕΔ
= . (12)
Продифференцировав (10) по x, получим выражение для x-ой компоненты напряженности
электрического поля вблизи эллипсоида через значения потенциалов в узлах расчетной сетки на оси
стержня и на расстоянии x-x0=Δx от нее
][)(
x
s
s
f
y H
x
H y0x ∂
∂
⋅
∂
∂
⋅−=
∂
ϕ∂
−= ϕ , (13)
где =
∂
∂
⋅⋅+
=
−⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅−⋅=
∂
∂ μμϕ
s
a
K
y
K
sa
s
y
s
a
K
y
s
f
znznzn
1
0
11 1]
)0(
1[]1[
s
a
K
yy
zn ∂
∂
⋅⋅− μ1
0
1)( ; ]1[
2
2
1
2
1
ff
Lfx
x
s R
−
−
−⋅=
∂
∂ .
Выражения для коэффициентов kx в (4) для узлов, расположенных на расстоянии шага расчет-
ной сетки Δx от оси стержня, пропорциональны интегралу от напряженности МП по элементарным
площадкам Syz (рис. 1). Получим данные выражения, проинтегрировав (13) по поверхности Syz габари-
тами Δ × Δ , расположенной в плоскости X=const на расстоянии Δx/2 от оси стержня
x
y
y
z
z
y0
S
xx k
x
dzdy
x
s
s
fyH
x
dsHK
yZ
⋅
Δ
ϕΔ
−=
∂
∂
∂
∂
Δ
⋅
Δ
ϕΔ
−=
Δ
= ∫ ∫∫
Δ+
Δ−
Δ+
Δ−
ϕ
2/
2/
2/
2/
22
)(1 , (14)
где dzdy
x
s
s
sa
a
yH
k
y
y
z
z
y0
x ∂
∂
∂
∂
⋅
Δ
= ∫ ∫
Δ+
Δ−
Δ+
Δ−
μ
μ
2/
2/
2/
2/
1
2
2
)(1)(
;
)()(
1)(
2/3
1
2
R
2
R rsLss
sa
+⋅+
=
∂
∂ μ .
Выражения для коэффициентов ky (4) для узлов, расположенных вблизи оси стержня и на рас-
стоянии шага расчетной сетки Δy от его острия, пропорциональны интегралу от напряженности МП
по площадкам Sxz (рис. 1). Получим данное выражение, проинтегрировав (13) по поверхности Sxz га-
баритами Δ × Δ , расположенной в плоскости Y=const
y
z
z
x
x
y0
S
y k
y
dxdz
y
s
s
fyH
y
dS
y
K
xz
⋅
Δ
ϕΔ
−=
∂
∂
⋅
∂
∂
Δ
⋅
Δ
ϕΔ
−=
∂
ϕ∂
⋅
Δ
= ∫ ∫∫
Δ+
Δ−
Δ+
Δ−
ϕ
2/
2/
2/
2/
22
)(1 , (15)
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6 35
где dxdz
y
s
s
sa
a
yH
k
z
z
x
x
y0
y ∂
∂
⋅
∂
∂
⋅⋅
Δ
= ∫ ∫
Δ+
Δ−
Δ+
Δ−
μ
μ
2/
2/
2/
2/
1
2
2
)(1)(
; ssa ∂∂ μ /)(1 - см. (14); ]1[
2
2
1
2
1
ff
rfy
y
s R
−
−
−⋅=
∂
∂ .
Интегралы в (14) и (15) могут быть рассчитаны численно с помощью стандартной подпро-
граммы (например, TWODQ Fortran Microsoft). Разностное представление и граничные условия ана-
логичны описанным выше.
На рис. 4 показаны рассчитанные таким образом распреде-
ления линий равных уровней магнитного потенциала φ, выполнен-
ные при следующих параметрах стержня: μm=105, LR=1 м, rR =1 мм,
Δ=0,05 м, приложенное поле Н0 =Н0y =1 А/м (пунктир соответствует
аналитическому решению, сплошные линии – численному). Как по-
казали проведенные расчеты, относительные отличия численных и
аналитических результатов в зоне, отстоящей от стержня на рассто-
яния, большие, чем шаг по пространству, не превышают 5 %.
Заключение. 1. Предложены принципы замены нескольких
рядом стоящих параллельных магнитных стрежней одним эквива-
лентным стержнем при расчете максимальных уровней снижения
постоянного магнитного поля в их окрестности. Такой эквивалент-
ный стержень должен иметь ту же длину, что и исходные стержни,
его ось совпадает с осью симметрии исходной системы, его диа-
метр равняется расстоянию между осями крайних исходных стреж-
ней, а его относительная магнитная проницаемость вычисляется
как усредненная по объему, который занимает вся конструкция.
Показано, что такая замена не приводит к погрешности, большей
5 %, для распространенного на практике случая, когда длина стерж-
ней в 100 и более раз превышает их диаметр.
2. Приведена постановка и численная реализация задачи рас-
чета распределения напряженности МП с помощью метода конеч-
ных объемов, которая позволяет рассчитать распределение МП в окрестности одиночных тонких про-
тяжных магнитных стержней, расположенных в зоне действия МП, при использовании расчетной сет-
ки, шаг которой существенно (на порядок и более) превышает размеры поперечного сечения стержней.
3. Выполнены примеры расчета распределения индукции МП в системах, которые состоят из
одного или нескольких магнитных стержней разной длины и размера поперечного сечения. При этом
использованы численные и аналитические методы.
1. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. - М.: Энерго-
атомиздат, 1984. - 150 с.
2. Резинкина М.М. Расчет проникновения низкочастотного трехмерного электрического поля в неодно-
родные слабопроводящие объекты // Электричество. – 2003. - № 8. - С. 50 -55.
3. Резинкина М.М. Расчет трехмерных электрических полей в системах, содержащих тонкие проволоки
// Электричество. - 2005. - № 1. - С. 44-49.
4. Резинкина М.М. Численный расчет магнитного поля и магнитного момента ферромагнитных тел
сложной пространственной конфигурации // Журнал технической физики. – 2009. - Т. 79. - № 8. - С. 8-17.
5. Розов В.Ю., Резинкина М.М., Думанский Ю.Д., Гвозденко Л.А. Исследование техногенных искажений
геомагнитного поля в жилых и производственных помещениях и определение путей их снижения до безопасно-
го уровня // Технічна електродинаміка. Темат. вип. “Проблеми сучасної електротехніки”. - 2008. – Ч. 2. – С. 3-8.
6. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989. - 616 с.
7. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. - М.-Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. - 539 с.
8. Sousa1 C.T., Leitao D.C., Ventura1 J., Tavares P.B., Araujo J.P. A versatile synthesis method of dendrites-
free segmented nanowires with a precise size control // Nanoscale Research Letters. – 2012. - № 7. – Рр. 1 -7.
9. Taflove A., Hagness S. Computational electrodynamics: the finite difference time domain method. - Boston -
London: Artech House, 2000. - 852 p.
10. Toal B., McMillen M., Murphy A., Atkinson W.H.R., Pollard R. Tuneable magneto-optical metamaterials
based on photonic resonances in nickel nanorod arrays // Materials Research Express. – 2014. - № 1. – Рр. 1 - 11.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
м Y
X
м
стержень
Рис. 4
36 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 6
УДК 621.3.013.22
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РОЗПОДІЛУ МАГНІТНОГО ПОЛЯ В ОКОЛИЦІ МАГНІТНИХ
СТЕРЖНІВ
М.М.Резинкіна1, докт.техн.наук, О.Л.Резинкін2, докт.техн.наук, О.В.Сосіна2
1−Інститут технічних проблем магнетизму Національної академії наук України,
вул. Індустріальна, 19, Харків, 61106, Україна,
e-mail: marinar2@mail.ru
2−Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут",
вул. Фрунзе, 21, Харків, 61002, Україна.
Запропоновано методики розрахунку розподілу магнітного поля (МП) в околиці одиночних, а також декількох
магнітних стержнів, що розташовані поблизу одна до одної. Для знаходження розподілу магнітного поля по-
близу одиночного магнітного стержня використано інформацію про спадання МП в околиці витягнутого маг-
нітного еліпсоїда. У випадку декількох стержнів, розташованих поблизу один до одного, запропоновано вико-
ристовувати конформальну схему, що дозволяє замінити їх одним еквівалентним стержнем, наявність якого
викликає ті самі зміни рівнів напруженості МП, що і реальна конструкція. При розрахунках використано ме-
тод скінченних об’ємів. Виконано приклади розрахунку розподілів магнітного поля при різних параметрах
стержнів. Бібл. 10, рис. 4.
Ключові слова: магнітне поле, магнітні стержні, конформальна схема, метод скінченних об’ємів.
MATHEMATICAL MODELING OF DISTRIBUTION OF MAGNETIC FIELD IN THE VICINITY
OF THE MAGNETIC RODS
М.М.Rezynkina1, О.L.Rezynkin2, O.V.Sosina2
1 − Institute of Technical Problems of Magnetism of the National Academy of Sciences of Ukraine,
Industrialna str., 19, Kharkiv, 61106, Ukraine, e-mail: marinar2@mail.ru
2 − National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute»,
Frunze st., 21, Kharkiv, 61002, Ukraine.
The methods of magnetic field (MF) distribution calculation in the vicinity of a single magnetic rod as well as a few
nearby standing ones have been proposed. For finding of magnetic field distribution near a single magnetic rod,
information about MF decrease in the vicinity of an elongate magnetic ellipsoid has been used. It is suggested to use a
conformal scheme for the case of a few nearby standing magnetic rods; it allows replacing them by one equivalent rod,
presence of which causes the same changes of MF intensity levels as the real construction does. The method of final
volumes was used for numerical calculations. Examples of magnetic field distribution calculation have been performed
at different parameters of the rods. References 10, figures 4.
Key words: magnetic field, magnetic rods, conformal scheme, finite volume method.
1. Patankar S. Numerical methods of solution of problems of heat transfer and fluid dynamics. - Мoskva:
Energoatomizdat, 1984. - 150 р. (Rus)
2. Rezinkina M.M. Calculation of penetration of low-frequency three-dimensional electric field in the low con-
ductive heterogeneous objects // Elektrichestvo. – 2003. - № 8. - Pp. 50 -55. (Rus)
3. Rezinkina M.M. Calculation of electric fields in three-dimensional systems containing a thin wire // Elek-
trichestvo. - 2005. - № 1. - Рp. 44-49. (Rus)
4. Rezinkina M. Numerical calculation of the magnetic field and magnetic moment of ferromagnetic bodies
with a complex spatial configuration // Zhurnal tekhnicheskoi fiziki. – 2009. - Vol. 79. - No. 8. - Pp. 8–17. (Rus)
5. Rozov V.Yu., Rezinkina M.M., Dumanskii Yu.D., Gvozdenko L.A. Research of environmental distortion of geo-
magnetic field in residential and industrial buildings and identifying ways of reducing them to the safe level // Tekhnichna
elektrodynamika. Tematychnyi vypusk “Problemy suchasnoi elektrotekhniky”. - 2008. –Vol. 2.– Рp. 3-8 (Rus)
6. Samarskii A.A. Theory of difference schemes. - Мoskva: Nauka, 1989. - 616 р. (Rus)
7. Stratton J.A. The theory of electromagnetism. - Мoskva-Leningrad: OGIZ, Gostekhizdat, 1948. - 539 р.
(Rus)
8. Sousa1 C.T., Leitao D.C., Ventura1 J., Tavares P.B., Araujo J.P. A versatile synthesis method of dendrites-
free segmented nanowires with a precise size control // Nanoscale Research Letters. – 2012. - № 7. – Рp. 1 - 7.
9. Taflove A., Hagness S. Computational electrodynamics: the finite difference time domain method. - Boston -
London: Artech House, 2000. - 852 p.
10. Toal B., McMillen M., Murphy A., Atkinson W.H.R., Pollard R. Tuneable magneto-optical metamaterials
based on photonic resonances in nickel nanorod arrays // Materials Research Express. – 2014. - № 1. – Рр. 1 - 11.
Надійшла 25.03.2014
Остаточний варіант 30.04.2014
|
| id | techned_org_ua-article-1123 |
| institution | Technical Electrodynamics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-16T01:21:41Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України, Київ |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | technedorgua/71/291af655c30a7b58858707d5f8d20371.pdf |
| spelling | techned_org_ua-article-11232023-01-11T08:00:28Z MATHEMATICAL MODELING OF DISTRIBUTION OF MAGNETIC FIELD IN THE VICINITY OF THE MAGNETIC RODS МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ Резинкина, М.М. Резинкин, О.Л. Сосина, Е.В. magnetic field magnetic rods conformal scheme finite volume method магнитное поле магнитные стержни конформальная схема метод конечных объемов The methods of magnetic field (MF) distribution calculation in the vicinity of a single magnetic rod as well as a few nearby standing ones have been proposed. For finding of magnetic field distribution near a single magnetic rod, information about MF decrease in the vicinity of an elongate magnetic ellipsoid has been used. It is suggested to use a conformal scheme for the case of a few nearby standing magnetic rods; it allows replacing them by one equivalent rod, presence of which causes the same changes of MF intensity levels as the real construction does. The method of final volumes was used for numerical calculations. Examples of magnetic field distribution calculation have been performed at different parameters of the rods. References 10, figures 4. Предложены методики расчета распределения магнитного поля (МП) в окрестности одиночных, а также нескольких рядом стоящих магнитных стержней. Для нахождения распределения магнитного поля вблизи одиночного магнитного стержня использована информация о спадании МП в окрестности вытянутого магнитного эллипсоида. В случае нескольких рядом стоящих стержней предложено использовать конформальную схему, что позволяет заменить их одним эквивалентным стержнем, наличие которого вызывает те же изменения уровней напряженности МП, что и реальная конструкция. При расчетах использован метод конечных объемов. Выполнены примеры расчета распределений магнитного поля при различных параметрах стержней. Библ. 10, рис. 4. Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2014-11-06 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1123 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 6 (2014): TEKHNICHNA ELEKTRODYNAMIKA; 030 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 6 (2014): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 030 2218-1903 1607-7970 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1123/998 Авторське право (c) 2023 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | магнитное поле магнитные стержни конформальная схема метод конечных объемов Резинкина, М.М. Резинкин, О.Л. Сосина, Е.В. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ |
| title | МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ |
| title_alt | MATHEMATICAL MODELING OF DISTRIBUTION OF MAGNETIC FIELD IN THE VICINITY OF THE MAGNETIC RODS |
| title_full | МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ |
| title_fullStr | МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ |
| title_full_unstemmed | МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ |
| title_short | МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ |
| title_sort | математическое моделирование распределения магнитного поля в окрестности магнитных стержней |
| topic | магнитное поле магнитные стержни конформальная схема метод конечных объемов |
| topic_facet | magnetic field magnetic rods conformal scheme finite volume method магнитное поле магнитные стержни конформальная схема метод конечных объемов |
| url | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/1123 |
| work_keys_str_mv | AT rezinkinamm mathematicalmodelingofdistributionofmagneticfieldinthevicinityofthemagneticrods AT rezinkinol mathematicalmodelingofdistributionofmagneticfieldinthevicinityofthemagneticrods AT sosinaev mathematicalmodelingofdistributionofmagneticfieldinthevicinityofthemagneticrods AT rezinkinamm matematičeskoemodelirovanieraspredeleniâmagnitnogopolâvokrestnostimagnitnyhsteržnej AT rezinkinol matematičeskoemodelirovanieraspredeleniâmagnitnogopolâvokrestnostimagnitnyhsteržnej AT sosinaev matematičeskoemodelirovanieraspredeleniâmagnitnogopolâvokrestnostimagnitnyhsteržnej |