БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК

The concept of multichannel parallel converting of probability density function (pdf) of random data was previously used for single-element pdf-converters. In development of this concept, here we investigate converting properties of spdf-converters channels formed by the sum of the pairs of ordere...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2021
1. Verfasser:	Мазманян, Р.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2021
Schlagworte:	випадкові дані рівномірний розподіл впорядковані вибірки функція щільності ймовірності probability density function (pdf) сума парних упорядкованих статистик spdf-конвертор оцінка щільності ймовірності
Online Zugang:	https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/182
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Technical Electrodynamics
Завантажити файл:

Institution

Technical Electrodynamics

_version_	1868203871499714560
author	Мазманян, Р.О.
author_facet	Мазманян, Р.О.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Р.О. Мазманян", "institution": "Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна" } ]
author_sort	Мазманян, Р.О.
baseUrl_str	https://techned.org.ua/index.php/techned/oai
collection	OJS
datestamp_date	2021-08-26T09:44:33Z
description	The concept of multichannel parallel converting of probability density function (pdf) of random data was previously used for single-element pdf-converters. In development of this concept, here we investigate converting properties of spdf-converters channels formed by the sum of the pairs of ordered sample elements (order statistics). The characteristics of the conversion results as dependencies on the size of the samples and the displacement of the channels relative to the median of the samples were obtained for data with a uniform distribution density. Also where excluded the areas of mutual dependence of the density functions of the summed elements, which further where normalized together with approximating them functions. Despite the apparent structural differences, the goal of this study still was to determine the closeness of the converted data with some standard functions of the probability distribution density, in particular, with the normal distribution law. As before, the estimates of the closeness of the spdf-converter channels were obtained using the chi-square criteria. The results of the research were used to determine the size and location of the statistical closeness windows, and to construct spdf-converters statistical model. References 20, figures 14.
doi_str_mv	10.15407/techned2021.05.063
first_indexed	2026-06-17T01:00:50Z
format	Article
fulltext	ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 63 ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНІ СИСТЕМИ В ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИЦІ УДК 519.233.3 DOI: https://doi.org/10.15407/techned2021.05.063 БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК Р.О. Мазманян, докт. техн. наук Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна, e-mail: mazmanian@ied.org.ua Концепцію багатоканальної паралельної конвертації функції розподілу щільності ймовірності, pdf, випадкових даних раніше було застосовано в дослідженні властивостей одноелементних pdf-конверторів. У розвиток концепції, в статті досліджуються перетворювальні властивості каналів spdf-конверторів, утворених сумою пар елементів упорядкованих вибірок (впорядкованих статистик). Характеристики результату конверсії, як залежності від розміру вибірок і зміщення каналів відносно її медіани, було отримано для даних з рівномірним розподілом щільності. З аналізу виключено області взаємної залежності функцій щільності елементів, що додаються, котрі далі, разом з апроксимуючими їх функціями, було нормалізовано. Незважаючи на очевидні структурні відмінності, завданням даного дослідження, як і раніше, було визначення згоди перетворених даних з деякими стандартними функціями щільності розподілу ймовірностей, зокрема, з нормальним законом розподілу. Як і раніше, оцінки близькості каналів spdf-конвертора отримано за допомогою критерію хі- квадрат. Результати досліджень використано задля визначення розміру і розташування вікон статистичної близькості, побудови статистичних моделей каналів конвертора. Бібл. 20, рис. 14. Ключові слова: випадкові дані, рівномірний розподіл, впорядковані вибірки, функція щільності ймовірності, probability density function (pdf), сума парних упорядкованих статистик, spdf-конвертор, оцінка щільності ймовірності. Вступ. Сучасні комп'ютерно-інтегровані технології в електроенергетиці є розподіленими системами збору і передачі технологічної інформації по каналах зв'язку від локальних систем збору і попередньої обробки даних щодо параметрів об'єктів, що входять до складу енергосистеми, обробки цієї інформації задля автоматичного управління, контролю якості електричної енергії, аварійного захисту і діагностування електроенергетичного обладнання. Рішення цих завдань пов'язане з дослідженнями процесів генерації, перетворення і розподілу електричної енергії, зі створенням інформаційного, математичного та програмного забезпечення для об'єктів і комплексів електро- енергетики. Оцінка якості електричної енергії в мережі і стану обладнання за наявності численних збурюючих впливів, що мають випадковий або детермінований характер, забезпечується за допомогою різноманітних поєднань спеціальних апаратних і алгоритмічного засобів. Робастні оцінки середніх значень контрольованих параметрів за допомогою медіанних фільтрів забезпечують підвищення достовірності інформації [1]. Разом з тим, ранжирування впорядкованими вибірками числових даних, наприклад, відхиленями від робастної середньої напруги в мережі і тривалості зареєстрованих відхилень, несуть важливу інформацію про зміни параметра в умовах дії випадкових або циклічних збурень. Їхній аналіз дозволить виявити приховані закономірності в причинах і проявах порушень нормального режиму роботи окремих об'єктів або енергетичного комплексу в цілому. Отримання оцінок контрольованого середовища за допомогою упорядкованих вибірок даних може бути ефективно використано в мультиагентних системах для енергетики [2, 3], що відрізняються здатністю реагувати на зміну середовища, цілеспрямованою поведінкою, можливістю комунікації з іншими інтелектуальними агентами. Програмно реалізовані агенти систем здійснюють функції моніторингу та діагностики, систем захисту, розподілених систем управління, а також моделювання і симуляції процесів, що дає змогу обмінюватися інформацією про конкретне обладнання [4]. Дослідження упорядкованих вибірок з множин випадкових дійсних чисел охоплюють широке  © Мазманян Р.О., 2021 ORCID ID: https://orcid.org/0000-0003-1178-4974 64 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 коло проблем, пов'язаних з вивченням їхніх фундаментальних властивостей і різноманіттям застосувань в обробці інформації [5, 6, 7]. Помітне місце в цих роботах займають перетворення абсолютно неперервних випадкових величин [8], які, крім практичної спрямованості, надають можливість вивчення та формалізації властивостей цього нелінійного методу обробки даних. Неперервність випадкових величин і функцій їхньої щільності ймовірності разом з дискретними параметрами методу, які є, по суті, дискретними аргументами безперервних функцій, забезпечили вичерпне аналітичне уявлення досліджуваних властивостей впорядкованих вибірок. У цьому сенсі, розгляд упорядкованих вибірок як систем з одним входом і багатьма виходами, або, що те ж саме, як багатоканальних pdf-конверторів [9], надає можливість створення цілісного опису процесів перетворення, загальних методів їхнього вивчення і формування порівнянних результатів для різних процедур і об'єктів досліджень, пов'язаних з ними. Раніше з аналітичних функцій щільності ймовірності, математичного сподівання і дисперсії [10] було визначено умовну параметричну близькість до функції Гауса і статистична близькість до нормального закону щільності ймовірності деяких з dk 20 елементів упорядкованих вибірок з порядком d і розміром 12  ds з множини випадкових, обмежених значенням maxX величин [9]. Було показано, що окремі поодинокі елементи багатоканального конвертора можуть входити в групи вікон параметричної та/або статистичної близькості, розміри яких не збігаються з їхніми граничними номерами. У цій роботі розглядаються властивості сум пар елементів, які однаково зміщені у виборах з порядком d і розміром s в протилежних щодо медіани напрямках на величину 0m d  . Мета роботи полягає в дослідженні перетворювальних властивостей багатоканальних конверторів, утворених сумами парних упорядкованих статистик вибірок з множини некорельованих даних з рівномірним розподілом, створенні статистичної моделі конвертації. Методика досліджень. 1. Спочатку аналітичними методами досліджень визначається результуюча функція щільності ймовірності суми spdf (sum probability density function) двох випадкових величин – довільних симетричних відносно медіани пар елементів вибірок із застосуванням інтеграла згортки [11]. Далі формулюються нульова і альтернативна її гіпотези про статистичну згоду випадкових величин – сумарних виходів пар елементів конвертора – з нормальним або іншими законами розподілу неперервних випадкових величин. Обґрунтовуються і формалізуються способи нормалізації spdf, тобто їхнє приведення до масштабів pdf елементів, що додаються, з виключенням з аналізу залежних значень в цих випадкових величинах. Нормалізовані spdf будуть представлені аналітичними залежностями від нормалізованих сум пар випадкових величин. 2. Зіставлення spdf з нормальним законом розподілу починається з подання порівнюваних функцій, як звичайної процедури наближення, апроксимації, визначення умов заміни однієї детермінованою аналітичної функції однієї або декількома іншими функціями [12, 13]. Апроксимуюча функція Гауса (pdfG) будується по середньоквадратичному відхиленню (СКВ) сумарної випадкової величини і далі нормалізується. Для зіставлення використовується похибка апроксимації у вигляді інтегрального показника відхилень між функціями. 3. Аналіз параметричної, в детермінованому сенсі, похибки апроксимації, визначення в новій сукупності з числом елементів, рівним порядку початкових упорядкованих вибірок d, елементів з особливими властивостями, встановлення їхнього зв'язку з величиною зміщення. 4. Отримання оцінок видимої близькості до розподілу Лапласа (pdfL) щільності суми елементів spdf з максимальним зсувом d для вибірок будь-якого порядку. І в цьому випадку виконується нормалізація розглянутих каналів парних елементів, формулюються власні основна гіпотеза ( )0 LH і альтернативна їй гіпотеза  1 LH . 5. Перевірки згоди сумарних випадкових величин до нормального закону і розподілу Лапласа чисельними методами досліджень виконуються окремо. Для цього формуються дві пари векторів дискретних значень pdfG і pdfL з spdf [10], обчислюються статистики хі-квадрат [14], визначаються критичні значення кожного каналу парних елементів, за якими приймаються або відхиляються сформульовані гіпотези. 6. Побудова вікон статистичної близькості і статистичних моделей багатоканальних конверторів парних елементів довільного порядку d з отриманих оцінок згоди для всіх каналів d0 spdf-конвертора. Функції щільності ймовірності суми парних елементів упорядкованих вибірок. Розглянемо зв'язок параметрів суми двох елементів вибірок spdf і параметрів pdf доданків цієї суми ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 65 (рис. 1). Абсолютні номери розглянутих пар елементів для позитивного і негативного зсуву m щодо медіани рівні  p mk d m  ,  n mk d m  , відповідно. Рис. 1 Розділимо випадкові величини елементів, що додаються, зі зміною позначення на y елемента з негативним зміщенням. Функція щільності ймовірності визначається згорткою щільності ймовірності доданків елементів вибірки [11], тобто                 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) con b p p n n p n d m S m S m S m S m a p z p x d k p x d k p x d k p z x d k dx     , (1) де щільність ймовірності елемента визначається формулою [10]       2 max max , max max max 2 1 !1 2 ! 2 ! 2 2 k d k d k d X x X x p x X k d k X X                     . (2) Очевидно, що межі змін суми двох випадкових величин подвояться yxz  , тобто maxmax 22 XzX  . Підстановка меж інтеграла згортки і щільності ймовірності елементів перетворює вираз (1) до вигляду                      22 , max max max max, n np pcon m mm m b k d kk d k d m a p z S d m X x X x X z x X z x dx                   , (3) де maxa X  , maxb z X  для 0z  ; maxa z X  , maxb X для 0z  , (4)                 2 , 2 1 max 2 1 !1 2 ! 2 ! ! !2 d m d n p n p m m m m d S d k d k k kX         (5) – коефіцієнт, який визначається дискретними значеннями порядку вибірки d і зміщенням елементів m, що додаються. З подвоєнням діапазону змін випадкової величини z зменшуються значення функції розподілу суми елементів    , con d mp z , що підтримує рівність одиниці граничного значення функції розподілу випадкової величини z. Для вибірок розміром d = 9 на рис. 2 показана функція щільності ймовірності (2) елемента  ,d dp x з номером k d , тобто  sum nX :0 0 + x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2  N Sort  sH1   ( ) sum nX +  sum nX :1 sS1 x1 x0  sum nX :2 + +  sum ndX :1 +  sum ndX : 0 1 2 1... s sx x x x x     p mk  n mk Рис. 2 66 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 медіани, і spdf    ,0 con dp z пари зі зміщенням 0m  , яка підсумовується. Це особливий випадок, коли підсумовуються два доданки, два елементи, функції щільності яких рівні між собою. На цьому і наступних рисунках обидві функції будуть представлені в шкалі випадкової величини x, тобто для max maxX z X   . Про перевірку гіпотез розподілу з відомими параметрами. Зазвичай нульова H0 і альтернативна H1 статистичні гіпотези формулюються як припущення, призначені для перевірки відповідності невідомих параметрів розподілу вибіркових даних якого-небудь передбачуваного закону розподілу. Як правила прийняття або відхилення статистичних гіпотез для оцінки близькості двох різних аналітично заданих розподілів із загальними параметрами, як і раніше [9], використовується критерій хі-квадрат. Нормалізація функції щільності розподілу суми пар елементів. Необхідність співставлення функцій щільності суми і окремих елементів вимагає нормалізації [15] результатів підсумовування, тобто їхнього зведення до початкового масштабу, до загальних шкал для випадкових величин и досліджуваних pdf і spdf. Нормалізацію за двома параметрами необхідно виконувати із застосуванням двох множників, які визначаються окремо для інтеграла згортки і для її незалежної змінної z. Коректуючи множники надають одночасний нормуючий вплив на результат, але розділені по точці прикладання. Збільшення вдвічі діапазону змін суми компенсується множником ,d m для суми випадкових значень елементів вибірки z. Зменшення значень щільності ймовірності суми компенсується множником ,d m , що застосовується до значень функції щільності ймовірності. Коректне застосування інтегралу згортки вимагає виключення залежних значень [16] в елементах зі зміщенням m, що додаються. Їхнє число залежить від порядку вибірки і зміщення. Тому статистична корекція результатів узгоджується з метою нормалізації і форматом множників, що нормалізують. Включення фактора статистичної корекції в множники ,d m та ,d m , що нормалізують, засноване на аналізі ймовірності виникнення залежних/незалежних пар подій в особливих випадках і врахування загального коефіцієнта нормалізації λ. Він дорівнює добутку нормалізуючих множників і має постійну величину, яка визначається відносним числом подій суми для будь-яких значень порядку вибірки і зміщення пари, тобто d,m d,m 2     . (6) Перший особливий випадок відноситься до статистик впорядкованих вибірок зі зміщенням 0m  , що додаються, і однаковими їхніми номерами     0 0 p nk k k d   (рис. 3, а). Вони повністю взаємно залежні. Число незалежних значень цієї пари дорівнює половині від їхнього загального числа. Коректуючий вплив, що дорівнює 2, забезпечується за його рівного розподілу між двома множниками, тобто за ,0 2d  і ,0 2d  . Другий випадок пов'язаний зі зміщенням пари елементів, рівним порядку вибірки d, тобто dkk p dp 2 , 0 n dn kk (рис. 3, б). Тут число незалежних подій  ind dn дорівнюватиме сумі подій двох еле- ментів, тобто двом. Корекція по незалежній змінній означає перехід від z до x зі змен- шенням меж в 2 рази. Це очевидний факт, пов'язаний з самою величиною, що коректується, тому що в цій парі елементів знаходяться взаємно неза- лежні випадкові величини. Тут вони залишаться і після виконання цієї складової корекції для приведення значень сумарної випадкової величини a б Рис. 3 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 67 до меж змін однієї випадкової величини. Коректувальний множник ,2 2d m  для номерів пар елементів 0 m d  використовується для зменшення діапазону, тобто в знаменнику випадкової величини z. Коректувальний множник ,d m використовується для збільшення значень функцій щільності, тобто в чисельнику коефіцієнта  ,S d m (5) інтеграла згортки (3). Значення множника визначаються з рівності (6) , ,d m d m   . (7) Таким чином, у разі зміни зсуву пари доданків елементів від 0 до d число незалежних подій  indn буде змінюватися в діапазоні значень від 1 до 2, тобто від їхньої повної взаємної залежності до їхньої повної незалежності. Лінійні наближення змін коректувальних множників в залежності від порядку вибірки визначаються наступними виразами: , ,0 ( )lin d m d d m     , , ,0 ( )lin d m d d m     , (8) де , ,0( ) ( )d d dd d    , , ,0( ) ( )d d dd d    – кутові коефіцієнти за напрямками корекції. На рис. 4, a представлено графіки зміни коректувальних множників для 9d  . Чисельна оцінка залежності/незалежності випадкових величин будь-якої пари елементів упорядкованих вибірок визначається часткою площі взаємного перекриття або вільної від перекриття в загальній площі їхніх функцій щільності розподілу. Для симетричних відносно медіани пар елементів зі зміщенням 3m  , наприклад, (рис. 4, б), ця площа визначає частку залежних/незалежних подій в результаті скла- дання. Її слід враховувати під час коректування результату. Очевидно, що пере- криття симетричних пар для правого елемента ( ) , p d mk d m  утворено пло- щею, обмеженою нега- тивною піввіссю абсцис і його функцією розподілу щільності ймовірності в цій області, а для лівого елемента ( ) , n d mk d m  – позитивної піввіссю і функцією розподілу лівого елемента. Причому, в силу симетрії площі функції щільності ймовірності елементів щодо осей ординат рівні між собою. Тому сумарне число незалежних подій пари елементів визначається площею, обмеженою межами max 0X  і max0 X для лівого і правого елемента, відповідно (рис. 4, б), або подвоєному значенню числа одного з них. Частка (ймовірність) незалежних подій для лівого елемента визначається значенням функції розподілу  P x в точці 0x  , а для правого  1 P x . Загальна частка (ймовірність) незалежних подій для суми дорівнює подвоєному значенню ймовірності одного з елементів. Ймовірність появи   )( )( ,, p md ind md kp незалежних подій правого від медіани елемента визначається площею її функції щільності ймовірності в діапазоні від нуля до maxX (рис. 4, б)           max ( ) ( ) , 2( ) max max max 0 2 1 !1 2 ! 2 ! p p m m d k X k d kind d p x X x X x X k d k           . (9) Залежні події в цьому випадку будуть мати ймовірність, яка визначається рівністю      , , ,( ) 1dep indp p d m d m d m mp k p k  . Зміну ймовірностей подій в залежності від зміщення показано на рис. 5, a. Нелінійну корекцію функції щільності ймовірності (10) отримано шляхом зміщень і a б Рис. 4 68 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 масштабування подвоєної ймовірності появи незалежних подій   )( )( ,, p md ind md kp     2225.0)(2 )( ,  p mindmd kp . (10) Коректу- вальний множ- ник по неза- лежній змінній визначається з рівності (7). Множники за двома напрямка- ми графічно показано на рис. 5, б. Корекція сумарної випадкової величини   1 ,d mu z     , введення коректувального spdf множника ,d m з (7), заміна позначення в підінтегральному виразі x на y та перетворює (3) до нормалізованого вигляду                     , , , , 22 max max max max ( , , ) n np p m mm m norm d m d m d m d m b k d kk d k a p u p u d m S X x X x X z x X z x dx                           , (11) де межі інтегрування визначаються з (4). Повернення до початкової випадкової величини дає змогу завершити нормалізацію формулою        , , norm norm d m d mp x p u . (12) Функції щільності ймовірності двох одноелементних медіан разом з нормалізованої spdf пари елементів з нульовим зміщенням, тобто dkk n d p d  )( 0, )( 0, , показано на рис. 6. Нижче наведено факторіальний вираз для формули нормалізованої щільності ймовірності суми двох симетрично розташованих елементів упорядкованих вибірок, отриманий за допомогою біноміального розкладання співмножників підінтегрального виразу в рівнянні (11)    , , , con d m d m d mp x S                     ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 max ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , 1 2 ! 2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2 ! 2 2 1 ! p p n n m m m m in ip d jn jp in ip n p n pk d k k d k m m m m n p n p jp ip jn in m m m m jn in i d m X d k d k k k jn jp in ip k jn k jp d k in d k ip x jn in                                                         1 1 max max , 1 0 1 max max , 2 0 ! ! 1 2 0 jp ip ii jp ip i jn in d m jp ip i i jp ip i d m x X X x i jn in i jp ip i x X X x                                           (13) Апроксимація функцій і оцінка параметричної близькості. Апроксимація функцій може розглядатися як заміна досліджуваної функції іншої, більш простою або більш зручною для використання. Такий детерміністський підхід потребує застосування чисельних оцінок і критичних значень відмінностей, які дозволять судити про параметричну близькість або віддаленість заміни в a б Рис. 5 Рис. 6 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 69 рамках прийнятих двох гіпотез. Якщо для оцінок якості наближення можуть використовуватися різні показники точності/похибки апроксимації, то вибір їхніх критичних значень не має обґрунтованих правил прийняття і відхилення гіпотез, що перевіряються. Тому параметрична перевірка буде носити умовний характер, пов'язаний з порогом прийняття рішень. Така процедура може бути корисною, наприклад, для зіставлення параметричних висновків з результатами статистичної перевірки. Загальний вигляд функцій щільності ймовірності лівосторонніх і правобічних відносно медіани каналів pdf-конвертора і каналів парних сум spdf для вибірок з порядком 9d наведено на рис. 7, а. Нормалізовані spdf разом з каналами елементів, що додаються, показані на рис. 7, б. Побудова апроксимуючої функції. Апроксимуюча функція Гауса в першому наближенні будується за двома параметрами досліджуваної випадкової величини, тобто впорядкованої статистики розглянутого каналу, – її дисперсії і середнього значення. Середні симетричної відносно медіани пари елементів впорядкованої вибірки [10] мають рівні, але протилежні за величиною значення  , 1 1 m d k m X M k X d      . (14) Тому сума довільної симетричною пари має нульовий зсув. Дисперсія елементів упорядкованих вибірок визначається виразом [10]                         (2) 2 , , , 2 2 max 2 1 0 0 2 2 2 max 2 1 0 0 2 1 ! 1 1 2 ! ! ! 2 ! 3 2 1 ! 1 1 . 2 ! ! ! 2 ! 2 d k d k d k m jk d k d j m m jk d k d j m D d X j m k j d k m m j d X j m k j d k m m j                                                                  (15) Тут дисперсія суми обчислюється з початкової функції щільності ймовірності суми елементів (3) без коректувального множника, тому що під час підсумовування вдвічі збільшується діапазон змін випадкової величини з одночасним зменшенням вдвічі значень функції щільності суми                  2 222 , , max max max max 2 n np p m mm m X b k d kk d ksum d m d m X a D S z X x X x X z x X z x dx                      . (16) Межі інтегрування  ,a b визначаються з (4). Дисперсія суми двох елементів впорядкованої вибірки дорівнює сумі дисперсій доданків елементів [17]. На рис. 8 показано дисперсії каналів одноелементного конвертора kD ,9 і конвертора парних елементів ( ) 9, sum mD для номерів елементів і їхніх зсувів, відповідно. а б Рис. 7 m maxX maxX )(x )(xp 0 m maxX )(x 0 maxX )(xp  xp n mkd )(, )()( , xp sum md )()(, xp p mkd  xp n mkd )(, )()(, xp p mkd )()( , xp norm md 70 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 Вибіркові середньоквадратичні відхилення елементів пов'язані з дисперсіями залежністю , ,d m d mD  . (17) Нормалізація функції Гауса. Апроксимуюча функція Гауса визначається середньоквадратичним відхиленням пар елементів, що додаються, з введенням коректувальних множників в інтервалі змін випадкової величини. Корекція функції Гауса здійснюється множником, як і за нормалізації spdf, яка апроксимується. А корекція аргументу цієї функції здійснюється його подвоєнням для підгонки під подвійний інтервал, а потім в знаменник вводиться корекція подвійного інтервалу          22, , , , exp 0,5 2 sd m d m d ms d m G u u           , (18) де     max , 2 d m u x X x      . Процедура забезпечує рівність одиниці площі апроксимуючої функції для всіх припустимих значень його дискретних аргументів. Слід зазначити, що для суми елементів зі зміщеннями, близькими до порядку вибірки, спосте- рігається деяке заниження максимуму spdf за збере- ження близькості двох функцій на всьому діапазоні змін нормованої по аргу- менту суми випадкових величин елементів. Це показано на рис. 9, a для елементів, що додаються, зі зміщенням 7m  в вибірках з порядком 8d  . Наведені до діапазону змін інтегральні значення відхилень pdf, що апрок- симується, від функції Гауса (рис. 9, б), визначаються залежностями (11), (12) і (18)       X X md norm md G md dxxGxp X A , )( , max )( , 2 1 . (19) Графічне подання похибок апроксимації елементів упорядкованих вибірок, що додаються, як виходів багатоканального конвертора, дозволяє судити про цілком певну їхню впорядкованість, схожу з впорядкованістю одноелементних конверторів [10]. Йдеться про наявність виходу, що займає серединне положення в ряду виходів spdf-конвертора, і має мінімальні відмінності від апроксимуючої функції Гауса. В цьому випадку можна стверджувати про відтворення в дещо зміненому форматі структури початкової впорядкованої вибірки з випадкових величин як одноелементного pdf-конвертора. Номер цього елемента в ряду виходів конвертора парних елементів графічно визначається з рівності дисперсії суми двох елементів впорядкованої вибірки сумі дисперсій елементів, що додаються [17]. Для випадку парного порядку вихідних вибірок (рис. 10, а) номер медіанного каналу spdf-конвертора (рис. 1) дорівнює / 2d Рис. 8 а б Рис. 9 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 71 а б Рис. 10 Непарний порядок вихідних вибірок (рис. 10, б) формує конвертори другого типу, які відрізняються наявністю двох серединних каналів з номерами, рівними меншої  lm і більшої  rm цілої частині зсуву, рівного / 2d . Асиметрія дисперсії щодо медіанного каналу або двох серединних каналів призводить і до асиметрії інтегральних відхилень )(GA від функції Гауса spdf, що апроксимується, (рис. 9, б) На другому етапі нормалізації апроксимуючої функції Гауса визначаються масштабуючи коефіцієнти, що доповнюють її      1( ) (max) , , , 0G d m d m d mp x G   , (20) де максимальні значення функцій щільності ймовірності (11), (12) рівні                   max max maxmax21 max ,(max) , !!2 !12 X X mdmd d md md dxxXxX mdmdX d p  , (21) а максимальні значення апроксимуючої функції визначаються з її формули (17)  s md mdG , , 2 1    . (22) Зведення максимального значення функції Гауса до максимального значення spdf , що апроксимується, здійснюється коректувальним СКВ множником    s md G md G md ,, )( ,   . (23) Нормалізована функція Гауса       22, ( ) , , ,( ) , exp 0,5 2 / 2 d m G d m d m d mG d m G x x            (24) далі буде використана для статистичної оцінки каналів spdf-конвертора. Особливий випадок перетворень парними елементами. Серед усіх можливих пар елементів вибірок можна виділити пару, зміщення яких дорівнюють порядку вибірки, що розглядається. Для крайніх лівосторонніх і правобічних елементів сума формується з монотонно спадної і монотонно зростаючої функцій щільності ймовірності, відповідно. (рис. 11, a). Всі інші утворені функціями щільності ймовірності пар елементів, що мають монотонно зростаючі і монотонно спадні області (рис. 9, а). Сумарна щільність розподілу елементів для цих номерів має найбільшу відміну від апроксимуючої функції Гауса. Її форма має помітну схожість з функцією розподілу Лапласа. Для перевірки припущення формулю- ються основна )(0 LH і альтернативна їй  LH1 2/d 2/d а б Рис. 11 72 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 гіпотези про близькість або віддаленість spdf периферійних каналів з апроксимуючої функцією Лапласа, представленої у вигляді залежності від випадкової величини x з параметром  [18]. Нормалізація функції Лапласа. Корекція функції розподілу Лапласа не вимагає застосування коректувальних множників  і  , тому що елементи з максимальним зміщенням не містять залежних випадкових величин. Використаємо як параметр  функції щільності ймовірності Лапласа (pdfL) значення СКВ  s md , функції, що апроксимується, тобто,    1 ,2 s d m           1 1 , , ,exp exp 2 2 s s d m d m d mL x x x                   . (25) Множник  L md , зведення spdf пари елементів з функцією щільності ймовірності Лапласа визначається з відношення їхніх значень (25) і (13) для незалежної випадкової величини 0x            max ,, , , , 0 0 md s mdcon md mdL md p p L   . (26) Після нормалізації pdfL (25) прийме вигляд            max , max , , , , , , 2exp 2 exp mdmds md L md s md L md md pxp x xL                . (27) Результат нормалізації функції Лапласа представлений на рис. 11, б. Середньоквадратична похибка апроксимації і в цьому разі визначається як різниця даних функцій. Наведені до діапазону змін інтегральні значення відхилень spdf від функції Лапласа (рис. 11, б), визначаються різницею залежностей (11), (12) і (27)       X X md norm md L md dxxLxp X A , )( ,, 2 1 . (28) Графічне подання похибки апроксимації функцією Лапласа для елементів із зміщенням m вибірок до 25d  і умовним критичним значенням, рівним 0.01, наведено на рис. 12. Перевірка статистичних гіпотез. Для аналізу властивостей впорядкованих вибірок з множини некорельованих випадкових величин було сформульовано два припущення щодо виду розподілу щільності ймовірності spdf-конвертора. В цьому випадку висунуті нульові гіпотези розглядаються незалежно один від одного, і кожна з них має власну альтернативну гіпотезу. Як і раніше [9], перевірка справедливості гіпотез для кожної з випадкових величин   ( ) sum nX на виході багатоканального конвертора буде виконуватися за допомогою критерію згоди Пірсона хі-квадрат, якій для безперервних функцій щільності ймовірності виходів конвертора ( ) , norm d mp і розподілів Гауса  ,d mG x і Лапласа  ,d mL x , запишеться у такий спосіб:           n i imd imdi norm mdG md xG xGxp n 0 , 2 , )( ,2 , )( )(  , (29)           n i imd imdi norm mdL md xL xLxp n 0 , 2 , )( ,2 , )( )(  , (30) де n – число дискретних значень spdf, pdfG і pdfL (11), (12), (18), (27) від випадкової величини Рис. 12 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 73 mim XxX  [19, 20]. Перевірки обох пар статистичних гіпотез проводяться в наступній послідовності: обчислю- ються роздільні статистики хі-квадрат (29), (30) для n випадкових величин   ( ) s nX , задаються загальні рівень значущості  , тип критичних областей і число ступенів свободи по числу інтервалів n, тобто 1 2df n   , визначається єдина межа критичної області, рівна квантиллю розподілу χ2 порядку 0.95. Перевищення критеріями   2 , G d m або   2 , L d m узагальнюючої міри розбіжності між порівнюваними функціями відхиляє нульові гіпотези на користь прийняття висновку щодо відсутності згоди з очікуваними pdfG і pdfL. Результати перевірки гіпотез про узгодженість елементів окремих упорядкованих вибірок з законами розподілу Гауса і Лапласа показано на рис. 13, а, б, відповідно. Пара серединних елементів дванадця- тиканального spdf-кон- вертора викликає спло- щення мінімальних зна- чень критерію близькості до нормального закону розподілу   2 12, G m (рис. 13, а). Вікна статистичної близькості до нормаль- ного закону розподілу ( )w ds разом з розміром конвертора парних елементів ds для 1 25d   , які поєднують групи елементів, розподіл щільності ймовірності яких згідний із нормальним законом, показано на рис. 14. Лінійне наближення для визначення розмірів вікон близькості до нормального закону розподілу визначається формулою ds G d  88.0 )( . (31) Номери медіан конверторів ( )median dm також показано на цьому рисунку. Вікна близькості до закону розподілу Лапласа ( )L ds мають одиничний розмір для всіх значень порядку вибірок. Узагальненням результатів досліджень може служити статистична модель багатоканального кон- вертора парних елементів, що представляє собою набір функцій Гауса (24) і Лапласа (27), які статистично близькі до функцій щільності розподілу каналів. Параметри каналів моделі, які виділяються вікнами близькості, визначаються середніми значеннями (14), дисперсіями (16) і середньоквадратичними відхиленнями (17). Порівняння вікон близькості каналів одноелементних pdf-конверторів [9] і spdf-конверторів (31) заданих порядків показує суттєве збільшення (в 1.5 а б Рис. 13 Рис. 14 74 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 рази, приблизно) частки згодних з нормальним розподілом в конверторах парних елементів. Висновки 1. Розроблено і випробувано методику аналітичних і чисельних досліджень перетворювальних властивостей багатоканальних конверторів пар елементів упорядкованих вибірок з множини випадкових некорельованих даних з рівномірним розподілом. 2. Визначено аналітичні залежності імовірнісних параметрів – безперервних функцій щільності ймовірності, середніх значень і моментів суми пар елементів від порядку впорядкованої вибірки і їхні зміщення елементів m щодо медіани. 3. Виведено вирази нормуючих і коректувальних множників для досліджуваних функцій щільності розподілу ймовірності і апроксимуючих їхніх функцій розподілу Гауса і Лапласа, запро- поновано і реалізовано процедури нормалізації – приведення до єдиних шкал, і виключення впливу залежних випадкових величин на імовірнісні параметри; 4. Показано існування власних медіан spdf-конверторів, які містять один в разі непарного або два – для парного порядку вибірок, серединних елементів в ряду його виходів, утворених сумою парних елементів. 5. Виконано статистичну перевірку гіпотез щодо близькості до нормального розподілу і закону розподілу Лапласа всіх пар елементів вибірок довільного порядку з використанням критерію згоди хі- квадрат. 6. Узагальнення результатів в статистичної моделі багатоканального конвертора неко- рельованих даних засновано на вікнах статистичної близькості до кожного з розглянутих розподілів, що визначають розміри і положення вікон щодо каналів spdf-конвертора. Параметри каналів моделі визначаються параметрами апроксимуючих функцій щільності ймовірності. 7. Запропонована методика досліджень може бути використана для визначення пере- творювальних властивостей багатоканальних spdf-конверторів з іншими абсолютно безперервними функціями щільності розподілу ймовірності. Роботу виконано за рахунок коштів бюджетної програми "Розвиток наукових засад методів та засобів вимірювання експлуатаційних параметрів обладнання електростанцій» (0116U007285)(КПКВК 6541030). 1. Luo D., Wan X., Liu J., & Tong T. Optimally estimating the sample mean from the sample size, median, mid- range, and/or mid-quartile range. Statistical Methods in Medical Research. 2016. No 27(6). Pp. 1785-1805. DOI: https://doi.org/10.1177/0962280216669183. 2. B. Horling and V. Lesser, A Survey of Multi-Agent Organizational Paradigms. The Knowledge Engineering Review. 2004. Vol. 19. No 4. Pp. 281–316. DOI: https://doi.org/10.1017/S0269888905000317. 3. Moradi, M. H., Razini, S., & Mahdi Hosseinian, S. State of art of multiagent systems in power engineering: A review. Renewable and Sustainable Energy Reviews. 2016. No 58. Pp. 814–824. DOI: https://doi.org/10.1016/j.rser.2015.12.339. 4. McArthur S. D. J. et al. Multi-Agent Systems for Power Engineering Applications—Part II: Technologies, Standards, and Tools for Building Multi-agent Systems. IEEE Transactions on Power Systems. 2007. Vol. 22. No 4. Pp. 1753-1759. DOI: https://doi.org/10.1109/TPWRS.2007.908472. 5. Shahbaz M. Q., Ahsanullah M., Hanif Shahbaz S. and Al-Zahrani B. Ordered Random Variables: Theory and Applications. Atlantis Press and Springer, 2016. 294 p. DOI: https://doi.org/10.2991/978-94-6239-225-0. 6. Dytso A., Cardone M., M. S. VeeduV. Poor, On estimation under noisy order statistics. Proceedings of the International Symposium on Information Theory, Paris, France, 2019. Pp. 36-40. URL: https://arxiv.org/abs/1901.06294 (accessed at 20.12.2020) 7. Liu Z. and Zhu J. Signal Detection From Unlabeled Ordered Samples. IEEE Communications Letters. 2018. Vol. 22. No 12. Pp. 2431-2434. DOI: https://doi.org/10.1109/LCOMM.2018.2875454. 8. David H.A., Nagaraja H.N. Order Statistics. John Wiley & Sons, Inc., 2003. DOI: https://doi.org/10.1002/0471722162. 9. Mazmanian R.O. Noncorralated data ordered samples as a single-element multichannel converter. Tekhnichna Electrodynamika. 2021. No 3. Pp. 74 – 82. (Ukr). DOI: https://doi.org/10.15407/techned2021.03.074 10. Mazmanian R.O. Ordered samples of random uncorrelated signal characteristics. Tekhnichna Electrodynamika. 2004. No 6. Pp. 60 – 64. (Rus). 11. Hogg R., McKean J., Craig A. Introduction to Mathematical Statistics. Boston: Pearson, 2019. 746 p. 12. Barron A.R., Sheu Ch.-H. Approximation of density functions by sequences of exponential families. The Annals of Statistics. 1991. Vol. 19. No 3. Pp. 1347-1369. DOI: https://doi.org/10.1214/aos/1176348252 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 75 13. Approximating the Probability Density Function of a Transformation of Random Variables. Methodology and Computing in Applied Probability. 2019. No 21. Pp. 633–645. DOI: https://doi.org/10.1007/s11009-018-9629-0 14. Montgomery, Douglas C., George C. Runger. Applied statistics and probability for engineers. John Wiley & Sons, Inc., 2002. 792 p. 15. Kappal S. Data Normalization using Median & Median Absolute Deviation (MMAD) based Z-Score for Robust Predictions vs. Min – Max Normalization. Journal of Research in Science: Natural and Formal. 2019. Vol. 19. No 4. Pp. 39 – 44. 16. Garthwirt J.L, Rubin H. The behavior of robust estimators on dependent data. The Annals of Statistics. 1975. Vol. 3. No 5. Pp. 1070-1100. 17. Grinstead C. M., Snell J.L. Introduction to probability. Providence, RI, American Mathematical Society, 1997. 510 p. 18. Kozubowski T.J., Podgorski K. Laplace probability distributions and related stochastic processes. Chapter 3. In book: Probability: Interpretation, Theory and Applications. New York: Nova Science Publishers, 2011. Pp. 105-145. 19. Guenther W.C. Power and Sample Size for Approximate Chi-Square Tests. The American Statistician. 1977. Vol. 31. No 2. Pp. 83-85. 20. Nisen J.A., Schwertman N.C., A simple method of computing the sample size for Chi-square test for the equality of multinomial distributions. Computational Statistics and Data Analysis. 2008. No 52. Pp. 4903–4908. DOI: https://doi.org/10.1016/j.csda.2008.04.007. MULTICHANNEL CONVERTION OF RANDOM DATA WITH THE PAIR-ELEMENTS OF ORDERED SAMPLES R.O. Mazmanian Institute of Electrodynamics National Academy of Sciences of Ukraine, 56, Peremohy ave, Kyiv, 03057, Ukraine, e-mail: mazmanian@ied.org.ua The concept of multichannel parallel converting of probability density function (pdf) of random data was previously used for single-element pdf-converters. In development of this concept, here we investigate converting properties of spdf-converters channels formed by the sum of the pairs of ordered sample elements (order statistics). The characteristics of the conversion results as dependencies on the size of the samples and the displacement of the channels relative to the median of the samples were obtained for data with a uniform distribution density. Also where excluded the areas of mutual dependence of the density functions of the summed elements, which further where normalized together with approximating them functions. Despite the apparent structural differences, the goal of this study still was to determine the closeness of the converted data with some standard functions of the probability distribution density, in particular, with the normal distribution law. As before, the estimates of the closeness of the spdf- converter channels were obtained using the chi-square criteria. The results of the research were used to determine the size and location of the statistical closeness windows, and to construct spdf-converters statistical model. References 20, Figures 14. Keywords: random data, uniformly distribution, ordered samples, probability density function (pdf), sum of the pairs of order statistics, spdf-converter, density estimation. Надійшла 22.04.2021 Остаточний варіант 07.06.2021
id	techned_org_ua-article-182
institution	Technical Electrodynamics
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-17T01:00:50Z
publishDate	2021
publisher	Інститут електродинаміки НАН України, Київ
record_format	ojs
resource_txt_mv	technedorgua/ae/ec3e707f66c62f38e1ee6c4b1e8154ae.pdf
spelling	techned_org_ua-article-1822021-08-26T09:44:33Z MULTICHANNEL CONVERTION OF RANDOM DATA WITH THE PAIR-ELEMENTS OF ORDERED SAMPLES БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК Мазманян, Р.О. random data uniformly distribution ordered samples probability density function (pdf) sum of the pairs of order statistics spdf-converter density estimation випадкові дані рівномірний розподіл впорядковані вибірки функція щільності ймовірності probability density function (pdf) сума парних упорядкованих статистик spdf-конвертор оцінка щільності ймовірності The concept of multichannel parallel converting of probability density function (pdf) of random data was previously used for single-element pdf-converters. In development of this concept, here we investigate converting properties of spdf-converters channels formed by the sum of the pairs of ordered sample elements (order statistics). The characteristics of the conversion results as dependencies on the size of the samples and the displacement of the channels relative to the median of the samples were obtained for data with a uniform distribution density. Also where excluded the areas of mutual dependence of the density functions of the summed elements, which further where normalized together with approximating them functions. Despite the apparent structural differences, the goal of this study still was to determine the closeness of the converted data with some standard functions of the probability distribution density, in particular, with the normal distribution law. As before, the estimates of the closeness of the spdf-converter channels were obtained using the chi-square criteria. The results of the research were used to determine the size and location of the statistical closeness windows, and to construct spdf-converters statistical model. References 20, figures 14. Концепцію багатоканальної паралельної конвертації функції розподілу щільності ймовірності, pdf, випадкових даних раніше було застосовано в дослідженні властивостей одноелементних pdf-конверторів. У розвиток концепції в статті досліджуються перетворювальні властивості каналів spdf-конверторів, утворених сумою пар елементів упорядкованих вибірок (впорядкованих статистик). Характеристики результату конверсії, як залежності від розміру вибірок і зміщення каналів відносно її медіани, було отримано для даних з рівномірним розподілом щільності. З аналізу виключено області взаємної залежності функцій щільності елементів, що додаються, котрі далі, разом з апроксимуючими їх функціями, було нормалізовано. Незважаючи на очевидні структурні відмінності, завданням даного дослідження, як і раніше, було визначення згоди перетворених даних з деякими стандартними функціями щільності розподілу ймовірностей, зокрема, з нормальним законом розподілу. Як і раніше, оцінки близькості каналів spdf-конвертора отримано за допомогою критерію хі-квадрат. Результати досліджень використано задля визначення розміру і розташування вікон статистичної близькості, побудови статистичних моделей каналів конвертора. Бібл. 20, рис. 14. Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2021-08-26 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/182 10.15407/techned2021.05.063 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 5 (2021): TEKHNICNA ELEKTRODYNAMIKA; 063 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 5 (2021): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 063 2218-1903 1607-7970 10.15407/techned2021.05 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/182/157 Авторське право (c) 2021 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0
spellingShingle	випадкові дані рівномірний розподіл впорядковані вибірки функція щільності ймовірності probability density function (pdf) сума парних упорядкованих статистик spdf-конвертор оцінка щільності ймовірності Мазманян, Р.О. БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК
title	БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК
title_alt	MULTICHANNEL CONVERTION OF RANDOM DATA WITH THE PAIR-ELEMENTS OF ORDERED SAMPLES
title_full	БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК
title_fullStr	БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК
title_full_unstemmed	БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК
title_short	БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК
title_sort	багатоканальне конвертування випадкових даних парними елементами впорядкованих вибірок
topic	випадкові дані рівномірний розподіл впорядковані вибірки функція щільності ймовірності probability density function (pdf) сума парних упорядкованих статистик spdf-конвертор оцінка щільності ймовірності
topic_facet	random data uniformly distribution ordered samples probability density function (pdf) sum of the pairs of order statistics spdf-converter density estimation випадкові дані рівномірний розподіл впорядковані вибірки функція щільності ймовірності probability density function (pdf) сума парних упорядкованих статистик spdf-конвертор оцінка щільності ймовірності
url	https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/182
work_keys_str_mv	AT mazmanânro multichannelconvertionofrandomdatawiththepairelementsoforderedsamples AT mazmanânro bagatokanalʹnekonvertuvannâvipadkovihdanihparnimielementamivporâdkovanihvibírok

БАГАТОКАНАЛЬНЕ КОНВЕРТУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ДАНИХ ПАРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ВПОРЯДКОВАНИХ ВИБІРОК

Institution

Ähnliche Einträge