ДВИЖУЩИЕСЯ КООРДИНАТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ УСТРОЙСТВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПРОВОДНИКАМИ
On the conductive shell example the problem of using moving coordinates in calculations of electromagnetic field within conductive body, which moving with non-relative velocity is analyzed. Cases with unknown external magnetic field are observed. A necessity of reverse transition from coordinates, w...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України, Київ
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/840 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Technical Electrodynamics |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Technical Electrodynamics| _version_ | 1870202541806977024 |
|---|---|
| author | Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. |
| author_facet | Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О.Я. Коновалов",
"institution": "Національний технічний університет «Харківський політехнічний інситут», вул. Кирпичова, 2, Харків, 61002, Україна"
},
{
"author": "В.М. Михайлов",
"institution": "Національний технічний університет «Харківський політехнічний інситут», вул. Кирпичова, 2, Харків, 61002, Україна"
}
] |
| author_sort | Коновалов, О.Я. |
| baseUrl_str | https://techned.org.ua/index.php/techned/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-12-24T16:12:29Z |
| description | On the conductive shell example the problem of using moving coordinates in calculations of electromagnetic field within conductive body, which moving with non-relative velocity is analyzed. Cases with unknown external magnetic field are observed. A necessity of reverse transition from coordinates, which moving with conductive body, to initial still coordinates is justified. Calculation results of magnetic pulse forming of cylindrical conductive shell by external coil, on which capacitor discharges are presented. The changing of shell thickness is considered. It was founded, that after expansion and stopping the shell the compression with higher velocity. References 7, figures 3. |
| doi_str_mv | 10.15407/techned2016.04.011 |
| first_indexed | 2026-06-16T01:11:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 4 11
Рис. 1
а
б в
УДК 621.3
ДВИЖУЩИЕСЯ КООРДИНАТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
УСТРОЙСТВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПРОВОДНИКАМИ
О.Я. Коновалов*, канд.техн.наук, В.М. Михайлов, докт.техн.наук
Национальный технический университет "Харьковский политехнический институт",
ул. Багалия, 21, Харьков, 61002, Украина, e-mail: valery.m.mikhailov@gmail. com
На примере проводящей оболочки анализируется проблема использования движущихся координат в расчетах
электромагнитного поля внутри проводящего тела, движущегося с нерелятивистской скоростью, при неиз-
вестном внешнем магнитном поле. Обоснована необходимость обратного перехода из движущихся вместе с
проводящим телом координат в исходные неподвижные координаты. Приведены расчеты магнитно-импульс-
ного деформирования цилиндрической проводящей оболочки при помощи внешнего соленоида, на который раз-
ряжается конденсатор, с учетом изменения ее толщины. Библ. 7, рис. 3.
Ключевые слова: магнитное поле, движущийся проводник, движущиеся координаты.
Введение. В книге Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица отмечается существенное упрощение задачи расчета
электромагнитного поля в движущемся недеформируемом проводящем теле, если используется жестко связан-
ная с ним система координат (движущиеся координаты) [4, c. 306]. Внешнее магнитное поле при этом полагает-
ся известным. Очевидные упрощения – более простая форма уравнений поля в проводящем теле, которое ста-
новится неподвижным, и получение аналитических соотношений [1, 5].
Целью работы является анализ особенностей применения движущихся координат в тех случаях, когда
внешнее магнитное поле является неизвестным и зависит от влияния неподвижных проводников, а также вих-
ревых токов, вызванных движением проводящего тела.
Основные допущения и исходная формулировка задачи. Пусть однородное осевое магнитное поле
создается цилиндрическим достаточно длинным бесконечно тонким неподвижным соленоидом 1, который вы-
водами а, б подключается к источнику напряжения u(t) (рис. 1). Активным сопротивлением соленоида пренеб-
регаем. Внутри соленоида 1, соосно с ним, расположена цилиндрическая проводящая оболочка 2, деформируе-
мая под действием внешнего магнитного поля. Напряженности магнитного и электрического поля H
r
и E
r
в
цилиндрических координатах r, ψ, z (рис. 1, б, r1
r
, ψ1
r
, z1
r
– орты) имеют по одной, зависящей только от коорди-
наты r ненулевой проекции Нz и Еψ, индексы которых в дальнейшем опускаем. Среда вне проводников являет-
ся непроводящей и немагнитной. Примем следующие основные допущения: 1) выполняются условия квазиста-
ционарности; 2) электрофизические характеристики оболочки постоянны; 3) скорость движения оболочки зна-
чительно меньше скорости света; 4) толщина оболочки d << r1 (r1 – внутренний радиус оболочки), а волна элек-
тромагнитного поля, проникающего в оболочку, близка к плоской.
Исходная формулировка электромагнитной части задачи в неподвижных цилиндрических координатах
имеет следующий вид:
уравнение для напряженности магнитного поля H(r, t) –
02
2
=μγ−
∂
∂
dt
dH
r
H ; (1)
начальное условие – 0)0,( =rH ; (2)
граничные условия –
( ) ( ) ( ) 0,
2
,, 11
110
1
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +γμ−
∂
∂
= dt
trdHrtrHtrV
r
H
rr
, (3)
( ) ( ) ( ) 0
2
)(,
2
,,
2
2
2
2
2
2
3
220
2
=
π
γ
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
−γμ−
∂
∂
= wr
tu
dt
trdH
r
rrtrHtrV
r
H
rr
. (4)
Формулировка (1) – (4) отличается от приведенной в работе [2]
уравнением (1) и граничным условием (4). В уравнении (1) использована
полная производная H(r, t) по времени t [4], µ, γ – абсолютная магнитная
проницаемость и удельная электропроводность оболочки. В граничных
условиях µ0 – магнитная постоянная, w – число витков соленоида, V(r1, t)
и V(r2, t) – скорости движения соответственно внутренней и внешней по-
верхностей оболочки, r2, r3 – радиусы внешней поверхности оболочки и
соленоида. На рис. 1, а стрелками показаны положительные направления
© Коновалов О.Я., Михайлов В.М., 2016
*ORCID ID: http://orcid.org/0000-0002-0679-4214
12 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 4
обхода контуров, крестиками – направление H
r
. Напряжение u(t) принято равномерно распределенным по вит-
кам соленоида. В уравнении движения оболочки не учитываются упругие деформации, а также использовано
условие текучести Сен-Венана [3].
Переход в движущиеся координаты. Вначале полагаем, что все точки оболочки движутся с одинако-
вой скоростью и ее толщина d остается неизменной, т.е. соблюдаются известные условия перехода в движу-
щиеся декартовы координаты x, y, z с началом в точке О1 (рис. 1, а, в, x1
r
, y1
r
, z1
r
– орты, ось z перпендикулярна
граничным поверхностям) [4]. В этих координатах H
r
и E
r
имеют по одной, зависящей только от координаты z
ненулевой проекции Нy и Еx. С одной стороны, в движущихся координатах оболочка неподвижна. Поэтому в
уравнении для H(z, t), 0 ≤ z ≤ d, соответствующем и аналогичном (1), полная производная по времени переходит
в частную и, следовательно, отсутствует информация о движении оболочки. Кроме того, магнитное поле на
граничных поверхностях оболочки, зависящее от ее движения, неизвестно. С другой стороны, задача для урав-
нения поля решается совместно с задачей для уравнения движения оболочки. Таким образом, неизбежен обрат-
ный переход из движущихся координат, в которых наблюдатель не видит движения [6], в исходные неподвиж-
ные координаты. Аналитические или численные соотношения между H
r
и E
r
на граничных поверхностях обо-
лочки, полученные в движущихся координатах, соответствуют точке зрения Лагранжа на движение в непод-
вижных координатах [7]. Поэтому при обратном переходе напряженность магнитного поля H
r
вследствие ин-
вариантности сохраняет свои значения, а напряженность электрического поля принимает смысл эффективной
напряженности электрического поля o
r
E [4].
При constd ≠ точки оболочки, имеющие различные радиальные координаты, движутся с различными
скоростями, и поэтому в движущихся координатах оболочка не является неподвижной, что затрудняет получе-
ние аналитических соотношений. Однако использование движущихся координат с началом на одной из гранич-
ных поверхностей может быть удобным для составления алгоритма численного решения задачи. В рассматри-
ваемом случае в уравнении для H(z, t), соответствующем (1), полная производная по времени остается, а при
расположении начала координат в точке О1 в дополнительных условиях (2) – (4) нужно всюду заменить r на z,
дифференцирование по r на дифференцирование по z, границы r = r1, r2 на границы z = 0, d. При расположении
начала движущихся координат в точке О2 изменяются направление оси z и положение границ z = 0 и z = d
(рис. 1, а), что необходимо учесть при формулировке граничных условий. Для определения реальной скорости
движения оболочки обратный переход в исходные неподвижные координаты необходим и в этом случае. Таким
образом, численное решение электромагнитной части задачи
осуществляется в движущихся декартовых координатах, но
координаты и скорости отдельных точек, учитываемые в этом
решении, определяются в неподвижных цилиндрических ко-
ординатах.
Результаты расчетов. Рассматривался разряд кон-
денсатора емкостью С, предварительно заряженного до напря-
жения U0, на соленоид. Для этого случая в граничном условии
(4) следует положить ∫ ττ−=
t
drH
Cw
bUtu
0
20 ),()( (b – длина
соленоида). Исходные данные: r1(0) = 8 мм, d(0) = 0,5 мм,
r3(0) = 15 мм, w = 20, b = 150 мм, γ = 0,15·108 Cм/м, µ = µ0,
плотность материала оболочки ρмех 0,27·104 кг/м3, предел те-
кучести σs = 1,04·108 Н/м2. Сжатие оболочки в начале процесса
предотвращали помещенным внутри нее диэлектрическим
цилиндром. Учитывали изменение толщины оболочки. На
рис. 2 представлены результаты расчета напряженности маг-
нитного поля на внешней (кривые 1, 3, 5) и внутренней (кри-
вые 2, 4, 6) поверхностях оболочки, а на рис. 3 – скорости
движения V(r1, t) (кривые 1–3) и радиуса внутренней поверх-
ности (кривые 4, 6, 8), а также толщины оболочки (кривые 5,
7, 9). Величины со звездочками являются безразмерными:
*
бt t t= , *
бH H H= , * ( ) (0)d d t d= , *
1 1 1(0)r r r= ,
бVtrVtrV ),(),( 11
* = , 500=бt мкс, 71028,1 ⋅=бН А/м,
16=бV м/с. Изменяли С и U0 так, чтобы величина 0U C ос-
тавалась постоянной: C = 300, 600, 900 мкФ, соответственно
U0 = 5,657; 4; 3,266 кВ. Первым значениям С и U0 соответст-
вуют кривые 1, 2 на рис. 2 и 1, 4, 5 на рис. 3, вторым – кривые
Рис. 2
Рис. 3
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 4 13
3, 4 и 2, 6, 7, третьим – 5, 6 и 3, 8, 9. Из рис. 2 и 3 следует, что при увеличении емкости и принятом соотноше-
нии между С и U0 первая амплитуда H(r2, t) изменяется незначительно, в то время как первая амплитуда H(r1, t)
существенно возрастает из-за увеличения длительности импульса и ускорения проникновения магнитного поля
внутрь оболочки. Это приводит к увеличению скорости расширения и внутреннего радиуса оболочки, а также к
уменьшению её толщины. После расширения и остановки происходит сжатие оболочки, при этом скорость из-
меняет знак на противоположный, а радиус r1 и толщина принимают начальные значения. Максимальные ско-
рости сжатия выше, поскольку сжимаемая оболочка после расширения имеет меньшую исходную толщину.
Выводы. 1. Если внешнее магнитное поле на поверхности движущегося в нем проводящего тела неиз-
вестно, то после перехода в движущиеся вместе с телом координаты и, возможно, получения аналитических
соотношений между векторами поля на его поверхностях необходим обратный переход в исходные неподвиж-
ные координаты, в которых определяется скорость недеформируемого тела или скорость точек деформируемо-
го тела, используемые в численном решении комплексной задачи.
2. В случае недеформируемого тела при переходе из движущихся в неподвижные координаты частная
производная по времени напряженности магнитного поля, входящая в уравнение, переходит в полную произ-
водную, а для составления граничных условий необходимо использовать закон электромагнитной индукции с
полной производной магнитного потока.
1. Биченков Е.И. Влияние конечной проводимости на получение сильных магнитных полей путем быстрого обжатия прово-
дящих оболочек // Журнал прикладной механики и технической физики. – 1964. – № 6. – С. 3-5.
2. Бондина Н.Н., Коновалов О.Я., Михайлов В.М. Преобразование краевой задачи проникновения импульсного магнитного
поля в движущуюся проводящую оболочку // Технічна електродинаміка. – 2014. – № 5. – С. 8-10.
3. Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Упруго-пластические деформации полых цилиндров. – М.: Изд. МГУ, 1960. – 288 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: ГИТТЛ, 1982. – 624 с.
5. Михайлов В.М., Письменный Э.И. Импульсное магнитное поле массивного соленоида с движущейся проводящей оболоч-
кой // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. – 1978. – № 5. – С. 73-78.
6. Поливанов К.М. К 100-летию «Трактата об электричестве и магнетизме» Дж.К. Максвелла // Электричество. – 1974. – № 3.
– С. 1-8.
7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. – М.: Наука, 1973. – 536 с.
УДК 621.3
РУХОМІ КООРДИНАТИ В ЕЛЕКТРОМАГНІТНОМУ ПОЛІ ПРИСТРОЇВ З ПРОВІДНИКАМИ, ЩО РУХАЮТЬСЯ
О. Я. Коновалов, канд.техн.наук, В. М. Михайлов, докт.техн.наук
Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут»,
вул. Багалія, 21, Харків, 61002, Україна. e-mail: valery.m.mikhailov@gmail. com
На прикладі провідної оболонки аналізується проблема використання рухомих координат у розрахунках електромагнітного
поля всередині провідного тіла, що рухається з нерелятивістською швидкістю, при невідомому зовнішньому магнітному
полі. Обґрунтовано необхідність зворотного переходу з координат, що рухаються з провідним тілом, у вихідні нерухомі
координати. Наведено результати розрахунків магнітно-імпульсного деформування циліндричної провідної оболонки за
допомогою зовнішнього соленоїда, на який розряджається конденсатор, з урахуванням зміни її товщини. Бібл. 7, рис. 3.
Ключові слова: магнітне поле, провідник, що рухається, рухомі координати.
MOVING COORDINATES IN ELECTROMAGNETIC FIELD OF DEVICES WITH MOVING CONDUCTORS
O.Ya. Konovalov, V.M. Mikhailov
National Technical University “Kharkiv Polytechnic Institute”,
Bagaliia str., 21, Kharkiv, 61002, Ukraine. e-mail: valery.m.mikhailov@gmail. com
On the conductive shell example the problem of using moving coordinates in calculations of electromagnetic field within conductive
body, which moving with non-relative velocity is analyzed. Cases with unknown external magnetic field are observed. A necessity of
reverse transition from coordinates, which moving with conductive body, to initial still coordinates is justified. Calculation results of
magnetic pulse forming of cylindrical conductive shell by external coil, on which capacitor discharges are presented. The changing
of shell thickness is considered. It was founded, that after expansion and stopping the shell the compression with higher velocity.
References 7, figures 3.
Key words: magnetic field, moving conductive body, moving coordinates.
1. Bichenkov E.I. Influence finite conductive to strong magnetic field generating by fast forming conductive shell // Zhurnal Priklad-
noy Mekhaniki i Tekhnicheskoi Fiziki. – 1964. – No 6. – Pp. 3-5. (Rus)
2. Bondina N.N., Коnоvalov О.Ya., Мikhailov V.М. The transformation of a problem about pulsed magnetic field penetration into
movable conductive shell // Tekhnichna Elektrodynamika. – 2014. – No 5. – Pp. 8-10. (Rus)
3. Il’yushin А.А., Оgibalov P.М. Elastic-plastic deformation of hollow cylinders. – Мoskva: MSU, 1960. – 288 p. (Rus)
4. Landau L.D., Lifshits E.M. Electrodynamics of the continuum. – Мoskva: GITTL, 1982. – 624 p. (Rus)
5. Мikhailov V.М., Pismennuy E.I. Pulsed magnetic field of massive coil with moving conductive shell // Izvestiia AN SSSR. Ener-
getika i Transport. – 1978. – No 5. – Pp. 73-78. (Rus)
6. Polivanov K.M. To century of “A treatise on electricity and magnetism” by J.C. Maxwell // Elektrichestvo. – 1974. – No 3. – Pp.
1-8. (Rus)
7. Sedov L.I. Continuum Mechanics. Т. 1. – Мoskva: Nauka, 1973. – 536 p. (Rus)
Надійшла 03.02.2016
Остаточний варіант 14.04.2016
|
| id | techned_org_ua-article-840 |
| institution | Technical Electrodynamics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-16T01:11:45Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України, Київ |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | technedorgua/01/d678984c576d0bc6d394b21b4369bf01.pdf |
| spelling | techned_org_ua-article-8402022-12-24T16:12:29Z MOVING COORDINATES IN ELECTROMAGNETIC FIELD OF DEVICES WITH MOVING CONDUCTORS ДВИЖУЩИЕСЯ КООРДИНАТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ УСТРОЙСТВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПРОВОДНИКАМИ Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. magnetic field moving conductive body moving coordinates магнитное поле движущийся проводник движущиеся координаты On the conductive shell example the problem of using moving coordinates in calculations of electromagnetic field within conductive body, which moving with non-relative velocity is analyzed. Cases with unknown external magnetic field are observed. A necessity of reverse transition from coordinates, which moving with conductive body, to initial still coordinates is justified. Calculation results of magnetic pulse forming of cylindrical conductive shell by external coil, on which capacitor discharges are presented. The changing of shell thickness is considered. It was founded, that after expansion and stopping the shell the compression with higher velocity. References 7, figures 3. На примере проводящей оболочки анализируется проблема использования движущихся координат в расчетах электромагнитного поля внутри проводящего тела, движущегося с нерелятивистской скоростью, при неизвестном внешнем магнитном поле. Обоснована необходимость обратного перехода из движущихся вместе с проводящим телом координат в исходные неподвижные координаты. Приведены расчеты магнитно-импульсного деформирования цилиндрической проводящей оболочки при помощи внешнего соленоида, на который разряжается конденсатор, с учетом изменения ее толщины. Библ. 7, рис. 3. Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2016-06-21 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/840 10.15407/techned2016.04.011 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 4 (2016): TEKHNICHNA ELEKTRODYNAMIKA; 011 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 4 (2016): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 011 2218-1903 1607-7970 10.15407/techned2016.04 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/840/717 Авторське право (c) 2022 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | магнитное поле движущийся проводник движущиеся координаты Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. ДВИЖУЩИЕСЯ КООРДИНАТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ УСТРОЙСТВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПРОВОДНИКАМИ |
| title | ДВИЖУЩИЕСЯ КООРДИНАТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ УСТРОЙСТВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПРОВОДНИКАМИ |
| title_alt | MOVING COORDINATES IN ELECTROMAGNETIC FIELD OF DEVICES WITH MOVING CONDUCTORS |
| title_full | ДВИЖУЩИЕСЯ КООРДИНАТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ УСТРОЙСТВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПРОВОДНИКАМИ |
| title_fullStr | ДВИЖУЩИЕСЯ КООРДИНАТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ УСТРОЙСТВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПРОВОДНИКАМИ |
| title_full_unstemmed | ДВИЖУЩИЕСЯ КООРДИНАТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ УСТРОЙСТВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПРОВОДНИКАМИ |
| title_short | ДВИЖУЩИЕСЯ КООРДИНАТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ УСТРОЙСТВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПРОВОДНИКАМИ |
| title_sort | движущиеся координаты в электромагнитном поле устройств с движущимися проводниками |
| topic | магнитное поле движущийся проводник движущиеся координаты |
| topic_facet | magnetic field moving conductive body moving coordinates магнитное поле движущийся проводник движущиеся координаты |
| url | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/840 |
| work_keys_str_mv | AT konovalovoâ movingcoordinatesinelectromagneticfieldofdeviceswithmovingconductors AT mihajlovvm movingcoordinatesinelectromagneticfieldofdeviceswithmovingconductors AT konovalovoâ dvižuŝiesâkoordinatyvélektromagnitnompoleustrojstvsdvižuŝimisâprovodnikami AT mihajlovvm dvižuŝiesâkoordinatyvélektromagnitnompoleustrojstvsdvižuŝimisâprovodnikami |